Auf einen Punkt zentriert EIN.
α
ist ein im Bogenmaß ausgedrückter Winkel.
Definition
Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Bein abhängt rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Akzeptierte Bezeichnungen
;
;
.
;
;
.
Graph der Sinusfunktion, y = sin x
Graph der Kosinusfunktion, y = cos x
Eigenschaften von Sinus und Cosinus
Periodizität
Funktionen y= Sünde x und y= cos x periodisch mit einer Periode 2pi.
Parität
Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.
Definitionsbereich und Werte, Extrema, Zunahme, Abnahme
Die Funktionen Sinus und Cosinus sind auf ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Stetigkeitsbeweis). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt (n - ganze Zahl).
| y= Sünde x | y= cos x | |
| Reichweite und Kontinuität | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Wertebereich | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Aufsteigend | ||
| Absteigend | ||
| Maxima, y= 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Nullen, y= 0 | ||
| Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0 | y= 0 | y= 1 |
Grundlegende Formeln
Summe aus quadriertem Sinus und Cosinus
Sinus- und Kosinusformeln für Summe und Differenz
;
;
Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus
Summen- und Differenzenformeln
Ausdruck von Sinus durch Cosinus
;
;
;
.
Ausdruck von Kosinus durch Sinus
;
;
;
.
Ausdruck in Bezug auf die Tangente
; .
Für haben wir:
;
.
Bei :
;
.
Tabelle der Sinus und Cosinus, Tangenten und Kotangens
Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für einige Werte des Arguments. 
Ausdrücke durch komplexe Variablen
;
Euler-Formel
Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
; . Ableitung von Formeln > > >
Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekant, Kosekan
Umkehrfunktionen
Die inversen Funktionen zu Sinus und Cosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.
Arkussinus, Arcsin
Arccosinus, arccos
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
Grundlegendes Konzept
Beginnen wir mit den Definitionen gerade, ungerade und periodische Funktionen.
Bestimmung 2
Eine gerade Funktion ist eine Funktion, die ihren Wert nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert:
Bestimmung 3
Eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Zeitabständen wiederholt:
T ist die Periode der Funktion.
Gerade und ungerade trigonometrische Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 1):
Bild 1.
Hier sind $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ und $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ Vektoren der Längeneinheit symmetrisch zur $Ox$-Achse.
Offensichtlich hängen die Koordinaten dieser Vektoren durch die folgenden Beziehungen zusammen:
Denn die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus lassen sich über die Einheit definieren trigonometrischer Kreis, dann erhalten wir, dass die Sinusfunktion ungerade und die Kosinusfunktion eine gerade Funktion ist, das heißt:
Periodizität trigonometrischer Funktionen
Betrachten Sie die folgende Abbildung (Abb. 2).
Figur 2.
Dabei ist $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ ein Vektor der Einheitslänge.
Machen wir eine volle Umdrehung mit dem Vektor $\overrightarrow(OA)$. Das heißt, lass uns umdrehen angegebenen Vektor um $2\pi $ Bogenmaß. Danach kehrt der Vektor vollständig in seine ursprüngliche Position zurück.
Da die trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus mit der Einheit trigonometrischer Kreis definiert werden können, erhalten wir das
Das heißt, die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodische Funktionen mit der kleinsten Periode $T=2\pi $.
Betrachten Sie nun die Funktionen von Tangens und Kotangens. Da $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, dann
Da $ñtgx=\frac(cosx)(sinx)$, dann
Beispiele für Probleme bei der Verwendung von geraden, ungeraden und periodischen trigonometrischen Funktionen
Beispiel 1
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sünde((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Da der Tangens eine periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $(360)^0$ ist, erhalten wir
b) $(cos \links(-13\pi \rechts)\ )=-1$
Da der Kosinus eine gerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $2\pi $ ist, erhalten wir
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sünde((-721)^0)=-sin1^0$
Da der Sinus eine ungerade und periodische Funktion mit einer Mindestperiode von $(360)^0$ ist, erhalten wir
Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.
Paritäts- und Periodizitätseigenschaften
Betrachten wir die Eigenschaften von Parität und Periodizität am Beispiel der Hauptleitung genauer trigonometrische Funktionen: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:
2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.
Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.
Beispielsweise ist die trigonometrische Funktion y=cos(x) gerade.
Eigenschaften von Seltsamkeit und Periodizität
Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss symmetrisch zum Punkt O sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.
2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.
Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung.
Beispielsweise sind die trigonometrischen Funktionen y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) ungerade.
Periodizität trigonometrischer Funktionen
Eine Funktion y=f(x) heißt periodisch, wenn es eine bestimmte Zahl T!=0 (genannt Periode der Funktion y=f(x)) gibt, so dass für jeden Wert von x, der zum Definitionsbereich der Funktion gehört , gehören auch die Zahlen x+T und x-T zum Definitionsbereich der Funktion und die Gleichheit f(x)=f(x+T)=f(x-T) ist erfüllt.
Es versteht sich, dass, wenn T die Periode der Funktion ist, die Zahl k*T, wobei k eine beliebige ganze Zahl ungleich Null ist, auch die Periode der Funktion sein wird. Basierend auf dem Vorhergehenden erhalten wir, dass jede periodische Funktion unendlich viele Perioden hat. Meistens dreht sich das Gespräch um die kleinste Periode der Funktion.
Die trigonometrischen Funktionen sin(x) und cos(x) sind periodisch, wobei die kleinste Periode gleich 2*π ist.
Erfüllung des Ungleichungssystems:
b) Betrachten Sie die Zahlenmenge auf der Zahlenachse, die das Ungleichungssystem erfüllt:
Finden Sie die Summe der Längen der Segmente, aus denen dieser Satz besteht.
§ 7. Die einfachsten Formeln
In § 3 haben wir z scharfe Kantenα zu folgender Formel:
sin2α + cos2α = 1. |
|||||||
Die gleiche Formel |
im Fall von, |
||||||
wenn α beliebig ist |
de- |
||||||
le, sei M ein Punkt auf der Trigonometrie |
|||||||
Calic Kreis entsprechend |
|||||||
Zahl α (Abb. 7.1). Dann |
M hat Mit- |
||||||
Ordinaten x = cos α, y |
|||||||
Allerdings liegt jeder Punkt (x;y) auf |
|||||||
Kreise mit Einheitsradius und Mittelpunkt |
|||||||
trom am Ursprung, befriedigend |
|||||||
löst die Gleichung x2 + y2 |
1, woher |
||||||
cos2 α + sin2 α = 1, wie erforderlich. |
|||||||
Aus der Kreisgleichung folgt also die Formel cos2 α + sin2 α = 1. Es mag scheinen, dass wir auf diese Weise einen neuen Beweis dieser Formel für spitze Winkel gegeben haben (im Vergleich zu dem in § 3 angegebenen, wo wir den Satz des Pythagoras verwendet haben). Der Unterschied ist jedoch rein äußerlicher Natur: Bei der Ableitung der Kreisgleichung x2 + y2 = 1 wird derselbe Satz des Pythagoras verwendet.
Für spitze Winkel haben wir zum Beispiel auch andere Formeln erhalten
Symbol ist die rechte Seite immer nichtnegativ, während die linke Seite durchaus negativ sein kann. Damit die Formel für alle α gilt, muss sie quadriert werden. Wir erhalten die Gleichheit: cos2 α = 1/(1 + tg2 α). Beweisen wir, dass diese Formel für alle α:1 gilt
1/(1 + tg2 |
sin2α |
cos2α |
cos2α. |
||||
cos2α |
sin2α + cos2α |
Aufgabe 7.1. Leiten Sie alle folgenden Formeln aus den Definitionen und der Formel sin2 α + cos2 α = 1 ab (einige davon haben wir bereits bewiesen):
sin2α + cos2α = 1; |
tg2α = |
||||||||||||||||
tg2α |
|||||||||||||||||
sin2α = |
tg α ctg α = 1; |
||||||||||||||||
cos2α |
1 + tg2α |
||||||||||||||||
ctg2α |
|||||||||||||||||
Ctg2 |
cos2α = |
||||||||||||||||
1 + ctg2α |
|||||||||||||||||
Sünde2 |
|||||||||||||||||
Diese Formeln ermöglichen es, den Wert einer der trigonometrischen Funktionen zu kennen angegebene Nummer, finden fast alles andere
nein. Nehmen wir zum Beispiel an, dass sin x = 1/2 ist. Dann ist cos2 x =
1−sin2 x = 3/4, also ist cos x entweder 3/2 oder − 3/2. Um herauszufinden, welcher dieser beiden Zahlen cos x gleich ist, sind zusätzliche Informationen erforderlich.
Aufgabe 7.2. Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass beide Fälle möglich sind.
Aufgabe 7.3. a) Sei tgx = −1. Sinx finden. Wie viele Antworten hat diese Aufgabe?
b) Zusätzlich zu den Bedingungen von Punkt a) wissen wir, dass sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?
1 Für die tg α definiert ist, also cos α 6= 0.
Aufgabe 7.4. Sei sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. tgx finden.
Aufgabe 7.5. Sei tg x = 3, cos x > sin x. Finde cos x, sin x.
Aufgabe 7.6. Sei tgx = 3/5. Finden Sie sin x + 2 cos x . cos x − 3 sin x
Aufgabe 7.7. Beweisen Sie die Identitäten:
tgα − sinα |
||||||||||||||
c) sin α + cos α ctg α + sin α tg α + cos α = |
||||||||||||||
Aufgabe 7.8. Ausdrücke vereinfachen:
a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;
c) sin α(2 + ctg α)(2 ctg α + 1) − 5 cos α.
§ 8. Perioden trigonometrischer Funktionen
Die Zahlen x, x+2π, x−2π entsprechen demselben Punkt auf dem trigonometrischen Kreis (wenn Sie einen zusätzlichen Kreis entlang des trigonometrischen Kreises passieren, landen Sie dort, wo Sie waren). Dies impliziert die folgenden Identitäten, die bereits in § 5 diskutiert wurden:
sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sinx; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cosx.
Im Zusammenhang mit diesen Identitäten haben wir bereits den Begriff „Zeitraum“ verwendet. Wir geben nun genaue Definitionen.
Definition. Die Zahl T 6= 0 heißt Periode der Funktion f, wenn die Gleichungen f(x − T) = f(x + T) = f(x) für alle x gelten (es wird angenommen, dass x + T und x − T sind im Definitionsbereich der Funktion enthalten, falls sie x enthält). Eine Funktion heißt periodisch, wenn sie einen Punkt (mindestens einen) hat.
Periodische Funktionen entstehen naturgemäß beim Beschreiben oszillierende Prozesse. Einer dieser Prozesse wurde bereits in § 5 besprochen. Hier sind weitere Beispiele:
1) Sei ϕ = ϕ(t) der Abweichungswinkel des schwingenden Pendels der Uhr von der Senkrechten zum Zeitpunkt t. Dann ist ϕ eine periodische Funktion von t.
2) Die Spannung („Potenzialdifferenz“, wie ein Physiker sagen würde) zwischen zwei Steckdosen einer Wechselstromsteckdose,
ob es als Funktion der Zeit zu betrachten ist, ist eine periodische Funktion1.
3) Lasst uns den musikalischen Klang hören. Dann ist der Luftdruck an einem gegebenen Punkt eine periodische Funktion der Zeit.
Wenn eine Funktion eine Periode T hat, dann sind die Perioden dieser Funktion auch die Zahlen −T , 2T , −2T . . . - kurz gesagt alle Zahlen nT , wobei n eine ganze Zahl ungleich Null ist. Prüfen wir zum Beispiel, dass f(x + 2T) = f(x):
f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).
Definition. Die kleinste positive Periode der Funktion f ist – gemäß der wörtlichen Bedeutung des Wortes – eine positive Zahl T, so dass T die Periode von f ist und keine positive Zahl kleiner als T die Periode von f ist.
Eine periodische Funktion muss nicht die kleinste positive Periode haben (beispielsweise hat eine konstante Funktion im Allgemeinen eine Periode beliebiger Zahl und hat daher nicht die kleinste positive Periode). Es können auch Beispiele für nicht konstante periodische Funktionen gegeben werden, die nicht die kleinste positive Periode haben. Dennoch haben periodische Funktionen in den meisten interessanten Fällen die kleinste positive Periode.
1 Wenn sie sagen „Die Spannung im Netz beträgt 220 Volt“, meinen sie ihren „Effektivwert“, über den wir in § 21 sprechen werden. Die Spannung selbst ändert sich ständig.
Reis. 8.1. Die Periode von Tangens und Kotangens.
Insbesondere ist die kleinste positive Periode von sowohl Sinus als auch Cosinus 2π. Beweisen wir dies zum Beispiel für die Funktion y = sin x. Angenommen, im Gegensatz zu dem, was wir sagen, hat der Sinus eine Periode T, so dass 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.
Die kleinste positive Periode der die Schwingungen beschreibenden Funktion (wie in unseren Beispielen 1-3) wird einfach als Periode dieser Schwingungen bezeichnet.
Da die Zahl 2π die Periode von Sinus und Cosinus ist, ist sie auch die Periode von Tangens und Kotangens. Für diese Funktionen ist 2π jedoch nicht die kleinste Periode: Die kleinste positive Periode von Tangens und Kotangens ist π. Tatsächlich sind die Punkte, die den Zahlen x und x + π auf dem trigonometrischen Kreis entsprechen, diametral entgegengesetzt: Vom Punkt x zum Punkt x + 2π muss man die Strecke π zurücklegen, die genau gleich der Hälfte des Kreises ist. Wenden wir nun die Definition von Tangens und Kotangens über die Tangenten- und Kotangensachsen an, so werden die Gleichungen tg (x + π) = tg x und ctg (x + π) = ctg x offensichtlich (Abb. 8.1). Es ist leicht zu überprüfen (wir werden dies in Aufgaben vorschlagen), dass π tatsächlich die kleinste positive Periode von Tangens und Kotangens ist.
Eine Anmerkung zur Terminologie. Oft werden die Worte „Periode einer Funktion“ im Sinne von „kleinster positiver Periode“ verwendet. Wenn Sie also in der Klausur gefragt werden: „Ist 100π die Periode der Sinusfunktion?“, lassen Sie sich mit der Antwort Zeit, klären Sie aber ab, ob Sie die kleinste positive Periode meinen oder nur eine der Perioden.
Trigonometrische Funktionen sind ein typisches Beispiel für periodische Funktionen: Jede "nicht sehr schlechte" periodische Funktion kann in gewissem Sinne durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt werden.
Aufgabe 8.1. Finden Sie die kleinsten positiven Perioden der Funktionen:
c) y = cosπx; |
||||
d) y = cosx + cos(1,01x).
Aufgabe 8.2. Die Abhängigkeit der Spannung im Wechselspannungsnetz von der Zeit ergibt sich aus der Formel U = U0 sin ωt (hier ist t die Zeit, U die Spannung, U0 und ω sind Konstanten). Die Frequenz des Wechselstroms beträgt 50 Hertz (das heißt, die Spannung macht 50 Schwingungen pro Sekunde).
a) Finden Sie ω unter der Annahme, dass t in Sekunden gemessen wird;
b) Finden Sie die (kleinste positive) Periode U als Funktion von t.
Aufgabe 8.3. a) Beweisen Sie, dass die kleinste positive Periode des Kosinus 2π ist;
b) Beweisen Sie, dass die kleinste positive Periode der Tangente π ist.
Aufgabe 8.4. Die kleinste positive Periode der Funktion f sei gleich T. Beweisen Sie, dass alle anderen Perioden für einige ganze Zahlen n die Form nT haben.
Aufgabe 8.5. Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen nicht periodisch sind.
Trigonometrisch Funktionen periodisch, das heißt nach einer gewissen Zeit wiederholt. Folglich reicht es aus, die Funktion in diesem Intervall zu untersuchen und die entdeckten Eigenschaften auf alle anderen Perioden auszudehnen.
Anweisung
1. Wenn Sie einen primitiven Ausdruck erhalten, in dem es nur eine trigonometrische Funktion gibt (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), und der Winkel innerhalb der Funktion nicht mit einer Zahl multipliziert wird, und sie selbst zu keiner erhoben wird Macht - verwenden Sie die Definition. Setzen Sie für Ausdrücke, die sin, cos, sec, cosec enthalten, die Periode mutig auf 2P, und wenn tg, ctg in der Gleichung enthalten ist, dann P. Sagen Sie, für die Funktion y \u003d 2 sinx + 5 beträgt die Periode 2P .
2. Wenn der Winkel x unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion mit einer Zahl multipliziert wird, teilen Sie die typische Periode durch diese Zahl, um die Periode dieser Funktion zu finden. Angenommen, Sie erhalten eine Funktion y = sin 5x. Die typische Periode für einen Sinus ist 2P, wenn Sie ihn durch 5 teilen, erhalten Sie 2P / 5 - dies ist die gewünschte Periode dieses Ausdrucks.
3. Um die Periode einer potenzierten trigonometrischen Funktion zu finden, werte die Gleichmäßigkeit der Potenz aus. Für sogar Grad reduzieren Sie die typische Periode um die Hälfte. Angenommen, Sie erhalten eine Funktion y \u003d 3 cos ^ 2x, dann nimmt die typische Periode 2P um das Zweifache ab, sodass die Periode gleich P ist. Bitte beachten Sie, dass die Funktionen tg, ctg in jedem Maße periodisch sind P .
4. Wenn Sie eine Gleichung erhalten, die das Produkt oder den Quotienten von 2 trigonometrischen Funktionen enthält, finden Sie zuerst die Periode für alle separat. Finden Sie danach die Mindestzahl, die zur Gesamtzahl beider Perioden passen würde. Nehmen wir an, die Funktion y=tgx*cos5x sei gegeben. Für den Tangens ist die Periode P, für den Kosinus 5x ist die Periode 2P/5. Die zulässige Mindestanzahl für beide Perioden ist 2P, also ist die gewünschte Periode 2P.
5. Wenn Sie es schwierig finden, den vorgeschlagenen Weg zu gehen, oder das Ergebnis anzweifeln, versuchen Sie es per Definition. Nimm T als Periode der Funktion, sie ist größer als Null. Ersetzen Sie den Ausdruck (x + T) in der Gleichung anstelle von x und lösen Sie die resultierende Gleichung, als ob T ein Parameter oder eine Zahl wäre. Als Ergebnis finden Sie den Wert der trigonometrischen Funktion und können die kleinste Periode auswählen. Nehmen wir an, Sie erhalten als Ergebnis der Erleichterung die Identitätssünde (T / 2) \u003d 0. Der Mindestwert von T, bei dem es ausgeführt wird, ist 2P, und dies wird das Ergebnis der Aufgabe sein.
Eine periodische Funktion ist eine Funktion, die ihre Werte nach einer Periode ungleich Null wiederholt. Der Punkt einer Funktion ist eine Zahl, deren Addition zum Argument der Funktion den Wert der Funktion nicht ändert.
Du wirst brauchen
- Kenntnisse in elementarer Mathematik und den Anfängen der Erhebung.
Anweisung
1. Lassen Sie uns die Periode der Funktion f(x) mit der Zahl K bezeichnen. Unsere Aufgabe ist es, diesen Wert von K zu finden. Stellen Sie sich dazu vor, dass die Funktion f(x) unter Verwendung der Definition einer periodischen Funktion f gleichgesetzt wird (x+K)=f(x).
2. Wir lösen die resultierende Gleichung für die Unbekannte K auf, als ob x eine Konstante wäre. Abhängig vom Wert von K gibt es mehrere Optionen.
3. Wenn K>0, dann ist dies die Periode Ihrer Funktion, wenn K=0, dann ist die Funktion f(x) nicht periodisch, wenn die Lösung der Gleichung f(x+K)=f(x) nicht existiert für jedes K ungleich Null heißt eine solche Funktion aperiodisch und hat auch keine Periode.
Ähnliche Videos
Beachten Sie!
Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, und alle Polynomfunktionen mit Grad größer als 2 sind aperiodisch.
Hilfreicher Rat
Die Periode einer aus 2 periodischen Funktionen bestehenden Funktion ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Perioden dieser Funktionen.
Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, die trigonometrische Funktionen eines unbekannten Arguments enthalten (zum Beispiel: 5sinx-3cosx =7). Um zu lernen, wie man sie löst, müssen Sie einige Methoden dafür kennen.
Anweisung
1. Die Lösung solcher Gleichungen besteht aus 2 Schritten: Der erste ist die Umformung der Gleichung, um ihre einfachste Form anzunehmen. Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen heißen: Sinx=a; cosx=a usw.
2. Die zweite ist die Lösung des erhaltenen Einfachsten trigonometrische Gleichung. Es gibt grundlegende Möglichkeiten, Gleichungen dieser Art zu lösen: Algebraisches Lösen. Diese Methode ist berühmt aus der Schule, aus dem Algebra-Kurs. Es wird auch als Methode zum Ersetzen einer Variablen und Ersetzen bezeichnet. Wenn wir die Reduktionsformeln anwenden, transformieren wir, machen einen Ersatz, danach finden wir die Wurzeln.
3. Zerlegung der Gleichung in Faktoren. Zuerst übertragen wir alle Terme nach links und zerlegen sie in Faktoren.
4. Die Gleichung auf eine homogene bringen. Gleichungen heißen homogene Gleichungen, wenn alle Terme denselben Grad haben und Sinus, Cosinus denselben Winkel haben Um sie zu lösen, sollten Sie: zuerst alle ihre Glieder von der rechten Seite auf die linke Seite übertragen; alle gemeinsamen Faktoren aus Klammern entfernen; Faktoren und Klammern gleich Null setzen; gleichgesetzte Klammern ergeben eine homogene Gleichung geringeren Grades, die stärker durch cos (oder sin) geteilt werden sollte; Lösen Sie das Empfangene algebraische Gleichung in Bezug auf Bräune.
5. Der nächste Weg ist, zur halben Ecke zu gehen. Sagen wir, lösen Sie die Gleichung: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Fahren wir mit dem Halbwinkel fort: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 Sünde? (x / 2) = 7sünde? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , danach reduzieren wir alle Terme auf einen Teil (ansonsten nach rechts) und lösen die Gleichung.
6. Hilfseckeinstieg. Wenn wir den ganzzahligen Wert cos(a) oder sin(a) ersetzen. Das Zeichen "a" ist ein Hilfswinkel.
7. Eine Möglichkeit, ein Produkt in eine Summe umzuformatieren. Hier müssen Sie die entsprechenden Formeln anwenden. Sagen wir gegeben: 2 sin x sin 3x = cos 4x Wir lösen es, indem wir die linke Seite in eine Summe umwandeln, das heißt: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.
8. Der letzte Weg, genannt Multifunktionssubstitution. Wir transformieren den Ausdruck und nehmen eine Substitution vor, sagen wir Cos(x/2)=u, danach lösen wir die Gleichung mit dem Parameter u. Beim Erfassen der Summe übersetzen wir den Wert ins Gegenteil.
Ähnliche Videos
Betrachten wir Punkte auf einem Kreis, dann sind die Punkte x, x + 2π, x + 4π usw. zueinander passen. Also die Trigonometrie Funktionen auf einer geraden Linie regelmäßig wiederholen Sie ihre Bedeutung. Wenn die Zeit berühmt ist Funktionen, ist es erlaubt, eine Funktion auf diesem Zeitraum aufzubauen und auf anderen zu wiederholen.
Anweisung
1. Die Periode ist eine Zahl T, so dass f(x) = f(x+T). Um die Periode zu finden, lösen Sie die entsprechende Gleichung, indem Sie x und x + T als Argument einsetzen. In diesem Fall werden die bekannten Perioden für Funktionen verwendet. Für die Sinus- und Kosinusfunktionen ist die Periode 2π und für Tangens und Kotangens ist es π.
2. Gegeben sei die Funktion f(x) = sin^2(10x). Betrachten Sie den Ausdruck sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Verwenden Sie die Formel, um den Grad zu reduzieren: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Dann erhalten Sie 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) oder cos 20x = cos (20x+20T). Wenn man weiß, dass die Periode des Kosinus 2π ist, ist 20T = 2π. Daher ist T = π/10. T ist die minimale korrekte Periode, und die Funktion wird nach 2T und nach 3T und in der anderen Richtung entlang der Achse wiederholt: -T, -2T usw.
Hilfreicher Rat
Verwenden Sie Formeln, um den Grad einer Funktion zu verringern. Wenn Sie mit den Perioden einiger Funktionen besser vertraut sind, versuchen Sie, die vorhandene Funktion auf die bekannten zu reduzieren.
Das Finden einer Funktion für gerade und ungerade hilft dabei, einen Graphen der Funktion zu erstellen und die Natur ihres Verhaltens zu verstehen. Für diese Recherche müssen Sie die angegebene Funktion vergleichen, die für das Argument „x“ und für das Argument „-x“ geschrieben wurde.
Anweisung
1. Schreiben Sie die Funktion, die Sie untersuchen möchten, als y=y(x).
2. Ersetzen Sie das Funktionsargument durch "-x". Ersetzen Sie dieses Argument in einen funktionalen Ausdruck.
3. Den Ausdruck vereinfachen.
4. Somit haben Sie dieselbe Funktion für die Argumente "x" und "-x" geschrieben. Sehen Sie sich diese beiden Einträge an: Wenn y(-x)=y(x), dann dies gleiche Funktion.Wenn y(-x)=-y(x), dann dies komische Funktion.Wenn es unmöglich ist, über eine Funktion zu sagen, dass y(-x)=y(x) oder y(-x)=-y(x), dann ist sie aufgrund der Eigenschaft der Parität eine Funktion von universeller Form. Das heißt, es ist weder gerade noch ungerade.
5. Schreibe deine Ergebnisse auf. Jetzt können Sie sie beim Zeichnen eines Funktionsgraphen oder bei einer zukünftigen analytischen Suche nach den Eigenschaften einer Funktion verwenden.
6. Es ist auch möglich, von geraden und ungeraden Funktionen zu sprechen, wenn der Graph der Funktion genauer definiert ist. Angenommen, der Graph war das Ergebnis eines physikalischen Experiments. Wenn der Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse ist, dann ist y(x) eine gerade Funktion. Wenn der Funktionsgraph symmetrisch zur x-Achse ist, dann ist x(y ) ist eine gerade Funktion. x(y) ist die Umkehrfunktion von y(x) Wenn der Graph der Funktion symmetrisch um den Ursprung (0,0) ist, dann ist y(x) eine ungerade Funktion. Es wird auch seltsam sein Umkehrfunktion x(y).
7. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass das Konzept der geraden und ungeraden Funktionen eine direkte Beziehung zum Definitionsbereich der Funktion hat. Wenn es beispielsweise für x=5 keine gerade oder ungerade Funktion gibt, dann existiert sie für x=-5 nicht, was man von einer Funktion allgemeiner Form nicht sagen kann. Achte bei der Bestimmung von gerade und ungerade auf den Definitionsbereich der Funktion.
8. Das Suchen nach geraden und ungeraden Funktionen korreliert mit dem Finden des Satzes von Funktionswerten. Um die Wertemenge einer geraden Funktion zu finden, reicht es aus, die Hälfte der Funktion rechts oder links von Null zu sehen. Wenn für x>0 eine gerade Funktion y(x) Werte von A nach B annimmt, dann nimmt sie die gleichen Werte für x an<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 ungerade Funktion y(x) nimmt einen Wertebereich von A bis B, dann für x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Trigonometrisch" wurden einst Funktionen genannt, die durch die Abhängigkeit spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck von den Längen seiner Seiten bestimmt werden. Zu diesen Funktionen gehören erstens Sinus und Cosinus und zweitens Secans und Cosecans, die zu diesen Funktionen invers sind, deren Tangens- und Kotangensableitungen sowie die Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuskosinus usw. Es ist positiver, nicht über die „Lösung“ solcher Funktionen zu sprechen, sondern über ihre „Berechnung“, also über das Finden eines Zahlenwerts.
Anweisung
1. Wenn das Argument der trigonometrischen Funktion unbekannt ist, darf ihr Wert durch eine indirekte Methode basierend auf den Definitionen dieser Funktionen berechnet werden. Dazu müssen Sie die Seitenlängen des Dreiecks kennen, die trigonometrische Funktion für einen der Winkel, die Sie berechnen möchten. Angenommen, der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Länge des diesem Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Länge der Hypotenuse. Daraus folgt, dass es ausreicht, die Längen dieser beiden Seiten zu kennen, um den Sinus eines Winkels zu finden. Eine ähnliche Definition besagt, dass der Sinus eines spitzen Winkels das Verhältnis der Länge des an diesen Winkel angrenzenden Beins zur Länge der Hypotenuse ist. Der Tangens eines spitzen Winkels kann berechnet werden, indem die Länge des gegenüberliegenden Schenkels durch die Länge des angrenzenden geteilt wird, und der Kotangens erfordert, dass die Länge des angrenzenden Schenkels durch die Länge des gegenüberliegenden geteilt wird. Um die Sekante eines spitzen Winkels zu berechnen, müssen Sie das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge des Beins neben dem erforderlichen Winkel finden, und der Kosekan wird durch das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge bestimmt des gegenüberliegenden Beins.
2. Wenn das Argument der trigonometrischen Funktion ausgeführt wird, ist es nicht erforderlich, die Seitenlängen des Dreiecks zu kennen - es ist zulässig, Wertetabellen oder Taschenrechner für trigonometrische Funktionen zu verwenden. Ein solcher Rechner gehört zu den Standardprogrammen des Windows-Betriebssystems. Um es auszuführen, können Sie die Tastenkombination Win + R drücken, den Befehl calc eingeben und auf die Schaltfläche OK klicken. Öffnen Sie in der Programmoberfläche den Bereich „Ansicht“ und wählen Sie den Punkt „Ingenieurwesen“ oder „Wissenschaftler“ aus. Später ist es erlaubt, das Argument der trigonometrischen Funktion einzuführen. Um die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens zu berechnen, klicken Sie lieber nach Eingabe des Wertes auf die entsprechende Schnittstellenschaltfläche (sin, cos, tg), und um deren Kehrwerte von Arcussinus, Arcuscosinus und Arkustangens zu finden, aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Inv.
3. Es gibt auch alternative Methoden. Eine davon ist, auf die Seite der Nigma- oder Google-Suchmaschine zu gehen und die gewünschte Funktion und ihr Argument (z. B. sin 0,47) als Suchanfrage einzugeben. Diese Suchmaschinen haben eingebaute Taschenrechner, daher erhalten Sie nach dem Senden einer solchen Anfrage den Wert der von Ihnen eingegebenen trigonometrischen Funktion.
Ähnliche Videos
Tipp 7: So ermitteln Sie den Wert trigonometrischer Funktionen
Trigonometrische Funktionen erschienen zuerst als Werkzeuge für abstrakte mathematische Berechnungen der Abhängigkeiten der Größen spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck von den Längen seiner Seiten. Jetzt werden sie sowohl in wissenschaftlichen als auch in technischen Bereichen der menschlichen Tätigkeit weit verbreitet. Für utilitaristische Berechnungen trigonometrischer Funktionen aus gegebenen Argumenten ist es erlaubt, verschiedene Werkzeuge zu verwenden - einige der zugänglichsten davon werden unten beschrieben.
Anweisung
1. Verwenden Sie beispielsweise ein Taschenrechnerprogramm, das standardmäßig mit dem Betriebssystem installiert wird. Es wird geöffnet, indem Sie das Element „Rechner“ im Ordner „Dienstprogramme“ aus dem Unterabschnitt „Typisch“ auswählen, der sich im Abschnitt „Alle Programme“ befindet. Diesen Abschnitt finden Sie, indem Sie das Hauptmenü des Betriebssystems öffnen, indem Sie auf die Schaltfläche "Start" klicken. Wenn Sie die Windows 7-Version verwenden, können Sie im Hauptmenü im Feld „Programme und Dateien erkennen“ einfach das Wort „Rechner“ eingeben und dann in den Suchergebnissen auf den entsprechenden Link klicken.
2. Geben Sie den Wert des Winkels ein, für den Sie die trigonometrische Funktion berechnen möchten, und klicken Sie dann auf die dieser Funktion entsprechende Schaltfläche - sin, cos oder tan. Wenn Sie sich Sorgen um inverse trigonometrische Funktionen (Arkussinus, Arkuskosinus oder Arkustangens) machen, klicken Sie zuerst auf die Schaltfläche mit der Bezeichnung Inv – sie kehrt die Funktionen um, die den Steuertasten des Taschenrechners zugewiesen sind.
3. In früheren Versionen des Betriebssystems (z. B. Windows XP) müssen Sie für den Zugriff auf trigonometrische Funktionen den Abschnitt „Ansicht“ im Taschenrechnermenü öffnen und die Zeile „Engineering“ bevorzugen. Außerdem gibt es anstelle der Inv-Schaltfläche in der Benutzeroberfläche der alten Programmversionen ein Kontrollkästchen mit derselben Beschriftung.
4. Auf einen Taschenrechner können Sie verzichten, wenn Sie einen Internetzugang haben. Es gibt viele Dienste im Internet, die unterschiedlich organisierte Rechner für trigonometrische Funktionen anbieten. Eine besonders praktische Option ist in die Nigma-Suchmaschine integriert. Nachdem Sie auf die Hauptseite gegangen sind, geben Sie einfach den Wert in das Suchfeld ein, der Sie begeistert, z. B. „Arkustangens von 30 Grad“. Nach dem Drücken der Schaltfläche "Entdecken!" Die Suchmaschine berechnet und zeigt das Ergebnis der Berechnung an - 0,482347907101025.
Ähnliche Videos
Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik zum Verständnis von Funktionen, die unterschiedliche Abhängigkeiten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks von der Größe spitzer Winkel an der Hypotenuse ausdrücken. Solche Funktionen werden trigonometrisch genannt, und um die Arbeit mit ihnen zu erleichtern, wurden trigonometrische Funktionen abgeleitet. Identitäten .
Darstellung Identitäten bezeichnet in der Mathematik eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Argumente der darin enthaltenen Funktionen erfüllt ist. Trigonometrisch Identitäten- Dies sind Gleichheiten trigonometrischer Funktionen, die bestätigt und akzeptiert wurden, um die Arbeit mit trigonometrischen Formeln zu vereinfachen. Eine trigonometrische Funktion ist eine elementare Funktion der Abhängigkeit eines der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks von der Größe eines spitzen Winkels an der Hypotenuse. Meistens werden sechs trigonometrische Grundfunktionen verwendet: sin (Sinus), cos (Kosinus), tg (Tangens), ctg (Kotangens), sec (Sekans) und cosec (Kosekans). Diese Funktionen werden direkt genannt, es gibt auch Umkehrfunktionen, z. B. Sinus - Arkussinus, Kosinus - Arkuskosinus usw. Anfangs fanden trigonometrische Funktionen in der Geometrie Widerspiegelung, danach breiteten sie sich auf andere Bereiche der Wissenschaft aus: Physik, Chemie, Geographie, Optik , Wahrscheinlichkeitstheorie, sowie Akustik, Musiktheorie, Phonetik, Computergrafik und viele andere. Heute ist es schwieriger, sich mathematische Berechnungen ohne diese Funktionen vorzustellen, obwohl sie in der fernen Vergangenheit nur in der Astronomie und Architektur verwendet wurden Identitäten dienen dazu, die Arbeit mit langen trigonometrischen Formeln zu vereinfachen und in eine verdauliche Form zu bringen. Es gibt sechs grundlegende trigonometrische Identitäten, die direkten trigonometrischen Funktionen zugeordnet sind: tg ? = Sünde?/Cos?; Sünde^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sünde^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d Sünde?.. Diese Identitäten leicht aus den Eigenschaften des Verhältnisses von Seiten und Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck zu bestätigen: sin ? = BC/AC = b/c; weil? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Erste Identität tg ? = Sünde?/Wesen? folgt aus dem Verhältnis der Seiten im Dreieck und dem Ausschluss der Seite c (Hypotenuse) bei der Division von sin durch cos. Auf die gleiche Weise wird die Identität ctg definiert? = cos ?/sin ?, weil ctg ? = 1/tg ? Nach dem Satz des Pythagoras ist a^2 + b^2 = c^2. Teilen Sie diese Gleichheit durch c^2, wir erhalten die zweite Identität: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Dritte und vierte Identitäten wird durch Division durch b^2 bzw. a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sünde^ ? oder 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?.. Die fünfte und sechste Hauptsache Identitäten werden bewiesen, indem man die Summe der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt, die gleich 90 ° ist oder? / 2. Schwieriger trigonometrisch Identitäten: Formeln zum Addieren von Argumenten, Doppel- und Dreifachwinkel, Erniedrigung des Grades, Reformieren der Summe oder des Produkts von Funktionen sowie trigonometrische Substitutionsformeln, nämlich die Ausdrücke der trigonometrischen Hauptfunktionen in Bezug auf den Halbwinkel tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Die Notwendigkeit, das Minimum zu finden Bedeutung mathematisch Funktionen ist von aktuellem Interesse an der Lösung angewandter Probleme, etwa in der Wirtschaftswissenschaft. Riesig Bedeutung für unternehmerisches Handeln hat die Minimierung von Verlusten.
Anweisung
1. Um das Minimum zu finden Bedeutung Funktionen, muss ermittelt werden, bei welchem Wert des Arguments x0 die Ungleichung y(x0) erfüllt ist? y(x), wobei x ? x0. Wie üblich wird dieses Problem in einem bestimmten Intervall bzw. in jedem Wertebereich gelöst Funktionen, wenn keine gesetzt ist. Ein Aspekt der Lösung ist das Finden von Fixpunkten.
2. Der stationäre Punkt wird aufgerufen Bedeutung das Argument, dass die Ableitung Funktionen geht auf null. Nach dem Satz von Fermat, wenn eine differenzierbare Funktion eine Extremale annimmt Bedeutung irgendwann (in diesem Fall ein lokales Minimum), dann ist dieser Punkt stationär.
3. Minimum Bedeutung die Funktion greift oft genau an dieser Stelle ein, ist aber nicht immer feststellbar. Außerdem, ist es nicht immer möglich, genau zu sagen, was das Minimum ist Funktionen oder er akzeptiert ein unendlich kleines Bedeutung. Dann finden sie wie üblich die Grenze, zu der es beim Abnehmen gravitiert.
4. Um das Minimum zu bestimmen Bedeutung Funktionen, ist es notwendig, eine Abfolge von Aktionen durchzuführen, die aus vier Phasen besteht: Finden des Definitionsbereichs Funktionen, Festpunkterfassung, Werteübersicht Funktionen an diesen Stellen und an den Enden der Lücke die Detektion eines Minimums.
5. Es stellt sich heraus, dass eine Funktion y(x) auf einem Intervall mit Grenzen an den Punkten A und B gegeben sei. Finden Sie ihren Definitionsbereich und finden Sie heraus, ob das Intervall ihre Teilmenge ist.
6. Ableitung berechnen Funktionen. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck mit Null gleich und finden Sie die Wurzeln der Gleichung. Überprüfen Sie, ob diese stationären Punkte in das Intervall fallen. Wenn nicht, werden sie im nächsten Schritt nicht berücksichtigt.
7. Sehen Sie sich die Lücke für die Art der Grenzen an: offen, geschlossen, zusammengesetzt oder dimensionslos. Es hängt davon ab, wie Sie das Minimum finden Bedeutung. Nehmen wir an, das Segment [A, B] ist ein geschlossenes Intervall. Setzen Sie sie in die Funktion ein und berechnen Sie die Werte. Machen Sie dasselbe mit dem stationären Punkt. Wählen Sie die kleinste Summe.
8. Bei offenen und grenzenlosen Intervallen ist die Situation etwas schwieriger. Hier müssen wir nach einseitigen Grenzen suchen, die nicht immer ein eindeutiges Ergebnis liefern. Angenommen, für ein Intervall mit einem geschlossenen und einem punktierten Rand [A, B) sollte man eine Funktion bei x = A und einen einseitigen Grenzwert lim y bei x finden? B-0.
