Im Geometrieunterricht in weiterführende Schule Uns allen wurde vom Dreieck erzählt. Allerdings innerhalb Lehrplan Wir bekommen nur das Beste notwendige Kenntnisse und lernen Sie die gebräuchlichsten und gängigsten Berechnungsmethoden kennen. Gibt es ungewöhnliche Möglichkeiten, diese Menge zu ermitteln?

Erinnern wir uns zur Einführung daran, welches Dreieck als rechtwinklig gilt, und bezeichnen wir auch den Begriff der Fläche.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist eine geschlossene geometrische Figur, deren einer Winkel 90 0 beträgt. Integrale Konzepte in der Definition sind Beine und Hypotenuse. Mit Beinen sind zwei Seiten gemeint, die an der Verbindungsstelle einen rechten Winkel bilden. Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. Ein rechtwinkliges Dreieck kann gleichschenklig sein (seine beiden Seiten sind gleich groß), aber niemals gleichseitig (alle Seiten sind gleich lang). Wir werden die Definitionen von Höhe, Median, Vektoren und anderen mathematischen Begriffen nicht im Detail diskutieren. Sie sind in Nachschlagewerken leicht zu finden.

Quadrat rechtwinkliges Dreieck. Im Gegensatz zu Rechtecken gilt die Regel über

die Arbeit der Parteien bei der Feststellung findet keine Anwendung. Wenn wir trocken sprechen, wird unter der Fläche eines Dreiecks die Eigenschaft dieser Figur verstanden, einen Teil der Ebene einzunehmen, ausgedrückt durch eine Zahl. Ziemlich schwer zu verstehen, da werden Sie mir zustimmen. Versuchen wir nicht, tief in die Definition einzutauchen; das ist nicht unser Ziel. Kommen wir zur Hauptsache – wie man den Bereich findet rechtwinkliges Dreieck? Wir werden die Berechnungen selbst nicht durchführen, sondern nur die Formeln angeben. Definieren wir dazu die Notation: A, B, C – Seiten des Dreiecks, Beine – AB, BC. Winkel ACB ist gerade. S ist die Fläche des Dreiecks, h n n ist die Höhe des Dreiecks, wobei nn die Seite ist, auf der es abgesenkt wird.

Methode 1. So ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Größe seiner Beine bekannt ist

Methode 2. Finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks

Methode 3. Flächenberechnung anhand eines Rechtecks

Wir ergänzen das rechtwinklige Dreieck zu einem Quadrat (wenn das Dreieck

gleichschenklig) oder Rechteck. Wir erhalten ein einfaches Viereck, das aus zwei identischen rechtwinkligen Dreiecken besteht. In diesem Fall entspricht die Fläche eines von ihnen der Hälfte der Fläche der resultierenden Figur. S eines Rechtecks ​​wird durch das Produkt der Seiten berechnet. Bezeichnen wir diesen Wert mit M. Der gewünschte Flächenwert beträgt die Hälfte von M.

Methode 4. „Pythagoräische Hose“. Der berühmte Satz des Pythagoras

Wir alle erinnern uns an die Formulierung: „die Summe der Quadrate der Beine ...“. Aber nicht jeder kann es

Sag mal, was haben einige „Hosen“ damit zu tun? Tatsache ist, dass Pythagoras zunächst die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks untersuchte. Nachdem er Muster im Seitenverhältnis von Quadraten identifiziert hatte, konnte er eine Formel ableiten, die uns allen bekannt ist. Es kann in Fällen verwendet werden, in denen die Größe einer der Seiten unbekannt ist.

Methode 5. So ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe der Heron-Formel

Dies ist auch eine recht einfache Berechnungsmethode. Die Formel besteht darin, die Fläche eines Dreiecks durch auszudrücken numerische Werte seine Seiten. Für Berechnungen müssen Sie die Größen aller Seiten des Dreiecks kennen.

S = (p-AC)*(p-BC), wobei p = (AB+BC+AC)*0,5

Darüber hinaus gibt es viele andere Möglichkeiten, die Größe einer so mysteriösen Figur wie eines Dreiecks zu ermitteln. Darunter: Berechnung mit der Methode des eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises, Berechnung mit Scheitelpunktkoordinaten, Verwendung von Vektoren, Absolutwert, Sinus, Tangenten.

Dreieck - flach geometrische Figur mit einem Winkel gleich 90°. Darüber hinaus ist es in der Geometrie oft notwendig, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen. Wir verraten Ihnen, wie das weiter geht.

Die einfachste Formel zur Bestimmung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Ausgangsdaten, wobei a und b die Seiten des Dreiecks sind, von denen es kommt rechter Winkel.

Das heißt, die Fläche ist gleich der Hälfte des Produkts der beiden Seiten, die aus dem rechten Winkel herausragen. Natürlich gibt es die Heron-Formel zur Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, aber um den Wert zu bestimmen, müssen Sie die Länge der drei Seiten kennen. Dementsprechend müssen Sie die Hypotenuse berechnen, was zusätzliche Zeit kostet.

Ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mithilfe der Heron-Formel

Dies ist eine bekannte und originelle Formel, aber dafür müssen Sie die Hypotenuse auf zwei Beinen mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

In dieser Formel sind a, b, c die Seiten des Dreiecks und p der Halbumfang.

Ermitteln Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks anhand der Hypotenuse und des Winkels

Wenn bei Ihrem Problem keines der Beine bekannt ist, dann verwenden Sie das meiste auf einfache Weise Sie können nicht. Um den Wert zu ermitteln, müssen Sie die Länge der Beine berechnen. Dies kann einfach durch die Verwendung der Hypotenuse und des Kosinus des angrenzenden Winkels erfolgen.

b=c×cos(α)

Sobald Sie die Länge eines der Beine kennen, können Sie mithilfe des Satzes des Pythagoras die zweite Seite berechnen, die aus dem rechten Winkel kommt.

b 2 =c 2 -a 2

In dieser Formel sind c und a die Hypotenuse bzw. das Bein. Jetzt können Sie die Fläche mit der ersten Formel berechnen. Auf die gleiche Weise können Sie eines der Beine berechnen, wenn Sie das zweite und den Winkel angeben. In diesem Fall ist eine der erforderlichen Seiten gleich dem Produkt aus Schenkel und Tangens des Winkels. Es gibt andere Möglichkeiten, die Fläche zu berechnen, aber wenn Sie die grundlegenden Theoreme und Regeln kennen, können Sie den gewünschten Wert leicht ermitteln.

Wenn Sie keine der Seiten des Dreiecks haben, sondern nur den Median und einen der Winkel, können Sie die Länge der Seiten berechnen. Nutzen Sie dazu die Eigenschaften des Medians, um ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teile zu teilen. Dementsprechend kann sie als Hypotenuse fungieren, wenn sie austritt spitzer Winkel. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras und bestimmen Sie die Länge der Seiten des Dreiecks, die vom rechten Winkel ausgehen.

Wie Sie sehen, können Sie mit Kenntnis der Grundformeln und des Satzes des Pythagoras die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, das nur einen der Winkel und die Länge einer der Seiten hat.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem einer der Winkel 90° beträgt. Seine Fläche lässt sich ermitteln, wenn zwei Seiten bekannt sind. Sie können natürlich auch den längeren Weg gehen – finden Sie die Hypotenuse und berechnen Sie die Fläche mithilfe von , aber in den meisten Fällen wird dies nur zusätzliche Zeit in Anspruch nehmen. Deshalb sieht die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks so aus:

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts der Schenkel.

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen A= 8 cm, B= 6 cm.
Wir berechnen die Fläche:
Die Fläche beträgt: 24 cm 2

Der Satz des Pythagoras gilt auch für ein rechtwinkliges Dreieck. – Die Summe der Quadrate der beiden Schenkel ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks wird auf die gleiche Weise berechnet wie für ein regelmäßiges rechtwinkliges Dreieck.

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks:
Gegeben sei ein Dreieck mit Beinen A= 4cm, B= 4 cm. Berechnen Sie die Fläche:
Berechnen Sie die Fläche: = 8 cm 2

Die Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Hypotenuse kann verwendet werden, wenn die Bedingung ein Bein hat. Aus dem Satz des Pythagoras ermitteln wir die Länge des unbekannten Beins. Zum Beispiel gegeben die Hypotenuse C und Bein A, Bein B wird gleich sein:
Berechnen Sie anschließend die Fläche mit der üblichen Formel. Ein Beispiel für die Berechnung der Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf der Hypotenuse ist identisch mit dem oben beschriebenen.

Betrachten wir ein interessantes Problem, das dabei hilft, das Wissen über Formeln zur Lösung eines Dreiecks zu festigen.
Aufgabe: Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 180 Quadratmeter. Sehen Sie, finden Sie den kleineren Schenkel des Dreiecks, wenn er 31 cm kleiner ist als der zweite.
Lösung: Bezeichnen wir die Beine A Und B. Setzen wir nun die Daten in die Flächenformel ein: Wir wissen auch, dass ein Bein kleiner ist als das andere A – B= 31 cm
Aus der ersten Bedingung erhalten wir das
Wir setzen diese Bedingung in die zweite Gleichung ein:

Da wir die Seiten gefunden haben, entfernen wir das Minuszeichen.
Es stellt sich heraus, dass das Bein A= 40 cm, a B= 9 cm.