Erhöhen eines Bruchs in eine gebrochene Potenz. Einen algebraischen Bruch potenzieren. Die einfachsten Beispiele für die Potenz algebraischer Brüche

Es ist Zeit, sich kennenzulernen Konstruktion algebraischer Bruch bis zum Grad. Diese Aktion mit algebraischen Brüchen im Gradsinn wird auf Multiplikation reduziert wie Brüche. In diesem Artikel geben wir die entsprechende Regel an und schauen uns Beispiele für die Bildung algebraischer Brüche an natürlicher Grad.

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Die Regel zum Potenzieren eines algebraischen Bruchs, sein Beweis

Bevor wir über die Potenzierung eines algebraischen Bruchs sprechen, kann es nicht schaden, sich daran zu erinnern, wie das Produkt identischer Faktoren an der Basis der Potenz aussieht und wie viele dieser Faktoren durch den Exponenten bestimmt werden. Zum Beispiel 2 3 =2·2·2=8.

Erinnern wir uns nun an die Potenzierungsregel gemeinsamer Bruch– Dazu müssen Sie den Zähler separat auf die angegebene Potenz erhöhen und separat – den Nenner. Z.B, . Diese Regel gilt für die Potenzierung eines algebraischen Bruchs in eine natürliche Potenz.

Erhöhen eines algebraischen Bruchs in eine natürliche Potenz ergibt einen neuen Bruch, dessen Zähler den angegebenen Grad des Zählers des ursprünglichen Bruchs und dessen Nenner den Grad des Nenners enthält. In wörtlicher Form entspricht diese Regel der Gleichheit, wobei a und b beliebige Polynome (in bestimmten Fällen Monome oder Zahlen) sind und b ein Polynom ungleich Null ist und n ist.

Der Beweis der angegebenen Regel zur Potenzierung eines algebraischen Bruchs basiert auf der Definition einer Potenz mit einem natürlichen Exponenten und darauf, wie wir die Multiplikation algebraischer Brüche definiert haben: .

Beispiele, Lösungen

Die im vorherigen Absatz erhaltene Regel reduziert die Potenzierung eines algebraischen Bruchs auf die Potenzierung von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs. Und da Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs Polynome (in einem bestimmten Fall Monome oder Zahlen) sind, besteht die ursprüngliche Aufgabe darin, Polynome zu potenzieren. Nach Durchführung dieser Aktion wird ein neuer algebraischer Bruch erhalten, der identisch dem angegebenen Grad des ursprünglichen algebraischen Bruchs entspricht.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Quadrieren Sie einen algebraischen Bruch.

Lösung.

Schreiben wir den Abschluss auf. Nun wenden wir uns der Regel zur Potenzierung eines algebraischen Bruchs zu, sie liefert uns die Gleichheit . Es bleibt noch, den resultierenden Bruch durch Potenzierung der Monome in die Form eines algebraischen Bruchs umzuwandeln. Also .

Normalerweise wird bei der Potenzierung eines algebraischen Bruchs die Lösung nicht erklärt, sondern die Lösung kurz aufgeschrieben. Unser Beispiel entspricht dem Eintrag .

Antwort:

Wenn der Zähler und/oder Nenner eines algebraischen Bruchs Polynome, insbesondere Binome, enthält, empfiehlt es sich, bei der Potenzierung die entsprechenden abgekürzten Multiplikationsformeln zu verwenden.

Beispiel.

Konstruieren Sie einen algebraischen Bruch bis zum zweiten Grad.

Lösung.

Gemäß der Regel zur Potenzierung eines Bruchs gilt: .

Um den resultierenden Ausdruck in den Zähler umzuwandeln, verwenden wir Quadratische Differenzformel, und im Nenner - die Formel für das Quadrat der Summe dreier Terme:

Antwort:

Zusammenfassend stellen wir fest, dass das Ergebnis auch ein irreduzibler Bruch ist, wenn wir einen irreduziblen algebraischen Bruch auf eine natürliche Potenz erhöhen. Wenn der ursprüngliche Bruch reduzierbar ist, empfiehlt es sich, vor der Potenzierung eine Reduktion des algebraischen Bruchs durchzuführen, um die Reduktion nicht nach der Potenzierung durchzuführen.

