Anweisungen

Zunächst ist es wichtig zu verstehen, dass die Seitenfläche der Pyramide durch mehrere Dreiecke dargestellt wird, deren Flächen je nach bekannten Daten mit verschiedenen Formeln ermittelt werden können:

S = (a*h)/2, wobei h die zur Seite a abgesenkte Höhe ist;

S = a*b*sinβ, wobei a, b die Seiten des Dreiecks sind und β der Winkel zwischen diesen Seiten ist;

S = (r*(a + b + c))/2, wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind und r der Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises ist;

S = (a*b*c)/4*R, wobei R der Radius des um den Kreis umschriebenen Dreiecks ist;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (wenn das Dreieck rechtwinklig ist);

S = S = (a²*√3)/4 (wenn das Dreieck gleichseitig ist).

Tatsächlich sind dies nur die grundlegendsten bekannten Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks.

Nachdem Sie die Flächen aller Dreiecke, die die Flächen der Pyramide bilden, mit den obigen Formeln berechnet haben, können Sie mit der Berechnung der Fläche dieser Pyramide beginnen. Dies geht ganz einfach: Sie müssen die Flächen aller Dreiecke addieren, die sich bilden Seitenfläche Pyramiden. Dies kann durch die Formel ausgedrückt werden:

Sp = ΣSi, wobei Sp die Fläche der Seitenfläche ist, Si die Fläche des i-ten Dreiecks, das Teil seiner Seitenfläche ist.

Zur besseren Verdeutlichung können wir ein kleines Beispiel betrachten: Gegeben sei eine regelmäßige Pyramide, deren Seitenflächen durch gleichseitige Dreiecke gebildet werden und an deren Basis ein Quadrat liegt. Die Kantenlänge dieser Pyramide beträgt 17 cm. Es ist erforderlich, die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide zu ermitteln.

Lösung: Die Länge der Kante dieser Pyramide ist bekannt, es ist bekannt, dass ihre Flächen gleichseitige Dreiecke sind. Somit können wir sagen, dass alle Seiten aller Dreiecke auf der Seitenfläche gleich 17 cm sind. Um die Fläche eines dieser Dreiecke zu berechnen, müssen Sie daher die Formel anwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Es ist bekannt, dass an der Basis der Pyramide ein Quadrat liegt. Somit ist klar, dass es vier gegebene gleichseitige Dreiecke gibt. Dann wird die Fläche der Seitenfläche der Pyramide wie folgt berechnet:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Antwort: Die Mantelfläche der Pyramide beträgt 500,548 cm²

Berechnen wir zunächst die Fläche der Seitenfläche der Pyramide. Die Seitenfläche ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Wenn es sich um eine regelmäßige Pyramide handelt (d. h. eine Pyramide, die an ihrer Basis ein regelmäßiges Vieleck hat und deren Scheitelpunkt in die Mitte dieses Vielecks projiziert wird), reicht es zur Berechnung der gesamten Mantelfläche aus, den Umfang von zu multiplizieren die Basis (d. h. die Summe der Längen aller Seiten des Polygons, die an der Basispyramide liegen) durch die Höhe der Seitenfläche (auch Apothem genannt) und dividiere den resultierenden Wert durch 2: Sb = 1/2P* h, wobei Sb die Fläche der Seitenfläche ist, P der Umfang der Basis ist, h die Höhe der Seitenfläche (Apothem) ist.

Wenn Sie eine beliebige Pyramide vor sich haben, müssen Sie die Flächen aller Flächen einzeln berechnen und dann addieren. Da die Seitenflächen der Pyramide Dreiecke sind, verwenden Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks: S=1/2b*h, wobei b die Basis des Dreiecks und h die Höhe ist. Wenn die Flächen aller Flächen berechnet sind, müssen sie nur noch addiert werden, um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu erhalten.

Dann müssen Sie die Fläche der Basis der Pyramide berechnen. Die Wahl der Berechnungsformel hängt davon ab, welches Polygon an der Basis der Pyramide liegt: regelmäßig (also eines, bei dem alle Seiten gleich lang sind) oder unregelmäßig. Die Fläche eines regelmäßigen Polygons kann berechnet werden, indem man den Umfang mit dem Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon multipliziert und den resultierenden Wert durch 2 dividiert: Sn = 1/2P*r, wobei Sn die Fläche des Polygons ist Polygon, P ist der Umfang und r ist der Radius des eingeschriebenen Kreises im Polygon.

Ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder, der aus einer Pyramide besteht und deren Querschnitt parallel zur Grundfläche verläuft. Die Mantelfläche der Pyramide zu ermitteln ist überhaupt nicht schwierig. Es ist ganz einfach: Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Basen mal . Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche. Angenommen, wir erhalten eine regelmäßige Pyramide. Die Längen der Basis betragen b = 5 cm, c = 3 cm. Apothem a = 4 cm. Um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen Sie zunächst den Umfang der Basen ermitteln. Bei einer großen Basis beträgt sie p1=4b=4*5=20 cm. Bei einer kleineren Basis lautet die Formel wie folgt: p2=4c=4*3=12 cm. Daher ist die Fläche gleich : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Oberfläche der Pyramide. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen mit regelmäßigen Pyramiden befassen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine regelmäßige Pyramide eine Pyramide ist, deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, wobei die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Vielecks projiziert wird.

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck.Die Höhe dieses Dreiecks, das von der Spitze einer regelmäßigen Pyramide ausgeht, wird Apothem genannt, SF – Apothem:

Bei der unten dargestellten Problemart müssen Sie die Oberfläche der gesamten Pyramide oder die Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln. Der Blog hat bereits mehrere Probleme mit regelmäßigen Pyramiden besprochen, bei denen es um das Auffinden der Elemente (Höhe, Grundkante, Seitenkante) ging.

IN Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen In der Regel werden regelmäßige dreieckige, viereckige und sechseckige Pyramiden betrachtet. Ich habe keine Probleme mit regelmäßigen fünfeckigen und siebeneckigen Pyramiden gesehen.

Die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche ist einfach: Sie müssen die Summe der Fläche der Basis der Pyramide und der Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln:

Betrachten wir die Aufgaben:

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide betragen 72, die Seitenkanten betragen 164. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

Die Oberfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche und der Grundfläche:

*Die Mantelfläche besteht aus vier flächengleichen Dreiecken. Die Basis der Pyramide ist ein Quadrat.

Wir können die Seitenfläche der Pyramide berechnen mit:

Somit beträgt die Oberfläche der Pyramide:

Antwort: 28224

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 22, die Seitenkanten sind gleich 61. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Die Grundfläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Mantelfläche dieser Pyramide besteht aus sechs Flächen gleicher Dreiecke mit den Seiten 61,61 und 22:

Lassen Sie uns die Fläche des Dreiecks mithilfe der Heron-Formel ermitteln:

Somit beträgt die Mantelfläche:

Antwort: 3240

*Bei den oben dargestellten Problemen könnte die Fläche der Seitenfläche mit einer anderen Dreiecksformel ermittelt werden, dafür müssen Sie jedoch das Apothem berechnen.

27155. Finden Sie die Oberfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, deren Grundseiten 6 und deren Höhe 4 beträgt.

Um die Oberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Fläche der Basis und die Fläche der Mantelfläche kennen:

Die Fläche der Grundfläche beträgt 36, da es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 handelt.

Die Seitenfläche besteht aus vier Flächen, die sind gleiche Dreiecke. Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie dessen Basis und Höhe (Apothem) kennen:

*Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Grundfläche und der zu dieser Grundfläche gezogenen Höhe.

Die Basis ist bekannt, sie ist gleich sechs. Finden wir die Höhe. Lassen Sie uns überlegen rechtwinkliges Dreieck(es ist gelb hervorgehoben):

Ein Bein ist gleich 4, da dies die Höhe der Pyramide ist, das andere ist gleich 3, da es der halben Kante der Basis entspricht. Wir können die Hypotenuse mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:

Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

Somit beträgt die Oberfläche der gesamten Pyramide:

Antwort: 96

27069. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

27070. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Es gibt auch Formeln für die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide. IN richtige Pyramide Die Basis ist eine orthogonale Projektion der Seitenfläche, daher:

P- Basisumfang, l- Apothem der Pyramide

*Diese Formel basiert auf der Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Wenn Sie mehr darüber erfahren möchten, wie diese Formeln abgeleitet werden, sollten Sie sich die Veröffentlichung von Artikeln nicht entgehen lassen.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Welche Figur nennen wir eine Pyramide? Erstens ist es ein Polyeder. Zweitens befindet sich an der Basis dieses Polyeders ein beliebiges Polygon, und die Seiten der Pyramide (Seitenflächen) haben notwendigerweise die Form von Dreiecken, die an einem gemeinsamen Scheitelpunkt zusammenlaufen. Nachdem wir den Begriff verstanden haben, wollen wir nun herausfinden, wie man die Oberfläche der Pyramide ermittelt.

Es ist klar, dass die Oberfläche so groß ist geometrischer Körper setzt sich aus der Summe der Grundflächen und ihrer gesamten Seitenfläche zusammen.

Berechnung der Grundfläche einer Pyramide

Die Wahl der Berechnungsformel hängt von der Form des Polygons ab, das unserer Pyramide zugrunde liegt. Es kann regelmäßig, also mit gleich langen Seiten, oder unregelmäßig sein. Betrachten wir beide Optionen.

Die Basis ist ein regelmäßiges Vieleck

Aus Schulkurs bekannt:

• die Fläche des Quadrats entspricht der Länge seiner quadratischen Seite;
• Quadrat gleichseitiges Dreieck gleich dem Quadrat seiner Seite dividiert durch 4 und multipliziert mit Quadratwurzel von drei.

Aber es gibt auch allgemeine Formel, um die Fläche eines beliebigen regelmäßigen Polygons (Sn) zu berechnen: Sie müssen den Umfang dieses Polygons (P) mit dem Radius des darin eingeschriebenen Kreises (r) multiplizieren und dann das Ergebnis durch zwei teilen: Sn= 1/2P*r.

An der Basis befindet sich ein unregelmäßiges Polygon

Das Schema zum Ermitteln seiner Fläche besteht darin, zunächst das gesamte Polygon in Dreiecke zu unterteilen und die Fläche jedes einzelnen Dreiecks mit der Formel zu berechnen: 1/2a*h (wobei a die Basis des Dreiecks und h die abgesenkte Höhe ist dieser Basis), addieren Sie alle Ergebnisse.

Seitenfläche der Pyramide

Berechnen wir nun die Fläche der Seitenfläche der Pyramide, d.h. die Summe der Flächen aller seiner Seiten. Auch hier gibt es 2 Möglichkeiten.

1. Lassen Sie uns eine beliebige Pyramide haben, d.h. eines mit einem unregelmäßigen Polygon an der Basis. Dann sollten Sie die Fläche jeder Fläche separat berechnen und die Ergebnisse addieren. Da die Seiten einer Pyramide per Definition nur Dreiecke sein können, erfolgt die Berechnung nach der oben genannten Formel: S=1/2a*h.
2. Lassen Sie unsere Pyramide korrekt sein, d.h. An seiner Basis liegt ein regelmäßiges Vieleck, in dessen Mitte sich die Projektion der Spitze der Pyramide befindet. Um dann die Fläche der Seitenfläche (Sb) zu berechnen, reicht es aus, das halbe Produkt aus dem Umfang des Basispolygons (P) und der Höhe (h) der Seitenfläche (für alle Flächen gleich) zu ermitteln ): Sb = 1/2 P*h. Der Umfang eines Polygons wird durch Addition der Längen aller seiner Seiten bestimmt.

Die Gesamtoberfläche einer regelmäßigen Pyramide ergibt sich aus der Summe der Grundfläche mit der Fläche der gesamten Seitenfläche.

Beispiele

Lassen Sie uns zum Beispiel die Oberflächen mehrerer Pyramiden algebraisch berechnen.

Oberfläche einer dreieckigen Pyramide

An der Basis einer solchen Pyramide befindet sich ein Dreieck. Mit der Formel So=1/2a*h ermitteln wir die Fläche der Basis. Wir verwenden dieselbe Formel, um die Fläche jeder Seite der Pyramide zu ermitteln, die ebenfalls eine dreieckige Form hat, und erhalten 3 Flächen: S1, S2 und S3. Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ist die Summe aller Flächen: Sb = S1+ S2+ S3. Wenn wir die Flächen der Seiten und der Basis addieren, erhalten wir volle Fläche Oberfläche der gewünschten Pyramide: Sp= So+ Sb.

Oberfläche einer viereckigen Pyramide

Die Fläche der Seitenfläche ist die Summe von 4 Termen: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, die jeweils nach der Formel für die Fläche eines Dreiecks berechnet werden. Und je nach Form des Vierecks – regelmäßig oder unregelmäßig – muss nach der Fläche der Basis gesucht werden. Die Gesamtoberfläche der Pyramide ergibt sich wiederum aus der Addition der Grundfläche und der Gesamtoberfläche der gegebenen Pyramide.

Dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Basis ein regelmäßiges Dreieck ist.

Bei einer solchen Pyramide sind die Kanten der Basis und die Kanten der Seiten einander gleich. Dementsprechend ergibt sich die Fläche der Seitenflächen aus der Summe der Flächen dreier identischer Dreiecke. Mit der Formel können Sie die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide ermitteln. Und Sie können die Berechnung um ein Vielfaches beschleunigen. Dazu müssen Sie die Formel für die Mantelfläche anwenden Dreieckige Pyramide:

wobei p der Umfang der Basis ist, deren alle Seiten gleich b sind, a das von oben auf diese Basis abgesenkte Apothem. Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche einer dreieckigen Pyramide.

