طريقة الفاصل. المتباينات التربيعية. طريقة الفترات الأخطاء النموذجية للطلاب عند حل المعادلات التربيعية

الأقسام: الرياضيات

فصل: 9

نتيجة التعلم الإلزامية هي القدرة على حل عدم المساواة في النموذج:

الفأس 2 + بكس + ج><0

بناء على رسم تخطيطي وظيفة من الدرجة الثانية.

في أغلب الأحيان، يرتكب الطلاب أخطاء عند حل عدم المساواة التربيعية ذات المعامل الأول السلبي. في مثل هذه الحالات، يقترح الكتاب المدرسي استبدال المتباينة بمتباينة مكافئة بمعامل إيجابي عند x 2 (المثال رقم 3). ومن المهم أن يفهم الطلاب أنهم بحاجة إلى "نسيان" المتباينة الأصلية؛ لحل المشكلة ، إنهم بحاجة إلى رسم قطع مكافئ مع فروع تشير إلى الأعلى. يمكن للمرء أن يجادل بشكل مختلف.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل عدم المساواة:

-س 2 + 2س -5<0

أولاً، دعونا نكتشف ما إذا كان الرسم البياني للدالة y=-x 2 +2x-5 يتقاطع مع محور OX. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة:

المعادلة ليس لها جذور، وبالتالي فإن الرسم البياني للدالة y=-x 2 +2x-5 يقع بالكامل أسفل المحور X والمتباينة -x 2 +2x-5<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.

تم تطوير القدرة على الحل في الرقمين 111 و119. ومن الضروري مراعاة المتباينات التالية x 2 +5>0, -x 2 -3≥0; 3x2>0 إلخ.

بالطبع، عند حل هذه المتباينات، يمكنك استخدام القطع المكافئ. ومع ذلك، يجب على الطلاب الأقوياء تقديم الإجابات فورًا دون اللجوء إلى الرسم. في هذه الحالة، من الضروري طلب توضيحات، على سبيل المثال: x 2 ≥0 و x 2 +7>0 لأي قيم x. اعتمادًا على مستوى إعداد الفصل، يمكنك قصر نفسك على هذه الأرقام أو استخدام رقم 120 رقم 121. ومن الضروري فيها إجراء تحويلات متطابقة بسيطة، لذلك سيتم تكرار المادة المغطاة هنا. تم تصميم هذه الغرف للطلاب الأقوياء. إذا تم تحقيق نتيجة جيدة وحل المتباينات التربيعية لا يسبب أي مشاكل، فيمكنك أن تطلب من الطلاب حل نظام من المتباينات تكون فيه إحدى المتباينتين أو كلتيهما من الدرجة الثانية (التمرين 193، 194).

من المثير للاهتمام ليس فقط حل المتباينات التربيعية، ولكن أيضًا في أي مكان آخر يمكن تطبيق هذا الحل فيه: العثور على مجال تعريف دالة دراسة معادلة تربيعية ذات معلمات (التمرين 122-124). بالنسبة للطلاب الأكثر تقدمًا، يمكنك يمكن النظر في عدم المساواة التربيعية مع معلمات النموذج:

الفأس 2 +Bx+C>0 (≥0)

فأس 2 + بx + ج<0 (≤0)

حيث A,B,C عبارة عن تعبيرات تعتمد على المعلمات، A≠0,x غير معروفة.

عدم المساواة فأس 2 +Bx+C>0

وتتم دراستها وفق المخططات التالية:

1) إذا كانت A=0، فلدينا المتباينة الخطية Bx+C>0

2) إذا كان A≠0 والمميز D> 0، فيمكننا تحليل ثلاثية الحدود المربعة والحصول على المتباينة

أ(س-x1) (س-x2)>0

x 1 وx 2 هما جذور المعادلة Ax 2 +Bx+C=0

3) إذا كان A≠0 وD<0 то если A>0 سيكون الحل هو مجموعة الأعداد الحقيقية R؛ عند أ<0 решений нет.

ويمكن دراسة أوجه عدم المساواة المتبقية بالمثل.

يمكن استخدامها لحل المتباينات التربيعية، ومن هنا خاصية ثلاثية الحدود التربيعية

1) إذا كان A>0 وD<0 то Ax2+Bx+C>0- للجميع x.

2) إذا أ<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.

عند حل المتباينة التربيعية، يكون من الملائم أكثر استخدام تمثيل تخطيطي للرسم البياني للدالة y=Ax2+Bx+C

مثال: بالنسبة لجميع قيم المعلمات، قم بحل المتراجحة

× 2 +2(ب+1)س+ب 2 >0

د=4(ب+1) 2 -4ب 2 =4ب 2 +8ب+4-4ب 2

1) د<0 т.е. 2b+1<0

المعامل أمام x 2 هو 1>0، ومن ثم يتم تحقيق عدم المساواة لجميع x، أي. X є ر

2) د=0 => 2ب+1=0

ثم x 2 +x+¼>0

س є(-∞;-½) يو (-½;∞)

3) د>0 =>2ب+1>0

جذور ثلاثية الحدود المربعة هي:

X 1 =-ب-1-√2ب+1

X 2 = -ب-1+√2ب+1

عدم المساواة يأخذ الشكل

(x-x 1) (x-x 2)>0

باستخدام طريقة الفاصل نحصل

س є(-∞;س 1) يو (س 2 ;∞)

للحصول على حل مستقل، أعط عدم المساواة التالية

نتيجة لحل المتباينات، يجب على الطالب أن يفهم أنه من أجل حل المتباينات من الدرجة الثانية، يقترح التخلي عن التفاصيل المفرطة في طريقة بناء الرسم البياني، من إيجاد إحداثيات رؤوس القطع المكافئ، ومراقبة مقياس، ويمكن للمرء أن يقتصر على رسم رسم بياني للدالة التربيعية.