Referenzliste.

Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

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Ein Bruch ist das Verhältnis des Zählers zum Nenner, und der Nenner darf nicht gleich Null sein, und der Zähler kann alles sein.

Wenn wir einen Bruch beliebig potenzieren, müssen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs separat potenzieren, anschließend müssen wir diese Potenzen zählen und so den potenzierten Bruch erhalten.

Zum Beispiel:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Negativer Abschluss

Wenn wir es mit einem negativen Grad zu tun haben, müssen wir zuerst „den Bruch umkehren“ und ihn erst dann gemäß der oben beschriebenen Regel auf einen Grad erhöhen.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Briefabschluss

Bei der Arbeit mit Literalwerten wie „x“ und „y“ folgt die Potenzierung der gleichen Regel wie zuvor.

Wir können uns auch selbst testen, indem wir den Bruch ½ auf die 3. Potenz erhöhen, wodurch wir ½ * ½ * ½ = 1/8 erhalten, was im Wesentlichen dasselbe ist wie

(1/2)^3 = 1/8.

Literale Potenzierung x^y

Brüche mit Potenzen multiplizieren und dividieren

Wenn wir Potenzen mit denselben Basen multiplizieren, bleibt die Basis selbst gleich und wir addieren die Exponenten. Wenn wir Grade mit denselben Basen dividieren, bleibt auch die Basis des Grades gleich und die Exponenten der Grade werden subtrahiert.

Das lässt sich ganz einfach an einem Beispiel zeigen:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Wir könnten das Gleiche erreichen, wenn wir einfach den Nenner und den Zähler getrennt jeweils mit 3 und 4 potenzieren würden.

Einen Bruch mit einer Potenz zu einer anderen Potenz erhöhen

Wenn wir einen Bruch, der bereits potenziert wurde, erneut potenzieren, müssen wir zuerst die interne Potenzierung durchführen und dann mit dem äußeren Teil der Potenzierung fortfahren. Mit anderen Worten: Wir können diese Potenzen einfach multiplizieren und den Bruch auf die resultierende Potenz erhöhen.

Zum Beispiel:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Auf eins erhöht, Quadratwurzel

Wir dürfen auch nicht vergessen, dass die Potenzierung eines absolut beliebigen Bruchs mit Null uns 1 ergibt, genau wie bei jeder anderen Zahl auch, wenn wir mit Null potenziert werden, erhalten wir 1.

Normal Quadratwurzel kann auch als Potenz eines Bruchs dargestellt werden

Quadratwurzel 3 = 3^(1/2)

Wenn es sich um die Quadratwurzel handelt, unter der der Bruch steht, dann können wir uns diesen Bruch vorstellen, in dessen Zähler eine Quadratwurzel 2. Grades steht (da es sich um eine Quadratwurzel handelt).

Und der Nenner wird auch die Quadratwurzel enthalten, d.h. Mit anderen Worten, wir werden die Beziehung zwischen zwei Wurzeln sehen. Dies kann zur Lösung einiger Probleme und Beispiele nützlich sein.

Wenn wir den Bruch, der unter der Quadratwurzel liegt, in die zweite Potenz erhöhen, erhalten wir denselben Bruch.

Das Produkt zweier Brüche unter derselben Potenz ist gleich dem Produkt dieser beiden Brüche, von denen jeder einzeln unter seiner eigenen Potenz steht.

Denken Sie daran: Sie können nicht durch Null dividieren!

Vergessen Sie auch nicht einen sehr wichtigen Hinweis für einen Bruch: Der Nenner sollte nicht gleich Null sein. In Zukunft werden wir in vielen Gleichungen diese Einschränkung namens ODZ – Bereich zulässiger Werte – verwenden

Beim Vergleich zweier Brüche mit derselben Basis, aber verschiedene Grade, desto größer wird der Bruch sein, dessen Grad größer ist, und desto kleiner wird derjenige sein, dessen Grad kleiner ist; wenn nicht nur die Basen, sondern auch die Grade gleich sind, wird der Bruch als gleich angesehen.

Beispiele:

zum Beispiel: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Die Lektion befasst sich mit einer allgemeineren Version der Multiplikation von Brüchen – der Potenzierung. Zunächst werden wir über natürliche Potenzen von Brüchen und Beispiele sprechen, die ähnliche Operationen mit Brüchen demonstrieren. Zu Beginn der Lektion werden wir auch die Erhöhung ganzer Ausdrücke auf natürliche Potenzen besprechen und sehen, wie dies für die Lösung weiterer Beispiele nützlich sein wird.

Thema: Algebraische Brüche. Rechenoperationenüber algebraische Brüche

Lektion: Einen algebraischen Bruch potenzieren

1. Regeln für die Potenzierung von Brüchen und ganzen Ausdrücken mit einfachen Beispielen

Die Regel zum Erhöhen gewöhnlicher und algebraischer Brüche in eine natürliche Potenz:

Sie können eine Analogie zum Grad eines gesamten Ausdrucks ziehen und sich daran erinnern, was mit der Potenzierung gemeint ist:

Beispiel 1. .

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, ist die Potenzierung eines Bruchs besonderer Fall Brüche multiplizieren, was in der vorherigen Lektion gelernt wurde.

Beispiel 2. a) , b) - Das Minus verschwindet, weil wir den Ausdruck auf eine gleichmäßige Potenz erhöht haben.

Um die Arbeit mit Abschlüssen zu erleichtern, erinnern wir uns an die Grundregeln für die Anhebung auf einen natürlichen Grad:

- Potenzprodukt;

- Einteilung der Abschlüsse;

Einen Abschluss zu einem Abschluss erheben;

Grad des Produkts.

Beispiel 3. – das kennen wir aus dem Thema „Potenzierung ganzer Ausdrücke“, bis auf einen Fall: Es existiert nicht.

2. Die einfachsten Beispiele für die Potenz algebraischer Brüche

Beispiel 4. Potenzieren Sie einen Bruch.

Lösung. Bei einer geraden Potenz verschwindet das Minus:

Beispiel 5. Potenzieren Sie einen Bruch.

Lösung. Jetzt verwenden wir die Regeln für die Potenzierung eines Grades sofort ohne separaten Zeitplan:

Schauen wir uns nun kombinierte Probleme an, bei denen wir Brüche potenzieren, multiplizieren und dividieren müssen.

Beispiel 6. Aktionen ausführen.

Lösung. . Als nächstes müssen Sie eine Reduzierung vornehmen. Lassen Sie uns einmal im Detail beschreiben, wie wir das machen werden, und dann werden wir das Ergebnis gleich in Analogie angeben: . Ebenso (oder nach der Regel der Gewaltenteilung). Wir haben: .

Beispiel 7. Aktionen ausführen.

Lösung. . Die Reduzierung erfolgte analog zum zuvor diskutierten Beispiel.

Beispiel 8. Aktionen ausführen.

Lösung. . In diesem Beispiel haben wir den Prozess der Potenzreduzierung in Brüchen noch einmal genauer beschrieben, um diese Methode zu festigen.

3. Komplexere Beispiele für die Potenzierung algebraischer Brüche in natürliche Potenzen (unter Berücksichtigung von Vorzeichen und mit Termen in Klammern)

Beispiel 9: Aktionen ausführen .

Lösung. In diesem Beispiel überspringen wir bereits die separate Multiplikation von Brüchen und wenden sofort die Regel an, um sie zu multiplizieren und auf einen Nenner zu schreiben. Dabei folgen wir den Zeichen – in diesem Fall werden die Brüche auf erhöht gerade Grade, sodass die Nachteile verschwinden. Am Ende führen wir die Reduktion durch.

Beispiel 10: Aktionen ausführen .

Lösung. In diesem Beispiel gibt es eine Division von Brüchen; denken Sie daran, dass in diesem Fall der erste Bruch mit dem zweiten multipliziert wird, jedoch invertiert.

Ein Bruch ist das Verhältnis des Zählers zum Nenner, und der Nenner darf nicht gleich Null sein, und der Zähler kann alles sein.

Zum Beispiel:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 2^3 / 3^3

Negativer Abschluss

Wenn wir es mit einem negativen Grad zu tun haben, müssen wir zuerst „den Bruch umkehren“ und ihn erst dann gemäß der oben beschriebenen Regel auf einen Grad erhöhen.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Briefabschluss

Bei der Arbeit mit Literalwerten wie „x“ und „y“ folgt die Potenzierung der gleichen Regel wie zuvor.

Wir können uns auch selbst testen, indem wir den Bruch ½ auf die 3. Potenz erhöhen, wodurch wir ½ * ½ * ½ = 1/8 erhalten, was im Wesentlichen dasselbe ist wie

Literale Potenzierung x^y

Brüche mit Potenzen multiplizieren und dividieren

Das lässt sich ganz einfach an einem Beispiel zeigen:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Wir könnten das Gleiche erreichen, wenn wir einfach den Nenner und den Zähler getrennt jeweils mit 3 und 4 potenzieren würden.

Einen Bruch mit einer Potenz zu einer anderen Potenz erhöhen

Zum Beispiel:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Auf eins erhöht, Quadratwurzel

Die gewöhnliche Quadratwurzel kann auch als Potenz eines Bruchs ausgedrückt werden

Quadratwurzel 3 = 3^(1/2)

Wenn wir den Bruch, der unter der Quadratwurzel liegt, in die zweite Potenz erhöhen, erhalten wir denselben Bruch.

Das Produkt zweier Brüche unter derselben Potenz ist gleich dem Produkt dieser beiden Brüche, von denen jeder einzeln unter seiner eigenen Potenz steht.

Denken Sie daran: Sie können nicht durch Null dividieren!

Wenn man zwei Brüche mit derselben Basis, aber unterschiedlichen Potenzen vergleicht, ist der größere der Bruch, dessen Potenz größer ist, und der kleinere derjenige mit der kleineren Potenz; wenn nicht nur die Basen, sondern auch die Potenzen gleich sind, der Bruch gilt als gleich.

Manchmal muss man in der Mathematik eine Zahl potenzieren, die einen Bruch darstellt. In unserem Artikel erfahren Sie, wie Sie eine Zahl in eine gebrochene Potenz steigern, und Sie werden sehen, dass es sehr einfach ist.

Eine Zahl zu einer gebrochenen Potenz ist sehr selten eine ganze Zahl. Oft kann das Ergebnis einer solchen Konstruktion mit einem gewissen Grad an Genauigkeit dargestellt werden. Wenn also die Genauigkeit der Berechnung nicht angegeben ist, werden diejenigen Werte gefunden, die mit einer Genauigkeit von bis zu ganzen Zahlen berechnet werden, und solche, die dies haben große Menge Nachkommastellen werden mit Wurzeln belassen. Zum Beispiel die Kubikwurzel aus sieben oder die Quadratwurzel aus zwei. In der Physik werden die berechneten Werte dieser Wurzeln auf Hundertstel gerundet, wenn kein anderer Genauigkeitsgrad erforderlich ist.

Lösungsalgorithmus

Umwandeln eines gebrochenen Indikators in einen falschen oder Richtiger Bruch. Teil unechter Bruch, eine Ganzzahl, ist nicht hervorzuheben. Wenn eine Bruchpotenz als ganze Zahl und Bruchteil dargestellt wird, muss sie in einen unechten Bruch umgewandelt werden
Berechnen Sie den Wert des Abschlusses angegebene Nummer, was dem Zähler eines echten oder unechten Bruchs entspricht
Wir berechnen die Wurzel der in Schritt 2 erhaltenen Zahl, deren Indikator der Nenner unseres Bruchs ist

Lassen Sie uns Beispiele für solche Berechnungen geben

Für diese Berechnungen können Sie auch einen Rechner auf Ihren Computer herunterladen oder Online-Rechner nutzen, von denen es beispielsweise im Internet viele gibt.