Die Beziehungen zwischen den grundlegenden trigonometrischen Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens – werden angegeben trigonometrische Formeln. Und da zwischen trigonometrischen Funktionen viele Zusammenhänge bestehen, erklärt dies die Fülle trigonometrischer Formeln. Einige Formeln verbinden trigonometrische Funktionen desselben Winkels, andere - Funktionen mehrerer Winkel, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu reduzieren, vierte - drücken Sie alle Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels aus usw.

In diesem Artikel werden wir alle wichtigen Dinge der Reihe nach auflisten trigonometrische Formeln, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der Trigonometrieprobleme zu lösen. Um das Auswendiglernen und Verwenden zu erleichtern, werden wir sie nach Zweck gruppieren und in Tabellen eintragen.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Basic trigonometrische Identitäten Definieren Sie die Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Konzept des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, etwas auszudrücken Trigonometrische Funktion durch irgendein anderes.

Eine detaillierte Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihrer Ableitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Reduktionsformeln

Reduktionsformeln ergeben sich aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, d. h. sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie sowie die Eigenschaft der Verschiebung um einen gegebenen Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad übergehen.

Die Begründung dieser Formeln, eine Gedächtnisregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel untersucht werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel als trigonometrische Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel

Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie trigonometrische Funktionen von Doppel, Dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Ableitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen finden Sie im Artikel Formeln für Doppel, Dreifach usw. Winkel

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln ergeben sich aus den Formeln Doppelwinkel.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Formeln zur Gradreduzierung

Trigonometrische Formeln zur Reduzierung von Graden sollen den Übergang erleichtern natürliche Grade trigonometrische Funktionen zu Sinus und Cosinus ersten Grades, aber mehreren Winkeln. Mit anderen Worten: Sie ermöglichen es Ihnen, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste Potenz zu reduzieren.

Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Der Hauptzweck Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen besteht darin, zum Produkt von Funktionen zu gehen, was beim Vereinfachen sehr nützlich ist trigonometrische Ausdrücke. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen verwendet trigonometrische Gleichungen, da Sie damit die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus faktorisieren können.

Formeln für das Produkt aus Sinus, Cosinus und Sinus mal Cosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zu einer Summe oder Differenz erfolgt mit den Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

Universelle trigonometrische Substitution

Wir schließen unseren Überblick über die Grundformeln der Trigonometrie mit Formeln ab, die trigonometrische Funktionen als Tangens eines halben Winkels ausdrücken. Dieser Ersatz wurde aufgerufen universelle trigonometrische Substitution. Seine Zweckmäßigkeit liegt in der Tatsache, dass alle trigonometrischen Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels rational ohne Wurzeln ausgedrückt werden.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Durchschn. Schule/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 Seiten: Abb. - ISBN 5-09-002727-7
• Baschmakow M. I. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Education, 2004. – 384 Seiten: Abb. – ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

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Beispiele:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

So lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Jede trigonometrische Gleichung sollte auf einen der folgenden Typen reduziert werden:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

wobei \(t\) ein Ausdruck mit einem x ist, \(a\) eine Zahl ist. Solche trigonometrischen Gleichungen heißen das einfachste. Sie können leicht mit () oder speziellen Formeln gelöst werden:

Infografiken zum Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen finden Sie hier: und.

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Lösung:

Antwort: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k,n∈Z\)

Was jedes Symbol in der Formel für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen bedeutet, siehe.

Aufmerksamkeit! Die Gleichungen \(\sin⁡x=a\) und \(\cos⁡x=a\) haben keine Lösungen, wenn \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Da Sinus und Cosinus für jedes x größer oder gleich \(-1\) und kleiner oder gleich \(1\) sind:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(\cos⁡x=-1,1\).
Lösung: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Antwort : keine Lösungen.

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung tg\(⁡x=1\).
Lösung:

Lösen wir die Gleichung mithilfe des Zahlenkreises. Dafür: 1) Konstruieren Sie einen Kreis) 2) Konstruieren Sie die Achsen \(x\) und \(y\) sowie die Tangentenachse (sie verläuft durch den Punkt \((0;1)\) parallel zur Achse \(y\)). 3) Markieren Sie auf der Tangentenachse den Punkt \(1\). 4) Verbinden Sie diesen Punkt und den Koordinatenursprung – eine gerade Linie. 5) Markieren Sie die Schnittpunkte dieser Linie und des Zahlenkreises. 6) Unterschreiben wir die Werte dieser Punkte: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Notieren Sie alle Werte dieser Punkte. Da sie genau \(π\) voneinander entfernt liegen, lassen sich alle Werte in einer Formel schreiben:

Antwort: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Lösung:

Benutzen wir wieder den Zahlenkreis. 1) Konstruieren Sie einen Kreis mit den Achsen \(x\) und \(y\). 2) Markieren Sie auf der Kosinusachse (\(x\)-Achse) \(0\). 3) Zeichnen Sie durch diesen Punkt eine Senkrechte zur Kosinusachse. 4) Markieren Sie die Schnittpunkte der Senkrechten und des Kreises. 5) Unterschreiben wir die Werte dieser Punkte: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Wir schreiben den Gesamtwert dieser Punkte auf und setzen sie mit dem Kosinus (dem, was innerhalb des Kosinus liegt) gleich. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Wie üblich werden wir \(x\) in Gleichungen ausdrücken. Vergessen Sie nicht, Zahlen mit \(π\) sowie \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) usw. zu behandeln. Das sind die gleichen Zahlen wie alle anderen. Keine numerische Diskriminierung! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Antwort: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrische Gleichungen auf das Einfachste zu reduzieren ist eine kreative Aufgabe; hier müssen Sie sowohl spezielle Methoden zur Lösung von Gleichungen verwenden:
- Methode (die beliebteste im Einheitlichen Staatsexamen).
- Methode.
- Methode der Hilfsargumente.

Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung der quadratischen trigonometrischen Gleichung

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Lösung:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Machen wir die Ersetzung \(t=\cos⁡x\).
	Unsere Gleichung ist typisch geworden. Sie können es mit lösen.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Wir machen einen umgekehrten Ersatz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Wir lösen die erste Gleichung mithilfe des Zahlenkreises. Die zweite Gleichung hat keine Lösungen, weil \(\cos⁡x∈[-1;1]\) und kann für kein x gleich zwei sein.
	Schreiben wir alle Zahlen auf, die an diesen Stellen liegen.

Antwort: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Ein Beispiel für die Lösung einer trigonometrischen Gleichung mit dem Studium von ODZ:

Beispiel (VERWENDUNG) . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Es gibt einen Bruch und einen Kotangens – das heißt, wir müssen ihn aufschreiben. Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein Kotangens eigentlich ein Bruch ist: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Daher ist die ODZ für ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Markieren wir die „Nichtlösungen“ auf dem Zahlenkreis.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Lassen Sie uns den Nenner in der Gleichung entfernen, indem wir ihn mit ctg\(x\) multiplizieren. Wir können dies tun, da wir oben geschrieben haben, dass ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Wenden wir die Doppelwinkelformel für den Sinus an: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Wenn Sie Ihre Hände ausstrecken, um durch den Kosinus zu dividieren, ziehen Sie sie zurück! Sie können durch einen Ausdruck mit einer Variablen dividieren, wenn diese definitiv nicht gleich Null ist (zum Beispiel diese: \(x^2+1,5^x\)). Nehmen wir stattdessen \(\cos⁡x\) aus der Klammer.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Lassen Sie uns die Gleichung in zwei Teile „teilen“.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Lösen wir die erste Gleichung mithilfe des Zahlenkreises. Teilen wir die zweite Gleichung durch \(2\) und verschieben wir \(\sin⁡x\) auf die rechte Seite.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Die resultierenden Wurzeln werden nicht in die ODZ einbezogen. Daher werden wir sie nicht als Antwort aufschreiben. Die zweite Gleichung ist typisch. Teilen wir es durch \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) kann keine Lösung der Gleichung sein, da in diesem Fall \(\cos⁡x=1\) oder \(\cos⁡ x=-1\)).
	Wir verwenden wieder einen Kreis.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Diese Wurzeln werden von ODZ nicht ausgeschlossen, Sie können sie also in die Antwort schreiben.

Antwort: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Trigonometrische Gleichungen sind kein einfaches Thema. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Solche Gleichungen erfordern eine individuelle Herangehensweise. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.

Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. Im ersten Schritt wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.

Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logik ist stärker als Gedächtnis!)

Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)

Oh du weißt!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:

cosx = 0,5

Wir müssen X finden. Sie müssen in menschlicher Sprache sprechen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.

Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Jetzt machen wir das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So:

Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und du wirst sehen genau diese Ecke X.

Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil

Es können unendlich viele solcher vollständigen Umdrehungen gemacht werden ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)

Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist doch angenehmer, als dummerweise ein paar geheimnisvolle Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.

2π ist eine vollständige Umdrehung im Bogenmaß.

N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Es ist klar, dass N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie aus dem kurzen Eintrag hervorgeht:

n ∈ Z

N gehört ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)

Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alle? Nein. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.

Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 = - π /3

Nun, natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und wir haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf einem Kreis, zeichnen die dazugehörigen Winkel ein und schreiben die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich habe gesagt, dass hier Logik gefragt ist.)

Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:

Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle diesem Sinus entsprechenden Winkel auf einmal ein. Wir erhalten dieses Bild:

Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:

x = π /6

Wir erinnern uns an volle Runden und schreiben guten Gewissens die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja, einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Nur wird vom Winkel π aus in negativer Richtung gezählt. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:

π - x

X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:

π - π /6 = 5π /6

Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Erweitern wir nun unsere Fähigkeiten auf alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)

Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:

In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Kosinuswert. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache eiskalt. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.

Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort können wir, rein durch die Definition des Arkuskosinus, schreiben:

Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Den aufmerksamsten wird übrigens auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt im Wesentlichen nicht anders als das Bild für cos-Gleichungen x = 0,5.

Genau so! Das allgemeine Prinzip ist genau das! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir entscheiden.

Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:

Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:

Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Wieder beginnen wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Kein Problem!

Nun ist die erste Packung Wurzeln fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall spart, in trigonometrischen Ungleichungen – sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.

Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.

Jetzt ist es komplizierter.

Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)

Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen schreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)

Na ja, ganz einfach):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Die einfachsten Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Es klappt nicht alles? Das passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(Es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind die Gleichungen

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Gleichung cos(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln cosx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Lass | ein |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Auf dem Intervall nimmt die Funktion y = cos x von 1 auf -1 ab. Aber eine abnehmende Funktion nimmt jeden ihrer Werte nur an einem Punkt ihres Definitionsbereichs an, daher hat die Gleichung cos x = a nur eine Wurzel in diesem Intervall, die per Definition des Arkuskosinus gleich ist: x 1 = arccos a (und für diesen Wurzelcos x = A).

Kosinus - gleiche Funktion, daher auf dem Intervall [-n; 0] die Gleichung cos x = und hat auch nur eine Wurzel – die Zahl gegenüber x 1, also

x 2 = -arccos a.

Somit ist im Intervall [-n; p] (Länge 2p) Gleichung cos x = a mit | ein |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Die Funktion y = cos x ist periodisch mit einer Periode von 2n, daher unterscheiden sich alle anderen Wurzeln von denen, die um 2n (n € Z) gefunden werden. Wir erhalten die folgende Formel für die Wurzeln der Gleichung cos x = a wenn

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Sonderfälle der Lösung der Gleichung cosx = a.

Es ist nützlich, sich spezielle Notationen für die Wurzeln der Gleichung cos x = a zu merken, wenn

a = 0, a = -1, a = 1, was leicht unter Verwendung des Einheitskreises als Referenz ermittelt werden kann.

Da der Kosinus gleich der Abszisse des entsprechenden Punktes ist Einheitskreis, erhalten wir, dass cos x = 0 genau dann ist, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt A oder Punkt B ist.

Ebenso gilt cos x = 1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt C ist, also

x = 2πп, k € Z.

Auch cos x = -1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt D ist, also x = n + 2n,

Gleichung sin(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln Sinx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Konzept zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, wandeln Sie sie in eine oder mehrere grundlegende trigonometrische Gleichungen um. Bei der Lösung einer trigonometrischen Gleichung kommt es letztlich darauf an, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.

• Es gibt 4 Arten grundlegender trigonometrischer Gleichungen:
• Sünde x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen erfordert die Betrachtung verschiedener x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
• Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, das heißt, ihre Werte wiederholen sich. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Daher lautet die Antwort wie folgt:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Beispiel 2. cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Antwort: x = π/4 + πn.
• Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
• Antwort: x = π/12 + πn.

Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

• Zur Transformation trigonometrischer Gleichungen werden algebraische Transformationen verwendet (Faktorisierung, Reduktion). homogene Mitglieder usw.) und trigonometrische Identitäten.
• Beispiel 5: Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Finden von Winkeln mithilfe bekannter Funktionswerte.

  • Bevor Sie lernen, trigonometrische Gleichungen zu lösen, müssen Sie lernen, wie man Winkel mithilfe bekannter Funktionswerte ermittelt. Dies kann mithilfe einer Umrechnungstabelle oder eines Taschenrechners erfolgen.
  • Beispiel: cos x = 0,732. Der Rechner gibt als Ergebnis x = 42,95 Grad aus. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.

• Legen Sie die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.

  • Sie können Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis darstellen. Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Polygons.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte des Quadrats dar.
  • Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks dar.

• Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

  • Wenn eine gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie diese Gleichung als grundlegende trigonometrische Gleichung. Wenn eine gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Methoden zur Lösung einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
    • Methode 1.
  • Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
  • Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung. Ersetzen Sie sin 2x mithilfe der Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
  • Beispiel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
  • Beispiel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0 .
    • Methode 2.
  • Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine unbekannte Funktion, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t usw.).
  • Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lösung. IN gegebene Gleichung Ersetze (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (je nach Identität). Die transformierte Gleichung lautet:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetzen Sie sin x durch t. Nun lautet die Gleichung: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Das ist quadratische Gleichung, mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Funktionsbereich (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lösung. Ersetzen Sie tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tan x.