Sie haben sich bereits im Algebrakurs der 7. Klasse kennengelernt, aber das waren nur Systeme spezieller Typ- Zweiersysteme lineare Gleichungen mit zwei Variablen. In der 8. Klasse haben Sie gelernt, rationale Gleichungen mit einer Variablen zu lösen, was bedeutet, dass Sie darüber nachdenken können, Systeme rationaler Gleichungen mit zwei Variablen zu lösen, zumal solche Systeme recht häufig vorkommen Mathematische Modelle untersuchte Situationen. Eines dieser Modelle haben Sie bereits aus dem Algebra-8-Lehrbuch kennengelernt. Das folgende Beispiel stammt aus dem referenzierten Lehrbuch.

In der Praxis ist eine breitere Interpretation des Begriffs „rationale Gleichung mit zwei Variablen“ bequemer: Es handelt sich um eine Gleichung der Form – rationale Ausdrücke mit zwei Variablen x und y.
Beispiele für rationale Gleichungen mit zwei Variablen:

Natürlich können Sie rationale Gleichungen mit anderen Variablen betrachten, nicht unbedingt mit x, zum Beispiel a3 - bx = 3ab - eine rationale Gleichung mit zwei Variablen a, b. Aber der Überlieferung nach verwendet man in der Algebra am liebsten die Buchstaben x und y als Variablen.

Definition 2.

Eine Lösung der Gleichung p (x, y) = 0 ist jedes Zahlenpaar (x; y), das diese Gleichung erfüllt, d. h. verwandelt die Gleichheit mit den Variablen p (x, y) = 0 in eine echte numerische Gleichheit.

Zum Beispiel:

1) (3; 7) - Lösung der Gleichung x 2 + y 2 = 58. Tatsächlich ist 3 2 + 7 2 = 58 eine korrekte numerische Gleichheit.
2) - Lösung der Gleichung x 2 + y 2 - 58. Tatsächlich - Korrekte numerische Gleichheit (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) - Lösung der Gleichung 2xy + x 3 = 0. Tatsächlich ist 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 eine korrekte numerische Gleichheit.
4) (1; 2) ist keine Lösung der Gleichung 2xy + x 3 = 0. Tatsächlich ist 2 1 2 + 3 = 0 eine falsche Gleichheit (es stellt sich heraus, dass 5 = 0 ist).

Für Gleichungen mit zwei Variablen sowie für Gleichungen mit einer Variablen können wir das Konzept der Äquivalenz von Gleichungen einführen.

Definition 3.

Zwei Gleichungen p(x, y) = 0 und d(x, y) = 0 heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben (insbesondere, wenn beide Gleichungen keine Lösungen haben).

Normalerweise versuchen sie beim Lösen einer Gleichung, diese Gleichung durch eine einfachere, aber gleichwertige Gleichung zu ersetzen. Eine solche Ersetzung wird als äquivalente Transformation der Gleichung bezeichnet. Die beiden wichtigsten äquivalenten Konvertierungen sind unten aufgeführt:

1) Übertragen von Termen der Gleichung von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetzten Vorzeichen.
Beispielsweise ist das Ersetzen der Gleichung 2x + bу = 7x - 8у durch die Gleichung 2x - 7x - -8у - bу eine äquivalente Transformation der Gleichung.
2) Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl oder demselben Ausdruck ungleich Null.
Beispielsweise ist das Ersetzen der Gleichung 0,5l:2 - 0,3xy = 2y durch die Gleichung 5l:2 - 3xy = 20y (beide Seiten der Gleichung wurden Term für Term mit 10 multipliziert) eine äquivalente Transformation der Gleichung.

Inäquivalente Transformationen der Gleichung, wie im Fall von Gleichungen mit einer Variablen, sind:

1) Befreiung von Nennern, die Variablen enthalten.
2) Quadrieren beider Seiten der Gleichung.

Wenn bei der Lösung der Gleichung eine der angegebenen nichtäquivalenten Transformationen verwendet wurde, müssen alle gefundenen Lösungen durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden, da sich unter ihnen Fremdlösungen befinden können.

Manchmal ist es möglich, auf ein geometrisches (grafisches) Modell einer Gleichung mit zwei Variablen umzusteigen, d. h. Zeichnen Sie die Gleichung grafisch auf. Sie erinnern sich wahrscheinlich daran, dass der Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ax + bу + c = 0 (a, b, c sind Zahlen, Koeffizienten, bei denen mindestens eine der Zahlen a, b von Null verschieden ist) eine Gerade ist - eine lineare Gleichung eines geometrischen Modells. Versuchen wir, die entsprechenden grafischen Modelle für einige rationalere Gleichungen mit zwei Variablen x und y zu finden.

Beispiel 2. Zeichnen Sie einen Graphen der Gleichung y - 2x2 = 0.

Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung in die Form y = 2x2 umwandeln. Der Graph der Funktion y - 2x2 ist eine Parabel, die auch als Graph der Gleichung y - 2x2 = 0 betrachtet wird (Abb. 33).

Beispiel 3. Stellen Sie die Gleichung xy = 2 grafisch dar.
Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung in die Form umwandeln. Der Graph der Funktion - ist eine Hyperbel, er wird auch als Graph der Gleichung xy = 2 betrachtet (Abb. 34).

Wenn also die Gleichung p(x, y) = O in die Form y = f (x) umgewandelt werden kann, dann wird der Graph der Funktion y - f (x) gleichzeitig als Graph von betrachtet Gleichung p(x, y) - 0.

Beispiel 4. Stellen Sie die Gleichung x 2 + y 2 = 16 grafisch dar.

Lösung.

Verwenden wir einen Satz aus dem Geometriekurs: Der Graph der Gleichung x 2 + y 2 = r 2, wobei r eine positive Zahl ist, ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius r. Dies bedeutet, dass der Graph der Gleichung x 2 + y 2 = 16 ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius 4 ist (Abb. 35).

Der oben genannte Satz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes, der Ihnen hoffentlich auch aus Ihrem Geometriekurs bekannt ist.

Beispiel 5. Stellen Sie die Gleichung grafisch dar:

a) (x – I) 2 + (y – 2) 2 = 9; B) x 2 + y 2 + 4x = 0.

Lösung:

a) Schreiben wir die Gleichung in der Form (x – I) 2 + (y – 2) 2 = 32 um. Der Graph dieser Gleichung ist nach dem Satz ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt (1; 2) und einem Radius 3 (Abb. 37).

b) Schreiben wir die Gleichung in der Form (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4 um, d.h. (x + 2) 2 + y 2 = 4 und weiter (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. Der Graph dieser Gleichung ist nach dem Satz ein Kreis mit dem Mittelpunkt bei der Punkt (-2; 0 ) und der Radius 2 (Abb. 38).

Definition 4.

Wenn die Aufgabe darin besteht, Wertepaare (x; y) zu finden, die gleichzeitig die Gleichung p (x, y) = 0 und die Gleichung q (x, y) = 0 erfüllen, dann sagt man, dass diese Gleichungen ein System bilden von Gleichungen:

Ein Wertepaar (x; y), das gleichzeitig eine Lösung sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung des Systems ist, wird als Lösung des Gleichungssystems bezeichnet. Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine Lösungen gibt.
Zum Beispiel ist das Paar (3; 7) die Lösung des Gleichungssystems

Tatsächlich erfüllt dieses Paar sowohl die erste als auch die zweite Gleichung des Systems, was bedeutet, dass es seine Lösung ist. Normalerweise wird es so geschrieben: (3; 7) – eine Lösung des Systems oder Ein Paar (5; 9) ist keine Lösung des Systems (1): Es erfüllt nicht die erste Gleichung (obwohl es die zweite Gleichung erfüllt). vom System).

Natürlich können die Variablen in den Gleichungen, die ein Gleichungssystem bilden, mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, zum Beispiel: Aber in jedem Fall wird beim Schreiben der Antwort in Form eines Zahlenpaares das Lexikon verwendet grafische Methode, d.h. An erster Stelle steht derjenige der beiden Buchstaben, der im lateinischen Alphabet früher vorkommt.

Manchmal können Sie ein Gleichungssystem mit einer grafischen Methode lösen, mit der Sie vertraut sind: Sie müssen die erste Gleichung grafisch darstellen, dann die zweite Gleichung grafisch darstellen und schließlich die Schnittpunkte der Diagramme ermitteln; Die Koordinaten jedes Schnittpunkts dienen als Lösung des Gleichungssystems.

Beispiel 6. Gleichungssystem lösen

Lösung.

1) Konstruieren Sie einen Graphen der Gleichung x 2 + y 2 = 16 – einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius 4 (Abb. 39).
2) Erstellen wir einen Graphen der Gleichung y - x = 4. Dies ist eine gerade Linie, die durch die Punkte (0; 4) und (-4; 0) verläuft (Abb. 39).
3) Der Kreis und die Gerade schneiden sich in den Punkten A und B (Abb. 39). Dem konstruierten geometrischen Modell nach zu urteilen, hat Punkt A die Koordinaten A(-4; 0) und Punkt B hat die Koordinaten B(0; 4). Die Prüfung zeigt, dass das Paar (-4; 0) und das Paar (0; 4) tatsächlich Lösungen für beide Gleichungen des Systems und damit Lösungen für das Gleichungssystem sind. Folglich hat das gegebene Gleichungssystem zwei Lösungen: (-4; 0) und (0; 4).

Antwort: (-4; 0); (0; 4).

Beispiel 7. Gleichungssystem lösen

Lösung.

1) Nachdem wir die erste Gleichung des Systems in die Form y = 2x 2 umgeschrieben haben, kommen wir zu dem Schluss: Der Graph der Gleichung ist eine Parabel (Abb. 40).
2) Nachdem wir die zweite Gleichung des Systems in die Form umgeschrieben haben, kommen wir zu dem Schluss: Der Graph der Gleichung ist eine Hyperbel (Abb. 40).

3) Parabel und Hyperbel schneiden sich im Punkt A (Abb. 40). Dem konstruierten geometrischen Modell nach zu urteilen, hat Punkt A die Koordinaten A (1; 2). Die Überprüfung zeigt, dass das Paar (1; 2) tatsächlich eine Lösung für beide Gleichungen des Systems und damit eine Lösung für das Gleichungssystem ist. Folglich hat das gegebene Gleichungssystem eine Lösung: (1; 2).

Antwort: (1; 2).

Die grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen ist ebenso wie die grafische Methode zur Lösung von Gleichungen schön, aber unzuverlässig: Erstens, weil wir nicht immer in der Lage sein werden, Gleichungsgraphen zu erstellen; Zweitens: Selbst wenn es möglich wäre, Diagramme der Gleichungen zu erstellen, wären die Schnittpunkte möglicherweise nicht so „gut“ wie in den speziell ausgewählten Beispielen 6 und 7 und könnten sogar außerhalb der Grenzen der Zeichnung liegen. Das bedeutet, dass wir zuverlässig sein müssen algebraische Methoden Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Dies wird im nächsten Absatz besprochen.

A.G. Mordkovich Algebra 9. Klasse

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Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.

Was rationaler Ausdruck? Wir sind diesem Konzept bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sind Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Potenzen und Symbolen mathematischer Operationen bestehen.

Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wobei - rationale Ausdrücke.

Bisher haben wir nur solche rationalen Gleichungen betrachtet, die auf lineare Gleichungen reduziert werden können. Schauen wir uns nun die rationalen Gleichungen an, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.

Beispiel 1

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Ein Bruch ist genau dann gleich 0, wenn sein Zähler gleich 0 und sein Nenner ungleich 0 ist.

