يمكن تحديدها بطرق مختلفة (نقطة واحدة ومتجه، نقطتان ومتجه، ثلاث نقاط، وما إلى ذلك). مع أخذ هذا في الاعتبار، يمكن أن يكون للمعادلة المستوية أشكال مختلفة. أيضًا، وفقًا لشروط معينة، يمكن أن تكون المستويات متوازية، أو متعامدة، أو متقاطعة، وما إلى ذلك. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. وسوف نتعلم كيفية إنشاء معادلة عامة للمستوى والمزيد.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 تحتوي على نظام إحداثيات XYZ مستطيل. دعونا نحدد المتجه α، الذي سيتم إطلاقه من النقطة الأولية O. ومن خلال نهاية المتجه α، نرسم مستوى P، والذي سيكون متعامدًا عليه.

دعونا نشير إلى نقطة اعتباطية على P كـ Q = (x، y، z). لنوقع على متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. في هذه الحالة، طول المتجه α يساوي χ=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

هذا هو متجه الوحدة الموجه إلى الجانب، مثل المتجه α. α و β و γ هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إسقاط أي نقطة QϵП على المتجه Ʋ هو قيمة ثابتة، وهو ما يساوي p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

المعادلة أعلاه منطقية عندما تكون p=0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سوف يتقاطع مع النقطة O (α=0) التي هي أصل الإحداثيات، ومتجه الوحدة Ʋ المنطلق من النقطة O سيكون عموديًا على P، على الرغم من اتجاهه، والذي يعني أن المتجه Ʋ يتم تحديده بدقة للإشارة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوي P، معبرًا عنها بالشكل المتجه. لكن في الإحداثيات سيبدو هكذا:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد وجدنا معادلة المستوى في الفضاء في الصورة العادية.

المعادلة العامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي الصفر، فسنحصل على معادلة مكافئة لهذه المعادلة، تحدد هذا المستوى بالذات. سوف يبدو مثل هذا:

هنا A، B، C هي أرقام تختلف عن الصفر في نفس الوقت. وتسمى هذه المعادلة معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرات. حالات خاصة

المعادلة في منظر عاميمكن تعديلها إذا كانت متوفرة شروط إضافية. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

لنفترض أن المعامل A هو 0. وهذا يعني أن هذا المستوى موازي لمحور الثور المحدد. في هذه الحالة سيتغير شكل المعادلة: Ву+Cz+D=0.

وبالمثل، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الظروف التالية:

• أولاً، إذا كانت B = 0، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا، إذا كانت C=0، فسيتم تحويل المعادلة إلى Ax+By+D=0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oz المحدد.
• ثالثًا، إذا كانت D=0، فستبدو المعادلة Ax+By+Cz=0، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (نقطة الأصل).
• رابعاً، إذا كانت A=B=0، فستتغير المعادلة إلى Cz+D=0، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامساً، إذا كانت B=C=0، تصبح المعادلة Ax+D=0، مما يعني أن المستوى إلى Oyz موازي.
• سادسا، إذا كانت A=C=0، فستأخذ المعادلة الشكل Ву+D=0، أي أنها ستبلغ عن التوازي إلى Oxz.

نوع المعادلة في القطاعات

في حالة اختلاف الأرقام A، B، C، D عن الصفر، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) على النحو التالي:

س/أ + ص/ب + ض/ج = 1،

حيث أ = -D/A، ب = -D/B، ج = -D/C.

نحصل على النتيجة، تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سيتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (a,0,0)، Oy - (0,b,0)، وOz - (0,0,c) ).

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x/a + y/b + z/c = 1، ليس من الصعب تخيل موضع المستوى بصريًا بالنسبة لنظام إحداثي معين.

إحداثيات المتجهات العادية

المتجه الطبيعي n للمستوى P له إحداثيات هي معاملات المعادلة العامةلمستوى معين، أي n (A، B، C).

من أجل تحديد إحداثيات المستوى n الطبيعي، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام معادلة مقطعية، والتي لها الشكل x/a + y/b + z/c = 1، وكذلك عند استخدام معادلة عامة، يمكنك كتابة إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1 /أ + 1/ب + 1/ مع).

ومن الجدير بالذكر أن المتجه العادي يساعد في حل مجموعة متنوعة من المشاكل. تشمل المشاكل الأكثر شيوعًا المشكلات التي تتضمن إثبات التعامد أو التوازي للمستويات، ومشاكل إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط المستقيمة.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات النقطة والمتجه العادي

يسمى المتجه غير الصفري n المتعامد على مستوى معين بالطبيعي لمستوى معين.

لنفترض أنه في الفضاء الإحداثي (نظام الإحداثيات المستطيل) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ);
• ناقل صفر n=A*i+B*j+C*k.

من الضروري إنشاء معادلة للمستوى الذي سيمر عبر النقطة Mₒ المتعامدة مع الوضع الطبيعي n.

نختار أي نقطة عشوائية في الفضاء ونشير إليها M (x y، z). دع متجه نصف القطر لأي نقطة M (x,y,z) يكون r=x*i+y*j+z*k، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ط+صₒ *ي+ضₒ*ك. ستنتمي النقطة M إلى مستوى معين إذا كان المتجه MₒM متعامدًا مع المتجه n. دعونا نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج العددي:

[MₒM، n] = 0.

بما أن MₒM = r-rₒ، فإن المعادلة المتجهة للمستوى ستبدو كما يلي:

هذه المعادلة يمكن أن يكون لها شكل آخر. للقيام بذلك، يتم استخدام خصائص المنتج العددي، ويتم تحويل الجانب الأيسر من المعادلة. = - . إذا أشرنا إليها بـ c، نحصل على المعادلة التالية: - c = 0 أو = c، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر لنقاط معينة تنتمي إلى المستوى.

يمكننا الآن الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة المعادلة المتجهة للمستوى = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، وn = A*i+B *j+С*k، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودية على n العادي:

أ*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات نقطتين ومتجه على خط مستقيم مع المستوي

دعونا نحدد نقطتين عشوائيتين M′ (x′,y′,z′) وM″ (x″,y″,z″)، بالإضافة إلى المتجه a (a′,a″,a‴).

الآن يمكننا إنشاء معادلة لمستوى معين سيمر عبر النقطتين الموجودتين M′ وM″، بالإضافة إلى أي نقطة M ذات إحداثيات (x، y، z) موازية للمتجه المحدد a.

في هذه الحالة، يجب أن يكون المتجهان M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) وM″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) مستويين مع المتجه a=(a′,a″,a‴)، مما يعني أن (M′M, M″M, a)=0.

إذن، ستكون معادلة المستوى في الفضاء كما يلي:

نوع معادلة المستوى الذي يتقاطع مع ثلاث نقاط

لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) والتي لا تنتمي إلى نفس الخط. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط. وتزعم نظرية الهندسة أن هذا النوع من المستويات موجود بالفعل، لكنه الوحيد والفريد من نوعه. وبما أن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x′,y′,z′) فإن شكل معادلته سيكون كما يلي:

هنا A، B، C تختلف عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين إضافيتين: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). وفي هذا الصدد يجب استيفاء الشروط التالية:

الآن يمكننا إنشاء نظام متجانس مع المجهول u، v، w:

في لدينا الحالة س، ذأو z بمثابة نقطة اعتباطية ترضي المعادلة (1). بالنظر إلى المعادلة (1) ونظام المعادلات (2) و (3)، فإن نظام المعادلات المشار إليه في الشكل أعلاه يتم استيفاءه بواسطة المتجه N (A,B,C)، وهو غير تافه. ولهذا فإن محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

المعادلة (1) التي حصلنا عليها هي معادلة المستوى. فهو يمر عبر 3 نقاط بالضبط، وهذا أمر سهل التحقق. للقيام بذلك، علينا فك المحدد ليشمل العناصر الموجودة في الصف الأول. من الخصائص الحالية للمحدد، يترتب على ذلك أن مستوانا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط محددة في البداية (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . أي أننا قمنا بحل المهمة الموكلة إلينا.

زاوية ثنائي السطوح بين الطائرات

تمثل الزاوية ثنائية السطوح مكانًا مكانيًا الشكل الهندسييتكون من نصفين طائرين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بمعنى آخر، هذا هو الجزء من الفضاء المحدود بهذه المستويات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتين مع المعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهين N=(A,B,C) وN¹=(A¹,B¹,C¹) متعامدان وفقًا للمستويات المعطاة. في هذا الصدد، الزاوية φ بين المتجهين N وN¹ تساوي الزاوية (ثنائي السطوح) التي تقع بين هذه المستويات. المنتج العدديلديه النموذج:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

على وجه التحديد بسبب

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

يكفي أن نأخذ في الاعتبار أن 0 φ π.

في الواقع، المستويان المتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائية السطوح): φ 1 و φ 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). أما جيب التمام بينهما فإن قيمهما المطلقة متساوية، لكنهما تختلفان في الإشارة، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A وB وC بالأرقام -A و-B و-C، على التوالي، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى، الوحيد، الزاوية φ في معادلة كوسφ=NN 1 /|N||N 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى المتعامد

تسمى المستويات التي تكون الزاوية بينها 90 درجة متعامدة. باستخدام المواد المذكورة أعلاه، يمكننا إيجاد معادلة مستوى عمودي على آخر. لنفترض أن لدينا مستويين: Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D=0. يمكننا القول أنهما سيكونان متعامدين إذا كان cosφ=0. وهذا يعني أن NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

معادلة الطائرة الموازية

تسمى المستويتان اللتان لا تحتويان على نقاط مشتركة بالتوازي.

الشرط (معادلاتها هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N وN¹، المتعامدين عليهما، متعامدان على خط واحد. وهذا يعني أنها مستوفية وفقا للشروطالتناسب:

أ/أ¹=ب/ب¹=ج/ج¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹،

وهذا يدل على أن هذه الطائرات متطابقة. هذا يعني أن المعادلتين Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 تصفان مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا مستوى P، والذي يُعطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليه من نقطة بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. للقيام بذلك، تحتاج إلى إعادة معادلة المستوى P إلى وضعها الطبيعي:

(ρ,v)=ص (ر≥0).

في هذه الحالة، ρ (x,y,z) هو متجه نصف القطر لنقطة Q الموجودة على P، p هو طول العمود P الذي تم تحريره من نقطة الصفر، v هو متجه الوحدة الموجود في الاتجاه أ.

الفرق ρ-ρº متجه نصف القطر لنقطة ما Q = (x، y، z)، التي تنتمي إلى P، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 = (xₒ، yₒ، zₒ) هو مثل هذا المتجه، قيمه مطلقهالذي يكون إسقاطه على v مساوياً للمسافة d، والتي يجب إيجادها من Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) إلى P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، لكن

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =Р-(ρ 0 ,v).

لذلك اتضح

د=|(ρ 0 ,v)-ص|.

وهكذا سنجد القيمة المطلقة للتعبير الناتج، أي d المطلوب.

باستخدام لغة المعلمة، نحصل على ما هو واضح:

d=|Аkhₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

لو نقطة التحديديقع Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P، مثل أصل الإحداثيات، وبالتالي يقع بين المتجه ρ-ρ 0 و v:

د=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-Р>0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0، مع أصل الإحداثيات، على نفس الجانب من P، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة، أي:

د=(ρ-ρ 0 ,v)=hr - (ρ 0 , v)>0.

ونتيجة لذلك، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ,v)>ص، في الحالة الثانية (ρ 0 ,v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة التلامس M هو مستوى يحتوي على جميع المماسات الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا النوع من المعادلات السطحية F(x,y,z)=0، فإن معادلة مستوى المماس عند نقطة الظل M°(x°,y°,z°) ستبدو كما يلي:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

إذا حددت السطح بصيغة صريحة z=f (x,y)، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

ض-ض = و(سْ، صْ)(س- xْ)+f(سْ، صْ)(ص- صْ).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يقع Oxyz، ويتم إعطاء طائرتين П′ و П″، تتقاطعان ولا تتطابقان. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة، فسوف نفترض أن P′ وP″ يتم الحصول عليهما من خلال المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x +B″y+ С″z+D″=0. في هذه الحالة، لدينا n ′ (A′، B′، C′) الطبيعي للمستوى P′ و n العادي ″ (A″، B″، C″) للمستوى P″. وبما أن المستويين غير متوازيين وغير متطابقين، فإن هذه المتجهات ليست على خط مستقيم. باستخدام لغة الرياضيات، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (α*A″,×*B″,×*C″), αϵR. دع الخط المستقيم الذي يقع عند تقاطع P′ وP″ يُشار إليه بالحرف a، في هذه الحالة a = P′ ∩ P″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة جميع نقاط المستويين (المشتركين) P′ وP″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x+B″y+C″z+D″=0 . وهذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً جزئيًا لنظام المعادلات التالي:

ونتيجة لذلك، يتبين أن الحل (العام) لهذا النظام من المعادلات سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع P′ وP″، وتحديد الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات Oxyz (المستطيل) في الفضاء.

لكي يمكن رسم مستوى واحد عبر أي ثلاث نقاط في الفضاء، من الضروري ألا تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد.

خذ بعين الاعتبار النقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) في نظام الإحداثيات الديكارتية العام.

من أجل أن تقع نقطة تعسفية M(x، y، z) في نفس المستوى مع النقاط M 1، M 2، M 3، من الضروري أن تكون المتجهات متحدة المستوى.

(
) = 0

هكذا،

معادلة الطائرة التي تمر بثلاث نقاط:

معادلة المستوى بمعلومية نقطتين ومتجه على خط واحد مع المستوى.

دع النقاط M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) والمتجه معطى
.

لنقم بإنشاء معادلة لمستوى يمر عبر النقطتين المعطاتين M 1 وM 2 ونقطة عشوائية M (x, y, z) موازية للمتجه .

ثلاثة أبعاد
وناقلات
يجب أن يكون متحد المستوى، أي.

(
) = 0

معادلة الطائرة:

معادلة المستوى باستخدام نقطة واحدة ومتجهين،

على خط مستقيم مع الطائرة.

دعونا نعطي متجهين
و
، طائرات خطية متعامدة. ثم بالنسبة لنقطة عشوائية M(x, y, z) تنتمي إلى المستوى، فإن المتجهات
يجب أن يكون متحد المستوى.

معادلة الطائرة:

معادلة المستوى بالنقطة والمتجه العادي .

نظرية. إذا أعطيت نقطة M في الفضاء 0 (x 0 ، ذ 0 , ض 0 )، ثم معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة M 0 عمودي على المتجه العادي (أ, ب, ج) له النموذج:

أ(س – س 0 ) + ب(ذ – ذ 0 ) + ج(ض – ض 0 ) = 0.

دليل. بالنسبة لنقطة عشوائية M(x, y, z) تنتمي إلى المستوى، فإننا نؤلف متجهًا. لأن المتجه هو المتجه الطبيعي، فهو عمودي على المستوى، وبالتالي عمودي على المتجه
. ثم المنتج العددي

= 0

وهكذا نحصل على معادلة الطائرة

لقد تم إثبات النظرية.

معادلة الطائرة في قطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة Ax + Bi + Cz + D = 0 نقسم الطرفين على (-D)

,

استبدال
نحصل على معادلة المستوى في الأجزاء:

الأرقام a، b، c هي نقاط تقاطع المستوى مع محاور x، y، z، على التوالي.

معادلة الطائرة في شكل متجه.

أين

- متجه نصف القطر للنقطة الحالية M(x, y, z),

متجه وحدة له اتجاه عمودي يسقط على المستوى من نقطة الأصل.

 و  و  هي الزوايا التي يشكلها هذا المتجه بالمحاور x و y و z.

p هو طول هذا العمودي.

في الإحداثيات، تبدو هذه المعادلة كما يلي:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

المسافة من نقطة إلى الطائرة.

المسافة من نقطة اختيارية M 0 (x 0, y 0, z 0) إلى المستوى Ax+By+Cz+D=0 هي:

مثال.أوجد معادلة المستوى، مع العلم أن النقطة P(4; -3; 12) هي قاعدة العمود العمودي الذي يسقط من نقطة الأصل على هذا المستوى.

إذن أ = 4/13؛ ب = -3/13؛ ج = 12/13، نستخدم الصيغة:

أ(س - س 0 ) + ب(ص – ص 0 ) + ج(ض – ض 0 ) = 0.

مثال.أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطتين P(2; 0; -1) و

Q(1; -1; 3) عمودي على المستوى 3x + 2y – z + 5 = 0.

المتجه الطبيعي للمستوى 3x + 2y – z + 5 = 0
بالتوازي مع المستوى المطلوب.

نحن نحصل:

مثال.أوجد معادلة المستوى الذي يمر بالنقطتين A(2, -1, 4) و

ب(3، 2، -1) عموديًا على المستوى X + في + 2ض – 3 = 0.

المعادلة المطلوبة للمستوى لها الشكل: أ س+ب ذ+ج ض+ D = 0، المتجه الطبيعي لهذه الطائرة (أ، ب، ج). المتجه
(1، 3، -5) ينتمي إلى المستوى. المستوى المعطى لنا، المتعامد مع المستوى المطلوب، له متجه عادي (1، 1، 2). لأن تنتمي النقطتان A وB إلى كلا المستويين، ويكون المستويان متعامدين بشكل متبادل

لذا فإن المتجه العادي (11، -7، -2). لأن تنتمي النقطة A إلى المستوى المطلوب، فيجب أن تحقق إحداثياتها معادلة هذا المستوى، أي. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

في المجموع نحصل على معادلة المستوى: 11 س - 7ذ – 2ض – 21 = 0.

مثال.أوجد معادلة المستوى، مع العلم أن النقطة P(4, -3, 12) هي قاعدة العمود العمودي الذي يسقط من نقطة الأصل على هذا المستوى.

العثور على إحداثيات المتجه العادي
= (4، -3، 12). المعادلة المطلوبة للمستوى لها الشكل: 4 س – 3ذ + 12ض+ D = 0. لإيجاد المعامل D، نعوض بإحداثيات النقطة P في المعادلة:

16 + 9 + 144 + د = 0

في المجموع نحصل على المعادلة المطلوبة: 4 س – 3ذ + 12ض – 169 = 0

مثال.معطاة إحداثيات رؤوس الهرم أ 1 (1؛ 0؛ 3)، أ 2 (2؛ -1؛ 3)، أ 3 (2؛ 1؛ 1)،

أوجد طول الحافة A 1 A 2.

أوجد الزاوية بين الضلعين A 1 A 2 و A 1 A 4.

أوجد الزاوية بين الحافة A 1 A 4 والوجه A 1 A 2 A 3.

أولاً نجد المتجه الطبيعي للوجه A 1 A 2 A 3 كمنتج متقاطع للمتجهات
و
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

دعونا نجد الزاوية بين المتجه العادي والمتجه
.

-4 – 4 = -8.

الزاوية المطلوبة  بين المتجه والمستوى ستكون  = 90 0 - .

أوجد مساحة الوجه أ 1 أ 2 أ 3.

أوجد حجم الهرم.

أوجد معادلة المستوى أ 1 أ 2 أ 3.

دعونا نستخدم صيغة معادلة المستوى الذي يمر بثلاث نقاط.

2س + 2ص + 2ض – 8 = 0

س + ص + ض – 4 = 0;

عند استخدام نسخة الكمبيوتر " دورة الرياضيات العليا"يمكنك تشغيل برنامج يقوم بحل المثال أعلاه لأية إحداثيات لرءوس الهرم.

لبدء البرنامج، انقر مرتين على الأيقونة:

في نافذة البرنامج التي تفتح، أدخل إحداثيات رؤوس الهرم واضغط على إنتر. وبهذه الطريقة، يمكن الحصول على جميع نقاط القرار واحدة تلو الأخرى.

ملحوظة: لتشغيل البرنامج، يجب تثبيت برنامج Maple ( Waterloo Maple Inc.) بأي إصدار، بدءًا من MapleV Release 4، على جهاز الكمبيوتر الخاص بك.

إذا كانت جميع الأعداد A وB وC وD مختلفة عن الصفر، تسمى المعادلة العامة للمستوى مكتمل. وبخلاف ذلك تسمى المعادلة العامة للمستوى غير مكتمل.

دعونا نفكر في جميع المعادلات العامة غير الكاملة الممكنة للمستوى في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

افترض أن D = 0، إذن لدينا معادلة مستوية عامة غير مكتملة من الشكل . يمر هذا المستوى في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz عبر نقطة الأصل. في الواقع، عند استبدال إحداثيات نقطة ما في المعادلة غير الكاملة الناتجة للمستوى، نصل إلى الهوية.

من أجل أو أو لدينا معادلات عامة غير كاملة للمستويات أو أو على التوالي. تحدد هذه المعادلات مستويات موازية للمستويات الإحداثية Oxy وOxz وOyz على التوالي (راجع المقالة الخاصة بحالة المستويات المتوازية) وتمر عبر النقاط وبالمقابل. في. منذ هذه النقطة تنتمي إلى المستوى بشرط، فإن إحداثيات هذه النقطة يجب أن تحقق معادلة المستوى، أي أن المساواة يجب أن تكون صحيحة. من هنا نجد. وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة لها الشكل .

دعونا نقدم الطريقة الثانية لحل هذه المشكلة.

بما أن المستوى، المعادلة العامة التي نحتاج إلى تكوينها، موازية للمستوى Oyz، فيمكننا أن نأخذ المتجه العادي للمستوى Oyz كمتجه عادي. المتجه الطبيعي للمستوى الإحداثي Oyz هو المتجه الإحداثي. الآن عرفنا المتجه العمودي للمستوى ونقطة المستوى، لذلك يمكننا كتابة معادلته العامة (لقد قمنا بحل مشكلة مشابهة في الفقرة السابقة من هذا المقال):
، فيجب أن تحقق إحداثياتها معادلة المستوى. ولذلك فإن المساواة صحيحة من أين نجدها. الآن يمكننا أن نكتب المعادلة العامة المطلوبة للمستوى، ولها الشكل .

إجابة:

فهرس.

• بوغروف ياس، نيكولسكي إس إم. الرياضيات العليا. المجلد الأول: عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية.
• إيلين في.أ.، بوزنياك إي.جي. الهندسة التحليلية.

للحصول على المعادلة العامة للمستوى، دعونا نحلل المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة.

يجب أن تكون هناك ثلاثة محاور إحداثية معروفة لنا بالفعل في الفضاء - ثور, أويو أوز. أمسك الورقة بحيث تظل مسطحة. ستكون الطائرة هي الورقة نفسها واستمرارها في كل الاتجاهات.

يترك صالطائرة التعسفية في الفضاء. ويسمى كل متجه عمودي عليه ناقلات الطبيعي لهذه الطائرة. بطبيعة الحال، نحن نتحدث عن ناقل غير صفري.

إذا كانت أي نقطة على الطائرة معروفة صوبعض المتجهات العادية لها، فبواسطة هذين الشرطين يتم تحديد المستوى في الفضاء بشكل كامل(من خلال نقطة معينة يمكنك رسم مستوى واحد عمودي على المتجه المحدد). المعادلة العامة للطائرة ستكون:

إذن، الشروط التي تحدد معادلة المستوى هي. للحصول على نفسك معادلة الطائرة، بعد الحصول على النموذج أعلاه، استقل الطائرة صاِعتِباطِيّ نقطة م بإحداثيات متغيرة س, ذ, ض. هذه النقطة تنتمي إلى الطائرة فقط إذا المتجه عمودي على المتجه(رسم بياني 1). ولهذا، ووفقاً لشرط تعامد المتجهات، من الضروري والكافي أن يكون حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات مساوياً للصفر، أي

يتم تحديد المتجه حسب الحالة. نجد إحداثيات المتجه باستخدام الصيغة :

.

الآن، باستخدام المنتج القياسي لصيغة المتجهات ، نعبر عن المنتج العددي في شكل إحداثي:

منذ هذه النقطة م (س؛ ص؛ ض)يتم اختياره بشكل تعسفي على المستوى، ثم يتم تحقيق المعادلة الأخيرة بإحداثيات أي نقطة تقع على المستوى ص. لنقطة ن، عدم الاستلقاء على مستوى معين، أي. المساواة (1) منتهكة.

مثال 1.اكتب معادلة المستوى الذي يمر بنقطة ويكون عموديًا على المتجه.

حل. دعونا نستخدم الصيغة (1) وننظر إليها مرة أخرى:

في هذه الصيغة الأرقام أ , بو جإحداثيات المتجهات والأرقام س0 , ذ0 و ض0 - إحداثيات النقطة.

الحسابات بسيطة للغاية: نعوض بهذه الأرقام في الصيغة ونحصل عليها

نحن نضرب كل ما يجب ضربه ونضيف الأرقام فقط (التي لا تحتوي على أحرف). نتيجة:

.

تبين أن معادلة المستوى المطلوبة في هذا المثال يتم التعبير عنها بمعادلة عامة من الدرجة الأولى بالنسبة للإحداثيات المتغيرة س، ص، ضنقطة تعسفية للطائرة.

لذلك، معادلة من النموذج

مُسَمًّى معادلة المستوى العام .

مثال 2.أنشئ في نظام إحداثي ديكارتي مستطيل المستوى المعطى بالمعادلة .

حل. لبناء المستوى من الضروري والكافي معرفة أي ثلاث نقاط منه لا تقع على نفس الخط المستقيم، مثل نقاط تقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات.

كيف تجد هذه النقاط؟ للعثور على نقطة التقاطع مع المحور أوز، فأنت بحاجة إلى استبدال الأصفار بـ X وY في المعادلة الواردة في بيان المشكلة: س = ذ= 0 . ولذلك نحصل ض= 6. وبالتالي، فإن المستوى المعطى يتقاطع مع المحور أوزعند هذه النقطة أ(0; 0; 6) .

وبنفس الطريقة نجد نقطة تقاطع المستوى مع المحور أوي. في س = ض= 0 نحصل عليها ذ= −3، أي النقطة ب(0; −3; 0) .

وأخيرًا، نجد نقطة تقاطع المستوى مع المحور ثور. في ذ = ض= 0 نحصل عليها س= 2 أي نقطة ج(2; 0; 0) . بناءً على النقاط الثلاث التي تم الحصول عليها في الحل الذي قدمناه أ(0; 0; 6) , ب(0; −3; 0) و ج(2؛ 0؛ 0) قم ببناء المستوى المعطى.

دعونا نفكر الآن حالات خاصة من معادلة المستوى العام. هذه هي الحالات التي تصبح فيها معاملات معينة للمعادلة (2) صفرًا.

1. متى د = 0 معادلة يحدد مستوى يمر عبر الأصل، منذ إحداثيات النقطة 0 (0; 0; 0) تحقق هذه المعادلة.

2. متى أ= 0 معادلة يحدد مستوى موازيا للمحور ثورلأن المتجه الطبيعي لهذا المستوى متعامد مع المحور ثور(إسقاطه على المحور ثوريساوي الصفر). وبالمثل، عندما ب= 0 طائرة موازية للمحور أوي، وعندما ج= 0 طائرة موازية للمحور أوز.

3. متى أ=د=تحدد المعادلة 0 المستوى الذي يمر عبر المحور ثورلأنه موازي للمحور ثور (أ=د = 0). وبالمثل، يمر المستوى عبر المحور أويوالطائرة من خلال المحور أوز.

4. متى أ=ب=تحدد المعادلة 0 مستوى موازيًا لمستوى الإحداثيات xOyلأنه موازي للمحاور ثور (أ= 0) و أوي (ب= 0). وبالمثل، فإن الطائرة موازية للطائرة يوز، والطائرة هي الطائرة xOz.

5. متى أ=ب=د= 0 معادلة (أو ض = 0) يحدد مستوى الإحداثيات xOy، لأنه موازي للمستوى xOy (أ=ب= 0) ويمر عبر الأصل ( د = 0). وبالمثل، مكافئ. ص = 0 في الفضاء يحدد مستوى الإحداثيات xOz، والمعادلة س = 0 - مستوى الإحداثيات يوز.

مثال 3.إنشاء معادلة الطائرة ص، مرورا بالمحور أويوالفترة.

حل. وبالتالي فإن الطائرة تمر عبر المحور أوي. ولذلك في معادلتها ذ= 0 وهذه المعادلة لها الشكل . لتحديد المعاملات أو جدعونا نستفيد من حقيقة أن النقطة تنتمي إلى المستوى ص .

لذلك، من بين إحداثياتها هناك تلك التي يمكن استبدالها في معادلة المستوى التي اشتقناها بالفعل (). لننظر مرة أخرى إلى إحداثيات النقطة:

م0 (2; −4; 3) .

فيما بينها س = 2 , ض= 3 . نعوضهم في المعادلة العامة ونحصل على المعادلة لحالتنا الخاصة:

2أ + 3ج = 0 .

اترك 2 أعلى الجانب الأيسر من المعادلة، تحرك 3 جإلى الجانب الأيمن ونحصل

أ = −1,5ج .

استبدال القيمة التي تم العثور عليها أفي المعادلة، نحصل على

أو .

هذه هي المعادلة المطلوبة في حالة المثال.

حل مشكلة المعادلة المستوية بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 4.حدد المستوى (أو المستويات، إذا كان هناك أكثر من واحد) فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات أو مستويات الإحداثيات إذا تم إعطاء المستوى (المستويات) بواسطة المعادلة.

توجد حلول للمسائل النموذجية التي تحدث أثناء الاختبارات في الكتاب المدرسي "مسائل على المستوى: التوازي، العمودي، تقاطع ثلاث طائرات عند نقطة واحدة".

معادلة الطائرة التي تمر بثلاث نقاط

كما ذكرنا سابقًا، فإن الشرط الضروري والكافي لبناء المستوى، بالإضافة إلى نقطة واحدة والمتجه العادي، هو أيضًا ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط.

دعونا نعطي ثلاث نقاط مختلفة، ولا تقع على نفس الخط. نظرًا لأن النقاط الثلاث المشار إليها لا تقع على نفس الخط، فإن المتجهات ليست على خط مستقيم، وبالتالي فإن أي نقطة في المستوى تقع في نفس المستوى مع النقاط، وإذا وفقط إذا كانت المتجهات و متحد المستوى، أي ثم وفقط عندما منتج مختلط من هذه النواقليساوي الصفر.

باستخدام عبارة المنتج المختلط في الإحداثيات، نحصل على معادلة المستوى

(3)

وبعد الكشف عن المحدد تصبح هذه المعادلة معادلة على الشكل (2) أي. المعادلة العامة للطائرة.

مثال 5.اكتب معادلة لمستوى يمر بثلاث نقاط معطاة لا تقع على نفس الخط المستقيم:

وتحديد حالة خاصة للمعادلة العامة للخط في حالة حدوثها.

حل. ووفقا للصيغة (3) لدينا:

معادلة الطائرة العادية. المسافة من النقطة إلى المستوى

المعادلة العادية للمستوى هي معادلته، مكتوبة على الصورة

معادلة الطائرة. كيف تكتب معادلة الطائرة؟
الترتيب المتبادل للطائرات. مهام

الهندسة المكانية ليست أكثر تعقيدًا من الهندسة "المسطحة"، ورحلاتنا في الفضاء تبدأ بهذا المقال. لإتقان الموضوع، يجب أن يكون لديك فهم جيد له ثلاثة أبعادبالإضافة إلى ذلك، من المستحسن أن تكون على دراية بهندسة الطائرة - سيكون هناك الكثير من أوجه التشابه، والعديد من القياسات، لذلك سيتم هضم المعلومات بشكل أفضل بكثير. في سلسلة دروسي، يبدأ العالم ثنائي الأبعاد بمقالة معادلة الخط المستقيم على المستوى. ولكن الآن غادر باتمان شاشة التلفزيون المسطحة وانطلق من قاعدة بايكونور الفضائية.

لنبدأ بالرسومات والرموز. من الناحية التخطيطية، يمكن رسم المستوى على شكل متوازي أضلاع، مما يخلق انطباعًا بالمساحة:

الطائرة لا حصر لها، ولكن لدينا الفرصة لتصوير قطعة منها فقط. في الممارسة العملية، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع، يتم رسم شكل بيضاوي أو حتى سحابة. لأسباب فنية، من الملائم بالنسبة لي أن أصور الطائرة بهذه الطريقة وفي هذا الموضع بالضبط. يمكن تحديد موقع الطائرات الحقيقية، التي سننظر فيها في الأمثلة العملية، بأي شكل من الأشكال - خذ الرسم بين يديك عقليًا وقم بتدويره في الفضاء، مما يمنح الطائرة أي ميل وأي زاوية.

التسميات: يُشار إلى المستويات عادةً بأحرف يونانية صغيرة، وذلك على ما يبدو حتى لا يتم الخلط بينها خط مستقيم على متن الطائرةأو مع خط مستقيم في الفضاء. أنا معتاد على استخدام الرسالة . في الرسم هو حرف "سيجما"، وليس ثقبا على الإطلاق. على الرغم من أن الطائرة هولي هي بالتأكيد مضحكة للغاية.

في بعض الحالات، يكون من المناسب استخدام نفس الحروف اليونانية ذات الحروف السفلية لتعيين المستويات، على سبيل المثال، .

ومن الواضح أن المستوى يتم تعريفه بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط. لذلك، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - حسب النقاط التي تنتمي إليها، على سبيل المثال، وما إلى ذلك. في كثير من الأحيان يتم وضع الحروف بين قوسين: حتى لا يتم الخلط بين المستوى وشكل هندسي آخر.

للقراء ذوي الخبرة سأقدم قائمة الوصول السريع:

• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجهين؟
• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

ولن نطيل الانتظار:

معادلة المستوى العام

المعادلة العامة للمستوى لها الشكل حيث المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

هناك عدد من الحسابات النظرية والمسائل العملية صالحة لكل من الأساس المتعامد المعتاد والأساس المتقارب للمكان (إذا كان الزيت زيتًا، فارجع إلى الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات). من أجل التبسيط، سنفترض أن جميع الأحداث تحدث على أساس متعامد ونظام إحداثيات مستطيل ديكارتي.

والآن دعونا نتدرب على خيالنا المكاني قليلًا. لا بأس إذا كان جهازك سيئًا، الآن سنقوم بتطويره قليلاً. حتى اللعب على الأعصاب يحتاج إلى تدريب.

في الحالة الأكثر عمومية، عندما لا تساوي الأرقام الصفر، يتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات الثلاثة. على سبيل المثال، مثل هذا:

وأكرر مرة أخرى أن الطائرة تستمر إلى أجل غير مسمى في كل الاتجاهات، ولدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط.

