Визначення кореневого ступеня з дійсного. Корінь ступеня: основні визначення. Корінь n ступеня. Визначення

Урок та презентація на тему: "Корінь n-ого ступеня з дійсного числа"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
"Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10 та 11 класів"

Корінь n ступеня. Повторення пройденого.

Діти, тема сьогоднішнього заняття називається "Корінь n-ого ступеня з дійсного числа".
Корінь квадратний із дійсного числа ми з вами вивчали у 8 класі. Корінь квадратний пов'язані з функцією виду $y=x^2$. Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми обчислювали коріння квадратне, і які у нього були властивості? Повторіть цю тему самостійно.
Давайте розглянемо функцію виду $ y = x ^ 4 $ і побудуємо її графік.

Тепер графічно розв'яжемо рівняння: $x^4=16$.
На нашому графіку функції проведемо пряму $y=16$ і подивимося, у яких точках два наші графіки перетинаються.
За графіком функції добре видно, що маємо два рішення. Функції перетинаються у двох точках з координатами (-2; 16) та (2; 16). Абсциси наших точок і є розв'язання нашого рівняння: $x_1=-2$ і $x_2=2$. Також легко знайти коріння рівняння $x^4=1$, очевидно, що $x_1=-1$ та $x_2=1$.
Що робити, якщо є рівняння $x^4=7$.
Давайте побудуємо графік наших функцій:
За нашим графіком добре видно, що рівняння має також два корені. Вони симетричні щодо осі ординат, тобто протилежні. Знайти точне рішення за графіком функцій неможливо. Ми можемо тільки сказати, що наші рішення за модулем менше 2, але більше 1. Також можна сказати, що наше коріння є ірраціональними числами.
Зіткнувшись із такою проблемою, математикам треба було її описати. Вони ввели нове позначення: $\sqrt()$, який назвали коренем четвертого ступеня. Тоді коріння нашого рівняння $x^4=7$ запишуться ось у такому вигляді: $x_1=-\sqrt(7)$ і $x_2=\sqrt(7)$. Читається, як корінь четвертого ступеня із семи.
Ми говорили про рівняння виду $x^4=a$, де $а>0$ $(а=1,7,16)$. Ми можемо розглядати рівняння виду: $x^n=a$ де $а>0$, n - будь-яке натуральне число.
Нам, слід звернути увагу на ступінь при х, парності або непарності ступеня - змінюється кількість рішень. Розгляньмо конкретний приклад. Розв'яжемо рівняння $x^5=8$. Побудуємо графіки функції:
За графіком функцій добре видно, що у нашому випадку маємо лише одне рішення. Рішення прийнято позначати як $ sqrt (8) $. Вирішуючи рівняння виду $x^5=a$ і пробігши по всій осі ординат, неважко зрозуміти, що це рівняння завжди матиме одне рішення. При цьому значення а може бути менше нуля.

Корінь n ступеня. Визначення

Визначення. Коренем n-ого ступеня ($n=2,3,4…$) з неотрицательного числа а, називають таке невід'ємне число, при зведенні якого ступінь n виходить число а.

Це число позначають як $\sqrt[n](a)$. Число а називається підкореним число, n – показник кореня.

Коріння другого і третього ступеня прийнято називати корінням квадратним і кубічним відповідно. Ми їх вивчали у восьмому та дев'ятому класі.
Якщо $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, то:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Операцію знаходження кореня з негативної кількості називають "вилученням кореня".
Зведення в ступінь та добування кореня - це та сама залежність:

Діти, зверніть увагу, що в таблиці представлені тільки позитивні числа. У визначенні ми обмовили, що корінь витягується лише з неотрицательного числа а. Далі ми внесемо уточнення, коли можна витягувати корінь і з негативного числа а.

Корінь n ступеня. Приклади рішення

Обчислити:
а) $ \ sqrt (64) $.
Рішення: $ \ sqrt (64) = 8 $, так як $ 8> 0 $ і $ 8 ^ 2 = 64 $.

Б) $ \ sqrt (0,064) $.
Рішення: $ \ sqrt (0,064) = 0,4 $, так як $ 0,4> 0 $ і $ 0,4 ^ 3 = 0,064 $.

В) $ \ sqrt (0) $.
Рішення: $ \ sqrt (0) = 0 $.

Г) $ \ sqrt (34) $.
Рішення: У цьому прикладі точного значення ми дізнатися не можемо, наше число ірраціональне. Але ми можемо сказати, що воно більше 2 і менше 3, тому що 2 в 5 ступені дорівнює 32, а 3 в 5 ступені дорівнює 243. 34 лежить між цими числами. Наближене значення ми можемо знайти за допомогою калькулятора, який може обчислювати коріння $ sqrt (34) ≈ 2,02 $ з точністю до тисячних.
У нашому визначенні ми домовилися обчислювати коріння n-ого ступеня лише з позитивних чисел. На початку уроку ми бачили приклад, що можна добувати коріння n-ого ступеня та з негативних чисел. Ми розглянули непарний показник функції і тепер внесемо уточнення.

Визначення. Коренем непарного ступеня n (n = 3,5,7,9 ...) з негативного числа а називають таке негативне число, при зведенні якого в ступінь n виходить а.

Позначення прийнято використовувати такі самі.
Якщо $а 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Корінь парного ступеня має сенс лише позитивного підкореного числа, корінь непарного ступеня має сенс будь-якого підкореного числа.

приклади.
а) Вирішити рівняння: $ \ sqrt (3x +3) = -3 $.
Рішення: Якщо $\sqrt(y)=-3$, то $y=-27$. Тобто обидві частини нашого рівняння треба звести у куб.
$3х+3=-27$.
$ 3х = -30 $.
$х=-10$.

Б) Вирішити рівняння: $ \ sqrt (2х-1) = 1 $.
Зведемо обидві частини у четвертий ступінь:
$ 2х-1 = 1 $.
$ 2х = 2 $.
$ х = 1 $.

В) Розв'язати рівняння: $ sqrt (4x-1) = -5 $.
Рішення: Згідно з нашим визначенням, корінь парного ступеня можна отримувати лише з позитивного числа, а нам дано негативне, тоді коріння немає.

Г) Вирішити рівняння: $ \ sqrt (x ^ 2-7x + 44) = 2 $.
Рішення: Зведемо обидві частини рівняння в п'ятий ступінь:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ і $x_2=3$.

Завдання для самостійного вирішення

1. Обчисліть:
а) $ \ sqrt (81) $.
б) $ \ sqrt (0,0016) $.
в) $ \ sqrt (1) $.
г) $ \ sqrt (70) $.
2. Розв'яжіть рівняння:
а) $ \ sqrt (2x +6) = 2 $.
б) $ \ sqrt (3x-5) = -1 $.
в) $ \ sqrt (4x-8) = -4 $.
г) $ \ sqrt (x ^ 2-8x + 49) = 2 $.

X 4 =1 і розв'яжемо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х n пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках:

Є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо корені рівняння х 4 = 16:

Тепер спробуємо вирішити рівняння х 4 =5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Ясно, що рівняння має два корені х 1 і х 2 , причому ці числа, як і у попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріннябули знайдені без труднощів (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не бачимо вказати значення коренів, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується лівіше від точки -1, а другий - Правіше точки 1.
Можна довести (приблизно так, як це зроблено в нашому підручнику «Алгебра-8» для числа л/б), що х 1 і х 2 - ірраціональні числа (тобто нескінченні неперіодичні десяткові дроби).

Зустрівшись вперше з подібною ситуацією, математики зрозуміли, що треба вигадати спосіб її опису на математичною мовою. Вони ввели в розгляд новий символ, який назвали коренем четвертого ступеня, і за допомогою цього символу корені рівняння х 4 = 5 записали так: (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Примітка 1.Порівняйте ці міркування з аналогічними міркуваннями, проведеними в § 17, 32 і 38. Нові терміни та нові позначення в математиці з'являються тоді, коли вони необхідні для опису нової математичної моделі. Це - відображення особливості математичної мови: її основна функція не комунікативна - для спілкування, а організуюча - для організації успішної роботиз математичними моделями в різних областяхзнань.

Ми говорили про рівняння х 4 = а де а >0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а, де > 0, а п - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь хг, який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа хх введемо позначення Чч.

Взагалі, вирішуючи рівняння х п = а, де а > 0, n е N, п> 1, отримуємо у разі парного п два корені: (Рис. 164, в); у разі непарного п - один корінь (читається: «корінь n-го ступеняу складі а»). Вирішуючи рівняння х п =0, отримуємо єдиний корінь х=0.

Примітка 2.У математичному мові, як й у повсякденному мові, буває отже і той ж термін застосовується до різних понять; так, у попередньому реченні слово «корінь» вжито у двох сенсах: як корінь рівняння (до такого тлумачення ви давно звикли) і як корінь л-го ступеняу складі (нове тлумачення). Зазвичай із контексту буває ясно, яке тлумачення терміна мають на увазі.

Тепер ми готові надати точне визначення.

Визначення 1. Коріння л-йступеня з неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) називають таке неотрицательное число, яке за зведенні ступінь n дає у результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадокякий ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8-го класу.

Якщо n = 3, то замість "корінь третього ступеня" часто кажуть "корінь кубічний". Перше знайомство з кубічним коренем у вас відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використовували кубічний корінь § 36 при вирішенні прикладу 6.

Взагалі, - одна й та сама математична модель(одна й та сама залежність між неотрицательными числами а і Ь), але друга описана більш простою мовою(використовує простіші символи), ніж перша.

Операцію знаходження кореня з негативного числа називають зазвичай вилученням кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. Порівняйте:

Іноді вираз називають радикалом (від латинського слова гаdix – «корінь»). У російській термін радикальний використовується досить часто, наприклад, «радикальні зміни» - це означає «корінні зміни». Між іншим, і саме позначення кореня нагадує про слово гаdix: символ – це стилізована літера r.

приклад 1.Обчислити:

г) На відміну від попередніх прикладів ми не можемо вказати точне значення числа Ясно лише, що воно більше, ніж 2, але менше, ніж 3, оскільки 2 4 = 16 (це менше, ніж 17), а З 4 = 81 (це більше, ніж 17). Зауважуємо, що 24 набагато ближче до 17, ніж З4, тому є підстави використовувати знак наближеної рівності:

Втім, більш точне наближене значення числа можна знайти за допомогою калькулятора, який містить операцію вилучення кореня, воно дорівнює приблизно
Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2)5 =-32 можна переписати в еквівалентній формі як . У цьому використовується таке визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня л із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже,

Таким чином, корінь парного ступеня має сенс (тобто визначено) тільки для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарного ступеня має сенс будь-якого підкореного висловлювання.
Приклад 2. Розв'язати рівняння:

Рішення:а якщо Фактично обидві частини заданого рівняннями маємо звести в куб. Отримаємо:

б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо:

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
г) Звівши обидві частини рівняння до шостого ступеня, отримаємо:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питаннявід учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

Сценарій уроку в 11 класі на тему:

Корінь n-го ступеня з дійсного числа. »

Мета уроку:Формування в учнів цілісного ставлення до корені n-ого ступеня та арифметичного коріння n-ого ступеня, формування обчислювальних навичок, навичок свідомого та раціонального використаннявластивостей кореня під час вирішення різних завдань, що містять радикал. Перевірити рівень засвоєння учнями теми.

Предметні:створити змістовні та організаційні умови для засвоєння матеріалу на тему «Числові та буквені вирази » на рівні сприйняття осмислення та первинного запам'ятовування; формувати вміння застосовувати дані відомості під час обчислення кореня n-йступеня із дійсного числа;

Метопредметні:сприяти розвитку обчислювальних навичок; вміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, робити висновки;

Особистісні:виховувати вміння висловлювати свою думку, слухати відповіді інших, брати участь у діалозі, формувати здатність до позитивної співпраці.

Запланований результат.

Предметні: вміти в процесі реальної ситуації застосовувати властивості кореня n-го ступеня з дійсного числа при обчисленні коріння, розв'язання рівнянь.

Особистісні: формувати уважність і акуратність у обчисленнях, вимогливе ставлення себе і своєї роботи, виховувати почуття взаємодопомоги.

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань

Мотивація до навчальної діяльності:

Східна мудрість каже: "Можна коня привести до води, але не можна змусити його пити". І людину неможливо змусити вчитися добре, якщо вона сама не намагається дізнатися більше, не має бажання працювати над своїм розумовим розвитком. Адже знання лише тоді знання, коли вони набуті зусиллями своєї думки, а не однією пам'яттю.

Наш урок пройде під девізом: «Підкоримо будь-яку вершину, якщо будемо до неї прагнути». Нам із вами протягом уроку потрібно встигнути подолати кілька вершин, і кожен із вас має вкласти всі свої зусилля, щоб підкорити ці вершини.

«Сьогодні у нас урок, на якому ми повинні познайомитися з новим поняттям: «Корінь n-го ступеня» та навчитися застосовувати це поняття до перетворення різних виразів.

Ваша мета – на основі різних форм роботи активізувати наявні знання, зробити свій внесок у вивчення матеріалу та отримати хороші оцінки»
Корінь квадратний із дійсного числа ми з вами вивчали у 8 класі. Корінь квадратний пов'язаний з функцією виду y=x 2 . Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми обчислювали коріння квадратне, і які у нього були властивості?
а) індивідуальне опитування:

що це за вираз

що називається квадратним коренем

що називається арифметичним квадратним коренем

перерахуйте властивості квадратного кореня

б) робота у парах: обчисліть.

2. Актуалізація знань та створення проблемної ситуації:Розв'яжіть рівняння x 4 =1 . Як ми можемо його вирішити? (Аналітично та графічно). Вирішимо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х 4 пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках: А (-1; 1) та B (1; 1). Абсциси точок А та B, тобто. х 1 = -1,

х 2 = 1, є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо коріння рівняння х 4 = 16: А тепер спробуємо вирішити рівняння х 4 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Ясно, що рівняння має два корені х 1 і х 2 , причому ці числа, як і у попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріння було знайдено без праці (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не можемо вказати значення коріння, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується ліворуч точки -1, а другий - правіше точки 1.

х 2 = - (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Ми говорили про рівняння х 4 = а, де а 0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а де а 0, а n - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь х 1 , який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа х 1 введемо позначення .

Визначення 1.Коренем n-го ступеня з неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) називають таке неотрицательное число, яке за зведенні ступінь n дає у результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадок, який ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8-го класу.

Якщо n = 3, то замість "корінь третього ступеня" часто кажуть "корінь кубічний". Перше знайомство з кубічним коренем у вас відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використали кубічний корінь у курсі алгебри 9-го класу.

Отже, якщо ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Взагалі, =b і b n =а - та сама залежність між неотрицательными числами а і b, але друга описана більш простою мовою (використовує простіші символи), ніж перша.

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це обумовлено у визначенні 1. І хоча, наприклад, (-6) 6 =36 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня, тобто. написати, що не можна. За визначенням - позитивне число, отже = 6 (а чи не -6). Так само, хоч і 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходячи до знаків коріння, ми повинні написати = 2 (і в той же час ≠-2).

Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2) 5 = -32 можна переписати у еквівалентній формі як =-2. У цьому використовується таке визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня n із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже, якщо а, n=,5,7,…, то: 1) 0; 2) () n = а.

5. Первинне закріплення знань:

1. Обчислити: №№33.5; 33.6; 33.74 33.8 усно а); б); в); г).

Поставити біля прикладу відповідну літеру.

Невелика інформація про великого вченого. Рене Декарт (1596-1650) французький дворянин, математик, філософ, фізіолог, мислитель. Рене Декарт заклав основи аналітичної геометрії, ввів літерні позначення x2, y3. Всім відомі декартові координати, Що визначають функцію змінної величини

3 . Розв'язати рівняння: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Рішення:а) Якщо = –2, то y = –8. Фактично обидві частини заданого рівняння ми маємо звести у куб. Отримаємо: 3х +4 = - 8; 3х = -12; х = -4. б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо: х = 1.

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
До вашої уваги запропоновано кілька завдань. Коли ви виконаєте ці завдання, ви дізнаєтесь ім'я та прізвище великого вченого-математика. Цей учений у 1637 р. першим увів знак кореня.

6. Давайте трохи відпочинемо.

Піднімає руки клас – це «раз».

Повернулась голова – це два.

Руки вниз, вперед дивись – це три.

Руки в сторони ширше розгорнули на «чотири»,

З силою їх до рук притиснути це «п'ять».

Всім хлопцям треба сісти - це "шість".

7. Самостійна робота:

варіант: 2 варіант:

б) 3-. б) 12-6.

2. Розв'яжіть рівняння: а) х 4 = -16; б) 0,02 х 6 -1,28 = 0; а) х 8 = -3; б) 0,3 х 9 - 2,4 = 0;

в) = -2; в) = 2

8. Повторення:Знайдіть корінь рівняння = – х. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповідь впишіть найменше з коренів.

9. Рефлексія:Чого ви навчилися на уроці? Що було цікаво? Що було важким?

Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n=2, 3, 4,...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює добутку коріння n-йступеня з цих чисел:

Зауваження:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.Якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Коротка(хоча й неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коріння.

Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня , тобто. лише коріння з однаковим показником.

Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, Досить звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь, досить перемножити показники коренів.
Наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення у ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коріння? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що

Теорема 5. Якщо показники кореня та підкореного виразу помножити або розділити на те саме натуральне число, то значення кореня не зміниться, тобто.

Приклади вирішення завдань

приклад 1.Обчислити

Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:

приклад 2.Обчислити
Рішення.Звернемо змішане числов неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коріння ( теорема 2 ), отримаємо:

Приклад 3.Обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перше властивість коренів означає, що можна у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме відноситься і до другої якості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-ого ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня, зокрема, потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь із числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5 · 5 = 25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обґрунтуванням цього факту можна вважати конструктивний спосіб, який використовується для знаходження значення квадратного кореня.

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, або ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем із нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, то кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це випливає з очевидної рівності 02 = 00 = 0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, тому що при будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді за визначенням квадратного кореня справедливі рівність b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів з позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що мова йдесаме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел . Наприклад, позбавлені сенсу висловлювання та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться якості квадратного коріння , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно виходить з понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем у складі aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 , і зведемо їх у куб: 7 3 =7 · 7 · 7 = 343, 0 3 = 0 · 0 · 0 = 0 . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, який ми згадували при вивченні квадратного кореня.

Понад те, існує лише єдиний кубічний корінь із цього числа a . Доведемо останнє твердження. Для цього окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 та a – негативне число.

Легко показати, що з позитивному a кубічний корінь з a може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, оскільки ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b, яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то має виконуватись рівність b3=0, яка можлива лише при b=0.

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково співпадатиме з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем з негативної кількості aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як , знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 у цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише для невід'ємних чисел a, але зручно також використовувати записи, в яких під знаком арифметичного кубічного кореня знаходяться негативні числа. Розуміти їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо у загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті вилучення коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a.

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є саме число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь та кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – корені парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коріння, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a. Тобто, корінь будь-якого парного ступеня у складі a існує лише для неотрицательного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2m −c 2m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто, корінь будь-якої непарної міри з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a та b обидва позитивні або обидва негативні їх твір є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що знаходиться в дужках самої високого ступенявкладеності є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємось, що вони також позитивні як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-ого ступеня з невід'ємного числа aназивається неотрицательное число, n -я ступінь якого дорівнює a.