Problem: Gegeben sei eine regelmäßige Pyramide. Die Seitenlänge des Dreiecks an der Basis beträgt b = 4 cm. Das Apothem der Pyramide beträgt a = 7 cm. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Da wir je nach Problemstellung die Längen aller notwendigen Elemente kennen, ermitteln wir den Umfang. Wir erinnern uns, dass in einem regelmäßigen Dreieck alle Seiten gleich sind und der Umfang daher nach der Formel berechnet wird:

Ersetzen wir die Daten und ermitteln den Wert:

Wenn wir nun den Umfang kennen, können wir die Mantelfläche berechnen:

Um die Formel für die Fläche einer dreieckigen Pyramide anzuwenden und den Gesamtwert zu berechnen, müssen Sie die Fläche der Basis des Polyeders ermitteln. Verwenden Sie dazu die Formel:

Die Formel für die Grundfläche einer dreieckigen Pyramide kann unterschiedlich sein. Es ist möglich, jede beliebige Parameterberechnung für eine bestimmte Zahl zu verwenden, in den meisten Fällen ist dies jedoch nicht erforderlich. Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Grundfläche einer dreieckigen Pyramide.

Problem: Bei einer regelmäßigen Pyramide beträgt die Seitenlänge des Dreiecks an der Basis a = 6 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis.
Zur Berechnung benötigen wir lediglich die Länge der Seite des regelmäßigen Dreiecks, das sich an der Basis der Pyramide befindet. Ersetzen wir die Daten in der Formel:

Sehr oft muss man die Gesamtfläche eines Polyeders ermitteln. Dazu müssen Sie die Fläche der Seitenfläche und der Basis addieren.

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche einer dreieckigen Pyramide.

Problem: Gegeben sei eine regelmäßige dreieckige Pyramide. Die Grundseite beträgt b = 4 cm, das Apothem beträgt a = 6 cm. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.
Ermitteln wir zunächst die Fläche der Seitenfläche mit der bereits bekannten Formel. Berechnen wir den Umfang:

Setzen Sie die Daten in die Formel ein:
Lassen Sie uns nun die Fläche der Basis ermitteln:
Wenn wir die Fläche der Basis und der Seitenfläche kennen, ermitteln wir die Gesamtfläche der Pyramide:

Bei der Berechnung der Fläche einer regelmäßigen Pyramide darf man nicht vergessen, dass die Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist und viele Elemente dieses Polyeders einander gleich sind.

ist eine vielschichtige Figur, deren Basis ein Polygon ist und deren übrige Flächen durch Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt dargestellt werden.

Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, heißt die Pyramide viereckig, wenn ein Dreieck – dann dreieckig. Die Höhe der Pyramide wird von ihrer Spitze senkrecht zur Basis gezeichnet. Wird auch zur Flächenberechnung verwendet Apothema– die Höhe der Seitenfläche, abgesenkt von ihrer Oberseite.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen ihrer Seitenflächen, die einander gleich sind. Diese Berechnungsmethode wird jedoch nur sehr selten angewendet. Grundsätzlich wird die Fläche der Pyramide durch den Umfang der Basis und des Apothems berechnet:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit der Basis ABCDE und der Spitze F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apothem a = 5 cm. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Finden wir den Umfang. Da alle Kanten der Basis gleich sind, ist der Umfang des Fünfecks gleich:
Jetzt können Sie die Seitenfläche der Pyramide ermitteln:

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide besteht aus einer Basis, in der ein regelmäßiges Dreieck liegt, und drei Seitenflächen gleicher Fläche.
Die Formel für die Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide kann auf unterschiedliche Weise berechnet werden. Sie können die übliche Berechnungsformel mit Umfang und Apothem anwenden oder die Fläche einer Fläche ermitteln und mit drei multiplizieren. Da die Fläche einer Pyramide ein Dreieck ist, wenden wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks an. Es werden ein Apothem und die Länge der Basis benötigt. Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit Apothem a = 4 cm und Grundfläche b = 2 cm. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Ermitteln Sie zunächst die Fläche einer der Seitenflächen. In diesem Fall wird es sein:
Setzen Sie die Werte in die Formel ein:
Da bei einer regelmäßigen Pyramide alle Seiten gleich sind, ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide gleich der Summe der Flächen der drei Flächen. Jeweils:

Fläche eines Pyramidenstumpfes

Gekürzt Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Pyramide besteht und deren Querschnitt parallel zur Grundfläche verläuft.
Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist sehr einfach. Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und des Apothems: