كثيرون، عندما يواجهون مفهوم "نظرية الاحتمالية"، يشعرون بالخوف، معتقدين أنها شيء ساحق ومعقد للغاية. لكن كل شيء في الواقع ليس مأساويًا جدًا. سننظر اليوم إلى المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات ونتعلم كيفية حل المشكلات باستخدام أمثلة محددة.

العلم

ماذا يدرس فرع الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالية"؟ وتلاحظ الأنماط والكميات. أصبح العلماء مهتمين بهذه القضية لأول مرة في القرن الثامن عشر، عندما درسوا المقامرة. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو الحدث. إنها أي حقيقة يتم إثباتها بالتجربة أو الملاحظة. ولكن ما هي الخبرة؟ مفهوم أساسي آخر لنظرية الاحتمالات. وهذا يعني أن هذه المجموعة من الظروف لم يتم إنشاؤها عن طريق الصدفة، ولكن لغرض محدد. أما بالنسبة للملاحظة، فهنا لا يشارك الباحث نفسه في التجربة، بل هو مجرد شاهد على هذه الأحداث، ولا يؤثر على ما يحدث بأي شكل من الأشكال.

الأحداث

لقد تعلمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو الحدث، لكننا لم نأخذ التصنيف بعين الاعتبار. كلهم مقسمون إلى الفئات التالية:

• موثوق.
• مستحيل.
• عشوائي.

وبغض النظر عن نوع الأحداث التي تمت ملاحظتها أو خلقها أثناء التجربة، فهي جميعها تخضع لهذا التصنيف. وندعوك للتعرف على كل نوع على حدة.

حدث موثوق

وهذا هو الظرف الذي تم من أجله اتخاذ مجموعة التدابير اللازمة. من أجل فهم الجوهر بشكل أفضل، فمن الأفضل أن نعطي بعض الأمثلة. وتخضع لهذا القانون الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا. تتضمن نظرية الاحتمالية مفهومًا مهمًا كحدث موثوق. وهنا بعض الأمثلة:

• نحن نعمل ونحصل على تعويض على شكل أجور.
• لقد اجتزنا الامتحانات جيدًا واجتزنا المنافسة ولهذا حصلنا على مكافأة في شكل قبول في مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرنا الأموال في البنك، وإذا لزم الأمر، سنستردها.

مثل هذه الأحداث موثوقة. إذا استوفينا جميع الشروط اللازمة، فسنحصل بالتأكيد على النتيجة المتوقعة.

أحداث مستحيلة

الآن نحن ندرس عناصر نظرية الاحتمالات. نقترح الانتقال إلى شرح النوع التالي من الحدث، وهو المستحيل. أولاً، دعونا نحدد القاعدة الأكثر أهمية - احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

لا يمكن للمرء أن ينحرف عن هذه الصيغة عند حل المشكلات. وللتوضيح، إليك أمثلة على مثل هذه الأحداث:

• تجمد الماء عند درجة حرارة زائد عشرة (وهذا مستحيل).
• لا يؤثر نقص الكهرباء على الإنتاج بأي شكل من الأشكال (تمامًا كما هو الحال في المثال السابق).

لا يستحق إعطاء المزيد من الأمثلة، لأن تلك الموصوفة أعلاه تعكس بوضوح جوهر هذه الفئة. لن يحدث حدث مستحيل أبدًا أثناء التجربة تحت أي ظرف من الظروف.

الأحداث العشوائية

عند دراسة العناصر، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لهذا النوع من الأحداث. وهذا ما يدرسه العلم. ونتيجة للتجربة، قد يحدث شيء ما وقد لا يحدث. وبالإضافة إلى ذلك، يمكن إجراء الاختبار لعدد غير محدود من المرات. تشمل الأمثلة الحية ما يلي:

• إن رمي العملة تجربة أو اختبار، وهبوط الرؤوس هو حدث.
• إن سحب كرة من الحقيبة بشكل أعمى هو اختبار، والحصول على كرة حمراء هو حدث، وهكذا.

قد يكون هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة، ولكن بشكل عام، يجب أن يكون الجوهر واضحا. لتلخيص وتنظيم المعرفة المكتسبة حول الأحداث، يتم توفير جدول. تدرس نظرية الاحتمالية فقط النوع الأخير من كل ما تم تقديمه.

القوانين

نظرية الاحتمالية هي العلم الذي يدرس إمكانية وقوع حدث ما. مثل الآخرين، لديها بعض القواعد. توجد قوانين نظرية الاحتمالات التالية:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأعداد الكبيرة.

عند حساب احتمال حدوث شيء معقد، يمكنك استخدام مجموعة من الأحداث البسيطة لتحقيق نتيجة بطريقة أسهل وأسرع. لاحظ أنه يمكن إثبات قوانين نظرية الاحتمالات بسهولة باستخدام نظريات معينة. نقترح عليك التعرف أولاً على القانون الأول.

تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

لاحظ أن هناك عدة أنواع من التقارب:

• تسلسل المتغيرات العشوائية يتقارب في الاحتمال.
• يكاد يكون مستحيلا.
• متوسط ​​التقارب المربع.
• تقارب التوزيع.

لذلك، من الصعب جدًا فهم الجوهر على الفور. فيما يلي تعريفات ستساعدك على فهم هذا الموضوع. لنبدأ بالعرض الأول. يسمى التسلسل متقاربة في الاحتمال، إذا تحقق الشرط التالي: n يميل إلى ما لا نهاية، فإن العدد الذي يميل إليه التسلسل أكبر من الصفر وقريب من الواحد.

دعنا ننتقل إلى العرض التالي، بكل تأكيد. ويقال أن التسلسل يتقارب بكل تأكيدإلى متغير عشوائي حيث n تميل إلى اللانهاية و P تميل إلى قيمة قريبة من الوحدة.

النوع التالي هو متوسط ​​التقارب المربع. عند استخدام تقارب SC، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية المتجهة إلى دراسة عملياتها العشوائية الإحداثية.

ويبقى النوع الأخير، لننظر إليه بإيجاز حتى ننتقل مباشرة إلى حل المشكلات. التقارب في التوزيع له اسم آخر - "ضعيف" وسنشرح السبب لاحقًا. التقارب ضعيفهو تقارب دوال التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع المحددة.

سنفي بوعدنا بالتأكيد: التقارب الضعيف يختلف عن كل ما سبق في أن المتغير العشوائي غير محدد في فضاء الاحتمال. وهذا ممكن لأن الشرط يتم تشكيله حصريًا باستخدام وظائف التوزيع.

قانون الأعداد الكبيرة

نظريات نظرية الاحتمالات، مثل:

• عدم المساواة في تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف المعممة.
• نظرية ماركوف.

إذا نظرنا في كل هذه النظريات، فيمكن تأجيل هذا السؤال لعدة عشرات من الأوراق. مهمتنا الرئيسية هي تطبيق نظرية الاحتمالات في الممارسة العملية. نقترح عليك القيام بذلك الآن. ولكن قبل ذلك، دعونا نلقي نظرة على بديهيات نظرية الاحتمالات، فهي ستكون المساعدين الرئيسيين في حل المشاكل.

البديهيات

لقد التقينا بالفعل بالأول عندما تحدثنا عن حدث مستحيل. لنتذكر: احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. لقد قدمنا ​​​​مثالًا حيًا لا يُنسى: تساقط الثلج عند درجة حرارة هواء تبلغ ثلاثين درجة مئوية.

والثاني هو كما يلي: حدث موثوق يقع باحتمال يساوي واحدًا. سنبين الآن كيفية كتابة ذلك باستخدام اللغة الرياضية: P(B)=1.

ثالثاً: حدث عشوائي قد يحدث أو لا يحدث، ولكن الاحتمال دائماً يتراوح من صفر إلى واحد. كلما اقتربت القيمة من الواحد، زادت الفرص؛ وإذا اقتربت القيمة من الصفر، يكون الاحتمال منخفضًا جدًا. لنكتب هذا باللغة الرياضية: 0<Р(С)<1.

