Вопрос о существовании бога и теорема Гёделя. Для математиков и логиков. Интересные факты и полезные советы Первая теорема геделя о неполноте

на тему: «ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ»

Курт Гёдель

Курт Гёдель – крупнейший специалист по математической логике – родился 28 апреля 1906 г. В Брюнне (ныне г. Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию, был доцентом в 1933–1938 гг. После аншлюса эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работал в Принстонском институте высших исследований. Гёдель – почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества.

В 1951 г. Курт Гёдель был удостоен высшей научной награды США – Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал : «Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это – больше, чем просто монумент. Это веха, разделяющая две эпохи… Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки».

Действительно, даже сухой перечень достижений Гёделя в математической логике показывает, что их автор по существу заложил основы целых разделов этой науки: теории моделей (1930 г.; так называемая теорема о полноте узкого исчисления предикатов, показывающая, грубо говоря, достаточность средств «формальной логики» для доказательства всех выражаемых на ее языке истинных предложений), конструктивной логики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения некоторых классов предложений классической логики к их интуиционистским аналогам, положившие начало систематическому употреблению «погружающих операций», позволяющих осуществлять такое сведение различных логических систем друг другу), формальной арифметики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения классической арифметики в интуиционистскую, показывающие в некотором смысле непротиворечивость первой относительно второй), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934 г.; определение понятия общерекурсивной функции, сыгравшего решающую роль в установлении алгоритмической неразрешимости ряда важнейших проблем математики, с одной стороны. И в реализации логико-математических задач на электронно-вычислительных машинах – с другой), аксиоматической теории множеств (1938 г.; доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы Кантора от аксиом теории множеств, положившее начало серии важнейших результатов об относительной непротиворечивости и независимости теоретико-множественных принципов).

Теорема Гёделя о неполноте

Введение

В 1931 г. В одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно устрашающим названием «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гедель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы. Ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica – это монументальных трехтомный трактат Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы учёных. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными. Что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

Первая теорема о неполноте

Первая теорема Гёделя о неполноте , по всей видимости, является наиболее знаменательным результатом в математической логике. Она звучит следующим образом:

Для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинноеарифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории . Другими словами, любая вполне полезная теория, достаточная для представления арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной.

Здесь слово «теория» обозначает «бесконечное множество» высказываний, некоторые из которых полагаются истинными без доказательств (такие высказывания называются аксиомами), а другие (теоремы) могут быть выведены из аксиом, а потому полагаются (доказываются) истинными. Словосочетание «доказуемый в теории» обозначает «выводимый из аксиом и примитивов теории (константных символов алфавита) при помощи стандартной логики (первого порядка)». Теория является непротиворечивой (согласованной), если в ней невозможно доказатьпротиворечивое высказывание. Словосочетание «может быть построено» обозначает, что существует некоторая механическая процедура (алгоритм), которая может построить высказывание на основе аксиом, примитивов и логики первого порядка. «Элементарная арифметика» заключается в наличии операций сложения и умножения над натуральными числами. Результирующее истинное, но недоказуемое высказывание часто обозначается для заданной теории как «последовательность Гёделя», однако существует бесконечно количество других высказываний в теории, которые имеют такое же свойство: недоказуемая в рамках теории истинность.

Предположение о том, что теория вычислима, обозначает, что в принципе возможно реализовать компьютерный алгоритм (компьютерную программу), которая (если ей разрешено вычислять произвольно долгое врея, вплоть до бесконечности) вычислит список всех теорем теории. Фактически, достаточно вычислить только список аксиом, и все теоремы могут быть эффективно получены из такого списка.

Первая теорема о неполноте была озаглавлена как «Теорема VI» в статье Гёделя от 1931 года On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I . В оригинальной записи Гёделя она звучала как:

«Общий вывод о существовании неразрешимых пропозиций заключается в следующем:

Теорема VI .

Для каждого ω-согласованного рекурсивного класса k ФОРМУЛ существуют рекурсивные ЗНАКИ r такие, что ни (v Genr ), ни ¬(v Genr )не принадлежат Flg (k )(где v есть СВОБОДНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ r ) ».

Обозначение Flg происходит от нем. Folgerungsmenge – множество последовательностей, Gen происходит от нем. Generalisation – обобщение.

Грубо говоря, высказывание Гёделя G утверждает: «истинность G не может быть доказана». Если бы G можно было доказать в рамках теории, то в таком случае теория содержала бы теорему, которая противоречит сама себе, а потому теория была бы противоречива. Но если G недоказуемо, то оно истинно, а потому теория неполна (высказывание G невыводимо в ней).

Это пояснение на обычном естественном языке, а потому не совсем математически строго. Для предоставления строгого доказательства, Гёдель пронумеровал высказывания при помощи натуральных чисел. В этом случае теория, описывающая числа, также принадлежит множеству высказываний. Вопросы о доказуемости высказываний представимы в данном случае в виде вопросов о свойствах натуральных чисел, которые должны быть вычислимы, если теория полна. В этих терминах высказывание Гёделя гласит, что не существует числа с некоторым определённым свойством. Число с этим свойством будет являться доказательством противоречивости теории. Если такое число существует, теория противоречива вопреки первоначальному предположению. Так что предполагая, что теория непротиворечива (как предполагается в посылке теоремы), получается, что такого числа не существует, и высказывание Гёделя истинно, но в рамках теории этого доказать невозможно (следовательно, теория неполна). Важное концептуальное замечание состоит в том, что необходимо предположить, что теория непротиворечива, для того чтобы объявить высказывание Гёделя истинным.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Вторая теорема Гёделя о неполноте звучит следующим образом:

Для любой формально рекурсивно перечислимой (то есть эффективно генерируемой) теории T, включая базовые арифметические истинностные высказывания и определённые высказывания о формальной доказуемости, данная теория T включает в себя утверждение о своей непротиворечивости тогда и только тогда, когда теория T противоречива.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т.д.

Использовать эту теорему для доказательства того, что разумная деятельность не сводится к вычислениям, пытались многие. Например, еще в 1961 году известный логик Джон Лукас (John Lucas) выступал с подобной программой. Его рассуждения оказались довольно уязвимыми – однако он и задачу ставил более широко. Роджер Пенроуз использует несколько другой подход, который излагается в книге полностью, «с нуля».

Дискуссии

Следствия теорем затрагивают философию математики, особенно такие формализмы, которые используют формальную логику для определения своих принципов. Можно перефразировать первую теорему о неполноте следующим образом: «невозможно найти всеохватывающую систему аксиом, которая была бы способна доказать все математические истины, и ни одной лжи ». С другой стороны, с точки зрения строгой формальности, эта переформулировка не имеет особого смысла, поскольку она предполагает понятия «истина» и «ложь» определёнными в абсолютном смысле, нежели в относительном для каждой конкретной системы.

доказательство которой нашли только через три с половиной века после первой формулировки (и оно далеко не элементарно). Следует различать истинность высказывания и его доказуемость. Ниоткуда не следует, что не существует истинных, но недоказуемых (и не проверяемых в полной мере) высказываний.

Второй интуитивный довод против ТГН более тонок. Допустим, у нас есть какое-то недоказуемое (в рамках данной дедуктики) высказывание. Что мешает нам принять его в качестве новой аксиомы? Тем самым мы чуть усложним нашу систему доказательств, но это не страшно. Этот довод был бы совершенно верен, если бы недоказуемых высказываний было конечное число. На практике же может произойти следующее - после постулирования новой аксиомы вы наткнётесь на новое недоказуемое высказывание. Примете его в качестве ещё аксиомы - наткнётесь на третье. И так до бесконечности. Говорят, что дедуктика останется неполной . Мы можем также принять силовые меры, чтобы доказывающий алгоритм заканчивался через конечное число шагов с каким-то результатом для любого высказывания языка. Но при этом он начнёт врать - приводить к истине для неверных высказываний, или ко лжи - для верных. В таких случаях говорят, что дедуктика противоречива . Таким образом, ещё одна формулировка ТГН звучит так: «Существуют языки высказываний, для которых невозможна полная непротиворечивая дедуктика» - отсюда и название теоремы.

Иногда называют «теоремой Гёделя» утверждение о том, что любая теория содержит проблемы, которые не могут быть решены в рамках самой теории и требуют её обобщения. В каком-то смысле это верно, хотя такая формулировка скорее затуманивает вопрос, чем проясняет его.

Замечу также, что если бы речь шла о привычных функциях, отображающих множество вещественных чисел в него же, то «невычислимость» функции никого бы не удивила (только не надо путать «вычислимые функции» и «вычислимые числа» - это разные вещи). Любому школьнику известно, что, скажем, в случае функции вам должно сильно повезти с аргументом, чтобы процесс вычисления точного десятичного представления значения этой функции окончился за конечное число шагов. А скорее всего вы будете вычислять её с помощью бесконечного ряда, и это вычисление никогда не приведёт к точному результату, хотя может подойти к нему как угодно близко - просто потому, что значение синуса большинства аргументов иррационально. ТГН просто говорит нам о том, что даже среди функций, аргументами которой являются строки, а значениями - ноль или единица, невычислимые функции, хотя и совсем по другому устроенные, тоже бывают.

Для дальнейшего опишем «язык формальной арифметики». Рассмотрим класс строк текста конечной длины, состоящих из арабских цифр, переменных (букв латинского алфавита), принимающих натуральные значения, пробелов, знаков арифметических действий, равенства и неравенства, кванторов («существует») и («для любого») и, быть может, каких-то ещё символов (точное их количество и состав для нас неважны). Понятно, что не все такие строки осмысленны (например, « » - это бессмыслица). Подмножество осмысленных выражений из этого класса (то есть строк, которые истинны или ложны с точки зрения обычной арифметики) и будет нашим множеством высказываний.

Примеры высказываний формальной арифметики:

и т.д. Теперь назовём «формулой со свободным параметром» (ФСП) строку, которая становится высказыванием, если в качестве этого параметра подставить в неё натуральное число. Примеры ФСП (с параметром ):

и т.д. Иными словами, ФСП эквивалентны функциям натурального аргумента с булевыми значением.

Обозначим множество всех ФСП буквой . Понятно, что его можно упорядочить (например, сначала выпишем упорядоченные по алфавиту однобуквенные формулы, за ними - двухбуквенные и т.д.; по какому именно алфавиту будет происходить упорядочивание, нам непринципиально). Таким образом, любой ФСП соответствует её номер в упорядоченном списке, и мы будем обозначать её .

Перейдём теперь к наброску доказательства ТГН в такой формулировке:

Для языка высказываний формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики.

Доказывать будем от противного.

Итак, допустим, что такая дедуктика существует. Опишем следующий вспомогательный алгоритм , ставящий в соответствие натуральному числу булево значение следующим образом:

Проще говоря, алгоритм приводит к значению ИСТИНА тогда и только тогда, когда результат подстановки в ФСП её собственного номера в нашем списке даёт ложное высказывание.

Тут мы подходим к единственному месту, в котором я попрошу читателя поверить мне на слово.

Очевидно, что, при сделанном выше предположении, любой ФСП из можно сопоставить алгоритм, содержащий на входе натуральное число, а на выходе – булево значение. Менее очевидно обратное утверждение:

Доказательство этой леммы потребовало бы, как минимум, формального, а не интуитивного, определения понятия алгоритма. Однако, если немного подумать, то она довольно правдоподобна. В самом деле, алгоритмы записываются на алгоритмических языках, среди которых есть такие экзотические, как, например, Brainfuck , состоящий из восьми односимвольных слов, на котором, тем не менее, можно реализовать любой алгоритм. Странно было бы, если бы описанный нами более богатый язык формул формальной арифметики оказался бы беднее - хотя, без сомнения, для обычного программирования он не очень подходит.

Пройдя это скользкое место, мы быстро добираемся до конца.

Итак, выше мы описали алгоритм . Согласно лемме, в которую я попросил вас поверить, существует эквивалентная ему ФСП. Она имеет какой-то номер в списке - скажем, . Спросим себя, чему равно ? Пусть это ИСТИНА. Тогда, по построению алгоритма (а значит, и эквивалентной ему функции ), это означает, что результат подстановки числа в функцию - ЛОЖЬ. Аналогично проверяется и обратное: из ЛОЖЬ следует ИСТИНА. Мы пришли к противоречию, а значит, исходное предположение неверно. Таким образом, для формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики. Что и требовалось доказать.

Здесь уместно вспомнить Эпименида (см. портрет в заголовке), который, как известно, заявил, что все критяне - лжецы, сам являясь критянином. В более лаконичной формулировке его высказывание (известное как «парадокс лжеца») можно сформулировать так: «Я лгу». Именно такое высказывание, само превозглашающее свою ложность, мы и использовали для доказательства.

В заключение я хочу заметить, что ничего особенного удивительного ТГН не утверждает. В конце концов, все давно привыкли, что не все числа представимы в виде отношения двух целых (помните, у этого утверждения есть очень изящное доказательство , которому больше двух тысяч лет?). И корнями полиномов с рациональными коэффициентами являются тоже не все числа . А теперь вот выяснилось, что не все функции натурального аргумента вычислимы.

Приведённый набросок доказательства относился к формальной арифметике, но нетрудно понять, что ТГН применима и к многим другим языкам высказываний. Разумеется, не всякие языки таковы. Например, определим язык следующим образом:

«Любая фраза китайского языка является верным высказыванием, если она содержится в цитатнике товарища Мао Дзе Дуна, и неверна, если не содержится».

Тогда соответствующий полный и непротиворечивый доказывающий алгоритм (его можно назвать «догматической дедуктикой») выглядит примерно так:

«Листай цитатник товарища Мао Дзе Дуна, пока не найдёшь искомое высказывание. Если оно найдено, то оно верно, а если цитатник закончился, а высказывание не найдено, то оно неверно».

Здесь нас спасает то, что любой цитатник, очевидно, конечен, поэтому процесс «доказывания» неминуемо закончится. Таким образом, к языку догматических высказываний ТГН неприменима. Но мы ведь говорили о сложных языках, правда?

Примеры высказываний формальной арифметики:

и т.д. Иными словами, ФСП эквивалентны функциям натурального аргумента с булевыми значением.

Перейдём теперь к наброску доказательства ТГН в такой формулировке:

Для языка высказываний формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики.

Доказывать будем от противного.

Тут мы подходим к единственному месту, в котором я попрошу читателя поверить мне на слово.

Пройдя это скользкое место, мы быстро добираемся до конца.

«Любая фраза китайского языка является верным высказыванием, если она содержится в цитатнике товарища Мао Дзе Дуна, и неверна, если не содержится».

«Листай цитатник товарища Мао Дзе Дуна, пока не найдёшь искомое высказывание. Если оно найдено, то оно верно, а если цитатник закончился, а высказывание не найдено, то оно неверно».

Теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте - две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой достаточно сильной теории первого порядка .

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой теории.

Первая теорема Гёделя о неполноте

Утверждение первой теоремы Гёделя о неполноте можно сформулировать следующим образом:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней существует такая замкнутая формула G, что ни G, ни её отрицание ¬G не являются выводимыми в S.

При доказательстве теоремы Гёдель построил формулу G в явном виде, иногда её называют гёделевой неразрешимой формулой. В стандартной интерпретации предложение G утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если теория S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел, формула G верна, но в S невыводима.

Доказательство Гёделя можно провести и для любой теории, полученной из S добавлением новых аксиом, например, формулы G в качестве аксиомы. Поэтому любая непротиворечивая теория, являющаяся расширением формальной арифметики, будет неполна.

Для доказательства первой теоремы о неполноте Гёдель сопоставил каждому символу, выражению и последовательности выражений формальной арифметики определенный номер. Поскольку формулы и теоремы являются предложениями арифметики, а формальные выводы теорем являются последовательностями формул, то стало возможным говорить о теоремах и доказательствах в терминах натуральных чисел. Например, пусть гёделева неразрешимая формула G имеет номер m , тогда она эквивалентна следующему утверждению на языке арифметики: "нет такого натурального числа n , что n есть номер вывода формулы с номером m ". Подобное сопоставление формул и натуральных чисел называется арифметизацией математики и было осуществлено Гёделем впервые. Эта идея впоследствии стала ключом к решению многих важных задач математической логики.

Набросок доказательства

Зафиксируем некоторую формальную систему PM, в которой можно представить элементарные математические понятия .

Выражения формальной системы являются, если смотреть извне, конечными последовательностями примитивных символов (переменных, логических постоянных, и скобок или точек) и нетрудно строго уточнить какие последовательности примитивных символов являются формулами, а какие нет. Аналогично, с формальной точки зрения, доказательства есть ни что иное, как конечные последовательности формул (со строго заданными свойствами). Для математического рассмотрения не имеет значения, какие объекты взять в качестве примитивных символов, и мы решаем использовать для этих целей натуральные числа. Соответственно, формула является конечной последовательностью натуральных чисел, вывод формулы - конечной последовательностью конечных последовательностей натуральных чисел. Математические понятия (утверждения) таким образом становятся понятиями (утверждениями) о натуральных числах или их последовательностях, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы PM (по крайней мере частично). Может быть показано, в частности, что понятия "формула", "вывод", "выводимая формула" определимы внутри системы PM, то есть можно восстановить, например, формулу F (v ) в PM с одной свободной переменной v (тип которой - числовая последовательность) такую, что F (v ), в интуитивной интерпретации, означает: v - выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы PM, то есть предложение A , для которого ни A , ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в PM с точно одной свободной переменной, тип которой натуральное число (класс классов), будем называть класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n -е через R (n ), и заметим, что понятие "класс-выражение", также как и отношение упорядочения R можно определить в системе PM. Пусть α будет произвольным класс-выражением; через [α;n ] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n . Тернарное отношение x = [y ;z ] тоже оказывается определимым в PM. Теперь мы определим класс K натуральных чисел следующим образом:

n ∈ K ≡ ¬Bew[R (n );n ] (*)

(где Bew x означает: x - выводимая формула). Так как все понятия, встречающиеся в этом определении, можно выразить в PM, то это же верно и для понятия K , которое из них строится, то есть имеется такое класс-выражение S , что формула [S ;n ], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K . Как класс-выражение, S идентична некоторому определенному R (q ) в нашей нумерации, то есть

S = R (q )

выполняется для некоторого определенного натурального числа q . Теперь покажем, что предложение [R (q );q ] неразрешимо в PM. Так, если предложение [R (q );q ] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответсвии со сказанным выше, q будет принадлежать K , то есть, в соответствии с (*), ¬Bew[R (q );q ] будет выполняться, что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если бы отрицание [R (q );q ] было выводимым, то будет иметь место ¬ n ∈ K , то есть Bew[R (q );q ] будет истинным. Следовательно, [R (q );q ] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

Полиномиальная форма

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение (θ + 2z − b 5) 2 + (u + t θ − l ) 2 + (y + m θ − e ) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + e q 3 + l q 5 + (2(e − z λ)(1 + g ) 4 + λb 5 + λb 5 q 4)q 4)(n 2 − n ) + (q 3 − b l + l + θλq 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − r ) 2 + (p − 2w s 2 r 2 n 2) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(c − k s n 2) 2 + η − k 2) 2 + (r + 1 + h p − h − k ) 2 + (a − (w n 2 + 1)r s n 2) 2 + (2r + 1 + φ − c ) 2 + (b w + c a − 2c + 4αγ − 5γ − d ) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − d 2) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((a + f 2 (d 2 − a )) 2 − 1)(2r + 1 + j c ) 2 + 1 − (d + o f ) 2) 2 + (((z + u + y ) 2 + u ) 2 + y − K ) 2 = 0 не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо .

Вторая теорема Гёделя о неполноте

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справеливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако существуют доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

Набросок доказательства

Сначала строится формула Con , содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с ее отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con ⊃ G , где G - Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con ⊃ G . Отсюда, если в S выводима Con , то в ней выводима и G . Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con .

Примечания

См. также

Ссылки

В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте . - М.: Наука, 1982. - 110 с. - (Популярные лекции по математике).
Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике» , программа А. Гордона от 16 июня 2003 года
А. Б. Сосинский Теорема Геделя // летняя школа «Современная математика» . - Дубна: 2006.
П. Дж. Коэн Об основаниях теории множеств // Успехи математических наук . - 1974. - Т. 29. - № 5(179). - С. 169–176.
М. Кордонский Конец истины . - ISBN 5-946448-001-04
В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // летняя школа «Современная математика» . - Дубна: 2007.
Зенкин А. А. Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г. Кантора о несчётности) // ДАН . - 1997. - Т. 356. - № 6. - С. 733-735.
Чечулин В. Л. О кратком варинте доказательства теорем Гёделя // «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук», материалы XXXIV Дальневосточной Математической Школы-семинара имени академика Е.В. Золотова . - Хабаровск, Россия: 2009. - С. 60-61.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теоремы Гёделя о неполноте" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гёделя. Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя[ 1] две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой… … Википедия

Теоремы Гёделя о неполноте две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода. Содержание 1 Первая теорема Гёделя о неполноте 2 Вторая теорема Гёделя о неполноте … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гёделя. Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью… … Википедия

Общее название двух теорем, установленных К. Гёделем . Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики (знаки и обычные правила обращения с ними), найдется формально неразрешимое… … Математическая энциклопедия

А б с у р д н о с т ь рационализма
о т к р ы л а с ь м а т е м а т и к е -
той самой науке, на которой он пытался утвердиться.
В. Тростников

Достижения Курта Геделя в современной логике
совершенно монументальны, - на самом деле они
есть более, чем монумент, это веха на
интеллектуальном ландшафте, которая останется
зримой издалека… Предмет логики определенным
образом изменил свою природу и возможности после открытий Геделя.
Джон фон Нейман

Создатель теории множеств Георг Кантор, а затем его последователи обнаружили ряд неразрешимых парадоксов множества порядковых чисел, указывающих на то, что сама конструкция такого множества внутренне противоречива и практически логически нереализуема. После установления внутренней противоречивости первого из возможных множеств математические парадоксы посыпались как из рога изобилия, приведя математиков к настоящей панике. Любопытна реакция другого великого математика Германа Вейля, разрешающая парадокс запретом: "...Нельзя допустить существование некоей определенной в себе и замкнутой совокупности всех возможных множеств натуральных чисел или всех возможных свойств натуральных чисел".

Э.Касснер, Д.Р.Ньюмен: "Когда математик говорит, что такие-то утверждения истинны для некоторого объекта, то это может быть интересно и наверняка безопасно. Но когда он пытается распространить свое утверждение на все объекты, то хотя это значительно более интересно, но и намного опаснее. В переходе от одного ко всему, от специального к общему математика добилась своих величайших успехов, но и испытала свои самые серьезные неудачи, самую важную часть которых составляют логические парадоксы".

Сегодня мы понимаем, что парадоксы теории множеств в частности и математики в целом связаны с тем, что множество не есть универсум, оно недостаточно для отражения всеобщего в знании, целостности знания как такового. Предельные конструкции, ведущие к единому или всеобщему, часто исключаются из математического анализа, ведя его к указанным парадоксам.

Но если парадоксы теории множеств непосредственно свидетельствуют об неуниверсальности понятия множества в познании, что само по себе есть первый и необходимый шаг в направлении к концепции целостности, то они все же не несут в себе ничего конструктивного для формулировки идеи целостности. В них, правда, содержится намек на то, как и чем ограниченным оказывается понятие множества - свойство единства и связи, взаимозависимости и замкнутости элементов и образуемой ими совокупности, ведущее к непредикативности в определениях. Однако этого еще явно мало для перехода от понятия множества к понятию целостности.

Неэвклидова геометрия Гаусса-Лобачевского–Больяи-Швейкарта и обнаружение антиномий в теории множеств сотрясло математику XIX века, поставив под сомнение ее основы. Подумайте, писал Давид Гильберт, в математике - этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?

И вот Давид Гильберт (1862-1943) выдвигает программу построения внутренне непротиворечивой математики, программу математического обоснования науки с целью изгнания из нее недостоверности. Из сформулированных Д.Гильбертом 23 знаменитых проблем математики первые два места занимают связанные между собой проблема континуума и проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Последняя, по словам Гильберта, представляет собой обоснование правил арифметических действий совместно с аксиомой непрерывности: доказательство непротиворечивости аксиом арифметики вещественных чисел равносильно, по Гильберту, доказательству отсутствия противоречий в определении вещественного числа и континуума. Иными словами, Д.Гильберт ставил задачу наряду с доказательством непротиворечивости аксиом арифметики дать строгое обоснование понятия вещественного числа и, тем самым, определенное решение проблемы континуума: "В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание".

Д.Гильберт не сомневался в достижимости обоснования понятия вещественного числа и, следовательно, доказательства непротиворечивости континуума вещественных чисел, совершенно не предполагая, сколь далеко заведут математику его вопросы... В процессе развития идей Гильберта, стало ясно, что обоснование непротиворечивости математической теории приобретает точный смысл лишь в том случае, когда теория полностью формализована, то есть все ее предложения могут быть записаны на строго однозначном символическом языке. Формализация - единственное средство устранения двусмысленности используемого языка.

Полностью формализованную математическую теорию аллегорически можно представить как некую математическую сверхформулу, поддающуюся строгому математическому исследованию на предмет ее непротиворечивости, с помощью не вызывающих сомнения средств. Д.Гильберт высказал предположение о возможности такого доказательства непротиворечивости арифметики существенно финитными средствами. Но программа формализации математики так и не была никогда выполнена, а цель самого Гильберта - «выяснить, какие именно аксиомы, гипотезы и средства необходимы для доказательства геометрических истин» - внезапно обернулась миром множественных геометрий, которые можно получить последовательным отбрасыванием тех или иных аксиом. Попытка связать в единое целое структуру всех геометрий окончилась, по словам П.Ремсея, превращением математики в игру:

Математика превращается в некий вид игры, ведущейся на бумаге при помощи ничего не значащих значков вроде нолей и крестиков... Поскольку каждый математик делает значки на бумаге, надо признать, что формалистическое учение содержит только правду; но трудно предположить, чтобы это была вся правда: ведь наш интерес к символической игре, конечно, происходит от возможности дать смысл, по крайней мере, некоторым из делаемых нами значков и от надежды, что после придачи им смысла они будут выражать знание, а не ошибку.

Теорему Гёделя о неполноте арифметики часто называют самым монументальным интеллектуальным достижением невероятной глубины и силы. С философской точки зрения это подразумевает, что любое высказывание самонедостаточно и самопротиворечиво. После открытий Курта Гёделя и других математиков стало ясно, что идея абсолютного и окончательного обоснования математики, как и полной формализации научного знания, вообще несостоятельна. Или чуть по-иному: «объективная истина» - фикция...

К счастью (да позволят нам на минуту немножко легкомыслия в таком серьезном вопросе), ни Д.Гильберту, ни кому-либо из его блестящих последователей и соратников не удалось выполнить эту программу - не из-за недостатка изобретательности, а попросту из-за ее невыполнимости. Однако, как это не раз бывало в истории математики, в процессе решения этой утопической задачи было накоплено подлинное богатство в виде новых теорий, новых понятий, новых методов.

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал две теоремы о неполноте, смысл которых заключается в установлении принципиальной неосуществимости программы Д.Гильберта создать полную и непротиворечивую систему оснований математики. Хотя в этих теоремах ("Uber die unentscheidbaren Satze der formalen Systeme") речь идет об арифметике натуральных чисел, установленные им ограничения можно распространить на любую арифметику натуральных чисел.

В первой теореме К.Гёделя доказано, что в непротиворечивой формализованной арифметике существует, по крайней мере, одно предложение, которое не выводимо в ней вместе со своим отрицанием. Согласно второй теореме Гёделя, непротиворечивость арифметики не может быть доказана средствами, формализованными в ней самой, то есть финитными средствами, как того хотел Гильберт. Доказательство непротиворечивости арифметики натуральных чисел требует обращения к посылкам, выходящим за рамки рассматриваемой системы, то есть такое доказательство может иметь лишь относительный смысл.

К.Гёдель доказал, что сконструированное истинное арифметическое высказывание нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то есть вывести дедуктивным путем из аксиом арифметики ни само это высказывание, ни его отрицание. Иными словами, в любой формализованной системе, способной выразить арифметику натуральных чисел, имеются неразрешимые (недоказуемые и вместе с тем неопровержимые в данной системе) предложения, которые тем не менее содержательно очевидны. Это означает, что в любой логике существуют такие теоретические положения, которые, если они истинны, не могут быть выведены из предпосылок, а если вытекают из предпосылок, то не могут быть признаны истинными.

Теорему Гёделя можно переформулировать следующим образом: «Все непротиворечивые аксиоматические формулировки теории чисел содержат неразрешимые суждения».

Это означает, что никакая достаточно большая система, вместе со своим алфавитом и своей грамматикой (или со своим конечным набором знаков и правилами их преобразования) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ПОЛНОЙ. «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)». Несколько упрощая, можно сказать, что любая теория содержит проблемы, которые не могут быть решены в рамках самой теории и требуют ее обобщения.

Доказательство, данное Гёделем, не так просто. Однако, положенная в его основу идея довольно проста и восходит к «парадоксу лжеца», известному еще древним грекам. Гёдель перевел на язык математики утверждение, утверждавшее о самом себе, что оно недоказуемо в данной формальной системе. А если утверждение о недоказуемости доказуемо, то оно ложно…

Теорема Гёделя говорит о том, что арифметика натуральных чисел включает содержание, которое не может быть выражено исключительно на основе логических правил образования и преобразования соответствующей формальной системы. Из состава логики нельзя исключать предложения, которые нельзя не признать истинными, но которые тем не менее неразрешимы на основе правил построения соответствующих формальных систем.

Из теорем Гёделя следует, что никакое понятие истинным образом не раскрывается внутри области его существования или, по-иному, что само раскрытие предмета требует выхода за пределы осознанных смыслов, составляющих мир наших представлений: «Поэтому бессмысленно требовать изначальных доказательств сказанного, так как все они лежат по эту сторону привычного смыслового пространства». На обыденном языке суть аналитики Гёделя заключается в том, что мы никогда не сможем получить ВСЮ правду о мире, то есть человеческое познание внутренне ограничено, то есть какие-то аспекты мира всегда будут сопротивляться описанию.

Эти положения, естественно, не являются результатами эмпирических наблюдений, но они не являются аналитическими и логическими истинами в соответствии с точными критериями аналитичности. Иными словами, математику невозможно свести к конечному числу взаимно непротиворечивых аксиом, образующих замкнутую систему. Нельзя построить внутренне непротиворечивую логику и свести к ней математику или познание в целом. В арифметике и вообще всякой теории, являющейся формализацией арифметики, всегда имеется неразрешимое высказывание. Речь идет здесь не о семантической, а именно о математической неполноте содержательных математических интерпретаций.

Значение полученных Куртом Гёделем и затем Герхардом Генценом результатов, далеко выходит за пределы математики, свидетельствуя о том, что даже в царице наук возможна лишь относительная непротиворечивость, то есть абсолютное знание недостижимо.

Дуглас Хофштадтер в замечательной книге "Гёдель, Эшер, Бах" пошел еще дальше: теорема Гёделя имеет глубоко скрытую цель - раскрыть тайну слова "я": "Эта абстрактная структура, как мне казалось, и была ключом к загадке самопознания и возникновения "я". Также эта книга описывает, как человек может думать о себе, как он может себя познавать, а также способы представления и сохранения знаний, методы и ограничения символьного представления и даже фундаментальное понятие «значение».

После Гёделя Алан Туринг тоже выяснил, что многие математические предложения «нерешаемы», то есть в конечном счете нельзя определить, являются ли предложения истинными или ложными. Еще один ученый Трауб попытался перефразировать вопрос «Является ли реальный мир слишком сложным для нашего понимания?» в более позитивном свете: «Можем ли мы узнать то, что не можем знать?» Можем ли мы доказать, что у науки есть границы, точно так же, как К.Гёдель и А.Туринг доказали, что они есть у математики?

Философским и гносеологическим следствием великого открытия Гёделя является осознание неизбежной дилеммы, стоящей перед человеческим разумом в области оснований точных наук: либо тавтология (только тавтология!), либо (если система достаточно богата) - относительная непротиворечивость. На бытовом языке жизни выражение «ты не прав» может свидетельствовать лишь об ограниченности говорящего. Без элементов свободного допущения никакая достаточно богатая теория невозможна, так что любые утверждения науки всегда содержат в себе элемент относительности, непредсказуемости и неопределенности.

По словам П.Коэна, теорема Гёделя является величайшим, непреодолимым препятствием для любой попытки понять природу множественного и целого. Что до проблемы континуума и математических множеств, то теоремы Гёделя сделали проблему бесконечных множеств, с одной стороны, окончательно неразрешимой и, с другой, принципиально неотвергаемой: «Теорема Гёделя чрезвычайно затрудняет отстаивание той точки зрения, что высшие бесконечности можно попросту отвергнуть».

Несколько ранее в исследованиях Лёвенгейма и Скулема 1915-1920 годов (теорема Лёвенгейма-Скулема) обнаружен еще один обескураживающий факт: никакая аксиоматическая система не может быть категорична. Иными словами, при любой тщательности формулировки система аксиом, всегда найдётся интерпретация, совершенно не похожая на ту, ради которой эта система проектировалась. Это обстоятельство также подрывает веру в универсальность аксиоматического подхода.

Я не случайно заговорил об аксиоматике и математических множествах, потому что одной из главных проблем оснований математики является преодоление пропасти между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Собственно, теория множеств возникла как способ описания континуума, однако детальное обследование проблемы континуум-множество (Г.Кантор, И.Кёниг, Д.Гильберт, К.Гёдель, П.Коэн, Э.Цермело, Т.Скулем, Н.Н.Лузин) выявило невозможность представления континуума любым, сколь угодно мощным множеством, что подвигло Г.Вейля на мысль, что континуум вообще не является множеством точек: континуум - среда свободного становления, которую невозможно исчерпать никакими множествами любых чисел.

Обнаруженный факт невозможности исчерпывающего и однозначного описания континуума как множества ведет к признанию в нем свойств нетривиальной целостности, которую следует понимать как отрицание и исключение всякой множественности. Эта целостность и единство в континууме есть свойства более сильные, чем обычная непрерывность множеств, они лежат как бы в ее основе.

Позже на неразрешимость проблемы континуум-множество наложились новые, потрясшие основы математики открытия: невозможности строгого и окончательного обоснования понятия вещественного числа, непротиворечивости континуума вещественных чисел, невозможности полностью формализованной математической теории как таковой. Математики средствами самой математики доказали существование абсолютно неразрешимых математических проблем, в частности проблемы континуум-множество. Так наука впервые столкнулась с Богом в самой себе - непознаваемостью целостного, реальным существованием кантовых ноуменов, «вещей в себе»...

Тем самым выяснилось, что сама математика зиждется на целом, неразложимом на элементы, неисчерпаемом никакими приемами человеческого ума. Если говорить точнее, человеческий разум может много добиться, оперируя с частями и множествами, но, двигаясь в глубь, упирается в непробиваемую бронь Первоединого.

Уже одного этого примера было бы достаточно, чтобы разрушить восходящее к Лейбницу и Декарту мнение, будто множество выводимых формул совпадает с множеством истинных формул. Но оставалась надежда, что выводимость лишь на немного меньше истинности, что недоказуемыми являются только экзотические формулы гёделевского типа, в которых зашифрованы утверждения, относящиеся к самим этим формулам. Но через пять лет был получен значительно более сильный результат - польско-американский математик Альфред Тарский доказал, что само понятие истинности логически невыразимо.

А.Тарский логически обосновал, что любая формальная система, в которой мы можем утверждать некое предложение и в то же время осмыслить истинность этого утверждения, неизбежно самопротиворечива. Следовательно, утверждение, что какая-либо теорема, данная в некотором формальном языке, истинна, может быть сделано лишь с помощью предложения, не имеющего смысла в этом языке. Такое утверждение образует часть языка более богатого, чем тот, который включает предложение, истинность которых утверждается.

Теорема Тарского, включающая в себя теорему Гёделя как частное следствие, наталкивает на мысль, что различие между истинностью и выводимостью довольно значительно. Но установить, насколько оно велико, удалось только сравнительно недавно, после многолетней совместной работы математиков многих стран, регулярно обменивавшихся промежуточными результатами. Все математические формулы были вначале разбиты на классы сложности, причем таким образом, что они расширялись, то есть в каждом следующем классе имелись не только все формулы предыдущего класса, но и некоторые новые. Значит, тут при поднятии верхней границы сложности количество формул реально возрастает. Затем было показано, что множество выводимых формул целиком содержится в нулевом классе. И, наконец, доказано, что множество истинных формул не помещается даже в тот предельный класс, который получается при стремлении показателя сложности к бесконечности. Известный математик Ю. Манин так прокомментировал эту ситуацию: «Выводимость находится на нижней ступеньке бесконечной лестницы, а истинность располагается где-то над всей лестницей». В общем, расстояние от выводимости до истинности настолько громадно, что, говоря в целом, ролью строгой логики в деле познания можно пренебречь.

Похоже, она нужна лишь для придания результату общепонятной и убедительной формы, а механизм получения результата совсем иной. Недаром от математиков нередко можно услышать фразу: сначала я понял, что эта теорема верна, а потом начал думать, как ее доказать. На что же опираются они в своем творчестве, природу которого объяснить, как правило, не могут? Ответ на этот вопрос подсказывается замечательной теоремой, доказанной в конце 70-х годов американцами Парисом и Харрингтоном. Из нее следует, что даже относительно простые арифметические истины невозможно установить, не прибегая к понятию актуальной бесконечности.
Что такое актуальная бесконечность? На обыденном языке - Запредельность, Бог...

Таким образом, даже в логике оказалась непреодолимой стена, которую пытаются преодолеть средствами данной логики. Оказалось, что существуют предложения, которые в принципе не могут быть доказаны в пределах логики, в которой они введены. Выяснилось, что логические и математические истины не являются «истинами во всех возможных мирах», что любая формальная система преобразований предполагает определенную онтологию и возможна только в ее рамках.

Я полагаю, что рассмотренные свидетельства математической логики - частные случаи экзистенциального мировоззрения, согласно которому окончательное доказательство чего бы то ни было невозможно; абсолютность и полнота недоступны самому изощренному человеческому уму; удел математика - остановиться где-то на каких-то ступеньках бесконечной лестницы, подобно лестнице Иакова уходящей в небеса. Даже самая высшая из существующих математик не способна полностью обосновать формальную теорию, или, иными словами, сколь бы изощренными ни были тенета, расставленные математикой, значительная часть мира «ускользнет» из них.

Кстати, Гёдель, как свидетельствуют его записные книжки, всю жизнь размышлял не только о математике, но о природе и пределах самого мышления, а также о проблеме существования абсолютно неразрешимых утверждений. Внутренне тяготея к парадоксам, он часто повторял: «Либо наш разум не является механическим, либо математика, даже арифметика, не является нашей собственной конструкцией». Позже эта «закрученная формулировка» стала предметом обширной полемики о соотношении ума и компьютера, особенно в связи с интерпретацией теорем о неполноте Геделя гениальным физиком Р.Пенроузом.

Гёдель считал, что философия математики должна стать частью самой математики, приобретая определенность, и в то же время теряя характер собственно философский.

Гёделевская «теорема о неполноте», согласно которой, как уже было сказано, не существует формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики, - только частный случай тотальной неполноты рационального человеческого разума, стремящегося подчинить бесконечность своим примитивным уловкам.

Сам Гёдель часто говорил о «незавершаемости или неисчерпаемости математики» и, возможно, впервые поставил вопрос, может ли этот процесс незавершаемости математики осуществляться конечной машиной или же только человеком. Если это доступно только человеку, тогда он действительно превосходит по своим возможностям конечную машину.

Ни строгое определение понятий, ни доказательство не являются продуктивными путями обретения принципиально нового знания. Позитивизм и логоцентризм привели к типичному для рационализма результату - схоластике и бесчисленным попыткам доказать больше, чем вообще можно доказать.

В итоге эссенциализм не только стимулировал пустые словопрения, но и привел к разочарованию в возможностях аргументации, а значит, и в возможностях разума.
Возможности аристотелевской логики ограничены, возможности человеческого разума безграничны. Даже сама логика не осталась неизменной: следуя за «неклассической» физикой, логика обогатилась рядом релятивистских, релевантных, вероятностных, паранепротиворечивых логик, трех- и четырехзначных логик, логик с не всюду определенным понятием истинности, с пересыщенными оценками и т. д., и т. п., что существенно изменило облик современной математики.

Что до самой математики, то она описывает мир не потому, что действительность имеет ту же структуру, что и математический формализм, но потому, что математика является просто одним из многих способов описания мира, верным до тех пор, пока не исключает другие. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, да и то в первом приближении. Если бы дело было в одной математике, то орбиты могли быть любыми - уже до открытия их траекторий математика описала множество иных, не эллиптических «идеальных» путей.

Не выдержала испытания и концепция математики и физики как «знания без познающего субъекта», верного всегда и во всех мирах.

Законы логики и математики нельзя рассматривать вне зависимости от познающего субъекта. Например, анализ закона исключенного третьего с позиций квантовой механики и новейшего знания вообще показал, что даже самые твердо установленные истины или самые глубокие убеждения могут оказаться лишь идеальными проекциями нашего разума, а отнюдь не отражениями реальности.

Критерии научной рациональности не оправдались. Мы так и не знаем, можно ли считать открытия великих ученых рациональными и могут ли сами эти открытия служить критериями правильности теорий. Мы не знаем, как оценивать подготовительную работу признанных и непризнанных предшественников великих ученых...

Дискуссии о научной рациональности и успешности науки как возможности выбора метода, адекватно поставленной цели, зашли в тупик. Многое по-прежнему неясно.

Каковы критерии научной рациональности? Какие познавательные стандарты оценивать как «универсалии», а какие имеют исторически ограниченную область действия (например, ориентация на выдвижение фальсифицируемых теорий, избегание модификаций ad hoc, постулирующих ненаблюдаемые сущности; предпочтение предсказательных теорий теориям, обладающим красотой и изяществом, простотой; предпочтение количественных или качественных процедур анализа и т. п.)?

По мнению Й.Хейзинги, диктат рационализма остался в прошлом, наука его уже давно переросла: «Мы знаем, что не все можно мерить меркой разумности. Само поступательное развитие мышления научило нас, что одного разума бывает недостаточно. Взгляд на вещи более глубокий и разносторонний, нежели чистый рационализм, открыл нам в этих вещах дополнительный смысл».

По Карлу Попперу, гипотезы, положенные в фундамент познавательного процесса, релевантны; фальсифицируемы; более богаты по содержанию, нежели породившие их проблемы; консервативны (если обнаруживается подходящая гипотеза, то ученый пытается опровергнуть ее и сопротивляется любым попыткам отделаться от объяснений сложных случаев). Так или иначе, наука прогрессирует путем выдвижения предположений и их опровержения.

П.Фейерабенд считает, что попперовская схема развития не универсальна, иллюстрируя свою точку зрения следующими доводами:
1. Замена теории не всегда происходит как фальсификация. Так, в случае с системой Птолемея, или с электронной теорией Лоренца нельзя привести таких фактов, которые стимулировали отказ от этих систем.
2. Содержание теории, которую мы хотим проверить, и наше решение относительно фальсифицирующих примеров не столь независимы друг от друга, как это подразумевается в теории Поппера.
3. Переход от одной системы знания не всегда приводит к содержательному росту, как, например, переход к научной психологии, приведший к существенному сужению содержания.
4. Требование поиска опровергающих обстоятельств и серьезного к ним отношения может привести к устойчивому прогрессу тогда, когда опровергающие факты единичны и редки. Если же теория окружена «океаном аномалий», то правила фальсификации могут быть использованы только как временные, а отнюдь не необходимые условия научной рациональности.

П.Фейерабенд полагает, что рациональные схемы развития науки вообще неадекватны ее сущности и противоречат истории развития знания:

Понимание этапа в развитии науки подобно пониманию стилистического периода в истории искусств. Здесь наблюдается очевидное единство, но оно не может быть суммировано в нескольких простых правилах... Общее представление о таком единстве, или парадигма, будет, следовательно, бедным, и оно скорее порождает проблему, нежели обеспечивает ее решение,- проблему заполнения эластичной, но плохо определенной концептуальной системы постоянно изменяющимся конкретным историческим материалом.

Я хочу подчеркнуть, что сами критерии научности или ненаучности вполне могут носить внерациональный характер. Наряду с принципом фальсифицируемости Поппера, такими критериями следует считать претензии на единственность и универсальность теории. Прогресс науки - самое яркое свидетельство того, что единственность и универсальность тормозят развитие знания хотя бы по причине массовости завербованных данной парадигмой консерваторов-доктринеров, самостоятельно не способных «выйти за рамки» и потому препятствующих росткам нового. Единственность и универсальность - формы научного тоталитаризма, вооруженного всем арсеналом средств подавления еретичества и инакомыслия.

Что до научного консерватизма, то он свойствен даже выдающимся творцам науки: Д.И.Менделеев отказывался слушать доводы в пользу возможной трансформации элементов, Ч.Дарвин с присущей ему непоследовательностью, граничащей с беспринципностью, впадал в ламаркизм, Эйнштейн до конца жизни отказывал в правоте Бору и Гейзенбергу...

Упомянув имена Дарвина и Ламарка, я должен напомнить теории развития науки, принадлежащие Чарльзу Сандерсу Пирсу, считавшему, что эволюция знания может идти тремя путями:
- путем дарвиновской эволюции - медленными, случайными и незаметными изменениями в процессе борьбы за существование;
- путем ламаркистской эволюции - медленными, но закономерными изменениями в результате собственных устремлений индивидов;
- путем катаклизмов Кювье - внезапных скачков, связанных с резкими изменениями окружающей среды.

Чарльз Сандерс Пирс полагал, что как в эволюции жизни, так и в эволюции знания возможны все три типа эволюции, но среди них преобладает ламаркистский тип эволюции:

Ламаркистская эволюция может, к примеру, принять форму постепенной модификации наших взглядов для того, чтобы эти взгляды лучше соответствовали известным фактам, по мере того как накапливаются результаты наблюдения... поскольку эти модификации не являются случайными, а являются по большей части движениями по направлению к истинности... нет сомнения, что от десятилетия к десятилетию даже без каких-либо великолепных открытий или значительных успехов наука будет ощутимо продвигаться вперед.

В свете пирсовой теории эволюции науки концепция Карла Поппера явно относится к дарвиновскому типу и даже пользуется дарвиновским языком: научная конкуренция - борьба за выживание наиболее приспособленных теорий, шанс устоять при элиминации неадекватным гипотезам. Парадигмальная концепция Т.Куна - сочетание дарвиновской и ламаркистской эволюций: нормальная наука развивается по ламаркистскому направлению, революция в науке укладывается в дарвиновский подход. П.Фейерабенд, конечно же, сторонник Кювье: принцип пролиферации - торжество катаклизма, надо строить теорию, несовместимую с известными...

Строя логическую теорию правдоподобия, К.Поппер исходил из того, что следствиями истинного утверждения могут быть только истинные утверждения, тогда как среди следствий ложного утверждения могут встречаться как ложные, так и истинные.

Поскольку научные теории сменяют друг друга или опровергаются одна другой, любая теория, строго говоря, является ложной. Поэтому среди следствий любой теории могут быть и истинные, и ложные утверждения. Множество следствий теории Поппер именует логическим содержанием: истинные следствия теории образуют ее истинное содержание, оставшаяся часть является ложным содержанием. При сравнении двух разных теорий можно выяснить, что истинное содержание одной больше истинного содержания другой или что ложное содержание одной меньше ложного содержания другой. Таким образом, можно говорить о разной степени правдоподобия разных теорий. Развитие науки есть стремление к максимальному правдоподобию. Максимально правдоподобной для данного исторического периода будет теория, дающая наиболее исчерпывающее знание, то есть обладающая минимально ложным содержанием. Прогресс науки заключается в стремлении построения исчерпывающей теории, но реально можно создавать лишь более или менее правдоподобные теории.

Вообще говоря, любая теория применима лишь там, где применимы ее понятия. Это принципиально еще потому, что подчеркивает важность языка: невозможно прорваться в грядущее, не создав нового языка. Что до правдоподобия, то его условиями являются правильно выбранный язык, степень информативности и возможность подвергнуть идеи критике. Ученый, считает К.Поппер, никогда с уверенностью не может знать, истинны ли его предположения, но он должен уметь с достаточной определенностью обосновать ложность своих теорий. «Научные теории представляют собой подлинные предположения - высокоинформативные догадки относительно мира, которые хотя и не верифицируемы (то есть нельзя показать, что они истинны), но могут быть подвергнуты строгим критическим проверкам».

Таким образом, приходится признать, что абсолютная наука и абсолютная истина невозможны: окружающий мир, частью которого мы сами и являемся, сложен и не исчерпывается простыми объяснениями. Интерпретации, которые предлагает наука, являются частными, недостаточными и несовершенными. Абсолютный идеал науки - такое же заблуждение, как фанатизм рыцарей-конквистадоров, рвавшихся в Иерусалим «освобождать» гроб Господен. Но так же важно и другое: нет никакого "конца науки" или "конца истины". И те, кто игнорируют движение мысли, затыкают рты оппонентам, ориентируются на прошлое, в дремучем прошлом и остаются...

Возвращаясь к Курту Гёделю, я должен отметить, что его рационалистический оптимизм не исключал ни фактора человеческой субъективности, ни интитивности, ни априорности знания, ни даже элемента мистицизма. Весьма характерно признание математика и писателя Р.Рукера: «Я спросил Гёделя, верит ли он, что за всеми различными явлениями и действиями в мире стоит единый Ум. Он ответил утвердительно, и что Ум структурирован, но при этом Ум существует независимо от индивидуальных свойств. Тогда я спросил, верит ли он, что Ум находится везде, в противоположность тому, что локализуется в мозгах людей. Гёдель ответил: “Конечно. Это основа мистического учения”». Видный логик Раймонд Смаллиан, много делающий для популяризации математических достижений Гёделя, рассказал, что в одной из бесед с ним Гёдель произнес замечательную фразу «когда время созреет». В этом духе можно предположить, что Гёдель мог рассчитывать как рационалистический оптимист на то, что «однажды, но никак не ранее, время придет», когда не будет опасений перед абсолютно неразрешимыми проблемами.

Несколько слов о Гёделе-человке. Курт Гёдель родился в 1906 г. в Австро-Венгрии, в городе Брюнн (ныне Брно в Чехии). По завершению Венского университета и защиты диссертации остался там преподавателем. После аннексии Австрии он автоматически получил паспорт гражданина Германии, но, испытывая лютую ненависть к нацистам, бежал в США, получив предварительно приглашение занять пост в Принстонском институте перспективных исследований, где ранее обустроился А.Эйнштейн.

Несмотря на 27-летнюю разницу в возрасте и несовместимость темпераментов, Курт быстро сблизился с Эйнштейном. Каждый день их видели идущими вместе в Институт и обратно, увлеченными разговором, причем говорил в основном Гёдель. Известный математик Арман Борель вспоминал: «Я не знаю, о чем они разговаривали; наверное, о физике, ведь Гёдель в молодости занимался физикой. Больше они ни с кем не общались, разговаривали только друг с другом». А экономист Оскар Моргенштерн позже пересказал слова Эйнштейна: «Моя работа теперь не имеет никакого значения. Я хожу в Институт только для того, чтобы иметь удовольствие возвращаться домой вместе с Гёделем».

Как многие гении, Гёдель слыл редким эксцентриком, обладал необычными вкусами, страдал разными фобиями, одна из которых его погубила. Будучи человеком скрупулезным и дотошным, как и полагалось звезде математической логики, Гёдель был напрочь лишен чувства юмора и к любому, даже к самому незначительному практическому вопросу, подходил со «звериной серьезностью», что превращало общение с ним в муку для окружающих.

Фобии Гёделя к концу жизни переросли в паранойю. Он панически боялся отравления, в чем подозревал самых близких людей. К счастью, бывали и продолжительные периоды просветления. В один из них Курт Гёдель поразил Эйнштейна, преподнеся к его юбилейному сборнику статью, в которой он нашел неординарное решение уравнений общей теории относительности. Из его решения следовало, что возможно путешествовать во времени, в том числе вернуться в прошлое. Принято считать, что это решение математически непротиворечиво, но лишено физического смысла.

В конце концов токсикофобия Гёделя довершила свое злое дело. После смерти жены автор бессмертных теорем быстро довел себя до голодной смерти. В больнице, куда его доставили незадолго до кончины, врачи оказались бессильны. Они лишь констатировали смерть вследствие истощения, вызванного «распадом личности».

Из книги И.Гарина "Что такое наука?" Примечания и цитирования даны в тексте книги.