Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen werden in der Regel mit Formeln gelöst. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ist der zu findende Winkel,
a ist eine beliebige Zahl.

Und hier sind die Formeln, mit denen Sie die Lösungen dieser einfachsten Gleichungen sofort aufschreiben können.

Für Sinus:

Für Kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Für Tangente:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Für Kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist es das theoretischer Teil einfachste Lösungen trigonometrische Gleichungen. Außerdem alles!) Gar nichts. Die Anzahl der Fehler zu diesem Thema ist jedoch einfach überwältigend. Vor allem, wenn das Beispiel leicht von der Vorlage abweicht. Warum?

Ja, weil viele Leute diese Briefe aufschreiben, ohne ihre Bedeutung überhaupt zu verstehen! Er schreibt mit Vorsicht auf, damit nichts passiert...) Das muss geklärt werden. Trigonometrie für Menschen, oder doch Menschen für Trigonometrie!?)

Lass es uns herausfinden?

Ein Winkel ist gleich arccos a, zweite: -arccos a.

Und es wird immer so klappen. Für jeden A.

Wenn Sie mir nicht glauben, fahren Sie mit der Maus über das Bild oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet.) Ich habe die Nummer geändert A zu etwas Negativem. Wie auch immer, wir haben eine Ecke bekommen arccos a, zweite: -arccos a.

Daher kann die Antwort immer als zwei Reihen von Wurzeln geschrieben werden:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Fassen wir diese beiden Serien zu einer zusammen:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Und das ist alles. Wir haben eine allgemeine Formel zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung mit dem Kosinus erhalten.

Wenn Sie verstehen, dass dies keine überwissenschaftliche Weisheit ist, sondern nur eine gekürzte Version von zwei Antwortreihen, Sie können auch die Aufgaben „C“ bearbeiten. Bei Ungleichungen, bei der Auswahl von Wurzeln aus einem gegebenen Intervall... Da funktioniert die Antwort mit einem Plus/Minus nicht. Aber wenn man die Antwort sachlich behandelt und sie in zwei separate Antworten aufteilt, wird alles gelöst.) Genau deshalb untersuchen wir das. Was, wie und wo.

In der einfachsten trigonometrischen Gleichung

sinx = a

wir erhalten auch zwei Serien von Wurzeln. Stets. Und diese beiden Serien können auch aufgezeichnet werden in einer Zeile. Nur diese Zeile wird schwieriger:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Aber das Wesentliche bleibt dasselbe. Mathematiker haben einfach eine Formel entworfen, um für Reihen von Wurzeln einen statt zwei Einträge zu machen. Und alle!

Lassen Sie uns die Mathematiker überprüfen? Und man weiß nie...)

In der vorherigen Lektion wurde die Lösung (ohne Formeln) einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus ausführlich besprochen:

Die Antwort führte zu zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Wenn wir dieselbe Gleichung mit der Formel lösen, erhalten wir die Antwort:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist dies eine unvollendete Antwort.) Das muss der Schüler wissen arcsin 0,5 = π /6. Die vollständige Antwort wäre:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Dies wirft eine interessante Frage auf. Antwort per x 1; x 2 (das ist die richtige Antwort!) und durch einsam X (und das ist die richtige Antwort!) – sind sie dasselbe oder nicht? Das werden wir jetzt herausfinden.)

Wir ersetzen in der Antwort durch x 1 Werte N =0; 1; 2; usw., wir zählen, wir erhalten eine Reihe von Wurzeln:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 usw.

Mit der gleichen Ersetzung als Antwort mit x 2 , wir bekommen:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 usw.

Ersetzen wir nun die Werte N (0; 1; 2; 3; 4...) in die allgemeine Formel für Single X . Das heißt, wir erhöhen minus eins auf die Nullpotenz, dann auf die erste, zweite Potenz usw. Nun, natürlich ersetzen wir 0 im zweiten Term; 1; 2 3; 4 usw. Und wir zählen. Wir bekommen die Serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 usw.

Das ist alles, was Sie sehen können.) Allgemeine Formel gibt uns genau die gleichen Ergebnisse ebenso wie die beiden Antworten getrennt. Einfach alles auf einmal, der Reihe nach. Die Mathematiker ließen sich nicht täuschen.)

Auch Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Tangens und Kotangens können überprüft werden. Aber wir werden es nicht tun.) Sie sind bereits einfach.

Ich habe diese ganze Substitution aufgeschrieben und gezielt überprüft. Hier ist es wichtig, eines zu verstehen einfache Sache: Es gibt Formeln zur Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen, nur eine kurze Zusammenfassung der Antworten. Der Kürze halber mussten wir Plus/Minus in die Kosinuslösung und (-1) n in die Sinuslösung einfügen.

Diese Einsätze stören in keiner Weise bei Aufgaben, bei denen Sie lediglich die Antwort auf eine Elementargleichung aufschreiben müssen. Wenn Sie jedoch eine Ungleichung lösen müssen oder dann etwas mit der Antwort tun müssen: Wurzeln in einem Intervall auswählen, auf ODZ prüfen usw., können diese Einfügungen eine Person leicht verunsichern.

Und was machen? Ja, schreiben Sie die Antwort entweder in zwei Reihen auf oder lösen Sie die Gleichung/Ungleichung mithilfe des trigonometrischen Kreises. Dann verschwinden diese Einfügungen und das Leben wird einfacher.)

Wir können zusammenfassen.

Zur Lösung einfachster trigonometrischer Gleichungen gibt es vorgefertigte Antwortformeln. Vier Stücke. Sie eignen sich gut, um die Lösung einer Gleichung sofort aufzuschreiben. Beispielsweise müssen Sie die Gleichungen lösen:

sinx = 0,3

Leicht: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Kein Problem: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Leicht: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Einer übrig: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Wenn Sie vor Wissen glänzen, schreiben Sie sofort die Antwort:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

dann strahlst du schon, dieses... jenes... aus einer Pfütze.) Richtige Antwort: es gibt keine Lösungen. Verstehst du nicht warum? Lesen Sie, was Arkuskosinus ist. Wenn sich außerdem auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung Tabellenwerte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens befinden, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 usw. - Die Antwort durch die Bögen wird unvollendet sein. Bögen müssen in Bogenmaß umgerechnet werden.

Und wenn Sie auf Ungleichheit stoßen, z

dann lautet die Antwort:

x πn, n ∈ Z

Es gibt seltenen Unsinn, ja...) Hier müssen Sie trigonometrischer Kreis entscheiden. Was wir im entsprechenden Thema tun werden.

Für diejenigen, die diese Zeilen heldenhaft vorlesen. Ich kann einfach nicht anders, als Ihre gigantischen Bemühungen zu schätzen. Bonus für Sie.)

Bonus:

Beim Aufschreiben von Formeln in einer alarmierenden Kampfsituation sind selbst erfahrene Nerds oft verwirrt darüber, wo πn, und wo 2π n. Hier ist ein einfacher Trick für Sie. In alle Formeln wert πn. Bis auf die einzige Formel mit Arkuskosinus. Es steht da 2πn. Zwei peen. Stichwort - zwei. In derselben Formel gibt es zwei am Anfang unterschreiben. Plus und Minus. Hier und da - zwei.

Also wenn du geschrieben hast zwei Wenn Sie das Vorzeichen vor dem Arkuskosinus eingeben, können Sie sich leichter merken, was am Ende passieren wird zwei peen. Und umgekehrt passiert es auch. Die Person wird das Zeichen übersehen ± , kommt zum Ende, schreibt richtig zwei Pien, und er wird zur Besinnung kommen. Es liegt etwas vor uns zwei Zeichen! Die Person wird zum Anfang zurückkehren und den Fehler korrigieren! So.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind die Gleichungen

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Gleichung cos(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln cosx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Lass | ein |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Auf dem Intervall nimmt die Funktion y = cos x von 1 auf -1 ab. Aber eine abnehmende Funktion nimmt jeden ihrer Werte nur an einem Punkt ihres Definitionsbereichs an, daher hat die Gleichung cos x = a nur eine Wurzel in diesem Intervall, die per Definition des Arkuskosinus gleich ist: x 1 = arccos a (und für diesen Wurzelcos x = A).

Kosinus - gleiche Funktion, daher auf dem Intervall [-n; 0] die Gleichung cos x = und hat auch nur eine Wurzel – die Zahl gegenüber x 1, also

x 2 = -arccos a.

Somit ist im Intervall [-n; p] (Länge 2p) Gleichung cos x = a mit | ein |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Die Funktion y = cos x ist periodisch mit einer Periode von 2n, daher unterscheiden sich alle anderen Wurzeln von denen, die um 2n (n € Z) gefunden werden. Wir erhalten die folgende Formel für die Wurzeln der Gleichung cos x = a wenn

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Sonderfälle der Lösung der Gleichung cosx = a.

Es ist nützlich, sich spezielle Notationen für die Wurzeln der Gleichung cos x = a zu merken, wenn

a = 0, a = -1, a = 1, was leicht unter Verwendung des Einheitskreises als Referenz ermittelt werden kann.

Da der Kosinus gleich der Abszisse des entsprechenden Punktes ist Einheitskreis, erhalten wir, dass cos x = 0 genau dann ist, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt A oder Punkt B ist.

Ebenso gilt cos x = 1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt C ist, also

x = 2πп, k € Z.

Auch cos x = -1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt D ist, also x = n + 2n,

Gleichung sin(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln Sinx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Der Videokurs „Get an A“ umfasst alle Themen, die Sie benötigen Erfolgreiche Fertigstellung Einheitliches Staatsexamen in Mathematik für 60-65 Punkte. Vollständig alle Aufgaben 1-13 des Profileinheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Auch zum Bestehen der Grundprüfung in Mathematik geeignet. Wenn Sie das Einheitliche Staatsexamen mit 90-100 Punkten bestehen möchten, müssen Sie Teil 1 in 30 Minuten und ohne Fehler lösen!

Vorbereitungskurs für das Einheitliche Staatsexamen für die Klassen 10-11 sowie für Lehrer. Alles, was Sie zum Lösen von Teil 1 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) benötigen. Und das sind mehr als 70 Punkte beim Einheitlichen Staatsexamen, auf die weder ein 100-Punkte-Student noch ein Geisteswissenschaftler verzichten können.

Die ganze nötige Theorie. Schnelle Wege Lösungen, Fallstricke und Geheimnisse des Einheitlichen Staatsexamens. Alle aktuellen Aufgaben von Teil 1 aus der FIPI Task Bank wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des Einheitlichen Staatsexamens 2018.

Der Kurs beinhaltet 5 große Themen, jeweils 2,5 Stunden. Jedes Thema wird von Grund auf einfach und klar vermittelt.

Hunderte von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen. Textaufgaben und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Algorithmen zur Lösung von Problemen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens. Stereometrie. Knifflige Lösungen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf bis zum Problem 13. Verstehen statt pauken. Visuelle Erklärung komplexe Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Eine Grundlage zur Lösung komplexer Probleme von Teil 2 des Einheitlichen Staatsexamens.

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Anfrage stellen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer und Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Von uns gesammelt Persönliche Angaben ermöglicht es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen sowie bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Die wichtigsten Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen sind: Reduzieren der Gleichungen auf die einfachste (unter Verwendung von trigonometrische Formeln), Einführung neuer Variablen, Faktorisierung. Schauen wir uns ihre Verwendung anhand von Beispielen an. Achten Sie auf das Format beim Schreiben von Lösungen für trigonometrische Gleichungen.

Eine notwendige Bedingung erfolgreiche Lösung trigonometrische Gleichungen sind Kenntnisse trigonometrischer Formeln (Thema 13 von Arbeit 6).

Beispiele.

1. Gleichungen auf das Einfachste reduziert.

1) Lösen Sie die Gleichung

Lösung:

Antwort:

2) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, zum Segment gehörend.

Lösung:

Antwort:

2. Gleichungen, die sich auf quadratisch reduzieren lassen.

1) Lösen Sie die Gleichung 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Lösung: Benutzen Sündenformel 2 x = 1 – weil 2 x, wir erhalten

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung cos 2x = 1 + 4 cosx.

Lösung: Mit der Formel cos 2x = 2 cos 2 x – 1 erhalten wir

Antwort:

3) Entscheiden Sie tgx-Gleichung– 2ctgx + 1 = 0

Lösung:

Antwort:

3. Homogene Gleichungen

1) Lösen Sie die Gleichung 2sinx – 3cosx = 0

Lösung: Sei cosx = 0, dann ist 2sinx = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zur Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1. Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cosx dividieren. Wir bekommen

Antwort:

2) Lösen Sie die Gleichung 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Lösung:

Wir verwenden die Formeln 1 = sin 2 x + cos 2 x und sin 2x = 2 sinxcosx, wir erhalten

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Sei cosx = 0, dann ist sin 2 x = 0 und sinx = 0 – ein Widerspruch zu der Tatsache, dass sin 2 x + cos 2 x = 1.
Das bedeutet cosx ≠ 0 und wir können die Gleichung durch cos 2 x dividieren . Wir bekommen

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Bezeichnen wir tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Antwort: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Gleichungen der Form A sinx + B cosx = s, s≠ 0.

1) Lösen Sie die Gleichung.

Lösung:

Antwort:

5. Durch Faktorisierung gelöste Gleichungen.

1) Lösen Sie die Gleichung sin2x – sinx = 0.

Wurzel der Gleichung F (X) = φ ( X) kann nur als Zahl 0 dienen. Überprüfen wir Folgendes:

cos 0 = 0 + 1 – die Gleichheit ist wahr.

Die Zahl 0 ist die einzige Wurzel dieser Gleichung.

Antwort: 0.