رابعا. البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية. النظريات البديهية المؤسسة التعليمية البلدية

عند بناء أي نظرية رياضية بشكل بديهي، يتم مراعاة قواعد معينة:

يتم اختيار بعض مفاهيم النظرية على النحو رئيسيويتم قبولها بدون تعريف؛

يتم إعطاء تعريف لكل مفهوم من مفاهيم النظرية غير الوارد في قائمة المفاهيم الأساسية، ويتم شرح معناه فيه بمساعدة المفاهيم الأساسية والسابقة؛

يتم صياغتها البديهيات- المقترحات المقبولة دون إثبات في هذه النظرية؛ أنها تكشف عن خصائص المفاهيم الأساسية؛

كل افتراض لنظرية غير وارد في قائمة البديهيات يجب إثباته؛ تسمى هذه الافتراضات نظريات ويتم إثباتها على أساس البديهيات والنظريات التي تسبق تلك قيد النظر.

إذا تم بناء النظرية باستخدام الطريقة البديهية، أي. وبحسب القواعد المذكورة أعلاه، فإنهم يقولون إن النظرية مبنية بشكل استنتاجي.

في البناء البديهي للنظرية، يتم اشتقاق جميع البيانات بشكل أساسي عن طريق البرهان من البديهيات. ولذلك، يتم وضع متطلبات خاصة على نظام البديهية. بادئ ذي بدء، يجب أن تكون متسقة ومستقلة.

يسمى نظام البديهيات ثابت،إذا لم يكن من الممكن استنتاج جملتين متعارضتين منطقيا منه.

إذا كان نظام البديهيات لا يمتلك هذه الخاصية، فإنه لا يمكن أن يكون مناسبًا لإثبات نظرية علمية.

يسمى نظام ثابت من البديهيات مستقل،إذا لم تكن أي من بديهيات هذا النظام نتيجة لبديهيات أخرى لهذا النظام.

عند بناء نفس النظرية بديهيًا، يمكن استخدام أنظمة مختلفة من البديهيات. ولكن يجب أن تكون متساوية. بالإضافة إلى ذلك، عند اختيار نظام معين من البديهيات، يأخذ علماء الرياضيات في الاعتبار مدى سهولة ووضوح الحصول على أدلة على النظريات في المستقبل. ولكن إذا كان اختيار البديهيات مشروطا، فإن العلم نفسه أو نظرية منفصلة لا تعتمد على أي شروط - فهي انعكاس للعالم الحقيقي.

يتم البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية وفقًا للقواعد المصاغة. ومن خلال دراسة هذه المادة، يجب أن نرى كيف يمكن استخلاص العمليات الحسابية الكاملة للأعداد الطبيعية من المفاهيم والبديهيات الأساسية. وبطبيعة الحال، فإن عرضه في مسارنا لن يكون دائما صارما - فنحن نحذف بعض الأدلة بسبب تعقيدها الكبير، لكننا سنناقش كل حالة من هذا القبيل.

يمارس

1. ما هو جوهر الطريقة البديهية لبناء النظرية؟

2. هل صحيح أن البديهية هي قضية لا تحتاج إلى برهان؟

3. تسمية المفاهيم الأساسية لدورة التخطيط المدرسي. تذكر بعض البديهيات من هذه الدورة. خصائص ما هي المفاهيم الموصوفة فيها؟

4. تحديد المستطيل، واختيار متوازي الأضلاع كمفهوم عام. اذكر ثلاثة مفاهيم يجب أن تسبق مفهوم "متوازي الأضلاع" في مقرر الهندسة.

5. ما الجمل تسمى النظريات؟ تذكر ما هو البناء المنطقي للنظرية وماذا يعني إثبات النظرية.

المفاهيم والبديهيات الأساسية. تعريف العدد الطبيعي

باعتبارها المفهوم الأساسي في البناء البديهي لحساب الأعداد الطبيعية، فإن العلاقة "تتبع مباشرة" مأخوذة، ومحددة على مجموعة غير فارغة ن.يعتبر مفهوم المجموعة، وعنصر المجموعة، والمفاهيم النظرية الأخرى، بالإضافة إلى قواعد المنطق، معروفًا أيضًا.

العنصر الذي يلي العنصر مباشرة أ،دل أ".

تم الكشف عن جوهر موقف "المتابعة المباشرة" في البديهيات التالية.

البديهية 1. يوجد في المجموعة N عنصر لا يتبع مباشرة أي عنصر من هذه المجموعة. وسنسميها الوحدة ونشير إليها بالرمز 1.

البديهية 2. لكل عنصر ومن نهناك عنصر واحد فقط أ"، متابعة فورية أ.

البديهية 3. لكل عنصر أيوجد عنصر واحد على الأكثر في N يتبعه مباشرة أ.

البديهية 4. كل مجموعة فرعية ممجموعات نيتزامن مع ن،إذا كان يتمتع بالخصائص التالية: 1) 1 موجود في م; 2) من حقيقة ذلك أالواردة في م، إنه يتبع هذا أ"الواردة في م.

غالبًا ما تسمى البديهيات المصاغة ببديهيات بيانو.

باستخدام علاقة "المتابعة الفورية" والبديهيات 1-4، يمكننا تقديم التعريف التالي للعدد الطبيعي.

تعريف. مجموعة منن، التي يتم إنشاء العلاقة "التي تتبعها مباشرة" لعناصرها، والتي تلبي البديهيات 1-4، تسمى مجموعة من الأعداد الطبيعية، وعناصرها- الأعداد الطبيعية.

لا يذكر هذا التعريف شيئًا عن طبيعة عناصر المجموعة ن.لذلك يمكن أن يكون أي شيء. الاختيار كما

المجموعة N هي مجموعة محددة تم تحديد علاقة "متابعة مباشرة" محددة لها، مما يرضي البديهيات 1-4، نحصل عليها نموذج لنظام معين من البديهيات.وقد ثبت في الرياضيات أنه يمكن إنشاء تطابق واحد لواحد بين جميع هذه النماذج، مع الحفاظ على علاقة "المتابعة المباشرة"، وجميع هذه النماذج ستختلف فقط في طبيعة العناصر وأسمائها وتسمياتها. النموذج القياسي لنظام بيانو البديهي هو سلسلة من الأرقام التي ظهرت في عملية التطور التاريخي للمجتمع:

كل رقم في هذه السلسلة له تسمية خاصة به واسم سنعتبره معروفًا.

باعتبار السلسلة الطبيعية من الأعداد أحد نماذج البديهيات 1-4، تجدر الإشارة إلى أنها تصف عملية تكوين هذه السلسلة، ويحدث ذلك عندما تنكشف خصائص العلاقة "التي تتبع مباشرة" في البديهيات . وهكذا تبدأ السلسلة الطبيعية بالرقم 1 (البديهية 1)؛ كل عدد طبيعي يتبعه مباشرة عدد طبيعي واحد (البديهية 2)؛ كل عدد طبيعي يتبع مباشرة رقمًا طبيعيًا واحدًا على الأكثر (البديهية 3)؛ بدءًا من الرقم 1 والانتقال بالترتيب إلى الأعداد الطبيعية التي تليها مباشرة، نحصل على المجموعة الكاملة من هذه الأعداد (البديهية 4). لاحظ أن البديهية 4 تصف رسميًا لانهاية السلسلة الطبيعية، ويعتمد عليها إثبات العبارات المتعلقة بالأعداد الطبيعية.

وبشكل عام فإن نموذج نظام بديهية بيانو يمكن أن يكون أي مجموعة قابلة للعد، على سبيل المثال:!..

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، سلسلة من المجموعات التي تكون فيها المجموعة (oo) هي العنصر الأولي، ويتم الحصول على كل مجموعة لاحقة من المجموعة السابقة عن طريق إضافة دائرة أخرى (الشكل 108، أ). ثم نهناك مجموعة تتكون من مجموعات بالشكل الموصوف، وهي نموذج لنظام بيانو البديهي. في الواقع، يوجد في المجموعة N عنصر (oo) لا يتبع مباشرة أي عنصر من هذه المجموعة، أي.

هناك مجموعة فريدة يمكن الحصول عليها من أوذلك بإضافة دائرة واحدة، أي يتم استيفاء البديهية 2. لكل مجموعة أتوجد مجموعة واحدة على الأكثر تتشكل منها المجموعة أوذلك بإضافة دائرة واحدة، أي. البديهية تحمل 3. إذا مÌ نومن المعروف أن الكثير أالواردة في م،ويترتب على ذلك مجموعة بها دائرة واحدة أكثر من تلك الموجودة في المجموعة أ،الواردة أيضا في م،الذي - التي م = ن(وبالتالي، البديهية 4 راضية).

لاحظ أنه في تعريف العدد الطبيعي، لا يمكن حذف أي من البديهيات - بالنسبة لأي منها، من الممكن بناء مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات الثلاثة الأخرى، ولكن هذه البديهية غير مستوفاة. تم تأكيد هذا الموقف بوضوح من خلال الأمثلة الواردة في الشكلين 109 و110. ويبين الشكل 109أ مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 2 و3، ولكن البديهية 1 غير مستوفاة (البديهية 4 لن تكون منطقية، لأنه لا يوجد عنصر في البديهية 1) تعيين، مباشرة لا تتبع أي شيء آخر). يوضح الشكل 109ب مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 1 و3 و4، ولكن خلف العنصر أيتبعهما عنصران مباشرة، وليس عنصرًا واحدًا، كما هو مطلوب في البديهية 2. يوضح الشكل 109ج مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 1، 2، 4، ولكن العنصر معيتبع مباشرة كعنصر أ،وخلف العنصر ب.يوضح الشكل 110 مجموعة يتم فيها استيفاء البديهيات 1، 2، 3، ولكن البديهية 4 غير مستوفاة - مجموعة من النقاط تقع على الشعاع، وتحتوي على الرقم الذي يليها مباشرة، ولكنها لا تتطابق مع مجموعة النقاط بأكملها النقاط الموضحة في الشكل.

حقيقة أن النظريات البديهية لا تتحدث عن الطبيعة "الحقيقية" للمفاهيم التي تتم دراستها تجعل هذه النظريات مجردة للغاية ورسمية للوهلة الأولى - اتضح أن نفس البديهيات راضية بمجموعات مختلفة من الأشياء والعلاقات المختلفة بينها. ومع ذلك، فإن هذا التجريد الواضح هو قوة الطريقة البديهية: كل عبارة مشتقة منطقيا من هذه البديهيات تنطبق على أي مجموعة من الأشياء، طالما أن العلاقات التي تلبي البديهيات محددة فيها.

لذلك، بدأنا البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية باختيار العلاقة الأساسية "تابع فورًا" والبديهيات التي تصف خصائصها. يتضمن البناء الإضافي للنظرية النظر في الخصائص المعروفة للأعداد الطبيعية والعمليات عليها. ويجب الكشف عنها في التعاريف والنظريات، أي. مشتقة بشكل منطقي بحت من العلاقة "اتبع مباشرة"، والبديهيات 1-4.

المفهوم الأول الذي سنقدمه بعد تعريف العدد الطبيعي هو العلاقة "التي تسبق مباشرة"، والتي غالبا ما تستخدم عند النظر في خصائص العدد الطبيعي.

تعريف. إذا كان العدد الطبيعي b يتبع مباشرة العدد الطبيعي a، فيقال أن الرقم a يسبق (أو يسبق) الرقم b مباشرة.

العلاقة "تسبق" لها عدد من الخصائص. وقد تمت صياغتها كنظريات وتم إثباتها باستخدام البديهيات 1 – 4.

النظرية 1. الوحدة ليس لها رقم طبيعي سابق.

إن حقيقة هذا البيان تأتي مباشرة من البديهية 1.

النظرية 2.كل عدد طبيعي أ،يختلف عن 1، وله رقم سابق ب،مثل ذلك ب ¢ = أ.

دليل. دعونا نشير بواسطة ممجموعة الأعداد الطبيعية المكونة من الرقم 1 وجميع الأعداد التي لها سابقتها. إذا كان الرقم أالواردة في م،هذا هو الرقم أ"متوفر أيضًا في م،لأنه يسبق ل أ"هو الرقم أ.وهذا يعني أن الكثير ميحتوي على 1، ومن حقيقة أن الرقم أينتمي إلى المجموعة م،ويترتب على ذلك الرقم أ"ينتمي م.ثم، من خلال البديهية 4، المجموعة ميتطابق مع مجموعة جميع الأعداد الطبيعية. وهذا يعني أن جميع الأعداد الطبيعية باستثناء 1 لها رقم سابق.

لاحظ أنه بموجب البديهية 3، فإن الأرقام غير 1 لها رقم سابق واحد.

لا يتم أخذ البناء البديهي لنظرية الأعداد الطبيعية في الاعتبار سواء في المدارس الابتدائية أو الثانوية. ومع ذلك، فإن خصائص العلاقة "التي تتبع مباشرة"، والتي تنعكس في بديهيات بيانو، هي موضوع الدراسة في الدورة الأولية للرياضيات. بالفعل في الصف الأول، عند النظر في أرقام العشرة الأولى، يصبح من الواضح كيف يمكن الحصول على كل رقم. يتم استخدام مفاهيم "يتبع" و"يسبق". يعمل كل رقم جديد بمثابة استمرار للجزء المدروس من سلسلة الأرقام الطبيعية. الطلاب مقتنعون بأن كل رقم يتبعه الرقم التالي، وعلاوة على ذلك، هناك شيء واحد فقط، وهو أن السلسلة الطبيعية للأرقام لا حصر لها. وبالطبع فإن معرفة النظرية البديهية ستساعد المعلم بشكل منهجي وكفء على تنظيم استيعاب الأطفال لميزات سلسلة الأرقام الطبيعية.

تمارين

1. يمكن صياغة البديهية 3 على النحو التالي: "لكل عنصر أمن نهناك عنصر واحد يتبعه مباشرة "؟"

2. حدد الشرط والاستنتاج في البديهية 4، واكتبهما باستخدام الرمزين О، =>.

3. تابع تعريف العدد الطبيعي: “العدد الطبيعي هو أحد عناصر المجموعة Î, Þ.

إضافة

وفقًا لقواعد بناء النظرية البديهية، يجب تقديم تعريف إضافة الأعداد الطبيعية باستخدام العلاقة "تتبع مباشرة" ومفهومي "العدد الطبيعي" و"العدد السابق".

دعونا نستهل تعريف الإضافة بالاعتبارات التالية. إذا إلى أي عدد طبيعي أأضف 1، نحصل على الرقم أ"،مباشرة بعد أ، أي. أ + 1 = أ"،وبالتالي حصلنا على قاعدة إضافة 1 إلى أي عدد طبيعي. ولكن كيفية إضافة إلى رقم أعدد طبيعي ب،مختلفة عن 1؟ دعونا نستخدم الحقيقة التالية: إذا علمنا أن 2 + 3 = 5، فإن مجموع 2 + 4 يساوي الرقم 6، الذي يلي الرقم 5 مباشرة. ويحدث هذا لأنه في مجموع 2 + 4 يكون الحد الثاني هو الرقم الرقم الذي يلي الرقم مباشرة 3 وهكذا المبلغ أ+ ب"يمكن العثور عليها إذا كان المبلغ معروفا أ+ ب.تشكل هذه الحقائق الأساس لتعريف إضافة الأعداد الطبيعية في النظرية البديهية. وبالإضافة إلى ذلك، فإنه يستخدم مفهوم العملية الجبرية.

تعريف. جمع الأعداد الطبيعية هو عملية جبرية لها الخصائص التالية:

1) ("أ Î ن ) أ + 1 = أ"،

2) (" أ, ب Î) أ + ب" = (أ + ب)".

رقم أ+ بدعا مجموع الأرقام أو ب،والارقام نفسها أو ب-شروط.

وكما هو معروف فإن مجموع أي عددين طبيعيين هو عدد طبيعي أيضاً، ولأي عدد طبيعي أو بمجموع أ+ ب- الوحيد. بمعنى آخر، مجموع الأعداد الطبيعية موجود وهو فريد. خصوصية التعريف هو أنه ليس من المعروف مسبقا ما إذا كانت هناك عملية جبرية لها الخصائص المحددة، وإذا كانت موجودة فهل هي فريدة من نوعها؟ ولذلك عند بناء النظرية البديهية للأعداد الطبيعية يتم إثبات العبارات التالية:

النظرية 3.جمع الأعداد الطبيعية موجود وهو فريد من نوعه.

تتكون هذه النظرية من عبارتين (نظريتين):

1) جمع الأعداد الطبيعية موجود.

2) جمع الأعداد الطبيعية الفريدة .

وكقاعدة عامة، يرتبط الوجود والتفرد ببعضهما البعض، لكنهما في أغلب الأحيان مستقلان عن بعضهما البعض. وجود الشيء لا يعني تفرده. (على سبيل المثال، إذا قلت إن لديك قلم رصاص، فهذا لا يعني أن هناك قلمًا واحدًا فقط). عبارة التفرد تعني أنه لا يمكن أن يكون هناك كائنين لهما خصائص معينة. غالبًا ما يتم إثبات التفرد عن طريق التناقض: يفترض المرء أن هناك شيئين يستوفيان شرطًا معينًا، ثم يبني سلسلة من الاستدلالات الاستنتاجية التي تؤدي إلى التناقض.

للتحقق من صحة النظرية 3، نثبت أولاً أنه إذا كان في المجموعة ن هناك عملية بالخاصيتين 1 و 2، فهذه العملية فريدة من نوعها؛ ثم سنثبت أن عملية الجمع مع الخاصيتين 1 و 2 موجودة.

إثبات تفرد الإضافة. لنفترض ذلك في المجموعة ن هناك عمليتان جمع لهما الخاصيتين 1 و2. نشير إلى إحداهما بعلامة +، والأخرى بعلامة Å. لهذه العمليات لدينا:

1) أ + 1 = أ"؛ 1) أÅ =أ"\

2) أ + ب" = (أ + ب)" 2) أÅ ب" = (أÅ ب)".

دعونا نثبت ذلك

("أ، بÎ ن )أ + ب=أÅ ب. (1)

دع الرقم أتم اختياره عشوائيا، و ب م ب،الذي فيه المساواة (١) صحيحة.

من السهل التحقق من ذلك 1 О م.في الواقع، من حقيقة ذلك أ+ 1 = أ"=أ«١» يترتب على ذلك أ + 1 =أÅ 1.

دعونا الآن نثبت أنه إذا بÎ م،الذي - التي ب" يا م،أولئك. لو أ + ب = أÅ ب،الذي - التي أ+ ب" = أÅ ب".لأن أ + ب - أÅ ب،ثم وفقا للبديهية 2 (أ + ب)" = (أÅ ب)"،وثم أ + ب" - (أ + ب)" = (أÅ ب)" = أÅ ب".منذ كثير ميحتوي على 1 ومع كل رقم بيحتوي أيضًا على رقم ب ™ثم من خلال البديهية 4، المجموعة ميتزامن مع نوالتي تعني المساواة (1) ب.منذ الرقم أتم اختياره بشكل تعسفي، فالمساواة (1) صحيحة لأي طبيعي أو ب،أولئك. العمليات + و Å على مجموعة نقد تختلف عن بعضها البعض فقط في التسميات.

إثبات وجود الإضافة. دعونا نبين أن هناك عملية جبرية ذات الخاصيتين 1 و 2 المحددتين في تعريف الإضافة.

يترك م -مجموعة تلك وتلك الأرقام فقط أ،التي من الممكن تحديدها أ + ببحيث يتم استيفاء الشرطين 1 و 2. دعونا نبين أن 1 О م.للقيام بذلك، لأي بهيا نضع

1+ب=ب.(2)

1)1 + 1 = 1¢ - وفقا للقاعدة (2)، أي. المساواة تحمل أ + 1 = أ"في أ= 1.

2)1 + ب"= (ب")™ ب= (1 + ب)" -وفق القاعدة (2) أي المساواة أ + ب"= (أ + ب)"في أ = 1.

إذن 1 ينتمي إلى المجموعة م.

دعونا نتظاهر بذلك أينتمي م.وعلى هذا الافتراض سنبين ذلك أ"الواردة في م،أولئك. يمكن تعريف هذه الإضافة أ"وأي رقم ببحيث يتم استيفاء الشرطين 1 و 2. للقيام بذلك، قمنا بتعيين:

أ"+ ب =(أ+ ب)".(3)

منذ افتراض الرقم أ + بتم تعريفه، ومن خلال البديهية 2، يتم تحديد الرقم أيضًا بطريقة فريدة (أ+ ب)".دعونا نتحقق من استيفاء الشرطين 1 و 2:

1)أ" + 1 = (أ+ 1)" = (أ")".هكذا، أ"+ 1 = (أ")".

2)أ" + ب" = (أ+ ب ™)"= ((أ + ب)))"= (أ" + ب)".هكذا، أ" + ب" = = (أ" + ب)".

لذلك، أظهرنا أن المجموعة ميحتوي على 1 ومع كل رقم أيحتوي على رقم أ".وفقا للبديهية 4، نستنتج أن المجموعة مهناك العديد من الأعداد الطبيعية. وبالتالي، هناك قاعدة تسمح بأي أعداد طبيعية أو بفريد العثور على مثل هذا العدد الطبيعي أ + ب،أن الخاصيتين 1 و 2 اللتين تم صياغتهما في تعريف الإضافة مستوفاة.

دعونا نوضح كيف يمكن من تعريف الجمع والنظرية 3 استخلاص الجدول المعروف لجمع الأعداد المكونة من رقم واحد.

دعونا نتفق على الترميز التالي: 1" = 2؛ 2" = 3؛ 3 سنت =4; 4"=5، الخ.

نقوم بتجميع جدول بالتسلسل التالي: أولاً نضيف واحدًا إلى أي عدد طبيعي مكون من رقم واحد، ثم الرقم اثنين، ثم ثلاثة، وما إلى ذلك.

1 + 1 = 1¢ بناءً على الخاصية 1 من تعريف الإضافة. لكننا اتفقنا على الإشارة إلى 1¢ كـ 2، وبالتالي 1 + 1 = 2.

وبالمثل 2+1=2" = 3؛ 3 + 1=3" = 4، إلخ.

دعونا الآن نفكر في الحالات التي تتضمن إضافة الرقم 2 إلى أي عدد طبيعي أحادي القيمة.

1+2 = 1 + 1¢ - استخدمنا الترميز المقبول. لكن 1 + 1¢ = = (1 + 1)" بحسب الخاصية 2 من تعريف الإضافة، 1 + 1 يساوي 2، كما ذكرنا أعلاه. وهكذا،

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

وبالمثل 2 + 2 = 2 + 1" = (2 + 1)" = 3" = 4؛ 3 + 2 = 3 + 1 سنت= (3 + 1)" = = 4" = 5، إلخ.

إذا واصلنا هذه العملية، فسنحصل على الجدول الكامل لإضافة الأعداد المكونة من رقم واحد.

الخطوة التالية في البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية هي إثبات خصائص الجمع، ويتم النظر في خاصية الترابط أولاً، ثم خاصية الإبدال، وما إلى ذلك.

النظرية 4.(" أ، ب، جاو ن )(أ + ب)+ مع= أ+ (ب+ مع).

دليل. دع الأعداد الطبيعية أو بتم اختياره بشكل عشوائي، و معيأخذ معاني طبيعية مختلفة. دعونا نشير بواسطة ممجموعة كل تلك الأعداد الطبيعية فقط والتي تكون متساوية فيها (أ+ب) +ج = أ+(ب+ج)يمين.

دعونا أولا نثبت أن 1 О م،أولئك. دعونا نتأكد من أن المساواة عادلة (أ+ ب)+ 1 = أ+ (ب+ 1) بالفعل بتعريف الجمع لدينا (أ + ب)+ 1 = (أ+ ب)"= أ+ ب"= أ+ (ب+ 1).

دعونا نثبت الآن أنه إذا كان c О М، فإن c" О م،أولئك. من المساواة (أ+ ب)+ ج = أ+ (ب + ج)يلي ذلك المساواة (أ+ ب)+ مع"= أ+ (ب + ج"). (أ+ ب)+ مع"= ((أ + ب)+ مع)".ثم على أساس المساواة (أ+ ب) + ج= أ + (ب + ج)يمكن أن تكون مكتوبة: ((أ+ ب)+ ج)" = (أ+ (ب+ مع))".ومن أين بتعريف الإضافة نحصل على: ( أ + (ب+ ج))" = أ + (ب + ج)" = أ + (ب + ج") .

ميحتوي على 1، ومن حقيقة ذلك معالواردة في م،إنه يتبع هذا مع"الواردة في م.لذلك، وفقا للبديهية 4، م= ن،أولئك. المساواة ( أ + ب)+ مع= أ + (ب + ج)صحيح لأي عدد طبيعي مع،ومنذ الأرقام أو بتم اختيارها بشكل تعسفي، فهذا صحيح بالنسبة لأي أعداد طبيعية أو ب، Q.E.D.

النظرية 5.("أ، بÎ ن) أ+ ب= ب+ أ.

دليل. ويتكون من قسمين: الأول إثبات أن (" أاو ن) أ+1 = 1+أثم ماذا(" أ، باو ن ) أ + ب = ب+ أ.

1 .دعونا نثبت ذلك (( أعلى) أ+ 1=1+أ. يترك م -مجموعة كل تلك الأرقام فقط أ،من أجلها المساواة أ+ 1 = 1 + أحقيقي.

وبما أن 1+1=1 + 1 هي مساواة حقيقية، فإن 1 ينتمي إلى المجموعة م.

دعونا الآن نثبت أنه إذا أÎ م،الذي - التي أ"Î م،أي من المساواة أ + 1 = 1 + أيلي ذلك المساواة أ" + 1 = 1 + أ".حقًا، أ" + 1 = (أ+ 1) +1 بخاصية الجمع الأولى. بعد ذلك، يمكن تحويل التعبير (أ + 1) + 1 إلى التعبير (1 + أ) + 1، وذلك باستخدام المساواة أ+ 1 = 1 + أ.إذن وبناء على القانون الترابطي لدينا: (1+ أ)+ 1 = 1 + (أ+ 1). وأخيرًا من تعريف الجمع نحصل على: 1 +(أ+ 1) = 1 +أ".

وهكذا أثبتنا أن المجموعة ميحتوي على 1 ومع كل رقم أيحتوي أيضًا على رقم أ".لذلك، وفقا للبديهية أ، م = أنا،أولئك. المساواة أ+ 1 = 1 + أصحيح لأي طبيعي أ.

2 . دعونا نثبت ذلك (" أ، بÎ ن ) أ+ ب = ب+ أ.يترك أ -عدد طبيعي تم اختياره بشكل تعسفي، و بيأخذ معاني طبيعية مختلفة. دعونا نشير بواسطة ممجموعة كل تلك الأعداد الطبيعية فقط ب،من أجلها المساواة أ + ب = ب+ أحقيقي.

منذ متى ب = 1 نحصل على المساواة أ+ 1 = 1 + أ،الذي ثبتت حقيقته في الفقرة 1، ثم وردت 1 في م.

دعونا الآن نثبت أنه إذا بينتمي م،ثم و ب"ينتمي أيضا م،أولئك. من المساواة أ+ ب = ب+ أيلي ذلك المساواة أ+ ب"= ب"+ أ.وبالفعل فمن خلال تعريف الجمع لدينا: أ+ ب"= (أ+ ب)".لأن أ+ ب= ب+ أ،الذي - التي (أ+ ب)" =(ب+ أ)".ومن ثم، حسب تعريف الإضافة: (ب+ أ)"= ب+ أ"= ب+ (أ+ 1). بناء على حقيقة ذلك أ + 1 = 1 + أ،نحن نحصل: ب+ (أ + 1) = ب+ (1 + أ).باستخدام خاصية الدمج وتعريف الجمع، نقوم بإجراء التحويلات: ب + (1 + أ) = (ب+1) + أ = ب" + أ.

