Zahlenkreis-Trigonometrie. Trigonometrie. Einheitskreis. Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen

Die Trigonometrie als Wissenschaft hat ihren Ursprung im Alten Osten. Erste trigonometrische Verhältnisse wurden von Astronomen entwickelt, um einen genauen Kalender zu erstellen und anhand der Sterne zu navigieren. Diese Berechnungen bezogen sich auf die sphärische Trigonometrie, während in Schulkurs Studieren Sie die Seiten- und Winkelverhältnisse eines ebenen Dreiecks.

Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von trigonometrische Funktionen und die Beziehung zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken.

Während der Blütezeit von Kultur und Wissenschaft im 1. Jahrtausend n. Chr. verbreitete sich das Wissen vom Alten Osten bis nach Griechenland. Aber die wichtigsten Entdeckungen der Trigonometrie sind das Verdienst der Männer des Arabischen Kalifats. Insbesondere führte der turkmenische Wissenschaftler al-Marazwi Funktionen wie Tangens und Kotangens ein und erstellte die ersten Wertetabellen für Sinus, Tangens und Kotangens. Die Konzepte Sinus und Cosinus wurden von indischen Wissenschaftlern eingeführt. Die Trigonometrie fand in den Werken so großer Persönlichkeiten der Antike wie Euklid, Archimedes und Eratosthenes große Beachtung.

Grundgrößen der Trigonometrie

Grundlegende trigonometrische Funktionen numerisches Argument– das sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Graphen: Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Die Formeln zur Berechnung der Werte dieser Größen basieren auf dem Satz des Pythagoras. Schulkindern ist die Formulierung besser bekannt: „Pythagoräische Hose, in alle Richtungen gleich“, da der Beweis am Beispiel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt wird.

Sinus, Kosinus und andere Abhängigkeiten stellen den Zusammenhang zwischen her scharfe Kanten und Seiten eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks. Stellen wir Formeln zur Berechnung dieser Größen für den Winkel A vor und verfolgen wir die Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen:

Wie Sie sehen können, sind tg und ctg gleich Umkehrfunktionen. Wenn wir uns Bein a als Produkt von sin A und Hypotenuse c und Bein b als cos A * c vorstellen, erhalten wir folgenden Formeln für Tangens und Kotangens:

Trigonometrischer Kreis

Grafisch lässt sich der Zusammenhang zwischen den genannten Größen wie folgt darstellen:

Der Kreis repräsentiert in diesem Fall alle möglichen Werte des Winkels α – von 0° bis 360°. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, nimmt jede Funktion je nach Winkel einen negativen oder positiven Wert an. Beispielsweise hat sin α ein „+“-Zeichen, wenn α zum 1. und 2. Viertel des Kreises gehört, also im Bereich von 0° bis 180° liegt. Für α von 180° bis 360° (III. und IV. Viertel) kann sin α nur ein negativer Wert sein.

Versuchen wir zu bauen trigonometrische Tabellen für bestimmte Winkel und ermitteln Sie den Wert der Mengen.

Werte von α gleich 30°, 45°, 60°, 90°, 180° usw. werden als Sonderfälle bezeichnet. Für sie werden die Werte trigonometrischer Funktionen berechnet und in Form spezieller Tabellen dargestellt.

Diese Winkel wurden nicht zufällig ausgewählt. Die Bezeichnung π in den Tabellen bezieht sich auf das Bogenmaß. Rad ist der Winkel, bei dem die Länge eines Kreisbogens seinem Radius entspricht. Dieser Wert wurde eingeführt, um eine universelle Abhängigkeit herzustellen; bei der Berechnung im Bogenmaß spielt die tatsächliche Länge des Radius in cm keine Rolle.

Winkel in Tabellen für trigonometrische Funktionen entsprechen Bogenmaßwerten:

Es ist also nicht schwer zu erraten, dass 2π ein vollständiger Kreis oder 360° ist.

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen: Sinus und Cosinus

Um die grundlegenden Eigenschaften von Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens zu betrachten und zu vergleichen, ist es notwendig, ihre Funktionen zu zeichnen. Dies kann in Form einer Kurve erfolgen, die in einem zweidimensionalen Koordinatensystem liegt.

Betrachten Sie die Vergleichstabelle der Eigenschaften für Sinus und Cosinus:

Sinus	Kosinus
y = Sünde x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, für x = πk, wobei k ϵ Z	cos x = 0, für x = π/2 + πk, wobei k ϵ Z
sin x = 1, für x = π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = 1, bei x = 2πk, wobei k ϵ Z
sin x = - 1, bei x = 3π/2 + 2πk, wobei k ϵ Z	cos x = - 1, für x = π + 2πk, wobei k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, d. h. die Funktion ist ungerade	cos (-x) = cos x, d. h. die Funktion ist gerade
	die Funktion ist periodisch, kürzester Zeitraum- 2π
sin x › 0, wobei x zum 1. und 2. Viertel oder von 0° bis 180° gehört (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, wobei x zu den Vierteln I und IV oder von 270° bis 90° gehört (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, wobei x zum dritten und vierten Viertel oder von 180° bis 360° gehört (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, wobei x zum 2. und 3. Viertel oder von 90° bis 270° gehört (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
steigt im Intervall [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	steigt im Intervall [-π + 2πk, 2πk]
nimmt in den Intervallen [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] ab	nimmt in Abständen ab
Ableitung (sin x)‘ = cos x	Ableitung (cos x)’ = - sin x

Es ist sehr einfach festzustellen, ob eine Funktion gerade ist oder nicht. Es genügt, sich einen trigonometrischen Kreis mit den Vorzeichen trigonometrischer Größen vorzustellen und den Graphen gedanklich relativ zur OX-Achse zu „falten“. Wenn die Vorzeichen übereinstimmen, ist die Funktion gerade, andernfalls ist sie ungerade.

Die Einführung des Bogenmaßes und die Auflistung der grundlegenden Eigenschaften von Sinus- und Kosinuswellen ermöglichen uns die Darstellung des folgenden Musters:

Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob die Formel korrekt ist. Beispielsweise ist für x = π/2 der Sinus 1, ebenso wie der Kosinus von x = 0. Die Überprüfung kann durch Konsultieren von Tabellen oder durch Verfolgen von Funktionskurven für gegebene Werte erfolgen.

Eigenschaften von Tangentenoiden und Kotangentenoiden

Die Graphen der Tangens- und Kotangensfunktionen unterscheiden sich deutlich von den Sinus- und Cosinusfunktionen. Die Werte tg und ctg sind Kehrwerte voneinander.

Y = tan x.
Die Tangente tendiert zu den Werten von y bei x = π/2 + πk, erreicht sie aber nie.
Die kleinste positive Periode des Tangentoids ist π.
Tg (- x) = - tg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Tg x = 0, für x = πk.
Die Funktion nimmt zu.
Tg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, für x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Ableitung (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Lassen Sie uns überlegen grafisches Bild Kotangentoide unten im Text.

Haupteigenschaften von Cotangentoiden:

Y = Kinderbett x.
Im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen kann Y beim Tangentoid die Werte der Menge aller reellen Zahlen annehmen.
Der Kotangentoid tendiert zu den Werten von y bei x = πk, erreicht diese aber nie.
Die kleinste positive Periode eines Kotangentoids ist π.
Ctg (- x) = - ctg x, d. h. die Funktion ist ungerade.
Ctg x = 0, für x = π/2 + πk.
Die Funktion nimmt ab.
Ctg x › 0, für x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, für x ϵ (π/2 + πk, πk).
Ableitung (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Richtig

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Ziel: lehren, wie man den Einheitskreis beim Lösen verschiedener trigonometrischer Probleme verwendet.

Im schulischen Mathematikunterricht sind verschiedene Möglichkeiten zur Einführung trigonometrischer Funktionen möglich. Am bequemsten und am häufigsten verwendeten ist der „numerische Einheitskreis“. Seine Anwendung im Thema „Trigonometrie“ ist sehr umfangreich.

Einheitskreis wird verwendet für:

– Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels;
– Finden der Werte trigonometrischer Funktionen für einige Werte numerischer und Winkelargument;
– Ableitung grundlegender trigonometrischer Formeln;
– Herleitung von Reduktionsformeln;
– Finden des Definitionsbereichs und des Wertebereichs trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Periodizität trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Parität und Ungeradheit trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Intervalle steigender und fallender trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Intervalle mit konstantem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen;
– Winkelmessung im Bogenmaß;
– Ermitteln der Werte umgekehrter trigonometrischer Funktionen;
– Lösung für das Einfachste trigonometrische Gleichungen;
– Lösen einfacher Ungleichungen usw.

Somit bietet die aktive und bewusste Beherrschung dieser Art der Visualisierung durch die Studierenden unbestreitbare Vorteile für die Beherrschung des Teils „Trigonometrie“ der Mathematik.

Der Einsatz von IKT im Mathematikunterricht erleichtert die Beherrschung des numerischen Einheitskreises. Sicherlich, interaktives Board hat ein breites Anwendungsspektrum, aber nicht alle Klassen haben es. Wenn wir über den Einsatz von Präsentationen sprechen, gibt es im Internet eine große Auswahl und jeder Lehrer kann die am besten geeignete Option für seinen Unterricht finden.

Was ist das Besondere an dem Vortrag, den ich präsentiere?

Diese Präsentation schlägt verschiedene Anwendungsfälle vor und ist nicht als Demonstration einer bestimmten Lektion zum Thema „Trigonometrie“ gedacht. Jede Folie dieser Präsentation kann separat verwendet werden, sowohl in der Phase der Erläuterung des Materials, der Entwicklung von Fähigkeiten als auch zur Reflexion. Bei der Erstellung dieser Präsentation wurde besonderes Augenmerk auf die „Lesbarkeit“ aus großer Entfernung gelegt, da die Zahl der Studierenden mit Sehbehinderung stetig wächst. Die Farbgebung ist durchdacht, logisch verwandte Objekte werden durch eine einzige Farbe vereint. Die Präsentation ist so animiert, dass der Lehrer einen Ausschnitt der Folie kommentieren und der Schüler eine Frage stellen kann. Somit handelt es sich bei dieser Präsentation um eine Art „verschiebende“ Tische. Die letzten Folien sind nicht animiert und dienen dazu, die Beherrschung des Stoffes beim Lösen trigonometrischer Aufgaben zu testen. Der Kreis auf den Folien ist optisch so vereinfacht wie möglich und kommt dem auf dem Notizbuchpapier der Schüler möglichst nahe. Ich halte diese Bedingung für grundlegend. Für die Studierenden ist es wichtig, sich eine Meinung über den Einheitskreis als zugängliche und mobile (wenn auch nicht die einzige) Form der Klarheit bei der Lösung trigonometrischer Aufgaben zu bilden.

Diese Präsentation soll Lehrern dabei helfen, Schülern den Einheitskreis im Geometrieunterricht der 9. Klasse näherzubringen, wenn sie das Thema „Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks“ studieren. Und natürlich wird es dazu beitragen, die Fähigkeiten im Umgang mit dem Einheitskreis bei der Lösung trigonometrischer Probleme für Oberstufenschüler im Algebraunterricht zu erweitern und zu vertiefen.

Folien 3, 4 Erklären Sie den Aufbau eines Einheitskreises. das Prinzip der Bestimmung der Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis im 1. und 2. Koordinatenviertel; Übertragen von geometrische Definitionen Funktionen Sinus und Cosinus (in rechtwinkliges Dreieck) zur Algebra auf dem Einheitskreis.

Folien 5-8 Erklären Sie, wie Sie die Werte trigonometrischer Funktionen für die Hauptwinkel des ersten Koordinatenquadranten ermitteln.

Folien 9-11 erklärt die Vorzeichen von Funktionen in Koordinatenvierteln; Bestimmung von Intervallen mit konstantem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen.

Folie 12 wird verwendet, um Vorstellungen über positive und negative Winkelwerte zu entwickeln; Kennenlernen des Konzepts der Periodizität trigonometrischer Funktionen.

Folien 13, 14 werden beim Umschalten auf eine Winkelmessung im Bogenmaß verwendet.

Folien 15-18 sind nicht animiert und dienen der Lösung verschiedener trigonometrischer Aufgaben, der Festigung und Überprüfung der Ergebnisse der Beherrschung des Stoffes.

Titelblatt.
Ziele setzen.
Konstruktion eines Einheitskreises. Grundwerte der Winkel in Grad.
Bestimmung von Sinus und Cosinus eines Winkels auf einem Einheitskreis.
Tabellenwerte für Sinus in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Kosinus in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Tangente in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Kotangens in aufsteigender Reihenfolge.
Funktionszeichen Sünde α.
Funktionszeichen cos α.
Funktionszeichen tan α Und ctg α.
Positiv und negative Werte Winkel auf dem Einheitskreis.
Winkelmaß im Bogenmaß.
Positive und negative Winkelwerte im Bogenmaß auf dem Einheitskreis.
Verschiedene Optionen Einheitskreis zur Konsolidierung und Überprüfung der Ergebnisse der Materialbeherrschung.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Scheiß auf mich, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematikstudium“ verstecken abstrakte Konzepte„Es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Bewerben mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, schauen wir uns die Nummer 26 aus dem Artikel über an. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten der gleichen Größe beim Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Wenn Sie bereits damit vertraut sind trigonometrischer Kreis , und Sie möchten einfach nur Ihre Erinnerung an bestimmte Elemente auffrischen, oder Sie sind völlig ungeduldig, dann ist es hier:

Hier analysieren wir Schritt für Schritt alles im Detail.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele Menschen assoziieren damit ein undurchdringliches Dickicht. Plötzlich stapeln sich so viele Werte trigonometrischer Funktionen, so viele Formeln... Aber es ist so, als hätte es am Anfang nicht geklappt, und... los geht's... völliges Missverständnis...

Es ist sehr wichtig, nicht aufzugeben Werte trigonometrischer Funktionen, - Man sagt, man kann sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf eine Tabelle mit Werten schauen trigonometrische Formeln, lasst uns diese Angewohnheit loswerden!

Er wird uns helfen! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann wird es in Ihrem Kopf auftauchen. Wie ist es besser als ein Tisch? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber im Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel beim Anschauen Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was ist der Sinus, der beispielsweise 300 Grad oder -45 entspricht?

Auf keinen Fall? Sie können natürlich eine Verbindung herstellen Reduktionsformeln... Und wenn man den trigonometrischen Kreis betrachtet, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und wenn man trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen ohne einen trigonometrischen Kreis löst, ist es absolut nirgendwo.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Gehen wir der Reihe nach vor.

Schreiben wir zunächst diese Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und schließlich dieses hier:

Es ist natürlich klar, dass tatsächlich an erster Stelle steht, an zweiter Stelle steht und an letzter Stelle steht. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön ist es geworden! Wenn etwas passiert, werden wir diese „Wunderleiter“ wiederherstellen.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette stellt die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Viertel dar.

Zeichnen wir einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius als Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Vom „0-Start“-Träger aus legen wir die Ecken in Pfeilrichtung (siehe Abbildung).

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragen Sie?

Analysieren wir nicht alles. Lassen Sie uns überlegen Prinzip, was es Ihnen ermöglicht, mit anderen, ähnlichen Situationen zurechtzukommen.

Das Dreieck AOB ist rechteckig und enthält . Und wir wissen, dass gegenüber dem Winkel b ein Bein liegt, das halb so groß ist wie die Hypotenuse (wir haben die Hypotenuse = den Radius des Kreises, also 1).

Das bedeutet AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras