Чтобы научиться находить наибольший общий делитель двух или нескольких чисел, необходимо разобраться с тем, что представляют из себя натуральные, простые и сложные числа.
Натуральным называется любое число, которое используется при подсчете целых предметов.
Если натуральное число можно разделить только на само себя и единицу, то его называют простым.
Все натуральные числа можно разделить на себя и единицу, однако единственным четным простым числом является 2, все остальные можно поделить на двойку. Поэтому простыми могут быть только нечетные числа.
Простых чисел достаточно много, полного списка их не существует. Для нахождения НОД удобно использовать специальные таблицы с такими числами.
Большинство натуральных чисел могут делиться не только на единицу, самих себя, но и на другие числа. Так, например, число 15 можно поделить еще на 3 и 5. Все их называют делителями числа 15.
Таким образом, делитель любого А - это число, на которое оно может быть разделено без остатка. Если у числа имеется более двух натуральных делителей, его называют составным.
У числа 30 можно выделить такие делители, как 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Можно заметить, что 15 и 30 имеют одинаковые делители 1, 3, 5, 15. Наибольший общий делитель этих двух чисел - 15.
Таким образом, общим делителем чисел А и Б называется такое число, на которое можно поделить их нацело. Наибольшим можно считать максимальное общее число, на которое можно их разделить.
Для решения задач используется такая сокращенная надпись:
НОД (А; Б).
Например, НОД (15; 30) = 30.
Чтобы записать все делители натурального числа, применяется запись:
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
НОД (9; 15) = 1
В данном примере у натуральных чисел имеется только один общий делитель. Их называют взаимно простыми, соответственно единица и является их наибольшим общим делителем.
Как найти наибольший общий делитель чисел
Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно:
Найти все делители каждого натурального числа по отдельности, то есть разложить их на множители (простые числа);
Выделить все одинаковые множители у данных чисел;
Перемножить их между собой.
Например, чтобы вычислить наибольший общий делитель чисел 30 и 56, нужно записать следующее:
Чтобы не путаться при , удобно записывать множители при помощи вертикальных столбиков. В левой части от черты нужно разместить делимое, а в правой - делитель. Под делимым следует указать получившееся частное.
Так, в правом столбце окажутся все нужные для решения множители.
Одинаковые делители (найденные множители) можно для удобства подчеркнуть. Их следует переписать и перемножить и записать наибольший общий делитель.
НОД (30; 56) = 2 * 5 = 10
Вот так просто на самом деле найти наибольший общий делитель чисел. Если немного потренироваться, делать это можно будет практически на автомате.
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например :
Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;
Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .
НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.
Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.
Коммутативность:
Ассоциативность:
В частности, если и — взаимно-простые числа , то:
Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).
Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.
Так, функция Чебышёва . А также:
Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .
Что следует из закона распределения простых чисел.
Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).
НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:
1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:
2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:
где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).
Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:
Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.
Пример :
Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:
Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:
— разложить числа на простые множители;
— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;
— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.
Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.
Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .
Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.
Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.
Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.
Еще один вариант:
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:
НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.
НОК - наименьшее общее кратное. Такое число, на которое без остатка будет делится все заданные числа.
Например, если заданные числа 2, 3, 5, то НОК=2*3*5=30
А если заданные числа 2,4,8, то НОК =8
что такое НОД?
НОД - наибольший общий делитель. Такое число, которым можно разделить каждое из заданных чисел, без остатка.
Логично что если заданные числа будут простыми, то НОД равен единице.
А если заданны числа 2, 4, 8 то НОД равен 2.
Расписывать его в общем виде не будем, а просто покажем решение на примере.
Заданы два числа 126 и 44. Найти НОД.
Тогда если нам даны два числа вида
То НОД высчитывается как
где min - минимальное значение из всех значений степеней числа pn
а НОК как
где max - максимальное значение из всех значений степеней числа pn
Смотря на вышеприведенные формулы, можно легко доказать что НОД двух и более чисел будет равен единице, тогда когда среди хотя бы одной пары заданных значений, окажутся взаимно простые числа.
Поэтому легко ответить на вопрос чему равен НОД вот таких чисел 3, 25412, 3251, 7841, 25654, 7 ничего не вычисляя.
числа 3 и 7 взаимно простые, а следовательно НОД=1
Рассмотрим пример.
Даны три числа 24654, 25473 и 954
Каждое число раскладывается в следующие множители
Или, если мы запишем в альтернативном виде
То есть НОД этих трех чисел равен трем
Ну а НОК можем вычислить аналогично, и он равен
Наш бот, поможет Вам вычислить НОД и НОК любых целых чисел, двух, трех или десяти.
Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)
Этапы решения
Способ №1
36
- составное число
24
- составное число
Разложим число 36
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- делится на простое число 2
9:
3
=
3
- делится на простое число 3.
Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
24:
2
= 12
- делится на простое число 2
12:
2
= 6
- делится на простое число 2
6:
2
=
3
Завершаем деление, так как 3 простое число
2) Выделим синим цветом и выпишем общие множители
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Общие множители (36 ; 24) : 2, 2, 3
3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители
Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Способ №2
1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.
Для числа
36
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
Для числа
24
выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)
Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ответ: НОД (36 ; 24) = 12
Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)
Этапы решения
Способ №1
1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)
52
- составное число
49
- составное число
Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
52:
2
= 26
- делится на простое число 2
26:
2
=
13
- делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 13 простое число
Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
49:
7
=
7
- делится на простое число 7.
Завершаем деление, так как 7 простое число
2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом
НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Способ №2
1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.
Выделим все кратные числа 52 зеленым цветом:
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Выделим все кратные числа 49 зеленым цветом:
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).
Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548
Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548
Наибольший общий делитель
Определение 2
Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.
Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.
Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:
$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$
Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:
- Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Пример 1
Найти НОД чисел $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=2\cdot 11=22$
Пример 2
Найти НОД одночленов $63$ и $81$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.
Пример 3
Найти НОД чисел $48$ и $60$.
Решение:
Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$
Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$
Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.
Определение НОК
Определение 3
Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.
Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д
Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$
Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители
- Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
Пример 4
Найти НОК чисел $99$ и $77$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
Разложить числа на простые множители
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Выписать множители, входящие в состав первого
добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным
$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.
Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:
Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b
Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.
Свойства НОД и НОК
- Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
- Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$
Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$
Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$
Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$