لذلك، أثبتنا أن 1 موجود في المجموعة مومع كل رقم بمجموعة من ميحتوي أيضًا على رقم ب ™،متابعة فورية ب ™.بواسطة البديهية 4 حصلنا على ذلك م= و،أولئك. المساواة أ+ ب= ب+ أصحيح لأي عدد طبيعي ب،وكذلك لأي طبيعي أ،لأن اختياره كان تعسفيا.

النظرية 6.("أ،بÎ ن) أ + ب¹ ب.

دليل. يترك أ -عدد طبيعي تم اختياره عشوائيا، و بيأخذ معاني طبيعية مختلفة. دعونا نشير بواسطة ممجموعة تلك الأعداد الطبيعية فقط ب،التي نظرية 6 صحيحة.

دعونا نثبت أن 1 О م.بالفعل منذ ذلك الحين أ+ 1 = أ"(بتعريف الإضافة)، و1 لا يتبع أي رقم (البديهية 1)، إذن أ+ 1 ¹ 1.

دعونا الآن نثبت أنه إذا بÎ م،الذي - التي ب"Î م،أولئك. من ماذا أ + بÎ بإنه يتبع هذا أ + ب"¹ ب".في الواقع، من خلال تعريف بالإضافة، أ + ب" = (أ + ب)"،ولكن أ + بÎ ب،الذي - التي (أ + ب)"¹ ب"وبالتالي، أ +ب=ب ™.

وفقا للبديهية هناك 4 مجموعات مو نتتطابق، لذلك، لأي أعداد طبيعية أ + بÎ ب، Q.E.D.

إن منهج الجمع، الذي يتم أخذه بعين الاعتبار في البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية، هو أساس تعليم الرياضيات الأولي. إن الحصول على الأعداد بإضافة 1 يرتبط ارتباطاً وثيقاً بمبدأ بناء السلسلة الطبيعية، وتستخدم خاصية الجمع الثانية في العمليات الحسابية، على سبيل المثال في الحالات التالية: 6 + 3 = (6+ 2)+ 1=8 + 1= 9.

تتم دراسة جميع الخصائص المثبتة في دورة الرياضيات الأولية وتستخدم لتحويل التعبيرات.

تمارين

1. هل صحيح أن كل عدد طبيعي يتم الحصول عليه من العدد الذي قبله بإضافة واحد؟

2. باستخدام تعريف الجمع، ابحث عن معاني العبارات:

أ) 2 + 3؛ ب) 3 + 3؛ ج) 4 + 3.

3. ما تحويلات التعبيرات التي يمكن إجراؤها باستخدام خاصية الترابط الخاصة بالجمع؟

4. تحويل تعبير باستخدام الخاصية النقابية للجمع:

أ) (12 + 3)+17؛ ب) 24 + (6 + 19)؛ ج) 27+13+18.

5. اثبت ذلك (" أ، بÎ ن) أ + ب¹ أ.

6. تعرف على كيفية صياغة الرياضيات في الكتب المدرسية المختلفة للمرحلة الابتدائية:

أ) الخاصية التبادلية للإضافة؛

ب) الخاصية الترابطية للجمع.

7 يناقش أحد كتب المرحلة الابتدائية قاعدة إضافة عدد إلى مجموع باستخدام مثال محدد (4 + 3) + 2 ويقترح الطرق التالية للعثور على النتيجة:

أ) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9؛

ب) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9؛

ج) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9.

تبرير التحولات المنفذة. هل من الممكن القول أن قاعدة إضافة رقم إلى المجموع هي نتيجة للخاصية الترابطية للجمع؟

8 .ومن المعروف أن أ + ب= 17. ما يساوي:

أ) أ + (ب + 3)؛ب) (أ+ 6) + ب؛ج) (13+ ب)+أ?

9 وصف الطرق الممكنة لحساب قيمة تعبير النموذج أ + ب + ج.إعطاء مبررات لهذه الأساليب وتوضيحها بأمثلة محددة.

عمليه الضرب

وفقا لقواعد بناء نظرية بديهية، يمكن تحديد مضاعفة الأعداد الطبيعية باستخدام علاقة "المتابعة المباشرة" والمفاهيم التي تم تقديمها سابقا.

دعونا نستهل تعريف الضرب بالاعتبارات التالية. إذا كان أي عدد طبيعي أاضرب في 1، تحصل على أ،أولئك. هناك مساواة × 1 = أوحصلنا على قاعدة ضرب أي عدد طبيعي في 1. ولكن كيفية ضرب أي رقم أإلى عدد طبيعي ب،مختلفة عن 1؟ دعونا نستخدم الحقيقة التالية: إذا علمنا أن 7×5 = 35، فللحصول على المنتج 7×6 يكفي إضافة 7 إلى 35، حيث أن 7×6=7×(5 + 1) = 7×5 + 7. وهكذا العمل أ × ب"يمكن العثور عليها إذا كان العمل معروفًا: أ×ب" = أ×ب+ أ.

تشكل الحقائق المذكورة الأساس لتعريف ضرب الأعداد الطبيعية. وبالإضافة إلى ذلك، فإنه يستخدم مفهوم العملية الجبرية.

تعريف. ضرب الأعداد الطبيعية هو عملية جبرية لها الخصائص التالية:

1) ("أ Î ن) × 1= أ؛

2) ("أ، Î ن) أ × ب"= أ × ب+ أ.

رقم أ × بمُسَمًّى عملأعداد أو ب،والارقام نفسها أو ب-مضاعفات.

خصوصية هذا التعريف، وكذلك تعريف إضافة الأعداد الطبيعية، هو أنه من غير المعروف مقدما ما إذا كانت هناك عملية جبرية لها الخصائص المشار إليها، وإذا كانت موجودة، فهل هي فريدة من نوعها. وفي هذا الصدد، هناك حاجة لإثبات هذه الحقيقة.

النظرية 7.مضاعفة الأعداد الطبيعية موجود، وهو فريد.

إثبات هذه النظرية مشابه لإثبات النظرية 3.

باستخدام تعريف الضرب والنظرية 7 وجدول الجمع، يمكنك استخلاص جدول الضرب للأعداد المكونة من رقم واحد. نقوم بذلك بالتسلسل التالي: أولاً نفكر في الضرب في 1، ثم في 2، وما إلى ذلك.

من السهل أن نرى أن الضرب في 1 يتم تنفيذه بواسطة الخاصية 1 في تعريف الضرب: 1×1 = 1؛ 2×1=2; 3×1=3، إلخ.

دعونا الآن نفكر في حالات الضرب في 2: 1×2 = 1×1"= 1×1 + 1 = 1 + 1=2 - يتم الانتقال من المنتج 1×2 إلى المنتج 1×1¢ وفقًا للتدوين المقبول مسبقًا ؛ الانتقال من التعبير 1 × 1 إلى التعبير 1 × 1 + 1 - بناءً على خاصية الضرب الثانية، يتم استبدال المنتج 1 × 1 بالرقم 1 وفقًا للنتيجة التي تم الحصول عليها بالفعل في الجدول، وأخيرًا تم إيجاد قيمة التعبير 1+1 وفقًا لجدول الجمع.

2×2 = 2×1" = 2×1 +2 = 2 + 2 = 4؛

3×2 = 3×1¢ = 3×1 + 3 = 3 + 3 = 6.

إذا واصلنا هذه العملية، فسنحصل على جدول الضرب بأكمله للأعداد المكونة من رقم واحد.

وكما هو معروف فإن ضرب الأعداد الطبيعية هو عملية إبدالية وترابطية وتوزيعية بالنسبة إلى الجمع. عند بناء نظرية بديهية، من المناسب إثبات هذه الخصائص، بدءًا من التوزيعية.

لكن بما أن خاصية الإبدال سيتم إثباتها لاحقا، فلا بد من مراعاة التوزيع على اليمين وعلى اليسار فيما يتعلق بالجمع.

النظرية 8. ("أ، ب، جÎ ن) (أ+ ب)×ج =أ×ج+ ب × ج.

دليل. دع الأعداد الطبيعية أ و بتم اختياره بشكل عشوائي، و معيأخذ معاني طبيعية مختلفة. دعونا نشير بواسطة ممجموعة كل تلك الأعداد الطبيعية c التي تساوي (a+ ب)×ج = أ×ج+ ب × ج.

دعونا نثبت أن 1 О م،أولئك. تلك المساواة ( أ + ب)× 1 = أ×1+ ب× 1 حقيقي. وبحسب الخاصية 1 من تعريف الضرب لدينا: (أ + ب)× 1=أ+ب=أ× 1+ ب×1.

دعونا الآن نثبت أنه إذا معÎ م،الذي - التي مع"Î م،أولئك. والتي من المساواة ( أ + ب)ج = أ×ج+ ب × جيلي ذلك المساواة (أ+ ب)×ج" = أ×ج"+ ب×س".ومن تعريف الضرب لدينا: ( أ + ب)×ج"= (أ + ب)×ق+ (أ + ب).لأن (أ + ب)×ج=أ×ج + ب×ج،الذي - التي ( أ + ب) × ج+ (أ+ب)= (أ×ج + ب×ج) + (أ+ ب).باستخدام الخاصية الترابطية والإبدالية للجمع، نقوم بإجراء التحويلات: ( أ× مع+ ب × ج)+ (أ+ ب) =(أ× مع + ب × ج+ أ)+ ب =(أ × ج + أ + ب × ج)+ ب= = ((أ×ج+ أ) + ب × ج)+ ب = (أ×ج+ أ) + (ب×س+ ب).وأخيرًا، من خلال تعريف الضرب نحصل على: (أ×ج+ أ) + (ب×س+ ب) = أ×ج"+ ب×س".

لذلك، أظهرنا أن المجموعة ميحتوي على 1، وبما أنه يحتوي على ج، فإنه يتبع ذلك مع"الواردة في م.بواسطة البديهية 4 حصلنا على ذلك م= ن.وهذا يعني أن المساواة ( أ + ب)×ج = أ×ج + ب×جصحيح بالنسبة لأي أعداد طبيعية مع،وكذلك لأي طبيعي أو ب،حيث تم اختيارهم عشوائيا.

النظرية 9. (" أ، ب، جÎ ن) أ×(ب + ج) =أ×ب + أ×ج.

هذه هي خاصية التوزيع الأيسر فيما يتعلق بالجمع. وقد تم إثبات ذلك بطريقة مشابهة لكيفية القيام بالتوزيع الصحيح.

النظرية 10.(" أ، ب، جÎ ن)(أ×ب)×ج=أ×(ب×ج).

هذه هي الخاصية الترابطية للضرب. ويستند برهانه على تعريف الضرب والنظريات 4-9.

النظرية 11. ("أ، ب،Î ن) أ × ب.

إن إثبات هذه النظرية يشبه في الشكل إثبات خاصية الجمع التبادلية.

إن منهج الضرب، الذي تم تناوله في النظرية البديهية، هو أساس تدريس الضرب في المدرسة الابتدائية. يتم تعريف الضرب في 1 بشكل عام، ويتم استخدام الخاصية الثانية للضرب في جداول الضرب والحسابات المكونة من رقم واحد.

في الدورة الأولية، ندرس جميع خصائص الضرب التي أخذناها في الاعتبار: الإبدالية، والترابط، والتوزيع.

تمارين

1 . باستخدام تعريف الضرب، ابحث عن معاني العبارات:

أ) 3×3؛ 6) 3x4؛ ج) 4×3.

2. اكتب خاصية التوزيع اليسرى للضرب بالنسبة إلى الجمع وأثبتها. ما هي التحولات التعبيرية الممكنة بناء على ذلك؟ لماذا أصبح من الضروري النظر في التوزيع الأيمن والأيسر للضرب بالنسبة إلى الجمع؟

3. إثبات الخاصية الترابطية لضرب الأعداد الطبيعية. ما هي التحولات التعبيرية الممكنة بناء على ذلك؟ هل يتم تدريس هذه الخاصية في المدرسة الابتدائية؟

4. إثبات الخاصية التبادلية للضرب. أعط أمثلة على استخدامه في دورة الرياضيات الابتدائية.

5. ما هي خصائص الضرب التي يمكن استخدامها عند إيجاد قيمة التعبير:

أ) 5×(10 + 4)؛ 6) 125 × 15 × 6؛ ج) (8×379)×125؟

6. ومن المعروف أن 37 - 3 = 111. وباستخدام هذه المساواة، احسب:

أ) 37×18؛ ب) 185×12.

تبرير كافة التحولات المنفذة.

7 . تحديد قيمة التعبير دون إجراء حسابات مكتوبة. برر جوابك:

أ) 8962×8 + 8962×2؛ ب) 63402×3 + 63402×97؛ ج) 849+ 849×9.

8 . ما هي خصائص الضرب التي سيستخدمها طلاب المدارس الابتدائية عند إكمال المهام التالية:

هل من الممكن، دون إجراء حسابات، تحديد التعبيرات التي ستكون لها نفس القيم:

أ) 3×7 + 3×5؛ ب) 7×(5 + 3); ج) (7 + 5)×3؟

هل المساواة صحيحة:

أ) 18×5×2 = 18× (5×2)؛ ج) 5×6 + 5×7 = (6 + 7)×5؛

ب) (3×10)×17 = 3×10×17؛ د) 8×(7 + 9) = 8×7 + 9×8؟

هل من الممكن مقارنة قيم التعبيرات دون إجراء العمليات الحسابية:

أ) 70×32+ 9×32... 79×30 + 79×2؛

ب) 87×70 + 87×8 ... 80×78 +7×78؟

تعدد المعاني

تعدد المعاني، أو تعدد المعاني للكلمات، ينشأ بسبب حقيقة أن اللغة تمثل نظامًا محدودًا بالمقارنة مع التنوع اللامتناهي للواقع الحقيقي، بحيث على حد تعبير الأكاديمي فينوغرادوف: “إن اللغة مجبرة على توزيع معانٍ لا حصر لها تحت واحد أو واحد”. عنوان آخر للمفاهيم الأساسية. (فينوغرادوف "اللغة الروسية" 1947). من الضروري التمييز بين الاستخدامات المختلفة للكلمات في متغير معجمي دلالي واحد والاختلاف الفعلي للكلمة. لذلك، على سبيل المثال، يمكن لكلمة (das)Ol أن تشير إلى عدد من الزيوت المختلفة، باستثناء زيوت البقر (التي لها كلمة زبدة). ومع ذلك، لا يترتب على ذلك أنه، للدلالة على زيوت مختلفة، فإن كلمة Ol سيكون لها معنى مختلف في كل مرة: وفي جميع الأحوال سيكون معناها هو نفسه، أي الزيت (كل شيء ما عدا البقر). تمامًا كما هو الحال على سبيل المثال معنى كلمة جدول Tisch بغض النظر عن نوع الجدول الذي تشير إليه الكلمة في هذه الحالة بالذات. ويختلف الوضع عندما تكون كلمة Ol تعني النفط. هنا لم يعد ما يبرز في المقدمة هو تشابه الزيت من حيث الزيت مع أنواع مختلفة من الزيت، بل الجودة الخاصة للزيت - القابلية للاشتعال. وفي الوقت نفسه، سيتم ربط الكلمات التي تشير إلى أنواع مختلفة من الوقود بكلمة OL: Kohl، Holz، إلخ. وهذا يمنحنا الفرصة لتمييز معنيين من كلمة Ol (أو بمعنى آخر خياران معجميان دلاليان): 1) الزيت (ليس حيوانًا) 2) الزيت.
عادة، تنشأ معاني جديدة عن طريق نقل إحدى الكلمات الموجودة إلى كائن أو ظاهرة جديدة. هذه هي الطريقة التي تتشكل المعاني المجازية. وهي تعتمد إما على تشابه الكائنات أو على اتصال كائن بآخر. هناك عدة أنواع من نقل الأسماء معروفة. وأهمها الاستعارة أو الكناية.
وفي الاستعارة يكون النقل مبنيا على تشابه الأشياء في اللون والشكل وطبيعة الحركة ونحو ذلك. ومع كل التغييرات المجازية، تبقى بعض علامات المفهوم الأصلي

التجانس

يعد تعدد المعاني للكلمة مشكلة كبيرة ومتعددة الأوجه بحيث ترتبط بها بطريقة أو بأخرى مجموعة واسعة من المشكلات في علم المفردات. وعلى وجه الخصوص، فإن مشكلة التجانس تتلامس مع هذه المشكلة في بعض جوانبها.
المرادفات هي الكلمات التي لها نفس النطق ولكن لها معاني مختلفة. في بعض الحالات، تنشأ المرادفات من تعدد المعاني الذي خضع لعملية تدمير. لكن يمكن أن تنشأ المرادفات أيضًا نتيجة لمصادفات صوتية عشوائية. المفتاح الذي يفتح الباب، والمفتاح - الزنبرك أو المنجل - تسريحة الشعر والمنجل - أداة زراعية - هذه الكلمات لها معاني مختلفة وأصول مختلفة، ولكنها تتطابق في صوتها بالصدفة.
تتميز المتجانسات بالمفردات (فهي تتعلق بجزء واحد من الكلام، على سبيل المثال، المفتاح لفتح القفل والمفتاح هو زنبرك. المصدر)، والصرفية (تتعلق بأجزاء مختلفة من الكلام، على سبيل المثال، ثلاثة هي أ الأرقام، ثلاثة هو الفعل في المزاج الحتمي)، المعجمية النحوية، التي يتم إنشاؤها نتيجة للتحويل، عندما تنتقل كلمة معينة إلى جزء آخر من الكلام. على سبيل المثال باللغة الإنجليزية نظرة نظرة وانظر نظرة. هناك بشكل خاص العديد من المرادفات المعجمية والنحوية في اللغة الإنجليزية.
يجب التمييز بين الهوموفونات والتجانسات من المرادفات. الهوموفونات هي كلمات مختلفة، على الرغم من اختلافها في الهجاء، هي نفسها في النطق، على سبيل المثال: البصل - المرج، سيت - الصفحة وسايت - سلسلة.
تعد Homographs كلمات مختلفة لها نفس التهجئة، على الرغم من أنها يتم نطقها بشكل مختلف (سواء من حيث تكوين الصوت أو مكان التركيز في الكلمة)، على سبيل المثال، Castle - Castle.

مرادف

المرادفات هي كلمات متقاربة في المعنى، ولكنها تبدو مختلفة، وتعبر عن ظلال مفهوم واحد.
هناك ثلاثة أنواع من المرادفات:
1. المفاهيمية أو الإيديولوجية. أنها تختلف عن بعضها البعض في المعنى المعجمي. ويتجلى هذا الاختلاف في اختلاف درجات السمة المعينة (الصقيع - البرد، القوي، القوي، الجبار)، في طبيعة تسميتها (سترة مبطنة - سترة مبطنة - سترة مبطنة)، في حجم المفهوم المعبر عنه (راية) - العلم، الجريء - الجريء)، في درجة تماسك المعاني المعجمية (بني - عسلي، أسود - غراب).
2. المرادفات أسلوبية أو وظيفية. وهي تختلف عن بعضها البعض في مجال الاستخدام، على سبيل المثال، العيون - العيون، الوجه - الوجه، الجبهة - الجبين. مرادفات عاطفيا - تقييمي. تعبر هذه المرادفات بشكل علني عن موقف المتحدث تجاه الشخص أو الشيء أو الظاهرة المعينة. على سبيل المثال، يمكن تسمية الطفل رسميًا بطفل، بمودة صبي صغير وصبي صغير، بازدراء صبي ومصاص، وأيضًا تكثيف وازدراء جرو، مصاصة، شقي.
3. المتضادات - مجموعات من الكلمات المتضادة في معناها المعجمي، على سبيل المثال: أعلى - أسفل، أبيض - أسود، حديث - صامت، بصوت عال - هادئ.

علم المعاكسات اللغوية

هناك ثلاثة أنواع من المتضادات:
1. أضداد المعارضة التدريجية والمنسقة، على سبيل المثال، أبيض - أسود، هادئ - مرتفع، قريب - بعيد، جيد - شر، وهكذا. هذه المتضادات لها شيء مشترك في معناها، مما يسمح لها بالتناقض. لذا فإن مفاهيم الأسود والأبيض تشير إلى مفاهيم الألوان المعاكسة.
2. أضداد التكامل والتحويل: حرب - سلام، زوج - زوجة، متزوج - أعزب، ممكن - مستحيل، مغلق - مفتوح.
3. متضادات التقسيم الثنائي للمفاهيم. غالبًا ما تكون لها نفس الكلمات الجذرية: شعبي - مناهض للوطن، قانوني - غير قانوني، إنساني - غير إنساني.
المثير للاهتمام هو ما يسمى التضاد داخل الكلمات، عندما تتناقض معاني الكلمات التي لها نفس الغلاف المادي. على سبيل المثال، في اللغة الروسية، الفعل "إقراض شخص ما" يعني "إقراض"، واقتراض المال من شخص ما يعني بالفعل اقتراض المال من شخص ما. يُطلق على معارضة المعاني داخل الكلمات اسم enantiosemy.

6. البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية. طريقة بديهية لبناء نظرية رياضية. متطلبات النظام البديهي: الاتساق، الاستقلال، الاكتمال. بديهيات بيانو. مفهوم العدد الطبيعي من موقف بديهي. نماذج من نظام بيانو البديهي. جمع وضرب الأعداد الطبيعية من المواضع البديهية. انتظام مجموعة الأعداد الطبيعية. خصائص مجموعة الأعداد الطبيعية. طرح وقسمة مجموعة من الأعداد الطبيعية من المواضع البديهية. طريقة الاستقراء الرياضي. إدخال الصفر وبناء مجموعة من الأعداد الصحيحة غير السالبة. نظرية القسمة على الباقي

المفاهيم والتعاريف الأساسية

رقم -إنه تعبير عن كمية معينة.

عدد طبيعيعنصر من تسلسل مستمر إلى أجل غير مسمى.

الأعداد الطبيعية (الأعداد الطبيعية) -الأرقام التي تنشأ بشكل طبيعي عند العد (سواء بمعنى التعداد أو بمعنى حساب التفاضل والتكامل).

هناك طريقتان لتعريف الأعداد الطبيعية - الأعداد المستخدمة في:

سرد (ترقيم) العناصر (الأول، الثاني، الثالث، ...)؛

تعيين عدد العناصر (لا يوجد عناصر، عنصر واحد، عنصران، ...).

اكسيوم –وهي المنطلقات الأساسية (المبادئ البديهية) لنظرية معينة، والتي يُستخرج منها باقي محتوى هذه النظرية بالاستدلال، أي بالوسائل المنطقية البحتة.

العدد الذي له مقسومان فقط (الرقم نفسه والرقم واحد) يسمى - رقم أولي.

عدد مركبهو الرقم الذي له أكثر من مقسومين.

§2. بديهيات الأعداد الطبيعية

يتم الحصول على الأعداد الطبيعية عن طريق عد الأشياء وقياس الكميات. أما إذا ظهرت أثناء القياس أعداد غير الأعداد الطبيعية فإن العد لا يؤدي إلا إلى الأعداد الطبيعية. للعد، تحتاج إلى سلسلة من الأرقام تبدأ برقم واحد والتي تسمح لك بالانتقال من رقم إلى آخر عدة مرات حسب الضرورة. بمعنى آخر، نحن بحاجة إلى جزء من السلسلة الطبيعية. لذلك، عند حل مشكلة تبرير نظام الأعداد الطبيعية، أولا وقبل كل شيء، كان من الضروري الإجابة على سؤال ما هو الرقم كعنصر من عناصر السلسلة الطبيعية. تم تقديم الإجابة على ذلك في أعمال اثنين من علماء الرياضيات - الألماني جراسمان والبيانو الإيطالي.لقد اقترحوا بديهية فيها تم تبرير العدد الطبيعي كعنصر في تسلسل مستمر إلى أجل غير مسمى.

يتم البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية وفقًا للقواعد المصاغة.

يمكن اعتبار البديهيات الخمس بمثابة تعريف بديهي للمفاهيم الأساسية:

1 هو عدد طبيعي؛

العدد الطبيعي التالي هو عدد طبيعي؛

1 لا يتبع أي عدد طبيعي؛

إذا كان عددا طبيعيا أيتبع عددا طبيعيا بويتجاوز العدد الطبيعي مع، الذي - التي بو معمتطابقة؛

إذا ثبت أي افتراض لـ 1 وإذا كان من افتراض أنه صحيح لعدد طبيعي ن، ويترتب على ذلك أن هذا صحيح لما يلي نعدد طبيعي، فإن هذه الجملة صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية.

وحدة– هذا هو الرقم الأول من السلسلة الطبيعية , وكذلك أحد الأرقام في نظام الأرقام العشري.

يُعتقد أن تسمية وحدة من أي فئة بنفس العلامة (قريبة جدًا من العلامة الحديثة) ظهرت لأول مرة في بابل القديمة منذ حوالي ألفي عام قبل الميلاد. ه.

اليونانيون القدماء، الذين اعتبروا الأعداد الطبيعية فقط أرقامًا، اعتبروا كل منها مجموعة من الوحدات. تُعطى الوحدة نفسها مكانة خاصة: فهي لا تعتبر رقمًا.

كتب I. Newton: "... من حيث العدد، فإننا لا نفهم مجموعة من الوحدات بقدر ما نفهم علاقة مجردة بكمية واحدة بكمية أخرى، مقبولة تقليديًا من قبلنا كوحدة." وهكذا، فقد اتخذ المرء بالفعل مكانه الصحيح بين الأرقام الأخرى.

العمليات الحسابية على الأعداد لها خصائص متنوعة. ويمكن وصفها بالكلمات، على سبيل المثال: “لا يتغير المجموع بتغير مواضع الألفاظ”. يمكنك كتابتها بالأحرف: أ+ب = ب+أ. يمكن التعبير عنها بعبارات خاصة.

نحن نطبق القوانين الأساسية في الحساب في كثير من الأحيان بدافع العادة، دون أن ندرك ذلك:

1) قانون التبادل (الإبدال) - خاصية الجمع والضرب للأعداد معبراً عنها بالمهويات:

أ+ب = ب+أ أ*ب = ب*أ;

2) القانون التوافقي (الترابط) - خاصية الجمع والضرب للأعداد معبراً عنها بالهويات:

(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج) (أ*ب)*ج = أ*(ب*ج);

3) قانون التوزيع (التوزيع) - خاصية تربط جمع وضرب الأعداد ويتم التعبير عنها بالهويات:

أ*(ب+ج) = أ*ب+أ*ج (ب+ج) *أ = ب*أ+ج*أ.

بعد إثبات قوانين عمل الضرب التبادلية والتوليفية والتوزيعية (فيما يتعلق بالإضافة)، فإن البناء الإضافي لنظرية العمليات الحسابية على الأعداد الطبيعية لا يمثل أي صعوبات أساسية.

حاليًا، في رؤوسنا أو على قطعة من الورق، نقوم فقط بأبسط العمليات الحسابية، ونعهد بشكل متزايد بالأعمال الحسابية الأكثر تعقيدًا إلى الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر. ومع ذلك، فإن تشغيل جميع أجهزة الكمبيوتر - البسيطة والمعقدة - يعتمد على أبسط عملية - وهي جمع الأعداد الطبيعية. اتضح أن الحسابات الأكثر تعقيدا يمكن اختزالها إلى الجمع، ولكن يجب إجراء هذه العملية عدة ملايين من المرات.

الأساليب البديهية في الرياضيات

أحد الأسباب الرئيسية لتطور المنطق الرياضي هو انتشاره الطريقة البديهيةفي بناء نظريات رياضية مختلفة، في المقام الأول، الهندسة، ومن ثم الحساب، ونظرية المجموعة، وما إلى ذلك. الطريقة البديهيةيمكن تعريفها بأنها نظرية مبنية على نظام مختار مسبقًا من المفاهيم والعلاقات غير المحددة بينها.

في البناء البديهي للنظرية الرياضية، يتم تحديد نظام معين من المفاهيم والعلاقات غير المحددة بينهما بشكل مبدئي. وتسمى هذه المفاهيم والعلاقات الأساسية. التالي، أدخل البديهياتأولئك. الأحكام الرئيسية للنظرية قيد النظر، مقبولة دون دليل. كل المحتوى الإضافي للنظرية مشتق منطقيًا من البديهيات. لأول مرة، قام إقليدس بالبناء البديهي للنظرية الرياضية في بناء الهندسة.

جوفبو

جامعة تولا الحكومية التربوية

سميت على اسم L. N. تولستوي

الأنظمة العددية

تولا 2008

الأنظمة العددية

الدليل مخصص لطلاب التخصصات الرياضية في إحدى الجامعات التربوية وتم تطويره وفقًا لمعايير الدولة لدورة "الأنظمة العددية". يتم تقديم المواد النظرية. يتم تحليل حلول المهام النموذجية. يتم توفير تمارين للحل في الفصول العملية.

جمعتها -

مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ مشارك في قسم الجبر والهندسة، TSPU سميت باسم. L. N. Tolstoy Yu.A. Ignatov

المراجع -

مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ قسم التحليل الرياضي، جامعة TSPU. L. N. Tolstoy I. V. دينيسوف

الطبعة التعليمية

الأنظمة العددية

جمعتها

إجناتوف يوري ألكساندروفيتش

الأنظمة العددية

يغطي هذا المقرر أساسيات الرياضيات. فهو يوفر بناء بديهيًا صارمًا للأنظمة العددية الأساسية: الطبيعية، والعدد الصحيح، والعقلاني، والحقيقي، والمعقد، وكذلك الكواترنيونات. لأنه يقوم على نظرية النظم البديهية الرسمية، والتي تمت مناقشتها في سياق المنطق الرياضي.

في كل فقرة، يتم ترقيم النظريات أولا. إذا كان من الضروري الإشارة إلى نظرية من فقرة أخرى، يتم استخدام الترقيم التدريجي: يتم وضع رقم الفقرة قبل رقم النظرية. على سبيل المثال، النظرية 1.2.3 هي النظرية 3 من الفقرة 1.2.

الأعداد الصحيحة

النظرية البديهية للأعداد الطبيعية

يتم تعريف النظرية البديهية بالعناصر التالية:

مجموعة من الثوابت؛

مجموعة من الرموز الوظيفية للدلالة على العمليات؛

مجموعة من الرموز الأصلية لتمثيل العلاقات؛

قائمة البديهيات التي تربط العناصر المذكورة أعلاه.

بالنسبة للنظرية البديهية الرسمية، يتم أيضًا الإشارة إلى قواعد الاستدلال التي يتم من خلالها إثبات النظريات. في هذه الحالة، تتم كتابة جميع البيانات في شكل صيغ لا يهم معناها، ويتم إجراء التحولات على هذه الصيغ وفقًا لقواعد معينة. في النظرية البديهية الموضوعية، لم يتم تحديد قواعد الاستدلال. يتم إجراء البراهين على أساس الإنشاءات المنطقية العادية التي تأخذ في الاعتبار معنى البيانات التي يتم إثباتها.

يبني هذا المقرر نظريات ذات معنى للأنظمة العددية الأساسية.

الشرط الأكثر أهمية للنظرية البديهية هو اتساقها. ويتم إثبات الاتساق من خلال بناء نموذج لنظرية في نظرية أخرى. ومن ثم يتم تقليل اتساق النظرية قيد النظر إلى اتساق النظرية التي تم بناء النموذج عليها.

بالنسبة لنظام الأعداد الصحيحة، يتم بناء النموذج في إطار نظام الأعداد الطبيعية، بالنسبة للأعداد العقلانية - ضمن نظام الأعداد الصحيحة، وما إلى ذلك. والنتيجة هي سلسلة من النظريات البديهية، حيث تعتمد كل نظرية على النظرية السابقة. لكن بالنسبة للنظرية الأولى في هذه السلسلة، وهي نظرية الأعداد الطبيعية، فلا يوجد مكان لبناء نموذج. لذلك، بالنسبة لنظام الأعداد الطبيعية، من الضروري بناء نظرية لا شك في وجود نموذج لها، على الرغم من أنه من المستحيل إثبات ذلك بشكل صارم.

يجب أن تكون النظرية بسيطة للغاية. ولهذا الغرض، فإننا نعتبر نظام الأعداد الطبيعية مجرد أداة لعد الأشياء. ويجب تحديد عمليات الجمع والضرب وعلاقات الترتيب بعد بناء النظرية بالشكل المشار إليه.

لاحتياجات العد، يجب أن يكون نظام الأعداد الطبيعية عبارة عن تسلسل يتم فيه تعريف العنصر الأول (الوحدة) ولكل عنصر يتم تحديد العنصر التالي. ووفقا لهذا نحصل على النظرية التالية.

ثابت: وحدة 1).

رمز الوظيفة: "™". يشير إلى عملية "المتابعة" الأحادية، أي أÂ - الرقم التالي أ. في هذه الحالة الرقم أمُسَمًّى سابقل أ¢.

لا توجد أحرف أصلية خاصة. يتم استخدام علاقة المساواة المعتادة والعلاقات النظرية. لن يتم الإشارة إلى البديهيات الخاصة بهم.

يتم الإشارة إلى المجموعة التي تقوم عليها النظرية ن.

البديهيات:

(ن1) (" أ) أ¢ ¹ 1 (واحد لا يتبع أي رقم).

(ن2) (" أ)("ب) (أ¢ = ب¢ ® أ = ب) (كل رقم له سلف واحد على الأكثر).

(ن3) م Í ن، 1O م, ("أ)(أÎ م ® أ¢Î م) Þ م = ن(بديهية الاستقراء الرياضي).

تم اقتراح البديهيات المذكورة أعلاه (مع تغييرات طفيفة) من قبل عالم الرياضيات الإيطالي بيانو في نهاية القرن التاسع عشر.

ليس من الصعب استخلاص بعض النظريات من البديهيات.

النظرية 1. (طريقة الاستقراء الرياضي). يترك ر(ن) - المسند المحدد على مجموعة ن. فليكن صحيحا ر(1) و (" ن)(ص(ن)® ص(ن§)). ثم ر(ن) هو مسند صحيح مماثل على ن.

دليل. يترك م– مجموعة الأعداد الطبيعية ن، لأي منهم ر(ن) صحيح. ثم 1O موفقا لشروط النظرية. التالي إذا نÎ م، الذي - التي ص(ن) صحيح بالتعريف م, ص(ن¢) صحيح وفقا لشروط النظرية، و ن¢Î مأ-بريوري م. جميع مقدمات البديهية الاستقراء مستوفاة، وبالتالي، م = ن. حسب التعريف م، هذا يعني انه ر(ن) صحيح لجميع الأرقام من ن. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 2.أي رقم أرقم 1 له سابقة، وواحد فقط.

دليل. يترك م- مجموعة الأعداد الطبيعية التي تحتوي على 1 وجميع الأعداد التي لها سابقتها. ثم 1O م. لو أÎ م، الذي - التي أ¢Î م، لأن أ¢ له سابقة (لم يتم استخدام الشرط هنا حتى أÎ م). لذلك، من خلال بديهية الحث م = ن. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 3.أي رقم يختلف عن الرقم التالي.

يمارس. بعد تحديد الأعداد الطبيعية 1 ¢ = 2، 2 ™ = 3، 3 ™ = 4، 4 ™ = 5، 5 ™ = 6، أثبت أن 2 ¹ 6.

إضافة الأعداد الطبيعية

يتم إعطاء التعريف العودي التالي لإضافة الأعداد الطبيعية.

تعريف.جمع الأعداد الطبيعية هو عملية ثنائية تنطبق على الأعداد الطبيعية أو بيطابق الرقم أ + ب، والتي تتمتع بالخصائص التالية:

(س1) أ + 1 = أ¤ لأي شخص أ;

(س2) أ + ب¢ = ( أ + ب) ™ لأي أو ب.

مطلوب إثبات صحة هذا التعريف، أي وجود عملية تفي بالخصائص المعطاة. تبدو هذه المهمة بسيطة للغاية: يكفي إجراء الحث عليها ب، العد أمُثَبَّت. في هذه الحالة، لا بد من اختيار مجموعة مقيم ب، التي من أجلها العملية أ + بمحددة ومحققة للشروط (S1) و (S2). عند إجراء التحول الاستقرائي، يجب علينا أن نفترض أن ل بيتم إجراء العملية، وإثبات أنه تم إجراؤها من أجل ب™. لكن في الملكية (س2) التي يجب الرضا بها ب، يوجد بالفعل رابط ل أ + ب™. وهذا يعني أن هذه الخاصية تفترض تلقائيًا وجود عملية لـ أ + ب¢، وبالتالي للأرقام اللاحقة: بعد كل شيء، ل أ + بيجب أيضًا استيفاء الخاصية (S2). قد يعتقد المرء أن هذا يجعل المشكلة أسهل فقط من خلال جعل الخطوة الاستقرائية تافهة: العبارة التي يتم إثباتها تكرر ببساطة الفرضية الاستقرائية. لكن الصعوبة هنا تكمن في إثبات قاعدة الاستقراء. للقيمة ب= 1، يجب أيضًا استيفاء الخاصيتين (S1) و(S2). لكن الخاصية (S2) كما هو موضح تفترض وجود عملية لجميع القيم التي تليها 1. وهذا يعني أن التحقق من قاعدة الاستقراء يفترض برهانًا ليس لواحد، بل لجميع الأرقام، ويفقد الاستقراء معناه: قاعدة الاستقراء تتطابق مع البيان الذي تم إثباته.

المنطق أعلاه لا يعني أن التعريفات العودية غير صحيحة أو تتطلب تبريرًا دقيقًا في كل مرة. لتبريرها، تحتاج إلى استخدام خصائص الأعداد الطبيعية، والتي يتم تحديدها فقط في هذه المرحلة. بمجرد إنشاء هذه، يمكن إثبات صحة التعريفات العودية. والآن، دعونا نثبت وجود عملية الجمع عن طريق الاستقراء أ: في الصيغتين (S1) و (S2) لا يوجد اتصال بين الجمع لـ أو أ¢.

النظرية 1.إن جمع الأعداد الطبيعية أمر ممكن دائمًا، وهو أمر فريد من نوعه.

دليل. أ) أولا نثبت التفرد. دعونا إصلاحه أ. ثم نتيجة العملية أ + بهناك وظيفة من ب. لنفترض أن هناك وظيفتين من هذا القبيل F(ب) و ز(ب) ، لها الخاصيتين (S1) و (S2). دعونا نثبت أنهم متساوون.

يترك م- مجموعة من المعاني ب، لأي منهم F(ب) = ز(ب). حسب العقار (S1)
F(1) = أ + 1 = أ™ و ز(1) = أ + 1 = أ¤ تعني F(1) = ز(١)، و١ م.

دعها الآن بÎ م، إنه F(ب) = ز(ب). حسب العقار (S2)

F(ب¢) = أ + ب¢ = ( أ + ب)¢= F(ب)¢, ز(ب¢) = أ + ب¢ = ( أ + ب)¢= ز(ب)¢ = F(ب¢),

وسائل، ب¢Î م. بواسطة بديهية الحث م = ن. لقد تم إثبات التفرد.

ب) الآن عن طريق الحث أدعونا نثبت وجود العملية أ + ب. يترك م- مجموعة من تلك القيم أ، التي من أجلها العملية أ + بمع الخصائص (S1) و (S2) محددة للجميع ب.

يترك أ= 1. دعونا نعطي مثالا على مثل هذه العملية. حسب التعريف نفترض 1 + ب == ب™. دعونا نبين أن هذه العملية تلبي الخاصيتين (S1) و (S2). (S1) له الصيغة 1 + 1 = 1¢، وهو ما يتوافق مع التعريف. الفحص (س2): 1 +ب¢ =( ب¢)¢ =
= (1+ب) ¢، و (S2) راض. لذلك، 1О م.

دعها الآن أÎ م. دعونا نثبت ذلك أ¢Î م. ونحن نعتقد بحكم التعريف
أ¢ +ب = (أ+ ب) ™. ثم

أ¢ + 1 = (أ+ 1) ¢ = ( أ¢)¢,

أ¢ +ب¢ = ( أ+ ب¢)¢ = (( أ+ ب)¢)¢ = ( أ¢ +ب)¢,

والخصائص (S1) و (S2) راضية.

هكذا، م = ن، ويتم تعريف الجمع لجميع الأعداد الطبيعية. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 2.إن جمع الأعداد الطبيعية هو أمر ترابطي

(أ + ب) + ج = أ + (ب+ج).

دليل. دعونا إصلاحه أو بوتنفيذ الحث على مع. يترك م- مجموعة من تلك الأرقام مع، والتي تكون المساواة صحيحة. وبناء على الخاصيتين (S1) و (S2) نجد أن:

(أ + ب) + 1 = (أ + ب)¢ = ( أ + ب¢) = أ +(ب+ 1) Þ 1О م.

دعها الآن معÎ م. ثم

(أ + ب) + ج¢ = (( أ + ب) + ج)¢ = ( أ +(ب + ج))¢ = أ +(ب + ج)¢ = أ +(ب + ج¢),

و ج¢Î م. حسب البديهية (N3) م = ن. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 3.جمع الأعداد الطبيعية هو عملية تبادلية

أ + ب = ب + أ. (1)

دليل. دعونا إصلاحه أوتنفيذ الحث على ب.

يترك ب= 1، أي أنه من الضروري إثبات المساواة

أ + 1 = 1 + أ. (2)

نثبت هذه المساواة عن طريق الحث على أ.

في أ= 1 المساواة تافهة. دع الأمر يتم من أجل أ، دعونا نثبت ذلك ل أ™. لدينا

أ§ + 1 = ( أ + 1) + 1 = (1 + أ) + 1 = (1 + أ) ¢ = 1+ أ¢.

اكتمل التحول الاستقرائي. وبموجب مبدأ الاستقراء الرياضي، فإن المساواة (2) صحيحة للجميع أ. وهذا يدل على بيان قاعدة الاستقراء ب.

دعونا الآن تكون الصيغة (1) كافية ب. دعونا نثبت ذلك ل ب™. لدينا

أ +ب¢ = ( أ +ب)¢ = ( ب + أ)¢ = ب + أ¢ = ب + (أ + 1) = ب + (1 + أ) = (ب + 1) + أ = ب¢ + أ.

باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي، تم إثبات النظرية.

النظرية 4.أ + ب ¹ ب.

والدليل هو ممارسة.

النظرية 5.لأي أرقام أو بتحدث حالة واحدة فقط من الحالات التالية:

1) أ = ب.

2) هناك رقم كمثل ذلك أ = ب + ك.

3) هناك رقم لمثل ذلك ب = أ + ل.

دليل. يستنتج من النظرية 4 أن حالة واحدة من هذه الحالات تحدث على الأكثر، لأنه من الواضح أن الحالتين 1) و2)، وكذلك 1) و3) لا يمكن أن تحدث في وقت واحد. إذا حدثت الحالتان 2) و3) في وقت واحد، إذن أ = ب + ك=
= (أ + ل) + ك = أ+ (ل + ك), وهو ما يتعارض مرة أخرى مع النظرية الرابعة. دعونا نثبت أن واحدة على الأقل من هذه الحالات تحدث دائمًا.

السماح باختيار رقم أو م –الكثير من هؤلاء ب،لكل منها، نظرا أتحدث الحالة 1) أو 2) أو 3).

يترك ب= 1. إذا أ= 1، إذن لدينا الحالة 1). لو أ¹ 1، ثم حسب النظرية 1.1.2 لدينا

أ = ك" = ك + 1 = 1 + ك،

أي أن لدينا الحالة 2) لـ ب= 1. إذن 1 ينتمي م.

يترك بينتمي م.ثم الحالات التالية ممكنة:

- أ = ب،وسائل، ب" = ب + 1 = أ+ 1، أي أن لدينا الحالة 3) لـ ب";

- أ = ب+ك,و إذا ك= 1 إذن أ = ب+ 1 = ب"، أي الحالة 1) تحدث لـ ب";

لو كرقم 1 إذن ك = ر"و

أ = ب + ت" = ب + (ر + 1)= ب + (1+م) = (ب+ 1)+ م = ب¢ +م،

أي أن الحالة 2) تحدث لـ ب";

- ب = أ +أرض ب" =(أ + ل)¢ = أ + ل¢، أي أن لدينا الحالة 3) لـ ب".

في جميع الحالات ب"ينتمي م.لقد تم إثبات النظرية.

يمارس. أثبت، بناءً على تعريف المجموع، أن 1 + 1 = 2، 1 + 2 = 3، 2 + 2 = 4، 2 + 3 = 5، 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

ضرب الأعداد الطبيعية

تعريف.ضرب الأعداد الطبيعية هو عملية ثنائية تنطبق على الأعداد الطبيعية أو بيطابق الرقم أب(أو أ × ب)، والتي تتمتع بالخصائص التالية:

(ف1) أ×1 = ألأي احد أ;

(ف2) أب" = أب + ألأي أو ب.

وفيما يتعلق بتعريف الضرب، فإن جميع الملاحظات التي وردت في الفقرة السابقة بشأن تعريف الجمع تظل صحيحة. على وجه الخصوص، ليس من الواضح بعد أن هناك مراسلات مع الخصائص الواردة في التعريف. ولذلك، فإن النظرية التالية، المشابهة للنظرية 1.2.1، لها أهمية أساسية كبيرة.

النظرية 1.لا يوجد سوى ضرب واحد للأعداد الطبيعية. بمعنى آخر، الضرب دائمًا ممكن ولا لبس فيه.

الدليل مشابه تمامًا لتلك الموجودة في النظرية 1.2.1 ويتم تقديمه كتمرين.

من السهل إثبات خصائص الضرب التي تمت صياغتها في النظريات التالية. يعتمد إثبات كل نظرية على النظريات السابقة.

النظرية 2.(قانون التوزيع الصحيح):( أ + ب)ج = أ + ق.

النظرية 3.الضرب تبادلي : أب = با.

النظرية 4.(قانون التوزيع الأيسر): ج(أ + ب)= سا + سب.

النظرية 5.الضرب هو النقابي: أ(قبل الميلاد) = (أب)ج.

تعريف.نصف الدائرة هو نظام حيث + و × هما عمليتان جمع وضرب ثنائيتان تستوفيان البديهيات:

(1) هي شبه مجموعة إبدالية، أي أن الجمع هو تبادلي وترابطي؛

(2) – شبه المجموعة، أي أن الضرب ترابطي؛

(3) يحمل التوزيع اليمين واليسار.

من وجهة نظر جبرية، فإن نظام الأعداد الطبيعية فيما يتعلق بالجمع والضرب يشكل نصف حلقة.

يمارس. يثبت بناء على تعريف المنتج ذلك
2×2 = 4، 2×3 = 6.

تمارين

إثبات الهويات:

1. 1 2 + 2 2 + ... + ن 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + ن 3 = .

العثور على المبلغ:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + ن × ن!.

إثبات عدم المساواة:

7. ن 2 < 2n для ن > 4.

8. 2ن < ن! ل ن³ 4.

9. (1 + س)ن³ 1 + nx، أين س > –1.

10. في ن > 1.

11. في ن > 1.

12. .

13. أوجد الخطأ في البرهان بالاستقراء على أن جميع الأرقام متساوية. نثبت عبارة مماثلة: في أي مجموعة من نالأرقام، جميع الأرقام متساوية مع بعضها البعض. في ن= 1 عبارة صحيحة. فليكن صحيحا ل ن = ك، دعونا نثبت ذلك ل ن = ك+ 1. خذ مجموعة تعسفية
(ك+ 1) أرقام. دعونا نزيل رقمًا واحدًا منه أ. غادر كالأرقام، من خلال الفرضية الاستقرائية، فهي متساوية مع بعضها البعض. على وجه الخصوص، رقمان متساويان بو مع. الآن دعونا نزيل الرقم من المجموعة معوتشغيله أ. في المجموعة الناتجة لا يزال هناك كالأرقام، مما يعني أنها متساوية أيضًا مع بعضها البعض. بخاصة، أ = ب. وسائل، أ = ب = ج، و هذا كل شيء ( ك+ 1) الأرقام متساوية مع بعضها البعض. اكتمل الانتقال الاستقرائي وثبت البيان.

14. إثبات المبدأ المعزز للاستقراء الرياضي:

يترك أ(ن) هو مسند على مجموعة الأعداد الطبيعية. يترك أ(١) صحيح ومن الحق أ(ك) لجميع الأرقام ك < ميتبع الحقيقة أ(م). ثم أ(ن) صحيح للجميع ن.

مجموعات مرتبة

دعونا نتذكر التعريفات الأساسية المرتبطة بعلاقة الطلب.

تعريف.العلاقة f ("أعلاه") على المجموعة ممُسَمًّى علاقة النظام، أو ببساطة مرتبإذا كانت هذه العلاقة متعدية وغير متماثلة. النظام ب م، يتم استدعاء fñ مجموعة مرتبة.

تعريف. أمر صارم، إذا كان مضادًا للانعكاس، و أمر فضفاض، إذا كان انعكاسيا.

تعريف.تسمى العلاقة من الرتبة f بالعلاقة ترتيب خطي، إذا كان متصلا، وهذا هو أ ¹ بÞ أ F بÚ ب F أ. يتم استدعاء الأمر غير الخطي جزئي.

تعريف.دعونا ا م أ- مجموعة فرعية م. عنصر تمجموعات أمُسَمًّى الأصغرإذا كان أقل من جميع العناصر الأخرى في المجموعة أ، إنه

("XÎ أ)(X ¹ ت® X F ت).

تعريف.دعونا ا م، fñ - مجموعة مرتبة، أ- مجموعة فرعية م. عنصر تمجموعات أمُسَمًّى الحد الأدنى، إذا كان في مجموعة ألا يوجد عنصر أصغر، وهذا هو (" XÎ أ)(X ¹ ت® Ø ت F X).

يتم تحديد العناصر الأكبر والحد الأقصى بالمثل.

تمارين

1. أثبت أن العلاقة المتعدية والمضادة للانعكاس هي علاقة ترتيبية.

2. اثبات أن علاقة القسمة M على المجموعة نهناك علاقة ترتيب جزئية.

3. أثبت أن المجموعة يمكن أن تحتوي على عنصر واحد أكبر على الأكثر وعنصر واحد أصغر على الأكثر.

4. أوجد جميع العناصر الصغرى والعظمى والأكبر والأصغر في المجموعة (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) لعلاقة قابلية القسمة.

5. أثبت أنه إذا كانت المجموعة تحتوي على أصغر عنصر، فهي العنصر الأدنى الوحيد.

6. بكم طريقة يمكننا تحديد الترتيب الخطي لمجموعة من ثلاثة عناصر؟ خطية وصارمة؟ الخطية والتراخي؟

7. دعونا ا م، fñ هي مجموعة مرتبة خطيًا. اثبات أن العلاقة > يحددها الشرط

أ > ب Û أ F ب & أ¹ ب

هي علاقة ذات ترتيب خطي صارم.

8. دعونا ا م، fñ هي مجموعة مرتبة خطيًا. أثبت أن العلاقة ³ محددة بالشرط

أ ³ ب Û أ F ب Ú أ= ب،

هي علاقة ذات ترتيب خطي غير صارم.

تعريف.المجموعة المرتبة خطياً ب م، fñ، حيث كل مجموعة فرعية غير فارغة تحتوي على أصغر عنصر تسمى منظم تمامًا. العلاقة f في هذه الحالة تسمى العلاقة اكمل الطلب.

وفقا للنظرية 1.4.6، فإن نظام الأعداد الطبيعية هو مجموعة مرتبة تماما.

تعريف.دعونا ا م فترة مفصولة بالعنصر أ، تسمى مجموعة ر أجميع العناصر أدناه أومختلفة عن أ، إنه

ر أ = {س Î مï أ F س, س¹ أ}.

على وجه الخصوص، إذا أهو الحد الأدنى للعنصر، ثم ر أ = Æ.

النظرية 1.(مبدأ الحث العابر للحدود). دعونا ا م، fñ هي مجموعة مرتبة بالكامل و أ Í م. دع لكل عنصر أمن ممن الانتماء أجميع عناصر الفاصل الزمني ر أيتبع ذلك أÎ أ. ثم أ = م.

دليل.

يترك أ" = م\أهو الفرق النظري للمجموعات مو أ.لو أ"= Æ إذن أ = م،وهذه النظرية صحيحة. لو أ"¹ Æ , ثم منذ ذلك الحين مهي مجموعة مرتبة بالكامل، ثم المجموعة أ"يحتوي على أصغر عنصر ت.في هذه الحالة، جميع العناصر السابقة تومختلفة عن تي،لا تنتمي أ"وبالتالي تنتمي أ.هكذا، ص م Í أ.لذلك، وفقا لشروط النظرية ت Î أ،وبالتالي ت Ï أ"،خلافا للافتراض.

دعونا ا أ; fñ هي مجموعة مرتبة. سوف نفترض ذلك أ– مجموعة منتهية . بكل عنصر أمجموعات أدعونا نقارن بعض النقاط ت (أ) لمستوى معين بحيث إذا كان العنصر أيتبع العنصر مباشرة ب،ثم أشر ت (أ) سنضع فوق هذه النقطة تي (ب)وربطهم بقطعة. ونتيجة لذلك، نحصل على رسم بياني يتوافق مع هذه المجموعة المرتبة.

تمارين

9. دعونا ا م، fñ هي مجموعة مرتبة بالكامل، ب Î آنسةÎ م.أثبت ذلك أو الرصاص = ص ،أو الرصاص Ì ص ،أو ص Ì الرصاص.

10. دعونا ا م، و ١ ق و ب ل, f 2 ñ هي مجموعات مرتبة تمامًا بحيث
م Ç ل=Æ . بوفرة م È لدعونا نحدد العلاقة الثنائية f بالشروط التالية:

1) إذا أ، بÎ م،الذي - التي، أ F ب Û أو 1 ب;

2) إذا أ، بÎ ل،الذي - التي، أ F ب Û أو 2 ب;

3) إذا أÎ م، بÎ ل،الذي - التي، أ F ب.

إثبات هذا النظام ب مÈ ل، fñ هي مجموعة مرتبة بالكامل.

مجموعات شبه مرتبة

تعريف.نصف المجموعةيسمى الجبر أ أ، *ñ، حيث * هي عملية ثنائية ترابطية.

تعريف.نصف المجموعة أ أ, *ñ تسمى مجموعة شبه مع اختزال إذا كانت تستوفي الخصائص

أ*ج = ب*ج Þ أ = ب;ج*أ = ج*ب Þ أ = ب.

تعريف.أمرت نصف المجموعةيسمى النظام ب أ, +, fñ, حيث:

1) النظام ب أ, +ñ – نصف المجموعة;

2) النظام ب أ, fñ - مجموعة مرتبة؛

3) العلاقة f رتيبة بالنسبة لعملية نصف المجموعة، أي
أ F ب Þ أ+ج F ب + ج، ج + أ F ج+ب.

أمرت نصف المجموعة á أ، +، fñ يتم استدعاؤها مجموعة مرتبة، إذا كان النظام ب أ, +ñ – مجموعة.

وفقا لأنواع العلاقات النظام يتم تحديدها مجموعة نصف مرتبة خطيًا، مجموعة نصف مرتبة خطيًا، مجموعة نصف مرتبة جزئيًا، نصف مجموعة مرتبة بشكل صارمإلخ.

النظرية 1.في نصف مجموعة مرتبة á أ، +، يمكن إضافة عدم المساواة fñ، أي أ F ب، ج F د Þ أ+ج F ب + د.

دليل. لدينا

أ F ب Þ أ+ج F ب + ج، ج F د Þ ب+ج F ب + د،

من أين عن طريق العبور أ+ج F ب + د. لقد تم إثبات النظرية.

التمرين 1. أثبت أن نظام الأعداد الطبيعية عبارة عن شبه مجموعة مرتبة جزئيًا فيما يتعلق بالضرب والقسمة.

من السهل أن نرى أن النظام ب ن, +, >ñ - نصف مجموعة مرتبة بشكل صارم، ب ن, +, ³ñ هي مجموعة نصفية غير مرتبة بشكل صارم. يمكننا أن نعطي مثالا على هذا الترتيب للمجموعة النصفية á ن، +ñ، حيث يكون الترتيب ليس صارمًا ولا غير صارمًا.

تمرين 2. دعونا نحدد الترتيب f في نظام الأعداد الطبيعية على النحو التالي: أ F ب Û أ ³ ب & أ¹ 1. أثبت أن ب ن, +, fñ عبارة عن مجموعة شبه مرتبة حيث لا يكون الترتيب فيها صارمًا أو غير صارم.

مثال 1.يترك أ– مجموعة من الأعداد الطبيعية لا تساوي الواحد . دعونا نحدد النسبة f في أبالطريقة الآتية:

أ F ب Û ($ كÎ ن)(أ = ب + ك) & برقم 3.

إثبات هذا النظام ب أ, +, fñ هي مجموعة شبه مرتبة بشكل جزئي وصارم.

دليل. دعونا نتحقق من العبور:

أ F ب، ب F ج Þ أ = ب + ك، برقم 3، ب = ج + ل، ج¹ 3 ص أ = ج +(ك+ل)، ج¹ 3 ص أ F ج.

لأن أ F ب Þ أ > ب، ثم يتم استيفاء المضادة للانعكاس. يتضح من التمرين 2.1.1 أن f هي علاقة ذات ترتيب صارم. الترتيب جزئي لأن العنصرين 3 و 4 ليس لهما أي علاقة.

العلاقة f رتيبة فيما يتعلق بالجمع. والواقع أن الشرط أ F ب Þ أ+ج F ب+جلا يمكن انتهاكها إلا عندما
ب+ج= 3. لكن المجموع يمكن أن يساوي 3، لأنه ممكن ألا وحدة.

لا يمكن ترتيب مجموعة من عنصرين بشكل خطي وصارم. في الواقع، دع 0 و 1 هما عناصرها (0 هو صفر المجموعة). لنفترض أن 1 > 0. ثم نحصل على 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

النظرية 2.كل مجموعة شبه قابلة للإلغاء مرتبة خطيًا يمكن ترتيبها خطيًا وصارمًا.

دليل. دعونا ا أ, +, fñ هي مجموعة نصف مرتبة. يتم تعريف علاقة الأمر الصارمة > كما في التمرين 2.1.5: أ > ب Û أ F ب & أ¹ ب. دعونا نبين أن الشرط 3) من تعريف نصف المجموعة المرتبة قد تم استيفاءه.

أ > ب Þ أ F ب, أ¹ بÞ أ+ج F ب+ج.

لو أ+ج = ب+جثم، والحد، نحصل عليها أ = ب، وهو ما يخالف الشرط
أ > ب. وسائل، أ+ج ¹ ب+ج، و أ+ج > ب+ج. يتم التحقق من الجزء الثاني من الشرط 3) بالمثل، مما يثبت النظرية.

النظرية 3.إذا ب أ, +, fñ عبارة عن مجموعة نصفية مرتبة خطيًا وصارمًا، إذن:

1) أ + مع = ب + ج Û أ = ب Û ج + أ = مع + ب;

2) أ + مع F ب + ج Û أ F ب Û مع + أ F مع + ب.

دليل. يترك أ + مع = ب + ج. لو أ ¹ ب، ثم بسبب الاتصال أ F بأو
ب F أ. ولكن بعد ذلك وفقا لذلك أ + مع F ب+جأو ب + مع F أ+ ج، وهو ما يخالف الشرط أ + مع = ب + ج. ويتم التعامل مع الحالات الأخرى بالمثل.

لذا، فإن كل مجموعة نصفية مرتبة خطيًا وصارمًا هي مجموعة شبه قابلة للإلغاء.

تعريف.دعونا ا أ, +, fñ هي مجموعة نصف مرتبة. عنصر أمجموعات أتسمى إيجابية (سلبية) إذا أ + أ¹ أو أ+أ F أ(على التوالى أ F أ + أ).

مثال 2.أثبت أن عنصرًا من عناصر المجموعة شبه التبادلية المرتبة مع إلغاء أكبر من العنصر الموجب ليس بالضرورة موجبًا.

حل. لنستخدم المثال 1. لدينا 2 + 2 f 2، مما يعني أن 2 عنصر إيجابي. 3 = 2 + 1، مما يعني 3 f 2. وفي نفس الوقت، العلاقة 3 + 3 f 3 لا تصمد، مما يعني أن 3 ليس عنصرًا موجبًا.

النظرية 4.مجموع العناصر الإيجابية لشبه المجموعة التبادلية مع الإلغاء يكون موجبًا.

دليل. لو أ + أ F أو ب + ب F ب، ثم من خلال النظرية 1

أ + أ+ ب + ب F أ + ب Þ ( أ + ب)+ (أ + ب)F أ + ب.

يبقى التحقق من ذلك ( أ + ب)+ (أ + ب)¹ أ + ب.لدينا:

ب + ب F ب Þ أ+ب+ب F أ + ب(1)

فلنتظاهر بأن ( أ + ب)+ (أ + ب)=أ + ب.وبالتعويض في (1) نحصل على

أ+ب+ب F أ+ب+أ+ب Þ أ F أ+أ.

بسبب عدم التماثل أ = أ + أ. وهذا يتناقض مع حقيقة أن العنصر أإيجابي.

النظرية 5.لو أهو عنصر إيجابي من نصف المجموعة مرتبة خطيا وصارما، ثم لأي بلدينا أ + ب F ب، ب + أ F ب.

دليل. لدينا أ+ أ F أ Þ أ+ أ+ ب F أ+ ب. إذا لم يكن ذلك صحيحا أ+ ب F ب،ثم، بسبب الخطية، فإنه يحمل أ + ب=بأو ب F أ+ ب. إضافة من اليسار أ، نحصل على وفقا لذلك أ+ أ+ ب= أ+ بأو أ+ ب F أ+ أ+ ب. تتعارض هذه الشروط مع عدم التماثل والصرامة في علاقة النظام.

النظرية 6.دعونا ا أ, +, fñ – نصف مجموعة مرتبة خطيًا وصارمًا، أÎ أو أ+ أ¹ أ. ثم العناصر:

أ، 2*أ، 3*أ, ...

كل شخص مختلف. إذا كان في هذه الحالة النظام ب أ, +, fñ هي مجموعة، إذن كل العناصر مختلفة:

0, أ،–أ، 2*أ، - 2*أ، 3*أ, –3*أ, ...

(تحت ك * أ، كÎ ن , أÎ أ، يعني المبلغ أ+ …+ أ، تحتوي كشروط)

دليل. لو أ + أ F أ، الذي - التي أ + أ + أ F أ + أ، إلخ. ونتيجة لذلك نحصل على سلسلة ... و كاو…و 4 أ f3 أ f2 أ F أ. بسبب العبور وعدم التماثل، جميع العناصر فيه مختلفة. في المجموعة، يمكن مواصلة السلسلة في الاتجاه الآخر عن طريق إضافة عنصر - أ.

عاقبة.نصف المجموعة المنتهية مع الإلغاء، إذا كان عدد عناصرها 2 على الأقل، لا يمكن ترتيبها خطيا.

النظرية 7.دعونا ا أ, +, fñ هي مجموعة مرتبة خطيًا. ثم

أ F أ Û ب F ب.

والدليل هو ممارسة.

وبالتالي، فإن كل مجموعة مرتبة خطيًا تكون إما مرتبة بشكل صارم أو غير صارم. للدلالة على هذه الأوامر سوف نستخدم العلامات > و ³، على التوالي.

تمارين

3. أثبت أن مجموع العناصر الإيجابية لمجموعة نصفية مرتبة خطيًا وصارمًا يكون موجبًا.

4. أثبت أن كل عنصر مرتب خطيًا وصارمًا في المجموعة شبه أكبر من العنصر الموجب هو في حد ذاته موجب.

5. أثبت أن المجموعة النصفية المرتبة تكون مرتبة خطيًا إذا وفقط إذا كانت أي مجموعة محدودة من عناصرها تحتوي على عنصر أعظم واحد فقط.

6. أثبت أن مجموعة العناصر الإيجابية لمجموعة مرتبة خطياً ليست فارغة.

7. دعونا ا أ, +, fñ هي مجموعة مرتبة خطيًا وصارمًا. اثبات أن العنصر أأنظمة أإذا وفقط إذا كانت إيجابية إذا أ > 0.

8. أثبت أن هناك ترتيبًا خطيًا وصارمًا واحدًا فقط في المجموعة شبه المضافة للأعداد الطبيعية، حيث لا تكون مجموعة العناصر الموجبة فارغة.

9. أثبت أن المجموعة النصفية المضاعفة للأعداد الصحيحة لا يمكن ترتيبها خطيًا.

حلقات مرتبة

تعريف.النظام ب أ، +، ×، يتم استدعاء fñ أمر نصف حلقة، لو

1) النظام ب أ, +, ×ñ – نصف حلقة;

2) النظام ب أ, +, fñ - مجموعة نصف مرتبة مع مجموعة غير فارغة أ+ العناصر الإيجابية؛

3) تنطبق الرتابة فيما يتعلق بالضرب بالعناصر الإيجابية، أي إذا معÎ أ+ و أ F ب، الذي - التي تيار متردد F قبل الميلاد, كاليفورنيا F سي بي.

عنصر إيجابيأمر نصف حلقة أهو أي عنصر إيجابي في نصف المجموعة المرتبة á أ, +, ف.ن.

أمر Semiring ب أ، +، ×، يتم استدعاء fñ حلقة مرتبة (مجال)، إذا كان Semiring ب أ, +, ×ñ – حلقة (على التوالي).

تعريف.دعونا ا أ, +, ×, fñ – نصف حلقة مرتبة. ترتيب و للنظام أمُسَمًّى أرخميدس,والنظام أ - أمر أرخميدس،إذا، مهما كانت العناصر الإيجابية أو بأنظمة أيمكنك تحديد مثل هذا الرقم الطبيعي ف،ماذا غير متوفر F ب.

مثال 1.نصف حلقة من الأعداد الطبيعية ذات العلاقة > (أكبر من) هي نصف حلقة خطية ومرتبة بدقة وأرشميدية.

لحلقة مرتبة خطيا ب أ، +، ×، 0، نظام fñ ب أ, +, 0, fñ هي مجموعة مرتبة خطيًا. وهذا يعني، وفقًا للنظرية 2.2.7، أن ترتيب f إما صارم أو غير صارم. بوفرة أيمكنك إدخال (التمرين 2.1.5 و2.1.6) ترتيبًا خطيًا جديدًا، والذي سيكون صارمًا إذا كان الترتيب f غير صارم، وغير صارم إذا كان الترتيب f صارمًا. فيما يتعلق بهذه الملاحظة، في حلقة مرتبة خطيا أعادة ما يتم النظر في علاقتين من الترتيب الثنائي، إحداهما صارمة، يُشار إليها بالعلامة >, والثاني، غير الصارم، يحمل علامة ³.

لما يلي، من المفيد أن نتذكر أن العنصر موجود في حلقة مرتبة خطيًا أإيجابية إذا وفقط إذا أ> 0 (التمرين 2.2.7).

النظرية 1.دع النظام ب أ,+,×,0,>ñ – حلقة مرتبة خطيًا. ثم لأي عنصر أمن أأو أ = 0, أو أ> 0، أو - أ > 0.

دليل. بسبب الخطية والصرامة بين العناصر
أ+ أو أواحد فقط من العلاقات يحمل أ+ أ>أ، أ+ أ = أ، أ+ أ < أ. في الحالة الأولى أ- عنصر إيجابي. وفي الثاني نضيف إلى كلا الجزأين - أونحصل أ= 0. وفي الحالة الثالثة نضيف إلى الطرفين – أ – أ – أونحصل -أ < -أ-أ، أين -أ- عنصر إيجابي.

النظرية 2.يكون مجموع ومنتج العناصر الموجبة للحلقة المرتبة خطيًا موجبًا.

والدليل هو ممارسة.

النظرية 3.في الحلقة المرتبة خطيًا، يكون مربع أي عنصر غير الصفر موجبًا.

والدليل هو ممارسة.

النظرية 4.في حقل مرتب خطيًا إذا أ> 0 ثم أ –1 > 0.

والدليل هو ممارسة.

النظرية 5. ( معيار الطلب) . خاتم أ أ، +، ×، 0ñ إذا وحينها فقط يمكن ترتيبها خطيًا وصارمًا (أي تقديم ترتيب خطي وصارم) إذا كانت المجموعة ألديه مجموعة فرعية أ+ مستوفي الشروط:

1) أÎ أ + Þ أ¹ 0 & – أÏ أ + ;

أ¹ 0 Þ أÎ أ + Ú – أÎ أ + ;

2)أ، بÎ أ + Þ أ+ بÎ أ + & أبÎ أ + .

دليل. دعونا أولا أ أ,+,×,0,>ñ – حلقة مرتبة خطيًا. كالمجموعة الفرعية المطلوبة أ+ في هذه الحالة، وبموجب النظريتين 1 و 2، يمكن أن تظهر العديد من العناصر الإيجابية للنظام أ.

دعها الآن أ+ هي مجموعة فرعية من الحلقة ب أ,+,×,0ñ محققة شروط النظرية. دعونا نحاول تقديم ترتيب خطي > في الحلقة á أ,+,×,0ñ. ولنحدد هذه العلاقة على النحو التالي:

أ > ب Û أ – ب Î أ + .

من السهل التحقق من أن العلاقة التي قدمناها متصلة وغير انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية ورتيبة فيما يتعلق بالجمع والضرب بأي عنصر من العناصر أ + .

مجموعة من أ+ مع الخصائص المذكورة في شروط النظرية 4 تسمى الجزء الإيجابي من الحلبة á أ,+,×,0ñ. في المستقبل، عند إدخال النظام في أي حلقة، سوف نبحث عن "الجزء الإيجابي" فيها. إذا كان هذا الجزء موجودًا في الحلقة، فيمكن طلب الحلقة، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فلا يمكن ذلك، وإذا كان هناك العديد من الأجزاء الإيجابية غير المتطابقة، فيمكن طلبها بعدة طرق.

ويترتب على ذلك أنه عند تعريف حلقة مرتبة خطياً، بدلاً من العلاقة الثنائية>، يمكن للمرء أن يأخذ العلاقة الأحادية "الجزء الإيجابي" كالعلاقة الرئيسية.

النظرية 6. ( معيار تفرد النظام الخطي) . يترك أ+ و أ++ – الأجزاء الإيجابية من الحلقة ب أ,+,×,0ñ. ثم

أ + = أ ++ Û أ + Í أ ++ .

قسم التعليم في إدارة منطقة كيروف في فولغوغراد

المؤسسة التعليمية البلدية

صالة الألعاب الرياضية رقم 9

قسم الرياضيات

حول هذا الموضوع:الأعداد الصحيحة

طلاب الصف السادس

شانينا ليزا

مشرف:

مدرس رياضيات

تاريخ الكتابة:

توقيع المدير:

فولغوغراد 2013

صفحة المقدمة 3

§1. المفاهيم والتعاريف الأساسية ص4

§2. بديهيات الأعداد الطبيعية صفحة 5

§3. "حول بعض الأسرار التي تحفظها الأرقام" ص 8

§4. علماء الرياضيات العظماء الصفحة 10

صفحة الاستنتاج 12

المراجع صفحة 13

مقدمة

ما هي الأعداد الطبيعية؟ الجميع! أوه كم هو جيد. ومن يستطيع أن يفسر؟ حسنًا، "الأعداد الصحيحة الموجبة"، لا، لن يكون ذلك كافيًا. سيتعين علينا أن نشرح ما هي "الأعداد الصحيحة"، وهذا أكثر صعوبة. هل هناك أي إصدارات أخرى؟ عدد التفاح؟ يبدو أننا لا نفهم لماذا نحتاج إلى التوضيح.

الأعداد الطبيعية هي بعض الأشياء الرياضية؛ من أجل تقديم بعض البيانات عنها، وإدخال العمليات عليها (الجمع والضرب)، نحتاج إلى نوع من التعريف الرسمي. وبخلاف ذلك، ستبقى عملية الإضافة كما هي غير الرسمية، على مستوى «كان هناك كومتان من التفاح، وضعناهما في واحدة». وسيصبح من المستحيل إثبات النظريات التي تستخدم الجمع، وهو أمر محزن.

نعم، نعم، من الصحيح تمامًا أن نتذكر أن النقاط والخطوط هي مفاهيم لا يمكن تحديدها. لكن لدينا بديهيات تحدد الخصائص التي يمكننا الاعتماد عليها في البراهين. على سبيل المثال، "من خلال أي نقطتين على المستوى، يمكنك رسم خط مستقيم، وعلاوة على ذلك، واحد فقط." الخ. أود شيئا من هذا القبيل.

في هذا العمل سننظر في الأعداد الطبيعية وبديهيات بيانو وأسرار الأعداد.

أهمية وحداثة العملهو أن مجال بديهيات بيانو لم يتم الكشف عنه في الكتب المدرسية ولم يتم توضيح دورها.

والغرض من هذا العمل هودراسة مسألة الأعداد الطبيعية وأسرار الأعداد.

الفرضية الرئيسية للعملهي بديهيات بيانو وأسرار الأرقام.

§1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

رقم - إنه تعبير عن كمية معينة.

عدد طبيعي عنصر من تسلسل مستمر إلى أجل غير مسمى.

الأعداد الطبيعية (الأعداد الطبيعية) - الأرقام التي تنشأ بشكل طبيعي عند العد (سواء بمعنى التعداد أو بمعنى حساب التفاضل والتكامل).

هناك طريقتان لتعريف الأعداد الطبيعية - الأعداد المستخدمة في:

سرد (ترقيم) العناصر (الأول، الثاني، الثالث، ...)؛

تعيين عدد العناصر (لا يوجد عناصر، عنصر واحد، عنصران، ...).

اكسيوم – وهي المنطلقات الأساسية (المبادئ البديهية) لنظرية معينة، والتي يُستخرج منها باقي محتوى هذه النظرية بالاستدلال، أي بالوسائل المنطقية البحتة.

العدد الذي له مقسومان فقط (الرقم نفسه والرقم واحد) يسمى - بسيط رقم.

عدد مركبهو الرقم الذي له أكثر من مقسومين.

§2. بديهيات الأعداد الطبيعية

يتم البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية وفقًا للقواعد المصاغة .

يمكن اعتبار البديهيات الخمس بمثابة تعريف بديهي للمفاهيم الأساسية:

1 هو عدد طبيعي؛

العدد الطبيعي التالي هو عدد طبيعي؛

1 لا يتبع أي عدد طبيعي؛

إذا كان عددا طبيعيا أيتبع عددا طبيعيا بويتجاوز العدد الطبيعي مع، الذي - التي بو معمتطابقة؛

وحدة– هذا هو الرقم الأول من السلسلة الطبيعية , وكذلك أحد الأرقام في نظام الأرقام العشري.

نحن نطبق القوانين الأساسية في الحساب في كثير من الأحيان بدافع العادة، دون أن ندرك ذلك:

1) قانون التبادل (الإبدال) - خاصية الجمع والضرب للأعداد معبراً عنها بالمهويات:

أ+ب = ب+أ أ*ب = ب*أ;

2) القانون التوافقي (الترابط) - خاصية الجمع والضرب للأعداد معبراً عنها بالهويات:

(أ+ب)+ج = أ+(ب+ج) (أ*ب)*ج = أ*(ب*ج);

3) قانون التوزيع (التوزيع) - خاصية تربط جمع وضرب الأعداد ويتم التعبير عنها بالهويات:

أ*(ب+ج) = أ*ب+أ*ج (ب+ج) *أ = ب*أ+ج*أ.

§3. ."عن بعض الأسرار التي تحفظها الأرقام"

أرقام ميرسين.

لقد استمر البحث عن الأعداد الأولية لعدة قرون.

الرقم الذي يحتوي على مقسومين فقط (الرقم نفسه وواحد) يسمى رقمًا أوليًا

الرقم المركب هو الرقم الذي له أكثر من مقسومين. إليك مثال: كتب الراهب الفرنسي مارين ميرسين (عام واحد) صيغة الأرقام "من أجل البساطة"، والتي كانت تسمى رقم ميرسين.

هذه أرقام على الصيغة M p = 2P -1، حيث p = عدد أولي.

لقد تحققت مما إذا كانت هذه الصيغة صالحة لجميع الأعداد الأولية

حتى الآن، تم اختبار الأعداد الأكبر من 2 للتأكد من أوليتها لجميع p حتى 50000.E." ونتيجة لذلك، تم اكتشاف أكثر من 30 رقمًا أوليًا لميرسين.

3.1 الأعداد المثالية

ومن بين الأرقام المركبة هناك مجموعة من الأرقام تسمى ■ كاملة إذا كان الرقم يساوي مجموع قواسمه (باستثناء الرقم نفسه). على سبيل المثال:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

3.2. أرقام ودية

سافر العالم فيثاغورس كثيرا في بلدان الشرق: كان في مصر وبابل. وهناك تعرف فيثاغورس أيضًا على الرياضيات الشرقية. اعتقد فيثاغورس أن سر العالم مخفي في الأنماط العددية، فالأرقام لها معنى خاص بالحياة. من بين الأرقام المركبة هناك أزواج من الأرقام، كل منها يساوي مجموع قواسم الآخر.

على سبيل المثال: 220 و 284

220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

234=1+2+4+71+142=220

لقد استخدمت الآلة الحاسبة للعثور على بضعة أرقام أكثر ودية.

على سبيل المثال: 1184 و 1210

1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210=1+2+5+10+1.1+22+55+110+121+242+605=1184 و. إلخ.

أرقام ودية- رقمان طبيعيان مجموع كل قواسم الرقم الأول (ما عدا نفسه) يساوي الرقم الثاني ومجموع كل قواسم الرقم الثاني (ما عدا نفسه) يساوي الرقم الأول عادة عند التحدث فيما يتعلق بالأرقام الصديقة، فهي تعني أزواجًا من اثنين مختلفأعداد.

أرقام ودية

الأرقام المألوفة هي زوج من الأرقام، كل منها يساوي مجموع قواسمه (على سبيل المثال، 220 و 284).

§4. علماء الرياضيات العظماء

هيرمان جونتر جراسمان (ألمانية هيرمان غونتر غراسمان، 1809-1877) - فيزيائي وعالم رياضيات وعالم فقه اللغة.

بعد أن تلقى جراسمان تعليمه في شتاين، التحق بجامعة برلين، كلية اللاهوت. بعد أن نجح في اجتياز كلا الاختبارين في اللاهوت، لم يتخل لفترة طويلة عن فكرة تكريس نفسه لعمل الواعظ، واحتفظ برغبته في اللاهوت حتى نهاية حياته. وفي الوقت نفسه أصبح مهتمًا بالرياضيات. في عام 1840 اجتاز امتحانًا إضافيًا للحصول على حق تدريس الرياضيات والفيزياء وعلم المعادن والكيمياء. .

التفاضلية" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">المعادلات التفاضلية، تعريف ونطاق مفهوم المنحنى، وما إلى ذلك) والتبرير المنطقي الرسمي للرياضيات. بديهياته لسلسلة الأعداد الطبيعية أصبح الاستخدام العام معروفًا بمثاله لمنحنى مستمر (الأردن) يملأ مربعًا معينًا بالكامل.

السير اسحق نيوتن (المهندس السير إسحاق نيوتن، 25 ديسمبر 1642 - 20 مارس 1727 حسب التقويم اليولياني الذي كان ساريًا في إنجلترا حتى عام 1752؛ أو 4 يناير 1643 - 31 مارس 1727 حسب التقويم الغريغوري) - فيزيائي إنجليزي عالم رياضيات وفلكي، أحد مبدعي الفيزياء الكلاسيكية. مؤلف العمل الأساسي "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية"، والذي أوجز فيه قانون الجاذبية العالمية وقوانين الميكانيكا الثلاثة، التي أصبحت أساس الميكانيكا الكلاسيكية. قام بتطوير حساب التفاضل والتكامل ونظرية الألوان والعديد من النظريات الرياضية والفيزيائية الأخرى.

مارين ميرسين (الترجمة الصوتية القديمة مارين ميرسين؛ الفرنسية مارين ميرسين؛ 8 سبتمبر 1588 - 1 سبتمبر 1648) - عالم رياضيات وفيزياء وفيلسوف ولاهوتي فرنسي. خلال النصف الأول من القرن السابع عشر، كان في الأساس منسقًا للحياة العلمية في أوروبا، حيث أجرى مراسلات نشطة مع جميع العلماء البارزين تقريبًا في ذلك الوقت. كما أن لديه إنجازات علمية شخصية جادة في مجال الصوتيات والرياضيات ونظرية الموسيقى.

خاتمة

إننا نواجه الأرقام في كل خطوة، وقد اعتدنا عليها لدرجة أننا بالكاد ندرك مدى أهميتها في حياتنا. الأرقام جزء من التفكير البشري.

بعد الانتهاء من هذا العمل، تعلمت بديهيات الأعداد الطبيعية، وعلماء الرياضيات العظماء، وبعض الأسرار المتعلقة بالأرقام. هناك عشرة أرقام في المجموع، والأرقام التي يمكن تمثيلها بمساعدتها لا حصر لها.

الرياضيات لا يمكن تصورها بدون أرقام. تساعد الطرق المختلفة لتمثيل الأرقام العلماء على إنشاء نماذج ونظريات رياضية تشرح الظواهر الطبيعية التي لم يتم حلها.

فهرس

1. رياضيات كورديمسكي لأطفال المدارس: (مواد للأنشطة الصفية واللامنهجية). – م: التربية، 1981. – 112 ص.

2. شور المسائل الحسابية ذات الصعوبة المتزايدة. – م: التربية، 1968. – 238 ص.

3. حساب بيرلمان. – م: هيئة الأوراق المالية ستوليتي، 1994. – 164 ص.

4. أهمية التاريخية في تدريس الرياضيات بالمرحلة الثانوية. – م: دار النشر التعليمية والتربوية الحكومية التابعة لوزارة التربية والتعليم في جمهورية روسيا الاتحادية الاشتراكية السوفياتية، 1963. – 223 ص.

5. شيفكين. - م.: التعليم ما قبل الجامعي جامعة كاليفورنيا، جامعة موسكو الحكومية، 1996. - 303 ص.

6. القاموس الموسوعي الرياضي. / الفصل. إد. ; إد. رقم: ، . - م: سوف. الموسوعة، 1988. – 847 ص.

7. قاموس سافين لعالم رياضيات شاب. – م: التربية، 1985. – 352 ص.

رابعا. البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية. النظريات البديهية المؤسسة التعليمية البلدية

إقرأ أيضاً:

مدخلات حديثة

رابعا. البناء البديهي لنظام الأعداد الطبيعية. النظريات البديهية المؤسسة التعليمية البلدية

إقرأ أيضاً:

معارك العصور الوسطى. زاركوف، سيرجي ف. تكتيكات معارك العصور الوسطى

قراءة ليف كاسيل ليف كاسيل الجيش الرئيسي

التنظيم العسكري التقليدي

مدخلات حديثة