Kann auf unterschiedliche Weise angegeben werden (ein Punkt und ein Vektor, zwei Punkte und ein Vektor, drei Punkte usw.). Aus diesem Grund kann die Ebenengleichung verschiedene Formen annehmen. Unter bestimmten Bedingungen können Ebenen außerdem parallel, senkrecht, sich schneidend usw. sein. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen. Wir lernen, wie man eine allgemeine Gleichung einer Ebene erstellt und vieles mehr.

Normalform der Gleichung

Nehmen wir an, es gibt einen Raum R 3, der ein rechteckiges XYZ-Koordinatensystem hat. Definieren wir den Vektor α, der vom Anfangspunkt O ausgeht. Durch das Ende des Vektors α zeichnen wir eine Ebene P, die senkrecht dazu steht.

Bezeichnen wir einen beliebigen Punkt auf P als Q = (x, y, z). Unterschreiben wir den Radiusvektor des Punktes Q mit dem Buchstaben p. In diesem Fall ist die Länge des Vektors α gleich ð=IαI und Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dies ist ein Einheitsvektor, der wie der Vektor α zur Seite gerichtet ist. α, β und γ sind die Winkel, die zwischen dem Vektor Ʋ und den positiven Richtungen der Raumachsen x, y, z gebildet werden. Die Projektion eines beliebigen Punktes QϵП auf den Vektor Ʋ ist konstanter Wert, was gleich p ist: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Die obige Gleichung macht Sinn, wenn p=0. Das Einzige ist, dass die Ebene P in diesem Fall den Punkt O (α=0) schneidet, der den Koordinatenursprung darstellt, und der vom Punkt O freigegebene Einheitsvektor Ʋ unabhängig von seiner Richtung senkrecht zu P steht bedeutet, dass der Vektor Ʋ vorzeichengenau bestimmt wird. Die vorherige Gleichung ist die Gleichung unserer Ebene P, ausgedrückt in Vektorform. Aber in Koordinaten sieht es so aus:

P ist hier größer oder gleich 0. Wir haben die Gleichung der Raumebene in Normalform gefunden.

Allgemeine Gleichung

Wenn wir die Gleichung in Koordinaten mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren, erhalten wir eine Gleichung, die dieser entspricht und genau diese Ebene definiert. Es wird so aussehen:

Dabei sind A, B, C Zahlen, die gleichzeitig von Null verschieden sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Ebenengleichung bezeichnet.

Gleichungen von Ebenen. Sonderfälle

Gleichung in Gesamtansicht kann geändert werden, sofern verfügbar zusätzliche Bedingungen. Schauen wir uns einige davon an.

Nehmen wir an, dass der Koeffizient A 0 ist. Das bedeutet, dass diese Ebene parallel zur gegebenen Ox-Achse ist. In diesem Fall ändert sich die Form der Gleichung: Ву+Cz+D=0.

Ebenso ändert sich die Form der Gleichung unter den folgenden Bedingungen:

• Erstens, wenn B = 0, dann ändert sich die Gleichung zu Ax + Cz + D = 0, was Parallelität zur Oy-Achse anzeigt.
• Zweitens, wenn C=0, dann wird die Gleichung in Ax+By+D=0 umgewandelt, was Parallelität zur gegebenen Oz-Achse anzeigt.
• Drittens, wenn D=0, sieht die Gleichung wie Ax+By+Cz=0 aus, was bedeutet, dass die Ebene O (den Ursprung) schneidet.
• Viertens: Wenn A=B=0, dann ändert sich die Gleichung zu Cz+D=0, was sich als parallel zu Oxy erweist.
• Fünftens: Wenn B=C=0, dann lautet die Gleichung Ax+D=0, was bedeutet, dass die Ebene zu Oyz parallel ist.
• Sechstens, wenn A=C=0, dann nimmt die Gleichung die Form Ву+D=0 an, das heißt, sie meldet Parallelität zu Oxz.

Art der Gleichung in Segmenten

Für den Fall, dass die Zahlen A, B, C, D von Null verschieden sind, kann die Form der Gleichung (0) wie folgt sein:

x/a + y/b + z/c = 1,

wobei a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Wir erhalten als Ergebnis. Es ist erwähnenswert, dass diese Ebene die Ox-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (a,0,0), Oy – (0,b,0) und Oz – (0,0,c) schneidet ).

Unter Berücksichtigung der Gleichung x/a + y/b + z/c = 1 ist es nicht schwer, sich die Lage der Ebene relativ zu einem gegebenen Koordinatensystem visuell vorzustellen.

Normale Vektorkoordinaten

Der Normalenvektor n zur Ebene P hat Koordinaten, die Koeffizienten sind allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene, also n (A, B, C).

Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, reicht es aus, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene zu kennen.

Bei Verwendung einer Gleichung in Segmenten, die die Form x/a + y/b + z/c = 1 hat, sowie bei Verwendung einer allgemeinen Gleichung können Sie die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors einer gegebenen Ebene schreiben: (1 /a + 1/b + 1/ Mit).

Es ist erwähnenswert, dass der Normalenvektor zur Lösung verschiedener Probleme beiträgt. Zu den häufigsten gehören Probleme, bei denen es um den Nachweis der Rechtwinkligkeit oder Parallelität von Ebenen geht, Probleme beim Ermitteln von Winkeln zwischen Ebenen oder von Winkeln zwischen Ebenen und Geraden.

Art der Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten des Punktes und des Normalenvektors

Ein Vektor n ungleich Null senkrecht zu einer gegebenen Ebene wird als Normal für eine gegebene Ebene bezeichnet.

Nehmen wir an, dass im Koordinatenraum (rechteckiges Koordinatensystem) Oxyz gegeben sind:

• Punkt Mₒ mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ);
• Nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt Mₒ senkrecht zur Normalen n verläuft.

Wir wählen einen beliebigen Punkt im Raum und bezeichnen ihn mit M (x y, z). Der Radiusvektor eines beliebigen Punktes M (x,y,z) sei r=x*i+y*j+z*k und der Radiusvektor des Punktes Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M gehört zu einer gegebenen Ebene, wenn der Vektor MₒM senkrecht zum Vektor n steht. Schreiben wir die Orthogonalitätsbedingung mit dem Skalarprodukt:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM = r-rₒ, sieht die Vektorgleichung der Ebene folgendermaßen aus:

Diese Gleichung kann eine andere Form haben. Dazu werden die Eigenschaften des Skalarprodukts genutzt und die linke Seite der Gleichung transformiert. = - . Wenn wir es als c bezeichnen, erhalten wir die folgende Gleichung: - c = 0 oder = c, die die Konstanz der Projektionen der Radiusvektoren gegebener Punkte, die zur Ebene gehören, auf den Normalenvektor ausdrückt.

Jetzt können wir die Koordinatenform zum Schreiben der Vektorgleichung unserer Ebene = 0 erhalten. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k und n = A*i+B *j+С*k, wir haben:

Es stellt sich heraus, dass wir eine Gleichung für eine Ebene haben, die durch einen Punkt senkrecht zur Normalen n verläuft:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Art der Ebenengleichung entsprechend den Koordinaten zweier Punkte und eines zur Ebene kollinearen Vektors

Geben wir zwei beliebige Punkte M′ (x′,y′,z′) und M″ (x″,y″,z″) sowie einen Vektor a (a′,a″,a‴) an.

Jetzt können wir eine Gleichung für eine gegebene Ebene erstellen, die durch die vorhandenen Punkte M′ und M″ sowie jeden Punkt M mit Koordinaten (x, y, z) parallel zum gegebenen Vektor a verläuft.

In diesem Fall müssen die Vektoren M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) und M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) koplanar mit dem Vektor sein a=(a′,a″,a‴), was bedeutet, dass (M′M, M″M, a)=0.

Unsere Ebenengleichung im Raum wird also wie folgt aussehen:

Art der Gleichung einer Ebene, die drei Punkte schneidet

Nehmen wir an, wir haben drei Punkte: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), die nicht zur selben Geraden gehören. Es ist notwendig, die Gleichung einer Ebene zu schreiben, die durch gegebene drei Punkte verläuft. Die Geometrietheorie behauptet, dass diese Art von Ebene tatsächlich existiert, aber sie ist die einzige und einzigartige. Da diese Ebene den Punkt (x′,y′,z′) schneidet, lautet die Form ihrer Gleichung wie folgt:

Hier sind A, B, C gleichzeitig von Null verschieden. Außerdem schneidet die gegebene Ebene zwei weitere Punkte: (x″,y″,z″) und (x‴,y‴,z‴). Dabei müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

Jetzt können wir ein homogenes System mit Unbekannten u, v, w erstellen:

In unserem Fall x,y oder z fungiert als beliebiger Punkt, der Gleichung (1) erfüllt. Bei gegebener Gleichung (1) und dem Gleichungssystem (2) und (3) wird das in der Abbildung oben angegebene Gleichungssystem durch den Vektor N (A,B,C) erfüllt, der nicht trivial ist. Deshalb ist die Determinante dieses Systems gleich Null.

Die Gleichung (1), die wir erhalten haben, ist die Gleichung der Ebene. Es durchläuft genau 3 Punkte, was leicht zu überprüfen ist. Dazu müssen wir unsere Determinante auf die Elemente in der ersten Zeile erweitern. Aus den bestehenden Eigenschaften der Determinante folgt, dass unsere Ebene gleichzeitig drei ursprünglich gegebene Punkte (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) schneidet. . Das heißt, wir haben die uns gestellte Aufgabe gelöst.

Diederwinkel zwischen Ebenen

Ein Diederwinkel stellt einen räumlichen Winkel dar geometrische Figur, gebildet aus zwei Halbebenen, die von einer Geraden ausgehen. Mit anderen Worten: Dies ist der Teil des Raumes, der durch diese Halbebenen begrenzt wird.

Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

Wir wissen, dass die Vektoren N=(A,B,C) und N¹=(A¹,B¹,C¹) gemäß den gegebenen Ebenen senkrecht stehen. In dieser Hinsicht ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleich dem Winkel (Dieder), der zwischen diesen Ebenen liegt. Skalarprodukt hat die Form:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

gerade weil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Es genügt zu berücksichtigen, dass 0≤φ≤π.

Tatsächlich bilden zwei Ebenen, die sich schneiden, zwei Winkel (Dieder): φ 1 und φ 2. Ihre Summe ist gleich π (φ 1 + φ 2 = π). Was ihre Kosinuswerte betrifft, so sind ihre Absolutwerte gleich, aber sie unterscheiden sich im Vorzeichen, d. h. cos φ 1 = -cos φ 2. Wenn wir in Gleichung (0) A, B und C durch die Zahlen -A, -B bzw. -C ersetzen, dann bestimmt die Gleichung, die wir erhalten, dieselbe Ebene, die einzige, den Winkel φ in cos-Gleichungφ=NN 1 /|N||N 1 | wird durch π-φ ersetzt.

Gleichung einer senkrechten Ebene

Ebenen, zwischen denen der Winkel 90 Grad beträgt, werden als Senkrechte bezeichnet. Mithilfe des oben präsentierten Materials können wir die Gleichung einer Ebene senkrecht zu einer anderen finden. Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen: Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Wir können sagen, dass sie senkrecht stehen, wenn cosφ=0. Das bedeutet, dass NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallele Ebenengleichung

Zwei Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte enthalten, heißen parallel.

Die Bedingung (ihre Gleichungen sind die gleichen wie im vorherigen Absatz) ist, dass die Vektoren N und N¹, die senkrecht zu ihnen stehen, kollinear sind. Und das bedeutet, dass sie erfüllt sind folgenden Bedingungen Verhältnismäßigkeit:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Wenn die Proportionalitätsbedingungen erweitert werden - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

Dies weist darauf hin, dass diese Ebenen zusammenfallen. Das bedeutet, dass die Gleichungen Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 eine Ebene beschreiben.

Abstand zur Ebene vom Punkt

Nehmen wir an, wir haben eine Ebene P, die durch Gleichung (0) gegeben ist. Es ist notwendig, die Entfernung dazu von einem Punkt mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ zu ermitteln. Dazu müssen Sie die Gleichung der Ebene P in Normalform bringen:

(ρ,v)=ð (ð≥0).

In diesem Fall ist ρ (x,y,z) der Radiusvektor unseres Punktes Q auf P, p ist die Länge der Senkrechten P, die vom Nullpunkt losgelassen wurde, v ist der Einheitsvektor, der sich in befindet die Richtung a.

Der Differenz-ρ-ρº-Radiusvektor eines Punktes Q = (x, y, z), der zu P gehört, sowie der Radiusvektor eines gegebenen Punktes Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ist ein solcher Vektor, Absolutwert dessen Projektion auf v gleich dem Abstand d ist, der von Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) nach P gefunden werden muss:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, aber

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ð-(ρ 0 ,v).

Es stellt sich also heraus

d=|(ρ 0 ,v)-ð|.

Somit finden wir den Absolutwert des resultierenden Ausdrucks, also den gewünschten d.

Mit der Parametersprache erhalten wir das Offensichtliche:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Wenn Sollwert Q 0 liegt auf der anderen Seite der Ebene P, wie der Koordinatenursprung, dann liegt zwischen dem Vektor ρ-ρ 0 und v also:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-ð>0.

Wenn der Punkt Q 0 zusammen mit dem Koordinatenursprung auf derselben Seite von P liegt, ist der erzeugte Winkel spitz, das heißt:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=ð - (ρ 0 , v)>0.

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass im ersten Fall (ρ 0 ,v)>ð, im zweiten (ρ 0 ,v)<р.

Tangentenebene und ihre Gleichung

Die Tangentenebene an die Oberfläche am Kontaktpunkt Mº ist eine Ebene, die alle möglichen Tangenten an die durch diesen Punkt auf der Oberfläche gezogenen Kurven enthält.

Mit dieser Art von Flächengleichung F(x,y,z)=0 sieht die Gleichung der Tangentenebene am Tangentenpunkt Mº(xº,yº,zº) wie folgt aus:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Wenn Sie die Oberfläche in der expliziten Form z=f (x,y) angeben, wird die Tangentenebene durch die Gleichung beschrieben:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Schnittpunkt zweier Ebenen

Im Koordinatensystem (rechteckig) Oxyz sind zwei Ebenen П′ und П″ gegeben, die sich schneiden und nicht zusammenfallen. Da jede Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch eine allgemeine Gleichung bestimmt wird, gehen wir davon aus, dass P′ und P″ durch die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x gegeben sind +B″y+ С″z+D″=0. In diesem Fall haben wir die Normale n‘ (A‘,B‘,C‘) der Ebene P‘ und die Normale n‘‘ (A‘‘,B‘‘,C‘‘) der Ebene P‘‘. Da unsere Ebenen nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, sind diese Vektoren nicht kollinear. Mit der Sprache der Mathematik können wir diese Bedingung wie folgt schreiben: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Die Gerade, die am Schnittpunkt von P′ und P″ liegt, sei mit dem Buchstaben a bezeichnet, in diesem Fall a = P′ ∩ P″.

a ist eine Gerade, die aus der Menge aller Punkte der (gemeinsamen) Ebenen P′ und P″ besteht. Das bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zur Geraden a gehört, gleichzeitig die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x+B″y+C″z+D″=0 erfüllen müssen . Das bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes eine Teillösung des folgenden Gleichungssystems sind:

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die (allgemeine) Lösung dieses Gleichungssystems die Koordinaten jedes Punktes der Linie bestimmt, die als Schnittpunkt von P′ und P″ fungiert, und die Gerade bestimmt a im Oxyz (rechteckigen) Koordinatensystem im Raum.

Damit eine einzelne Ebene durch drei beliebige Punkte im Raum gezeichnet werden kann, ist es notwendig, dass diese Punkte nicht auf derselben Geraden liegen.

Betrachten Sie die Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) im allgemeinen kartesischen Koordinatensystem.

Damit ein beliebiger Punkt M(x, y, z) in derselben Ebene mit den Punkten M 1, M 2, M 3 liegt, ist es notwendig, dass die Vektoren koplanar sind.

(
) = 0

Auf diese Weise,

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

Gleichung einer Ebene mit zwei Punkten und einem zur Ebene kollinearen Vektor.

Gegeben seien die Punkte M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) und der Vektor
.

Erstellen wir eine Gleichung für eine Ebene, die durch die gegebenen Punkte M 1 und M 2 und einen beliebigen Punkt M (x, y, z) parallel zum Vektor verläuft .

Vektoren
und Vektor
muss koplanar sein, d.h.

(
) = 0

Ebenengleichung:

Gleichung einer Ebene mit einem Punkt und zwei Vektoren,

kollinear zur Ebene.

Gegeben seien zwei Vektoren
Und
, kollineare Ebenen. Dann sind für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, die Vektoren
muss koplanar sein.

Ebenengleichung:

Gleichung einer Ebene durch Punkt und Normalenvektor .

Satz. Wenn ein Punkt M im Raum gegeben ist 0 (X 0 , ja 0 , z 0 ), dann die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M geht 0 senkrecht zum Normalenvektor (A, B, C) hat die Form:

A(X – X 0 ) + B(j – j 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Nachweisen. Für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, bilden wir einen Vektor. Weil Vektor ist der Normalenvektor, dann steht er senkrecht zur Ebene und damit senkrecht zum Vektor
. Dann das Skalarprodukt

= 0

Somit erhalten wir die Gleichung der Ebene

Der Satz ist bewiesen.

Gleichung einer Ebene in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung Ax + Bi + Cz + D = 0, teilen wir beide Seiten durch (-D)

,

ersetzen
, erhalten wir die Gleichung der Ebene in Segmenten:

Die Zahlen a, b, c sind die Schnittpunkte der Ebene mit der x-, y- bzw. z-Achse.

Gleichung einer Ebene in Vektorform.

Wo

- Radiusvektor des aktuellen Punktes M(x, y, z),

Ein Einheitsvektor mit der Richtung einer Senkrechten, die vom Ursprung auf eine Ebene fällt.

,  und  sind die Winkel, die dieser Vektor mit den x-, y- und z-Achsen bildet.

p ist die Länge dieser Senkrechten.

In Koordinaten sieht diese Gleichung wie folgt aus:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

Der Abstand von einem beliebigen Punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) zur Ebene Ax+By+Cz+D=0 beträgt:

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Ebene und wissen Sie, dass Punkt P(4; -3; 12) die Basis der Senkrechten ist, die vom Ursprung zu dieser Ebene fällt.

Also A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, wir verwenden die Formel:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte P(2; 0; -1) und verläuft

Q(1; -1; 3) senkrecht zur Ebene 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalenvektor zur Ebene 3x + 2y – z + 5 = 0
parallel zur gewünschten Ebene.

Wir bekommen:

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(2, -1, 4) und verläuft

B(3, 2, -1) senkrecht zur Ebene X + bei + 2z – 3 = 0.

Die erforderliche Gleichung der Ebene hat die Form: A X+B j+C z+ D = 0, Normalenvektor zu dieser Ebene (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) gehört zur Ebene. Die uns gegebene Ebene senkrecht zur gewünschten Ebene hat einen Normalenvektor (1, 1, 2). Weil Die Punkte A und B gehören zu beiden Ebenen, und die Ebenen stehen dann senkrecht zueinander

Also der Normalenvektor (11, -7, -2). Weil Punkt A gehört zur gewünschten Ebene, dann müssen seine Koordinaten die Gleichung dieser Ebene erfüllen, d.h. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Insgesamt erhalten wir die Gleichung der Ebene: 11 X - 7j – 2z – 21 = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Ebene und wissen Sie, dass Punkt P(4, -3, 12) die Basis der Senkrechten ist, die vom Ursprung zu dieser Ebene fällt.

Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors
= (4, -3, 12). Die erforderliche Gleichung der Ebene hat die Form: 4 X – 3j + 12z+ D = 0. Um den Koeffizienten D zu finden, setzen wir die Koordinaten des Punktes P in die Gleichung ein:

16 + 9 + 144 + D = 0

Insgesamt erhalten wir die erforderliche Gleichung: 4 X – 3j + 12z – 169 = 0

Beispiel. Gegeben sind die Koordinaten der Scheitelpunkte der Pyramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Finden Sie die Länge der Kante A 1 A 2.

Finden Sie den Winkel zwischen den Kanten A 1 A 2 und A 1 A 4.

Finden Sie den Winkel zwischen der Kante A 1 A 4 und der Fläche A 1 A 2 A 3.

Zuerst ermitteln wir den Normalenvektor zur Fläche A 1 A 2 A 3 als Kreuzprodukt von Vektoren
Und
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Finden wir den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Vektor
.

-4 – 4 = -8.

Der gewünschte Winkel  zwischen dem Vektor und der Ebene beträgt  = 90 0 - .

Finden Sie die Fläche der Fläche A 1 A 2 A 3.

Finden Sie das Volumen der Pyramide.

Finden Sie die Gleichung der Ebene A 1 A 2 A 3.

Verwenden wir die Formel für die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Bei Verwendung der Computerversion „ Höherer Mathematikkurs„Sie können ein Programm ausführen, das das obige Beispiel für alle Koordinaten der Scheitelpunkte der Pyramide löst.

Um das Programm zu starten, doppelklicken Sie auf das Symbol:

Geben Sie im sich öffnenden Programmfenster die Koordinaten der Scheitelpunkte der Pyramide ein und drücken Sie die Eingabetaste. Auf diese Weise können alle Entscheidungspunkte einzeln ermittelt werden.

Hinweis: Um das Programm auszuführen, muss das Maple-Programm ( Waterloo Maple Inc.) in jeder Version, beginnend mit MapleV Release 4, auf Ihrem Computer installiert sein.

Wenn alle Zahlen A, B, C und D von Null verschieden sind, heißt die allgemeine Gleichung der Ebene vollständig. Ansonsten heißt die allgemeine Gleichung der Ebene unvollständig.

Betrachten wir alle möglichen allgemeinen unvollständigen Gleichungen der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum.

Sei D = 0, dann haben wir eine allgemeine unvollständige Ebenengleichung der Form. Diese Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz verläuft durch den Ursprung. Wenn wir die Koordinaten eines Punktes in die resultierende unvollständige Gleichung der Ebene einsetzen, gelangen wir tatsächlich zur Identität.

Für , oder , oder haben wir allgemeine unvollständige Gleichungen der Ebenen , oder , bzw. . Diese Gleichungen definieren Ebenen, die jeweils parallel zu den Koordinatenebenen Oxy, Oxz und Oyz liegen (siehe den Artikel für die Bedingung paralleler Ebenen) und durch die Punkte verlaufen und entsprechend. Bei. Da der Punkt gehört aufgrund der Bedingung zur Ebene, dann müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung der Ebene erfüllen, das heißt, die Gleichheit muss wahr sein. Von hier aus finden wir. Somit hat die erforderliche Gleichung die Form.

Lassen Sie uns den zweiten Weg zur Lösung dieses Problems vorstellen.

Da die Ebene, deren allgemeine Gleichung wir aufstellen müssen, parallel zur Ebene Oyz verläuft, können wir als Normalenvektor den Normalenvektor der Ebene Oyz nehmen. Der Normalenvektor der Koordinatenebene Oyz ist der Koordinatenvektor. Jetzt kennen wir den Normalenvektor der Ebene und den Punkt der Ebene und können daher ihre allgemeine Gleichung schreiben (wir haben ein ähnliches Problem im vorherigen Absatz dieses Artikels gelöst):
, dann müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen. Daher ist die Gleichheit wahr wo wir es finden. Jetzt können wir die gewünschte allgemeine Gleichung der Ebene schreiben, sie hat die Form .

Antwort:

Referenzliste.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Band eins: Elemente der linearen Algebra und der analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

Um die allgemeine Gleichung einer Ebene zu erhalten, analysieren wir die Ebene, die durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Es gebe drei uns bereits bekannte Koordinatenachsen im Raum - Ochse, Oy Und Oz. Halten Sie das Blatt Papier so, dass es flach bleibt. Die Ebene wird das Blatt selbst und seine Fortsetzung in alle Richtungen sein.

Lassen P beliebige Ebene im Raum. Jeder dazu senkrechte Vektor wird aufgerufen Normalenvektor zu diesem Flugzeug. Natürlich sprechen wir von einem Vektor ungleich Null.

Wenn irgendein Punkt auf der Ebene bekannt ist P und einen Normalenvektor dazu, dann ist durch diese beiden Bedingungen die Ebene im Raum vollständig definiert(Durch einen bestimmten Punkt können Sie eine einzelne Ebene senkrecht zum angegebenen Vektor zeichnen.) Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet:

Die Bedingungen, die die Gleichung der Ebene definieren, sind also. Um dich selbst zu bekommen Ebenengleichung Nehmen Sie mit der oben genannten Form das Flugzeug P willkürlich Punkt M mit variablen Koordinaten X, j, z. Dieser Punkt gehört nur dann zur Ebene, wenn Vektor senkrecht zum Vektor(Abb. 1). Dazu ist es gemäß der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren notwendig und ausreichend, dass das Skalarprodukt dieser Vektoren gleich Null ist, das heißt

Der Vektor wird durch die Bedingung angegeben. Wir ermitteln die Koordinaten des Vektors mithilfe der Formel :

.

Verwenden Sie nun die Formel für das Skalarprodukt von Vektoren , wir drücken das Skalarprodukt in Koordinatenform aus:

Da der Punkt M(x; y; z) auf der Ebene willkürlich gewählt wird, dann wird die letzte Gleichung durch die Koordinaten jedes auf der Ebene liegenden Punktes erfüllt P. Für einen Punkt N, nicht auf einer bestimmten Ebene liegend, d.h. Gleichheit (1) ist verletzt.

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch einen Punkt verläuft und senkrecht zum Vektor steht.

Lösung. Verwenden wir Formel (1) und schauen wir uns das noch einmal an:

In dieser Formel sind die Zahlen A , B Und C Vektorkoordinaten und Zahlen X0 , j0 Und z0 - Koordinaten des Punktes.

Die Berechnungen sind sehr einfach: Wir setzen diese Zahlen in die Formel ein und erhalten

Wir multiplizieren alles, was multipliziert werden muss, und addieren nur Zahlen (die keine Buchstaben haben). Ergebnis:

.

Es stellte sich heraus, dass die erforderliche Gleichung der Ebene in diesem Beispiel durch eine allgemeine Gleichung ersten Grades in Bezug auf variable Koordinaten ausgedrückt wurde x, y, z beliebiger Punkt der Ebene.

Also eine Gleichung der Form

angerufen allgemeine Ebenengleichung .

Beispiel 2. Konstruieren Sie in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem eine durch die Gleichung gegebene Ebene .

Lösung. Um eine Ebene zu konstruieren, ist es notwendig und ausreichend, drei beliebige Punkte zu kennen, die nicht auf derselben Geraden liegen, beispielsweise die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Wie findet man diese Punkte? Den Schnittpunkt mit der Achse finden Oz, müssen Sie X und Y in der in der Problemstellung angegebenen Gleichung durch Nullen ersetzen: X = j= 0 . Deshalb bekommen wir z= 6. Somit schneidet die gegebene Ebene die Achse Oz am Punkt A(0; 0; 6) .

Auf die gleiche Weise ermitteln wir den Schnittpunkt der Ebene mit der Achse Oy. Bei X = z= 0 erhalten wir j= −3, also der Punkt B(0; −3; 0) .

Und schließlich finden wir den Schnittpunkt unserer Ebene mit der Achse Ochse. Bei j = z= 0 erhalten wir X= 2, also ein Punkt C(2; 0; 0) . Basierend auf den drei Punkten, die wir in unserer Lösung erhalten haben A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) und C(2; 0; 0) Konstruieren Sie die gegebene Ebene.

Lassen Sie uns nun überlegen Sonderfälle der allgemeinen Ebenengleichung. Dies sind Fälle, in denen bestimmte Koeffizienten der Gleichung (2) Null werden.

1. Wann D= 0 Gleichung definiert eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft, da die Koordinaten des Punktes sind 0 (0; 0; 0) erfüllen diese Gleichung.

2. Wann A= 0 Gleichung definiert eine Ebene parallel zur Achse Ochse, da der Normalenvektor dieser Ebene senkrecht zur Achse steht Ochse(seine Projektion auf die Achse Ochse gleich Null). Ebenso, wann B= 0 Flugzeug parallel zur Achse Oy, und wann C= 0 Flugzeug parallel zur Achse Oz.

3. Wann A=D= 0-Gleichung definiert eine Ebene, die durch die Achse verläuft Ochse, da es parallel zur Achse ist Ochse (A=D= 0). Ebenso geht die Ebene durch die Achse Oy und die Ebene durch die Achse Oz.

4. Wann A=B= 0-Gleichung definiert eine Ebene parallel zur Koordinatenebene xOy, da es parallel zu den Achsen ist Ochse (A= 0) und Oy (B= 0). Ebenso ist die Ebene parallel zur Ebene yOz, und das Flugzeug ist das Flugzeug xOz.

5. Wann A=B=D= 0-Gleichung (oder z = 0) definiert die Koordinatenebene xOy, da es parallel zur Ebene ist xOy (A=B= 0) und geht durch den Ursprung ( D= 0). Ebenso gilt Gl. y = 0 im Raum definiert die Koordinatenebene xOz, und die Gleichung x = 0 - Koordinatenebene yOz.

Beispiel 3. Erstellen Sie eine Gleichung der Ebene P, durch die Achse verlaufend Oy und Punkt.

Lösung. Die Ebene geht also durch die Achse Oy. Daher in ihrer Gleichung j= 0 und diese Gleichung hat die Form . Um die Koeffizienten zu bestimmen A Und C Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass der Punkt zur Ebene gehört P .

Daher gibt es unter seinen Koordinaten diejenigen, die in die Ebenengleichung eingesetzt werden können, die wir bereits abgeleitet haben (). Schauen wir uns noch einmal die Koordinaten des Punktes an:

M0 (2; −4; 3) .

Unter ihnen X = 2 , z= 3 . Wir setzen sie in die allgemeine Gleichung ein und erhalten die Gleichung für unseren speziellen Fall:

2A + 3C = 0 .

Verlassen Sie 2 A Bewegen Sie auf der linken Seite der Gleichung 3 C auf die rechte Seite und wir bekommen

A = −1,5C .

Ersetzen des gefundenen Werts A in die Gleichung hinein, erhalten wir

oder .

Dies ist die in der Beispielbedingung erforderliche Gleichung.

Lösen Sie das Problem der Ebenengleichung selbst und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 4. Definieren Sie eine Ebene (oder Ebenen, falls mehr als eine) in Bezug auf Koordinatenachsen oder Koordinatenebenen, wenn die Ebene(n) durch die Gleichung gegeben ist(en).

Lösungen für typische Probleme, die bei Versuchen auftreten, finden Sie im Lehrbuch „Probleme auf einer Ebene: Parallelität, Rechtwinkligkeit, Schnittpunkt dreier Ebenen in einem Punkt“.

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konstruktion einer Ebene sind, wie bereits erwähnt, neben einem Punkt und dem Normalenvektor auch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen.

Gegeben seien drei verschiedene Punkte , und , die nicht auf derselben Geraden liegen. Da die angegebenen drei Punkte nicht auf derselben Linie liegen, sind die Vektoren nicht kollinear, und daher liegt jeder Punkt in der Ebene in derselben Ebene wie die Punkte, und zwar genau dann, wenn die Vektoren , und koplanar, d.h. dann und nur wann gemischtes Produkt dieser Vektoren gleich Null.

Mit dem Ausdruck für das Mischprodukt in Koordinaten erhalten wir die Gleichung der Ebene

(3)

Nach der Offenlegung der Determinante wird diese Gleichung zu einer Gleichung der Form (2), d. h. allgemeine Gleichung der Ebene.

Beispiel 5. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen:

und bestimmen Sie einen Sonderfall der allgemeinen Geradengleichung, falls einer auftritt.

Lösung. Nach Formel (3) gilt:

Normalebenengleichung. Abstand vom Punkt zur Ebene

Die Normalgleichung einer Ebene ist ihre Gleichung, geschrieben in der Form

Gleichung einer Ebene. Wie schreibe ich eine Gleichung einer Ebene?
Gegenseitige Anordnung der Flugzeuge. Aufgaben

Raumgeometrie ist nicht viel komplizierter als „flache“ Geometrie, und unsere Flüge im Weltraum beginnen mit diesem Artikel. Um das Thema zu beherrschen, müssen Sie ein gutes Verständnis dafür haben Vektoren Darüber hinaus ist es ratsam, mit der Geometrie der Ebene vertraut zu sein – es wird viele Ähnlichkeiten und Analogien geben, sodass die Informationen viel besser verdaut werden können. In einer Reihe meiner Lektionen wird die 2D-Welt mit einem Artikel eröffnet Gleichung einer Geraden in einer Ebene. Doch nun hat Batman den Flachbildfernseher verlassen und startet vom Kosmodrom Baikonur.

Beginnen wir mit Zeichnungen und Symbolen. Schematisch lässt sich die Ebene in Form eines Parallelogramms zeichnen, wodurch der Eindruck von Raum entsteht:

Die Ebene ist unendlich, aber wir haben die Möglichkeit, nur einen Teil davon darzustellen. In der Praxis wird neben dem Parallelogramm auch ein Oval oder sogar eine Wolke gezeichnet. Aus technischen Gründen ist es für mich bequemer, das Flugzeug genau so und in genau dieser Position darzustellen. Echte Flugzeuge, die wir in praktischen Beispielen betrachten, können auf beliebige Weise lokalisiert werden – nehmen Sie die Zeichnung gedanklich in die Hand und drehen Sie sie im Raum, wobei Sie der Ebene eine beliebige Neigung und einen beliebigen Winkel geben.

Bezeichnungen: Flugzeuge werden normalerweise in kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet, offenbar um sie nicht mit zu verwechseln gerade Linie in einer Ebene oder mit gerade Linie im Raum. Ich bin es gewohnt, den Buchstaben zu verwenden. In der Zeichnung ist es der Buchstabe „Sigma“ und überhaupt kein Loch. Obwohl das löchrige Flugzeug auf jeden Fall ziemlich lustig ist.

In manchen Fällen ist es zweckmäßig, zur Bezeichnung von Ebenen dieselben griechischen Buchstaben mit niedrigeren Indizes zu verwenden, zum Beispiel .

Es ist offensichtlich, dass die Ebene eindeutig durch drei verschiedene Punkte definiert ist, die nicht auf derselben Linie liegen. Daher sind dreibuchstabige Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt, beispielsweise anhand der dazugehörigen Punkte usw. Oft werden Buchstaben in Klammern gesetzt: , um die Ebene nicht mit einer anderen geometrischen Figur zu verwechseln.

Für erfahrene Leser werde ich geben Schnellzugriffsmenü:

• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und zwei Vektoren?
• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir werden nicht in langem Warten schmachten:

Allgemeine Ebenengleichung

Die allgemeine Gleichung der Ebene hat die Form, wobei die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind.

Eine Reihe theoretischer Berechnungen und praktischer Probleme gelten sowohl für die übliche Orthonormalbasis als auch für die affine Basis des Raums (wenn das Öl Öl ist, kehren Sie zur Lektion zurück Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren). Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Ereignisse in einer orthonormalen Basis und einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auftreten.

Nun üben wir ein wenig unser räumliches Vorstellungsvermögen. Es ist in Ordnung, wenn Ihres schlecht ist, jetzt werden wir es ein wenig weiterentwickeln. Auch das Spielen auf Nerven erfordert Training.

Im allgemeinsten Fall, wenn die Zahlen ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen. Zum Beispiel so:

Ich wiederhole noch einmal, dass das Flugzeug in alle Richtungen unendlich weiterläuft und wir die Möglichkeit haben, nur einen Teil davon darzustellen.

Betrachten wir die einfachsten Ebenengleichungen:

Wie ist diese Gleichung zu verstehen? Denken Sie darüber nach: „Z“ ist IMMER gleich Null, für alle Werte von „X“ und „Y“. Dies ist die Gleichung der „nativen“ Koordinatenebene. Tatsächlich kann die Gleichung formal wie folgt umgeschrieben werden: , wo man deutlich sehen kann, dass es uns egal ist, welche Werte „x“ und „y“ annehmen, wichtig ist, dass „z“ gleich Null ist.

Ebenfalls:
– Gleichung der Koordinatenebene;
– Gleichung der Koordinatenebene.

Machen wir das Problem etwas komplizierter und betrachten wir eine Ebene (hier und weiter im Absatz gehen wir davon aus, dass die numerischen Koeffizienten ungleich Null sind). Schreiben wir die Gleichung in der Form um: . Wie ist es zu verstehen? „X“ ist IMMER, für alle Werte von „Y“ und „Z“, gleich einer bestimmten Zahl. Diese Ebene ist parallel zur Koordinatenebene. Beispielsweise ist eine Ebene parallel zu einer Ebene und geht durch einen Punkt.

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist.

Fügen wir Mitglieder hinzu: . Die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: Das heißt, „zet“ kann alles sein. Was bedeutet das? „X“ und „Y“ sind durch die Beziehung verbunden, die eine bestimmte gerade Linie in der Ebene zeichnet (Sie werden es herausfinden Gleichung einer Geraden in einer Ebene?). Da „z“ alles sein kann, wird diese Gerade in jeder Höhe „repliziert“. Somit definiert die Gleichung eine Ebene parallel zur Koordinatenachse

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene parallel zur Koordinatenachse;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenachse ist.

Wenn die freien Terme Null sind, verlaufen die Ebenen direkt durch die entsprechenden Achsen. Zum Beispiel die klassische „direkte Proportionalität“: . Zeichnen Sie eine gerade Linie in die Ebene und multiplizieren Sie sie im Geiste nach oben und unten (da „Z“ beliebig ist). Fazit: Die durch die Gleichung definierte Ebene verläuft durch die Koordinatenachse.

Wir vervollständigen die Rezension: die Gleichung der Ebene geht durch den Ursprung. Nun, hier ist es ziemlich offensichtlich, dass der Punkt diese Gleichung erfüllt.

Und schließlich der in der Zeichnung dargestellte Fall: – Die Ebene ist mit allen Koordinatenachsen befreundet, während sie immer ein Dreieck „abschneidet“, das in jedem der acht Oktanten liegen kann.

Lineare Ungleichungen im Raum

Um die Informationen zu verstehen, müssen Sie gut lernen lineare Ungleichungen in der Ebene, denn vieles wird ähnlich sein. Der Absatz wird einen kurzen Überblick mit mehreren Beispielen haben, da das Material in der Praxis recht selten ist.

Wenn die Gleichung eine Ebene definiert, dann die Ungleichungen
fragen Halbräume. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (die letzten beiden in der Liste), dann umfasst die Lösung der Ungleichung neben dem Halbraum auch die Ebene selbst.

Beispiel 5

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor der Ebene .

Lösung: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge eins ist. Bezeichnen wir diesen Vektor mit . Es ist absolut klar, dass die Vektoren kollinear sind:

Zuerst entfernen wir den Normalenvektor aus der Gleichung der Ebene: .

Wie finde ich einen Einheitsvektor? Um den Einheitsvektor zu finden, benötigen Sie jeden Teilen Sie die Vektorkoordinate durch die Vektorlänge.

Schreiben wir den Normalenvektor in der Form um und ermitteln seine Länge:

Gemäß dem oben Gesagten:

Antwort:

Verifizierung: was verifiziert werden musste.

Leser, die den letzten Absatz der Lektion sorgfältig studiert haben, haben das wahrscheinlich bemerkt Die Koordinaten des Einheitsvektors sind genau die Richtungskosinusse des Vektors:

Machen wir eine Pause vom vorliegenden Problem: wenn Sie einen beliebigen Vektor ungleich Null erhalten, und je nach Bedingung ist es erforderlich, seinen Richtungskosinus zu finden (siehe die letzten Aufgaben der Lektion). Skalarprodukt von Vektoren), dann finden Sie tatsächlich einen Einheitsvektor, der kollinear zu diesem ist. Eigentlich zwei Aufgaben in einer Flasche.

Die Notwendigkeit, den Einheitsnormalenvektor zu finden, entsteht bei einigen Problemen der mathematischen Analyse.

Wir haben herausgefunden, wie man einen Normalenvektor herausfischt. Beantworten wir nun die entgegengesetzte Frage:

Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

Diese starre Konstruktion aus einem Normalenvektor und einem Punkt ist von der Dartscheibe gut bekannt. Bitte strecken Sie Ihre Hand nach vorne und wählen Sie gedanklich einen beliebigen Punkt im Raum aus, zum Beispiel eine kleine Katze im Sideboard. Offensichtlich können Sie durch diesen Punkt eine einzelne Ebene senkrecht zu Ihrer Hand zeichnen.

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt senkrecht zum Vektor verläuft, wird durch die Formel ausgedrückt: