Другий золотий перетин. Божественна гармонія: що таке золоте перетин простими словами. Таємниці світобудови у числах Золотий трикутник у золотому перерізі

Я люблю гуляти центром Москви, де стоїть безліч старовинних будівель з прикрасою у вигляді геометричних фігурмістять золотий переріз. Вони приковують погляд людини і змушують захоплюватися своєю красою. Мені стало цікаво зазирнути за рамки підручника з геометрії, та подивитися про роль золотого перетину у культурній сфері життя.

Золотий перетин(Або пропорція Фідія), на думку багатьох дослідників, є найбільш приємною для людського ока. Цим можна пояснити її багатогранне застосування людиною, наприклад такі сфери як архітектура, живопис, фотографія та ландшафтний дизайншироко використовують цю пропорцію та пов'язані з нею властивості. Ця пропорція була в пошані у найрозумніших людей, таких як Леонардо Да Вінчі та Ле Корьбюзьє. Художник та архітектор Леонардо Да Вінчі вважав, що ідеальні пропорції людського тіла мають бути пов'язані із золотим перетином. Архітектор Ле Корьбюзьє керувався ним у багатьох своїх працях. Мені ж хотілося отримати початкові знання з цієї теми.

В епоху Відродження золотий перетин був дуже популярним, наприклад, було прийнято брати розміри картини такими, щоб відношення ширини до висоти дорівнювало числу Фідія. Форму золотого перерізу надавали як картинам, а й книгам, столам, листівкам. Тому мені хотілося б докладніше розглянути застосування золотого перерізу в різні епохи від давнини, епохи Відродження до XlX століття. Для цього потрібно прочитати та вивчити літературу, пов'язану з цією темою, знайти найбільше цікаві фактита викласти їх у своєму рефераті.

Мета даного реферату у тому, щоб подати інформацію наочно і цікаво. Для досягнення мети поставлено такі завдання

1. Дати визначення понять симетрії та асиметрії, золотий переріз.

2. описати золоті фігури та побудувати деякі з них

3. розповісти про застосування та використання божественної пропорції людиною

Для написання своєї роботи використовую таку літературу: Азевич А.І. "Двадцять уроків гармонії", Ведов В. "Піраміди здоров'я", Сагателова С. С., Студенецька В.М. «Геометрія: краса та гармонія. Найпростіші завдання аналітичної геометріїна площині. Золота симетрія, пропорція навколо нас. 8-9 класи: курси курсів», Н.Я. Віленкін "За сторінками підручника математики", статті з електронної версії бібліотеки "Наука та техніка", електронна версія енциклопедії для дітей з математики. Книга Азевич А.І. «Двадцять уроків гармонії», на мою думку, добре розкриває тему симетрії та асиметрії, і дає зрозумілі та докладні початкові відомості про золотий переріз. Сагателова С. С., Студенецька В.М. «Геометрія: краса та гармонія. Найпростіші завдання аналітичної геометрії на площині. Золота симетрія, пропорція навколо нас. 8-9 класи: елективні курси» добре описує золоті фігури та способи їх побудови. Н.Я. Віленкін «За сторінками підручника математики» докладно пояснює виведення формул золотого перерізу та його властивості, як і добре описує побудови золотого перерізу і пентаграми. Ведов В. «Піраміди здоров'я» доступно і зрозуміло пояснює ряд Фібоначчі та отримання числа Фідія. Статті з електронної версії бібліотеки «Наука та техніка», електронна версія енциклопедії для дітей з математики дають докладний описзастосування золотого перерізу в давнину, епохи Відродження та XIX столітті.

Розділ 1 Золотий перетин – симетрія чи асиметрія?

Найважливіша метацього реферату - показати красу як головну категорію естетики та математики.

Чи замислювалися ви колись над значенням слова «гармонія»?

Гармонія грецьке слово, що означає «узгодженість, пропорційність, єдність частин і цілого». Зовні гармонія може виявлятися у мелодії, ритмі, симетрії та пропорційності. Дві останні відносяться до математики. Математика - унікальний засіб пізнання краси. Оскільки краса багатогранна та багатолика, вона підтверджує універсальність математичних закономірностей.

У всьому панує гармонії закон,

І у світі все є ритм, акорд і тон.

Продовжимо розповідь за принципом від більшого до меншого.

Симетрія – основний принцип устрою світу.

Симетрія – у широкому чи вузькому значенні, залежно від того, як ви визначаєте значення цього поняття, є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість.

Г. Вейль

Симетрія - поширене явище, її загальність служить ефективним методомпізнання природи. Симетрія у природі потрібна, щоб зберігати стійкість. Усередині зовнішньої симетрії лежить внутрішня симетрія побудови, що гарантує рівновагу. Симетрія – прояв прагнення матерії до надійності та міцності.

Симетричні форми забезпечують повторюваність вдалих форм, тому стійкіші до різних впливів. Симетрія різноманітна.

Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися стосовно різних операцій – поворотів, відбитків, переносів.

Існує три основні види симетрії досліджуваних у школі: симетрія щодо точки (центральна симетрія), симетрія щодо прямої ( осьова симетрія) та симетрія щодо площини.

Центральна симетрія квітки

Центральна симетрія в орнаменті, створеному людиною.

Симетрія щодо прямої на прикладі будівлі МДУ

Симетрія щодо площини у кулі.

Це не єдині видисиметрії також існує і гвинтова симетрія. Якщо розглядати розташування листя на гілці дерева, ми помітимо, що лист відстоїть від іншого, але й повернутий навколо осі стовбура. Листя розташовується на стовбурі по гвинтовій лінії, щоб не затуляти одне від одного сонячне світло.

Гвинтова симетрія в природі на прикладі черепашки .

Використання гвинтової симетрії людиною на прикладі сходів .

Симетрія багатолика. Вона має властивості, які одночасні і прості і складні, здатні проявлятися і один раз і нескінченно багато разів.

Якщо людині мало знайомій запропонувати кілька фігур, вона інтуїтивно вибере найбільш симетричні. Швидше за все, опинившись у такій ситуації, ми оберемо рівносторонній трикутникчи квадрат.

Людина інстинктивно прагне стійкості, зручності та краси. Світ настільки хаотичний і непередбачуваний, що людині найбільш приємні для сприйняття постаті та речі, що містять у собі порядок, гармонію, симетрію. Працювати з фігурами, які мають більше симетрій легше.

З того, скільки симетрій мають фігури, можна проводити їх класифікацію. Найдосконалішою фігурою вважається куля, що має всі види симетрії.

Симетрія працьовита. Кожному своєму вигляду вона дає могутність породжувати нові й нові постаті.

Симетрію можна спостерігати у всіх сферах нашого життя: симетрія побудови будівель, музики та симетрія образів у літературі, симетрія танцю.

Симетрія одна із принципів побудови світу.

Симетрія – сторож спокою,

Асиметрія – двигун життя.

Гармонійним може бути і асиметричне. Симетрія викликає почуття спокою, нерухомості, то асиметрія викликає відчуття руху та свободи.

Дослідники, які отримали Нобелівську премію, Показали, що наш світ несиметричний, закони симетрії у Всесвіті не спостерігаються. Світ асиметричний на всіх рівнях: від елементарних частинокдо біологічних видів

Найвідомішим прикладом гармонії асиметрії є золотий перетин. Є слова, що належать Йоганну Кеплеру: «Геометрія володіє двома скарбами: один з них – теорема Піфагора, інше – розподіл відрізка в середньому та крайньому відношенні» Велика вчена стать словами «поділ відрізка в середньому та крайньому відношенні» має на увазі відому пропорцію – золотий перетин . Саме це пропорція є темою мого реферату. У наступних розділах я розповім про застосування золотого перерізу, а нижче дам визначення цього поняття та способи його отримання.

Будь-якій людині, якій хоча б побічно доводилося стикатися з геометрією просторових об'єктів в інтер'єрному дизайні та архітектурі, напевно добре відомий принцип золотого перетину. Ще недавно, кілька десятків років тому, популярність золотого перерізу була настільки високою, що численні прихильники містичних теорій та устрою світу його називають універсальним гармонійним правилом.

Сутність універсальної пропорції

Дивно інше. Причиною упередженого, майже містичного ставлення до такої простої числової залежності стало кілька незвичайних властивостей:

Багато об'єктів живого світу, від вірусу до людини, мають основні пропорції тіла чи кінцівок, дуже близькі до значення золотого перерізу;
Залежність 0,63 або 1,62 характерна тільки для біологічних істот і деяких різновидів кристалів, неживі об'єкти, від мінералів до елементів ландшафту, мають геометрію золотого перерізу вкрай рідко;
Золоті пропорції у будові тіла виявилися найоптимальнішими для виживання реальних біологічних об'єктів.

Сьогодні золотий перетин знаходять у будові тіла тварин, панцирів та раковин молюсків, пропорцій листя, гілок, стовбурів та кореневих систем у достатньо великої кількостічагарників та трав.

Багато послідовників теорії універсальності золотого перерізу неодноразово робилися спроби довести той факт, що його пропорції є найбільш оптимальними для біологічних організмівза умов їх існування.

Зазвичай як приклад наводиться пристрій раковини Astreae Heliotropium, одного з морських молюсків. Панцир є згорнуту спіраллю кальцитову оболонку з геометрією, що практично збігається з пропорціями золотого перерізу.

Зрозумілішим і очевидним прикладом є звичайне куряче яйце.

Співвідношення основних параметрів, а саме великого і малого фокусу, або відстаней від рівновіддалених точок поверхні до центру ваги, також відповідатиме золотому перерізу. При цьому форма шкаралупи пташиного яйця є найбільш оптимальною для виживання птиці як біологічного виду. У цьому міцність шкаралупи грає далеко ще не головну роль.

До уваги! Золотий переріз, що називається ще універсальною пропорцією геометрії, було отримано в результаті величезної кількостіпрактичних вимірів та порівнянь розмірів реальних рослин, птахів, тварин.

Походження універсальної пропорції

Про золоту пропорцію перерізу знали давньогрецькі математики Евклід і Піфагор. В одній із пам'ятників стародавньої архітектури— піраміді Хеопса співвідношення сторін та основи, окремі елементи та настінні барельєфи виконані відповідно до універсальної пропорції.

Методика золотого перерізу широко використовувалася у середні віки художниками та архітекторами, при цьому суть універсальної пропорціївважалася однією з таємниць всесвіту і ретельно ховалася від простого обивателя. Композиція багатьох картин, скульптур та будівель вибудовувалась строго відповідно до пропорцій золотого перетину.

Вперше суть універсальної пропорції документально була сформульована в 1509 р ченцем-францисканцем Лукой Пачолі, який мав блискучі математичними здібностями. Але справжнє визнання відбулося після проведення німецьким ученим Цейзингом всебічного вивчення пропорцій та геометрії людського тіла, давніх скульптур, творів мистецтва, тварин та рослин.

У більшості живих об'єктів деякі розміри тіла підкоряються тим самим пропорціям. У 1855 р вченим було зроблено висновок у тому, що пропорції золотого перерізу є своєрідним стандартом гармонії тіла, і форми. ЙдетьсяНасамперед про живі істоти для мертвої природи золотий перетин зустрічається значно рідше.

Як отримали золотий перетин

Пропорцію золотого перерізу найпростіше уявити, як відношення двох частин одного об'єкта різної довжини, розділених точкою.

Простіше кажучи, скільки довжин маленького відрізка поміститься всередині великого, або ставлення найбільшої частини до всієї довжини лінійного об'єкта. У першому випадку співвідношення золотого перерізу становить 0,63, у другому варіанті співвідношення сторін дорівнює 1,618034.

Насправді золотий перетин є лише пропорцію, співвідношення відрізків певної довжини, сторін прямокутника чи інших геометричних форм, споріднених чи сполучених розмірних характеристик реальних об'єктів

Спочатку золоті пропорції були виведені емпіричним шляхом за допомогою геометричних побудов. Існує кілька способів побудови чи виведення гармонійної пропорції:

До уваги! На відміну від класичного золотого співвідношення, архітектурна версія має на увазі співвідношення сторін відрізка у пропорції 44:56.

Якщо стандартний варіант золотого перерізу для живих істот, живопису, графіки, скульптур та античних будівель розраховувався, як 37:63, то золотий перетин в архітектурі з кінця XVII століття все частіше став використовуватись 44:56. Більшість фахівців вважають зміну на користь «квадратніших» пропорцій поширенням висотного будівництва.

Головний секрет золотого перерізу

Якщо природні прояви універсального перерізу в пропорціях тіл тварин і людини, стеблової основи рослин ще можна пояснити еволюцією та пристосовуваністю до впливу зовнішнього середовища, то відкриття золотого перерізу у будівництві будинків XII-XIX ст. стало певною несподіванкою. Мало того, знаменитий давньогрецький Парфенон був побудований з дотриманням універсальної пропорції, багато будинків і замків заможних вельмож і заможних людей у середні віки будувалися свідомо з параметрами, дуже близькими до золотого перетину.

Золотий перетин в архітектурі

Багато споруд, що збереглися до сьогодні, свідчать, що архітектори середньовіччя знали про існування золотого перетину, і, звичайно, при будівництві будинку керувалися своїми примітивними розрахунками та залежностями, за допомогою яких намагалися досягти максимальної міцності. Особливо виявлялося бажання будувати максимально гарні та гармонійні будинки в будівлях резиденцій царюючих осіб, церков, ратуш та будівель, що мають особливе. соціальне значенняу суспільстві.

Наприклад, знаменитий собор Паризької богоматері у своїх пропорціях має чимало ділянок та розмірних ланцюгів, що відповідають золотому перетину.

Ще до публікації своїх досліджень у 1855 році професором Цейзінгом, кінці XVIIIстоліття були збудовані знамениті архітектурні комплекси Голіцинської лікарні та будівлі сенату в Санкт-Петербурзі, будинки Пашкова та Петровського палацу в Москві з використанням пропорцій золотого перетину.

Зрозуміло, що будинки з точним дотриманням правила золотого перетину будували і раніше. Варто згадати пам'ятку стародавньої архітектури церкви Покрови на Нерлі, зображену на схемі.

Усіх їх поєднує не лише гармонійне поєднання форм та висока якістьбудівництва, а й, насамперед, наявність золотого перерізу у пропорціях будівлі. Дивовижна краса будівлі стає ще загадковішою, якщо взяти до уваги вік, будівля церкви Покрова датується XIII століттям, але сучасний архітектурний вигляд споруда отримала на рубежі XVIIстоліття в результаті реставрації та перебудови.

Особливість золотого перерізу для людини

Старовинна архітектура будівель та будинків середньовіччя залишається привабливою та цікавою для сучасної людиниз багатьох причин:

Індивідуальний художній стильв оформленні фасадів дозволяє уникнути сучасного штампу та сірості, кожна будівля є витвором мистецтва;
Масове використання для декорування та прикраси статуй, скульптур, ліпнини, незвичайних поєднань будівельних рішень різних епох;
Пропорції та композиції будинку притягують погляд до найважливіших елементів будівництва.

Важливо! При проектуванні будинку та розробці зовнішнього виглядусередньовічні архітектори застосовували правило золотого перерізу, несвідомо використовуючи особливості сприйняття підсвідомості людини.

Сучасні психологи експериментально довели, що золотий переріз є проявом неусвідомленого бажання чи реакції людини на гармонійне поєднання чи пропорцію розмірах, формах і навіть кольорах. Було проведено експеримент, у ході якого групі людей, незнайомих між собою, які мають спільних інтересів, різних професій і вікових категорій, запропонували низку тестів, серед яких було завдання зігнути аркуш паперу найбільш оптимальної пропорції сторін. За результатами тестування було встановлено, що у 85 випадках зі 100 аркуш згинався випробовуваними практично точно за золотим перерізом.

Тому сучасна наукавважає, що феномен універсальної пропорції є психологічним явищем, а чи не дією будь-яких метафізичних сил.

Використання фактора універсального перерізу в сучасному дизайні та архітектурі

Принципи застосування золотої пропорції останні кілька років стали надзвичайно популярні у будівництві приватних будинків. На зміну екології та безпеки будівельних матеріалів прийшли гармонійність конструкції та правильний розподіленергії всередині будинку.

Сучасна інтерпретація правила загальної гармонії давно поширилася межі звичної геометрії та форми об'єкта. Сьогодні правилу підпорядковуються не лише розмірні ланцюги довжини портика та фронтону, окремих елементів фасаду та висоти будівлі, а й площа кімнат, віконних та дверних отворів, і навіть колірна гама внутрішнього інтер'єру приміщення.

Найпростіше побудувати гармонійний будинок на модульній основі. У цьому випадку більшість відділень та кімнат виготовляються у вигляді самостійних блоків або модулів, що спроектовані з дотриманням правила золотого перерізу. Побудувати будівлю у вигляді набору гармонійних модулів значно простіше, ніж будувати одну коробку, в якій більша частина фасаду та внутрішніх приміщень має бути у жорстких рамках пропорцій золотого перерізу.

Чимало будівельних фірм, що виконують проектування приватних домоволодінь, використовують принципи та поняття золотого перерізу для збільшення кошторису та створення у клієнтів враження глибокого опрацювання конструкції будинку. Як правило, такий будинок декларується, як дуже зручний та гармонійний у користуванні. Правильно підібране співвідношення площ кімнат гарантує душевний комфорт та відмінне здоров'я господарів.

Якщо будинок був побудований без урахування оптимальних співвідношень золотого перерізу, можна перепланувати кімнати так, щоб пропорції приміщення відповідали співвідношенню стін у пропорції 1:1,61. Для цього можуть переміщатися меблі або встановлюватись додаткові перегородки всередині кімнат. Аналогічним чином змінюються розміри віконних і дверних прорізів так, щоб ширина отвору була меншою за висоти дверного полотна в 1,61 раза. Таким же способом виконується планування меблів, побутової техніки, обробки стін та підлоги.

Складніше вибрати колірне оформлення. У цьому випадку замість звичного співвідношення 63:37 послідовниками золотого правила прийнято спрощене трактування - 2/3. Тобто основний колірний фон повинен займати 60% простору приміщення, кольору, що відтіняє, віддають не більше 30%, і решта відводиться під різні споріднені тони, покликані посилити сприйняття колірного рішення.

Внутрішні стіни приміщення діляться горизонтальним поясом або бордюром на висоті 70 см, встановлені меблі повинні порівнюватися з висотою стель за співвідношенням золотого перерізу. Те саме правило стосується розподілу довжин, наприклад, розмір дивана не повинен перевищувати 2/3 довжини простінка, а загальна площа, яку займають меблі, відноситься до площі кімнати, як 1:1,61.

Золоту пропорцію складно в масовому порядку застосовувати на практиці через лише одне значення перерізу, тому при проектуванні гармонійних будівель нерідко вдаються до ряду чисел Фібоначчі. Це дозволяє розширити кількість можливих варіантів пропорцій та геометричних форм основних елементів будинку. У цьому випадку ряд чисел Фібоначчі, пов'язаних між собою чіткою математичною залежністю, називають гармонійним чи золотим.

У сучасній методиці проектування житла на основі принципу золотого перерізу, окрім ряду Фібоначчі, широко використовується принцип, запропонований відомим французьким архітектором Ле Корбюзьє. В цьому випадку як відправна одиниця виміру, за якою розраховуються всі параметри будівлі та внутрішнього інтер'єру, вибирається зростання майбутнього власника або середня висота людини. Такий підхід дозволяє спроектувати будинок не лише гармонійний, а й по-справжньому індивідуальний.

Висновок

На практиці, за відгуками тих, хто зважився на будівництво будинку за правилом золотого перерізу, якісно побудована будівля дійсно виявляється досить зручною для проживання. Але вартість будови через індивідуальне проектування та застосування будматеріалів нестандартних розмірівзбільшується на 60-70%. І в цьому підході немає нічого нового, оскільки більшість будівель минулого століття будувалися саме під індивідуальні особливостімайбутніх господарів.

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета може бути продиктований життєвою необхідністюа може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Золотий перетин – гармонійна пропорція

У математиці пропорцією(лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

Відрізок прямий АВможна розділити на дві частини такими способами:

на дві рівні частини - АВ : АС = АВ : НД;

на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);

таким чином, коли АВ : АС = АС : НД.

Остання і є золотий поділ або поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні.

Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : cабо з : b = b : а.

Мал. 1.Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.

Мал. 2.Розподіл відрізка прямий по золотому перерізу. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки Увідновлюється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка Зз'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок ADпереноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Еділить відрізок АВу співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE= 0,618..., якщо АВприйняти за одиницю, ВЕ= 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 та 0,38. Якщо відрізок АВприйняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням:

x 2 - x - 1 = 0.

Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Другий золотий перетин

Болгарський журнал «Батьківщина» (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», що випливає з основного перерізу та дає інше відношення 44: 56.

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові зображень композицій подовженого горизонтального формату.

Мал. 3.Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється в такий спосіб (див. рис.3). Відрізок АВділиться у пропорції золотого перерізу. З точки Звідновлюється перпендикуляр СD. Радіусом АВзнаходиться точка Dяка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСDділиться навпіл. З точки Зпроводиться лінія до перетину з лінією AD. Крапка Еділить відрізок ADщодо 56: 44.

Мал. 4.Розподіл прямокутника лінією другого золотого перерізу

На рис. 4 показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна користуватися пентаграмою.

Мал. 5.Побудова правильного п'ятикутниката пентаграми

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O- центр кола, A- точка на колі та Е- середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DCі отримаємо п'ять точок для написання правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Мал. 6.Побудова золотого трикутника

Проводимо пряму АВ. Від точки Авідкладаємо на ній три рази відрізок Продовільної величини, через отриману точку Рпроводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо та вліво від точки Рвідкладаємо відрізки Про. Отримані точки dі d 1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd 1 відкладаємо на лінію Ad 1 , отримуючи точку З. Вона розділила лінію Ad 1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad 1 та dd 1 користуються для побудови золотого прямокутника.

Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Мал. 7.Динамічні прямокутники

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

Мал. 8.Античний циркуль золотого перерізу

У дійшла до нас античної літературизолотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початок» дається геометрична побудовазолотого поділу Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. середньовічної Європиіз золотим поділом познайомилися з арабських перекладів «Початок» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише посвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу у живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираз божественного триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й захотів зробити».

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок mпоруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів

Мал. 9.Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби «разом із водою виплеснули і дитину». Знову «відкрито» золотий перетин був у середині ХІХ ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були й противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Мал. 10.Золоті пропорції у частинах тіла людини

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.

Мал. 11.Золоті пропорції у фігурі людини

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Піддалися дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безкінечності в один і інший бік. Наступна його книга мала назву «Золотий поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису.

У наприкінці XIX- На початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

Ряд Фібоначчі

З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця «Книга про абак» (рахунковій дошці), в якій були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань гласила «Скільки пар кроликів за один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі побудував такий ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумідвох попередніх 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це ставлення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі також займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16...

Узагальнений золотий переріз

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу.

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, З якої виходять і «двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості?

Дійсно, поставимо числовий параметр S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S+ 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на Sкроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через S ( n), то отримаємо загальну формулуφ S ( n) = S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Очевидно, що при S= 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, при S= 1 - ряд Фібоначчі, при S= 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

У загальному виглядізолота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину x S+1 - x S - 1 = 0.

Неважко показати, що при S= 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S= 1 -знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-Пропорціями! Математики у таких випадках кажуть, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський вчений Е.М. Сороко у книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука та техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються.

За допомогою кодів золотий S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорції, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять «з голови на ноги» ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були відкриті числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способамчислення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне числозавжди представимо у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-якого із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою та витонченістю, ніби увібрала в себе кращі якостікласичної двійкової та «Фібоначчієвої» арифметик.

Принципи формоутворення у природі

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах - зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Мал. 12.Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна роботаботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явищаприроди. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Мал. 13.Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Мал. 14.Ящірка живородна

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Мал. 15.Яйце птиці

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у деяких будовах хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Золотий переріз та симетрія

Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно з сучасними уявленнями золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статичнаі динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.

Таємницю золотого перерізунамагалися осмислити Платон, Евклід, Піфагор, Леонардо да Вінчі, Кеплер. Створений давно Золотий перетин досі хвилює розум багатьох учених.

З давніх-давен люди прагнули зрозуміти, як організований і влаштований природою наш світ.

Піфагорвважав, що світ влаштований за суворими геометричними законами і в основі всесвіту лежить число. Є припущення, що він знання золотого поділу запозичив у єгиптян і вавилонян. Про це свідчать пропорції піраміди Хеопса, храмів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона.

Однією із задач древніх було розподіл відрізка на 2 рівні частини так, щоб довжина більшого відрізка, відносилася до довжини меншого так само, як довжина всього відрізка до довжини більшого.

Або цю пропорцію можна перевернути і знайти відношення меншого до більшого.

У Стародавню Греціютакий поділ називався гармонійним ставленням. У 1509 році італійський математик, чернець Лука Пачолінаписав цілу книгу « Про божественну пропорцію».

2. Золотий трикутник та пентаграма

« Золотий» трикутник- це рівнобедрений трикутник, відношення бічної сторони до основи дорівнює 1,618 ( додаток 1).

Золотий перетинможна побачити і в пентаграмі – так називали греки зірчастий багатокутник.

П'ятикутник з прокресленими діагоналями, що утворюють п'ятикутну зірку, назвався пентаграмою, яка вважалася з найдавніших часів шанованою фігурою.

Це був древній магічний знак добра, і братства п'яти початків, що лежали в основі миру-вогню, землі, води, дерева та металу. Пентаграма – правильний п'ятикутник, на кожній стороні якого побудовано рівнобедрені трикутники, рівні за висотою.

П'ятикутна зірка дуже красива, недаремно її поміщають на свої прапори та герби багато країн. Досконала форма цієї фігури тішить око.

П'ятикутник буквально зітканий із пропорцій, і перш за все золотої пропорції ( додаток 2).

Болгарський журнал "Батьківщина" (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця "Про другий золотий перетин", який випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44: 56.

На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Проводимо пряму АВ. Від точки Авідкладаємо на ній три рази відрізок Про довільну величину, через отриману точку Рпроводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо та вліво від точки Рвідкладаємо відрізки Про. Отримані точки dі d1з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd1відкладаємо на лінію Ad1отримуючи точку З. Вона розділила лінію Ad1у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad1і dd1користуються для побудови "золотого" прямокутника.