Третий законы ньютона для вращательного движения. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Материальной точки и твердого тела

1. Производная но времени от количества движения К материальной точки или системы материальных точек относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета равна главному вектору F всех внешних сил, приложенных к системе:
dK/dt = F или mac = F

где ac - ускорение центра инерции системы, а т - ее масса.
В случае поступательного движения твердого тела с абсолютной скоростью v скорость центра инерции vc = v. Поэтому при рассмотрении поступательного движения твердого тела это тело можно мысленно заменить материальной точкой, совпадающей с центром инерции тела, обладающей всей его массой и движущейся под действием главного иехтора внешних сил, приложенных к телу.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат уравнения основного закона динамики поступательного движения системы имеют вид:
Fx = dK/dt, Fy = dK/dt, Fz = dK/dt

или
macx = Fx , macy = Fy , macz = Fz

2. Простейшие случаи поступательного движения твердого тела.
а) Движение по инерции (F = 0):
mv = const, a=0.

б) Движение под действием постоянной силы:
d/dt (mv) = F = const, mv = Ft + mv0,

где mv0 - количество движения тела в начальный момент времени t = 0.
в) Движение под действием переменной силы. Изменение количества движения тела за промежуток времени от t1 до t2 равно
mv2 - mv1 = Fcp (t2 - t1)

где Fcp - среднее значение вектора силы в интервале времени времени от t1 до t2.

Другие записи

10.06.2016. Первый закон Ньютона

1. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.Этот…

10.06.2016. Сила

1. Сила - векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или тело со стороны других тел или полей. Сила полностью задана, если указаны ее численное значение, направление…

10.06.2016. Третий закон Ньютона

1. Действия двух материальных точек друг на друга численно равны и направлены в противоположные стороны:Fij = - Fji,где i не равно j. Эти силы приложены к разным точкам и могут взаимно уравновешиваться…

Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

Поступательно движется, например, кабина лифта. Также, в первом приближении, поступательное движение совершает кабина колеса обозрения. Однако, строго говоря, движение кабины колеса обозрения нельзя считать поступательным.

Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Рассматривая действие различных сил на данную материальную точку (тело), то ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей данных приложенных сил:

При действии одинаковой силы на тела с различными массами ускорения тел оказываются различными, а именно

Учитывая (1) и (2) и то, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение (3) есть второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В системе измерений СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике постоянна, в выражении (4) массу можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.Подставляя (6) в (5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Основные характеристики поступательного движения:

1.путь - любое движение вдоль траектории

2.перемещение – самый короткий путь.

А также сила, импульс, масса, скорость, ускорении и т.д.

Число степеней свободы - это минимальное число координат (параметров), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве.

В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и ускорение.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

P-Импульс

(с векторами)

14. Различия вращательного и поступательного движения. Кинематика вращательного движения . Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.[ Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w , линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . Сравнительные параметры движения:

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение S	Угловое перемещение φ
Линейная скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
	Момент инерции I
	Момент импульса
	Момент силы M

Работа:	Работа:
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Закон сохранения импульса (ЗСИ)	Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ)

При описании вращательного движения твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета принято использовать векторные величины особого рода. В отличие от рассмотренных выше полярных векторов r (радиус-вектор), v (скорость), a (ускорение), направление которых естественным образом вытекает из природы самих величин, направление векторов, характеризующих вращательное движение, совпадает с осью вращения, поэтому их называют аксиальными (лат. axis – ось).

Элементарный поворот dφ – аксиальный вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление вдоль оси вращения ОО" (см. рис. 1.4) определяется правилом правого винта. (угол вращения твердого тела).

Рис.1.4. К определению направления аксиального вектора

Линейное перемещение dr произвольной точки А твердого тела связано с радиусом-вектором r и поворотом dφ соотношением dr=rsinα dφ или в векторном виде через векторное произведение:

dr= (1.9)

Соотношение (1.9) справедливо именно для бесконечно малого поворота dφ.

Угловая скорость ω – аксиальный вектор, определяемый производной вектора поворота по времени:

Вектор ω, как и вектор dφ, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.1.5).

Рис.1.5. К определению направления вектора

Угловое ускорение β – аксиальный вектор, определяемый производной вектора угловой скорости по времени:

β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""

При ускоренном движении вектор β по направлению совпадает с ω (рис. 1.6,а), а при замедленном - векторы β и ω направлены противоположно друг другу (рис. 1.6,б).

Рис.1.6. Связь между направлениями векторов ω и β

Важное замечание: решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси по форме аналогично задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины x, vx, ax на соответствующие им угловые φ, ω и β, и мы получим уравнения, аналогичные (1.6) -(1.8).

Период обращения-

(Время, за которое тело совершает один оборот)

Частота(количество оборотов за единицу времени)-

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение.

В основе динамики лежат законы Ньютона.

1. Закон инерции . Существуют такие СО, в которых всякое тело может находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны упругих сил не изменит его состояния.

Этот закон рассматривает тело как материальную точку и выполняется только в ИСО.

Сила – физическая величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел, вызывающее изменение движения тела.

2. Закон движения материальной точки. Импульс тела . Скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе F:

Изменение импульса в точке за время dt равно результирующей сил.

3. Закон взаимодействия. Если одно тело воздействует на другое с некоторой силой, то и второе воздействует на первое с той же силой.

Эти силы всегда одной природы, равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам.

Динамика материальной точки. Основные уравнения движения материальной точки в дифференциальной форме.

Динамика системы частиц, центр инерции системы, закон движения центра инерции.

Рассмотрим систему точек с массами m1,m2…m n .

Центр масс – точка, для радиус-вектора которой выполняется:

Центр масс изолированной системы находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Закон движения центра масс - в инерциальных системах отсчёта центр масс системы движется как материальная точка, в которой находится масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Динамика системы частиц, закон сохранения импульса в замкнутой системе.

В отсутствии сил импульс материальной точки остаётся неизменным по модулю и направлению (следствие из второго закона Ньютона).

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

Или

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами или . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела; - вектор элементарного поворота тела - является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 6). При этом радиус-вектор R , направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время Dt на некоторый угол Dj . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности; 360 о = 2p рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта : вектор угловой скорости сонаправлен с вектором , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности.

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

В векторной форме .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости , происшедшего за время dt:

При ускоренном движении вектор параллелен (рис. 7), при замедленном – противонаправлен (рис. 8).

Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

Типы вращательного движения:

а) переменное – движение, при котором изменяются и :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения .

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

За один оборот: ,

, .

Законы Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что , поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы .

Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта: наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики и специально поставленных экспериментов.

Великий итальянский физик Галилео Галилей экспериментально установил, что материальная точка (тело) достаточно удаленная от всех других тел (т.е. не взаимодействующая с ними) будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это положение Галилея было подтверждено всеми последующими опытами и составляет содержание первого основного закона динамики, так называемого закона инерции. При этом покой следует рассматривать как частный случай равномерного и прямолинейного движения, когда .

Этот закон одинаково справедлив как для движения гигантских небесных тел, так и для движения мельчайших частиц. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией.

Равномерное и прямолинейное движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, носит название инерциальной системой отсчета. Инерциальной системой отсчета практически точно является гелиоцентрическая система. В виду громадного расстояния до звезд, их движением можно пренебречь и тогда оси координат, направленные от Солнца на три звезды, не лежащие в одной плоскости, будут неподвижными. Очевидно, любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, также будет инерциальной.

Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать исчерпывающим. Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства: сила притяжения, испытываемая данным телом со стороны другого тела, пропорциональна их массам. Масса определяет полный запас энергии материального тела.

Понятие массы позволяет уточнить определение материальной точки. Материальной точкой называется тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, следовательно, характеризуется величиной своей массы. В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике.

Эйнштейн показал, что масса движущегося тела зависит от скорости

, (2.1)

где m 0 - масса покоящегося тела,  - скорость движения тела, с – скорость света в вакууме.

Из (2.1) следует, что при движении тел с малыми скоростями c масса тела равна массе покоя, т.е. m=m 0 ; при c масса m.

Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований Ньютон сформулировал второй основной закон динамики, количественно связавший изменение движения материального тела с силами, вызывающими это изменение движения. Остановимся на анализе этого важнейшего понятия.

В общем случае сила - есть физическая величина, характери-зующая действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численной величиной или модулем
, направлением в пространстве и точкой приложения.

Если на материальную точку действуют две силы и, то их действие эквивалентно действию одной силы

получаемой из известного треугольника сил (рис.2.1). Если на тело действуют n-сил, суммарное действие эквивалентно действию одной равнодействующей, являющейся геометрической суммой сил:

. (2.2)

Динамическое проявление силы состоит в том, что под действием силы материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела (пружины) под действием сил деформируются, газы – сжимаются.

Под действием сил движение перестает быть равномерным и прямолинейным и появляется уско-рение (), направление его совпадает с направлением действия силы. Опыт показывает, что ускорение, полу-чаемое телом под действием силы, обратно пропорционально величине

его массы:

или
. (2.3)

Уравнение (2.3) представляет математическую запись второго основного закона динамики:

вектор силы, действующий на материальную точку численно равен произведению массы точки на вектор ускорения, возникающего при действии этой силы.

Поскольку ускорение

где
- единичные векторы,
- проекции ускорения на координатные оси, то

. (2.4)

Если обозначить , то выражение (2.4) можно переписать через проекции сил на координатные оси :

В системе СИ за единицу силы принимается ньютон.

Согласно (2.3) ньютон есть такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 . Легко видеть, что

Второй закон Ньютона можно записать иначе, если ввести понятие импульса тела (m) и импульса силы (Fdt). Подставим в

(2.3) выражение для ускорения

получим

или
. (2.5)

Таким образом, элементарный импульс силы, действующий на материальную точку в течение промежутка времени dt, равен изменению импульса тела за тот же промежуток времени.

Обозначив импульс тела

получим следующее выражение для второго закона Ньютона:

В релятивистской механике при c основной закон динамики и импульс тела с учетом зависимости массы от скорости (2.1.) запишутся в следующем виде

До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами: влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек: если материальная точка m 2 испытывает со стороны материальной точки m 1 силу, равную , то m 1 испытывает со стороны m 2 силу , равную по величине и противоположную по направлению :