Artikelname Algebra und Beginn der mathematischen Analyse
Klasse 10
UMK Algebra und Anfänge der mathematischen Analyse, Klassen 10-11. UM 2 . Teil 1. Anleitung für Bildungsinstitutionen(ein Grundniveau von) /A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, Ster. - M.: Mnemosyne, 2012. Teil 2. Problembuch für Bildungseinrichtungen (Grundstufe) /[ A.G. Mordkovich et al.]; bearbeitet von A.G. Mordkowitsch. – 10. Auflage, Ster. - M.: Mnemosyne, 2012.
Studienniveau. Base
Unterrichtsthema Zahlenkreis (2 Uhr)
Lektion 1
Ziel: das Konzept vorstellen Zahlenkreis als Modelle eines krummlinigen Koordinatensystems.
Aufgaben : die Fähigkeit entwickeln, den Zahlenkreis beim Lösen von Problemen zu verwenden.
Geplante Ergebnisse:
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
2. Überprüfung von Hausaufgaben, die den Schülern Schwierigkeiten bereitet haben
II. Mündliche Arbeit.
1. Ordnen Sie jedem Intervall auf der Zahlengeraden eine Ungleichung und eine analytische Notation für das Intervall zu. Tragen Sie die Daten in die Tabelle ein.
A (– ; –5] D (–5; 5)
B [–5; 5] E (– ; –5)
IN [–5; + ) UND [–5; 5)
G (–5; 5] Z (–5; + )
1 –5 < X < 5 5 –5 X 5
2 X –5 6 X –5
3 –5 < X 5 7 5 X < 5
4 X < –5 8 X > –5
A1. Im Gegensatz zur untersuchten Zahlenlinie ist der Zahlenkreis ein komplexeres Modell. Das zugrunde liegende Konzept eines Bogens ist in der Geometrie nicht zuverlässig ausgearbeitet.
2 . Arbeiten mit dem Lehrbuch . Schauen wir uns ein praktisches Beispiel mit an. 23–24 Lehrbücher (Stadionlaufbahn). Sie können die Schüler bitten, ähnliche Beispiele zu nennen (die Bewegung eines Satelliten im Orbit, die Drehung eines Zahnrads usw.).
3. Wir begründen die Benutzerfreundlichkeit als Zahlenwert Einheitskreis.
4. Arbeiten mit dem Lehrbuch. Schauen wir uns Beispiele von S. 25–31 Lehrbücher. Die Autoren betonen, dass für die erfolgreiche Beherrschung des Zahlenkreismodells sowohl das Lehrbuch als auch das Problembuch ein System spezieller „ didaktische Spiele" Es gibt sechs davon, in dieser Lektion werden wir die ersten vier verwenden.
(Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. 10.-11. Klasse (Grundstufe): Toolkit für den Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 S. : krank.)
1. „Spiel“ – Berechnung der Bogenlänge eines Einheitskreises. Die Schüler sollten sich daran gewöhnen, dass die Länge des gesamten Kreises 2 beträgt , ein halber Kreis – , Viertelkreis – usw.
2. „Spiel“ – Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, die bestimmten Zahlen entsprechen, ausgedrückt in Bruchteilen einer Zahl
zum Beispiel Punkte 
usw. („gute“ Zahlen und Punkte).
3. „Spiel“ – Finden von Punkten auf dem Zahlenkreis, die gegebenen Zahlen entsprechen, die nicht in Bruchteilen einer Zahl ausgedrückt werden zum Beispiel Punkte M (1), M (–5) usw. („schlechte“ Zahlen und Punkte).
4. „Spiel“ – Aufzeichnung von Zahlen, die einem bestimmten „guten“ Punkt auf dem Zahlenkreis entsprechen, zum Beispiel ist die Mitte des ersten Viertels „gut“, die entsprechenden Zahlen haben die Form 
Die in dieser Lektion gelösten Übungen entsprechen den vier vorgesehenen Didaktikspielen. Die Schüler verwenden ein Zahlenkreislayout mit DurchmessernWechselstrom (horizontal) undBD(Vertikale).
1. № 4.1, № 4.3.
Lösung:
№ 4.3.
2. № 4.5 (a; b) – 4.11 (a; b).
3. № 4.12.
4. № 4.13 (a; b), № 4.14.
Lösung:
№ 4.13.
V. Testarbeit.
Variante 1
Option 2
1. Markieren Sie einen entsprechenden Punkt auf dem Zahlenkreis angegebene Nummer:
2. Finden Sie alle Zahlen, die den auf dem Zahlenkreis markierten Punkten entsprechen.
VI. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Geben Sie die Definition eines Zahlenkreises an.
– Wie lang ist ein Einheitskreis? Länge eines halben Einheitskreises? Ihr Quartier?
– Wie findet man auf dem Zahlenkreis einen Punkt, der einer Zahl entspricht? Nummer 5?
Hausaufgaben:, Seite 23. Nr. 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) – Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d), Nr. 4.15.
Lektion 2
Ziele : Konsolidieren Sie das Konzept des Zahlenkreises als Modell eines krummlinigen Koordinatensystems.
Aufgaben : die Fähigkeit weiterentwickeln, Punkte auf dem Zahlenkreis zu finden, die gegebenen „guten“ und „schlechten“ Zahlen entsprechen; Notieren Sie die Zahl, die einem Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht. die Fähigkeit entwickeln, eine analytische Notation des Bogens eines Zahlenkreises in Form einer doppelten Ungleichung zu verfassen.
Zur Entwicklung der Rechenfähigkeiten, der korrekten mathematischen Sprache und des logischen Denkens der Schüler.
Vermitteln Sie Unabhängigkeit, Aufmerksamkeit und Genauigkeit. Fördern Sie eine verantwortungsvolle Einstellung zum Lernen.
Geplante Ergebnisse:
Wissen, verstehen: - Zahlenkreis.
In der Lage sein: - Punkte auf einem Kreis anhand vorgegebener Koordinaten zu finden; - Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis.
In der Lage sein, das erlernte theoretische Material bei der Durchführung schriftlicher Arbeiten anzuwenden.
Technischer Support für den Unterricht Computer, Leinwand, Projektor, Lehrbuch, Problembuch.
Zusätzliche methodische und didaktische Unterstützung für den Unterricht: Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis. Klassen 10-11 (Grundstufe): Methodenhandbuch für Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyna, 2010. - 202 S. : Schlick
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
Psychologische Stimmung der Schüler.
Hausaufgaben überprüfenNr. 4.2, Nr. 4.4, Nr. 4.5 (c; d) – Nr. 4.11 (c; d), Nr. 4.13 (c; d),
№ 4.15. Analysieren Sie die Lösung der Aufgaben, die Schwierigkeiten verursacht haben.
Mündliche Arbeit.
(auf Folie)
1. Ordnen Sie die Punkte auf dem Zahlenkreis den angegebenen Zahlen zu:
B)
V)
G)
D)
e)
Und)
H)
2. Finden Sie die Punkte auf dem Zahlenkreis.
–2; 4; –8;
13.
III. Erläuterung des neuen Materials.
Wie bereits erwähnt, beherrschen die Studierenden ein System von sechs didaktischen „Spielen“, die die Fähigkeit bieten, Probleme von vier Haupttypen im Zusammenhang mit dem Zahlenkreis zu lösen (von der Zahl zum Punkt; vom Punkt zur Zahl; vom Bogen zur doppelten Ungleichung; von der doppelten Ungleichung). zu bogen).
(Mordkovich A. G. M79 Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. Klassen 10-11 (Grundstufe): Methodenhandbuch für Lehrer / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2010. - 202 S. : krank.)
In dieser Lektion verwenden wir die letzten beiden Spiele:
5. „Spiel“ – Zusammenstellung analytischer Aufzeichnungen (doppelte Ungleichungen) für Bögen des Zahlenkreises. Wenn beispielsweise ein Bogen angegeben wird, der die Mitte des ersten Viertels (den Anfang des Bogens) und den tiefsten Punkt der beiden Punkte verbindet, die das zweite Viertel in drei gleiche Teile teilen (das Ende des Bogens), dann ist die entsprechende analytische Die Notation hat die Form:
Wenn Anfang und Ende desselben Bogens vertauscht werden, sieht der entsprechende analytische Datensatz des Bogens wie folgt aus:
Die Autoren des Lehrbuchs weisen darauf hin, dass die Begriffe „Kern der analytischen Notation eines Bogens“, „analytische Notation eines Bogens“ nicht allgemein anerkannt sind, sie aus rein methodischen Gründen eingeführt wurden und ob sie verwendet werden oder nicht, dem selbst überlassen bleibt Lehrer.
6. „Spiel“ – Gehen Sie von dieser analytischen Notation des Bogens (doppelte Ungleichung) zu seinem geometrischen Bild.
Die Erklärung sollte in der Technik der Analogie erfolgen. Sie können ein bewegliches Zahlenlinienmodell verwenden, das zu einem Zahlenkreis „kollabiert“ werden kann.
Arbeiten mit dem Lehrbuch .
Schauen wir uns Beispiel 8 von S. 1 an. 33 Lehrbücher.
Dynamische Pause
IV. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.
Bei der Bearbeitung von Aufgaben müssen die Studierenden darauf achten, dass beim analytischen Schreiben eines Bogens die linke Seite der doppelten Ungleichung kleiner ist als die rechte Seite. Dazu müssen Sie sich bei der Aufnahme in eine positive Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, bewegen.
1. Gruppe . Übungen zum Finden „schlechter“ Punkte auf dem Zahlenkreis.
№ 4.16, Nr. 4.17 (a; b).
2. Gruppe . Übungen zur analytischen Erfassung eines Lichtbogens und der Konstruktion eines Lichtbogens anhand seiner analytischen Erfassung.
№ 4.18 (a; b), Nr. 4.19 (a; b), Nr. 4.20 (a; b).
V. Selbständiges Arbeiten.
Möglichkeit 1
3. Nach dem analytischen Modell 
Schreiben Sie die Bezeichnung des Zahlenbogens auf und erstellen Sie sein geometrisches Modell.
Möglichkeit 2
1. Schreiben Sie basierend auf dem geometrischen Modell des Zahlenkreisbogens das analytische Modell in Form einer doppelten Ungleichung.
2. Entsprechend der angegebenen Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises 
Geben Sie seine geometrischen und analytischen Modelle an.
3. Nach dem analytischen Modell 
Schreiben Sie die Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises auf und erstellen Sie sein geometrisches Modell.
VI. Zusammenfassung der Lektion.
Fragen an Studierende:
– Auf welche Weise kann man den Bogen des Zahlenkreises analytisch schreiben?
– Was nennt man den Kern der analytischen Erfassung eines Lichtbogens?
– Welche Bedingungen müssen die Zahlen links und rechts einer doppelten Ungleichung erfüllen?
Hausaufgaben:
1. , Seite 23. Nr. 4.17 (c; d), Nr. 4.18 (c; d), Nr. 4.19 (c; d), Nr. 4.20 (c; d).
2. Schreiben Sie basierend auf dem geometrischen Modell des Bogens des Zahlenkreises dessen analytisches Modell in Form einer doppelten Ungleichung auf.
3. Entsprechend der angegebenen Bezeichnung des Bogens des Zahlenkreises 
Geben Sie seine geometrischen und analytischen Modelle an.
Beim Studium der Trigonometrie in der Schule wird jeder Schüler mit dem sehr interessanten Konzept des „Zahlenkreises“ konfrontiert. Wie gut der Schüler später Trigonometrie lernen wird, hängt von der Fähigkeit des Schullehrers ab, zu erklären, was es ist und warum es benötigt wird. Leider kann nicht jeder Lehrer diesen Stoff klar erklären. Das hat zur Folge, dass viele Schüler nicht einmal wissen, wie sie ihre Noten benoten sollen Punkte auf dem Zahlenkreis. Wenn Sie diesen Artikel bis zum Ende lesen, erfahren Sie, wie das problemlos gelingt.
Also lasst uns anfangen. Zeichnen wir einen Kreis mit dem Radius 1. Bezeichnen wir den Punkt „ganz rechts“ dieses Kreises mit dem Buchstaben Ö:
Herzlichen Glückwunsch, Sie haben gerade einen Einheitskreis gezeichnet. Da der Radius dieses Kreises 1 beträgt, beträgt seine Länge.
Jeder reellen Zahl kann die Länge der Flugbahn entlang des Zahlenkreises vom Punkt zugeordnet werden Ö. Als positive Richtung wird die Bewegungsrichtung gegen den Uhrzeigersinn angenommen. Für negativ – im Uhrzeigersinn:
Lage der Punkte auf dem Zahlenkreis
Wie wir bereits festgestellt haben, ist die Länge des Zahlenkreises (Einheitskreises) gleich. Wo wird sich dann die Zahl auf diesem Kreis befinden? Offensichtlich vom Punkt her Ö Gegen den Uhrzeigersinn müssen wir die halbe Länge des Kreises zurücklegen, und wir befinden uns am gewünschten Punkt. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben B:
Beachten Sie, dass derselbe Punkt auch durch einen Halbkreis in negativer Richtung erreicht werden könnte. Dann würden wir die Zahl auf dem Einheitskreis eintragen. Das heißt, die Zahlen entsprechen demselben Punkt.
Darüber hinaus entspricht derselbe Punkt auch den Zahlen , , , und im Allgemeinen unendliche Menge Zahlen, die in der Form geschrieben werden können, wobei sie zur Menge der ganzen Zahlen gehören. All dies, weil vom Punkt B Sie können eine „Weltumrundung“ in jede Richtung unternehmen (den Umfang addieren oder subtrahieren) und zum selben Punkt gelangen. Wir kommen zu einer wichtigen Schlussfolgerung, die verstanden und im Gedächtnis behalten werden muss.
Jede Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf dem Zahlenkreis. Aber jeder Punkt auf dem Zahlenkreis entspricht einer unendlichen Anzahl von Zahlen.
Teilen wir nun den oberen Halbkreis des Zahlenkreises in Bögen Gleiche Länge Punkt C. Es ist leicht zu erkennen, dass die Bogenlänge O.C. gleich . Lassen Sie uns nun von diesem Punkt absehen C ein Bogen gleicher Länge gegen den Uhrzeigersinn. Als Ergebnis kommen wir zur Sache B. Das Ergebnis ist durchaus zu erwarten, da . Lassen Sie uns diesen Bogen noch einmal in die gleiche Richtung legen, aber jetzt vom Punkt aus B. Als Ergebnis kommen wir zur Sache D, was bereits der Nummer entsprechen wird:
Beachten Sie noch einmal, dass dieser Punkt nicht nur der Zahl entspricht, sondern beispielsweise auch der Zahl, da dieser Punkt erreicht werden kann, indem man sich vom Punkt entfernt Ö Viertelkreis im Uhrzeigersinn (negative Richtung).
Und im Allgemeinen stellen wir noch einmal fest, dass dieser Punkt unendlich vielen Zahlen entspricht, die in der Form geschrieben werden können 
. Sie können aber auch in der Form geschrieben werden. Oder, wenn Sie möchten, in Form von . Alle diese Datensätze sind absolut gleichwertig und können voneinander bezogen werden.
Teilen wir nun den Bogen in O.C. halber Punkt M. Finden Sie nun heraus, wie lang der Bogen ist OM? Genau, der halbe Bogen O.C.. Also . Welchen Zahlen entspricht der Punkt? M auf dem Zahlenkreis? Ich bin sicher, dass Sie jetzt erkennen werden, dass diese Zahlen als geschrieben werden können.
Aber es geht auch anders. Lass uns nehmen . Dann verstehen wir das 
. Das heißt, diese Zahlen können in der Form geschrieben werden 
. Das gleiche Ergebnis könnte mit dem Zahlenkreis erzielt werden. Wie ich bereits sagte, sind beide Datensätze gleichwertig und können voneinander bezogen werden.
Jetzt können Sie ganz einfach ein Beispiel für die Zahlen nennen, denen die Punkte entsprechen N, P Und K auf dem Zahlenkreis. Zum Beispiel die Zahlen , und :
Oft sind es die minimalen positiven Zahlen, mit denen die entsprechenden Punkte auf dem Zahlenkreis bezeichnet werden. Obwohl dies überhaupt nicht notwendig ist, Punkt N, wie Sie bereits wissen, entspricht einer unendlichen Anzahl anderer Zahlen. Darunter zum Beispiel die Nummer.
Wenn Sie den Lichtbogen unterbrechen O.C. in drei gleiche Bögen mit Punkten S Und L, das ist also der Punkt S wird zwischen den Punkten liegen Ö Und L, dann die Bogenlänge Betriebssystem wird gleich sein, und die Bogenlänge OL wird gleich sein. Mit den Erkenntnissen aus dem vorherigen Teil der Lektion können Sie ganz einfach herausfinden, wie sich die restlichen Punkte auf dem Zahlenkreis entwickelt haben:
Zahlen, die keine Vielfachen von π auf dem Zahlenkreis sind
Stellen wir uns nun die Frage: Wo auf der Zahlengeraden sollen wir den Punkt markieren, der der Zahl 1 entspricht? Dazu müssen Sie am „rechtesten“ Punkt des Einheitskreises beginnen Ö Zeichnen Sie einen Bogen, dessen Länge gleich 1 wäre. Wir können die Position des gewünschten Punktes nur ungefähr angeben. Gehen wir wie folgt vor.
In diesem Artikel werden wir die Definition des Zahlenkreises ausführlich analysieren, seine Haupteigenschaft herausfinden und die Zahlen 1,2,3 usw. anordnen. Informationen zum Markieren anderer Zahlen auf dem Kreis (zum Beispiel \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) versteht .
Zahlenkreis wird ein Kreis mit Einheitsradius genannt, dessen Punkte übereinstimmen , geordnet nach folgenden Regeln:
1) Der Ursprung liegt am äußersten rechten Punkt des Kreises;
2) Gegen den Uhrzeigersinn – positive Richtung; im Uhrzeigersinn – negativ;
3) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in positiver Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(t\);
4) Tragen wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in negativer Richtung ein, dann gelangen wir zu einem Punkt mit dem Wert \(–t\).
Warum heißt der Kreis Zahlenkreis?
Weil darauf Zahlen stehen. Auf diese Weise ähnelt der Kreis der Zahlenachse – auf dem Kreis gibt es wie auf der Achse für jede Zahl einen bestimmten Punkt.
Warum wissen, was ein Zahlenkreis ist?
Mithilfe des Zahlenkreises werden die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ermittelt. Daher ist es wichtig, Trigonometrie zu kennen und Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens Für mehr als 60 Punkte müssen Sie verstehen, was ein Zahlenkreis ist und wie man Punkte darauf platziert.
Was bedeuten die Worte „...mit Einheitsradius...“ in der Definition?
Das bedeutet, dass der Radius dieses Kreises gleich \(1\) ist. Und wenn wir einen solchen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung konstruieren, dann schneidet er die Achsen in den Punkten \(1\) und \(-1\).
Es muss nicht unbedingt klein gezeichnet werden; man kann die „Größe“ der Unterteilungen entlang der Achsen verändern, dann wird das Bild größer (siehe unten).
Warum ist der Radius genau eins? Dies ist praktischer, da wir in diesem Fall bei der Berechnung des Umfangs mit der Formel \(l=2πR\) Folgendes erhalten:
Die Länge des Zahlenkreises beträgt \(2π\) oder ungefähr \(6,28\).
Was bedeutet „...deren Punkte reellen Zahlen entsprechen“?
Wie wir oben sagten, wird es auf dem Zahlenkreis für jede reelle Zahl definitiv ihren „Platz“ geben – einen Punkt, der dieser Zahl entspricht.
Warum den Ursprung und die Richtung auf dem Zahlenkreis bestimmen?
Der Hauptzweck des Zahlenkreises besteht darin, seinen Punkt für jede Zahl eindeutig zu bestimmen. Aber wie können Sie bestimmen, wo Sie den Punkt setzen sollen, wenn Sie nicht wissen, von wo aus Sie zählen und wohin Sie sich bewegen sollen?
Hier ist es wichtig, den Ursprung auf der Koordinatenlinie und auf dem Zahlenkreis nicht zu verwechseln – das sind zwei verschiedene Bezugssysteme! Und verwechseln Sie auch nicht \(1\) auf der \(x\)-Achse und \(0\) auf dem Kreis – das sind Punkte auf verschiedenen Objekten.
Welche Punkte entsprechen den Zahlen \(1\), \(2\) usw.?
Erinnern Sie sich, wir haben angenommen, dass der Zahlenkreis einen Radius von \(1\) hat? Dies wird unser Einheitssegment sein (in Analogie zur Zahlenachse), das wir auf dem Kreis eintragen.
Um einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu markieren, der der Zahl 1 entspricht, müssen Sie von 0 bis zu einem Abstand gehen, der dem Radius in positiver Richtung entspricht.
Um einen Punkt auf dem Kreis zu markieren, der der Zahl \(2\) entspricht, müssen Sie eine Distanz zurücklegen, die zwei Radien vom Ursprung entspricht, sodass \(3\) eine Distanz gleich drei Radien usw. ist.
Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, haben Sie möglicherweise zwei Fragen:
1. Was passiert, wenn der Kreis „endet“ (d. h. wir eine vollständige Revolution machen)?
Antwort: Auf geht's in die zweite Runde! Und wenn der zweite vorbei ist, gehen wir zum dritten über und so weiter. Daher können unendlich viele Zahlen auf einem Kreis aufgetragen werden.
2. Wo werden sie sein? negative Zahlen?
Antwort: genau da! Sie können auch so angeordnet werden, dass die erforderliche Anzahl an Radien von Null an gezählt wird, jedoch jetzt in negativer Richtung.
Leider ist es schwierig, ganze Zahlen auf dem Zahlenkreis zu bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Länge des Zahlenkreises nicht gleich einer ganzen Zahl ist: \(2π\). Und an den bequemsten Stellen (an den Schnittpunkten mit den Achsen) gibt es auch Brüche, keine ganzen Zahlen
Kapitel 23) Nummer
Lassen Sie uns einen Punkt in der Korrespondenz setzen.
Nennen wir den Einheitskreis mit etablierter Korrespondenz
Zahlenkreis.
Dies ist das zweite geometrische Modell für die Menge der Realen
Zahlen. Die Studierenden kennen bereits das erste Modell – den Zahlenstrahl. Essen
Analogie: für den Zahlenstrahl gilt die Korrespondenzregel (von Zahl zu Punkt)
fast buchstäblich das Gleiche. Aber es gibt einen grundlegenden Unterschied – die Quelle
Hauptschwierigkeiten bei der Arbeit mit dem Zahlenkreis: jeweils auf einer Geraden
Punkt entspricht der Einzige Zahl, auf dem Kreis ist dies nicht der Fall. Wenn
Entspricht ein Kreis einer Zahl, dann entspricht er allen
Zahlen des Formulars
Wobei ist die Länge des Einheitskreises und eine ganze Zahl
Reis. 1
eine Zahl, die die Anzahl der vollständigen Runden eines Kreises in der einen oder anderen Form angibt
Seite.
Dieser Moment ist für Studierende schwierig. Sie sollten angeboten werden
den Kern der Sache und die eigentliche Aufgabe verstehen:
Die Stadionlaufbahn ist 400 m lang, der Läufer ist 100 m entfernt
vom Ausgangspunkt aus. Wie weit ist er gegangen? Wenn er gerade angefangen hätte zu rennen, dann
lief 100 m; wenn du es geschafft hast, eine Runde zu laufen, dann - (
Zwei Kreise – () ; wenn du es geschafft hast zu rennen
Kreise, dann ist der Pfad (
). Jetzt können Sie vergleichen
das mit dem Ausdruck erhaltene Ergebnis
Beispiel 1. Welchen Zahlen entspricht der Punkt?
Zahlenkreis
Lösung. Da die Länge des gesamten Kreises
Das ist die Länge seines Viertels
Und deshalb - zu allen Zahlen der Form
Ebenso wird festgestellt, welchen Zahlen die Punkte entsprechen
heißen jeweils erste, zweite und dritte
vierte Viertel des Zahlenkreises.
Die gesamte Schultrigonometrie basiert auf dem numerischen Modell
Kreise. Die Erfahrung zeigt, dass es auch bei diesem Modell Mängel gibt
die übereilte Einführung trigonometrischer Funktionen erlaubt kein Schaffen
eine verlässliche Grundlage für ein erfolgreiches Erlernen des Stoffes. Daher nicht
Sie müssen sich beeilen und sich etwas Zeit nehmen, um über Folgendes nachzudenken
Fünf verschiedene Arten von Zahlenkreisproblemen.
Die erste Art von Aufgaben. Punkte auf dem Zahlenkreis finden,
entsprechend gegebenen Zahlen, ausgedrückt in Bruchteilen einer Zahl
Beispiel 2.
Zahlen
Lösung. Teilen wir den Bogen
halbieren mit einem Punkt in drei gleiche Teile -
Punkte
(Abb. 2). Dann
Also die Zahl
Gleicher Punkt
Nummer
Beispiel
3.
An
numerisch
Kreis
Punkte,
entsprechende Nummern:
Lösung. Wir werden Bauarbeiten durchführen
a) Den Bogen beiseite legen
(seine Länge
) Fünf Mal
vom Punkt
in negativer Richtung,
wir bekommen einen Punkt
b) Den Lichtbogen beiseite legen
(seine Länge
) sieben Mal von
in positiver Richtung erhalten wir einen Trennpunkt
dritter Teil des Bogens
Es wird der Nummer entsprechen
c) Den Bogen beiseite legen
(seine Länge
) fünfmal ab dem Punkt
In einer positiven Art und Weise
Richtung, wir bekommen einen Punkt
Den dritten Teil des Bogens abtrennen. Sie und
wird der Nummer entsprechen
(Die Erfahrung zeigt, dass es besser ist, nicht aufzuschieben
fünf Mal
Und das 10 Mal
Nach diesem Beispiel ist es angebracht, zwei grundlegende numerische Layouts anzugeben
Kreise: Auf dem ersten von ihnen (Abb. 3) sind alle Viertel in zwei Hälften geteilt
der zweite (Abb. 4) - in drei gleiche Teile. Diese Layouts sind nützlich für Ihr Büro
Mathematik.
Reis. 2
Reis. 3 Reis. 4
Sie sollten unbedingt mit den Studierenden die Frage besprechen: Was passiert, wenn
Jedes der Layouts bewegt sich nicht im Positiven, sondern im Negativen
Richtung? Auf der ersten Anlage müssen die ausgewählten Punkte zugewiesen werden
andere „Namen“: bzw
usw.; zum zweiten Layout:
Zweite Art von Aufgaben. Punkte auf dem Zahlenkreis finden,
entsprechend gegebenen Zahlen, die nicht in Bruchteilen einer Zahl ausgedrückt werden
Beispiel 4. Finden Sie die entsprechenden Punkte auf dem Zahlenkreis
Zahlen 1; 2; 3; -5.
Lösung.
Hier müssen wir uns darauf verlassen
Deshalb Punkt 1
auf einem Bogen gelegen
näher am Punkt
Die Punkte 2 und 3 liegen auf dem Bogen, der erste ist
Der zweite liegt näher an (Abb. 5).
Gehen wir etwas detaillierter darauf ein
beim Finden des Punktes, der der Zahl entspricht – 5.
Sie müssen sich von einem Punkt aus bewegen
in negativer Richtung, d.h. im Uhrzeigersinn
Reis. 5
Pfeil. Wenn man in diese Richtung geht, kommt man zur Sache
Wir bekommen
Dies bedeutet, dass der Punkt lokalisiert wird, der der Zahl – 5 entspricht
etwas rechts vom Punkt
(siehe Abb. 5).
Dritte Art von Aufgaben. Erstellung analytischer Aufzeichnungen (doppelt)
Ungleichungen) für Bögen des Zahlenkreises.
Tatsächlich handeln wir danach
derselbe Plan, der in 5-8 verwendet wurde
Klassen zum Erlernen des Zahlenstrahls:
Finden Sie zuerst einen Punkt anhand der Zahl, dann anhand
Punkt – eine Zahl, dann werden Doppelte verwendet
Ungleichungen zum Schreiben von Intervallen
Zahlenstrahl.
Betrachten Sie zum Beispiel eine offene
Wo ist die Mitte des ersten
Viertel des Zahlenkreises und
- es ist die Mitte
zweites Viertel (Abb. 6).
Ungleichungen, die den Bogen charakterisieren, d.h. repräsentieren
Es wird vorgeschlagen, ein analytisches Modell des Lichtbogens in zwei Schritten zu erstellen. Am ersten
Bühne bilden den Kern analytische Aufzeichnung(Das ist die Hauptsache, der man folgen sollte
Schulkinder unterrichten); für einen gegebenen Bogen
Auf dem zweiten
Bühne, machen Sie eine allgemeine Aufzeichnung:
Wenn wir über einen Bogen sprechen
Wenn Sie dann den Kernel schreiben, müssen Sie dies berücksichtigen
() liegt innerhalb des Bogens und muss daher an den Anfang des Bogens verschoben werden
in eine negative Richtung. Dies bedeutet, dass der Kern der analytischen Notation der Bogen ist
sieht aus wie
Reis. 6
Die Begriffe „Kern der analytischen
arc Records“, „analytischer Datensatz
Bögen" werden nicht allgemein akzeptiert,
Überlegungen.
Vierte
Aufgaben.
Suchen
Kartesisch
Koordinaten
Anzahl Kreispunkte, Mittelpunkt
was mit dem Beginn des Systems verbunden ist
Koordinaten
Schauen wir uns zunächst einen eher subtilen Punkt an
werden in aktuellen Schulbüchern praktisch nicht erwähnt.
Beginn des Studiums des Modells „Zahlenkreis auf einer Koordinate“.
Flugzeug", müssen sich die Lehrer der bevorstehenden Schwierigkeiten klar bewusst sein
Studenten hier. Diese Schwierigkeiten sind auf die Tatsache zurückzuführen, dass dies beim Studium der Fall ist
Modell wird von Schülern ein recht hohes Niveau verlangt
mathematische Kultur, weil sie gleichzeitig arbeiten müssen
zwei Koordinatensysteme - in einem „krummlinigen“, wenn Informationen über
Die Position des Punktes wird entlang des Kreises genommen (Zahl
entspricht
Kreispunkt
(); – „krummlinige Koordinate“ eines Punktes) und in
Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem (am Punkt
Wie jeder Punkt
In der Koordinatenebene gibt es eine Abszisse und eine Ordinate. Die Aufgabe des Lehrers besteht darin, zu helfen
Schulkinder bei der Überwindung dieser natürlichen Schwierigkeiten. Leider,
Schulbücher berücksichtigen dies in der Regel nicht und das von Anfang an
In den ersten Unterrichtsstunden werden Aufnahmen verwendet
Ohne zu bedenken, dass der Brief in
im Kopf des Schülers ist eindeutig mit der Abszisse im Kartesischen verbunden
rechtwinkliges Koordinatensystem und nicht mit der zurückgelegten Strecke gemäß der numerischen
Pfadumfang. Daher sollten Sie beim Arbeiten mit dem Zahlenkreis darauf verzichten
Verwenden Sie Symbole
Reis. 7
Kehren wir zum vierten Aufgabentyp zurück. Es geht umüber den Übergang von der Aufnahme
Aufzeichnungen
(), d.h. von krummlinigen Koordinaten zu kartesischen Koordinaten.
Kombinieren wir den Zahlenkreis mit dem kartesischen Rechtecksystem
Koordinaten wie in Abb. 7. Dann Punkte
werde haben
die folgenden Koordinaten:
() () () (). Sehr wichtig
Bringen Sie Schulkindern bei, die Koordinaten all dieser Punkte zu bestimmen
auf zwei Hauptlayouts markiert (siehe Abb. 3,4). Für einen Punkt
Es kommt alles darauf an
Betrachtung einer gleichschenkligen rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse
Seine Beine sind gleich
Also die Koordinaten
). Ähnlich verhält es sich mit Punkten
Der einzige Unterschied besteht jedoch darin, dass Sie dies berücksichtigen müssen
Abszissen- und Ordinatenzeichen. Speziell:
Was sollten Studierende beachten? Nur dass die Module Abszisse und sind
die Ordinaten in den Mittelpunkten aller Viertel sind gleich
Und sie sollten unterschreiben können
für jeden Punkt direkt aus der Zeichnung ermitteln.
Für einen Punkt
Es kommt darauf an, ein rechteckiges Modell in Betracht zu ziehen
Dreieck mit Hypotenuse 1 und Winkel
(Abb.9). Dann das Bein
entgegengesetzter Winkel
Wird gleich sein
benachbart
√
Bedeutet,
Punktkoordinaten
Ähnlich verhält es sich mit dem Punkt
nur die Beine „wechseln“ den Platz und daher
Reis. 8
Reis. 9
wir bekommen
). Es sind die Werte
(getreu den Zeichen) und wird sein
„Bedienen“ Sie alle Punkte des zweiten Layouts (siehe Abb. 4), mit Ausnahme der Punkte
als Abszissen und Ordinaten. Empfohlene Möglichkeit zum Auswendiglernen: „Wo kurz gesagt,
; wo es länger ist, dort
Beispiel 5. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes
(siehe Abb. 4).
Lösung. Punkt
Liegt näher an der vertikalen Achse als an
horizontal, d.h. der Modul seiner Abszisse ist kleiner als der Modul seiner Ordinate.
Das bedeutet, dass das Abszissenmodul gleich ist
Das Ordinatenmodul ist gleich
Schilder in beiden
Fälle sind negativ (drittes Quartal). Fazit: Punkt
Hat Koordinaten
In der vierten Art von Problemen suchen wir Kartesischen Koordinaten alle
Punkte, die im ersten und zweiten Layout dargestellt sind
Tatsächlich bereiten wir die Schüler im Rahmen dieser Art von Aufgaben auf diese Art von Aufgaben vor
Berechnung von Werten trigonometrische Funktionen. Wenn alles da ist
zuverlässig genug erarbeitet, dann der Übergang zu einer neuen Abstraktionsebene
(Ordinate – Sinus, Abszisse – Kosinus) wird weniger schmerzhaft sein als
Der vierte Typ umfasst Aufgaben dieser Art: für einen Punkt
Finden Sie die Zeichen der kartesischen Koordinaten
Die Lösung sollte den Schülern keine Schwierigkeiten bereiten: Nummer
entspricht einem Punkt
Das vierte Quartal also.
Fünfte Art von Aufgaben. Punkte auf dem Zahlenkreis finden durch
gegebene Koordinaten.
Beispiel 6. Finden Sie Ordinatenpunkte auf dem Zahlenkreis
Schreiben Sie auf, welchen Zahlen sie entsprechen.
Lösung. Gerade
Schneidet den Zahlenkreis in Punkten
(Abb. 11). Mithilfe des zweiten Layouts (siehe Abb. 4) ermitteln wir diesen Punkt
entspricht der Nummer
Also sie
stimmt mit allen Zahlen des Formulars überein
entspricht der Nummer
Und das bedeutet
alle Zahlen der Form
Antwort:
Beispiel 7. Finden Sie auf numerisch
Kreispunkt mit Abszisse
Schreiben Sie auf, welchen Zahlen sie entsprechen.
Lösung.
Gerade
√
schneidet den Zahlenkreis in Punkten
– die Mitten des zweiten und dritten Viertels (Abb. 10). Mit dem ersten
Das Layout hat diesen Punkt festgelegt
entspricht der Nummer
Was bedeutet, jeder
Zahlen des Formulars
entspricht der Nummer
Was bedeutet, jeder
Zahlen des Formulars
Antwort:
Es ist notwendig, die zweite Option anzuzeigen
Antwortnotizen zum Beispiel 7. Immerhin Punkt
entspricht der Nummer
Diese. alle Zahlen der Form
wir bekommen:
Reis. 10
Abb.11
Lassen Sie uns die unbestreitbare Bedeutung betonen
fünfte Art von Aufgaben. Tatsächlich unterrichten wir
Schulkinder
Entscheidung
Protozoen
trigonometrische Gleichungen: in Beispiel 6
es geht um die Gleichung
Und im Beispiel
– über die Gleichung
Es ist wichtig, das Verständnis für das Wesentliche der Sache zu vermitteln
Schulkinder lösen Typengleichungen
entlang des Zahlenkreises,
Nehmen Sie sich Zeit, um mit den Formeln fortzufahren
Die Erfahrung zeigt, dass, wenn die erste Stufe (Arbeit an
(Zahlenkreis) nicht zuverlässig genug ermittelt wurde, dann die zweite Stufe
(Formelarbeit) wird von Schulkindern formal wahrgenommen, was,
Natürlich müssen wir es überwinden.
Ähnlich wie bei den Beispielen 6 und 7 sollte man auf dem Zahlenkreis fündig werden
Punkte mit allen „Haupt“-Ordinaten und Abszissen
Als besondere Themen sind folgende hervorzuheben:
Anmerkung 1. Propädeutisch gesehen: vorbereitend
Arbeit zum Thema „Kreislänge“ im Geometriekurs der 9. Klasse. Wichtig
Beratung: Das Übungssystem sollte Aufgaben wie die vorgeschlagene umfassen
unten. Der Einheitskreis wird durch Punkte in vier gleiche Teile geteilt
Ein Bogen wird durch einen Punkt halbiert, und ein Bogen wird durch Punkte halbiert
in drei gleiche Teile (Abb. 12). Wie lang sind die Bögen?
(Es wird angenommen, dass der Kreis positiv durchlaufen wird
Richtung)?
Reis. 12
Zur fünften Aufgabenart gehört auch die Arbeit mit Bedingungen wie
bedeutet
Zu
Entscheidung
Protozoen
Wir „wählen“ auch trigonometrische Ungleichungen schrittweise aus.
Fünf Lektionen und erst in der sechsten Lektion sollten die Definitionen von Sinus und
Kosinus als Koordinaten eines Punktes auf einem Zahlenkreis. Dabei
Es ist ratsam, alle Arten von Problemen noch einmal mit Schulkindern zu lösen, aber mit
unter Verwendung der eingeführten Notationen und schlägt vor, diese auszuführen
zum Beispiel Aufgaben: berechnen
Löse die Gleichung
Ungleichheit
usw. Das betonen wir in den ersten Lektionen
Trigonometrie am einfachsten trigonometrische Gleichungen und Ungleichheiten
sind nicht Zweck Ausbildung, werden aber als verwendet Einrichtungen Für
Beherrschung der Hauptsache – der Definitionen von Sinus und Cosinus als Punktkoordinaten
Zahlenkreis.
Lass die Nummer
entspricht einem Punkt
Zahlenkreis. Dann ist es die Abszisse
angerufen Kosinus der Zahl
und ist bezeichnet
Und seine Ordinate heißt Sinus der Zahl
und ist bezeichnet. (Abb. 13).
Aus dieser Definition können wir sofort
Stellen Sie die Vorzeichen von Sinus und Cosinus ein
Viertel: für Sinus
Für Kosinus
Widmen Sie diesem Thema eine ganze Lektion (so).
akzeptiert) ist kaum ratsam. TU es nicht
zwingen Sie Schulkinder, sich diese Zeichen zu merken: alles mechanisch
Auswendiglernen, Auswendiglernen ist eine gewalttätige Technik, die Schüler,
Wir präsentieren Ihnen eine Videolektion zum Thema „Zahlenkreis“. Es wird eine Definition gegeben, was Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens und Funktionen sind j= Sünde X, j= cos X, j= tg X, j= ctg X für jedes numerische Argument. Wir betrachten Standardprobleme der Korrespondenz zwischen Zahlen und Punkten im Einheitszahlenkreis, um für jede Zahl einen einzelnen Punkt zu finden und umgekehrt für jeden Punkt eine Menge von Zahlen, die ihr entsprechen.
Thema: Elemente der Theorie trigonometrischer Funktionen
Lektion: Zahlenkreis
Unser unmittelbares Ziel ist es, trigonometrische Funktionen zu definieren: Sinus, Kosinus, Tangente, Kotangens-
Numerisches Argument kann auf einer Koordinatenlinie oder auf einem Kreis aufgetragen werden.
Einen solchen Kreis nennt man Zahlen- oder Einheitskreis, weil Machen Sie der Einfachheit halber einen Kreis mit
Markieren Sie beispielsweise einen gegebenen Punkt auf der Koordinatenlinie
und weiter Zahlenkreis.
Bei der Arbeit mit dem Zahlenkreis wurde vereinbart, dass eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn eine positive Richtung ist, eine Bewegung im Uhrzeigersinn eine negative Richtung.
Typische Aufgaben: Sie müssen die Koordinaten bestimmen angegebenen Punkt oder umgekehrt einen Punkt anhand seiner Koordinaten finden.
Die Koordinatenlinie stellt eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Punkten und Zahlen her. Beispielsweise entspricht eine Zahl dem Punkt A mit Koordinate
Jeder Punkt B mit einer Koordinate wird durch nur eine Zahl charakterisiert – den Abstand von 0 bis mit einem Plus- oder Minuszeichen.
Auf dem Zahlenkreis funktioniert die Eins-zu-eins-Entsprechung nur in eine Richtung.
Da liegt zum Beispiel Punkt B auf Koordinatenkreis(Abb. 2), die Bogenlänge beträgt 1, d.h. dieser Punkt entspricht 1.
Bei einem gegebenen Kreis ist die Länge des Kreises Wenn dann die Länge des Einheitskreises.
Wenn wir addieren, erhalten wir den gleichen Punkt B, dann kommen wir auch zu Punkt B, subtrahieren – ebenfalls Punkt B.
Betrachten Sie Punkt B: Bogenlänge = 1, dann charakterisieren die Zahlen den Punkt B auf dem Zahlenkreis.
Somit entspricht die Zahl 1 einem einzelnen Punkt auf dem Zahlenkreis – Punkt B, und Punkt B entspricht einer unendlichen Anzahl von Punkten der Form 
.
Für den Zahlenkreis gilt:
Wenn T. M Wenn der Zahlenkreis einer Zahl entspricht, dann entspricht er auch einer Zahl der Form
Sie können den Zahlenkreis so oft umrunden, wie Sie möchten, in positiver oder negativer Richtung – der Sinn bleibt derselbe. Daher haben trigonometrische Gleichungen unendlich viele Lösungen.
Zum Beispiel gegebener Punkt D. Welchen Zahlen entspricht er?
Wir messen den Bogen.
die Menge aller Zahlen, die Punkt D entsprechen.
Schauen wir uns die Hauptpunkte des Zahlenkreises an.
Länge des gesamten Umfangs.
Diese. Die Aufzeichnung mehrerer Koordinaten kann unterschiedlich sein .
Lassen Sie uns überlegen typische Aufgaben auf dem Zahlenkreis.
1. Gegeben: . Finden Sie: einen Punkt auf dem Zahlenkreis.
Wählen wir den gesamten Teil aus:
Es ist notwendig, den Punkt auf dem Zahlenkreis zu finden. 
, Dann 
.
In diesem Set ist auch der Punkt enthalten.
2. Gegeben: . Finden Sie: einen Punkt auf dem Zahlenkreis.
Es ist notwendig, t zu finden.
t.gehört ebenfalls zu diesem Set.
Durch die Lösung von Standardproblemen der Korrespondenz zwischen Zahlen und Punkten auf dem Zahlenkreis haben wir herausgefunden, dass wir für jede Zahl einen einzelnen Punkt und für jeden Punkt eine Menge von Zahlen finden können, die durch einen bestimmten Punkt gekennzeichnet sind.
Teilen Sie den Bogen in drei gleiche Teile und markieren Sie die Punkte M und N.
Finden wir alle Koordinaten dieser Punkte.
 |
Unser Ziel ist es also, trigonometrische Funktionen zu definieren. Dazu müssen wir lernen, wie man ein Funktionsargument angibt. Wir haben uns die Punkte des Einheitskreises angesehen und zwei typische Probleme gelöst: einen Punkt auf dem Zahlenkreis finden und alle Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis aufschreiben.
1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.
2. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.
3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: Bildung für allgemeinbildende Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.
6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.
Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
