Abgekürzte Multiplikationsformeln. Detaillierte Theorie mit Beispielen. Woher kommen abgekürzte Multiplikationsformeln?

Mathematische Ausdrücke(Formeln) abgekürzte Multiplikation(Summe und Differenz des Quadrats, Summe und Differenz des Würfels, Differenz der Quadrate, Summe und Differenz der Würfel) sind in vielen Bereichen äußerst unersetzlich exakte Wissenschaften. Diese 7 symbolischen Notationen sind von unschätzbarem Wert für die Vereinfachung von Ausdrücken, das Lösen von Gleichungen, das Multiplizieren von Polynomen, das Reduzieren von Brüchen, das Lösen von Integralen und vieles mehr. Das bedeutet, dass es sehr nützlich sein wird zu verstehen, wie sie erlangt werden, warum sie benötigt werden und vor allem, wie man sie sich merken und dann anwenden kann. Dann bewerben abgekürzte Multiplikationsformeln In der Praxis wird es am schwierigsten sein, zu sehen, was ist X und was hast du? Offensichtlich gibt es keine Einschränkungen für A Und B Nein, das heißt, es kann ein beliebiger numerischer oder alphabetischer Ausdruck sein.

Und hier sind sie:

Erste x 2 - um 2 = (x - y) (x+y).Berechnen Differenz der Quadrate Wenn Sie zwei Ausdrücke verwenden möchten, müssen Sie die Differenzen dieser Ausdrücke mit ihren Summen multiplizieren.

Zweite (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Finden Quadrat der Summe Bei zwei Ausdrücken müssen Sie zum Quadrat des ersten Ausdrucks das Doppelprodukt des ersten Ausdrucks und des zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks addieren.

Dritte (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Berechnen quadrierte Differenz Wenn Sie zwei Ausdrücke verwenden, müssen Sie vom Quadrat des ersten Ausdrucks das Doppelte des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks subtrahieren.

Vierte (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 Jahre + 3xy 2 + um 3. Berechnen Würfel der Summe Bei zwei Ausdrücken müssen Sie zur Kubikzahl des ersten Ausdrucks das Dreifachprodukt aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachprodukt des ersten Ausdrucks und dem Quadrat des zweiten plus der Potenz des zweiten Ausdrucks addieren.

Fünfte (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 Jahre + 3xy 2 - um 3. Berechnen Differenzwürfel Bei zwei Ausdrücken ist es notwendig, von der Potenz des ersten Ausdrucks das Dreifachprodukt des Quadrats des ersten Ausdrucks mit dem zweiten plus dem Dreifachprodukt des ersten Ausdrucks mit dem Quadrat des zweiten minus der Potenz des zweiten Ausdrucks zu subtrahieren.

Sechste x 3 + J 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Berechnen Summe der Würfel Wenn Sie zwei Ausdrücke verwenden, müssen Sie die Summen des ersten und des zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke multiplizieren.

Siebte x 3 - um 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Um die Berechnung durchzuführen Unterschiede der Würfel Wenn Sie zwei Ausdrücke verwenden, müssen Sie die Differenz zwischen dem ersten und dem zweiten Ausdruck mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dieser Ausdrücke multiplizieren.

Es ist nicht schwer, sich daran zu erinnern, dass alle Formeln verwendet werden, um Berechnungen in die entgegengesetzte Richtung (von rechts nach links) durchzuführen.

Die Existenz dieser Muster war vor etwa viertausend Jahren bekannt. Sie wurden von den Bewohnern des alten Babylon und Ägypten häufig verwendet. Aber damals wurden sie verbal oder geometrisch ausgedrückt und es wurden keine Buchstaben für Berechnungen verwendet.

Lass es uns klären Quadratsummenbeweis(a + b) 2 = a 2 +2ab +b 2.

Zuerst das hier mathematisches Muster Bewiesen durch den antiken griechischen Wissenschaftler Euklid, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria arbeitete, verwendete er eine geometrische Methode, um die Formel zu beweisen, da die Wissenschaftler des antiken Hellas keine Buchstaben zur Bezeichnung von Zahlen verwendeten. Sie verwendeten überall nicht „a 2“, sondern „ein Quadrat auf einem Segment a“, nicht „ab“, sondern „ein zwischen den Segmenten a und b eingeschlossenes Rechteck“.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Ausbildung.

Versuchen Sie, die folgenden Ausdrücke auf diese Weise auszuwerten:

Antworten:

Oder erinnern Sie sich, wie viel es ist, wenn Sie die Quadrate grundlegender zweistelliger Zahlen kennen? Erinnerst du dich? . Großartig! Da wir quadrieren, müssen wir mit multiplizieren. Es stellt sich heraus, dass.

Denken Sie daran, dass die Formeln „Quadratsumme“ und „Quadratdifferenz“ nicht nur für numerische Ausdrücke gelten:

Berechnen Sie selbst die folgenden Ausdrücke:

Antworten:

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Endeffekt.

Fassen wir etwas zusammen und schreiben die Formeln für das Quadrat von Summe und Differenz in eine Zeile:

Nun üben wir das „Zusammensetzen“ der Formel von Ansicht zu Ansicht. Diese Fähigkeit werden wir später beim Konvertieren großer Ausdrücke benötigen.

Nehmen wir an, wir haben den folgenden Ausdruck:

Wir wissen, dass das Quadrat der Summe (oder Differenz) ist Quadrat einer Zahl Quadrat einer anderen Zahl Und das Doppelte des Produkts dieser Zahlen.

In diesem Problem ist es leicht, das Quadrat einer Zahl zu erkennen – dies. Dementsprechend lautet eine der in der Klammer enthaltenen Zahlen Quadratwurzel von, das heißt

Da der zweite Term enthält, bedeutet dies, dass es sich um das Doppelprodukt einer bzw. einer anderen Zahl handelt:

Wo ist die zweite Zahl in unserer Klammer?

Die zweite Zahl in der Klammer ist gleich.

Lass uns das Prüfen. sollte gleich sein. Das ist tatsächlich so, was bedeutet, dass wir beide Zahlen in Klammern gefunden haben: und. Es bleibt noch zu bestimmen, welches Zeichen zwischen ihnen steht. Was für ein Zeichen wird Ihrer Meinung nach dort sein?

Rechts! Seit wir hinzufügen Wird das Produkt verdoppelt, steht zwischen den Zahlen ein Additionszeichen. Schreiben Sie nun den transformierten Ausdruck auf. Hast du es geschafft? Sie sollten Folgendes erhalten:

Hinweis: Das Ändern der Positionen der Terme hat keinen Einfluss auf das Ergebnis (es spielt keine Rolle, ob zwischen und eine Addition oder Subtraktion steht).

Es ist absolut nicht notwendig, dass die Terme im umzuwandelnden Ausdruck mit denen in der Formel übereinstimmen. Schauen Sie sich diesen Ausdruck an: . Versuchen Sie es selbst umzuwandeln. Passiert?

Üben Sie – transformieren Sie die folgenden Ausdrücke:

Antworten: Hast du es geschafft? Lassen Sie uns das Thema klären. Wählen Sie aus den folgenden Ausdrücken diejenigen aus, die als Quadrat der Summe oder Differenz dargestellt werden können.

- Beweisen Sie, dass es gleichwertig ist.

- kann nicht als Quadrat dargestellt werden; man könnte sich vorstellen, wenn es stattdessen eine gäbe.

Differenz der Quadrate

Eine weitere abgekürzte Multiplikationsformel ist die Quadratdifferenz.

Die Differenz der Quadrate ist nicht das Quadrat der Differenz!

Die Differenz zwischen den Quadraten zweier Zahlen ist gleich dem Produkt aus der Summe dieser Zahlen und ihrer Differenz:

Überprüfen wir, ob diese Formel korrekt ist. Dazu multiplizieren wir, wie wir es bei der Ableitung der Formeln für das Quadrat von Summe und Differenz getan haben:

Wir haben also gerade überprüft, dass die Formel tatsächlich korrekt ist. Diese Formel vereinfacht auch komplexe Rechenoperationen. Hier ist ein Beispiel:

Es ist zu berechnen: . Natürlich können wir das eine quadrieren, dann quadrieren und voneinander subtrahieren, aber die Formel macht es uns einfacher:

Passiert? Vergleichen wir die Ergebnisse:

Genau wie das Quadrat einer Summe (Differenz) kann die Differenzquadratformel nicht nur für Zahlen verwendet werden:

Wenn wir wissen, wie man die Differenz von Quadraten berechnet, können wir komplexe mathematische Ausdrücke umwandeln.

Passt auf:

Denn wenn wir die Differenz des rechten Ausdrucks durch das Quadrat zerlegen, erhalten wir

Seien Sie vorsichtig und achten Sie darauf, welcher konkrete Begriff quadriert wird! Um das Thema zu festigen, transformieren Sie die folgenden Ausdrücke:

Hast du es aufgeschrieben? Vergleichen wir die resultierenden Ausdrücke:

Nachdem Sie nun das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz sowie die Differenz von Quadraten beherrschen, versuchen wir, Beispiele für eine Kombination dieser drei Formeln zu lösen.

Umrechnung elementarer Ausdrücke (Quadratsumme, Quadratdifferenz, Quadratdifferenz)

Nehmen wir an, wir bekommen ein Beispiel

Muss vereinfacht werden dieser Ausdruck. Schauen Sie genau hin, was sehen Sie im Zähler? Richtig, der Zähler ist ein perfektes Quadrat:

Denken Sie beim Vereinfachen eines Ausdrucks daran, dass der Hinweis darauf, in welche Richtung die Vereinfachung gehen soll, im Nenner (oder Zähler) liegt. Wenn in unserem Fall der Nenner erweitert wird und nichts mehr getan werden kann, können wir verstehen, dass der Zähler entweder das Quadrat der Summe oder das Quadrat der Differenz ist. Da wir addieren, wird klar, dass der Zähler das Quadrat der Summe ist.

Versuchen Sie, die folgenden Ausdrücke selbst umzuwandeln:

Passiert? Vergleichen Sie die Antworten und machen Sie weiter!

Würfel der Summe und Würfel der Differenz

Die Summenwürfel- und Differenzwürfelformeln werden auf die gleiche Weise abgeleitet wie Quadrat der Summe Und quadrierte Differenz: Öffnende Klammern beim Multiplizieren von Termen miteinander.

Wenn das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz sehr leicht zu merken sind, stellt sich die Frage: „Wie merkt man sich Würfel?“

Schauen Sie sich die beiden beschriebenen Formeln im Vergleich zur Quadrierung ähnlicher Begriffe genau an:

Welches Muster sehen Sie?

1. Bei Aufstellung in Quadrat wir haben Quadrat der erste Tag und Quadrat zweite; wenn es zu einem Würfel angehoben wird - ja Würfel gleiche Nummer und Würfel eine andere Nummer.

2. Beim Aufstellen Quadrat, wir haben verdoppelt Produkt von Zahlen (Zahlen, die auf die 1. Potenz erhöht werden, was eine Potenz kleiner ist als die, auf die wir den Ausdruck erhöhen); während des Baus in Würfel - verdreifacht ein Produkt, bei dem eine der Zahlen quadriert wird (was ebenfalls eine Potenz kleiner ist als die Potenz, auf die wir den Ausdruck erhöhen).

3. Beim Quadrieren spiegelt sich das Vorzeichen in Klammern im offenen Ausdruck wider, wenn das Doppelprodukt addiert (oder subtrahiert) wird – wenn in den Klammern eine Addition steht, dann addieren wir, wenn es eine Subtraktion gibt, subtrahieren wir; Beim Erhöhen eines Würfels gilt folgende Regel: Wenn wir einen Summenwürfel haben, dann sind alle Vorzeichen „+“, und wenn wir einen Differenzwürfel haben, dann wechseln sich die Vorzeichen ab: „ “ – „ “ – „ “ – „ „ .

Alle oben genannten Punkte, mit Ausnahme der Abhängigkeit der Potenzen bei der Multiplikation von Termen, sind in der Abbildung dargestellt.

Sollen wir üben? Öffnen Sie die Klammern in den folgenden Ausdrücken:

Vergleichen Sie die resultierenden Ausdrücke:

Differenz und Summe der Würfel

Schauen wir uns das letzte Formelpaar an: Differenz und Würfelsumme.

Wie wir uns erinnern, multiplizieren wir bei der Differenz der Quadrate die Differenz und die Summe dieser Zahlen miteinander. Es gibt auch zwei Klammern in der Differenz der Würfel und der Summe der Würfel:

1 Klammer – die Differenz (oder Summe) der Zahlen zur ersten Potenz (je nachdem, ob wir die Differenz oder die Summe der Würfel aufdecken);

2. Klammer ist ein unvollständiges Quadrat (schauen Sie genau hin: Wenn wir das doppelte Produkt von Zahlen subtrahieren (oder addieren) würden, ergäbe sich ein Quadrat), das Vorzeichen beim Multiplizieren von Zahlen ist dem Vorzeichen des ursprünglichen Ausdrucks entgegengesetzt.

Um das Thema zu vertiefen, lösen wir ein paar Beispiele:

Vergleichen Sie die resultierenden Ausdrücke:

Ausbildung

Antworten:

Fassen wir zusammen:

Es gibt 7 abgekürzte Multiplikationsformeln:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Abgekürzte Multiplikationsformeln sind Formeln, deren Kenntnis Sie beim Vereinfachen von Ausdrücken oder beim Faktorisieren von Polynomen auf die Durchführung einiger Standardaktionen verzichten kann. Abgekürzte Multiplikationsformeln müssen Sie auswendig kennen!

Quadrat der Summe zwei Ausdrücke ist gleich dem Quadrat des ersten Ausdrucks plus dem Doppelten des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks:
Quadratischer Unterschied zwei Ausdrücke ist gleich dem Quadrat des ersten Ausdrucks minus dem doppelten Produkt des ersten Ausdrucks und des zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks:
Differenz der Quadrate zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Ausdrücke und ihrer Summe:
Würfel der Summe zwei Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten plus der Potenz des zweiten Ausdrucks:
Differenzwürfel zwei Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und dem zweiten plus dem Dreifachen des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten minus der Potenz des zweiten Ausdrucks:
Summe der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe des ersten und zweiten Ausdrucks und dem unvollständigen Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke:
Differenz der Würfel zwei Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dieser Ausdrücke:

Lassen Sie uns nun alle diese Formeln beweisen.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Nachweisen.

1. .
Einen Ausdruck quadrieren bedeutet, ihn mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Öffnen wir die Klammern und geben ähnliche ein:

2. .
Wir machen dasselbe: Wir multiplizieren die Differenz mit sich selbst, öffnen die Klammern und geben ähnliche an:
.

3. .
Nehmen wir den Ausdruck auf der rechten Seite und öffnen Sie die Klammern:
.

4. .
Eine kubische Zahl kann als diese Zahl multipliziert mit ihrem Quadrat dargestellt werden:

Ebenfalls:

Bei der Differenz der Würfel wechseln sich die Vorzeichen ab.

6. .

.

7. .
Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite:
.

Verwenden abgekürzter Multiplikationsformeln zum Lösen von Beispielen

Beispiel 1:

Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Lösung:

Wir verwenden die Formel Quadrat der Summe: .
Stellen wir uns diese Zahl als Differenz vor und verwenden wir die Formel für das Quadrat der Differenz: .

Beispiel 2:

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks: .

Lösung:

Mit der Formel für die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke erhalten wir:

Beispiel 3:

Den Ausdruck vereinfachen:

Lösung auf zwei Arten:

Verwenden wir die Formeln: Quadrat der Summe und Quadrat der Differenz:

II-Methode.

Verwenden wir die Formel für die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke:

JETZT DEIN WORT...

Ich habe Ihnen alles erzählt, was ich über abgekürzte Multiplikationsformeln weiß.

Sag mir jetzt, wirst du sie benutzen? Wenn nicht, warum nicht?

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Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

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Und viel Glück bei deinen Prüfungen!

In der vorherigen Lektion haben wir uns mit der Faktorisierung beschäftigt. Wir beherrschen zwei Methoden: das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern und das Gruppieren. In dieser Lektion - die folgende leistungsstarke Methode: abgekürzte Multiplikationsformeln. Kurz gesagt - FSU.

Abgekürzte Multiplikationsformeln (Summe und Differenz des Quadrats, Summe und Differenz des Würfels, Differenz der Quadrate, Summe und Differenz der Würfel) sind in allen Bereichen der Mathematik äußerst notwendig. Sie werden zum Vereinfachen von Ausdrücken, zum Lösen von Gleichungen, zum Multiplizieren von Polynomen, zum Reduzieren von Brüchen, zum Lösen von Integralen usw. verwendet. usw. Kurz gesagt, es gibt allen Grund, sich mit ihnen auseinanderzusetzen. Verstehen Sie, woher sie kommen, warum sie gebraucht werden, wie man sie im Gedächtnis behält und wie man sie nutzt.

Verstehen wir?)

Woher kommen abgekürzte Multiplikationsformeln?

Die Gleichungen 6 und 7 sind nicht auf eine sehr vertraute Weise geschrieben. Es ist eher das Gegenteil. Das ist Absicht.) Jede Gleichheit funktioniert sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links. Dieser Eintrag macht deutlicher, woher die FSUs kommen.

Sie stammen aus der Multiplikation.) Zum Beispiel:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Das ist alles, keine wissenschaftlichen Tricks. Wir multiplizieren einfach die Klammern und ergeben ähnliche. So kommt es alle abgekürzten Multiplikationsformeln. Abgekürzt Die Multiplikation liegt daran, dass es in den Formeln selbst keine Multiplikation von Klammern und keine Reduktion ähnlicher Klammern gibt. Abgekürzt.) Das Ergebnis wird sofort ausgegeben.

FSU muss man auswendig kennen. Ohne die ersten drei kann man nicht von einer Drei träumen; ohne die anderen kann man nicht von einer Zwei oder Eins träumen.)

Warum brauchen wir abgekürzte Multiplikationsformeln?

Es gibt zwei Gründe, diese Formeln zu lernen oder sogar auswendig zu lernen. Der erste besteht darin, dass eine vorgefertigte Antwort automatisch die Anzahl der Fehler reduziert. Aber das ist nicht das Meiste Hauptgrund. Aber der zweite...