Задания на определение значений в различных системах счисления и их оснований
Задание 1. Для кодирования символов @, $, &, % используются двухразрядные последовательные двоичные числа. Первому символу соответствует число 00. С помощью данных символов была закодирована такая последовательность: $%&&@$. Декодируйте данную последовательность и переведите результат в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение.
1. Сопоставим двоичные числа кодируемым ими символам:
00 — @, 01 — $, 10 — &, 11 — %
3. Переведем двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления:
0111 1010 0001 = 7A1
Ответ. 7A1 16 .
Задание 2.
В саду 100 x фруктовых деревьев, из которых 33 x – яблони, 22 x …
– груши, 16 x – сливы, 17 x — вишни. Чему равно основание системы счисления (x).
Решение.
1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.
Для трехзначного числа будет так:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c
2. Условие задачи таково:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Подставим числа в формулы:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2
3. Решим квадратное уравнение:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.
Корни квадратного уравнения:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 или x = (-7 — 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.
Задание 3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.
Решение.
Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Нам надо получить 12. Пробуем 2: 2 2 + 2 = 6. Пробуем 3: 3 2 + 3 = 12.
Значит основание системы счисления равно 3.
Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.
Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления
Задание 1. Какому числу в шестнадцатеричной системе счисления соответствует число 11000101?
Решение.
При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на четыре, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке однозначно соответствует одна цифра шестнадцатеричной системы счисления.
11000101 = 1100 0101 = С5 16
Нет необходимости иметь таблицу соответствия перед глазами. Двоичный счет 15 первых чисел можно осуществить в уме или последовательно расписать. При этом не следует забывать, что 10 в десятичной системе соответствует A в шестнадцатеричной, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F.
Ответ. 11000101 = С5 16
Задание 2. Вычислите сумму двоичных чисел x и y, при x = 10100 и y = 10101. Результаты представьте в виде восьмеричного числа.
Решение.
Сложим два числа. Правила двоичной и десятичной арифметики одинаковы:
При переводе двоичного числа в восьмеричное, первое разбивается на группы по три разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело на три, то первая тройка дописывается нулями впереди:
Ответ. Сумма двоичных чисел 10100 и 10101, представленная в восьмеричной системе счисления равна 51.
Перевод в двоичную систему счисления
Задание 1. Чему равно число 37 в двоичной системе счисления?
Решение.
Можно выполнить преобразование делением на 2 и комбинацией остатков в обратном порядке.
Другой способ – это разложить число на сумму степеней двойки, начиная со старшей, вычисляемый результат которой меньше данного числа. При преобразовании пропущенные степени числа следует заменять нулями:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Ответ. 37 10 = 100101 2 .
Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 73?
Решение.
Разложим число 73 на сумму степеней двойки, начиная со старшей и умножая пропущенные степени в дальнейшем на нули, а существующие на единицу:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Ответ. В двоичной записи десятичного числа 73 присутствует четыре значащих нуля.
Задание 3. Вычислите сумму чисел x и y при x = D2 16 , y = 37 8 . Результат представьте в двоичной системе счисления.
Решение.
Вспомним, что каждая цифра шестнадцатеричного числа формируется четырьмя двоичными разрядами, каждая цифра восьмеричного числа – тремя:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Сложим полученные числа:
Ответ. Сумма чисел D2 16 и y = 37 8 , представленная в двоичной системе счисления равна 11110001.
Задание 4. Дано: a = D7 16 , b = 331 8 . Какое из чисел c , записанных в двоичной системе счисления, отвечает условию a < c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Решение.
Переведем числа в двоичную систему счисления:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Первые четыре разряда у всех чисел совпадают (1101). Поэтому сравнение упрощается до сравнения младших четырех разрядов.
Первое число из перечня равно числу b , следовательно, не подходит.
Второе число больше как b . Третье число равно a .
Только четвертое число подходит: 0111 < 1000 < 1001.
Ответ. Четвертый вариант (11011000) отвечает условию a < c < b .
Перевод в десятичную систему счисления
Задание 1. Какому числу в десятичной системе счисления соответствует число 24 16 ?
Решение.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Ответ. 24 16 = 36 10
Задание 2. Известно, что X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Чему равно число X в десятичной системе счисления?
Решение.
12 4 = 1 * 4 1 + 2 * 4 0 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Находим число: X = 6 + 4 + 5 = 15
Ответ. X = 15 10
Задание 3. Вычислите значение суммы 10 2 + 45 8 + 10 16 в десятичной системе счисления.
Решение.
Переведем каждое слагаемое в десятичную систему счисления:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Сумма равна: 2 + 37 + 16 = 55
Ответ. 55 10
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Системы счисления
Номер темы:
В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).
Сложение
Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:
В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).
Сложим для примера два любых двоичных числа:
Вычитание
Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:
0 — 1 = (заем из старшего разряда) 1
Умножение
Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:
Деление
Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для сложения двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3
Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1 . Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1
.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2
. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 - 10.
Решение
.
Представим числа 11 2 и -10 2 в обратном коде.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Сложим числа 00000011 и 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление . Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 111 2 и -010 2 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой. Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b -1 ≤|M|Нормализованное число - это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4
.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA доп.мод. =00,01011
MB доп.мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2 10
Пример №3 . Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
Пример 1.Найдите X, если Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания: Согласно распределительному закону для логического сложения: Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант: Полученную левую часть приравняем правой: X = В. Окончательно получим: X = В. Пример 2.Упростите логическое выражение Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходного и полученного логического выражения. Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания: Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения: Согласно закону противоречия: Согласно закону идемпотентности Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный)закон и группируя слагаемые, получаем: Согласно закону исключения (склеивания) Подставляем значения и получаем: Согласно закону исключения констант для логического сложения и закону идемпотентности: Подставляем значения и получаем: Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения: Согласно закону исключения третьего: Подставляем значения и окончательно получаем: 2. Логические основы компьютера Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом. Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор). Рис. 3.1. Конъюнктор, дизъюнктор и инвертор Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов. Пример 3. По заданной логической функции F(A, В) = =B&АÚB&A построить логическую схему. Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов). Пример 4. Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на ее двух выходах. Функция F1(X,Y) реализуется на выходе первого конъюнктора, то есть F1(X,Y) = X&Y. Одновременно сигнал с конъюнктора подается на вход инвертора, на выходе которого реализуется сигнал X&Y, который, в свою очередь, подается на один из входов второго конъюнктора. На другой вход второго конъюнктора подается сигнал Xv Y с дизъюнктора, следовательно, функция F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Рассмотрим схему сложения двух n-разрядных двоичных чисел. При сложении цифр i-ro разряда складываются ai и bi, а также Pi-1 - перенос из i-1 разряда. Результатом будет st - сумма и Pi - перенос в старший разряд. Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор - это устройство с тремя входами и двумя выходами. Пример 3.15. Построить таблицу истинности одноразрядного двоичного сумматора, воспользовавшись таблицей сложения двоичных чисел. Триггер. Для хранения информации в оперативной памяти компьютера, а также во внутренних регистрах процессора используются триггеры. Триггер может находиться а одном из двух устойчивых состояний, что позволяет запоминать, хранить и считывать 1 бит информации. Самый простой триггер - .RS-триггер. Он состоит из двух логических элементов ИЛИ-НЕ, которые реализуют логическую функцию F9 (смотри таблицу 3.1). Входы и выходы элементов соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго - со входом первого. Триггер имеет два входа S (от англ. set - установка) и Я (от англ. reset - сброс) и два выхода Q (прямой) и Q (инверсный). Рис. 2 Логическая схема RS-триггера Пример 3.16. Построить таблицу, описывающую состояние входов и выходов RS-триггера. Если на входы поступают сигналы R = 0 и S = 0, то триггер находится в режиме хранения, на выходах Q и Q сохраняются установленные ранее значения. Если на установочный вход S поступает на короткое время сигнал 1, то триггер переходит в состояние 1 и после того, как сигнал на входе S станет равен 0, триггер будет сохранять это состояние, то есть будет хранить 1. При подаче 1 на вход R триггер перейдет в состояние 0. Подача на оба входа S и R логической единицы может привести к неоднозначному результату, поэтому такая комбинация входных сигналов запрещена. Задания для самостоятельного выполнения 1. Существуют 16 логических функций от двух переменных (смотри таблицу 3.1). Постройте их логические схемы с помощью базовых логических элементов: конъюнктора, дизъюнктора и инвертора. 2. Доказать, что рассмотренная в примере 3.10 логическая схема является одноразрядным двоичным полусумматором (не учитывается перенос из младшего разряда). 3. Доказать, построив таблицу истинности, что логическая функция Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) определяет перенос в старший разряд при сложении двоичных чисел (А и В - слагаемые, Ро - перенос из младшего разряда). 4. Доказать, построив таблицу истинности, что логическая функция S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) определяет сумму при сложении двоичных чисел (А и В - слагаемые, Ро - перенос из младшего разряда). 5. Построить логическую схему одноразрядного двоичного сумматора. Какое количество базовых логических элементов необходимо для реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел? 6. Какое количество базовых логических элементов образуют оперативную память современного компьютера объемом 64 Мбайта? 1. Запишите в развернутом виде числа: а)A8=143511; г)А10=143,511; 6)А2=100111; д)А8=0,143511; в)А16=143511; е)А1е=1АЗ,5С1. 2. Запишите в свернутой форме следующие числа: а)А10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; б)А16=А-161+1-16°+7-16"1+5-16~2. 3.Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления: а)А10=А,234; в) А16=456,46; б)А8=-5678; г)А2=22,2? 4. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. 5. Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116? 6. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, то есть с нее будет начина ться запись нового числа, то это новое число будет на единицу боль ше утроенного исходного числа. Найдите исходное число. 2.22.Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место спра ва, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число. 2.23.Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим; б) наименьшим? 2.27.Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12g, 1116 и 110112? 2.28.Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифра ми в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счис ления? 2.29.«Несерьезные» вопросы. Когда 2x2=100? Когда 6x6=44? Когда 4x4=20? 2.30. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам: а) ; б) ; в) . 2.31.В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? 2.32.В классе 36д учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 2.33.В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 2.34.Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали попо лам, стало 1000q половинок. В системе счисления с каким основа нием вели счет? 2.35.У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Стар ший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? 2.36.Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколь ко дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пру да? Сколько листьев было после девятого дня?. 2.37.Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа: а) 5; в) 12; д) 32; б) 7; г) 25; е) 33. Проверить правильность перевода с помощью программы Advanced Converter. 2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую 2.3.1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием р в систему с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие дейст вия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно выполнять деление данного числа и по лучаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа б но вой системе счисления, привести в соответствие с алфави том новой системы счисления. 4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка. Пример 2.12.Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления: ■ Получаем: 17310=2558. Пример 2.13.Перевести десятичное число 17310 в шестнад-цатеричную систему счисления: - Получаем: 17310=AD16. Пример 2.14.Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Получаем: 111O=10112. Пример 2.15.Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число. 2.3.2. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием р в дробь с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие дейст вия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в со ответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисле ния, начиная с целой части первого произведения. Пример 2.16. Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления. Пример 2.17. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатерич-ную систему счисления. Пример 2.18. Перевести десятичную дробь 0,562510 в двоичную систему счисления. Пример 2.19.Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.710. Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,710. Так, за четыре шага мы получаем число 0,10112,а за семь шагов число 0,10110012,которое является более точным представлением числа 0,710 в двоичной системе счисления, и так далее. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа. 2.3.3. Перевод произвольных чисел Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно - дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой. Пример 2.20.Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления. Переводим целую часть: Переводим дробную часть: Пример 2.21. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему. 2.3.4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2п и обратно Перевод целых чисел- Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в двоичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2", нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше п разря дов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.22. Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628. Пример 2.23. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716. Перевод дробных чисел. Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2", нужно: 1. Двоичное число разбить слева направо на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последней правой группе окажется меньше п раз рядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.24.Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428. Пример 2.25. Число 0,1000000000112 переведем в шестнад-цатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316. Перевод произвольных чисел. Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q - 2n, нужно: [ 1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа на лево, а дробную - слева направо на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.26.Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34S. Пример 2.27.Число 11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216. Перевод чисел из систем счисленияс основанием q = 2пв двоичную систему.Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2 , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления. Пример2.28. Переведем шестнадцатеричное число 4АС351б в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: i Получаем: 10010101100001101012. Задания для самостоятельного выполнения 2.38. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. 2.39. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления. 2.40. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произво льное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления. 2.4. Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции в двоичной системе счисления.
Пример 2.29. Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:
Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.
Пример 2.31. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:
Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:
2.42. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления. 2.44. Какое число предшествует каждому из данных:
2.45. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
а) в двоичной системе;
б) в восьмеричной системе;
в) в шестнадцатеричной системе.
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.
2.47. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
2.48.Сумму восьмеричных чисел 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 перевели в шестнадцатеричную систему счисления.
Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.
 |
Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в
следующих примерах на сложение и вычитание, определив внача
ле, в какой системе изображены числа.
Тема урока: Арифметические операции в позиционных системах счисления.
9 класс
Задачи урока:
Дидактическая: ознакомить учащихся со сложением, вычитанием, умножение и делением в двоичной системе счисления и провести первичную отработку навыка проведения этих действий.
Воспитательная: развивать интерес учащихся к познанию нового, показать возможность нестандартного подхода к вычислениям.
Развивающая: развивать внимание, строгость мышления, умение рассуждать.
Структура урока.
Оргмомент – 1 мин.
Проверка домашнего задания с помощью устного теста – 15 мин.
Домашнее задание – 2 мин.
Решение задач с одновременным анализом и самостоятельной отработкой материала – 25 мин.
Подведение итогов урока – 2 мин.
ХОД УРОКА
Оргмомент.
Проверка домашнего задания (устный тест) .
Учитель последовательно читает вопросы. Ученики внимательно слушают вопрос, не записывая его. Записывается только ответ, причём очень коротко. (Если можно ответить одним словом, то записывается только это слово).
Что такое система счисления? (- это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемого цифрами )
Какие системы счисления вы знаете? ( непозиционные и позиционные )
Какая система называется непозиционной? (ССЧ называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа ).
Чему равно основание позиционной ССЧ. (равно количеству цифр, составляющих ее алфавит )
Каким математическим действием надо воспользоваться, чтобы перевести целое число из десятичной ССЧ в любую другую? (Делением )
Что нужно сделать, чтобы перевести число из десятичной ССЧ в двоичную? (Последовательно делить на 2 )
Во сколько раз уменьшится число 11,1 2 при переносе запятой на один знак влево? (в 2 раза )
А теперь послушаем стих про необыкновенную девочку и ответим на вопросы. (Звучит стих )
НЕОБЫКНОВЕННАЯ ДЕВОЧКА
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила.
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге.
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно,
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете мой рассказ.
/ Н. Стариков /
И сколько же лет было девочке? (12 лет ) В какой она класс ходила? (5 класс ) Сколько у нее рук и ног было? (2 руки, 2 ноги ) Откуда у щенка 100 ног? (4 лапы )
После выполнения теста, ответы произносятся вслух самими учениками, проводится самопроверка и учащиеся сами выставляют себе оценки.
Критерий:
10 правильных ответов (можно небольшой недочёт) – “5”;
9 или 8 – “4”;
7, 6 – “3”;
остальные – “2”.
II. Задание на дом (2 мин)
10111
2
- 1011
2
= ?
(
1100
2
)
10111
2
+ 1011
2
= ?
(
100010
2
)
10111
2
* 1011
2
= ?
(
11111101
2
))
III. Работа с новым материалом
Арифметические операции в двоичной системе счисления.
Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк:
0
1
1
1
Сложение.
Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.
1001 + 1010 = 10011
1101 + 1011 = 11000
11111 + 1 = 100000
1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101
10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )
Вычитание.
При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее, и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0
101011111 – 110101101 = – 1001110
100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )
Умножение
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. 11001 * 1101 = 101000101
11001,01 * 11,01 = 1010010,0001
Умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )
V. Подведение итогов урока
Карточка для дополнительной работы учащихся.
Выполните арифметические операции:
А) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );
10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );
101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );
Б) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );
Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел (табл. 6).
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления.
Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа :
Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и сложим их:
Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел (табл. 7).
При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.
Вычитание многоразрядных двоичных чисел реализуется в соответствии с этой таблицей с учетом возможных заемов в старших разрядах.
Для примера произведем вычитание двоичных чисел :
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел (табл. 8).
Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с этой таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Рассмотрим пример умножения двоичных чисел 