لنفكر في البديهية الرابعة والأخيرة، والتي تبدو كالتالي: احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالاتهما. نكتبها باللغة الرياضية: P(A+B)=P(A)+P(B).

إن بديهيات نظرية الاحتمالات هي أبسط القواعد التي ليس من الصعب تذكرها. دعونا نحاول حل بعض المشكلات بناءً على المعرفة التي اكتسبناها بالفعل.

بطاقة اليانصيب

أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة من أجل الحظ السعيد. ما هو احتمال أن تربح ما لا يقل عن عشرين روبل؟ في المجموع، تشارك في التداول ألف تذكرة، واحدة منها لها جائزة قدرها خمسمائة روبل، وعشرة منها لها مائة روبل لكل منها، وخمسون لها جائزة عشرين روبل، ومائة لها جائزة خمسة. تعتمد مسائل الاحتمالية على إيجاد إمكانية الحظ. الآن سنقوم معًا بتحليل حل المهمة المذكورة أعلاه.

إذا استخدمنا الحرف A للإشارة إلى الفوز بخمسمائة روبل، فإن احتمال الحصول على A سيكون 0.001. كيف حصلنا على هذا؟ كل ما عليك فعله هو تقسيم عدد التذاكر "المحظوظة" على العدد الإجمالي لها (في هذه الحالة: 1/1000).

B هو الفوز بمائة روبل، والاحتمال سيكون 0.01. والآن نعمل على نفس المبدأ كما في الإجراء السابق (10/1000)

ج - المكاسب عشرين روبلاً. نجد الاحتمال، وهو يساوي 0.05.

نحن لسنا مهتمين بالتذاكر المتبقية، لأن مجموع جوائزها أقل من المبلغ المحدد في الشرط. دعونا نطبق البديهية الرابعة: احتمال الفوز بعشرين روبل على الأقل هو P(A)+P(B)+P(C). يشير الحرف P إلى احتمالية وقوع حدث معين، وقد سبق أن وجدناها في الإجراءات السابقة. كل ما تبقى هو إضافة البيانات الضرورية، والإجابة التي نحصل عليها هي 0.061. سيكون هذا الرقم هو الجواب على سؤال المهمة.

بطاقة سطح السفينة

يمكن أن تكون المشكلات في نظرية الاحتمالات أكثر تعقيدًا؛ على سبيل المثال، لنأخذ المهمة التالية. أمامك مجموعة من ستة وثلاثين بطاقة. مهمتك هي سحب ورقتين متتاليتين دون خلط المكدس، ويجب أن تكون البطاقة الأولى والثانية آصًا، ولا يهم النوع.

أولاً، دعونا نوجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى عبارة عن آس، ولهذا نقسم أربعة على ستة وثلاثين. وضعوه جانبا. نحن نخرج البطاقة الثانية، وسوف يكون الآس مع احتمال ثلاثة وثلاثين خمسة. يعتمد احتمال الحدث الثاني على البطاقة التي سحبناها أولاً، ونتساءل عما إذا كانت آسًا أم لا. ويترتب على ذلك أن الحدث B يعتمد على الحدث A.

الخطوة التالية هي إيجاد احتمالية الحدوث المتزامن، أي أننا نضرب A وB. ويتم العثور على حاصل ضربهما على النحو التالي: نضرب احتمالية حدث ما في الاحتمالية الشرطية لحدث آخر، والذي نحسبه، على افتراض أن الأول حدث ما، أي أننا قمنا برسم الآس بالبطاقة الأولى.

لتوضيح كل شيء، دعونا نعطي تسمية لعنصر مثل الأحداث. ويتم حسابه على افتراض وقوع الحدث A. ويتم حسابه على النحو التالي: P(B/A).

لنواصل حل مسألتنا: P(A * B) = P(A) * P(B/A) أو P(A * B) = P(B) * P(A/B). الاحتمال يساوي (4/36) * ((3/35)/(4/36). نحسب بالتقريب لأقرب جزء من مائة. لدينا: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0، 82 = 0.09 احتمال أن نسحب آصين متتاليين هو تسعمائة، القيمة صغيرة جدًا، ويترتب على ذلك أن احتمال وقوع الحدث صغير للغاية.

الرقم المنسي

نقترح تحليل العديد من المتغيرات الأخرى للمهام التي تمت دراستها بواسطة نظرية الاحتمالات. لقد شاهدت بالفعل أمثلة على حل بعضها في هذا المقال، فلنحاول حل المشكلة التالية: نسي الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه، ولكن بما أن المكالمة كانت مهمة للغاية، فقد بدأ في طلب كل شيء واحدًا تلو الآخر . نحن بحاجة إلى حساب احتمال أنه لن يتصل أكثر من ثلاث مرات. يكون حل المشكلة أبسط إذا كانت قواعد وقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات معروفة.

قبل أن تنظر إلى الحل، حاول حله بنفسك. نحن نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من صفر إلى تسعة، أي عشر قيم إجمالاً. احتمال الحصول على الصحيح هو 1/10.

بعد ذلك، نحتاج إلى النظر في الخيارات المتعلقة بأصل الحدث، لنفترض أن الصبي خمن بشكل صحيح وقام على الفور بكتابة الحدث الصحيح، واحتمال مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: النداء الأول أخطأ، والثاني على الهدف. دعونا نحسب احتمالية حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 1/9، ونتيجة لذلك نحصل أيضًا على 1/10. الخيار الثالث: كانت المكالمات الأولى والثانية على العنوان الخطأ، فقط مع الثالث وصل الصبي إلى المكان الذي يريده. نحسب احتمالية وقوع مثل هذا الحدث: 9/10 مضروبًا في 8/9 و1/8، مما يؤدي إلى 1/10. نحن لسنا مهتمين بخيارات أخرى وفقا لظروف المشكلة، لذلك علينا فقط جمع النتائج التي تم الحصول عليها، في النهاية لدينا 3/10. الجواب: احتمال أن لا يتصل الصبي أكثر من ثلاث مرات هو 0.3.

بطاقات بالأرقام

أمامك تسع بطاقات، مكتوب على كل منها رقم من واحد إلى تسعة، الأرقام غير متكررة. تم وضعها في صندوق وخلطها جيدًا. تحتاج إلى حساب احتمال ذلك

• سيظهر رقم زوجي.
• رقمين.

قبل الانتقال إلى الحل، لنشترط أن m هو عدد الحالات الناجحة، وn هو العدد الإجمالي للخيارات. دعونا نجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا. لن يكون من الصعب حساب أن هناك أربعة أرقام زوجية، سيكون هذا هو m، وهناك تسعة خيارات محتملة في المجمل، أي m=9. ثم الاحتمال هو 0.44 أو 4/9.

لنفكر في الحالة الثانية: عدد الخيارات هو تسعة، ولا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق، أي أن m يساوي صفرًا. واحتمال أن تحتوي البطاقة المسحوبة على عدد مكون من رقمين هو أيضًا صفر.

يُظهر الاحتمال إمكانية وقوع حدث معين بعدد معين من التكرارات. هو عدد النتائج المحتملة التي لها نتيجة واحدة أو أكثر مقسومة على إجمالي عدد الأحداث المحتملة. يتم حساب احتمالية الأحداث المتعددة عن طريق تقسيم المشكلة إلى احتمالات فردية ثم ضرب هذه الاحتمالات.

خطوات

احتمال وقوع حدث عشوائي واحد

1. حدد حدثًا له نتائج حصرية متبادلة.لا يمكن حساب الاحتمال إلا في حالة وقوع الحدث المعني أو عدم حدوثه. من المستحيل الحصول على حدث ونتيجته المعاكسة في نفس الوقت. ومن أمثلة هذه الأحداث رمي الرقم 5 على النرد أو الفوز بحصان معين في السباق. خمسة إما أن يأتي أو لا؛ إما أن يأتي حصان معين أولاً أم لا.

   • على سبيل المثال، من المستحيل حساب احتمالية حدوث مثل هذا الحدث: برمي نرد واحد، سيظهر الرقمان 5 و6 في نفس الوقت.

2. تحديد جميع الأحداث والنتائج المحتملة التي يمكن أن تحدث.لنفترض أنك بحاجة إلى تحديد احتمال أنه عند رمي لعبة نرد مكونة من 6 أرقام، ستحصل على الرقم ثلاثة. "رمي ثلاثة" هو حدث، وبما أننا نعلم أنه يمكن ظهور أي من الأرقام الستة، فإن عدد النتائج المحتملة هو ستة. ومن ثم، فإننا نعلم أنه في هذه الحالة هناك 6 نتائج محتملة وحدث واحد، نريد تحديد احتماليته. وفيما يلي مثالين آخرين.

   • مثال 1. وفي هذه الحالة، يكون الحدث هو "اختيار يوم يقع في عطلة نهاية الأسبوع"، وعدد النتائج المحتملة يساوي عدد أيام الأسبوع، أي سبعة.
   • مثال 2. الحدث هو "سحب كرة حمراء"، وعدد النتائج المحتملة يساوي إجمالي عدد الكرات، أي عشرين.

3. قسمة عدد الأحداث على عدد النتائج المحتملة.بهذه الطريقة ستحدد احتمالية وقوع حدث واحد. إذا اعتبرنا حالة رمي حجر النرد كرقم 3، فإن عدد الأحداث هو 1 (الرقم 3 موجود على جانب واحد فقط من حجر النرد) والعدد الإجمالي للنتائج هو 6. والنتيجة هي نسبة 1/6، 0.166 أي 16.6%. يمكن العثور على احتمال وقوع حدث في المثالين أعلاه كما يلي:

   • مثال 1. ما هو احتمال أن تختار عشوائيًا يومًا يقع في عطلة نهاية الأسبوع؟عدد الأحداث هو 2، حيث أن هناك يومين إجازة في أسبوع واحد، والعدد الإجمالي للنتائج هو 7. وبالتالي، فإن الاحتمال هو 2/7. يمكن أيضًا كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها على أنها 0.285 أو 28.5%.
   • مثال 2. يحتوي الصندوق على 4 كرات زرقاء و5 حمراء و11 كرة بيضاء. إذا أخرجت كرة عشوائية من الصندوق، ما احتمال أن تكون حمراء؟عدد الأحداث هو 5، حيث يوجد 5 كرات حمراء في الصندوق، والعدد الإجمالي للنتائج هو 20. نجد الاحتمال: 5/20 = 1/4. يمكن أيضًا كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها على أنها 0.25 أو 25%.

4. اجمع احتمالات جميع الأحداث المحتملة وانظر ما إذا كان المجموع 1.يجب أن يكون الاحتمال الإجمالي لجميع الأحداث المحتملة 1 أو 100%. إذا لم تحصل على 100%، فمن المرجح أنك ارتكبت خطأً وفقدت حدثًا محتملاً أو أكثر. تحقق من حساباتك وتأكد من أنك قد أخذت في الاعتبار جميع النتائج المحتملة.

   • على سبيل المثال، احتمال الحصول على 3 عند رمي النرد هو 1/6. وفي هذه الحالة، فإن احتمال سقوط أي رقم آخر من الخمسة المتبقية يساوي أيضًا 1/6. ونتيجة لذلك، نحصل على 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6، أي 100٪.
   • على سبيل المثال، إذا نسيت الرقم 4 الموجود على حجر النرد، فإن جمع الاحتمالات سيعطيك 5/6 فقط، أو 83%، وهو ما لا يساوي واحدًا ويشير إلى خطأ.

5. عبر عن احتمال النتيجة المستحيلة بـ 0.هذا يعني أن الحدث المحدد لا يمكن أن يحدث واحتماله هو 0. وبهذه الطريقة يمكنك حساب الأحداث المستحيلة.

   • على سبيل المثال، إذا كنت تريد حساب احتمالية أن يصادف عيد الفصح يوم الاثنين في عام 2020، فستحصل على 0 لأن عيد الفصح يتم الاحتفال به دائمًا يوم الأحد.

   احتمال عدة أحداث عشوائية

   1. عند النظر في الأحداث المستقلة، احسب كل احتمال على حدة.بمجرد تحديد احتمالات الأحداث، يمكن حسابها بشكل منفصل. لنفترض أننا نريد معرفة احتمال رمي حجر النرد مرتين متتاليتين والحصول على الرقم 5. نحن نعلم أن احتمال الحصول على الرقم 5 هو 1/6، واحتمال الحصول على الرقم 5 الثاني هو أيضًا 1/6. النتيجة الأولى لا علاقة لها بالثانية.

      • يتم استدعاء عدة لفات من الخمسات أحداث مستقلةلأن ما يحدث في المرة الأولى لا يؤثر على الحدث الثاني.

   2. ضع في اعتبارك تأثير النتائج السابقة عند حساب احتمالية الأحداث التابعة.إذا كان الحدث الأول يؤثر على احتمالية النتيجة الثانية، فإننا نتحدث عن حساب الاحتمال الأحداث التابعة. على سبيل المثال، إذا قمت بتحديد ورقتين من مجموعة مكونة من 52 بطاقة، فبعد سحب البطاقة الأولى، يتغير تكوين المجموعة، مما يؤثر على اختيار البطاقة الثانية. لحساب احتمالية الحدث الثاني من حدثين تابعين، تحتاج إلى طرح 1 من عدد النتائج المحتملة عند حساب احتمالية الحدث الثاني.

      • مثال 1. خذ بعين الاعتبار الحدث التالي: يتم سحب ورقتين بشكل عشوائي من المجموعة، واحدة تلو الأخرى. ما هو احتمال أن تكون كلا البطاقتين من الأندية؟احتمال أن تكون البطاقة الأولى من نوع النادي هو 13/52، أو 1/4، نظرًا لوجود 13 بطاقة من نفس النوع في المجموعة.
        • بعد ذلك، احتمال أن تكون البطاقة الثانية هي بدلة النادي هو 12/51، نظرًا لأن بطاقة النادي الواحدة لم تعد موجودة. وذلك لأن الحدث الأول يؤثر على الثاني. إذا قمت بسحب النوادي الثلاثة ولم تقم بإعادتها، فسيكون هناك بطاقة واحدة أقل في المجموعة (51 بدلاً من 52).
      • مثال 2. يوجد في الصندوق 4 كرات زرقاء و5 حمراء و11 كرة بيضاء. إذا سحبنا ثلاث كرات عشوائيًا، فما احتمال أن تكون الأولى حمراء، والثانية زرقاء، والثالثة بيضاء؟
        • احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء هو 5/20، أو 1/4. احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء هو 4/19، نظرًا لوجود كرة واحدة أقل في الصندوق، ولكن لا يزال 4 أزرقكرة. وأخيرًا، احتمال أن تكون الكرة الثالثة بيضاء هو 11/18 بما أننا قد سحبنا كرتين بالفعل.

   3. اضرب احتمالات كل حدث على حدة.بغض النظر عما إذا كنت تتعامل مع أحداث مستقلة أو تابعة، أو عدد النتائج (يمكن أن يكون هناك 2، 3، أو حتى 10)، يمكنك حساب الاحتمال الإجمالي عن طريق ضرب احتمالات جميع الأحداث المعنية في بعضها البعض. ونتيجة لذلك، سوف تحصل على احتمال عدة أحداث، ما يلي واحد تلو الآخر. على سبيل المثال، المهمة هي أوجد احتمال أنه عند رمي حجر النرد مرتين متتاليتين ستحصل على الرقم 5. وهذان حدثان مستقلان، احتمال كل منهما هو 1/6. وبالتالي فإن احتمال كلا الحدثين هو 1/6 × 1/6 = 1/36، أي 0.027 أو 2.7%.

      • مثال 1. يتم سحب ورقتين من المجموعة بشكل عشوائي، واحدة تلو الأخرى. ما هو احتمال أن تكون كلا البطاقتين من الأندية؟احتمال الحدث الأول هو 13/52. احتمال الحدث الثاني هو 12/51. نجد الاحتمال الإجمالي: 13/52 × 12/51 = 12/204 = 1/17، أي 0.058 أو 5.8%.
      • مثال 2. يحتوي الصندوق على 4 كرات زرقاء و5 حمراء و11 كرة بيضاء. إذا سحبنا ثلاث كرات عشوائيًا من صندوق واحدة تلو الأخرى، فما احتمال أن تكون الأولى حمراء، والثانية زرقاء، والثالثة بيضاء؟احتمال الحدث الأول هو 5/20. احتمال الحدث الثاني هو 4/19. احتمال الحدث الثالث هو 11/18. لذا فإن الاحتمال الإجمالي هو 5/20 × 4/19 × 11/18 = 44/1368 = 0.032، أو 3.2%.

فيما يلي القواعد الأساسية لتحديد احتمال وقوع حدث معقد بناءً على الاحتمالات المعروفة للأحداث الأبسط المكونة له.

1. احتمالية وقوع حدث معينيساوي واحد:

2. احتمال مجموعة (مجموع) الأحداث غير المتوافقةيساوي مجموع احتمالاتها:

هاتان المتساويتان هما بديهيات نظرية الاحتمالات، أي أنه يتم قبولهما كخصائص احتمالية أولية، ولكنها تتطلب إثباتًا. نظرية الاحتمالية بأكملها مبنية على أساسها.

جميع الصيغ الأخرى الواردة أدناه بدون دليل يمكن استخلاصها من البديهيات المقبولة.

3. احتمال وقوع حدث مستحيليساوي الصفر:

4. احتمال الحدث المعاكسالحدث A يساوي

(4.5)

تبين أن الصيغة (4.5) مفيدة عمليًا في الحالات التي يتم فيها حساب احتمالية الحدث نفسه أصعب، في حين أنه من السهل العثور على احتمال الحدث المعاكس (انظر الفقرة أدناه). 9 ).

5. نظرية إضافة الاحتمال. احتمال الجمع بين الأحداث العشوائية يساوي مجموع احتمالاتها مطروحًا منه احتمال الجمع بين الأحداث:

بالنسبة للأحداث والأحداث غير المتوافقة، تتحول الصيغة (4.6) إلى (4.3).

6. احتمال مشروط.إذا كنت تريد العثور على احتمال وقوع حدث ما فيبشرط وقوع حدث آخر أ، فإن مثل هذا الموقف يتميز باستخدام الاحتمال الشرطي. الاحتمال الشرطي يساوي نسبة احتمال وقوع الأحداث أو فيإلى احتمال وقوع حدث ما أ:

(4.7)

في الحالات التي الأحداث أو فيغير متوافق، وبالتالي.

7. إن تعريف الاحتمال الشرطي بالشكل (4.7) يجعل من الممكن كتابة الصيغة التالية لحساب احتمال وقوع الأحداث (نظرية الضرب الاحتمالية)

8. منذ احتمال وقوع حدث أ(أو في) بالنسبة للأحداث المستقلة، بحكم التعريف، لا تتغير عند وقوع حدث آخر، فإن الاحتمال الشرطي يتطابق مع احتمال الحدث أ، والاحتمال الشرطي هو مع ف (ب). الاحتمالات ف (أ)و ف(ب) على عكس الاحتمالات المشروطة تسمى غير مشروطة.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلةمكتوب على النحو التالي:

أي أن احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالاتها.

9. دعونا نحسب احتمالية وقوع حدث واحد على الأقل في عدد n من التجارب

أ– الظهور في نالاختبارات على الأقلمرة واحدة في هذا الحدث الذي يهمنا.

- الحدث الذي يهمنا لم يظهر فيه نالاختبارات أبداً.

أ 1- الحدث الذي يهمنا ظهر في الإختبار الأول.

أ 2- الحدث الذي يهمنا ظهر في الاختبار الثاني.

أن – الحدث الذي نهتم به ظهر فيه ن-الاختبار.

10. صيغة الاحتمال الإجمالي.

إذا كان الحدث أيمكن أن يحدث فقط عند حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة ن 1 ، ن 2 ، …، ن ن، الذي - التي

مثال 4.3

تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و20 حمراء و10 كرات سوداء لا تختلف في الحجم. يتم خلط الكرات جيدًا ثم يتم إخراج كرة واحدة بشكل عشوائي. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء أو سوداء؟

حل.دع الحدث أ- ظهور كرة بيضاء أو سوداء. دعونا نقسم هذا الحدث إلى أحداث أبسط. يترك في 1- ظهور كرة بيضاء، و في 2 – أسود . ثم، أ = ب 1 +ب 2 ف(أ)=ف(ب 1 +ب 2 ) . لأن في 1 و في 2 أحداث غير متوافقة، إذن وفقًا لنظرية احتمالية مجموع الأحداث غير المتوافقة (الصيغة 4.3) ف(ب 1 +ب 2 ) = ف(ب 1 )+ف(ب 2 ) .

دعونا نحسب احتمالات الأحداث في 1 و في 2 . في هذا المثال، هناك 35 نتيجة محتملة متساوية (لا تختلف الكرات في الحجم) للتجربة، الحدث في 1 (ظهور الكرة البيضاء) يفضله 5 منهم لذلك . على نفس المنوال،. لذلك، .

مثال 4.4

ويجري البحث عن اثنين من المجرمين. ويمكن اكتشاف كل منهما، بشكل مستقل عن الآخر، خلال 24 ساعة باحتمال 0.5. ما هو احتمال اكتشاف مجرم واحد على الأقل خلال اليوم؟

حل.دع الحدث أ- "تم اكتشاف مجرم واحد على الأقل". دعونا نقسم هذا الحدث إلى أحداث أبسط. يترك في 1 في 2 – تم اكتشاف المجرم الثاني . ثم، أ = ب 1 +ب 2 من خلال تحديد مجموع الأحداث. لذلك ف(أ)=ف(ب 1 +ب 2 ) . لأن في 1 و في 2 هي أحداث مشتركة، إذن وفقًا لنظرية احتمالية مجموع الأحداث (الصيغة 4.6)

ف(ب 1 +ب 2 ) = ف(ب 1 )+ف(ب 2 )-ف(ب 1 في 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

يمكنك أيضًا الحل من خلال الحدث العكسي: .

مثال 4.5 أ)

المجرم لديه 3 مفاتيح. في الظلام، يفتح الباب باختيار مفتاح عشوائيًا. يقضي 5 ثوان لفتح كل باب. أوجد احتمال أن يفتح جميع الأبواب خلال ١٥ ثانية.

حل.دع الحدث أ- "كل الأبواب مفتوحة." دعونا نقسم هذا الحدث إلى أحداث أبسط. يترك في- "الأول مفتوح"، مع- "الثاني مفتوح"، و د- "الثالث مفتوح." ثم، أ = بي سي دي ف(أ)=ف(BCD). بواسطة نظرية احتمالية حاصل ضرب الأحداث المستقلة (الصيغة 4.10) Р(ВСD) = Р(В)Р(C) Р(د).

دعونا نحسب احتمالات الأحداث ب، جو د. في هذا المثال، هناك 3 نتائج محتملة بالتساوي (نختار كل مفتاح من 3) نتائج للتجربة. كل واحد من الأحداث ب، جو ديفضل 1 منهم، لذلك ..

مثال 4.5 ب)

دعونا نغير المشكلة: نفترض أن المجرم شخص ناسي. دع المجرم يفتح الباب ويترك المفتاح فيه. ما هو احتمال أن يفتح جميع الأبواب خلال 15 ثانية؟

حل.حدث أ- "كل الأبواب مفتوحة." مرة أخرى، أ = بي سي ديحسب تعريف نتاج الأحداث. لذلك ف(أ)=ف(BCD). لكن الأحداث الآن ب، جو د- متكل. وفقًا لنظرية احتمالية حاصل ضرب الأحداث التابعة Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

لنحسب الاحتمالات: ،(لم يتبق سوى مفتاحين وواحد منهما مناسب!) ، وبالتالي، .

مثال 4.6

ويجري البحث عن اثنين من المجرمين. ويمكن اكتشاف كل منهما، بشكل مستقل عن الآخر، خلال 24 ساعة باحتمال 0.5. وبعد القبض على أحدهما، بسبب زيادة عدد الموظفين المشاركين في البحث، يزداد احتمال العثور على الثاني إلى 0.7. ما هو احتمال اكتشاف كلا المجرمين خلال 24 ساعة؟

حل.دع الحدث أ- "تم اكتشاف مجرمين اثنين". دعونا نقسم هذا الحدث إلى أحداث أبسط. يترك في 1 - تم اكتشاف المجرم الأول، و في 2 – يتم اكتشاف المجرم الثاني بعد القبض على الأول. ثم، أ = ب 1 في 2 حسب تعريف نتاج الأحداث. لذلك ف(أ)=ف(ب 1 في 2 ) . لأن في 1 و في 2 أحداث تابعة، وفقًا لنظرية احتمالية حاصل ضرب الأحداث التابعة (الصيغة 4.8) ف(ب 1 في 2 ) = ف(ب 1 )ف(ب 2 /في 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

مثال 4.7

أوجد احتمال ظهور شعار النبالة مرة واحدة على الأقل عند رمي قطعة نقود 10 مرات.

حل.دع الحدث أ- "سوف يسقط شعار النبالة على الأقل 1 مرة". تأمل الحدث المعاكس: – «شعار النبالة لن يسقط أبداً" من الواضح أن الحدث العكسي أسهل في تقسيمه إلى أحداث أبسط من الحدث الأصلي. يترك أ 1 – لم يسقط شعار النبالة في الرمية الأولى، أ 2 - شعار النبالة لم يسقط في الرمية الثانية... أ 10 - لم يسقط شعار النبالة في الرمية العاشرة. كل الأحداث أ 1 …أ 10 مستقلة، لذلك، (الصيغة 4.11)

مثال 4.8

تشارك مجموعتان من القناصة في عملية تحرير الرهائن: 10 أشخاص ببندقية OP21 و20 شخصًا ببندقية AKM47. احتمالية الهزيمة من OP21 هي 0.85، وAKM47 هي 0.65. أوجد احتمال إصابة المجرم برصاصة واحدة من قناص عشوائي.

حل.دع الحدث أ- "ضرب المجرم". دعونا نقسم هذا الحدث إلى أحداث أبسط. يمكن إصابة المجرم إما بـ OP21 أو AKM47. احتمال أن يكون القناص العشوائي مسلحًا بـ OP21 (event ن 1 ) يساوي 10/30. احتمال أن يكون قناص عشوائي مسلحًا بـ AKM47 (الحدث ن 2 ) يساوي 20/30.

احتمال إصابة المجرم هو (الصيغة 4.12)

في مثل هذه المسائل، من المفيد رسم شجرة لجميع النتائج المحتملة (مع الإشارة إلى احتمالات كل نتيجة).

عندما يتم رمي قطعة نقود، يمكننا القول إنها ستستقر على الصورة، أو احتمالا هذا هو 1/2. وبطبيعة الحال، هذا لا يعني أنه إذا تم رمي قطعة نقود 10 مرات، فإنها بالضرورة ستهبط على الصورة 5 مرات. إذا كانت العملة "عادلة" وإذا تم رميها عدة مرات، فستهبط الصورة قريبة جدًا في نصف المرات. وبالتالي فإن هناك نوعين من الاحتمالات: تجريبي و نظري .

الاحتمال التجريبي والنظري

إذا قمنا بقلب عملة معدنية عددًا كبيرًا من المرات - على سبيل المثال 1000 مرة - وأحصينا عدد المرات التي سقطت فيها على الصورة، فيمكننا تحديد احتمالية سقوطها على الصورة. إذا تم رمي الرؤوس 503 مرات، فيمكننا حساب احتمال سقوطها:
503/1000 أو 0.503.

هذا تجريبي تعريف الاحتمال. يأتي تعريف الاحتمال هذا من مراقبة البيانات ودراستها وهو شائع جدًا ومفيد جدًا. وإليكم على سبيل المثال بعض الاحتمالات التي تم تحديدها تجريبيا:

1. احتمالية إصابة المرأة بسرطان الثدي هي 1/11.

2. إذا قبلت شخصًا مصابًا بنزلة برد، فإن احتمال إصابتك بنزلة برد أيضًا هو 0.07.

3. الشخص الذي تم إطلاق سراحه للتو من السجن لديه فرصة 80٪ للعودة إلى السجن.

إذا أخذنا في الاعتبار رمي عملة معدنية وأخذنا في الاعتبار أنه من المحتمل أن تظهر الصورة أو الكتابة، فيمكننا حساب احتمال الحصول على الصورة: 1/2، وهذا تعريف نظري للاحتمال. فيما يلي بعض الاحتمالات الأخرى التي تم تحديدها نظريًا باستخدام الرياضيات:

1. إذا كان هناك 30 شخصًا في غرفة، فإن احتمال أن يكون لاثنين منهم نفس تاريخ الميلاد (باستثناء السنة) هو 0.706.

2. خلال الرحلة تلتقي بشخص ما، وأثناء الحديث تكتشف أن لديك صديق مشترك. رد الفعل النموذجي: "هذا لا يمكن أن يكون!" في الواقع، هذه العبارة غير مناسبة، لأن احتمال حدوث مثل هذا الحدث مرتفع جدًا - ما يزيد قليلاً عن 22٪.

وبالتالي، يتم تحديد الاحتمالات التجريبية من خلال الملاحظة وجمع البيانات. يتم تحديد الاحتمالات النظرية من خلال التفكير الرياضي. إن أمثلة الاحتمالات التجريبية والنظرية، مثل تلك التي تمت مناقشتها أعلاه، وخاصة تلك التي لا نتوقعها، تقودنا إلى أهمية دراسة الاحتمالات. قد تسأل: "ما هو الاحتمال الحقيقي؟" في الواقع، لا يوجد شيء من هذا القبيل. يمكن تحديد الاحتمالات ضمن حدود معينة تجريبيا. وقد تتطابق أو لا تتطابق مع الاحتمالات التي نحصل عليها من الناحية النظرية. هناك مواقف يكون فيها تحديد نوع واحد من الاحتمالات أسهل بكثير من تحديد نوع آخر. على سبيل المثال، سيكون كافيًا العثور على احتمال الإصابة بنزلة برد باستخدام الاحتمال النظري.

حساب الاحتمالات التجريبية

دعونا نفكر أولاً في التعريف التجريبي للاحتمال. المبدأ الأساسي الذي نستخدمه لحساب هذه الاحتمالات هو كما يلي.

المبدأ P (تجريبي)

إذا حدث في تجربة تم فيها إجراء n من الملاحظات، حدوث موقف أو حدث E مرات m في n من الملاحظات، فيقال إن الاحتمال التجريبي للحدث هو P (E) = m/n.

مثال 1 المسح الاجتماعي. أجريت دراسة تجريبية لتحديد عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى، والأشخاص الذين يستخدمون اليد اليمنى، والأشخاص الذين تكون كلتا يديهم متساوية النمو، وتظهر النتائج في الرسم البياني.

أ) حدد احتمال أن يكون الشخص أيمن.

ب) حدد احتمال أن يكون الشخص أعسر.

ج) تحديد احتمال أن يكون الشخص يتقن كلتا يديه بشكل متساوٍ.

د) تقتصر معظم بطولات اتحاد البولينج الاحترافية على 120 لاعبًا. بناءً على بيانات هذه التجربة، كم عدد اللاعبين الذين يمكن أن يستخدموا اليد اليسرى؟

حل

أ) عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليمنى هو 82، وعدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى هو 17، وعدد الذين يتقنون كلتا اليدين بشكل متساوٍ هو 1. إجمالي عدد الملاحظات هو 100، وبالتالي فإن الاحتمال أن الشخص يستخدم يده اليمنى هو P
P = 82/100 أو 0.82 أو 82%.

ب) احتمال أن يكون الشخص أعسر هو P، حيث
P = 17/100 أو 0.17 أو 17%.

ج) احتمال أن يتقن الشخص كلتا يديه بالتساوي هو P، حيث
P = 1/100، أو 0.01، أو 1%.

د) 120 لاعبًا، ومن (ب) يمكننا أن نتوقع أن 17% منهم أعسر. من هنا
17% من 120 = 0.17.120 = 20.4،
أي أنه يمكننا أن نتوقع أن يكون حوالي 20 لاعبًا أعسرًا.

مثال 2 رقابة جودة . من المهم جدًا بالنسبة للشركة المصنعة أن تحافظ على جودة منتجاتها على مستوى عالٍ. في الواقع، تقوم الشركات بتعيين مفتشي مراقبة الجودة لضمان هذه العملية. الهدف هو إنتاج أقل عدد ممكن من المنتجات المعيبة. ولكن بما أن الشركة تنتج آلاف المنتجات يوميًا، فلا يمكنها تحمل تكاليف اختبار كل منتج لتحديد ما إذا كان به عيب أم لا. لمعرفة النسبة المئوية للمنتجات المعيبة، تقوم الشركة باختبار عدد أقل بكثير من المنتجات.
تتطلب وزارة الزراعة الأمريكية أن 80٪ من البذور التي يبيعها المزارعون يجب أن تنبت. لتحديد نوعية البذور التي تنتجها شركة زراعية، يتم زراعة 500 بذرة من تلك التي تم إنتاجها. وبعد ذلك تم حساب أن 417 بذرة قد نبتت.

أ) ما هو احتمال أن تنبت البذرة؟

ب) هل تفي البذور بالمعايير الحكومية؟

حلأ) نعلم أنه من أصل 500 بذرة زرعت، نبتت 417 بذرة. احتمال إنبات البذور P، و
P = 417/500 = 0.834 أو 83.4%.

ب) بما أن نسبة البذور النابتة تجاوزت 80% كما هو مطلوب، فإن البذور مطابقة للمعايير الحكومية.

مثال 3 تقييمات التلفزيون. وفقا للإحصاءات، هناك 105.500.000 أسرة لديها أجهزة تلفزيون في الولايات المتحدة. يتم جمع ومعالجة معلومات حول عرض البرامج كل أسبوع. في أسبوع واحد، تابعت 7,815,000 أسرة المسلسل الكوميدي الناجح "Everybody Loves Raymond" على شبكة CBS، واستمعت 8,302,000 أسرة إلى المسلسل الناجح "Law & Order" على شبكة NBC (المصدر: Nielsen Media Research). ما هو احتمال أن يتم ضبط تلفزيون إحدى الأسر على أغنية "Everybody Loves Raymond" خلال أسبوع معين؟ على أغنية "Law & Order"؟

حلاحتمال ضبط التلفزيون في منزل واحد على أغنية "Everybody Loves Raymond" هو P، و
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
فرصة ضبط تلفزيون الأسرة على Law & Order هي P و
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
وتسمى هذه النسب التقييمات.

الاحتمال النظري

لنفترض أننا نجري تجربة، مثل رمي عملة معدنية أو رمي السهام، أو سحب بطاقة من مجموعة أوراق اللعب، أو اختبار جودة المنتجات على خط التجميع. تسمى كل نتيجة محتملة لمثل هذه التجربة الخروج . تسمى مجموعة كل النواتج الممكنة مساحة النتيجة . حدث إنها مجموعة من النتائج، أي مجموعة فرعية من مساحة النتائج.

مثال 4 رمي السهام. لنفترض أنه في تجربة رمي السهام، أصاب السهم هدفًا. ابحث عن كل مما يلي:

ب) مساحة النتيجة

حل
أ) النتائج هي: الضرب باللون الأسود (B)، والضرب باللون الأحمر (R)، والضرب باللون الأبيض (B).

ب) مساحة النتائج هي (ضرب أسود، ضرب أحمر، ضرب أبيض)، والتي يمكن كتابتها ببساطة كـ (H، K، B).

مثال 5 رمي النرد. النرد عبارة عن مكعب له ستة جوانب، كل منها به من نقطة إلى ست نقاط.


لنفترض أننا نرمي حجر النرد. يجد
أ) النتائج
ب) مساحة النتيجة

حل
أ) النتائج: 1، 2، 3، 4، 5، 6.
ب) مساحة النتيجة (1، 2، 3، 4، 5، 6).

نشير إلى احتمال حدوث الحدث E كـ P(E). على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى "العملة المعدنية ستهبط على الرؤوس" بالرمز H. ثم يمثل P(H) احتمال هبوط العملة على الرؤوس. عندما يكون لجميع نتائج التجربة نفس احتمالية الحدوث، يقال إنها متساوية في الاحتمال. لرؤية الاختلافات بين الأحداث التي لها نفس القدر من الاحتمال والأحداث التي ليست كذلك، فكر في الهدف الموضح أدناه.

بالنسبة للهدف أ، تكون أحداث ضرب الأسود والأحمر والأبيض محتملة بنفس القدر، حيث أن القطاعات الأسود والأحمر والأبيض هي نفسها. ومع ذلك، بالنسبة للهدف B، فإن المناطق ذات هذه الألوان ليست هي نفسها، أي أن ضربها ليس محتملًا بنفس القدر.

المبدأ P (نظري)

إذا كان الحدث E يمكن أن يحدث بـ m طرق خارج n من النتائج المحتملة بنفس القدر من فضاء النتيجة S، إذن الاحتمال النظري الأحداث، P (E) هو
ف(ه) = م / ن.

مثال 6ما هو احتمال رمي حجر النرد للحصول على الرقم 3؟

حلهناك 6 نتائج محتملة متساوية على حجر النرد وهناك احتمال واحد فقط لرمي الرقم 3. إذن الاحتمال P سيكون P(3) = 1/6.

مثال 7ما هو احتمال ظهور رقم زوجي على حجر النرد؟

حلالحدث هو رمي عدد زوجي. يمكن أن يحدث هذا بثلاث طرق (إذا حصلت على 2 أو 4 أو 6). عدد النتائج المحتملة بالتساوي هو 6. ثم الاحتمال P (زوجي) = 3/6، أو 1/2.

سوف نستخدم عددًا من الأمثلة التي تشتمل على مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة. تتكون هذه المجموعة من البطاقات الموضحة في الشكل أدناه.

مثال 8ما هو احتمال سحب الآس من مجموعة أوراق تم خلطها جيدًا؟

حلهناك 52 نتيجة (عدد البطاقات الموجودة في المجموعة)، وهي متساوية في الاحتمال (إذا تم خلط المجموعة جيدًا)، وهناك 4 طرق لرسم الآس، لذا وفقًا لمبدأ P، فإن الاحتمال
P(رسم الآس) = 4/52، أو 1/13.

مثال 9لنفترض أننا اخترنا، دون النظر، كرة واحدة من كيس به 3 كرات حمراء و4 كرات خضراء. ما هو احتمال اختيار الكرة الحمراء؟

حلهناك 7 نتائج محتملة متساوية لسحب أي كرة، وبما أن عدد طرق سحب الكرة الحمراء هو 3، فإننا نحصل على
P(اختيار الكرة الحمراء) = 3/7.

العبارات التالية هي نتائج من المبدأ P.

خصائص الاحتمال

أ) إذا كان الحدث E لا يمكن أن يحدث، فإن P(E) = 0.
ب) إذا كان الحدث E مؤكد الحدوث فإن P(E) = 1.
ج) احتمال وقوع الحدث E هو رقم من 0 إلى 1: 0 ≥ P(E) ≥ 1.

على سبيل المثال، في عملية رمي العملة، يكون احتمال سقوط العملة على حافتها صفرًا. احتمال أن تكون العملة إما صورة أو كتابة هو احتمال 1.

مثال 10لنفترض أنه تم سحب بطاقتين من مجموعة مكونة من 52 بطاقة. ما هو احتمال أن يكون كلاهما قمتين؟

حلعدد طرق سحب ورقتين من مجموعة من 52 بطاقة تم خلطها جيدًا هو 52 C 2 . بما أن 13 من أصل 52 بطاقة هي بستوني، فإن عدد الطرق m لسحب بستونيتين هو 13 C 2 . ثم،
P(سحب قمتين) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

مثال 11لنفترض أنه تم اختيار 3 أشخاص عشوائيًا من مجموعة مكونة من 6 رجال و4 نساء. ما هو احتمال اختيار رجل وامرأتين؟

حلعدد طرق اختيار ثلاثة أشخاص من مجموعة مكونة من 10 أشخاص هو 10ج3. يمكن اختيار رجل واحد بـ 6 طرق C 1، ويمكن اختيار امرأتين بـ 4 طرق C 2. وفقًا للمبدأ الأساسي للعد، فإن عدد الطرق لاختيار رجل واحد وامرأتين هو 6 ج 1. 4 ج2 . إذن، احتمال اختيار رجل وامرأتين هو
ف = 6 ج 1 . 4 ج2 / 10 ج3 = 3/10.

مثال 12 رمي النرد. ما هو احتمال ظهور إجمالي 8 على حجري نرد؟

حلكل حجر نرد له 6 نتائج محتملة. يتم مضاعفة النتائج، مما يعني أن هناك 6.6 أو 36 طريقة محتملة يمكن من خلالها ظهور الأرقام الموجودة على حجري النرد. (من الأفضل أن تكون المكعبات مختلفة، لنقل أن أحدهما أحمر والآخر أزرق - وهذا سيساعد على تصور النتيجة.)

تظهر أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى 8 في الشكل أدناه. هناك 5 طرق ممكنة للحصول على مجموع يساوي 8، وبالتالي فإن الاحتمال هو 5/36.

جمع وضرب الاحتمالات. سوف تركز هذه المقالة على حل المشاكل في نظرية الاحتمالات. في السابق، قمنا بالفعل بتحليل بعض المهام البسيطة، لحلها، يكفي معرفة وفهم الصيغة (أنصحك بتكرارها).

هناك بعض المشاكل التي هي أكثر تعقيدا قليلا؛ لحلها تحتاج إلى معرفتها وفهمها: قاعدة جمع الاحتمالات، قاعدة مضاعفة الاحتمالات، مفاهيم الأحداث التابعة والمستقلة، الأحداث المعاكسة، الأحداث المتوافقة وغير المتوافقة. لا تخف من التعريفات، فالأمر بسيط)).في هذه المقالة سننظر في مثل هذه المهام فقط.

نظرية مهمة وبسيطة بعض الشيء:

غير متوافق إذا كان ظهور أحدهم ينفي ظهور الآخرين. وهذا يعني أنه يمكن أن يحدث حدث محدد أو آخر.

مثال كلاسيكي: عند رمي النرد، يمكن أن يظهر رقم واحد فقط، أو اثنان فقط، أو ثلاثة فقط، وما إلى ذلك. وكل واحد من هذه الأحداث يتعارض مع الآخر، ووقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر (في تجربة واحدة). الأمر نفسه ينطبق على العملة المعدنية، فعندما تظهر الصورة، فإن ذلك يلغي إمكانية ظهور الكتابة.

وهذا ينطبق أيضًا على المجموعات الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، هناك مصباحان للإضاءة مضاءان. كل واحد منهم قد يحترق أو لا يحترق بمرور الوقت. هناك خيارات:

1. الأول يحترق والثاني يحترق
2. فالأول يحترق والثاني لا يحترق
3. الأول لا يحترق والثاني يحترق
4. الأول لا يحترق والثاني يحترق.

كل هذه الخيارات الأربعة للأحداث غير متوافقة - فهي ببساطة لا يمكن أن تحدث معًا ولا يمكن لأي منها أن يحدث مع أي شخص آخر...

التعريف: تسمى الأحداث مشتركإذا كان ظهور أحدهما لا يمنع ظهور الآخر.

على سبيل المثال: سيتم أخذ الملكة من مجموعة الأوراق وسيتم أخذ بطاقة البستوني من مجموعة الأوراق. يتم النظر في حدثين. هذه الأحداث ليست متنافية - يمكنك رسم ملكة البستوني وبالتالي سيحدث كلا الحدثين.

حول مجموع الاحتمالات

يُطلق على مجموع الحدثين A وB اسم الحدث A+B، والذي يتكون من حقيقة وقوع الحدث A أو الحدث B، أو كليهما في نفس الوقت.

اذا كان هناك غير متوافقالحدثان A وB، فإن احتمال مجموع هذه الأحداث يساوي مجموع احتمالات الأحداث:

مثال النرد:

نحن رمي النرد. ما هو احتمال ظهور رقم أقل من أربعة؟

الأعداد الأقل من أربعة هي 1،2،3. نحن نعلم أن احتمال الحصول على واحد هو 1/6، واثنين هو 1/6، وثلاثة هو 1/6. هذه أحداث غير متوافقة. يمكننا تطبيق قاعدة الجمع. احتمال ظهور رقم أقل من أربعة هو:

في الواقع، إذا انطلقنا من مفهوم الاحتمال الكلاسيكي: فإن عدد النتائج المحتملة هو 6 (عدد جميع جوانب المكعب)، وعدد النتائج الإيجابية هو 3 (ظهور واحد أو اثنين أو ثلاثة). الاحتمال المطلوب هو 3 إلى 6 أو 3/6 = 0.5.

*احتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون الأخذ في الاعتبار حدوثهما المشترك: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

حول مضاعفة الاحتمالات

إذا حدث حدثان غير متوافقين A وB، فإن احتمالاتهما تساوي على التوالي P(A) وP(B). حاصل ضرب الحدثين A و B هو الحدث A B، والذي يتكون من حقيقة أن هذين الحدثين سيحدثان معًا، أي أن كلا من الحدث A والحدث B سيحدثان، واحتمال وقوع مثل هذا الحدث يساوي حاصل ضرب الحدثين A و B. احتمالات الحدثين A وB.تحسب بواسطة الصيغة:

كما لاحظت بالفعل، فإن الرابط المنطقي "AND" يعني الضرب.

مثال مع نفس القالب:نرمي النرد مرتين. ما هو احتمال المتداول ستين؟

احتمال الحصول على ستة في المرة الأولى هو 1/6. والمرة الثانية تساوي أيضًا 1/6. احتمال ظهور ستة في المرة الأولى وفي المرة الثانية يساوي حاصل ضرب الاحتمالات:

بعبارات بسيطة: عندما يقع حدث معين في تجربة واحدة، ثم يقع حدث آخر (أخرى)، فإن احتمال وقوعهما معًا يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث.

لقد قمنا بحل المسائل باستخدام النرد، ولكننا استخدمنا التفكير المنطقي فقط ولم نستخدم صيغة المنتج. في المهام الموضحة أدناه، لا يمكنك الاستغناء عن الصيغ، أو بالأحرى، سيكون من الأسهل والأسرع الحصول على النتيجة.

ومن الجدير بالذكر فارق بسيط آخر. عند التفكير في حل المشكلات، يتم استخدام مفهوم تزامن الأحداث. تحدث الأحداث بشكل متزامن - وهذا لا يعني أنها تحدث في ثانية واحدة (في وقت واحد). وهذا يعني أنها تحدث خلال فترة زمنية معينة (خلال اختبار واحد).

على سبيل المثال:

يحترق مصباحان في غضون عام (يمكن القول - في وقت واحد خلال عام)

يتعطل جهازان في غضون شهر (يمكن للمرء أن يقول في وقت واحد خلال شهر واحد)

يتم رمي النرد ثلاث مرات (تظهر النقاط في نفس الوقت، وهذا يعني في محاولة واحدة)

يطلق لاعب البياتليت خمس طلقات. الأحداث (الطلقات) تحدث خلال تجربة واحدة.

يعتبر الحدثان A وB مستقلين إذا كان احتمال أي منهما لا يعتمد على وقوع أو عدم وقوع الحدث الآخر.

دعونا نفكر في المهام:

مصنعان ينتجان زجاجًا متطابقًا للمصابيح الأمامية للسيارات. المصنع الأول ينتج 35% من هذه النظارات، والثاني 65%. المصنع الأول ينتج 4% من الزجاج المعيب والثاني 2%. أوجد احتمال أن يكون الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ من أحد المتاجر معيبًا.

المصنع الأول ينتج 0.35 منتج (زجاج). احتمال شراء زجاج معيب من المصنع الأول هو 0.04.

المصنع الثاني ينتج 0.65 كأس. احتمال شراء زجاج معيب من المصنع الثاني هو 0.02.

احتمال شراء الزجاج من المصنع الأول وتبين أنه معيب هو 0.35∙0.04 = 0.0140.

احتمال شراء الزجاج من المصنع الثاني وتبين أنه معيب هو 0.65∙0.02 = 0.0130.

شراء زجاج معيب من أحد المتاجر يعني أنه (الزجاج المعيب) تم شراؤه إما من المصنع الأول أو من المصنع الثاني. هذه أحداث غير متوافقة، أي أننا نجمع الاحتمالات الناتجة:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

الجواب: 0.027

إذا لعب الأستاذ الكبير A. باللون الأبيض، فإنه يفوز على الأستاذ الكبير B. باحتمال 0.62. إذا لعب A. باللون الأسود، فإن A. يفوز على B. باحتمال 0.2. يلعب Grandmasters A. وB. مباراتين، وفي اللعبة الثانية يغيرون لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين.

احتمالية الفوز في المباراتين الأولى والثانية لا تعتمد على بعضها البعض. يقال أن المعلم الكبير يجب أن يفوز في المرتين، أي أن يفوز في المرة الأولى وفي نفس الوقت يفوز في المرة الثانية. في الحالة التي يجب أن تحدث فيها أحداث مستقلة معًا، يتم ضرب احتمالات هذه الأحداث، أي يتم استخدام قاعدة الضرب.

احتمال حدوث هذه الأحداث سيكون مساوياً لـ 0.62∙0.2 = 0.124.

الجواب: 0.124

في امتحان الهندسة يحصل الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا سؤال دائرة منقوشة هو 0.3. احتمال أن يكون هذا سؤال متوازي الأضلاع هو 0.25. لا توجد أسئلة تتعلق في وقت واحد بهذين الموضوعين. أوجد احتمال أن يحصل الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الامتحان.

أي أنه من الضروري إيجاد احتمال أن يحصل الطالب على سؤال إما حول موضوع "الدائرة المنقوشة" أو حول موضوع "متوازي الأضلاع". في هذه الحالة، يتم تلخيص الاحتمالات، حيث أن هذه أحداث غير متوافقة وأي من هذه الأحداث يمكن أن يحدث: 0.3 + 0.25 = 0.55.

* الأحداث غير المتوافقة هي الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت.

الجواب: 0.55

يطلق لاعب البياتليت النار على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.9. أوجد احتمال أن يصيب لاعب البياتليت الأهداف في المرات الأربع الأولى ويخطئ في المرة الأخيرة. تقريب النتيجة إلى المئات.

بما أن رياضي البياتلي يصيب الهدف باحتمال 0.9، فإنه يخطئ باحتمال 1 – 0.9 = 0.1

*الخطأ والضرب هما حدثان لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد برصاصة واحدة؛ مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي 1.

نحن نتحدث عن وقوع عدة أحداث (مستقلة). إذا وقع حدث ما، وفي نفس الوقت وقع حدث آخر (لاحق) في نفس الوقت (اختبار)، فإن احتمالات هذه الأحداث تتضاعف.

احتمال حاصل ضرب الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالاتها.

وبالتالي، فإن احتمال وقوع الحدث "ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، أخطأ" هو 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561.

وبالتقريب إلى أقرب جزء من مائة، نحصل على 0.07

الجواب: 0.07

يوجد جهازين للدفع في المتجر. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.07، بغض النظر عن الجهاز الآخر. أوجد احتمالية تشغيل جهاز واحد على الأقل.

دعونا نجد احتمال أن يكون كلا الجهازين معيبين.

هذه الأحداث مستقلة، مما يعني أن الاحتمال سيكون مساوياً لمنتج احتمالات هذه الأحداث: 0.07∙0.07 = 0.0049.

وهذا يعني أن احتمال عمل الجهازين أو أحدهما سيكون 1 – 0.0049 = 0.9951.

*كلاهما يعملان وواحد منهما يعمل بكامل طاقته - يستوفي شرط "واحد على الأقل".

يمكن للمرء تقديم احتمالات جميع الأحداث (المستقلة) التي سيتم اختبارها:

1. "معيب-معيب" 0.07 ∙0.07 = 0.0049

2. "معيب-معيب" 0.93 ∙0.07 = 0.0651

3. "المعيب المعيب" 0.07 ∙ 0.93 = 0.0651

4. "معيب-معيب" 0.93 ∙ 0.93 = 0.8649

لتحديد احتمالية عمل جهاز واحد على الأقل، من الضروري إضافة احتمالات الأحداث المستقلة 2،3 و4: حدث موثوق يسمى الحدث المؤكد حدوثه نتيجة للتجربة. الحدث يسمى مستحيل،إذا لم يحدث ذلك نتيجة للتجربة.

على سبيل المثال، إذا تم سحب كرة واحدة عشوائيًا من صندوق يحتوي على كرات حمراء وخضراء فقط، فإن ظهور كرة بيضاء بين الكرات المسحوبة يعد حدثًا مستحيلًا. ويشكل ظهور اللون الأحمر وظهور الكرات الخضراء مجموعة كاملة من الأحداث.

تعريف:تسمى الأحداث ممكن على قدم المساواة ، ما لم يكن هناك سبب للاعتقاد بأن إحداهما أكثر احتمالا للظهور نتيجة للتجربة.

في المثال أعلاه، يكون ظهور الكرات الحمراء والخضراء حدثين متساويين في احتمالية حدوثهما إذا كان هناك نفس العدد من الكرات الحمراء والخضراء في الصندوق. إذا كان عدد الكرات الحمراء في الصندوق أكثر من الكرات الخضراء، فإن ظهور كرة خضراء يكون حدثًا أقل احتمالًا من ظهور كرة حمراء.

سنلقي نظرة على المزيد من المسائل التي يتم فيها استخدام مجموع وحاصل احتمالات الأحداث، لا تفوتها!

هذا كل شئ. أتمنى لك النجاح!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ماريا إيفانوفنا توبخ فاسيا:
- بيتروف، لماذا لم تكن في المدرسة أمس؟!
"لقد غسلت والدتي سروالي بالأمس."
- وماذا في ذلك؟
- ومررت بجوار المنزل ورأيت منزلك معلقًا. اعتقدت أنك لن تأتي.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.