Графік функції – це наочне уявлення поведінки деякої функції координатної площині. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити щодо самої функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана певною формулою. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).
Кроки
Побудова графіка лінійної функції
- Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція зменшується.
-
Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функціїможна побудувати за двома точками. У прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5); від цієї точки пересуньтеся на 2 поділки вгору, а потім на 1 поділ вправо. Позначте точку; вона матиме координати (1,7). Тепер можна здійснити пряму.
За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки.Щоб уникнути помилок, знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати по двох точках. Таким чином, ви збудували графік лінійної функції.
Нанесення точок на координатну площину
-
Визначте функцію.Функція позначається як f(x). Усі можливі значення змінної «у» називаються областю значень функції, проте можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x+2, саме f(x) = x+2.
Намалюйте дві перпендикулярні прямі, що перетинаються.Горизонтальна пряма це вісь Х. Вертикальна пряма це вісь Y.
Позначте осі координат.Розбийте кожну вісь на рівні відрізки та пронумеруйте їх. Крапка перетину осей – це 0. Для осі Х: праворуч (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: згори (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.
Знайдіть значення "у" за значеннями "х".У прикладі f(x) = х+2. Підставте до цієї формули певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростіть її, відокремивши у на одній стороні рівняння.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Нанесіть крапки на координатну площину.Для кожної пари координат зробіть таке: знайдіть відповідне значення на осі Х та проведіть вертикальну лінію (пунктиром); знайдіть відповідне значення на осі Y та проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній; таким чином ви нанесли точку графіка.
Зітріть пунктирні лінії.Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f(х) = х являє собою пряму через центр координат [точку з координатами (0,0)]; графік f(х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямий f(х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (бо постійна дорівнює 2).
Побудова графіка складної функції
Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної "х", при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі, прирівняйте її до нуля. Наприклад:
Знайдіть та позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій галузі функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоту відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться у знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac(1)(4-x^(2))))), прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х". В отриманих значеннях змінної «х» функція не визначена (у нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують у випадках, коли функція містить дробовий вираз. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом:
-
Визначте, чи функція є лінійною.Лінійна функція задається формулою виду F(x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)або y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(Наприклад, ), а її графік являє собою пряму. Таким чином, формула включає одну змінну та одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня тощо. Якщо дана функція аналогічного виду, збудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:
Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y.Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.
Знайдіть кутовий коефіцієнтпрямий.Він дорівнює множнику за змінної. У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)при змінній "х" знаходиться множник 2; таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або зменшується функція.
Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу.Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу, тобто відношенню вертикальної відстані (між двома точками на прямій) до горизонтальної відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна заявити, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це у вигляді дробу: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
1. Дробно-лінійна функція та її графік
Функція виду y = P(x) / Q(x), де P(x) та Q(x) – багаточлени, називається дробово-раціональною функцією.
З поняттям раціональних чисел ви вже, напевно, знайомі. Аналогічно раціональні функції – це функції, які можна як приватне двох многочленов.
Якщо дробно-раціональна функція є приватне двох лінійних функцій – многочленів першого ступеня, тобто. функцію виду
y = (ax + b) / (cx + d), то її називають дробово-лінійною.
Зауважимо, що функції y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (інакше функція стає лінійною y = ax/d + b/d) і що a/c ≠ b/d (інакше функція константа ). Дробно-лінійна функція визначена за всіх дійсних числах, крім x = -d/c. Графіки дробово-лінійних функцій формою не відрізняються від відомого вам графіка y = 1/x. Крива, що є графіком функції y = 1/x, називається гіперболою. При необмеженому збільшенні x абсолютної величинифункція y = 1/x необмежено зменшується по абсолютній величині та обидві гілки графіка наближаються до осі абсцис: права наближається зверху, а ліва – знизу. Прямі, до яких наближаються гілки гіперболи, називають її асимптотами.
приклад 1.
y = (2x + 1) / (x - 3).
Рішення.
Виділимо цілу частину: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 3 одиничні відрізки вправо, розтягуванням вздовж осі Oy в 7 разів і зсувом на 2 одиничних відрізки вгору.
Будь-який дріб y = (ax + b) / (cx + d) можна записати аналогічним чином, виділивши цілу частину. Отже, графіки всіх дробово-лінійних функцій є гіперболи, по-різному зсунуті вздовж координатних осей і розтягнуті по осі Oy.
Для побудови графіка будь-якої довільної дробово-лінійної функціїНе обов'язково дріб, що задає цю функцію, перетворювати. Оскільки знаємо, що графік є гіпербола, досить знайти прямі, яких наближаються її гілки – асимптоти гіперболи x = -d/c і y = a/c.
приклад 2.
Знайти асимптоти графіка функції y = (3x + 5) / (2x + 2).
Рішення.
Функція не визначена при x = -1. Значить, пряма x = -1 є вертикальною асимптотою. Для знаходження горизонтальної асимптоти, з'ясуємо, чого наближаються значення функції y(x), коли аргумент x зростає по абсолютній величині.
Для цього розділимо чисельник та знаменник дробу на x:
y = (3+5/x)/(2+2/x).
При x → ∞ дріб прагнутиме 3/2. Значить, горизонтальна асимптота – пряма y = 3/2.
приклад 3.
Побудувати графік функції y = (2x + 1) / (x + 1).
Рішення.
Виділимо у дробу «цілу частину»:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 - 1/(x + 1).
Тепер легко бачити, що графік цієї функції виходить з графіка функції y = 1/x наступними перетвореннями: зсувом на 1 одиницю вліво, симетричним відображенням щодо Ox і зрушенням на 2 одиничних відрізки вгору осі Oy.
Область визначення D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Область значень E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Точки перетину з осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функція зростає кожному з проміжків області визначення.
Відповідь: рисунок 1.
2. Дробно-раціональна функція
Розглянемо дробово-раціональну функцію виду y = P(x) / Q(x), де P(x) і Q(x) – багаточлени, ступеня вище за першу.
Приклади таких раціональних функцій:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) або y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Якщо функція y = P(x) / Q(x) являє собою приватне двох багаточленів ступеня вище за першу, то її графік буде, як правило, складніше, і побудувати його точно, з усіма деталями буває іноді важко. Однак, часто достатньо застосувати прийоми, аналогічні тим, з якими ми вже ознайомилися вище.
Нехай дріб – правильний (n< m). Известно, что любую несократимую раціональний дрібможна уявити, і до того ж єдиним чином, у вигляді суми кінцевого числа елементарних дробів, вид яких визначається розкладанням знаменника дробу Q(x) у добуток дійсних співмножників:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Очевидно, що графік дробово-раціональної функції можна одержати як суму графіків елементарних дробів.
Побудова графіків дробово-раціональних функцій
Розглянемо кілька способів побудови графіків дрібно-раціональної функції.
приклад 4.
Побудувати графік функції y = 1/x2.
Рішення.
Використовуємо графік функції y = x 2 для побудови графіка y = 1/x 2 та скористаємося прийомом «поділу» графіків.
Область визначення D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Область значень E(y) = (0; +∞).
Точок перетину з осями немає. Функція парна. Зростає при всіх з інтервалу (-∞; 0), зменшується при x від 0 до +∞.
Відповідь: рисунок 2.
Приклад 5.
Побудувати графік функції y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Рішення.
Область визначення D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.
Тут ми використовували прийом розкладання на множники, скорочення та приведення до лінійної функції.
Відповідь: рисунок 3.
Приклад 6.
Побудувати графік функції y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Рішення.
Область визначення D(y) = R. Оскільки функція парна, то графік симетричний щодо осі ординат. Перш ніж будувати графік, знову перетворимо вираз, виділивши цілу частину:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Зауважимо, що виділення цілої частини у формулі дробово-раціональної функції є одним із основних при побудові графіків.
Якщо x → ±∞ то y → 1, тобто. Пряма y = 1 є горизонтальною асимптотою.
Відповідь: рисунок 4.
Приклад 7.
Розглянемо функцію y = x/(x 2 + 1) і спробуємо точно визначити максимальне її значення, тобто. саму високу точкуправої половини графіка. Щоб точно збудувати цей графік, сьогоднішніх знань недостатньо. Вочевидь, що крива неспроможна «піднятися» дуже високо, т.к. знаменник досить швидко починає «обганяти» чисельник. Подивимося, чи значення функції дорівнюватиме 1. Для цього потрібно вирішити рівняння x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Це рівняння не має дійсних коренів. Отже, наше припущення не є вірним. Щоб знайти саме велике значенняфункції, треба дізнатися, за якого найбільшого А рівняння А = x/(x 2 + 1) матиме рішення. Замінимо вихідне рівняння квадратним: Аx 2 – x + А = 0. Це рівняння має рішення, коли 1 – 4А 2 ≥ 0. Звідси знаходимо найбільше значенняА = 1/2. 
Відповідь: рисунок 5, max y(x) = ½.
Залишились питання? Чи не знаєте, як будувати графіки функцій?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Функція y=x^2 називається квадратичною функцією. Графіком квадратичної функціїє парабола. Загальний виглядпараболи представлений малюнку нижче.
Квадратична функція
Рис 1. Загальний вигляд параболи
Як очевидно з графіка, він симетричний щодо осі Оу. Ось Оу називається віссю симетрії параболи. Це означає, що якщо провести на графіку пряму паралельну осі Ох вище це осі. То вона перетне параболу у двох точках. Відстань від цих точок до осі Оу буде однаковою.
Ось симетрії поділяє графік параболи на дві частини. Ці частини називаються гілками параболи. А точка параболи, яка лежить на осі симетрії, називається вершиною параболи. Тобто вісь симетрії проходить через вершину параболи. Координати цієї точки (0; 0).
Основні властивості квадратичної функції
1. При х = 0, у = 0, і у> 0 при х0
2. Мінімальне значення квадратична функція досягає у своїй вершині. Ymin при x=0; Слід також зауважити, що максимального значення функції не існує.
3. Функція зменшується на проміжку (-∞;0] і зростає на проміжку Розв'язуючи рівняння \(x"\left(t \right) = 0,\) визначаємо стаціонарні точки функції \(x\left(t \right):\ ) \[(x"\left(t \right) = 0,)\;\;(\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] При \(t = 1\) функція \ (x\left(t \right)\) досягає максимуму, рівного \ а в точці \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) вона має мінімум, рівний \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Розглянемо похідну \(y"\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Знаходимо стаціонарні точки функції \(y \left(t \right):\) \[(y"\left(t \right) = 0,)\;\;(\Rightarrow 3(t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\;\frac(2)(3).) \] Тут , аналогічно, функція \(y\left(t \right)\) досягає максимуму в точці \(t = -2:\) \ і мінімуму в точці \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(2)(3)) \right)^3) + 2(\ left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Графіки функцій \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) схематично показані на малюнку \(15a.\)
Рис.15a |
Рис.15b |
Рис.15с |
Зауважимо, що оскільки [[ \lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] то крива \(y\left(x \right)\) не має ні вертикальних, ні горизонтальних асимптотів. Більше того, оскільки \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty) ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\) color(blue)(t^3)) + \color(red)(2(t^2)) - \color(green)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color(red)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] то крива \(y\left(x \right)\) не має також і похилих асимптот.
Визначимо точки перетину графіка (y \ left (x \ right) \) з осями координат. Перетин з віссю абсцис відбувається у наступних точках: \[(y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\;(\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; Rightarrow (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\;(\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; Rightarrow (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
На другому проміжку \(\left(( - 2, - 1) \right)\) змінна \(x\) зростає від \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) до \(x \left(( - 1) \right) = 1,\) а змінна \(y\) убуває від \(y\left(( - 2) \right) = 8\) до \(y\left(( - 1) \right) = 5.\) Тут ми маємо ділянку спадної кривої \(y\left(x \right).\) Вона перетинає вісь ординат у точці \(\left((0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)
На третьому інтервалі \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) обидві змінні зменшуються. Значення \(x\) змінюється від \(x\left(( - 1) \right) = 1\) до \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Відповідно, значення \(y\) зменшується від \(y\left(( - 1) \right) = 5\) до \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Крива \(y\left(x \right)\) ) у своїй перетинає початок координат.
На четвертому інтервалі \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) змінна \(x\) зростає від \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) до \(x\left((\large\) frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) а змінна \(y\) убуває від \(y\left((\large\) frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) до \(y\left((\large\frac(2)(3)\) normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) На цій ділянці крива \(y\left(x \right)\) перетинає вісь ординат у точці \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Нарешті, на останньому інтервалі \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) обидві функції \(x\left(t \right)\), \( y\left(t \right)\) зростають. Крива \(y\left(x \right)\) перетинає вісь абсцис у точці \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)
Для уточнення форми кривої (y \ left (x \ right) \) обчислимо точки максимуму і мінімуму. Похідна \(y"\left(x \right)\) виражається у вигляді \[(y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t)))( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))(((((( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))((3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3))) right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac((\ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))((\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Зміна знака похідної \(y"\left(x \right)\) показано на малюнку \(15c.\) Видно, що в точці \(t = - 2, \) тобто. на межі \(I\)-го та \(II\)-го інтервалів крива має максимум, а при \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (на кордоні \(IV\) -го та (V\)-го інтервалів) існує мінімум. При переході через точку \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) похідна також змінює знак з плюсу на мінус, але в цій області крива \(y\left(x \right)\) не є однозначною функцією. Тому вказана точка екстремумом не є.
Досліджуємо також опуклість цієї кривої. Друга похідна\(y""\left(x \right)\) має вигляд: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left(( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4)) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \right) ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3(t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^2)) ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon)( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon)( 8)))(((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) + \color(green)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) )))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) )) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \right))^3)))). \] Отже, друга похідна змінює свій знак на протилежний під час переходу через наступні точки (рис.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) \right ) = 1,) \; \; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \; \; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) )))(6)) \right) \approx 40,8.) \] Тому зазначені точки являють собою точки перегину кривої \(y\left(x) \right).\)
Схематичний графік кривої \(y\left(x \right)\) показаний вище на малюнку \(15b.\)