على المستوى الأعلى، لا يعد حل المتباينات التربيعية مهمة مستقلة عمليًا، ولكنه يعمل كعنصر من عناصر حل معادلة أو متباينة أخرى (اللوغاريتمية، الأسية، المثلثية). لذلك، من الضروري تعليم الطلاب كيفية حل المتباينات التربيعية بطلاقة. يمكنك الرجوع إلى ثلاث نظريات مستعارة من الكتاب المدرسي لـ A.A. كيسيليفا.

النظرية 1. دع الفأس ثلاثي الحدود مربع 2 +bx+c، حيث a>0، له جذور حقيقية مختلفة (D>0).

إذن: 1) لجميع قيم المتغير x الأقل من الجذر الأصغر والأكبر من الجذر الأكبر تكون ثلاثية الحدود المربعة موجبة

2) بالنسبة لقيم x بين الجذور التربيعية، فإن ثلاثية الحدود تكون سالبة.

النظرية 2. دعونا نعطي فأس ثلاثية الحدود 2 +bx+c، حيث a>0 لها جذرين حقيقيين متطابقين (D=0)، ثم بالنسبة لجميع قيم x المختلفة عن جذور ثلاثية الحدود المربعة، تكون ثلاثية الحدود المربعة موجبة .

النظرية 3. دع الفأس الثلاثي المربع 2 +bx+c يعطى حيث a>0 لا يوجد جذور حقيقية(د<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.

على سبيل المثال: ينبغي حل عدم المساواة:

د=1+288=289>0

الحل هو

X≥-4/3 وx≥3/2

الإجابة (-∞; -4/3] ش 7. (-∞; 2) ش (3; ∞) 7. [-4; 0] 8. [-2; 1] 8. Ø 9. [-2; 0] 9. (-∞؛ -4) ش (-4؛ ∞)

يتم وضع الإجابات على الجانب الخلفي ويمكن مشاهدتها بعد مرور الوقت المخصص. من الأنسب القيام بهذا العمل في بداية الدرس بإشارة من المعلم. (انتباه، استعدوا، لنبدأ). الأمر "Stop" يقاطع العمل.

يتم تحديد ساعات العمل حسب مستوى إعداد الفصل. الزيادة في السرعة هي مؤشر على عمل الطالب.

ستكون القدرة على حل عدم المساواة التربيعية مفيدة أيضًا للطلاب عند إجراء اختبار الدولة الموحدة. في مشاكل المجموعة ب، يتم مواجهة المهام المتعلقة بالقدرة على حل عدم المساواة التربيعية بشكل متزايد.

على سبيل المثال:

تم رمي حجر عموديا إلى أعلى. حتى سقوط الحجر، يتم وصف الارتفاع الذي يقع عليه بالصيغة

(ح - الارتفاع بالأمتار، ر - الوقت بالثواني المنقضي من لحظة الرمي).

أوجد عدد الثواني التي كان فيها الحجر على ارتفاع 9 أمتار على الأقل.

لحلها من الضروري خلق عدم المساواة:

5t 2 +18t-9≥0

الجواب: 2.4 ثانية

البدء في إعطاء أمثلة للطلاب من امتحان الدولة الموحدة بالفعل في الصف التاسع في مرحلة دراسة المادة، ونحن نستعد بالفعل للامتحان؛ إن حل عدم المساواة التربيعية التي تحتوي على معلمة يجعل من الممكن حل المشكلات من المجموعة C.

إن المنهج غير الرسمي لدراسة الموضوع في الصف التاسع يجعل من السهل إتقان المادة في دورة "الجبر وبدايات التحليل" في موضوعات مثل "تطبيق المشتق" "حل المتباينات بطريقة الفترات" "حل المتباينات اللوغاريتمية والأسية" "حل المتباينات غير المنطقية".

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

ماذا حدث "عدم المساواة التربيعية"؟لا شك!) إذا كنت تأخذ أيالمعادلة التربيعية واستبدال الإشارة الموجودة فيها "=" (يساوي) أي علامة متباينة ( > ≥ < ≤ ≠ )، نحصل على عدم المساواة التربيعية. على سبيل المثال:

1. س 2 -8س+12 ≥ 0

2. -س 2 +3x > 0

3. × 2 ≤ 4

حسنًا ، لقد فهمت ...)

ليس من قبيل الصدفة أنني قمت بربط المعادلات وعدم المساواة هنا. النقطة المهمة هي أن الخطوة الأولى في الحل أيالمتباينة التربيعية - حل المعادلة التي يتكون منها هذا التباين.ولهذا السبب فإن عدم القدرة على حل المعادلات التربيعية يؤدي تلقائيًا إلى الفشل التام في المتباينات. هل التلميح واضح؟) إذا كان هناك أي شيء، فانظر إلى كيفية حل أي معادلات تربيعية. تم وصف كل شيء هناك بالتفصيل. وفي هذا الدرس سوف نتعامل مع عدم المساواة.

المتباينة الجاهزة للحل لها الشكل: غادر - ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية الفأس 2 +بكس+ج، على اليمين - صفر.علامة عدم المساواة يمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق. المثالين الأولين هنا مستعدون بالفعل لاتخاذ القرار.المثال الثالث لا يزال يحتاج إلى إعداد.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

لمعرفة كيفية حل المعادلات التربيعية، علينا أن نفهم ما هي الدالة التربيعية وما هي خصائصها.

ربما تساءلت عن سبب الحاجة إلى دالة تربيعية على الإطلاق؟ أين يمكننا تطبيق الرسم البياني (القطع المكافئ)؟ نعم، عليك فقط أن تنظر حولك، وستلاحظ ذلك كل يوم الحياة اليوميةتقابلها. هل لاحظت كيف تطير الكرة الملقاة في التربية البدنية؟ "على طول القوس"؟ الإجابة الصحيحة ستكون "القطع المكافئ"! وعلى أي مسار تتحرك الطائرة في النافورة؟ نعم، أيضا في القطع المكافئ! كيف تطير الرصاصة أو القذيفة؟ هذا صحيح، أيضا في القطع المكافئ! وبالتالي، فإن معرفة خصائص الدالة التربيعية سيكون من الممكن حل العديد من المسائل العملية. على سبيل المثال، في أي زاوية يجب رمي الكرة لضمان أكبر مسافة؟ أو أين سينتهي المقذوف إذا أطلقته بزاوية معينة؟ إلخ.

وظيفة من الدرجة الثانية

لذلك، دعونا معرفة ذلك.

على سبيل المثال، . ما هي متساوية هنا، و؟ حسنا بالطبع!

ماذا لو، على سبيل المثال. أقل من الصفر؟ حسنًا، بالطبع نحن "حزينون"، مما يعني أن الفروع ستتجه نحو الأسفل! دعونا ننظر إلى الرسم البياني.

يوضح هذا الشكل الرسم البياني للوظيفة. منذ، أي. أقل من الصفر، يتم توجيه فروع القطع المكافئ نحو الأسفل. بالإضافة إلى ذلك، ربما لاحظت بالفعل أن فروع هذا القطع المكافئ تتقاطع مع المحور، مما يعني أن المعادلة لها جذران، وأن الدالة تأخذ قيمًا موجبة وسالبة معًا!

في البداية، عندما قدمنا تعريف الدالة التربيعية، قيل أن و هي بعض الأرقام. هل يمكن أن تكون مساوية للصفر؟ حسنًا، بالطبع يمكنهم ذلك! وسأكشف أيضًا عن سر أكبر (وهو ليس سرًا على الإطلاق، ولكن من الجدير بالذكر): لا توجد قيود مفروضة على هذه الأرقام (و) على الإطلاق!

حسنًا، دعونا نرى ما يحدث للتمثيلات البيانية إذا كانت صفرًا.

كما ترون، فإن الرسوم البيانية للدوال (و) قيد النظر قد تحولت بحيث أصبحت رؤوسها الآن عند النقطة ذات الإحداثيات، أي عند تقاطع المحاور، وليس لذلك أي تأثير على اتجاه الفروع . وبالتالي، يمكننا أن نستنتج أنهم مسؤولون عن "حركة" الرسم البياني للقطع المكافئ على طول نظام الإحداثيات.

الرسم البياني للدالة يمس المحور عند نقطة ما. وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد. وبالتالي فإن الدالة تأخذ قيمًا أكبر من أو تساوي الصفر.

نحن نتبع نفس المنطق مع الرسم البياني للوظيفة. يمس المحور السيني عند نقطة ما. وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد. وبالتالي فإن الدالة تأخذ قيماً أقل من أو تساوي الصفر، أي.

ومن ثم، لتحديد إشارة التعبير، فإن أول ما عليك فعله هو إيجاد جذور المعادلة. وهذا سيكون مفيدا جدا بالنسبة لنا.

عدم المساواة التربيعية

عدم المساواة التربيعيةهي متباينة تتكون من دالة تربيعية واحدة. وبالتالي، يتم تقليل جميع المتباينات التربيعية إلى الأنواع الأربعة التالية:

عند حل هذه المتباينات، سنحتاج إلى القدرة على تحديد أين تكون الدالة التربيعية أكبر أو أصغر أو تساوي الصفر. إنه:

إذا كان لدينا عدم مساواة في النموذج، فإن المهمة في الواقع تتلخص في تحديد الفاصل الرقمي للقيم التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور.
إذا كان لدينا عدم مساواة في النموذج، فإن المهمة في الواقع تتلخص في تحديد الفاصل الرقمي لقيم x التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل المحور.

إذا لم تكن المتباينات صارمة، فسيتم تضمين الجذور (إحداثيات تقاطع القطع المكافئ مع المحور) في الفاصل الرقمي المطلوب، وفي حالة عدم المساواة الصارمة، يتم استبعادها.

كل هذا رسمي تمامًا، لكن لا تيأس أو تخاف! الآن دعونا نلقي نظرة على الأمثلة، وكل شيء سوف يقع في مكانه.

عند حل المتباينات التربيعية، سنلتزم بالخوارزمية المحددة، وينتظرنا النجاح الحتمي!

خوارزمية	مثال:
1) لنكتب المعادلة التربيعية المقابلة للمتباينة (ببساطة قم بتغيير علامة المتباينة إلى علامة المساواة "=").
2) دعونا نجد جذور هذه المعادلة.
3) حدد الجذور على المحور وأظهر بشكل تخطيطي اتجاه فروع القطع المكافئ ("لأعلى" أو "لأسفل")
4) لنضع العلامات على المحور المقابل لإشارة الدالة التربيعية: حيث يكون القطع المكافئ فوق المحور نضع " "، وحيثما يكون أسفله - " ".
5) اكتب الفترة (الفترات) المقابلة لـ "" أو "" حسب علامة المتباينة. إذا لم تكن المتباينة صارمة، يتم تضمين الجذور في الفترة، وإذا كانت صارمة، فهي ليست كذلك.

فهمتها؟ ثم المضي قدما وتأمينه!

حسنا، هل نجح الأمر؟ إذا واجهتك أية صعوبات، فابحث عن الحلول.

حل:

لنكتب الفترات المقابلة للعلامة " "، لأن علامة المتراجحة هي " ". عدم المساواة ليست صارمة، لذلك يتم تضمين الجذور في الفترات:

لنكتب المعادلة التربيعية المقابلة:

لنجد جذور هذه المعادلة التربيعية:

دعونا نحدد بشكل تخطيطي الجذور التي تم الحصول عليها على المحور ونرتب العلامات:

لنكتب الفترات المقابلة للعلامة " "، لأن علامة المتراجحة هي " ". المتراجحة صارمة، لذا لا يتم تضمين الجذور في الفترات:

لنكتب المعادلة التربيعية المقابلة:

لنجد جذور هذه المعادلة التربيعية:

هذه المعادلة لها جذر واحد

دعونا نحدد بشكل تخطيطي الجذور التي تم الحصول عليها على المحور ونرتب العلامات:

لنكتب الفترات المقابلة للعلامة " "، لأن علامة المتراجحة هي " ". لأي، تأخذ الدالة قيمًا غير سالبة. وبما أن عدم المساواة ليست صارمة، فإن الجواب سيكون.

لنكتب المعادلة التربيعية المقابلة:

لنجد جذور هذه المعادلة التربيعية:

دعونا نرسم رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ ونرتب العلامات:

لنكتب الفترات المقابلة للعلامة " "، لأن علامة المتراجحة هي " ". بالنسبة لأي، تأخذ الدالة قيمًا موجبة، وبالتالي فإن حل عدم المساواة سيكون الفاصل الزمني:

متباينات التربيع. مستوى متوسط

وظيفة من الدرجة الثانية.

قبل الحديث عن موضوع "المتباينات التربيعية"، دعونا نتذكر ما هي الدالة التربيعية وما هو الرسم البياني لها.

الدالة التربيعية هي دالة في النموذج،

وبعبارة أخرى، هذا متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

الرسم البياني للدالة التربيعية هو قطع مكافئ (تذكر ما هو؟). يتم توجيه فروعها إلى الأعلى إذا "أ) تأخذ الدالة قيمًا موجبة فقط للجميع، وفي الثانية () - القيم السلبية فقط:

في الحالة التي يكون فيها للمعادلة () جذر واحد بالضبط (على سبيل المثال، إذا كان المميز صفرًا)، فهذا يعني أن الرسم البياني يلامس المحور:

ثم، كما في الحالة السابقة، for هي دالة غير سالبة للكل، وfor غير موجبة.

لذا، تعلمنا مؤخرًا كيفية تحديد أين تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر وأين تكون أصغر:

إذا كانت المتباينة التربيعية غير صارمة، فسيتم تضمين الجذور في الفترة العددية، وإذا كانت صارمة فلن يتم تضمينها.

إذا كان هناك جذر واحد فقط، فلا بأس، ستكون الإشارة نفسها في كل مكان. إذا لم تكن هناك جذور، فكل شيء يعتمد فقط على المعامل: إذا، فإن التعبير بأكمله أكبر من 0، والعكس صحيح.

أمثلة (قرر بنفسك):

الإجابات:

لا توجد جذور، لذا فإن التعبير الموجود على الجانب الأيسر بأكمله يأخذ إشارة المعامل الرئيسي: للجميع. وهذا يعني أنه لا توجد حلول لعدم المساواة.

إذا كانت الدالة التربيعية على الجانب الأيسر "غير مكتملة"، فسيكون من الأسهل العثور على الجذور:

متباينات التربيع. باختصار عن الأشياء الرئيسية

وظيفة من الدرجة الثانيةهي وظيفة النموذج:،

الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. تتجه فروعها إلى الأعلى إذا وإلى الأسفل إذا:

إذا كنت تريد العثور على فترة رقمية تكون فيها ثلاثية الحدود التربيعية أكبر من الصفر، فهذه هي الفترة الرقمية التي يقع فيها القطع المكافئ فوق المحور.
إذا كنت تريد العثور على فترة رقمية تكون فيها ثلاثية الحدود التربيعية أقل من الصفر، فهذه هي الفترة الرقمية التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل المحور.

أنواع المتباينات التربيعية:

يتم تقليل جميع المتباينات التربيعية إلى الأنواع الأربعة التالية:

خوارزمية الحل:

خوارزمية	مثال:
1) لنكتب المعادلة التربيعية المقابلة للمتباينة (ببساطة قم بتغيير علامة المتباينة إلى علامة المساواة "").
2) دعونا نجد جذور هذه المعادلة.
3) حدد الجذور على المحور وأظهر بشكل تخطيطي اتجاه فروع القطع المكافئ ("لأعلى" أو "لأسفل")
4) لنضع علامات على المحور المقابل لإشارة الدالة التربيعية: حيث يكون القطع المكافئ فوق المحور نضع "" وحيثما يكون أسفله - "".
5) اكتب الفترة (الفترات) المقابلة لـ "" أو ""، حسب علامة المتباينة. إذا لم تكن المتباينة صارمة، يتم تضمين الجذور في الفترة، وإذا كانت صارمة، فهي ليست كذلك.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

ل اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن هناك ما هو أكثر انفتاحا أمامهم المزيد من الاحتمالاتوتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

قبل أن تكتشف ذلك، كيفية حل عدم المساواة التربيعية، دعونا ننظر إلى أي نوع من عدم المساواة يسمى التربيعية.

يتذكر!

يسمى عدم المساواة مربع، إذا كانت أعلى (أكبر) درجة للمجهول "x" تساوي اثنين.

دعونا نتدرب على تحديد نوع المتباينة باستخدام الأمثلة.

كيفية حل عدم المساواة التربيعية

لقد تناولنا في الدروس السابقة كيفية حل المتباينات الخطية. ولكن خلافا ل المتباينات الخطيةيتم حل المربعات بطريقة مختلفة تمامًا.

مهم!

من المستحيل حل المتباينة التربيعية بنفس طريقة حل المتباينة الخطية!

لحل المتباينة التربيعية يتم استخدام طريقة خاصة تسمى طريقة الفاصل.

ما هي الطريقة الفاصلة

طريقة الفاصلهي طريقة خاصة لحل المتباينات التربيعية. وفيما يلي سنشرح كيفية استخدام هذه الطريقة ولماذا حصلت على اسمها.

يتذكر!

لحل المتباينة التربيعية باستخدام طريقة الفاصل:

نحن ندرك أن القواعد الموضحة أعلاه يصعب فهمها من الناحية النظرية فقط، لذلك سننظر على الفور في مثال لحل المتباينة التربيعية باستخدام الخوارزمية أعلاه.

علينا حل المتباينة التربيعية.

الآن، كما هو مذكور في، لنرسم "أقواس" على الفترات الفاصلة بين النقاط المحددة.

دعونا نضع علامات داخل الفترات. بالتناوب من اليمين إلى اليسار، بدءًا من "+"، نضع علامات على العلامات.

كل ما علينا فعله هو التنفيذ، أي تحديد الفواصل الزمنية المطلوبة وكتابتها كإجابة. دعونا نعود إلى عدم المساواة لدينا.

منذ في عدم المساواة لدينا " x 2 + x − 12 "، مما يعني أننا بحاجة إلى فترات سلبية. دعونا نظلل جميع المناطق السلبية على خط الأعداد ونكتبها كإجابة.

لم يكن هناك سوى فترة سلبية واحدة تقع بين الرقمين "−3" و"4"، لذلك سنكتبها في الإجابة على أنها متباينة مزدوجة
"-3".

دعونا نكتب الحل الناتج للمتباينة التربيعية.

الجواب: -3

بالمناسبة، لأنه عند حل المتباينة التربيعية نأخذ في الاعتبار الفواصل الزمنية بين الأرقام، حصلت طريقة الفاصل الزمني على اسمها.

بعد تلقي الإجابة، فمن المنطقي التحقق منها للتأكد من صحة القرار.

دعنا نختار أي رقم موجود في المنطقة المظللة للإجابة المستلمة " −3" واستبدله بدلاً من "x" في المتراجحة الأصلية. إذا حصلنا على متباينة صحيحة، نكون قد وجدنا إجابة المتباينة التربيعية بشكل صحيح.

خذ على سبيل المثال الرقم "0" من الفاصل الزمني. لنعوض بها في المتراجحة الأصلية "x 2 + x − 12".

× 2 + س − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (صحيح)

لقد حصلنا على المتراجحة الصحيحة عند التعويض برقم من منطقة الحل، مما يعني أنه تم العثور على الإجابة بشكل صحيح.

تسجيل موجز للحل باستخدام طريقة الفاصل الزمني

صيغة مختصرة لحل المتباينة التربيعية " x 2 + x − 12 "بطريقة الفاصل سيبدو كما يلي:

× 2 + س − 12
س 2 + س − 12 = 0

× 1 =

1+ 7

× 2 =

1 − 7

× 1 =

× 2 =

× 1 =

1+ 1

× 2 =

1 − 1

× 1 =

× 2 =

× 1 =

× 2 = 0

الجواب: س ≥ 0؛ س ≥

خذ بعين الاعتبار مثالًا حيث يوجد معامل سلبي أمام "x 2" في المتباينة التربيعية.

2. دالينجر في.أ. الأخطاء الشائعةفي الرياضيات في امتحانات القبولوكيفية الوقاية منها. – أومسك: دار النشر أومسك IUU، 1991.

3. دالينجر في.أ. كل شيء لضمان النجاح في الامتحانات النهائية وامتحانات القبول في الرياضيات. المسألة 5. المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات وأنظمتها: درس تعليمي. – أومسك: دار النشر بجامعة أومسك التربوية الحكومية، 1996.

4. دالينجر في.أ. بدايات التحليل الرياضي: الأخطاء النموذجية أسبابها وطرق الوقاية منها: كتاب مدرسي. - أومسك: "الناشر المطبوع"، 2002.

5. دالينجر في.أ.، زوبكوف أ.ن. دليل اجتياز امتحان الرياضيات: تحليل أخطاء المتقدمين في الرياضيات وطرق الوقاية منها. - أومسك: دار النشر بجامعة أومسك التربوية الحكومية، 1991.

6. كوتاسوف أ.د. المعادلات الأسية واللوغاريتمية والمتباينات والأنظمة: الدليل التربوي والمنهجي N7. – دار النشر الجامعة الروسية المفتوحة 1992.

تتنوع الأخطاء التي يرتكبها الطلاب عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات بشكل كبير: من التنسيق غير الصحيح للحل إلى الأخطاء ذات الطبيعة المنطقية. سيتم مناقشة هذه الأخطاء وغيرها في هذه المقالة.

1. الخطأ الأكثر شيوعًا هو أن الطلاب عند حل المعادلات والمتباينات دون تفسير إضافي يستخدمون تحويلات تنتهك التكافؤ مما يؤدي إلى فقدان الجذور وظهور خيول غريبة.

دعنا ننظر إلى أمثلة محددةأخطاء من هذا النوع، ولكن أولا نلفت انتباه القارئ إلى الفكرة التالية: لا تخف من الحصول على جذور غريبة، يمكن التخلص منها عن طريق التحقق، تخشى فقدان الجذور.

أ) حل المعادلة:

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x).

غالبًا ما يحل الطلاب هذه المعادلة على النحو التالي.

log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x)، log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3، log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 ، (5 - س)(-1 - س) = 33، س2 - 4س - 32 = 0،

x1 = -4; ×2 = 8.

غالبًا ما يكتب الطلاب كلا الرقمين كإجابة دون مزيد من التفكير. ولكن كما يظهر من الفحص، فإن الرقم x = 8 ليس جذر المعادلة الأصلية، لأنه عند x = 8 يصبح الجانبان الأيسر والأيمن من المعادلة بلا معنى. يظهر الفحص أن الرقم x = -4 هو جذر المعادلة المعطاة.

ب) حل المعادلة

يتم تحديد مجال تعريف المعادلة الأصلية بواسطة النظام

لحل المعادلة المعطاة، دعنا نذهب إلى اللوغاريتم للأساس x، الذي نحصل عليه

نرى أن الجانبين الأيسر والأيمن لهذه المعادلة الأخيرة عند x = 1 غير محددين، ولكن هذا الرقم هو جذر المعادلة الأصلية (يمكنك التحقق من ذلك عن طريق التعويض المباشر). وهكذا أدى الانتقال الرسمي إلى قاعدة جديدة إلى فقدان الجذر. لتجنب فقدان الجذر x = 1، يجب عليك تحديد أن الأساس الجديد يجب أن يكون رقمًا موجبًا غير واحد، والنظر في الحالة x = 1 بشكل منفصل.

2. مجموعة كاملة من الأخطاء، أو بالأحرى أوجه القصور، هي أن الطلاب لا يولون الاهتمام الواجب لإيجاد مجال تعريف المعادلات، على الرغم من أنه في بعض الحالات يكون هذا هو مفتاح الحل. دعونا نلقي نظرة على مثال في هذا الصدد.

حل المعادلة

لنجد مجال تعريف هذه المعادلة، والذي نحل من أجله نظام المتباينات:

ومن ثم لدينا x = 0. دعونا نتحقق عن طريق الاستبدال المباشر مما إذا كان الرقم x = 0 هو جذر المعادلة الأصلية

الجواب: س = 0.

3. الخطأ النموذجي للطلاب هو أنهم ليس لديهم المستوى المطلوب من المعرفة بتعريفات المفاهيم والصيغ وبيانات النظريات والخوارزميات. دعونا نؤكد ذلك بالمثال التالي.

حل المعادلة

إليكم الحل الخاطئ لهذه المعادلة:

يظهر الفحص أن x = -2 ليس جذرًا للمعادلة الأصلية.

الاستنتاج هو ذلك معادلة معينةليس له جذور.

ومع ذلك، فهو ليس كذلك. بالتعويض x = -4 في المعادلة المعطاة، يمكننا التحقق من أنه جذر.

دعونا نحلل سبب حدوث فقدان الجذر.

في المعادلة الأصلية، يمكن أن يكون التعبيران x وx + 3 سالبين أو موجبين في نفس الوقت، ولكن عند الانتقال إلى المعادلة، يمكن أن تكون هذه التعبيرات نفسها موجبة فقط. وبالتالي حدث تضييق في منطقة التعريف مما أدى إلى فقدان الجذور.

لتجنب فقدان الجذر، يمكننا التصرف على النحو التالي: في المعادلة الأصلية ننتقل من لوغاريتم المجموع إلى لوغاريتم المنتج. في هذه الحالة، من الممكن ظهور جذور غريبة، ولكن يمكنك التخلص منها عن طريق الاستبدال.

4. العديد من الأخطاء التي يتم ارتكابها عند حل المعادلات والمتباينات هي نتيجة لحقيقة أن الطلاب يحاولون في كثير من الأحيان حل المشكلات وفقًا للقالب، أي بالطريقة المعتادة. دعونا نعرض هذا مع مثال.

حل عدم المساواة

إن محاولة حل هذه المتباينة باستخدام أساليب خوارزمية مألوفة لن تؤدي إلى إجابة. الحل هنا يجب أن يتمثل في تقدير قيم كل حد على الجانب الأيسر من المتراجحة في مجال تعريف المتراجحة.

دعونا نجد مجال تعريف عدم المساواة:

لجميع x من الفاصل الزمني (9؛10) يحتوي التعبير على قيم موجبة (values وظيفة الأسيةدائما إيجابية).

بالنسبة لجميع x من الفاصل الزمني (9;10]، فإن التعبير x - 9 له قيم موجبة، والتعبير lg(x - 9) له قيم سالبة أو صفر، ثم التعبير (- (x - 9) lg(x - 9) موجب أو يساوي صفر .

أخيرًا أصبح لدينا x∈ (9;10). لاحظ أنه بالنسبة لقيم المتغير هذه، يكون كل حد على الجانب الأيسر من المتراجحة موجبًا (يمكن أن يكون الحد الثاني مساويًا للصفر)، مما يعني أن مجموعها يكون دائمًا أكبر من الصفر، ولذلك فإن حل المتراجحة الأصلية هو الفجوة (9:10).

5. أحد الأخطاء يتعلق بالحل الرسومي للمعادلات.

حل المعادلة

تظهر تجربتنا أن الطلاب، الذين يحلون هذه المعادلة بيانيًا (لاحظ أنه لا يمكن حلها بطرق أولية أخرى)، يحصلون على جذر واحد فقط (وهو حدود نقطة تقع على السطر y = x)، لأن الرسوم البيانية للوظائف

هذه هي الرسوم البيانية للوظائف العكسية المتبادلة.

في الحقيقة المعادلة الأصلية لها ثلاثة جذور: أحدهما هو حدود النقطة الواقعة على منصف الزاوية الإحداثية الأولى y = x، والجذر الآخر والجذر الثالث، ويمكنك التحقق من صحة ما قيل عن طريق استبدال الأرقام مباشرة في المعادلة المعطاة.

لاحظ أن المعادلات من الصيغة logax = ax عند 0< a < e-e всегда имеют три действительных корня.

يوضح هذا المثال بشكل جيد الاستنتاج التالي: الحل الرسوميالمعادلة f(x) = g(x) تكون "لا تشوبها شائبة" إذا كانت كلتا الدالتين مختلفتين ورتيبتين (واحدة منهما متزايدة، والأخرى تتناقص)، وليست صحيحة رياضيا بما فيه الكفاية في حالة الدوال الرتيبة (كلاهما إما أن يتناقص أو يتزايد في وقت واحد).

6. يرتبط عدد من الأخطاء النموذجية بحقيقة أن الطلاب لا يحلون المعادلات والمتباينات بشكل صحيح تمامًا بناءً على النهج الوظيفي. دعونا نعرض الأخطاء النموذجية من هذا النوع.

أ) حل المعادلة xx = x.

الدالة على الجانب الأيسر من المعادلة أسية، وإذا كان الأمر كذلك، فيجب فرض القيود التالية على أساس الدرجة: x > 0, x ≠ 1. لنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة المعطاة:

حيث لدينا س = 1.

لم تؤد اللوغاريتمات إلى تضييق مجال تعريف المعادلة الأصلية. ولكن مع ذلك، فقد فقدنا جذرين للمعادلة؛ وبالملاحظة الفورية نجد أن x = 1 و x = -1 هما جذور المعادلة الأصلية.

ب) حل المعادلة

كما في الحالة السابقة، لدينا دالة أسية، والتي تعني x > 0, x ≠ 1.

لحل المعادلة الأصلية، نأخذ لوغاريتم الطرفين لأي أساس، على سبيل المثال، للأساس 10:

بالنظر إلى أن حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا عندما يكون أحدهما على الأقل يساوي صفرًا، والآخر منطقي، فلدينا مزيج من نظامين:

النظام الأول ليس له حل. من النظام الثاني نحصل على x = 1. مع الأخذ في الاعتبار القيود المفروضة سابقًا، لا ينبغي أن يكون الرقم x = 1 هو جذر المعادلة الأصلية، على الرغم من أننا مقتنعون بالاستبدال المباشر بأن الأمر ليس كذلك.

7. دعونا نلقي نظرة على بعض الأخطاء المرتبطة بالمفهوم وظيفة معقدةعطوف . دعونا نظهر الخطأ باستخدام هذا المثال.

تحديد نوع رتابة الوظيفة.

توضح ممارستنا أن الغالبية العظمى من الطلاب يحددون الرتابة في هذه الحالة فقط على أساس اللوغاريتم، وبما أن 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает.

لا! هذه الوظيفة آخذة في الازدياد.

تقليديا، لوظيفة النموذج يمكننا أن نكتب:

زيادة (تناقص) = تنازلي؛

زيادة (زيادة) = زيادة؛

التناقص (التناقص) = الزيادة؛

التناقص (الزيادة) = التناقص؛

8. حل المعادلة

هذه المهمة مأخوذة من الجزء الثالث من امتحان الدولة الموحدة والذي يتم تقييمه بالنقاط ( أقصى درجة - 4).

نقدم حلاً يحتوي على أخطاء، مما يعني أنه لن يحصل على الحد الأقصى من الدرجات.

نقوم بتقليل اللوغاريتمات إلى الأساس 3. وتأخذ المعادلة الشكل

من خلال التحفيز، نحصل على

س1 = 1، س2 = 3.

دعونا نتحقق من تحديد أي جذور أجنبية.

, 1 = 1,

هذا يعني أن x = 1 هو جذر المعادلة الأصلية.

هذا يعني أن x = 3 ليس جذرًا للمعادلة الأصلية.

دعونا نشرح لماذا يحتوي هذا الحل على أخطاء. جوهر الخطأ هو أن السجل يحتوي على خطأين فادحين. الخطأ الأول: التسجيل ليس له أي معنى على الإطلاق. الخطأ الثاني: ليس صحيحاً أن حاصل ضرب عاملين أحدهما صفر سيكون بالضرورة صفراً. سيكون صفرًا إذا وفقط إذا كان عامل واحد هو 0، وكان العامل الثاني منطقيًا. ولكن هنا العامل الثاني ليس له أي معنى.

9. دعنا نعود إلى الخطأ الذي تم التعليق عليه أعلاه، ولكن في نفس الوقت سنقدم مبررات جديدة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، انتقل إلى المعادلة. كل جذر للمعادلة الأولى هو أيضًا جذر للمعادلة الثانية. العكس، بشكل عام، ليس صحيحا، لذلك، عند الانتقال من معادلة إلى أخرى، من الضروري في النهاية التحقق من جذور الأخيرة عن طريق الاستبدال في المعادلة الأصلية. بدلا من التحقق من الجذور، فمن المستحسن استبدال المعادلة بنظام مكافئ

إذا عندما تقرر معادلة لوغاريتميةالتعبيرات

حيث ن - رقم زوجي، يتم تحويلها وفقًا للصيغ ، ، ، ، نظرًا لأنه في كثير من الحالات يؤدي ذلك إلى تضييق نطاق تعريف المعادلة، فمن الممكن فقدان بعض جذورها. ولذلك، فمن المستحسن استخدام هذه الصيغ في الشكل التالي:

n هو رقم زوجي.

على العكس من ذلك، عند حل معادلة لوغاريتمية، يتم تحويل التعبيرات ، ، حيث n رقم زوجي، إلى تعبيرات على التوالي

عندها قد يتوسع مجال تعريف المعادلة، مما يمكن من خلاله الحصول على جذور غريبة. مع أخذ ذلك في الاعتبار، في مثل هذه المواقف، من الضروري مراقبة تكافؤ التحويلات، وإذا اتسع مجال تعريف المعادلة، تحقق من الجذور الناتجة.

10. عند اتخاذ القرار المتباينات اللوغاريتميةبمساعدة التعويض، نقوم دائمًا أولاً بحل متباينة جديدة بالنسبة لمتغير جديد، وعند حلها فقط ننتقل إلى المتغير القديم.

في كثير من الأحيان، يقوم تلاميذ المدارس عن طريق الخطأ بالانتقال العكسي في وقت سابق، في مرحلة العثور على الجذور وظيفة عقلانية، تم الحصول عليها على الجانب الأيسر من عدم المساواة. ولا ينبغي القيام بذلك.

11. دعونا نعطي مثالا لخطأ آخر يتعلق بحل المتباينات.

حل عدم المساواة