Для двух плоскостей возможны следующие варианты взаимного расположения: они параллельны или пересекаются по прямой линии.
Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это условие называют признаком параллельности плоскостей .
Если две плоскости являются параллельными, то они пересекают какую-то третью плоскость по параллельным прямым. Исходя из этого у параллельных плоскостей Р и Q их следы являются параллельными прямыми (рис. 50).
В случае, когда две плоскости Р и Q параллельны оси х , их горизонтальные и фронтальные следы при произвольном взаимном расположении плоскостей будут параллельными оси х, т. е. взаимно параллельными. Следовательно, при таких условиях параллельность следов является достаточным признаком, характеризующим параллельность самих плоскостей. Для параллельности подобных плоскостей нужно убедиться в параллельности и профильных их следов P w и Q w . Плоскости Р и Q на рисунке 51 параллельны, а на рисунке 52 они не параллельны, несмотря на то что P v || Q v , и P h у || Q h .
В случае, когда плоскости параллельны, горизонтали одной плоскости параллельны горизонталям другой. Фронтали одной плоскости при этом должны быть параллельными фронталям другой, так как у этих плоскостей параллельны одноименные следы.
Для того чтобы построить две плоскости, пересекающиеся между собой, необходимо найти прямую, по которой пересекаются две плоскости. Для построения этой прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей.
Иногда, когда плоскость задана следами, найти данные точки легко с помощью эпюра и без дополнительных построений. Здесь известно направление определяемой прямой, и ее построение основывается на использовании одной точки на эпюре.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Начертательная геометрия. Конспект лекций лекция. Сведения о проекциях
Лекция сведения о проекциях понятие проекций чтение чертежа.. центральная проекция.. представление о центральной проекции можно получить если изучить изображение которое дает человеческий глаз..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементо
Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать на
Проекции точки на две плоскости проекций
Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоск
Отсутствие оси проекций
Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между пр
Проекции точки на три плоскости проекций
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, ког
Координаты точки
Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами. Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости пр
Проекции прямой
Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной
Следы прямой
След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).
Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H
Различные положения прямой
Прямую называют прямой общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпенд
Взаимное расположение двух прямых
Возможны три случая расположения прямых в пространстве:
1) прямые пресекаются, т. е. имеют общую точку;
2) прямые параллельны, т. е. не имеют общей точки, но лежат в одной плоскос
Перпендикулярные прямые
Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.
Приведем доказательство для
Определение положения плоскости
Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции
Следы плоскости
След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).
Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называю
Горизонтали и фронтали плоскости
Среди прямых, которые лежат в некоторой плоскости, можно выделить два класса прямых, играющих большую роль при решении всевозможных задач. Это прямые, которые называют горизонталями
Построение следов плоскости
Рассмотрим построение следов плоскости Р, которая задана парой пересекающихся прямых I и II (рис. 45).
Если прямая находится на плоскости Р, то ее следы лежат на одноименных следах
Различные положения плоскости
Плоскостью общего положения называется плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной плоскости проекций. Следы такой плоскости также не параллельны и не перпендикулярны
Прямая, параллельная плоскости
Может быть несколько положений прямой относительно некоторой плоскости.
1. Прямая лежит в некоторой плоскости.
2. Прямая параллельна некоторой плоскости.
3. Прямая пересе
Прямая, пересекающая плоскость
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо построить линии пересечения двух плоскостей. Рассмотрим прямую I и плоскость Р (рис. 54).
Призма и пирамида
Рассмотрим прямую призму, которая стоит на горизонтальной плоскости (рис. 56).
Ее боковые гран
Цилиндр и конус
Цилиндр – это фигура, поверхность которого получается вращением прямой m вокруг оси i, расположенной в одной плоскости с этой прямой. В случае, когда прямая m
Шар, тор и кольцо
Когда некоторая ось вращения I является диаметром окружности, то получается шаровая поверхность (рис. 66).
Линии, применяемые в черчении
В черчении применяют три основных типа линий (сплошные, штриховые и штрихпунктирные) различной толщины (рис. 76).
Расположение видов (проекций)
В черчении применяются шесть видов, которые изображены на рисунке 85. На рисунке показаны проекции буквы «Л».
Отступление от приведенных правил расположения видов
В некоторых случаях допускаются отступления от правил построения проекций. Среди этих случаев можно выделить следующие: частичные виды и виды, расположенные без проекционной связи с другими видами.
Число проекций, определяющих данное тело
Положение тел в пространстве, форма и размеры определяются обычно небольшим числом соответствующим образом подобранных точек.
Если при изображении проекции какого-то тела обращать внимание
Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций
На рисунке 91 дана ось вращения I, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости, и произвольно расположенная в пространстве точка А. При вращении около оси I эта точка опис
Определение натуральной величины отрезка путем вращения
Отрезок, параллельный какой-нибудь плоскости проекций, проецируется на нее без искажения. Если повернуть отрезок таким образом, чтобы он стал параллельным одной из плоскостей проекций, то можно опр
Построение проекций фигуры сечения можно выполнить двояко
1. Можно найти точки встречи ребер многогранника с секущей плоскостью, после чего соединить проекции найденных точек. В результате этого получатся проекции искомого многоугольника. В этом случае це
Пирамида
На рисунке 98 показано пересечение поверхности пирамиды фронтально-проектирующей плоскостью Р. На рисунке 98б изображена фронтальная проекция а точки встречи ребра KS с плоскостью
Косые сечения
Под косыми сечениями понимают круг задач на построение натуральных видов сечений рассматриваемого тела проецирующейся плоскостью. Для выполнения косого сечения необходимо расчленит
Гипербола как сечение поверхности конуса фронтальной плоскостью
Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р, которая параллельна плоскости V.
На рисунке 103 показана фронтальная
Сечение поверхности цилиндра
Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:
1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основ
Сечение поверхности конуса
В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение об
Сечение поверхности шара
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы б
Косые сечения
Пусть требуется построить натуральный вид сечения фронтально-проецирующей плоскостью тела. На рисунке 110а рассматривается тело, ограниченное тремя цилиндрическими поверхностями (1, 3 и 6), поверхн
Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут
Цилиндрическая винтовая линия
Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскос
Два тела вращения
Метод проведения вспомогательных плоскостей применяется при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения. Суть этого метода заключается в следующем. Проводят вспомогательную плоскост
Сечения
Существуют некоторые определения и правила, которые относятся к сечениям.
Сечение – это плоская фигура, которая была получена в результате пересечения данного тела некотор
Разрезы
Определения и правила, которые относятся к разрезам.
Разрез – это такое условное изображение предмета, когда его часть, находящаяся между глазом наблюдателя и секущей плос
Частичный разрез или вырыв
Разрез называется полным, если изображаемый предмет рассекается целиком, остальные разрезы называются частичными, или вырывами. На рисунке 120 на виде слева и на плане сделаны полные разрезы. Приче
Плоскость, прямая, точка - основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров - ни длины, ни ширины, ни высоты.
Плоскость бесконечна. Поэтому в задачах мы рисуем только часть плоскости. Надо же как-то ее изобразить.
А как все это выглядит в пространстве? Очень просто. Лист плотной бумаги послужит «моделью» плоскости. Можете взять другой плоский предмет, например, CD-диск, пластиковую карту. Карандаши вполне могут изобразить прямые. Все аксиомы и теоремы стереометрии можно показать «на пальцах», то есть с помощью подручных материалов. Читаете - и сразу стройте такую «модель».
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.
Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают - значит, это одна плоскость, а не две.
Угол между плоскостями
Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .
Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как
то в обоих случаях 
.
По определению скалярного произведения 
. Откуда
и соответственно
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
| (11.6) |
где -- любое число.
23.Различные виды уравнений прямой в пространстве
Векторно-параметрическое уравнение прямой
где  - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Уравнения прямой по двум точкам
24. Различные виды уравнений прямой в пространстве
Канонические уравнения прямой
 Параметрические уравнения прямой
получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t .
25. Взаимное положение прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.
1. Пересекающиеся прямые
Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.
Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).
 .
Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые
2. Параллельные прямые
На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).
Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.
3. Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.
На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).
 .
Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых
 .
Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые
Расстояние от точки до прямой - равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.
|
Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.
1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61).
Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В.
Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.
Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой.
Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой
d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.
Рисунок 61. Параллельные плоскости
2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.
Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62).
Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a.
Требуется построить линию пересечения плоскостей.
Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3.
Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью
Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63)
Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения
Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).
Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.
Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64).
Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. |
| Рубрика (тематическая категория) | Геология |
Две плоскости в пространстве могут располагаться либо параллельно друг другу, либо пересекаться.
Параллельные плоскости . В проекциях с числовыми отметками признаком параллельности плоскостей на плане служит параллельность их горизонталей, равенство заложений и совпадение направлений падения плоскостей: пл. S || пл. L - h S || h L , l S = l L , пад. I. (рис.3.11).
В геологии плоское однородное тело, сложенное какой-либо породой, называют слоем. Слой ограничен двумя поверхностями, верхнюю из которых называют кровлей, а нижнюю – подошвой. В случае если слой рассматривается на сравнительно небольшой протяженности, то кровлю и подошву приравнивают к плоскостям, получая в пространстве геометрическую модель двух параллельных наклонных плоскостей.
Плоскость S - кровля, а плоскость L - подошва слоя (рис.3.12, а ). В геологии кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой называют истинной мощностью (на рис.3.12, а истинная мощность обозначена буквой H). Помимо истинной мощности, в геологии используют и другие параметры слоя горной породы: вертикальную мощность – H в, горизонтальную мощность – L, видимую мощность – H вид. Вертикальной мощностью в геологии называют расстояние от кровли до подошвы слоя, измеренное по вертикали. Горизонтальная мощность слоя есть кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой, измеренное в горизонтальном направлении. Видимая мощность – кратчайшее расстояние между видимым падением кровли и подошвы (видимым падением называют прямолинейное направление на структурной плоскости, т. е. прямую, принадлежащую плоскости). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, видимая мощность всегда больше истинной. Следует отметить, что у горизонтально залегающих слоев истинная мощность, вертикальная и видимая совпадают.
Рассмотрим прием построения параллельных плоскостей S и L, отстоящих друг от друга на заданном расстоянии (рис.3.12, б ).
На плане пересекающимися прямыми m и n задана плоскость S. Необходимо построить плоскость L, параллельную плоскости S и отстоящую от нее на расстоянии 12 м (т. е. истинная мощность – H = 12 м). Плоскость L расположена под плоскостью S (плоскость S - кровля слоя, плоскость L - подошва).
1) Плоскость S задают на плане проекциями горизонталей.
2) На масштабе заложений строят линию падения плоскости S - u S . На перпендикуляре к линии u S откладывают заданное расстояние 12 м (истинную мощность слоя H). Ниже линии падения плоскости S и параллельно ей проводят линию падения плоскости L - u L . Определяют расстояние между линиями падения обеих плоскостей в горизонтальном направлении, т. е. горизонтальную мощность слоя L.
3) Отложив на плане горизонтальную мощность от горизонтали h S , параллельно ей проводят горизонталь плоскости L с той же числовой отметкой h L . Следует обратить внимание на то, что если плоскость L расположена под плоскостью S, то горизонтальную мощность следует откладывать в направлении восстания плоскости S.
4) Исходя из условия параллельности двух плоскостей, на плане проводят горизонтали плоскости L.
Пересекающиеся плоскости . Признаком пересечения двух плоскостей обычно служит параллельность на плане проекций их горизонталей. Линию пересечения двух плоскостей в данном случае определяют точками пересечения двух пар одноименных (имеющих одинаковые числовые отметки) горизонталей (рис.3.13): ; . Соединив полученные точки N и M прямой m , определяют проекцию искомой линии пересечения. В случае если плоскость S (A, B, C) и L(mn) заданы на плане не горизонталями, то для построения их линии пересечения t крайне важно построить две пары горизонталей с одинаковыми числовыми отметками, которые в пересечении и определят проекции точек R и F искомой прямой t (рис.3.14). На рис.3.15 представлен случай, когда у двух пересекающихся
плоскостей S и L горизонтали параллельны. Линией пересечения таких плоскостей будет горизонтальная прямая h . Стоит сказать, что для нахождения точки A, принадлежащей этой прямой, проводят произвольную вспомогательную плоскость T, которая пересекает плоскости S и L. Плоскость T пересекает плоскость S по прямой а (C 1 D 2), а плоскость L - по прямой b (K 1 L 2).
Точка пересечения прямых а и b , принадлежащих соответственно плоскостям S и L, будет общей для этих плоскостей: =А. Отметку точки А можно определить, проинтерполировав прямые a и b . Остается провести через A горизонтальную прямую h 2,9 , которая и является линией пересечения плоскостей S и L.
Рассмотрим еще один пример (рис.3.16) построения линии пересечения наклонной плоскости S с вертикальной плоскостью Т. Искомая прямая m определяется точками A и B, в которых горизонтали h 3 и h 4 плоскости S пересекают вертикальную плоскостью T. Из чертежа видно, что проекция линии пересечения совпадает с проекцией вертикальной плоскости: m º T. В решении геологоразведочных задач сечение одной или группы плоскостей (поверхностей) вертикальной плоскостью принято называть разрезом. Построенную в рассматриваемом примере дополнительную вертикальную проекцию прямой m называют профилем разреза, выполненного плоскостью T по заданному направлению.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ." 2017, 2018.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей:
пусть заданы две плоскости Q 1 и Q 2:
А 1 х +B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда ,т.е.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: 
. Это и есть условие параллельности двух плоскостей.
Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S 1 и S 2 .
Для нахождения острого угла между прямыми L 1 и L 2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны
, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. 
=0.
Если прямые L 1 и L 2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S 1 и S 2 . следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:
=0.
При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями 
. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.
.
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому , т.е.
0 является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства
Являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости :
Рассмотрим прямую и плоскость Ах +By + Cz + D=0.
Одновременное выполнение равенств:
Ах 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.
Эллипс.
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.
Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F 1 (C,0) и F 2 (-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F 1 F 2 , то по F 1 М+F 2 M получаем:
каноническое ур-ие эллипса 
,
b 2 =-(с 2 -a 2).
а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.
Эксцентриситет . , (если а>b)
(если а Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса. У эллипса эксцентриситет находится: 0 . Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом. Директрисы (D)
Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами.
. Примечание: у окружности нет директрисы. Гипербола.
Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы: Гипербола есть линия второго порядка. Гипербола имеет 2 асимптоты: и Гипербола называется равносторонней
, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение: Эксцентриситет
– отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: Так как для гиперболы с>а, то эксцентриситет гиперболы >1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен . Директрисы
– прямые . Фокальные радиусы
: Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола.
Парабола
– множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы
(p>0).-полуфокальный диаметр.
Парабола есть линия второго порядка. М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: Каноническое уравнение параболы: Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением: Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями: Исследуем поверхность: А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует. Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности. В) если , то уравнения можно переписать в виде: Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. Гиперболоид и конус.
, где .
и 
.
=> 
= =>
=>
y 2 = 2px.
, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