Wir erhalten das folgende System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .

Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: . Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, handelt es sich bei beiden um Lösungen gegebene Gleichung.

Antwort:.

Formulieren wir also einen Algorithmus zur Lösung rationaler Gleichungen:

1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass die rechte Seite mit 0 endet.

2. Transformieren und vereinfachen Sie die linke Seite und bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

3. Setzen Sie den resultierenden Bruch mit dem folgenden Algorithmus mit 0 gleich: .

4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten wurden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel 2

Löse die Gleichung: .

Lösung

Ganz am Anfang verschieben wir alle Terme nach links, sodass rechts 0 übrig bleibt. Wir erhalten:

Bringen wir nun die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Diese Gleichung entspricht dem System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.

Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:

Wir erhalten zwei Wurzeln: ; .

Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.

Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: . Wir stellen fest, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist – 3.

Antwort:.

In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und haben auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.

In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und uns auch mit Bewegungsproblemen befassen.

Referenzliste

1. Baschmakow M.I. Algebra, 8. Klasse. - M.: Bildung, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. und andere. Algebra, 8. 5. Aufl. - M.: Bildung, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. Klasse. Anleitung für Bildungsinstitutionen. - M.: Bildung, 2006.

1. Festival der pädagogischen Ideen“ Öffentlicher Unterricht" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hausaufgaben

Im Mathematikkurs der 7. Klasse begegnen wir zum ersten Mal Gleichungen mit zwei Variablen, aber sie werden nur im Kontext von Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten untersucht. Aus diesem Grund geraten eine ganze Reihe von Problemen außer Sicht, bei denen bestimmte Bedingungen an die Koeffizienten der Gleichung eingeführt werden, die sie begrenzen. Darüber hinaus werden auch Methoden zur Lösung von Problemen wie „Lösen Sie eine Gleichung in natürlichen oder ganzen Zahlen“ ignoriert, obwohl in Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen und weiter Aufnahmeprüfungen Probleme dieser Art treten immer häufiger auf.

Welche Gleichung wird als Gleichung mit zwei Variablen bezeichnet?

So sind beispielsweise die Gleichungen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 oder xy = 12 Gleichungen in zwei Variablen.

Betrachten Sie die Gleichung 2x – y = 1. Sie wird wahr, wenn x = 2 und y = 3, sodass dieses Variablenwertpaar eine Lösung der betreffenden Gleichung ist.

Somit ist die Lösung jeder Gleichung mit zwei Variablen eine Menge geordneter Paare (x; y), Werte der Variablen, die diese Gleichung in eine echte numerische Gleichheit umwandeln.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann:

A) habe eine Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + 5y 2 = 0 eine eindeutige Lösung (0; 0);

B) mehrere Lösungen haben. Zum Beispiel hat (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 Lösungen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) habe keine Lösungen. Beispielsweise hat die Gleichung x 2 + y 2 + 1 = 0 keine Lösungen;

G) haben unendlich viele Lösungen. Zum Beispiel: x + y = 3. Die Lösungen dieser Gleichung sind Zahlen, deren Summe gleich 3 ist. Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann in der Form (k; 3 – k) geschrieben werden, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist Nummer.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen sind Methoden, die auf der Faktorisierung von Ausdrücken, der Isolierung eines vollständigen Quadrats und der Verwendung von Eigenschaften basieren quadratische Gleichung, Einschränkungen von Ausdrücken, Bewertungsmethoden. Die Gleichung wird normalerweise in eine Form umgewandelt, aus der ein System zum Finden der Unbekannten abgeleitet werden kann.

Faktorisierung

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung: xy – 2 = 2x – y.

Lösung.

Wir gruppieren die Begriffe zum Zweck der Faktorisierung:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Aus jeder Klammer entnehmen wir einen gemeinsamen Faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Wir haben:

y = 2, x – jede reelle Zahl oder x = -1, y – jede reelle Zahl.

Auf diese Weise, Die Antwort sind alle Paare der Form (x; 2), x € R und (-1; y), y € R.

Gleich Null ist es nicht negative Zahlen

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lösung.

Gruppierung:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nun kann jede Klammer mit der quadrierten Differenzformel gefaltet werden.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Die Summe zweier nichtnegativer Ausdrücke ist nur dann Null, wenn 3x – 2 = 0 und 2y – 3 = 0.

Das bedeutet x = 2/3 und y = 3/2.

Antwort: (2/3; 3/2).

Schätzmethode

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Lösung.

In jeder Klammer wählen wir ein vollständiges Quadrat aus:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Lassen Sie uns schätzen die Bedeutung der Ausdrücke in Klammern.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 und (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, dann ist die linke Seite der Gleichung immer mindestens 2. Gleichheit ist möglich, wenn:

(x + 1) 2 + 1 = 1 und (y – 2) 2 + 2 = 2, was x = -1, y = 2 bedeutet.

Antwort: (-1; 2).

Machen wir uns mit einer anderen Methode zum Lösen von Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades vertraut. Diese Methode besteht darin, die Gleichung als zu behandeln Quadrat in Bezug auf eine Variable.

Beispiel 4.

Lösen Sie die Gleichung: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lösung.

Lösen wir die Gleichung als quadratische Gleichung für x. Finden wir die Diskriminante:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Die Gleichung hat nur dann eine Lösung, wenn D = 0, also wenn y = 4. Wir setzen den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein und stellen fest, dass x = 3.

Antwort: (3; 4).

Sie geben oft in Gleichungen mit zwei Unbekannten an Einschränkungen für Variablen.

Beispiel 5.

Lösen Sie die Gleichung in ganzen Zahlen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lösung.

Schreiben wir die Gleichung in der Form x 2 = -5y 2 + 20x + 2 um. Die rechte Seite der resultierenden Gleichung ergibt bei Division durch 5 einen Rest von 2. Daher ist x 2 nicht durch 5 teilbar. Aber das Quadrat von a Eine Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist, ergibt einen Rest von 1 oder 4. Daher ist Gleichheit unmöglich und es gibt keine Lösungen.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 6.

Lösen Sie die Gleichung: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lösung.

Lassen Sie uns hervorheben perfekte Quadrate in jeder Klammer:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Die linke Seite der Gleichung ist immer größer oder gleich 3. Gleichheit ist möglich, vorausgesetzt |x| – 2 = 0 und y + 3 = 0. Somit ist x = ± 2, y = -3.

Antwort: (2; -3) und (-2; -3).

Beispiel 7.

Für jedes Paar negativer Ganzzahlen (x;y), die die Gleichung erfüllen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, berechne die Summe (x + y). Bitte geben Sie in Ihrer Antwort den kleinsten Betrag an.

Lösung.

Wählen wir vollständige Quadrate aus:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Da x und y ganze Zahlen sind, sind auch ihre Quadrate ganze Zahlen. Wir erhalten die Summe der Quadrate zweier ganzen Zahlen gleich 37, wenn wir 1 + 36 addieren. Daher:

(x – y) 2 = 36 und (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 und (y + 2) 2 = 36.

Wenn wir diese Systeme lösen und berücksichtigen, dass x und y negativ sind, finden wir Lösungen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Antwort: -17.

Verzweifeln Sie nicht, wenn Sie Schwierigkeiten haben, Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen. Mit ein wenig Übung können Sie mit jeder Gleichung umgehen.

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Betrachten Sie eine Gleichung mit zwei Variablen

Ein Paar von Variablenwerten, das eine Gleichung mit zwei Variablen wahr macht, wird als Lösung der Gleichung bezeichnet. Wenn eine Gleichung mit zwei Variablen x und y gegeben ist, ist es üblich, ihre Lösung aufzuschreiben, indem man an erster Stelle den Wert der Variablen und an zweiter Stelle den Wert von y eingibt.

Paare sind also Lösungen der Gleichung, aber Paar (1; 5) ist keine Lösung der Gleichung.

Diese Gleichung hat andere Lösungen. Um sie zu finden, ist es praktisch, eine Variable durch eine andere auszudrücken, zum Beispiel x bis y y, was die Gleichung ergibt. Nachdem wir einen beliebigen Wert für y gewählt haben, berechnen wir den entsprechenden Wert für x. Wenn das beispielsweise bedeutet, dass das Paar (31; 7) eine Lösung der Gleichung ist; wenn das bedeutet, dass das Paar (4; -2) auch eine Lösung ist gegebene Gleichung usw.

Gleichungen mit zwei Variablen heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben.

Für Gleichungen mit zwei Variablen gelten die Sätze 5.1 und 5.2 (siehe Abschnitt 135) zu äquivalenten Transformationen der Gleichung.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Fügen Sie in einer willkürlich gewählten (aus dem System) Gleichung die Zahl 11 anstelle des bereits gefundenen „Spiels“ ein und berechnen Sie die zweite Unbekannte:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Die Antwort auf dieses Gleichungssystem lautet x=116, y=11.

Grafische Methode.
Es besteht darin, praktisch die Koordinaten des Punktes zu finden, an dem sich gerade Linien, mathematisch in ein Gleichungssystem geschrieben, schneiden. Die Diagramme beider Linien sollten separat im selben Koordinatensystem gezeichnet werden. Generelle Form Gleichung einer Geraden: – у=khх+b. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, die Koordinaten zweier Punkte zu ermitteln, und x wird willkürlich gewählt.
Das System sei gegeben: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Eine gerade Linie wird mit der ersten Gleichung konstruiert; der Einfachheit halber müssen Sie sie aufschreiben: y = 2x-4. Ermitteln Sie (einfachere) Werte für x, setzen Sie sie in die Gleichung ein, lösen Sie sie und finden Sie y. Wir erhalten zwei Punkte, entlang derer eine Gerade konstruiert wird. (siehe Bild)
x 0 1

y -4 -2
Eine gerade Linie wird mit der zweiten Gleichung konstruiert: y=-3x+1.
Konstruieren Sie außerdem eine gerade Linie. (siehe Bild)

Jahr 1 -5
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier konstruierter Linien im Diagramm (wenn sich die Linien nicht schneiden, hat das Gleichungssystem keine Lösung – das passiert).

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Wenn Sie dasselbe Gleichungssystem auf drei verschiedene Arten lösen, ist die Antwort dieselbe (sofern die Lösung richtig ist).

Quellen:

• Algebra der 8. Klasse
• Lösen Sie online eine Gleichung mit zwei Unbekannten
• Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei

Ein Gleichungssystem zu lösen ist herausfordernd und spannend. Wie komplexeres System, desto interessanter ist es, es zu lösen. Am häufigsten in Mathematik weiterführende Schule Es gibt Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, aber in der höheren Mathematik kann es mehr Variablen geben. Systeme können mit mehreren Methoden gelöst werden.

Anweisungen

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung eines Gleichungssystems ist die Substitution. Dazu ist es notwendig, eine Variable durch eine andere auszudrücken und sie in die zweite Gleichung des Systems einzusetzen, wodurch die Gleichung auf eine Variable reduziert wird. Zum Beispiel anhand der folgenden Gleichungen: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ausgehend vom zweiten Ausdruck ist es praktisch, eine der Variablen auszudrücken, alles andere auf die rechte Seite des Ausdrucks zu verschieben und nicht zu vergessen, das Vorzeichen des Koeffizienten zu ändern: x = 3-y.

Öffnen Sie die Klammern: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Wir setzen den resultierenden Wert y in den Ausdruck ein: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Im ersten Ausdruck sind alle Terme 2, Sie können 2 aus Klammern setzen