دعونا نفكر في أبسط معادلات المستويات:

كيف نفهم هذه المعادلة؟ فكر في الأمر: "Z" يساوي دائمًا الصفر، لأي قيم "X" و"Y". هذه هي معادلة المستوى الإحداثي "الأصلي". في الواقع، يمكن إعادة كتابة المعادلة رسميًا على النحو التالي: ، حيث يمكنك أن ترى بوضوح أننا لا نهتم بالقيمتين "x" و"y"، فمن المهم أن يكون "z" يساوي الصفر.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الإحداثي.

دعونا نعقد المشكلة قليلاً، ونفكر في المستوى (هنا وفي الفقرة نفترض أن المعاملات العددية لا تساوي الصفر). لنعيد كتابة المعادلة على الصورة: . كيف نفهم ذلك؟ "X" دائمًا، لأي قيم "Y" و"Z"، تساوي رقمًا معينًا. هذا المستوى موازي للمستوى الإحداثي. على سبيل المثال، المستوى يوازي المستوى ويمر عبر نقطة.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي.

دعونا نضيف أعضاء: . يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: أي أن "zet" يمكن أن يكون أي شيء. ماذا يعني ذلك؟ يرتبط "X" و"Y" بالعلاقة التي ترسم خطًا مستقيمًا معينًا في المستوى (سوف تكتشف ذلك معادلة الخط في الطائرة؟). وبما أن "z" يمكن أن يكون أي شيء، فإن هذا الخط المستقيم "يتكرر" على أي ارتفاع. وبالتالي، تحدد المعادلة مستوى موازيًا لمحور الإحداثيات

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات؛
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات.

إذا كانت الحدود الحرة صفرًا، فستمر المستويات مباشرة عبر المحاور المقابلة. على سبيل المثال، "التناسب المباشر" الكلاسيكي: . ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى واضربه ذهنيًا لأعلى ولأسفل (نظرًا لأن "Z" موجود). الخلاصة: المستوى المحدد بالمعادلة يمر عبر محور الإحداثيات.

نكمل المراجعة: معادلة الطائرة يمر عبر الأصل. حسنًا، من الواضح هنا أن هذه النقطة تحقق هذه المعادلة.

وأخيرًا، الحالة الموضحة في الرسم: - المستوى صديق لجميع محاور الإحداثيات، بينما "يقطع" دائمًا مثلثًا يمكن أن يقع في أي من الثماني الثمانية.

عدم المساواة الخطية في الفضاء

لفهم المعلومات تحتاج إلى دراسة جيدة عدم المساواة الخطية في الطائرةلأن أشياء كثيرة ستكون متشابهة. ستكون الفقرة ذات طبيعة عامة موجزة مع عدة أمثلة، حيث أن المادة نادرة جدًا في الممارسة العملية.

إذا كانت المعادلة تحدد المستوى، فإن المتباينات
بسأل أنصاف المساحات. إذا لم تكن المتباينة صارمة (الأخيران في القائمة)، فإن حل المتباينة، بالإضافة إلى نصف المساحة، يشمل أيضًا المستوى نفسه.

مثال 5

أوجد وحدة المتجه الطبيعي للطائرة .

حل: متجه الوحدة هو متجه طوله واحد. دعونا نشير إلى هذا المتجه بواسطة . من الواضح تمامًا أن المتجهات على خط واحد:

أولاً نحذف المتجه العادي من معادلة المستوى: .

كيفية العثور على ناقل الوحدة؟ من أجل العثور على متجه الوحدة، تحتاج كلاقسم إحداثيات المتجه على طول المتجه.

دعونا نعيد كتابة المتجه العادي في النموذج ونجد طوله:

وفقا لما سبق:

إجابة:

التحقق: ما يجب التحقق منه.

ربما لاحظ ذلك القراء الذين درسوا الفقرة الأخيرة من الدرس بعناية إحداثيات متجه الوحدة هي بالضبط جيب التمام لاتجاه المتجه:

لنأخذ استراحة من المشكلة المطروحة: عندما يتم إعطاؤك متجهًا تعسفيًا غير صفري، وحسب الشرط يجب إيجاد جيب تمام الاتجاه (راجع المسائل الأخيرة من الدرس المنتج النقطي للمتجهات)، فإنك في الواقع تجد متجه وحدة على خط مستقيم مع هذا المتجه. في الواقع مهمتان في زجاجة واحدة.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد المتجه الطبيعي للوحدة في بعض مشاكل التحليل الرياضي.

لقد اكتشفنا كيفية صيد ناقل عادي، والآن دعونا نجيب على السؤال المعاكس:

كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

هذا البناء الصارم للمتجه العادي والنقطة معروف جيدًا على لوحة السهام. يرجى مد يدك للأمام واختيار نقطة عشوائية في الفضاء عقليًا، على سبيل المثال، قطة صغيرة في الخزانة الجانبية. من الواضح أنه من خلال هذه النقطة يمكنك رسم مستوى واحد عمودي على يدك.

يتم التعبير عن معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة عمودية على المتجه بالصيغة: