كما تعلم، يمكن ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية باستخدام العلاقة "أقل من". لكن قواعد بناء نظرية بديهية تتطلب ألا يتم تعريف هذه العلاقة فحسب، بل يجب القيام بها أيضًا على أساس المفاهيم المحددة بالفعل في هذه النظرية. ويمكن القيام بذلك عن طريق تحديد العلاقة "أقل من" من خلال الجمع.

تعريف. الرقم أ أقل من الرقم ب (أ< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ب.

وفي ظل هذه الظروف يقال أيضا أن العدد بأكثر أوالكتابة ب > أ.

النظرية 12.لأي أعداد طبيعية أو بواحدة فقط من ثلاث علاقات تحمل: أ = ب، أ> ب, أ < ب.

نحذف إثبات هذه النظرية.. من هذه النظرية يترتب على ذلك أنه إذا

أ¹ ب،أيضاً أ< b, أو أ> ب،أولئك. العلاقة "الأقل" لها خاصية الترابط.

النظرية 13.لو أ< b و ب< с. الذي - التي أ< с.

دليل. تعبر هذه النظرية عن خاصية العبور للعلاقة "أقل من".

لأن أ< b و ب< с. ومن ثم، حسب تعريف العلاقة "أقل من"، هناك أعداد طبيعية لوماذا في ذلك ب = أ + ك و ج = ب + أنا.ولكن بعد ذلك ج = (أ + ك)+ / وبالاعتماد على خاصية الجمع نحصل على: ج = أ + (ك +/). بسبب ال ك + أنا -العدد الطبيعي، إذن، وفقا لتعريف "أقل من"، أ< с.

النظرية 14. لو أ< b, ليس صحيحا أن ب< а. دليل. هذه النظرية تعبر عن الخاصية عدم التماثلعلاقة "أقل".

دعونا أولا نثبت ذلك بالنسبة لعدد طبيعي واحد أليس أنت-!>! ■) موقفها أ< أ.لنفترض العكس، أي. ماذا أ< а يحدث. ومن ثم، حسب تعريف العلاقة "أقل من"، هناك عدد طبيعي مع،ماذا أ+ مع= أ،وهذا يتناقض مع النظرية 6.

دعونا الآن نثبت أنه إذا أ< ب، فليس صحيحا ذلك ب < أ.لنفترض العكس، أي. ماذا إذا أ< b ، الذي - التي ب< а إجراء. لكن من هذه التساويات، حسب النظرية 12 أ< а, وهو أمر مستحيل.

بما أن العلاقة "أقل من" التي حددناها غير متماثلة ومتعدية ولها خاصية الترابط، فهي علاقة ذات ترتيب خطي، ومجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة مرتبة خطيا

ومن تعريف "أقل من" وخواصه يمكن استنتاج الخصائص المعروفة لمجموعة الأعداد الطبيعية.

النظرية 15.من بين جميع الأعداد الطبيعية، هناك رقم واحد هو الأصغر، أي. أنا< а для любого натурального числа أ¹1.

دليل. يترك أ -أي عدد طبيعي. ثم هناك حالتان محتملتان: أ = 1 و أ¹ 1. إذا أ = 1، ثم هناك عدد طبيعي ب،تليها أ: أ = ب" = ب +أنا = 1+ ب،أي، حسب تعريف العلاقة "أقل من"، 1< أ.ولذلك فإن أي عدد طبيعي يساوي 1 أو أكبر من 1. أو أن الواحد هو أصغر عدد طبيعي.

ترتبط العلاقة "أقل من" بجمع وضرب الأعداد بخصائص الرتابة.

النظرية 16.

أ = ب => أ + ج = ب + ج و أ ج = ب ج؛

أ< b =>أ + ج< b + с и ас < bс;

أ > ب => أ + ج > ب + ج و أ > ب.

دليل. 1) صحة هذا القول تنبع من تفرد الجمع والضرب.

2) إذا أ< b, ثم هناك مثل هذا العدد الطبيعي ك،ماذا أ + ك = ب.
ثم ب+ ج = (أ + ك) + ج = أ + (ك + ج) = أ + (ج+ ل)= (أ + ج) + ك.المساواة ب+ ج = (أ + ج) + كيعني أن أ + ج< b + مع.

وبنفس الطريقة ثبت ذلك أ< b =>تيار متردد< bс.

3) والدليل مماثل.

النظرية 17(عكس النظرية 16).

1) أ+ ج = ب + جأو ميلان ~ قبل الميلاد-Þ أ = ب

2) أ + ج< Ь + с أو تيار متردد< قبل الميلادÞ أ< Ь:

3) أ + ج > ب+ مع أو ميلان > قبل الميلادÞ أ > ب.

دليل. دعونا نثبت، على سبيل المثال، أنه من تيار متردد< bс يجب أ< b لنفترض العكس، أي. أن استنتاج النظرية لا يحمل. ثم لا يمكن أن يكون ذلك أ = ب.ومنذ ذلك الحين سيتم تحقيق المساواة التيار المتردد = بكالوريوس(النظرية 16)؛ لا يمكن أن يكون أ> ب،لأنه بعد ذلك سيكون ميلان > قبل الميلاد(نظرية!6). لذلك، وفقا للنظرية 12، أ< b.

من النظريتين 16 و17 يمكننا استخلاص القواعد المعروفة لجمع وضرب المتباينات حدًا تلو الآخر. نتركهم خارجا.

النظرية 18. لأي أعداد طبيعية أو ب; هناك عدد طبيعي ن من هذا القبيل ع ب> أ.

دليل. لأي احد أهناك مثل هذا العدد ص، ماذا ن > أ.للقيام بذلك يكفي أن تأخذ ن = أ + 1. ضرب عدم المساواة مصطلحًا تلو الآخر ص> أو ب> 1، نحصل على صفحة > أ.

ومن الخصائص المدروسة للعلاقة "أقل من"، تتبع السمات المهمة لمجموعة الأعداد الطبيعية، والتي نقدمها دون دليل.

1. ليس لأي عدد طبيعي ألا يوجد مثل هذا العدد الطبيعي ف،ماذا أ< п < а + 1. تسمى هذه الخاصية ملكية
السريةمجموعات من الأعداد الطبيعية، والأعداد أو أ + 1 يسمى المجاورة.

2. أي مجموعة فرعية غير فارغة من الأعداد الطبيعية تحتوي على
أصغر عدد.

3. إذا م- مجموعة فرعية غير فارغة من مجموعة الأعداد الطبيعية
وهناك مثل هذا العدد ب،أنه لجميع الأرقام x من ملم ينفذ
المساواة ×< ب،ثم بكثرة مهو أكبر عدد.

دعونا نوضح الخاصيتين 2 و 3 بمثال. يترك م- مجموعة من الأرقام المكونة من رقمين. لأن مهي مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية ولكل الأرقام في هذه المجموعة عدم المساواة x< 100, то в множестве مهو العدد الأكبر 99. أصغر عدد موجود في مجموعة معينة م، -رقم 10.

وهكذا، فإن العلاقة "أقل من" جعلت من الممكن النظر (وفي بعض الحالات إثبات) عدد كبير من خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية. على وجه الخصوص، فهو مرتب خطيًا ومنفصلًا وله الرقم الأصغر 1.

يتم تعريف تلاميذ المدارس الابتدائية على العلاقة "أقل من" ("أكبر من") للأعداد الطبيعية في بداية تعليمهم. وفي كثير من الأحيان، إلى جانب تفسيرها النظري، يتم استخدام التعريف الذي قدمناه ضمنا في إطار النظرية البديهية. على سبيل المثال، يمكن للطلاب شرح أن 9 > 7 لأن 9 هو 7+2. الاستخدام الضمني لخصائص الرتابة في الجمع والضرب شائع أيضًا. على سبيل المثال، يشرح الأطفال أن "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

تمارين

1، لماذا لا يمكن ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية باستخدام علاقة "المتابعة الفورية"؟

تحديد الموقف أ > بوإثبات أنها متعدية وغير متماثلة.

3. إثبات أنه إذا أ، ب، جأعداد طبيعية إذن:

أ) أ< b Þ ас < bс;

ب) أ+ مع< ب + ج> أ< Ь.

4. ما هي النظريات حول رتابة الجمع والضرب
يستخدمه تلاميذ المدارس الأصغر سنًا عند إكمال مهمة "المقارنة دون إجراء العمليات الحسابية":

أ) 27 + 8 ... 27 + 18؛

ب) 27-8 ... 27-18.

5. ما هي خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية التي يستخدمها تلاميذ المدارس الابتدائية ضمنيًا عند أداء المهام التالية:

أ) اكتب الأعداد الأكبر من 65 والأقل من 75.

ب) تسمية الأرقام السابقة واللاحقة بالنسبة للرقم 300 (800,609,999).

ج) قم بتسمية أصغر وأكبر عدد مكون من ثلاثة أرقام.

الطرح

في البناء البديهي لنظرية الأعداد الطبيعية، يتم تعريف الطرح عادة على أنه عملية الجمع العكسية.

تعريف. طرح الأعداد الطبيعية a و b هو عملية تحقق الشرط: a - b = c إذا وفقط إذا كان b + c = a.

رقم أ - بيسمى الفرق بين الأرقام a و ب،رقم أ- المنتصف، الرقم ب-للخصم.

النظرية 19.الفرق بين الأعداد الطبيعية أ- بموجود إذا وفقط إذا ب< а.

دليل. دع الفرق أ- بموجود. ثم، حسب تعريف الفرق، هناك عدد طبيعي مع،ماذا ب + ج = أ،مما يعنى ب< а.

لو ب< а, إذن، وبتعريف العلاقة "أقل من"، هناك عدد طبيعي ج بحيث يكون ب + ج = أ.ثم حسب تعريف الفرق ج = أ - ب،أولئك. اختلاف أ - بموجود.

نظرية 20. إذا كان الفرق بين الأعداد الطبيعية أو بموجود، فهو فريد.

دليل. لنفترض أن هناك قيمتين مختلفتين للفرق بين الأرقام أو ب;: أ – ب= ق₁و أ - ب= ق₂، و ق₁ ¹ ق₂ .ومن ثم، ومن خلال تعريف الفرق، لدينا: أ = ب + ج₁،و أ = ب + ج₂ : .إنه يتبع هذا ب+ ج ₁ = ب + ج₂ :وبناءً على النظرية 17 نستنتج، س₁ = س₂..لقد توصلنا إلى تناقض مع الفرضية، مما يعني أنها خاطئة، ولكن هذه النظرية صحيحة.

وبناء على تعريف الفرق بين الأعداد الطبيعية وشروط وجودها، يمكن تبرير القواعد المعروفة لطرح عدد من مجموع ومجموع من عدد.

النظرية 21. يترك أ. بو مع- الأعداد الصحيحة.

و إذا أ > ج، ثم (أ + ب) - ج = (أ - ج) + ب.

ب) إذا ب > ج. ثم (أ + ب) - ج - أ + (ب - ج).

ج) إذا أ > ج و ب > ج.ثم يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ.
دليل. في حالة أ) اختلاف الأرقام أو جموجود بسبب أ > س.دعونا نشير إليها ب س: أ - ج = س.أين أ = ج + س. لو (أ+ ب) - ج = ص.ثم حسب تعريف الفرق أ+ ب = مع+ في. دعونا نعوض في هذه المساواة بدلا من ذلك أتعبير ج + س:(ج + س) + ب = ج + ص.دعونا نستخدم خاصية الترابط للجمع: ج + (س + ب) = ج+ في. دعونا نحول هذه المساواة على أساس خاصية رتابة الجمع ونحصل على:

س + ب = ش..استبدال x في هذه المساواة بالتعبير أ - ج،سوف نحصل على (أ -ز) + ب = ص.وهكذا أثبتنا أنه إذا أ > ج، ثم (أ + ب) - ج = (أ - ج) + ب

يتم إجراء الإثبات بالمثل في الحالة ب).

يمكن صياغة النظرية المثبتة في شكل قاعدة مريحة للتذكر: من أجل طرح رقم من المجموع، يكفي طرح هذا الرقم من حد واحد من المجموع وإضافة مصطلح آخر إلى النتيجة الناتجة.

النظرية 22.يترك أ، ب، ج -الأعداد الصحيحة. لو أ > ب+ س إذن أ- (ب + ج) = (أ - ب) - جأو أ - (ب + ج) = (أ - ج) - ب.

إثبات هذه النظرية مشابه لإثبات النظرية 21.

يمكن صياغة النظرية 22 كقاعدة: من أجل طرح مجموع الأرقام من الرقم، يكفي طرح كل مصطلح من هذا الرقم واحدًا تلو الآخر.

في تدريس الرياضيات الأولية، لا يتم عادةً تعريف الطرح على أنه معكوس الجمع بشكل عام، ولكن يتم استخدامه باستمرار، بدءًا من إجراء العمليات على الأعداد المكونة من رقم واحد. يجب أن يفهم الطلاب بوضوح أن الطرح يرتبط بالجمع ويستخدمون هذه العلاقة في العمليات الحسابية. بطرح، على سبيل المثال، الرقم 16 من الرقم 40، يفكر الطلاب على النحو التالي: "طرح الرقم 16 من 40 يعني العثور على رقم بحيث عند إضافته إلى الرقم 16، تكون النتيجة 40؛ هذا العدد سيكون 24، لأن 24 + 16 = 40. 40 - 16 = 24."

قواعد طرح رقم من مجموع ومجموع من رقم في دورة الرياضيات الأولية هي الأساس النظري لتقنيات الحساب المختلفة. على سبيل المثال، يمكن إيجاد قيمة التعبير (40 + 16) - 10 ليس فقط عن طريق حساب المجموع بين قوسين ثم طرح الرقم 10 منه، ولكن بهذه الطريقة أيضًا؛

أ) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ب) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

تمارين

1. هل صحيح أنه يتم الحصول على كل عدد طبيعي من العدد الذي يليه مباشرة عن طريق طرح واحد؟

2. ما الذي يميز البنية المنطقية للنظرية 19؟ هل يمكن صياغتها باستخدام عبارة "ضرورية وكافية"؟

3. أثبت أن:

و إذا ب > ج،الذي - التي (أ + ب) - ج = أ + (ب - ج);

ب) إذا أ > ب + ج، الذي - التي أ - (ب+ ج) = (أ - ب) - ج.

4. هل من الممكن، دون إجراء العمليات الحسابية، تحديد التعبيرات التي ستكون لها نفس القيم:

أ) (50 + 16)- 14؛ د) 50 + (16 -14 ),

ب) (50 - 14) + 16؛ ه) 50 - (16 - 14)؛
ج) (50 - 14) - 16، و) (50 + 14) - 16.

أ) 50 - (16 + 14)؛ د) (50 - 14) + 16؛

ب) (50 - 16) + 14؛ ه) (50 - 14) - 16؛

ج) (50 - 16) - 14؛ ه) 50 - 16 - 14.

5. ما هي خصائص الطرح التي تعتبر الأساس النظري لتقنيات الحساب التالية التي تمت دراستها في مقرر الرياضيات الأولي:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ب) 16-7 = 16-6 - ف؛

ج) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18؛

د) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. وصف الطرق الممكنة لتقييم قيمة تعبير النموذج. أ - ب- معوتوضيحها بأمثلة محددة.

7. اثبات ذلك متى ب< а وأي طبيعي ج المساواة صحيحة (أ – ب) ج = أ – ق.

ملحوظة. ويستند الدليل على البديهية 4.

8. تحديد قيمة التعبير دون إجراء حسابات كتابية. برر إجاباتك.

أ) 7865 × 6 – 7865 × 5: ب) 957 × 11 – 957؛ ج) 12 × 36 – 7 × 36.

قسم

في البناء البديهي لنظرية الأعداد الطبيعية، يتم تعريف القسمة عادةً على أنها العملية العكسية للضرب.

تعريف. تقسيم الأعداد الطبيعية a و b هو عملية تحقق الشرط: a: b = c إذا وفقط إذال عندما ب× ج = أ.

رقم أ: بمُسَمًّى خاصأعداد أو ب،رقم أقابل للقسمة، عدد ب- المقسوم عليه.

كما هو معروف، فإن القسمة على مجموعة الأعداد الطبيعية لا توجد دائمًا، ولا توجد علامة ملائمة لوجود خارج القسمة كما هو الحال بالنسبة للفرق. لا يوجد سوى شرط ضروري لوجود الخاص.

النظرية 23.لكي يكون هناك حاصل قسمة عددين طبيعيين أو ب، فمن الضروري ذلك ب< а.

دليل. دع حاصل الأعداد الطبيعية أو بموجود، أي هناك عدد طبيعي ج من هذا القبيل قبل الميلاد = أ.وبما أن أي عدد طبيعي 1 فإن المتباينة هي 1 £ مع،ثم نضرب جزأيه في عدد طبيعي ب، نحن نحصل ب£ قبل الميلاد.لكن قبل الميلاد = أ،لذلك، ب£ أ.

النظرية 24.إذا كان حاصل الأعداد الطبيعية أو بموجود، فهو فريد.

إن إثبات هذه النظرية يشبه إثبات نظرية تفرد الفرق بين الأعداد الطبيعية.

استنادا إلى تعريف حاصل الأعداد الطبيعية وشروط وجودها، من الممكن تبرير القواعد المعروفة لقسمة المبلغ (الفرق، المنتج) على الرقم.

النظرية 25.إذا كانت الأرقام أو بقابل للقسمة على رقم مع،ثم مجموعهم أ + بمقسومًا على c، والحاصل الناتج عن قسمة المبلغ أ+ بلكل رقم مع،يساوي مجموع حاصل القسمة أعلى معو بعلى مع، أي. (أ + ب):ج = أ:ج + ب:مع.

دليل. منذ الرقم أمقسمة على مع،ثم هناك عدد طبيعي x = أ؛هذا أ = سكس.وبالمثل، هناك مثل هذا العدد الطبيعي ص = ب:مع،ماذا

ب= su.ولكن بعد ذلك أ + ب = جكس+ قبرصي = - ج(س + ص).هذا يعني انه أ + بمقسومًا على c، ويتم الحصول على حاصل القسمة أ+ ببالرقم ج، يساوي x + ذ،أولئك. الفأس + ب: ج.

يمكن صياغة النظرية المثبتة كقاعدة لقسمة المجموع على رقم: لتقسيم المجموع على رقم، يكفي تقسيم كل حد على هذا الرقم وإضافة النتائج الناتجة.

النظرية 26.إذا كانت الأعداد طبيعية أو بقابلة للقسمة على عدد معو أ> ب،ثم الفرق أ - بمقسومًا على c، والحاصل الناتج عن قسمة الفرق على الرقم c يساوي الفرق بين خارج القسمة أعلى معو بعلى ج، أي. (أ - ب):ج = أ:ج - ب:ج.

إثبات هذه النظرية مشابه لإثبات النظرية السابقة.

يمكن صياغة هذه النظرية كقاعدة لقسمة الفرق على رقم: لمن أجل قسمة الفرق على رقم، يكفي تقسيم الطرح والمطروح على هذا الرقم وطرح الثاني من الحاصل الأول.

النظرية 27.إذا كان عددا طبيعيا أيقبل القسمة على عدد طبيعي c ثم على أي عدد طبيعي بعمل أبمقسمة على س. في هذه الحالة، يتم الحصول على الحاصل بتقسيم المنتج أبإلى رقم س , يساوي ناتج القسمة أعلى مع،والأرقام ب: (أ × ب):ج - (أ:ج) × ب.

دليل. لأن أمقسمة على مع،ثم هناك عدد طبيعي x بحيث أ:ج= س، حيث أ = سكس.ضرب طرفي المساواة ب ب،نحن نحصل أب = (ج س) ب.وبما أن الضرب هو ترابطي، إذن (ج س) ب = ج (س ب).من هنا (أ ب):ج = س ب= (أ:ج) ب.يمكن صياغة النظرية كقاعدة لتقسيم المنتج على رقم: من أجل تقسيم المنتج على رقم، يكفي تقسيم أحد العوامل على هذا الرقم وضرب النتيجة الناتجة بالعامل الثاني.

في تعليم الرياضيات الابتدائي، تعريف القسمة كعملية عكسية للضرب، كقاعدة عامة، لا يتم تقديمه بشكل عام، ولكن يتم استخدامه باستمرار، بدءًا من الدروس الأولى للتعرف على القسمة. يجب أن يفهم الطلاب بوضوح أن القسمة مرتبطة بالضرب وأن يستخدموا هذه العلاقة عند إجراء العمليات الحسابية. عند قسمة، على سبيل المثال، 48 على 16، يفكر الطلاب على النحو التالي: "تقسيم 48 على 16 يعني العثور على رقم، عند ضربه في 16، ينتج 48؛ سيكون هذا الرقم 3، حيث أن 16×3 = 48. لذلك، 48: 16 = 3.

تمارين

1. أثبت أن:

أ) إذا كان حاصل قسمة الأعداد الطبيعية أ و بموجود، فهو فريد؛

ب) إذا كانت الأرقام أ و بتنقسم الى معو أ> ب،الذي - التي (أ - ب): ج = أ: ج - ب: ج.
2. هل يمكن القول بأن كل هذه المساواة صحيحة:
أ) 48:(2×4) = 48:2:4؛ ب) 56:(2×7) = 56:7:2؛

ج) 850:170 =850:10:17.

ما هي القاعدة التي تعمم هذه الحالات؟ صياغتها وإثباتها.

3. ما هي خصائص القسمة التي هي الأساس النظري لها
إكمال المهام التالية المقدمة لطلاب المدارس الابتدائية:

هل من الممكن، دون إجراء القسمة، تحديد التعبيرات التي ستكون لها نفس القيم:

أ) (40+ 8):2؛ ج) 48: 3؛ ه) (20+28):2؛

ب) (30 + 16):3؛ ز)(21+27):3؛ و) 48: 2؛

هل المساواة صحيحة:

أ) 48:6:2 = 48:(6:2)؛ ب) 96:4:2 = 96:(4-2)؛

ج) (40 - 28): 4 = 10 - 7؟

4. وصف الطرق الممكنة لحساب قيمة التعبير
يكتب:

أ) (أ+ قبل الميلاد؛ب) أ:ب: مع؛ الخامس) ( أ × ب): مع .

توضيح الطرق المقترحة بأمثلة محددة.

5. العثور على معنى التعبير بطريقة عقلانية. هُم
تبرير أفعالك:

أ) (7 × 63):7؛ ج) (15 × 18):(5× 6);

ب) (3 × 4× 5): 15؛ د) (12 × 21): 14.

6. علل الطرق التالية للقسمة على عدد مكون من رقمين:

أ) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53؛

ب) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49؛

ج) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

د) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. دون تقسيم الزاوية، ابحث عن الأكثر عقلانية
بطريقة حاصلة؛ تبرير الطريقة المختارة:

أ) 495:15؛ ج) 455:7؛ ه) 275:55؛

6) 425:85؛ د) 225: 9؛ ه) 455:65.

المحاضرة 34. خصائص مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة

1. مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة. خصائص مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة.

2. مفهوم جزء من سلسلة طبيعية من الأعداد وعناصر العد لمجموعة محدودة. الأعداد الطبيعية الترتيبية والكاردينالية.

لامتحان الدولة في التخصص

1. المساحة الخطية (المتجهة) فوق الحقل. أمثلة. الفضاءات الجزئية، أبسط الخصائص. الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات.

2. أساس وأبعاد الفضاء المتجه. مصفوفة الإحداثيات لنظام المتجهات. الانتقال من أساس إلى آخر. تماثل مساحات المتجهات.

3. الانغلاق الجبري لمجال الأعداد المركبة.

4. حلقة الأعداد الصحيحة. ترتيب الأعداد الصحيحة. نظريات حول الأعداد الصحيحة "الأكبر" و"الأصغر".

5. المجموعة، أمثلة على المجموعات. أبسط خصائص المجموعات. مجموعات فرعية. التماثل والتماثل في المجموعات.

6. الخصائص الأساسية لقسمة الأعداد الصحيحة. الأعداد الأولية. اللانهاية لمجموعة الأعداد الأولية. التحلل القانوني للرقم المركب وتفرده.

7. نظرية كرونيكر-كابيلي (معيار الاتساق لنظام المعادلات الخطية).

8. الخصائص الأساسية للمقارنات. أنظمة كاملة ومخفضة للخصومات modulo. حلقة فئة بقايا Modulo. نظريات أويلر وفيرما.

9. تطبيق نظرية المقارنات لاشتقاق معايير قابلية القسمة. تحويل الكسر إلى عدد عشري وتحديد طول دورته.

10. اقتران الجذور الوهمية لكثيرة الحدود مع المعاملات الحقيقية. كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال في مجال الأعداد الحقيقية.

11. المقارنات الخطية بمتغير واحد (معيار القابلية للحل، طرق الحل).

12. الأنظمة المكافئة للمعادلات الخطية. طريقة الحذف المتسلسل للمجهول.

13. الخاتم. أمثلة على الحلقات. أبسط خصائص الخواتم. الحلقة الفرعية. التماثل والتشابه في الحلقات. مجال. أمثلة على الحقول. أبسط الخصائص. الحد الأدنى من مجال الأعداد العقلانية.

14. الأعداد الطبيعية (أساسيات النظرية البديهية للأعداد الطبيعية). نظريات حول الأعداد الطبيعية "الأكبر" و"الأصغر".

15. كثيرات الحدود على الحقل. نظرية القسمة على الباقي القاسم المشترك الأكبر لاثنين من كثيرات الحدود وخصائصه وطرق إيجاده.

16. العلاقات الثنائية. علاقة التكافؤ. فئات التكافؤ، مجموعة العوامل.

17. الاستقراء الرياضي للأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة.

18. خصائص الأعداد الأولية نسبيا. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة وخصائصه وطرق إيجاده.

19. مجال الأعداد المركبة، حقول الأعداد. التمثيل الهندسي والشكل المثلثي للعدد المركب.

20. نظرية القسمة على الباقي للأعداد الصحيحة. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة وخصائصه وطرق إيجاده.

21. العوامل الخطية للفضاء المتجه. النواة وصورة المشغل الخطي. جبر العوامل الخطية في الفضاء المتجه. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للعامل الخطي.

22. التحويلات التقريبية للمستوى وخصائصها وطرق تحديدها. مجموعة التحولات التقاربية للمستوى ومجموعاته الفرعية.

23. المضلعات. مساحة المضلع. نظرية الوجود والتفرد.

24. الحجم المتساوي والتركيب المتساوي للمضلعات.

25. هندسة لوباتشيفسكي. اتساق نظام بديهيات هندسة لوباتشيفسكي.

26. مفهوم التوازي في هندسة لوباتشيفسكي. الموقع النسبي للخطوط على مستوى Lobachevsky.

27. صيغ الحركة. تصنيف الحركات الطائرة. تطبيقات لحل المشكلات.

28. الوضع النسبي لمستويين، خط مستقيم ومستوى، خطين مستقيمين في الفضاء (في العرض التحليلي).

29. التحولات الإسقاطية. نظرية الوجود والتفرد. صيغ للتحولات الإسقاطية.

30. العددية والمتجهة والمنتجات المختلطة للمتجهات وتطبيقاتها في حل المشكلات.

31. نظام ويل البديهي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وتناسق محتواه.

32. حركات الطائرة وخصائصها. مجموعة من الحركات الطائرة. نظرية الوجود وتفرد الحركة.

33. الطائرة الإسقاطية ونماذجها. التحولات الإسقاطية وخصائصها. مجموعة من التحولات الإسقاطية.

34. تحويلات التشابه المستوي وخصائصها. مجموعة تحويلات التشابه المستوي ومجموعاتها الفرعية.

35. الأسطح الملساء. الشكل التربيعي الأول للسطح وتطبيقاته.

36. التصميم الموازي وخصائصه. صورة الأشكال المسطحة والمكانية في الإسقاط المتوازي.

37. خطوط ناعمة. انحناء المنحنى المكاني وحسابه.

38. القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ كمقاطع مخروطية. المعادلات الكنسية.

39. الخاصية التوجيهية للقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ. المعادلات القطبية.

40. النسبة المزدوجة لأربع نقاط على الخط وخصائصها وحسابها. الفصل التوافقي لأزواج النقاط. الشكل الرباعي الكامل وخصائصه. تطبيق لحل مشاكل البناء.

41. نظريات باسكال وبريانشون. القطبين والقطبيين.

نماذج من الأسئلة في التحليل الرياضي

العدد الطبيعي هو رقم يستخدم في عد الأشياء. لقد نشأت من الاحتياجات العملية للإنسان. يمكن تقسيم تطور مفهوم العدد الطبيعي إلى عدة مراحل: 1. قام القدماء، من أجل مقارنة المجموعات، بإنشاء المراسلات: على سبيل المثال، قدر إصبع اليد. العيب - يجب أن تكون المجموعات التي تتم مقارنتها مرئية في نفس الوقت. 2. كثير - وسطاء، على سبيل المثال، الحجارة والقذائف والعصي. مفهوم العدد لم يكتمل بعد. والأرقام مرتبطة بعناصر محددة. 3. ظهور رقم (تعيين رقم على شكل أرقام). أصول الحساب. الحساب كعلم نشأ في بلدان الشرق القديم - الصين والهند ومصر، ومزيد من التطوير في اليونان. تم استخدام مصطلح "العدد الطبيعي" لأول مرة من قبل العالم الروماني بوثيوس. العد ضروري لتحديد كمية المجموعة. دعونا نقسم كل المجموعات الكمية إلى فئات تكافؤ، على سبيل المثال، إلى فئة تكافؤ واحدة. سوف تشمل العديد من رؤوس المثلثات، وأضلاع المربع، والعديد من الحروف في كلمة العالم. إذا واصلنا هذه العملية، فذلك لأنه فيما يتعلق بالتكافؤ، فإن كل شيء هو علاقة قوية بنفس القدر. سيتم تقسيم المجموعات المحدودة إلى فئات. الذي - التي. من الناحية النظرية، فإن المعنى الجمعي للعدد الطبيعي الأساسي هو خاصية عامة لفئة المجموعات المحدودة ذات القوة المتساوية. كل فئة لها رقمها الكمي. يتم وضع الصفر وفقًا للمجموعة الفارغة.

يقال إن العددين A وB متساويان إذا تم تعريفهما بمجموعات ذات أصل متساوي.

يتم استخدام هذه الطريقة في الصفوف الابتدائية.

طرق العمل على المسائل التي تكشف المعنى المحدد للعمليات الحسابية.

تحتل المشكلات الحسابية مكانًا مهمًا في دورات الرياضيات. يتم قضاء ما يقرب من نصف الوقت في دروس الرياضيات في حل المشكلات. وهذا ما يفسره دورهم التربوي والتربوي الكبير الذي يقومون به في تعليم الأطفال. يساعد حل المسائل الحسابية على كشف المعنى الأساسي للعمليات الحسابية وتحديدها وربطها بموقف حياتي محدد. تساهم المشكلات في استيعاب المفاهيم والعلاقات والأنماط الرياضية. عند حل المشكلات، يطور الأطفال الاهتمام الطوعي والملاحظة والتفكير المنطقي والكلام والذكاء. يساهم حل المشكلات في تطوير العمليات المعرفية مثل التحليل والتوليف والمقارنة والتعميم.

في عملية حل المشكلات الحسابية، يتعلم الطلاب التخطيط والتحكم في أنشطتهم، وإتقان التقنيات، وضبط النفس (التحقق من المشكلة، وتقدير المشكلات، وما إلى ذلك)، ويطورون المثابرة والإرادة، وينمون الاهتمام بإيجاد حل للمسائل الحسابية. مشكلة. إن دور حل المشكلات كبير في إعداد الأطفال للحياة ولعملهم المستقبلي. عند حل مسائل القصة، يتعلم الطلاب ترجمة العلاقات بين الأشياء والكميات إلى "لغة الرياضيات". تستخدم المسائل الحسابية مادة عددية تعكس نجاحات الدولة في مختلف قطاعات الاقتصاد الوطني والثقافة والعلوم وغيرها. مما يساعد على توسيع آفاق الطلاب وإثرائهم بالمعرفة الجديدة حول الواقع المحيط. يتقن الطلاب القدرة على حل المشكلات الحسابية بصعوبة كبيرة.

تكمن أسباب حلول الأطفال الخاطئة للمشاكل في المقام الأول في خصوصيات تفكيرهم. في عملية تعلم حل المشكلات، يجب تجنب التدريب على حل المشكلات من نوع معين؛ يجب تعليم نهج واعي لحل المشكلات، وتعليم كيفية التنقل في موقف حياة معين موصوف في مشكلة، وتعليم الاختيار الواعي للمهمة البيانات، والاختيار الواعي للإجراءات. في عملية العمل على أي مسألة حسابية يمكن تمييز المراحل التالية:

1. العمل على محتوى المهمة.

2. إيجاد حل للمشكلة.

3. حل المشكلة.

4. صياغة الجواب.

5. التحقق من حل المشكلة.

6. متابعة العمل على المشكلة التي تم حلها.

ينبغي إيلاء الكثير من الاهتمام للعمل على محتوى المهمة، أي. على فهم الموقف المبين في المشكلة، وإقامة علاقة بين البيانات وما هو مطلوب. تسلسل العمل على إتقان محتوى المهمة؛

أ) تحليل الكلمات أو التعبيرات غير المفهومة؛

ب) قراءة نص المشكلة من قبل المعلم والطلاب؛

ج) تسجيل شروط المشكلة.

د) تكرار المهمة عن طريق الأسئلة.

يجب تعليم الطلاب قراءة نص المشكلة بشكل صريح. يجب أن نتذكر أن الأطفال يحتاجون على وجه التحديد إلى تعليم القراءة التعبيرية، فهم لا يستطيعون قراءة المشكلة بشكل صحيح بمفردهم، ولا يمكنهم وضع ضغوط منطقية، وما إلى ذلك.

إلى جانب تحديد محتوى المهمة بمساعدة الكائنات والاستنسل والرسومات، أصبحت الأشكال التالية لتسجيل محتوى المهمة منتشرة على نطاق واسع في ممارسة المعلمين في المدارس:

1. نموذج مختصر للتسجيل يتم فيه كتابة البيانات الرقمية وتلك الكلمات والتعبيرات الضرورية لفهم المعنى المنطقي للمشكلة من نص المشكلة.

2. نموذج بنيوي مختصر للتسجيل، يتم فيه كتابة كل جزء منطقي من المشكلة على سطر جديد.

3. الشكل التخطيطي للتسجيل.

4. شكل رسومي للتسجيل.

نظرًا لضعف وظيفة التحكم لدى الأطفال، فإن التحقق من حل المشكلة ليس له أهمية تعليمية فحسب، بل تعليمية أيضًا. في الصفوف الدنيا من الضروري:

1. التحقق من المهام المصاغة لفظيًا من خلال تنفيذ إجراءات على الكائنات.

2. التحقق من حقيقة الإجابة.

3. التأكد من مطابقة الإجابة لشروط وسؤال المهمة. يمكن التحقق من حل المشكلة باستخدام طرق أخرى للحل من الصف الرابع.

وللتحكم في صحة حل المشكلات، يتم أيضًا استخدام بعض عناصر التدريب المبرمج. هذا العنصر مفيد جدًا حيث يتلقى الطالب على الفور تعزيزًا لصحة أفعاله أو على العكس من ذلك خطأها. إذا كان القرار خاطئا، فإنه يبحث عن حلول جديدة.

في كثير من الأحيان لا يستطيع المعلم في المدرسة التأكد من أن حل المشكلة مفهوم من قبل جميع الطلاب. لذلك، من المفيد جدًا العمل على ترسيخ حل هذه المشكلة. يمكن تنفيذ العمل على توحيد حل المشكلة بطرق مختلفة.

1. يتم طرح الأسئلة الرئيسية فيما يتعلق بمحتوى المشكلة.

2. يُقترح سرد عملية حل المشكلة بأكملها مع تبرير اختيار الإجراءات.

3. يتم طرح الأسئلة حول الإجراءات أو القضايا الفردية. ما يهم الطلاب ليس عدد المشكلات المماثلة التي تم حلها، ولكن فهم حالة الموضوع فيما يتعلق بالبيانات. يتم خدمة هذا الهدف من خلال العمل اللاحق على المشكلة التي تم حلها، والتي يمكن اعتبارها تقنية مهمة لتنمية المهارات في حل المشكلات من هذا النوع. إن الفهم الأفضل لمحتوى موضوع المشكلات، يتم تسهيل العلاقة بين البيانات والبيانات المطلوبة من خلال حل المشكلات ذات البيانات الرقمية الإضافية أو المفقودة، المكتوبة ليس بالأرقام، بل بالكلمات. تظهر الملاحظات أن أفضل المعلمين يستخدمون على نطاق واسع تأليف المشكلات من قبل الطلاب أنفسهم كإحدى طرق تدريس حل المشكلات.

يساعد رسم المشكلات الأطفال على فهم الأهمية الحيوية والعملية للمهمة بشكل أفضل، وفهم بنيتها بشكل أفضل، وكذلك التمييز بين الأنواع المختلفة من المشكلات، وفهم طرق حلها. يتم إعداد المشكلات بالتوازي مع حل المشكلات الجاهزة. تظهر التجربة والملاحظة أن التركيب الجزئي للمشاكل هو الأسهل بالنسبة للطلاب. يجب تشجيع الطلاب على تأليف المشكلات باستخدام مجموعة متنوعة من المؤامرات. وهذا يساهم في تنمية خيالهم وإبداعهم ومبادرتهم. يكون ذلك مفيدًا جدًا عندما يستخدم الطلاب، لتأليف المشكلات، المواد التي "يحصلون عليها" أثناء الرحلات، من الكتب المرجعية والصحف والمجلات وما إلى ذلك. يجب تعليم طلاب المدارس الثانوية كيفية ملء وكتابة المستندات التجارية المتعلقة بحسابات معينة. على سبيل المثال، اكتب توكيلًا، واملأ نموذجًا لتحويل الأموال، وما إلى ذلك. يمكن استخدام جميع التقنيات المذكورة أعلاه على نطاق واسع في حل جميع أنواع المشكلات.

المسألة الحسابية البسيطة هي مسألة يمكن حلها بعملية حسابية واحدة. تلعب المشكلات البسيطة دورًا مهمًا للغاية في تدريس الرياضيات للطلاب. إنها مهام بسيطة تجعل من الممكن الكشف عن المعنى الرئيسي وتحديد العمليات الحسابية لتكوين مفاهيم رياضية معينة. تعد المشكلات البسيطة جزءًا لا يتجزأ من المشكلات المعقدة، وبالتالي، من خلال تطوير القدرة على حلها، يقوم المعلم بإعداد الطلاب لحل المشكلات المعقدة.

في كل عام دراسي، يتعرف الطلاب على أنواع جديدة من المشكلات البسيطة. يتم تفسير إدخالها التدريجي من خلال درجات الصعوبة المتفاوتة للمفاهيم الرياضية، ومكان دراسة تلك العمليات الحسابية، والمعنى المحدد الذي تكشف عنه. عند اختيار مهام من هذا النوع، فإن مواصفات المعلم ومحتواه لا تستحق اهتمامًا أقل. وأخيرا، يعلم المعلم كيفية تحديد محتوى المشكلة، وكشف العلاقة بين البيانات وما هو مطلوب باستخدام أشكال مختلفة من التدوين القصير.

تظهر تجربة أفضل المعلمين أن التحضير لحل المشكلات الحسابية يجب أن يبدأ بإثراء وتطوير الخبرة العملية للطلاب وتوجيههم في الواقع المحيط. يحتاج الطلاب إلى أن يتم توجيههم إلى موقف حياتي يتعين عليهم فيه العد وحل المشكلات الحسابية وإجراء التغييرات. علاوة على ذلك، لا ينبغي خلق هذه المواقف بشكل مصطنع في البداية، بل يجب فقط جذب انتباه الطلاب إليها وتوجيههم. ينظم المعلم ملاحظة التغيرات في عدد عناصر مجموعات الكائنات من محتويات الأوعية وغيرها، مما يساهم في تنمية أفكار الطلاب حول الكمية لتعريفهم بمصطلحات معينة، والتي سيتم مواجهتها لاحقًا في الصياغة اللفظية من المشاكل: أصبح، وبقي كل شيء، وأخذوا، وزادوا، ونقصوا، ونحو ذلك. من الضروري تنظيم اللعبة والأنشطة العملية للطلاب بطريقة تمكن الطلاب أنفسهم، كونهم مشاركين مباشرين في هذا النشاط، بالإضافة إلى الملاحظة، من استخلاص نتيجة في كل حالة على حدة؛ عدد عناصر المجموعة زاد أو نقص وما العملية والتعبير اللفظي الذي يتوافق مع هذه الزيادة أو النقصان. وتتزامن هذه المرحلة من العمل التحضيري مع بداية العمل على الأعداد العشرة الأولى والتعرف على العمليات الحسابية، مع حل وتجميع أمثلة العمليات مع مجموعات الأهداف.

قبل البدء في تدريس حل المشكلات الحسابية، يجب على المعلم أن يتخيل بوضوح المعرفة والمهارات والقدرات التي يجب منحها للطلاب. لحل مسألة ما، يجب على الطلاب حل الأمثلة الحسابية، والاستماع ثم قراءة المشكلة، وتكرار المشكلة سؤالاً بسؤال، من ملاحظة قصيرة، من الذاكرة، وتحديد مكونات المشكلة، وحل المشكلة والتحقق من صحتها. في الصف الأول، يتعلم الطلاب حل المسائل التي تتضمن إيجاد المجموع والباقي. يتم تقديم هذه المهام لأول مرة عند تدريس الأرقام العشرة الأولى. عند تعلم حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مجموع المصطلحات المتطابقة أو القسمة إلى أجزاء متساوية أو القسمة على المحتوى، يجب الاعتماد على فهم الطلاب لجوهر العمليات الحسابية للضرب والقسمة. قبل حل مشكلة المقارنات المختلفة، يحتاج الطلاب إلى إعطاء مفهوم مقارنة الأشياء من مجموعة واحدة، مجموعتين من المواد، والكميات، والأرقام، وإقامة علاقات المساواة وعدم المساواة بينهما. المسألة الحسابية المركبة أو المعقدة هي مسألة يمكن حلها من خلال عمليتين حسابيتين أو أكثر. تظهر الأبحاث النفسية حول خصائص حل المشكلات الحسابية المركبة أن الأطفال لا يتعرفون على المشكلات البسيطة المألوفة في سياق مشكلة مركبة جديدة. يجب أن يكون العمل التحضيري لحل المشكلات المركبة عبارة عن نظام من التمارين والتقنيات التي تقود الطلاب بشكل هادف إلى إتقان حل المشكلات المركبة. يمكن للمعلم الانتقال إلى حل المشكلات المركبة عندما يقتنع بأن الطلاب قد أتقنوا تقنيات حل المشكلات البسيطة التي سيتم تضمينها في المشكلة المركبة ويمكنهم بأنفسهم إنشاء مشكلة بسيطة من نوع معين. عند حل المسائل المركبة، يجب على الطلاب إما طرح أسئلة على البيانات أو تحديد البيانات للإجابة على السؤال. لذلك، خلال الفترة التحضيرية، أي. طوال السنة الأولى وفي بداية السنة الثانية من الدراسة، يجب أن يُعرض على الطلاب المهام التالية:

1. تحديد الأسئلة للحالة الجاهزة.

2. قم بتأليف مسألة بناءً على السؤال، مع تحديد البيانات العددية الناقصة.

من خلال تكوين المشكلات البسيطة والمركبة، سيتعلم الطلاب تدريجيًا التعرف على المشكلات البسيطة في المشكلة المركبة؛ كما أن تمارين تكوين المشكلات المعقدة التي سبق لهم تجربتها في حلها مفيدة جدًا. سيساهم هذا في استيعاب أفضل لأنواع المشكلات البسيطة، والقدرة على تحديدها في مشكلة مركبة، وسيساعد الطلاب على تحليل المشكلات بشكل أكثر وعيًا. عند حل المشكلات المركبة، يجب تعليم الطلاب الأساليب العامة لحل المشكلة؛ القدرة على تحليل محتوى المهمة، وتسليط الضوء على البيانات المعروفة، وما هو مطلوب (أي تحديد ما يجب تعلمه في المهمة)، وتحديد البيانات المفقودة للإجابة على السؤال الرئيسي في المهمة. في الممارسة العملية للمدرسة، فإن طريقة العمل بالبطاقات، والمهام التي يتم فيها تحديد تسلسل العمل على المهمة، لها ما يبررها. عند حل المشكلات، يتم تدوين إضفاء الطابع الرسمي على حلها بالأسئلة أو يتم تدوين وشرح كل إجراء. يتم ضمان تطوير طريقة عامة لحل المشكلات من هذا النوع من خلال حل المشكلات المتكررة بأنواع مختلفة، والمؤامرات، وحل المشكلات الجاهزة التي قام بتجميعها الطلاب أنفسهم، ومقارنة المشكلات من هذا النوع بأنواع المشكلات التي تم حلها مسبقًا، وما إلى ذلك.

1. شرح الطريقة الحسابية للحالات 40+20، 50-30، 34+20، 34+2، 48-30، 48-3 - جميع طرق الحساب من تركيز المائة.

1) 40+20= 4د+2د=6د=60

2) 50-30 = 5د-3د=2د=20

3) 34+20= 3د+4د+2د=5د 4د=54

4) 34+2 = 3د+4د+2د=3د 6د=36

5) 48-30 = 4د+8د-3د=1د 8د= 18

6) 48-3= 4د+8د-3د=4د 5د=45

جميع طرق الحساب شفهية ويتم إجراؤها على أساس الجمع والطرح بالأرقام.

القطعة N من السلسلة الطبيعية هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي لا تتجاوز العدد الطبيعي a، أي N = (x|x N وx a).

على سبيل المثال، N هي مجموعة الأعداد الطبيعية التي لا تتجاوز 7، أي. ن =(1,2,3,4,5,6,7).

دعونا نلاحظ خاصيتين مهمتين لأجزاء السلسلة الطبيعية:
1) أي قطعة N تحتوي على واحدة. تتبع هذه الخاصية تعريف جزء من السلسلة الطبيعية.
2) إذا كان الرقم x موجودًا في الفترة N وx a، فإن الرقم x+1 الذي يليهما مباشرةً موجود أيضًا في N.

تسمى المجموعة A منتهية إذا كانت تعادل قطعة N من السلسلة الطبيعية. على سبيل المثال، المجموعة A من رؤوس المثلث، والمجموعة B من الحروف في كلمة "العالم" هي مجموعات منتهية، لأن فهي تساوي القطعة N = (1,2,3)، أي. أ~ب~ن .
إذا كانت المجموعة المنتهية غير الفارغة A تساوي القطعة N، فإن العدد الطبيعي a يسمى عدد عناصر المجموعة A ويكتب n(A) = a. على سبيل المثال، إذا كانت A هي مجموعة رؤوس المثلث، فإن n(A) = 3.

كل مجموعة محدودة غير فارغة تعادل قطعة واحدة فقط من السلسلة الطبيعية، أي يمكن ربط كل مجموعة محدودة A برقم محدد بشكل فريد a، بحيث تكون المجموعة A واحدة لواحد على القطعة ن.

إنشاء تطابق واحد لواحد بين عناصر المجموعة المحدودة غير الفارغة A وجزء من السلسلة الطبيعية يسمى حساب عناصر المجموعة A. وبما أن رقمًا طبيعيًا واحدًا فقط يتوافق مع أي مجموعة محدودة غير فارغة، يتم تقسيم المجموعة الكاملة للمجموعات المحدودة إلى فئات من مجموعات الطاقة المتساوية. ستحتوي إحدى الفئات على جميع المجموعات ذات العنصر الواحد، بينما تحتوي فئة أخرى على مجموعات مكونة من عنصرين، وما إلى ذلك. ويمكن اعتبار هذا العدد خاصية عامة لفئة المجموعات المحدودة ذات القدرة المتساوية. وهكذا، من وجهة نظر نظرية المجموعات، فإن العدد الطبيعي هو خاصية عامة لفئة المجموعات المحدودة ذات العدد الأساسي المتساوي.

يحتوي الرقم 0 أيضًا على تفسير نظري للمجموعات - حيث يتم وضعه بالتوافق مع المجموعة الفارغة: n() = 0.

لذا فإن العدد الطبيعي a كخاصية للكمية يمكن اعتباره من موضعين:

1) عدد العناصر في المجموعة أ، التي تم الحصول عليها عن طريق العد؛
2) كخاصية عامة لفئة المجموعات المحدودة ذات القدرة المتساوية.

تسمح لنا العلاقة القائمة بين المجموعات المحدودة والأعداد الطبيعية بتقديم تفسير نظري للعلاقة "أقل من".

إذا كانت a = n(A)، b = n(B)، فإن الرقم a أقل من الرقم b إذا وفقط إذا كانت المجموعة A تساوي مجموعتها الفرعية من المجموعة B، أي. A~B، حيث B B، B، B (الشكل 1). أو عندما تكون قطعة من السلسلة الطبيعية N مجموعة فرعية مناسبة من القطعة N، أي. ن ن .

الرقمان a وb متساويان إذا تم تعريفهما بمجموعات متساوية: a = k A~B، حيث n(A) = a، n (B) = k. على سبيل المثال، 2 = 2، لأن n(A) = 2، n(B) = 2، A = (a، b)، B = (z، x)، A~B.

تتلقى خصائص العلاقة "أقل من" للأعداد الطبيعية أيضًا تفسيرًا نظريًا للمجموعات: ترتبط التعدية وعدم التماثل في هذه العلاقة بحقيقة أن العلاقة "أن تكون مجموعة فرعية" هي علاقة متعدية وغير متماثلة.

دعونا نبين، باستخدام التفسير النظري للعلاقة "أقل من" للأعداد الطبيعية، أن 2
لنأخذ المجموعة A التي تحتوي على عنصرين والمجموعة B التي تحتوي على 5 عناصر، أي. ن(أ) = 2، ن(ب) = 5. على سبيل المثال، أ = (أ، ب)، ب = (ج، د، ه، و، ص). من المجموعة B يمكننا تحديد مجموعة فرعية B تساوي المجموعة A: على سبيل المثال، B = (c, d) وA~B. ووفقا لتعريف نسبة "أقل من"، 2
صحة هذا عدم المساواة تنبع أيضًا من حقيقة أن N
يمكن رؤية عدم المساواة هذا في الشكل 2. دع 2 هو عدد الدوائر، و5 هو عدد المربعات. وإذا وضعنا الدوائر على المربعات، فسنرى أن بعض المربعات تبقى مكشوفة.

وهذا يعني أن عدد الدوائر أقل من عدد المربعات، أي. 2
المعنى النظري لعدم المساواة 0

تتم مقارنة الأرقام في الدورة الأولية للرياضيات بطرق مختلفة - فهي تعتمد على جميع الأساليب التي تناولناها في تفسير العلاقة "أقل من".

نظريات حول الأعداد الصحيحة "الأكبر" و"الأصغر".

النظرية 4 (حول العدد الصحيح "الأصغر"). تحتوي كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الصحيحة المحددة من الأسفل على أصغر عدد. (هنا، كما في حالة الأعداد الطبيعية، يتم استخدام كلمة "مجموعة" بدلاً من كلمة "مجموعة فرعية" E

دليل. دع O A C Z و A يحدهما أدناه، أي. 36؟ ZVa؟ أ(ب< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

دع الآن ب أ.

ثم Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >عن).

دعونا نشكل مجموعة M من جميع أرقام النموذج a - b، حيث يمر a عبر المجموعة A، أي. م = (ج [ ج = أ - ب، أ ه أ)

من الواضح أن المجموعة M ليست فارغة، حيث أن A 74 0

كما ذكر أعلاه، M C N . وبالتالي، وفقا لنظرية الأعداد الطبيعية (54، الفصل الثالث) في المجموعة M هناك أصغر عدد طبيعي م ثم م = أ1 - ب لبعض الأرقام أ1؟ A، وبما أن m هو الأصغر في M، إذن Ua؟ في< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

النظرية 5 (حول العدد الصحيح "الأكبر"). كل مجموعة غير فارغة ومحدودة من الأعداد الصحيحة تحتوي على أكبر عدد.

دليل. دع O 74 A C Z و A محدودان من الأعلى بالرقم b، أي. ؟ زفا إي أ(أ< Ь). Тогда -а >ب لجميع الأرقام أ؟ أ.

وبالتالي، فإن المجموعة M (مع r = -a, a?A) ليست فارغة ويحدها من الأسفل الرقم (-6). وبالتالي، وفقا للنظرية السابقة، فإن أصغر عدد يحدث في المجموعة M، أي. بارِع؟ مو؟ آنسة< с).

هل هذا يعني واه؟ أ(ج)< -а), откуда Уа? А(-с >أ)

ح. الأشكال المختلفة لطريقة الاستقراء الرياضي للأعداد الصحيحة. نظرية القسمة مع الباقي

النظرية 1 (الشكل الأول لطريقة الاستقراء الرياضي). دع P(c) يكون مسندًا من مكان واحد محددًا في المجموعة Z من الأعداد الصحيحة، 4. ثم إذا كان بالنسبة لبعض NUMBER a Z فإن الاقتراح P(o) وبالنسبة لعدد صحيح عشوائي K > a من P(K) يتبع P(K -4- 1)، فإن الاقتراح P(r) صالح لجميع الأعداد الصحيحة مع > a (أي أن صيغة حساب التفاضل والتكامل المسند التالية صحيحة في المجموعة Z:

Р(أ) القوس > + 1)) Ус > аР(с)

لأي عدد صحيح ثابت أ

دليل. وليكن كل ما يقال في شروط النظرية صحيحا بالنسبة للجملة P (ج)، أي.

1) P(أ) - صحيح؛

2) UK Shch k + صحيح أيضًا.

من العكس. لنفترض أن هناك مثل هذا الرقم

ب > أ، أن الترددات اللاسلكية) غير صحيح. من الواضح أن b a، لأن P(a) صحيحة. دعونا نشكل المجموعة M = (z ? > a, P(z) خاطئة).

ثم مجموعة M 0، منذ ب؟ M و M- محدودان من الأسفل بالرقم أ. وبالتالي، وفقًا لنظرية أقل عدد صحيح (النظرية 4، 2)، يوجد عدد صحيح أصغر c في المجموعة M. وبالتالي ج > أ، والذي بدوره يعني ج - 1 > أ.

دعونا نثبت أن P(c-1) صحيحة. إذا كان c-1 = a، فإن P (c-1) صحيح بحكم الشرط.

دع ج- 1> أ. إذن فإن الافتراض بأن P(c-1) خطأ يستلزم الانتماء إلى 1؟ M، وهو لا يمكن أن يكون، لأن الرقم c هو الأصغر في المجموعة M.

وبالتالي، c - 1 > a و P(c - 1) صحيح.

ومن ثم، وبحكم شروط هذه النظرية، تكون الجملة P((c- 1) + 1) صحيحة، أي. ص (ق) - صحيح. وهذا يتناقض مع اختيار الرقم ج، منذ ج؟ م تم إثبات النظرية .

لاحظ أن هذه النظرية تعمم النتيجة الطبيعية 1 من بديهيات بيانو.

النظرية 2 (الشكل الثاني لطريقة الاستقراء الرياضي للأعداد الصحيحة). اجعل P(c) عبارة عن مسند من مكان واحد محدد في المجموعة Z من الأعداد الصحيحة. ثم إذا كان الاقتراح P(c) صالحًا لبعض الأعداد الصحيحة K ولعدد صحيح اعتباطي s K من صحة الاقتراح P(c) لجميع الأعداد الصحيحة التي تحقق المتباينة K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ل.

إن إثبات هذه النظرية يكرر إلى حد كبير إثبات نظرية مماثلة للأعداد الطبيعية (النظرية 1، 55، الفصل الثالث).

النظرية 3 (الشكل الثالث لطريقة الاستقراء الرياضي). دع P(c) يكون مسندًا من مكان واحد محددًا في المجموعة Z من الأعداد الصحيحة. ثم إذا كانت P(c) صحيحة بالنسبة لجميع أرقام مجموعة فرعية لا نهائية M من مجموعة الأعداد الطبيعية ولعدد صحيح اعتباطي a، فإن حقيقة P(a) تتضمن حقيقة P(a - 1)، فإن الاقتراح P(c) صالحة لجميع الأعداد الصحيحة.

والدليل مشابه لإثبات النظرية المقابلة للأعداد الطبيعية.

نحن نقدمها كتمرين مثير للاهتمام.

لاحظ أنه من الناحية العملية، فإن الشكل الثالث من الاستقراء الرياضي أقل شيوعًا من الأشكال الأخرى. ويفسر ذلك حقيقة أنه لتطبيقه، من الضروري معرفة المجموعة الفرعية اللانهائية M من مجموعة الأعداد الطبيعية، والتي تمت مناقشتها في النظرية. قد يكون العثور على مثل هذه المجموعة مهمة صعبة.

لكن ميزة الشكل الثالث عن الأشكال الأخرى هي أنه بمساعدته يمكن إثبات الاقتراح P(c) لجميع الأعداد الصحيحة.

وفيما يلي سنقدم مثالا مثيرا للاهتمام لتطبيق النموذج الثالث." لكن أولاً، دعونا نعطي مفهومًا مهمًا جدًا.

تعريف. القيمة المطلقة للعدد الصحيح a هي رقم تحدده القاعدة

0، إذا كان O a، إذا كان A> O

وإذا أ< 0.

وبالتالي، إذا كان 0، ثم؟ ن.

ونحن ندعو القارئ، كتمرين، إلى إثبات الخصائص التالية ذات القيمة المطلقة:

نظرية (حول القسمة على الباقي). بالنسبة لأي أعداد صحيحة a وb، حيث b 0، يوجد، علاوة على ذلك، زوج واحد فقط من الأرقام q U m مثل r: bq + T L D.

دليل.

1. وجود الزوج (ف، م).

دع أ، ب؟ Z و 0. دعونا نبين أن هناك زوجًا من الأرقام q ومستوفيًا للشروط

نقوم بالبرهان بالاستقراء بالشكل الثالث على الرقم أ لعدد ثابت ب.

م = (ملم=ن لبل،ن؟ن).

من الواضح أن M C عبارة عن تعيين f: N M، محدد بواسطة القاعدة f(n) = nlbl لأي n؟ ن، هو الاعتراض. وهذا يعني أن M N، أي. م- بلا حدود.

دعونا نثبت أنه بالنسبة لعدد تعسفي أ؟ بيان M (و b-fixed) للنظرية حول وجود زوج من الأرقام q و m صحيح.

في الواقع، دع (- م. ثم الجبهة الوطنية! لبعض ن؟ ن.

إذا كان b > 0، فإن a = n + O. الآن بعد ضبط q = n وm O، نحصل على زوج الأرقام المطلوب q وm. إذا كان b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

دعونا الآن نضع افتراضا استقرائيا. لنفترض أنه بالنسبة لعدد صحيح اعتباطي c (وعدد اعتباطي ثابت b 0) فإن بيان النظرية صحيح، أي. هناك زوج من الأرقام (ف، م) بحيث

دعونا نثبت أن هذا صحيح أيضًا بالنسبة للرقم (مع 1). ومن المساواة c = bq -4- يترتب على ذلك bq + (m - 1). (1)

قد تكون هناك حالات.

1) m > 0. ثم 7" - 1 > 0. في هذه الحالة، عند وضع - m - 1، نحصل على c - 1 - bq + Tl، حيث من الواضح أن الزوج (q، 7"1،) يفي بالشرط

0. ثم ج - 1 bq1 + 711 حيث q1

يمكننا أن نثبت بسهولة أن 0< < Д.

وبالتالي، فإن العبارة صحيحة أيضًا بالنسبة لزوج من الأرقام

لقد تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

P. تفرد الزوج q، إلخ.

لنفترض أنه بالنسبة للأرقام a و b 0 هناك زوجان من الأرقام (q، m) و (q1، إذن، مستوفيين للشروط (*)

دعونا نثبت أنهما متطابقان. لذا دع

وbq1 L O< Д.

وهذا يعني أن b(q1 -q) m- 7 1 1. ومن هذه المساواة يتبع ذلك

إذا افترضنا الآن أن q ql، إذن q - q1 0، ومن هنا lq - q1l 1. وبضرب هذه المتباينات مصطلحًا بحد في الرقم lbl، نحصل على φ! - س11 د. (3)

وفي الوقت نفسه، من عدم المساواة 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

التمارين:

1. أكمل إثباتات النظريتين 2 و 3 من 5 1.

2. أثبت النتيجة الطبيعية 2 من النظرية 3، 1.

3. أثبت أن المجموعة الفرعية H C Z تتكون من جميع أرقام النموذج< п + 1, 1 >( ن ؟ ن ) مغلقة تحت الجمع والضرب .

4. دع H يعني نفس المجموعة كما في التمرين 3. أثبت أن التعيين ј : M يفي بالشروط:

1) ј - الاعتراض.

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) و j(nm) = ј(n) j(m) لأي أرقام n، m (أي ј ينفذ تماثل الجبر (N و 4 و (ح، +،).

5. أكمل إثبات النظرية 1 من 2.

6. أثبت أنه بالنسبة لأي أعداد صحيحة أ، ب، ج فإن الآثار التالية تحمل:

7. إثبات النظريتين الثانية والثالثة من Z.

8. أثبت أن الحلقة Z للأعداد الصحيحة لا تحتوي على قواسم صفرية.

الأدب

1. بورباكي ن. نظرية المجموعة. م: مير، 1965.

2. فينوغرادوف آي إم أساسيات نظرية الأعداد. م: ناوكا، 1972. Z. DemiDov I. T. أسس الحساب. م: أوتشبيدجيز، 1963.

4. كارجابولوف إم آي، ميرزلياكوف يو آي أساسيات نظرية المجموعة.

م: ناوكا، 1972.

5. Kostrikin A. I. مقدمة في الجبر. م: ناوكا، 1994.

ب. كوليكوف إل.يا.الجبر ونظرية الأعداد. م: أعلى. المدرسة، 1979.

7. كوروش أ.ج. دورة الجبر العالي. م: ناوكا، 1971.

8. Lyubetsky V. A. المفاهيم الأساسية للرياضيات المدرسية. م: التربية، 1987.

9. لابين الاتحاد الأوروبي. وغيرها تمارين على نظرية المجموعات. م: ناوكا، 1967.

10. مالتسيف الذكاء الاصطناعي الأنظمة الجبرية. م: ناوكا، 1970.

11. MenDelson E. مقدمة في المنطق الرياضي. م: ناوكا، 1971.

12. Nechaev V. I. الأنظمة العددية. م: التربية، 1975.

13. نوفيكوف ب.س. عناصر المنطق الرياضي. م.. العلوم، 1973.

14. بتروفا في تي محاضرات في الجبر والهندسة: الساعة 2.

CHL. م: فلادوس، 1999.

15. الأسس الحديثة لمقرر الرياضيات المدرسية تأليف. العقيد: Vilenkin N.Ya.، Dunichev K.I.، Kalltzhnin LA Stolyar A.A. م: التربية، 1980.

16. Skornyakov L. A. عناصر الجبر. م: ناوكا، 1980.

17. ستوم ر.ر. مجموعة والمنطق والنظريات البديهية. م. التنوير، 1968.

18. Stolyar A. A. مقدمة منطقية للرياضيات. مينسك: الأعلى. المدرسة، 1971.

19. فيليبوف في بي الجبر ونظرية الأعداد. فولغوغراد: VGPI، 1975.

20. فرنكل أ.، بار هليل إ. أسس نظرية المجموعات. م: مير، 1966.

21. Fuchs L. الأنظمة المطلوبة جزئيًا. م: مير، 1965.

الطبعة التربوية

فلاديمير كونستانتينوفيتش كارتاشوف

دورة الرياضيات التمهيدية

درس تعليمي

التحضير التحريري بواسطة O. I. Molokanova تم إعداد التصميم الأصلي بواسطة A. P. Boschenko

"PR 020048 بتاريخ 20/12/96

تم التوقيع عليه للنشر في 28 أغسطس 1999. التنسيق 60x84/16. الطباعة المكتبية فقاعة. يكتب. م 2. أويل. فرن ل. 8.2. الطبعة الأكاديمية. ل. 8.3. التوزيع 500 نسخة. الطلب 2

دار النشر "بيريمينا"