الوئام الإلهي: ما هي النسبة الذهبية بكلمات بسيطة. أسرار الكون بالأرقام. شكرودنيف فيدور دميترييفيتش النسبة الذهبية للمثلث

النسبة الذهبية - النسبة التوافقية

خلال فترة تطور الهندسة المعمارية، عندما تمت دراسة الخصائص الفيزيائية والميكانيكية لمواد البناء بشكل سيء، لم تكن هناك طرق مثبتة لحساب هياكل البناء - سادت الخبرة التجريبية والالتزام الصارم بالنسب التوافقية لـ "القسم الذهبي".

في الرياضيات، النسبة (lat. proportio) هي المساواة بين نسبتين: أ: ب = ج: د.

يمكن تقسيم القطعة المستقيمة AB إلى قسمين بالطرق التالية:
إلى قسمين متساويين - AB: AC = AB: BC؛
إلى جزأين غير متساويين بأي شكل من الأشكال (مثل هذه الأجزاء لا تشكل نسبًا)؛
وبالتالي، عندما AB: AC = AC: BC.

الأخير هو التقسيم الذهبي أو تقسيم القطعة بنسبة متطرفة ومتوسطة.

النسبة الذهبية هي تقسيم متناسب لقطعة ما إلى أجزاء غير متساوية، حيث يرتبط الجزء بأكمله بالجزء الأكبر كما يرتبط الجزء الأكبر نفسه بالجزء الأصغر؛ أو بعبارة أخرى: الجزء الأصغر بالنسبة للأكبر كما الأكبر بالنسبة للكل

أ: ب = ب: ج أو ج: ب = ب: أ.

يبدأ التعرف العملي على النسبة الذهبية بتقسيم قطعة مستقيمة في النسبة الذهبية باستخدام البوصلة والمسطرة.

من النقطة B يتم استعادة عمودي يساوي نصف AB. يتم توصيل النقطة الناتجة C بخط إلى النقطة A. على الخط الناتج، يتم وضع المقطع BC، وينتهي بالنقطة D. ويتم نقل الجزء AD إلى الخط المستقيم AB. النقطة الناتجة E تقسم القطعة AB بنسبة ذهبية.

يتم التعبير عن أجزاء النسبة الذهبية بالكسر غير العقلاني اللانهائي AE = 0.618...، إذا تم أخذ AB كواحد، BE = 0.382... ولأغراض عملية، غالبًا ما تستخدم القيم التقريبية 0.62 و0.38. إذا اعتبرنا أن القطعة AB مكونة من 100 جزء، فإن الجزء الأكبر من القطعة هو 62، والجزء الأصغر هو 38 جزءًا.

يتم وصف خصائص النسبة الذهبية بالمعادلة:

س2 – س – 1 = 0.

حل هذه المعادلة:

لقد خلقت خصائص النسبة الذهبية هالة رومانسية من الغموض وعبادة صوفية تقريبًا حول هذا الرقم.

النسبة الذهبية الثانية

نشرت مجلة "الوطن" البلغارية (العدد 10، 1983) مقالاً بقلم تسفيتان تسيكوف-كارانداش "حول القسم الذهبي الثاني"، وهو يتبع القسم الرئيسي ويعطي نسبة أخرى 44:56.

ويتم التقسيم على النحو التالي. يتم تقسيم القطعة AB بما يتناسب مع النسبة الذهبية. من النقطة C، تتم استعادة القرص المضغوط العمودي. نصف القطر AB هو النقطة D، التي تتصل بخط بالنقطة A. الزاوية القائمة ACD مقسمة إلى نصفين. يتم رسم خط من النقطة C إلى التقاطع مع الخط AD. تقسم النقطة E القطعة AD بنسبة 56:44.

يوضح الشكل موضع خط النسبة الذهبية الثانية. وهو يقع في منتصف المسافة بين خط النسبة الذهبية والخط الأوسط للمستطيل.

المثلث الذهبي

للعثور على أجزاء النسبة الذهبية للسلسلة التصاعدية والتنازلية، يمكنك استخدام النجم الخماسي.

لبناء شكل خماسي، عليك بناء شكل خماسي منتظم. تم تطوير طريقة بنائه من قبل الرسام والفنان الجرافيكي الألماني ألبريشت دورر (1471...1528). اجعل O هو مركز الدائرة، و A نقطة على الدائرة، و E نقطة منتصف القطعة OA. العمودي على نصف القطر OA، المستعاد عند النقطة O، يتقاطع مع الدائرة عند النقطة D. باستخدام البوصلة، ارسم القطعة CE = ED على القطر. طول ضلع المضلع الخماسي المنتظم المدرج في دائرة يساوي DC. نرسم القطع DC على الدائرة ونحصل على خمس نقاط لرسم شكل خماسي منتظم. نربط زوايا البنتاغون ببعضها البعض بأقطار ونحصل على شكل خماسي. تقسم جميع أقطار البنتاغون بعضها البعض إلى أجزاء متصلة بواسطة النسبة الذهبية.

يمثل كل طرف من النجم الخماسي مثلثًا ذهبيًا. تشكل جوانبه زاوية قدرها 36 درجة عند قمته، والقاعدة الموضوعة على الجانب تقسمه بنسبة النسبة الذهبية.

نرسم المستقيم AB. من النقطة A نضع عليها ثلاث مرات قطعة O ذات حجم تعسفي، من خلال النقطة الناتجة P نرسم عموديًا على الخط AB، على العمودي على يمين ويسار النقطة P نضع القطع O. نحن نربط النقطتان الناتجتان d وd1 بخطوط مستقيمة إلى النقطة A. نضع القطعة dd1 على السطر Ad1، ونحصل على النقطة C. وقسمت الخط Ad1 بما يتناسب مع النسبة الذهبية. يتم استخدام الخطين Ad1 و dd1 لإنشاء مستطيل "ذهبي".

أرز. 5. بناء الشكل الخماسي والخماسي المنتظم

أرز. 6. بناء المثلث الذهبي

تاريخ النسبة الذهبية

من المقبول عمومًا أن مفهوم القسمة الذهبية قد تم إدخاله إلى الاستخدام العلمي بواسطة فيثاغورس، الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني القديم (القرن السادس قبل الميلاد). هناك افتراض بأن فيثاغورس استعار معرفته بالقسمة الذهبية من المصريين والبابليين. وبالفعل فإن نسب هرم خوفو والمعابد والنقوش البارزة والأدوات المنزلية والمجوهرات من مقبرة توت عنخ آمون تشير إلى أن الحرفيين المصريين استخدموا نسب القسمة الذهبية عند إنشائها. المهندس المعماري الفرنسي لو كوربوزييهووجد أنه في النقش البارز من معبد الفرعون سيتي الأول في أبيدوس وفي النقش الذي يصور الفرعون رمسيس، فإن نسب الأشكال تتوافق مع قيم القسمة الذهبية. المهندس خسيرا، المرسوم على لوح خشبي من مقبرة تحمل اسمه، يحمل بين يديه أدوات قياس تُسجل فيها نسب القسمة الذهبية.

كان اليونانيون متخصصين في الهندسة الهندسية. حتى أنهم قاموا بتعليم أطفالهم الحساب باستخدام الأشكال الهندسية. كان مربع فيثاغورس وقطر هذا المربع هو الأساس لبناء المستطيلات الديناميكية.

أفلاطون(427...347 ق.م) عرف أيضاً بالتقسيم الذهبي. حواره" تيماوس"مخصص للآراء الرياضية والجمالية لمدرسة فيثاغورس، وعلى وجه الخصوص، لقضايا القسم الذهبي.

تتميز واجهة معبد البارثينون اليوناني القديم بأبعاد ذهبية. تم اكتشاف خلال عمليات التنقيب فيها بوصلات استخدمها المهندسون المعماريون والنحاتون في العالم القديم. كما تحتوي بوصلة بومبيان (متحف في نابولي) على نسب القسم الذهبي.

أرز. 7. المستطيلات الديناميكية

أرز. 8. بوصلة ذات نسبة ذهبية عتيقة

وفي الأدب القديم الذي وصل إلينا، ورد ذكر التقسيم الذهبي لأول مرة في “ البدايات» إقليدس. وفي الكتاب الثاني من "المبادئ" تم ذكر البناء الهندسي لتقسيم الذهب، وبعد إقليدس تمت دراسة تقسيم الذهب على يد هيبسكليس (القرن الثاني قبل الميلاد)، وبابوس (القرن الثالث الميلادي)، وآخرين. أوروبا في العصور الوسطى، مع القسم الذهبي التقينا من خلال الترجمات العربية لكتاب العناصر لإقليدس. أدلى المترجم ج. كامبانو من نافارا (القرن الثالث) بتعليقات على الترجمة. كانت أسرار القسم الذهبي تحت حراسة شديدة وتم الاحتفاظ بها في سرية تامة. كانوا معروفين فقط للمبتدئين.

وفي عصر النهضة، زاد الاهتمام بالقسمة الذهبية بين العلماء والفنانين بسبب استخدامها في كل من الهندسة والفن، وخاصة في الهندسة المعمارية. ليوناردو دافنشيرأى فنان وعالم أن الفنانين الإيطاليين لديهم الكثير من الخبرة التجريبية، ولكن لديهم القليل من المعرفة. لقد تصور وبدأ في كتابة كتاب في الهندسة، ولكن في ذلك الوقت ظهر كتاب الراهب لوكا باسيوليوتخلى ليوناردو عن فكرته. وفقًا للمعاصرين ومؤرخي العلوم، كان لوكا باسيولي نجمًا حقيقيًا، وأعظم عالم رياضيات في إيطاليا في الفترة ما بين فيبوناتشي وجاليليو. كان لوكا باسيولي تلميذاً للفنان بييرو ديلا فرانشيسكي، الذي ألف كتابين، أحدهما بعنوان “عن المنظور في الرسم”. ويعتبر خالق الهندسة الوصفية.

لقد فهم لوكا باسيولي تمامًا أهمية العلم للفن. وفي عام 1496، وبدعوة من دوق مورو، جاء إلى ميلانو، حيث ألقى محاضرات في الرياضيات. عمل ليوناردو دافنشي أيضًا في ميلانو في بلاط مورو في ذلك الوقت. في عام 1509، نُشر كتاب لوكا باسيولي "النسبة الإلهية" في البندقية مع رسوم توضيحية تم تنفيذها ببراعة، ولهذا السبب يُعتقد أنها من صنع ليوناردو دافنشي. كان الكتاب بمثابة ترنيمة حماسية للنسبة الذهبية. ومن المزايا العديدة للنسبة الذهبية، لم يفشل الراهب لوكا باسيولي في تسمية "جوهرها الإلهي" تعبيرًا عن الثالوث الإلهي - الله الابن، والله الآب، والله الروح القدس (وكان يُلمح ضمنيًا إلى أن النسبة الذهبية الصغيرة الجزء هو تجسيد الله الابن، الجزء الأكبر هو إله الآب، والجزء بأكمله - إله الروح القدس).

كما أولى ليوناردو دافنشي اهتمامًا كبيرًا بدراسة القسم الذهبي. لقد صنع أجزاء من جسم مجسم يتكون من خماسيات منتظمة، وفي كل مرة حصل على مستطيلات بنسب عرض إلى ارتفاع في القسمة الذهبية. ولذلك أطلق على هذا القسم اسم النسبة الذهبية. لذلك لا يزال الأكثر شعبية.

وفي الوقت نفسه، في شمال أوروبا، في ألمانيا، كان يعمل على نفس المشاكل ألبريشت دورر. يرسم مقدمة النسخة الأولى من الأطروحة حول النسب. يكتب دورر. "من الضروري أن يقوم الشخص الذي يعرف كيفية القيام بشيء ما بتعليمه للآخرين الذين يحتاجون إليه. وهذا ما شرعت في القيام به."

انطلاقًا من إحدى رسائل دورر، التقى بلوكا باسيولي أثناء وجوده في إيطاليا. يطور ألبريشت دورر بالتفصيل نظرية نسب جسم الإنسان. خصص دورر مكانًا مهمًا في نظام علاقاته للقسم الذهبي. يتم تقسيم طول الشخص بنسب ذهبية عن طريق خط الحزام، وكذلك عن طريق خط مرسوم من خلال أطراف الأصابع الوسطى لليدين السفلية، والجزء السفلي من الوجه عن طريق الفم، وما إلى ذلك. بوصلة دورر التناسبية معروفة جيدًا.

عالم الفلك العظيم في القرن السادس عشر. يوهان كيبلروتسمى النسبة الذهبية بأحد كنوز الهندسة. وكان أول من لفت الانتباه إلى أهمية النسبة الذهبية في علم النبات (نمو النباتات وبنيتها).

تم العثور على هذه النسبة في الهندسة المعمارية، وتحدث أيضًا عند إنشاء تركيبات صور ذات تنسيق أفقي ممدود.

المثلث الذهبي

للعثور على أجزاء من النسبة الذهبية للسلسلة التصاعدية والتنازلية، يمكنك استخدامها نجمة خماسية.

لبناء شكل خماسي، عليك بناء شكل خماسي منتظم. تم تطوير طريقة بنائه من قبل الرسام والفنان الجرافيكي الألماني ألبريشت دورر (1471...1528). يترك يا- مركز الدائرة، أ- نقطة على الدائرة و ه- منتصف المقطع الزراعة العضوية. عمودي على نصف القطر الزراعة العضوية، استعادة عند هذه النقطة عن، يتقاطع مع الدائرة عند هذه النقطة د. باستخدام البوصلة، ارسم قطعة على القطر م. = الضعف الجنسي. طول ضلع المضلع الخماسي المنتظم المدرج في دائرة هو العاصمة. وضع شرائح على الدائرة العاصمةونحصل على خمس نقاط لرسم شكل خماسي منتظم. نربط زوايا البنتاغون ببعضها البعض بأقطار ونحصل على شكل خماسي. تقسم جميع أقطار البنتاغون بعضها البعض إلى أجزاء متصلة بواسطة النسبة الذهبية.

نقوم بتنفيذ مباشر أ.ب. من النقطة أنرسم عليه ثلاث مرات قطعة O ذات حجم تعسفي، من خلال النقطة الناتجة ررسم عمودي على الخط أ.ب، على العمودي على يمين ويسار النقطة رنضع جانبا القطاعات عن. النقاط المستلمة دو د1الاتصال بخطوط مستقيمة إلى نقطة ما أ. القطعة المستقيمة dd1وضعت على الانترنت إعلان1، الحصول على نقطة مع. لقد قسمت الخط إعلان1بما يتناسب مع النسبة الذهبية. خطوط إعلان1و dd1تستخدم لبناء المستطيل "الذهبي".

وهذا التناغم مذهل في نطاقه..

مرحبا ايها الاصدقاء!

هل سمعت أي شيء عن الانسجام الإلهي أو النسبة الذهبية؟ هل فكرت يومًا لماذا يبدو شيء ما مثاليًا وجميلًا بالنسبة لنا، ولكن هناك شيء ما يصدنا؟

إذا لم يكن الأمر كذلك، فقد وصلت بنجاح إلى هذه المقالة، لأننا سنناقش فيها النسبة الذهبية، ونكتشف ما هي وكيف تبدو في الطبيعة وفي البشر. دعونا نتحدث عن مبادئها، ومعرفة ما هي سلسلة فيبوناتشي وأكثر من ذلك بكثير، بما في ذلك مفهوم المستطيل الذهبي والدوامة الذهبية.

نعم، تحتوي المقالة على الكثير من الصور والصيغ، فالنسبة الذهبية هي أيضًا رياضيات. ولكن كل شيء موصوف بلغة بسيطة إلى حد ما، بوضوح. وفي نهاية المقال ستكتشف لماذا يحب الجميع القطط كثيرًا =)

ما هي النسبة الذهبية؟

بكل بساطة، النسبة الذهبية هي قاعدة معينة للتناسب تخلق الانسجام؟. وهذا هو، إذا لم ننتهك قواعد هذه النسب، فسنحصل على تكوين متناغم للغاية.

التعريف الأكثر شمولاً للنسبة الذهبية ينص على أن الجزء الأصغر يرتبط بالجزء الأكبر، كما أن الجزء الأكبر يرتبط بالكل.

ولكن إلى جانب ذلك، فإن النسبة الذهبية هي الرياضيات: لها صيغة محددة ورقم محدد. ويعتبرها العديد من علماء الرياضيات بشكل عام صيغة التناغم الإلهي، ويسمونها “التناظر غير المتماثل”.

وصلت النسبة الذهبية إلى معاصرينا منذ زمن اليونان القديمة، ومع ذلك، هناك رأي مفاده أن اليونانيين أنفسهم قد تجسسوا بالفعل على النسبة الذهبية بين المصريين. لأنه من الواضح أن العديد من الأعمال الفنية في مصر القديمة مبنية وفقًا لشرائع هذه النسبة.

ويعتقد أن فيثاغورس كان أول من قدم مفهوم النسبة الذهبية. لقد نجت أعمال إقليدس حتى يومنا هذا (استخدم النسبة الذهبية لبناء خماسيات منتظمة، ولهذا السبب يسمى هذا البنتاغون "ذهبي")، وتم تسمية رقم النسبة الذهبية على اسم المهندس المعماري اليوناني القديم فيدياس. أي أن هذا هو رقمنا "phi" (يُشار إليه بالحرف اليوناني φ)، وهو يساوي 1.6180339887498948482... وبطبيعة الحال، يتم تقريب هذه القيمة: φ = 1.618 أو φ = 1.62، ومن حيث النسبة المئوية النسبة الذهبية يبدو مثل 62% و 38%.

ما هو الشيء الفريد في هذه النسبة (وصدقني، إنها موجودة)؟ دعونا نحاول أولاً معرفة ذلك باستخدام مثال للقطعة. لذلك، نأخذ قطعة ونقسمها إلى أجزاء غير متساوية بحيث يرتبط الجزء الأصغر منها بالجزء الأكبر، كما يرتبط الجزء الأكبر بالكل. أفهم أنه ليس من الواضح بعد ما هو الأمر، وسأحاول توضيح ذلك بشكل أكثر وضوحًا باستخدام مثال المقاطع:

لذلك، نأخذ قطعة ونقسمها إلى قسمين آخرين، بحيث يرتبط الجزء الأصغر a بالقطعة الأكبر b، تمامًا كما يرتبط الجزء b بالكل، أي السطر بأكمله (a + b). رياضيا يبدو مثل هذا:

تعمل هذه القاعدة إلى أجل غير مسمى، حيث يمكنك تقسيم الأجزاء بالمدة التي تريدها. وانظر كم هو بسيط. الشيء الرئيسي هو أن نفهم مرة واحدة وهذا كل شيء.

ولكن الآن دعونا نلقي نظرة على مثال أكثر تعقيدًا، والذي يظهر في كثير من الأحيان، نظرًا لأن النسبة الذهبية ممثلة أيضًا في شكل مستطيل ذهبي (نسبة العرض إلى الارتفاع له هي φ = 1.62). هذا مستطيل مثير للاهتمام للغاية: إذا "قطعنا" مربعًا منه، فسنحصل مرة أخرى على مستطيل ذهبي. وهكذا إلى ما لا نهاية. يرى:

لكن الرياضيات لن تكون رياضيات إذا لم يكن لديها صيغ. لذا أيها الأصدقاء، الآن سوف "يؤلم" قليلاً. لقد قمت بإخفاء حل النسبة الذهبية تحت سبويلر، هناك الكثير من الصيغ ولكن لا أريد أن أترك المقال بدونها.

متسلسلة فيبوناتشي والنسبة الذهبية

نواصل إنشاء ومراقبة سحر الرياضيات والنسبة الذهبية. في العصور الوسطى كان هناك مثل هذا الرفيق - فيبوناتشي (أو فيبوناتشي، يتم تهجئته بشكل مختلف في كل مكان). كان يحب الرياضيات والمسائل، وكان لديه أيضًا مشكلة مثيرة للاهتمام تتعلق بتكاثر الأرانب =) لكن هذا ليس الهدف. اكتشف تسلسلاً رقميًا، الأرقام الموجودة فيه تسمى "أرقام فيبوناتشي".

يبدو التسلسل نفسه كما يلي:

0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233... وهكذا إلى ما لا نهاية.

بمعنى آخر، تسلسل فيبوناتشي هو تسلسل من الأرقام حيث كل رقم لاحق يساوي مجموع الرقمين السابقين.

وما علاقة النسبة الذهبية بها؟ سترى الآن.

دوامة فيبوناتشي

لرؤية العلاقة الكاملة بين سلسلة أرقام فيبوناتشي والنسبة الذهبية والشعور بها، عليك إلقاء نظرة على الصيغ مرة أخرى.

بمعنى آخر، من الحد التاسع لتسلسل فيبوناتشي نبدأ بالحصول على قيم النسبة الذهبية. وإذا تصورنا هذه الصورة كاملة، فسنرى كيف أن تسلسل فيبوناتشي يخلق مستطيلات أقرب فأقرب إلى المستطيل الذهبي. هذا هو الاتصال.

الآن دعونا نتحدث عن دوامة فيبوناتشي، وتسمى أيضًا "الدوامة الذهبية".

اللولب الذهبي هو لولبي لوغاريتمي معامل نموه هو φ4، حيث φ هي النسبة الذهبية.

وبشكل عام، من وجهة نظر رياضية، فإن النسبة الذهبية هي نسبة مثالية. لكن هذه مجرد بداية معجزاتها. يخضع العالم كله تقريبًا لمبادئ النسبة الذهبية، والطبيعة نفسها هي التي خلقت هذه النسبة. حتى الباطنيون يرون القوة العددية فيه. لكننا بالتأكيد لن نتحدث عن هذا في هذه المقالة، لذلك حتى لا يفوتك أي شيء، يمكنك الاشتراك في تحديثات الموقع.

النسبة الذهبية في الطبيعة، الإنسان، الفن

قبل أن نبدأ، أود توضيح عدد من المغالطات. أولا، تعريف النسبة الذهبية في هذا السياق ليس صحيحا تماما. والحقيقة هي أن مفهوم "القسم" بحد ذاته هو مصطلح هندسي، يشير دائمًا إلى مستوى، ولكن ليس إلى تسلسل أرقام فيبوناتشي.

وثانيًا، تم تحويل سلسلة الأرقام ونسبة أحدهما إلى الآخر، بالطبع، إلى نوع من الاستنسل الذي يمكن تطبيقه على كل ما يبدو مريبًا، ويمكن للمرء أن يكون سعيدًا جدًا عندما تكون هناك مصادفات، ولكن لا يزال ، لا ينبغي أن تضيع الفطرة السليمة.

لكن "اختلط كل شيء في مملكتنا" وأصبح أحدهما مرادفًا للآخر. لذلك، بشكل عام، لا يضيع المعنى من هذا. الآن دعونا ننتقل إلى العمل.

سوف تتفاجأ، لكن النسبة الذهبية، أو بالأحرى النسب الأقرب إليها قدر الإمكان، يمكن رؤيتها في كل مكان تقريبًا، حتى في المرآة. لا تصدقني؟ لنبدأ بهذا.

كما تعلمون، عندما كنت أتعلم الرسم، شرحوا لنا مدى سهولة بناء وجه الشخص وجسمه وما إلى ذلك. كل شيء يجب أن يحسب بالنسبة لشيء آخر.

كل شيء، كل شيء على الإطلاق متناسب: العظام، وأصابعنا، وكفنا، والمسافات على الوجه، ومسافة الأيدي الممدودة بالنسبة للجسم، وما إلى ذلك. لكن حتى هذا ليس كل شيء، فالبنية الداخلية لجسمنا، حتى هذا، تساوي أو تكاد تساوي صيغة القسم الذهبي. وهذه هي المسافات والنسب:

من الكتفين إلى التاج إلى حجم الرأس = 1:1.618

من السرة إلى التاج إلى الجزء من الكتفين إلى التاج = 1:1.618

من السرة إلى الركبتين ومن الركبتين إلى القدمين = 1:1.618

من الذقن إلى أقصى الشفة العليا ومنه إلى الأنف = 1:1.618

أليس هذا مذهلا!؟ الانسجام في أنقى صوره، في الداخل والخارج. ولهذا السبب، على مستوى ما من اللاوعي، لا يبدو بعض الأشخاص جميلين بالنسبة لنا، حتى لو كان لديهم جسم قوي ومتناسق، وبشرة مخملية، وشعر جميل، وعيون جميلة، وما إلى ذلك، وكل شيء آخر. ولكن، مع ذلك، فإن أدنى انتهاك لنسب الجسم، والمظهر بالفعل "يؤذي العينين" قليلاً.

باختصار، كلما بدا لنا الإنسان أجمل، كلما اقتربت أبعاده من المثالية. وهذا، بالمناسبة، لا يمكن أن يعزى فقط إلى جسم الإنسان.

النسبة الذهبية في الطبيعة وظواهرها

من الأمثلة الكلاسيكية على النسبة الذهبية في الطبيعة قوقعة الرخويات Nautilus pompilius والأمونيت. ولكن هذا ليس كل شيء، هناك العديد من الأمثلة:

في تجعيد الأذن البشرية يمكننا أن نرى دوامة ذهبية؛

نفس الشيء (أو قريب منه) في اللوالب التي تدور المجرات على طولها؛

وفي جزيء الحمض النووي؛

وفقا لسلسلة فيبوناتشي، يتم ترتيب مركز عباد الشمس، وتنمو المخاريط، ووسط الزهور، والأناناس والعديد من الفواكه الأخرى.

أيها الأصدقاء، هناك الكثير من الأمثلة لدرجة أنني سأترك الفيديو هنا (موجود أدناه مباشرة) حتى لا أثقل كاهل المقالة بالنص. لأنه إذا قمت بحفر هذا الموضوع، فيمكنك التعمق في الغابة التالية: حتى الإغريق القدماء أثبتوا أن الكون، وبشكل عام، يتم تخطيط كل الفضاء وفقًا لمبدأ النسبة الذهبية.

سوف تتفاجأ، ولكن يمكن العثور على هذه القواعد حتى في الصوت. يرى:

أعلى نقطة صوتية تسبب الألم والانزعاج في آذاننا هي 130 ديسيبل.

نقسم النسبة 130 على النسبة الذهبية رقم φ = 1.62 ونحصل على 80 ديسيبل - صوت صرخة الإنسان.

نواصل القسمة بشكل متناسب ونحصل، على سبيل المثال، على الحجم الطبيعي للكلام البشري: 80 / φ = 50 ديسيبل.

حسنًا، آخر صوت نحصل عليه بفضل الصيغة هو صوت الهمس اللطيف = 2.618.

باستخدام هذا المبدأ، من الممكن تحديد المستوى الأمثل والمريح والحد الأدنى والحد الأقصى لدرجة الحرارة والضغط والرطوبة. لم أختبرها، ولا أعرف مدى صحة هذه النظرية، لكن يجب أن توافق على ذلك، فهي تبدو مثيرة للإعجاب.

يمكن للمرء أن يقرأ أعلى درجات الجمال والانسجام في كل شيء حي وغير حي.

الشيء الرئيسي هو عدم الانجراف في هذا، لأنه إذا أردنا أن نرى شيئا ما في شيء ما، فسوف نراه، حتى لو لم يكن هناك. على سبيل المثال، لقد انتبهت إلى تصميم جهاز PS4 ورأيت النسبة الذهبية هناك =) ومع ذلك، فإن وحدة التحكم هذه رائعة جدًا لدرجة أنني لن أتفاجأ إذا قام المصمم حقًا بشيء ذكي هناك.

النسبة الذهبية في الفن

وهذا أيضًا موضوع كبير جدًا وواسع النطاق يستحق النظر فيه بشكل منفصل. هنا سأشير فقط إلى بعض النقاط الأساسية. والأمر الأكثر روعة هو أن العديد من الأعمال الفنية والروائع المعمارية في العصور القديمة (وليس فقط) تم صنعها وفقًا لمبادئ النسبة الذهبية.

الأهرامات المصرية وأهرامات المايا ونوتردام دي باريس والبارثينون اليوناني وما إلى ذلك.

في الأعمال الموسيقية لموزارت وشوبان وشوبرت وباخ وغيرهم.

في الرسم (وهذا واضح للعيان): جميع اللوحات الأكثر شهرة لفنانين مشهورين مصنوعة مع مراعاة قواعد النسبة الذهبية.

ويمكن العثور على هذه المبادئ في قصائد بوشكين وفي التمثال النصفي للجميلة نفرتيتي.

وحتى الآن، يتم استخدام قواعد النسبة الذهبية، على سبيل المثال، في التصوير الفوتوغرافي. وبالطبع في جميع الفنون الأخرى بما في ذلك التصوير السينمائي والتصميم.

قطط فيبوناتشي الذهبية

وأخيرا، عن القطط! هل تساءلت يومًا لماذا يحب الجميع القطط كثيرًا؟ لقد استولوا على شبكة الإنترنت! القطط في كل مكان وهذا رائع =)

والنقطة الأساسية هي أن القطط مثالية! لا تصدقني؟ الآن سأثبت لك ذلك رياضيا!

هل ترى؟ تم الكشف عن السر! القطط مثالية من وجهة نظر الرياضيات والطبيعة والكون =)

*أنا أمزح بالطبع. لا، القطط مثالية حقًا) لكن ربما لم يقم أحد بقياسها رياضيًا.

هذا هو الأساس يا أصدقاء! سنراكم في المقالات القادمة. كل التوفيق لك!

ملاحظة.الصور مأخوذة من موقع Medium.com.

النسبة الذهبية

يميز الإنسان الأشياء من حوله من خلال شكلها. الاهتمام بشكل الجسم يمكن أن تمليه الضرورة الحيوية، أو يمكن أن يكون سببه جمال الشكل. يساهم الشكل، الذي يعتمد بنائه على مزيج من التناظر والنسبة الذهبية، في تحقيق أفضل إدراك بصري وظهور شعور بالجمال والانسجام. يتكون الكل دائمًا من أجزاء، والأجزاء ذات الأحجام المختلفة لها علاقة معينة ببعضها البعض وبالكل. مبدأ النسبة الذهبية هو أعلى مظهر من مظاهر الكمال الهيكلي والوظيفي للكل وأجزائه في الفن والعلوم والتكنولوجيا والطبيعة.

النسبة الذهبية - النسبة التوافقية

في الرياضيات حَجم(lat.proportio) نسمي المساواة بين علاقتين: أ : ب = ج : د.

قطعة مستقيمة أ.بيمكن تقسيمها إلى قسمين بالطرق التالية:

إلى قسمين متساويين - أ.ب : تكييف = أ.ب : شمس;
إلى جزأين غير متساويين بأي شكل من الأشكال (مثل هذه الأجزاء لا تشكل نسبًا)؛
وهكذا عندما أ.ب : تكييف = تكييف : شمس.

الأخير هو التقسيم الذهبي أو تقسيم القطعة بنسبة متطرفة ومتوسطة.

أ : ب = ب : جأو مع : ب = ب : أ.

أرز. 1.صورة هندسية للنسبة الذهبية

يبدأ التعرف العملي على النسبة الذهبية بتقسيم قطعة مستقيمة في النسبة الذهبية باستخدام البوصلة والمسطرة.

أرز. 2.تقسيم قطعة مستقيمة باستخدام النسبة الذهبية. قبل الميلاد = 1/2 أ.ب; قرص مضغوط = قبل الميلاد

من النقطة فييتم استعادة عمودي يساوي النصف أ.ب. النقطة المستلمة معمتصلة بخط إلى نقطة أ. يتم رسم قطعة على السطر الناتج شمستنتهي بنقطة د. القطعة المستقيمة إعلانمنقول إلى المباشر أ.ب. النقطة الناتجة هيقسم شريحة أ.بفي نسبة النسبة الذهبية.

يتم التعبير عن أجزاء النسبة الذهبية ككسر غير عقلاني لا نهائي أ.= 0.618...، إذا أ.بتأخذ كواحدة يكون= 0.382... ولأغراض عملية غالبا ما تستخدم القيم التقريبية 0.62 و 0.38. إذا كان الجزء أ.بإذا اعتبرناها 100 جزء، فإن الجزء الأكبر من القطعة يساوي 62، والجزء الأصغر يساوي 38 جزءًا.

يتم وصف خصائص النسبة الذهبية بالمعادلة:

س 2 - س - 1 = 0.

حل هذه المعادلة:

لقد خلقت خصائص النسبة الذهبية هالة رومانسية من الغموض وعبادة صوفية تقريبًا حول هذا الرقم.

النسبة الذهبية الثانية

نشرت مجلة "الوطن" البلغارية (العدد 10، 1983) مقالاً بقلم تسفيتان تسيكوف-كارانداش "حول القسم الذهبي الثاني"، والذي يتبع القسم الرئيسي ويعطي نسبة مختلفة 44:56.

تم العثور على هذه النسبة في الهندسة المعمارية، وتحدث أيضًا عند إنشاء تركيبات صور ذات تنسيق أفقي ممدود.

أرز. 3.بناء النسبة الذهبية الثانية

ويتم التقسيم على النحو التالي. القطعة المستقيمة أ.بمقسمة حسب النسبة الذهبية. من النقطة معيتم استعادة العمودي قرص مضغوط. نصف القطر أ.بهناك نقطة د، والتي ترتبط بخط إلى نقطة أ. زاوية مستقيمة حوار التعاون الآسيويمقسمة إلى نصفين. من النقطة معيتم رسم خط حتى يتقاطع مع الخط إعلان. نقطة هيقسم شريحة إعلانفي نسبة 56:44.

أرز. 4.تقسيم مستطيل بخط النسبة الذهبية الثانية

المثلث الذهبي

للعثور على أجزاء من النسبة الذهبية للسلسلة التصاعدية والتنازلية، يمكنك استخدامها نجمة خماسية.

أرز. 5.بناء الخماسي والخماسي العادي

أرز. 6.بناء الذهبي
مثلث

نقوم بتنفيذ مباشر أ.ب. من النقطة أوضع قطعة عليه ثلاث مرات عنقيمة تعسفية، من خلال النقطة الناتجة ررسم عمودي على الخط أ.ب، على العمودي على يمين ويسار النقطة رنضع جانبا القطاعات عن. النقاط المستلمة دو د 1 الاتصال بخطوط مستقيمة إلى نقطة ما أ. القطعة المستقيمة د 1 وضعت على الانترنت إعلان 1 ، الحصول على نقطة مع. لقد قسمت الخط إعلان 1 بما يتناسب مع النسبة الذهبية. خطوط إعلان 1 و د 1 تستخدم لبناء المستطيل "الذهبي".

تاريخ النسبة الذهبية

من المقبول عمومًا أن مفهوم التقسيم الذهبي قد تم تقديمه للاستخدام العلمي من قبل فيثاغورس، الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني القديم (القرن السادس قبل الميلاد). هناك افتراض بأن فيثاغورس استعار معرفته بالقسمة الذهبية من المصريين والبابليين. وبالفعل فإن نسب هرم خوفو والمعابد والنقوش البارزة والأدوات المنزلية والمجوهرات من مقبرة توت عنخ آمون تشير إلى أن الحرفيين المصريين استخدموا نسب القسمة الذهبية عند إنشائها. وجد المهندس المعماري الفرنسي لو كوربوزييه أنه في النقش البارز من معبد الفرعون سيتي الأول في أبيدوس وفي النقش الذي يصور الفرعون رمسيس، فإن نسب الأشكال تتوافق مع قيم القسمة الذهبية. المهندس حسيرة، المرسوم على لوح خشبي من مقبرة تحمل اسمه، يحمل بين يديه أدوات قياس تُسجل فيها نسب القسمة الذهبية.

أرز. 7.المستطيلات الديناميكية

كما عرف أفلاطون (427...347 قبل الميلاد) عن التقسيم الذهبي. حواره "طيماوس" مخصص للآراء الرياضية والجمالية لمدرسة فيثاغورس، وعلى وجه الخصوص، لقضايا القسمة الذهبية.

أرز. 8.بوصلة النسبة الذهبية العتيقة

في الأدب القديم الذي وصل إلينا، تم ذكر القسمة الذهبية لأول مرة في كتاب العناصر لإقليدس. وفي كتاب المبادئ الثاني تم تقديم البناء الهندسي لتقسيم الذهب، وبعد إقليدس تمت دراسة تقسيم الذهب على يد هيبسكليس (القرن الثاني قبل الميلاد)، وبابوس (القرن الثالث الميلادي)، وآخرين. أوروبا في العصور الوسطى، مع تقسيم الذهب، تعرفنا على بعضنا البعض من خلال الترجمات العربية لكتاب العناصر لإقليدس. أدلى المترجم ج. كامبانو من نافارا (القرن الثالث) بتعليقات على الترجمة. كانت أسرار القسم الذهبي تحت حراسة شديدة وتم الاحتفاظ بها في سرية تامة. كانوا معروفين فقط للمبتدئين.

خلال عصر النهضة، زاد الاهتمام بالقسمة الذهبية بين العلماء والفنانين بسبب استخدامها في كل من الهندسة والفن، وخاصة في الهندسة المعمارية، ورأى ليوناردو دافنشي، وهو فنان وعالم، أن الفنانين الإيطاليين لديهم الكثير من الخبرة التجريبية، ولكن القليل معرفة . لقد تصور وبدأ في كتابة كتاب عن الهندسة، ولكن في ذلك الوقت ظهر كتاب للراهب لوكا باسيولي، وتخلى ليوناردو عن فكرته. وفقًا للمعاصرين ومؤرخي العلوم، كان لوكا باسيولي نجمًا حقيقيًا، وأعظم عالم رياضيات في إيطاليا في الفترة ما بين فيبوناتشي وجاليليو. كان لوكا باسيولي تلميذاً للرسام بييرو ديلا فرانشيسكا الذي ألف كتابين أحدهما بعنوان "في المنظور في الرسم". ويعتبر خالق الهندسة الوصفية.

لوقا لقد فهم باسيولي تمامًا أهمية العلم للفن. وفي عام 1496، وبدعوة من دوق مورو، جاء إلى ميلانو، حيث ألقى محاضرات في الرياضيات. عمل ليوناردو دافنشي أيضًا في ميلانو في بلاط مورو في ذلك الوقت. في عام 1509، نُشر كتاب لوكا باسيولي "النسبة الإلهية" في البندقية مع رسوم توضيحية تم تنفيذها ببراعة، ولهذا السبب يُعتقد أنها من صنع ليوناردو دافنشي. كان الكتاب بمثابة ترنيمة حماسية للنسبة الذهبية. ومن المزايا العديدة للنسبة الذهبية، لم يفشل الراهب لوكا باسيولي في تسمية "جوهرها الإلهي" تعبيرًا عن الثالوث الإلهي - الله الابن، والله الآب، والله الروح القدس (وكان يُلمح ضمنيًا إلى أن النسبة الذهبية الصغيرة الجزء هو تجسيد الله الابن، الجزء الأكبر - الله الآب، والجزء بأكمله - إله الروح القدس).

كما أولى ليوناردو دافنشي اهتمامًا كبيرًا بدراسة القسم الذهبي. لقد صنع أجزاء من جسم مجسم يتكون من خماسيات منتظمة، وفي كل مرة حصل على مستطيلات بنسب عرض إلى ارتفاع في القسمة الذهبية. ولهذا السبب أعطى هذا القسم الاسم النسبة الذهبية. لذلك لا يزال الأكثر شعبية.

في الوقت نفسه، في شمال أوروبا، في ألمانيا، كان ألبريشت دورر يعمل على نفس المشاكل. يرسم مقدمة النسخة الأولى من الأطروحة حول النسب. يكتب دورر. "من الضروري أن يقوم الشخص الذي يعرف كيفية القيام بشيء ما بتعليمه للآخرين الذين يحتاجون إليه. وهذا ما شرعت في القيام به."

انطلاقًا من إحدى رسائل دورر، التقى بلوكا باسيولي أثناء وجوده في إيطاليا. يطور ألبريشت دورر بالتفصيل نظرية نسب جسم الإنسان. خصص دورر مكانًا مهمًا في نظام علاقاته للقسم الذهبي. يتم تقسيم طول الشخص بنسب ذهبية على خط الحزام، وكذلك على خط مرسوم من خلال أطراف الأصابع الوسطى لليدين السفلية، والجزء السفلي من الوجه عن طريق الفم، وما إلى ذلك. بوصلة دورر التناسبية معروفة جيدًا.

عالم الفلك العظيم في القرن السادس عشر. وصف يوهانس كيبلر النسبة الذهبية بأنها إحدى كنوز الهندسة. وكان أول من لفت الانتباه إلى أهمية النسبة الذهبية في علم النبات (نمو النباتات وبنيتها).

وصف كيبلر النسبة الذهبية بأنها مستمرة ذاتيا، وكتب: "إنها منظمة بطريقة تجعل الحدين الأدنى من هذه النسبة التي لا تنتهي أبدا يضافان إلى الحد الثالث، وأي حدين أخيرين، إذا تم جمعهما معًا". ، أعط الحد التالي، وتبقى نفس النسبة إلى ما لا نهاية."

يمكن بناء سلسلة من الأجزاء ذات النسبة الذهبية في اتجاه الزيادة (سلسلة متزايدة) وفي اتجاه الانخفاض (سلسلة تنازلية).

إذا كنت على خط مستقيم بطول تعسفي، ضع القطعة جانبًا م، ضع المقطع بجانبه م. بناءً على هاتين الجزأين، قمنا ببناء مقياس لشرائح النسبة الذهبية للمتسلسلة الصاعدة والتنازلية

أرز. 9.بناء مقياس لقطاعات النسبة الذهبية

وفي القرون اللاحقة، تحولت قاعدة النسبة الذهبية إلى قانون أكاديمي، ومع مرور الوقت، بدأ الصراع ضد الروتين الأكاديمي في الفن، وفي خضم الصراع "ألقوا الطفل مع ماء الاستحمام". تم "اكتشاف" النسبة الذهبية مرة أخرى في منتصف القرن التاسع عشر. في عام 1855، نشر الباحث الألماني في النسبة الذهبية، البروفيسور زيسينج، عمله “الدراسات الجمالية”. إن ما حدث لزايسينج هو بالضبط ما يجب أن يحدث حتمًا للباحث الذي يعتبر ظاهرة في حد ذاتها، دون ارتباط بظواهر أخرى. لقد أطلق نسبة القسم الذهبي، معلناً أنها عالمية لجميع ظواهر الطبيعة والفن. كان لدى زايسينج العديد من الأتباع، ولكن كان هناك أيضًا معارضون أعلنوا أن مذهبه في النسب هو "جماليات رياضية".

أرز. 10.النسب الذهبية في أجزاء جسم الإنسان

أرز. أحد عشر.النسب الذهبية في شخصية الإنسان

زيزينغقام بعمل هائل. قام بقياس حوالي ألفي جسم بشري وتوصل إلى نتيجة مفادها أن النسبة الذهبية تعبر عن القانون الإحصائي المتوسط. إن تقسيم الجسم حسب نقطة السرة هو أهم مؤشر على النسبة الذهبية. وتتقلب نسب الجسم الذكري ضمن متوسط نسبة 13:8 = 1.625 وهي أقرب إلى النسبة الذهبية إلى حد ما من نسب جسم الأنثى والتي يتم التعبير عن النسبة المتوسطة لها بنسبة 8:5 = 1.6. في الأطفال حديثي الولادة تكون النسبة 1:1، وفي عمر 13 سنة تكون 1.6، وفي عمر 21 سنة تساوي نسبة الرجل. وتظهر نسب النسبة الذهبية أيضًا بالنسبة لأجزاء أخرى من الجسم - طول الكتف والساعد واليد واليد والأصابع، وما إلى ذلك.

اختبر زايسينج صحة نظريته على التماثيل اليونانية. قام بتطوير نسب أبولو بلفيدير بأكبر قدر من التفاصيل. تمت دراسة المزهريات اليونانية والهياكل المعمارية من مختلف العصور والنباتات والحيوانات وبيض الطيور والنغمات الموسيقية والأوزان الشعرية. أعطى Zeising تعريفًا للنسبة الذهبية وأظهر كيفية التعبير عنها بمقاطع مستقيمة وبالأرقام. عندما تم الحصول على الأرقام التي تعبر عن أطوال القطع، رأى زايسينج أنها تشكل سلسلة فيبوناتشي، والتي يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى في اتجاه واحد أو آخر. كتابه التالي كان بعنوان "القسم الذهبي باعتباره القانون المورفولوجي الأساسي في الطبيعة والفن". في عام 1876، نُشر في روسيا كتاب صغير، يكاد يكون كتيبًا، يوضح عمل زايسينج هذا. لجأ المؤلف إلى الأحرف الأولى من اسم Yu.F.V. لم تذكر هذه الطبعة أي عمل فني.

في نهاية التاسع عشر - بداية القرن العشرين. ظهرت العديد من النظريات الشكلية البحتة حول استخدام النسبة الذهبية في الأعمال الفنية والعمارة.ومع تطور التصميم والجماليات التقنية، امتد قانون النسبة الذهبية ليشمل تصميم السيارات والأثاث وغيرها.

سلسلة فيبوناتشي

يرتبط اسم عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا، المعروف باسم فيبوناتشي (ابن بوناتشي)، بشكل غير مباشر بتاريخ النسبة الذهبية. لقد سافر كثيرًا في الشرق، وعرّف أوروبا على الأرقام الهندية (العربية). في عام 1202، تم نشر عمله الرياضي "كتاب العداد" (لوحة العد)، والذي جمع كل المسائل المعروفة في ذلك الوقت. تقول إحدى المسائل "كم عدد أزواج الأرانب التي ستولد من زوج واحد في عام واحد." وبالتأمل في هذا الموضوع، قام فيبوناتشي ببناء سلسلة الأرقام التالية:

شهور

إلخ.

أزواج من الأرانب

إلخ.

سلسلة من الأرقام 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، إلخ. والمعروفة باسم سلسلة فيبوناتشي. خصوصية تسلسل الأرقام هو أن كل عضو من أعضائه، بدءا من الثالث، يساوي مجموع الاثنين السابقين 2 + 3 = 5؛ 3 + 5 = 8؛ 5 + 8 = 13، 8 + 13 = 21؛ 13 + 21 = 34 وهكذا، ونسبة الأرقام المتجاورة في المتسلسلة تقترب من نسبة القسمة الذهبية. إذن، 21: 34 = 0.617، و34: 55 = 0.618. ويشار إلى هذه العلاقة بالرمز F. فقط هذه النسبة - 0.618: 0.382 - تعطي تقسيمًا مستمرًا لقطعة خط مستقيم في النسبة الذهبية، مما يزيدها أو ينقصها إلى ما لا نهاية، عندما يرتبط الجزء الأصغر بالجزء الأكبر كما يرتبط الجزء الأكبر بالكل.

تناول فيبوناتشي أيضًا الاحتياجات العملية للتجارة: ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن المنتج؟ أثبت فيبوناتشي أن النظام الأمثل للأوزان هو: 1، 2، 4، 8، 16...

النسبة الذهبية المعممة

كان من الممكن أن تظل متسلسلة فيبوناتشي مجرد حادثة رياضية، لولا أن جميع الباحثين في القسم الذهبي في عالم النبات والحيوان، ناهيك عن الفن، جاءوا دائمًا إلى هذه المتسلسلة كتعبير حسابي عن قانون المذهب الذهبي. قسم.

واصل العلماء تطوير نظرية أرقام فيبوناتشي والنسبة الذهبية. يو ماتياسيفيتش يحل مشكلة هيلبرت العاشرة باستخدام أرقام فيبوناتشي. تظهر أساليب أنيقة لحل عدد من المشكلات السيبرانية (نظرية البحث والألعاب والبرمجة) باستخدام أرقام فيبوناتشي والنسبة الذهبية. في الولايات المتحدة، يتم إنشاء جمعية فيبوناتشي الرياضية، التي تنشر مجلة خاصة منذ عام 1963.

ومن الإنجازات في هذا المجال اكتشاف أرقام فيبوناتشي المعممة والنسب الذهبية المعممة.

إن سلسلة فيبوناتشي (1، 1، 2، 3، 5، 8) وسلسلة الأوزان "الثنائية" التي اكتشفها 1، 2، 4، 8، 16... للوهلة الأولى مختلفتان تماماً. لكن خوارزميات بنائها متشابهة جدًا مع بعضها البعض: في الحالة الأولى، كل رقم هو مجموع الرقم السابق مع نفسه 2 = 1 + 1؛ 4 = 2 + 2...، في الثاني - هذا مجموع الرقمين السابقين 2 = 1 + 1، 3 = 2 + 1، 5 = 3 + 2.... هل من الممكن إيجاد عام الصيغة الرياضية التي نحصل منها على "المتسلسلة الثنائية ومتسلسلة فيبوناتشي"؟ أو ربما ستمنحنا هذه الصيغة مجموعات عددية جديدة لها بعض الخصائص الفريدة الجديدة؟

في الواقع، دعونا نضبط المعلمة العددية س، والتي يمكن أن تأخذ أي قيم: 0، 1، 2، 3، 4، 5... دعونا نفكر في سلسلة الأرقام، س+ 1 من الحدود الأولى منها وحدات، وكل حد من الحدود اللاحقة يساوي مجموع حدين من الحد السابق ويفصل عن الذي قبله بمقدار سخطوات.لو ننشير إلى الحد العاشر من هذه السلسلة بـ φ س (ن) ، ثم نحصل على الصيغة العامة φ س (ن) = φ س (ن- 1) + φ س (ن - س - 1).

فمن الواضح أنه عندما س= 0 من هذه الصيغة نحصل على سلسلة "ثنائية"، مع س= 1 - متسلسلة فيبوناتشي مع س= 2، 3، 4. سلسلة جديدة من الأرقام، والتي تسمى س-أرقام فيبوناتشي.

الذهبي بشكل عام س- النسبة هي الجذر الإيجابي للمعادلة الذهبية س-أقسام سص+1 - س س - 1 = 0.

من السهل إظهار ذلك متى س= 0، يتم تقسيم القطعة إلى نصفين، ومتى س= 1 - النسبة الذهبية الكلاسيكية المألوفة.

العلاقات بين الجيران س- أرقام فيبوناتشي تتطابق مع الدقة الرياضية المطلقة في حدود الذهب س-النسب! يقول علماء الرياضيات في مثل هذه الحالات أن الذهب س-الأقسام هي الثوابت العددية س-أرقام فيبوناتشي.

حقائق تؤكد وجود الذهب س- أقسام في الطبيعة، يستشهد بالعالم البيلاروسي إ.م. سوروكوفي كتاب "الانسجام الهيكلي للأنظمة" (مينسك، "العلم والتكنولوجيا"، 1984). اتضح، على سبيل المثال، أن السبائك الثنائية المدروسة جيدًا لها خصائص وظيفية خاصة واضحة (مستقرة حرارياً، صلبة، مقاومة للاهتراء، مقاومة للأكسدة، وما إلى ذلك) فقط إذا كانت الثقل النوعي للمكونات الأصلية مرتبطة ببعضها البعض بواحد من الذهب س-النسب. هذا سمح للمؤلف بطرح الفرضيات هعن حقيقة أنها ذهبية س-الأقسام هي الثوابت العددية لأنظمة التنظيم الذاتي. بمجرد تأكيد هذه الفرضية تجريبيًا، قد تكون ذات أهمية أساسية لتطوير التآزر - وهو مجال جديد من العلوم يدرس العمليات في الأنظمة ذاتية التنظيم.

باستخدام الرموز الذهبية س-يمكن التعبير عن النسب بأي عدد حقيقي كمجموع قوى الذهب س-النسب ذات المعاملات الصحيحة.

والفرق الأساسي بين هذه الطريقة في تشفير الأرقام هو أن قواعد الرموز الجديدة هي ذهبية اللون س-النسب، مع س> 0 يتبين أنها أرقام غير منطقية. وهكذا، يبدو أن أنظمة الأعداد الجديدة ذات الأسس غير العقلانية تضع التسلسل الهرمي التاريخي للعلاقات بين الأعداد العقلانية وغير العقلانية "من الرأس إلى القدم". والحقيقة هي أن الأعداد الطبيعية تم "اكتشافها" لأول مرة؛ فإن نسبهم هي أرقام عقلانية. وفقط في وقت لاحق - بعد اكتشاف الفيثاغوريين للأجزاء غير القابلة للقياس - ولدت أعداد غير عقلانية. على سبيل المثال، في أنظمة الأعداد العشرية والخماسية والثنائية وغيرها من أنظمة الأعداد الموضعية الكلاسيكية، تم اختيار الأعداد الطبيعية كنوع من المبدأ الأساسي - 10، 5، 2 - والذي، وفقًا لقواعد معينة، جميع الأعداد الطبيعية الأخرى، وكذلك الأعداد النسبية والأعداد غير المنطقية، تم بناؤها.

نوع من البديل لأساليب التدوين الحالية هو نظام جديد غير عقلاني، كمبدأ أساسي، بدايته رقم غير عقلاني (والذي، تذكر، هو جذر معادلة النسبة الذهبية)؛ يتم التعبير عن الأعداد الحقيقية الأخرى من خلاله بالفعل.

في مثل هذا النظام العددي، يمكن دائمًا تمثيل أي عدد طبيعي على أنه محدود - وليس لانهائيًا، كما كان يُعتقد سابقًا! - مجموع درجات أي من الذهب س-النسب. وهذا هو أحد الأسباب التي تجعل الحساب "غير العقلاني"، الذي يتميز بالبساطة الرياضية والأناقة المذهلة، يبدو أنه استوعب أفضل صفات الحساب الثنائي الكلاسيكي وحساب "فيبوناتشي".

مبادئ التكوين في الطبيعة

كل ما اتخذ شكلاً ما قد تشكل ونما وسعى جاهداً ليأخذ مكانًا في الفضاء ويحافظ على نفسه. تتحقق هذه الرغبة بشكل أساسي في خيارين - النمو للأعلى أو الانتشار على سطح الأرض والالتواء بشكل حلزوني.

القشرة ملتوية في دوامة. إذا قمت بفتحها، فستحصل على طول أقصر قليلاً من طول الثعبان. قذيفة صغيرة يبلغ طولها عشرة سنتيمترات لها دوامة طولها 35 سم، واللوالب شائعة جدًا في الطبيعة. لن تكتمل فكرة النسبة الذهبية دون الحديث عن اللولب.

أرز. 12.دوامة أرخميدس

جذب شكل الصدفة الملتفة حلزونيًا انتباه أرخميدس. لقد درسها وتوصل إلى معادلة للدوامة. الدوامة المرسومة وفق هذه المعادلة تسمى باسمه. الزيادة في خطوتها تكون دائمًا موحدة. حاليا، يتم استخدام دوامة أرخميدس على نطاق واسع في التكنولوجيا.

أكد جوته أيضًا على ميل الطبيعة نحو اللولبية. وقد لوحظ الترتيب الحلزوني واللولبي للأوراق على أغصان الأشجار منذ زمن طويل. وقد شوهدت الحلزونية في ترتيب بذور عباد الشمس، وأقماع الصنوبر، والأناناس، والصبار، وما إلى ذلك. لقد سلط العمل المشترك لعلماء النبات والرياضيات الضوء على هذه الظواهر الطبيعية المذهلة. اتضح أن سلسلة فيبوناتشي تتجلى في ترتيب الأوراق على فرع (phylotaxis)، وبذور عباد الشمس، وأقماع الصنوبر، وبالتالي فإن قانون النسبة الذهبية يتجلى. ينسج العنكبوت شبكته بشكل حلزوني. الإعصار يدور مثل دوامة. قطيع خائف من الرنة ينتشر في دوامة. جزيء الحمض النووي ملتوي في حلزون مزدوج. أطلق جوته على الحلزون اسم "منحنى الحياة".

من بين الأعشاب على جانب الطريق ينمو نبات عادي - الهندباء. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك. تشكلت لقطة من الجذع الرئيسي. كانت الورقة الأولى موجودة هناك.

أرز. 13.الهندباء البرية

تقوم اللقطة بقذف قوي إلى الفضاء، وتتوقف، وتطلق ورقة، ولكن هذه المرة أقصر من الأولى، وتقوم مرة أخرى بالقذف إلى الفضاء، ولكن بقوة أقل، وتطلق ورقة بحجم أصغر ويتم إخراجها مرة أخرى . إذا تم أخذ الانبعاث الأول على أنه 100 وحدة، فإن الثاني يساوي 62 وحدة، والثالث - 38، والرابع - 24، وما إلى ذلك. طول البتلات يخضع أيضًا للنسبة الذهبية. في النمو وغزو الفضاء، حافظ المصنع على نسب معينة. انخفضت نبضات نموها تدريجياً بما يتناسب مع النسبة الذهبية.

أرز. 14.سحلية حية

للوهلة الأولى، تتمتع السحلية بنسب ممتعة لأعيننا - حيث يرتبط طول ذيلها بطول بقية الجسم من 62 إلى 38.

في كل من عالم النبات والحيوان، يخترق الاتجاه التكويني للطبيعة باستمرار - التماثل فيما يتعلق باتجاه النمو والحركة. وهنا تظهر النسبة الذهبية في نسب الأجزاء المتعامدة مع اتجاه النمو.

لقد قامت الطبيعة بالتقسيم إلى أجزاء متماثلة ونسب ذهبية. تكشف الأجزاء عن تكرار بنية الكل.

أرز. 15.بيضة طائر

كان جوته العظيم، الشاعر وعالم الطبيعة والفنان (الذي رسم ورسم بالألوان المائية)، يحلم بإنشاء عقيدة موحدة حول شكل الأجسام العضوية وتشكيلها وتحويلها. كان هو الذي أدخل مصطلح التشكل إلى الاستخدام العلمي.

صاغ بيير كوري في بداية هذا القرن عددًا من الأفكار العميقة حول التناظر. وقال إنه لا يمكن للمرء أن ينظر في تماثل أي جسم دون الأخذ في الاعتبار تماثل البيئة.

تتجلى قوانين التناظر "الذهبي" في تحولات الطاقة للجزيئات الأولية، في بنية بعض المركبات الكيميائية، في الأنظمة الكوكبية والكونية، في الهياكل الجينية للكائنات الحية. هذه الأنماط، كما هو مذكور أعلاه، موجودة في بنية الأعضاء البشرية الفردية والجسم ككل، وتتجلى أيضًا في الإيقاعات الحيوية وعمل الدماغ والإدراك البصري.

النسبة الذهبية والتماثل

لا يمكن النظر إلى النسبة الذهبية بمفردها، بشكل منفصل، دون الارتباط بالتناظر. عالم البلورات الروسي العظيم ج. واعتبر وولف (1863...1925) النسبة الذهبية أحد مظاهر التناظر.

إن التقسيم الذهبي ليس مظهرا من مظاهر عدم التماثل، بل هو شيء مضاد للتناظر، ووفقا للأفكار الحديثة، فإن التقسيم الذهبي هو تناظر غير متماثل. يشمل علم التناظر مفاهيم مثل ثابتةو التماثل الديناميكي. يميز التناظر الثابت السلام والتوازن، في حين أن التناظر الديناميكي يميز الحركة والنمو. وهكذا، في الطبيعة، يتم تمثيل التماثل الثابت من خلال بنية البلورات، وفي الفن يتميز بالسلام والتوازن والجمود. يعبر التناظر الديناميكي عن النشاط، ويميز الحركة، والتطور، والإيقاع، وهو دليل على الحياة. يتميز التناظر الثابت بأجزاء متساوية وقيم متساوية. يتميز التناظر الديناميكي بزيادة المقاطع أو نقصانها، ويتم التعبير عنه بقيم القسم الذهبي لسلسلة متزايدة أو متناقصة.

عدد القراءات: 7654

وكان معروفا حتى في مصر القديمة النسبة الذهبيةودرس ليوناردو دافنشي وإقليدس خصائصه.تم تصميم الإدراك البصري للإنسان بطريقة تمكنه من التمييز بين جميع الأشياء المحيطة به من خلال الشكل. إن اهتمامه بالشيء أو شكله تمليه الضرورة أحيانًا، أو قد يكون هذا الاهتمام ناجمًا عن جمال الشيء. إذا تم استخدام تركيبة على أساس بناء النموذج النسبة الذهبيةوقوانين التناظر فهذا أفضل مزيج للإدراك البصري لدى الإنسان الذي يشعر بالانسجام والجمال. الكل يتكون من أجزاء، كبيرة وصغيرة، وهذه الأجزاء ذات الأحجام المختلفة لها علاقة معينة، سواء مع بعضها البعض أو مع الكل. وأعلى مظهر من مظاهر الكمال الوظيفي والهيكلي في الطبيعة والعلوم والفن والعمارة والتكنولوجيا هو المبدأ النسبة الذهبية. مفهوم النسبة الذهبيةتم إدخاله في الاستخدام العلمي من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف اليوناني القديم (القرن السادس قبل الميلاد) فيثاغورس. لكن المعرفة ذاتها النسبة الذهبيةاستعار من المصريين القدماء. تظهر نسب جميع مباني المعبد وهرم خوفو والنقوش البارزة والأدوات المنزلية والزخارف من المقابر أن النسبة النسبة الذهبيةتم استخدامه بنشاط من قبل الأساتذة القدماء قبل وقت طويل من فيثاغورس. على سبيل المثال: النقش الغائر من معبد سيتي الأول في أبيدوس والنقش الغائر لرمسيس استخدم مبدأ النسبة الذهبيةفي نسب الأرقام. لقد اكتشف المهندس المعماري لو كوربوزييه هذا الأمر. على لوح خشبي تم استخراجه من مقبرة المهندس المعماري خير، يوجد رسم بارز يظهر عليه المهندس المعماري نفسه وهو يحمل بين يديه أدوات القياس، والتي تم تصويرها في وضعية تثبيت المبادئ النسبة الذهبية. عرفت عن المبادئ النسبة الذهبيةوأفلاطون (427...347 ق.م). وحوار "طيماوس" دليل على ذلك، فهو مخصص للأسئلة التقسيم الذهبيوجهات نظر جمالية ورياضية لمدرسة فيثاغورس. مبادئ النسبة الذهبيةاستخدمه المهندسون المعماريون اليونانيون القدماء في واجهة معبد البارثينون. تم اكتشاف البوصلات التي استخدمها المهندسون المعماريون والنحاتون القدماء في العالم القديم في عملهم أثناء أعمال التنقيب في معبد البارثينون.

البارثينون، الأكروبوليس، أثينا في بومبي (متحف في نابولي) النسب التقسيم الذهبيأيضا متاح.في الأدب القديم الذي وصل إلينا هو المبدأ النسبة الذهبيةتم ذكره لأول مرة في كتاب العناصر لإقليدس. في كتاب "البدايات" في الجزء الثاني، يتم تقديم المبدأ الهندسي النسبة الذهبية. وكان أتباع إقليدس بابوس (القرن الثالث الميلادي)، وهيبسكليس (القرن الثاني قبل الميلاد)، وغيرهم. النسبة الذهبيةالتقينا من خلال ترجمات من اللغة العربية لعناصر إقليدس. مبادئ النسبة الذهبيةكانوا معروفين فقط لدائرة ضيقة من المبتدئين، وكانوا يخضعون لحراسة شديدة ويتم الاحتفاظ بهم في سرية تامة. لقد حان عصر النهضة والاهتمام بالمبادئ النسبة الذهبيةويتزايد بين العلماء والفنانين، إذ ينطبق هذا المبدأ في العلوم والعمارة والفن. وبدأ ليوناردو دافنشي في استخدام هذه المبادئ في أعماله، علاوة على ذلك، بدأ في تأليف كتاب عن الهندسة، ولكن في ذلك الوقت ظهر كتاب للراهب لوكا باسيولي الذي سبقه وأصدر كتاب "النسبة الإلهية"، وبعد ذلك ترك ليوناردو عمله غير مكتمل. وفقا لمؤرخي العلوم والمعاصرين، كان لوكا باسيولي نجما حقيقيا، عالم رياضيات إيطالي لامع عاش في الفترة بين جاليليو وفيبوناتشي. بصفته تلميذاً للفنان بييرو ديلا فرانشيسكا، كتب لوكا باسيولي كتابين بعنوان «عن المنظور في الرسم»، عنوان أحدهما. يعتبره الكثيرون مبتكر الهندسة الوصفية. لوكا باسيولي، بدعوة من دوق مورو، جاء إلى ميلانو عام 1496 وألقى محاضرات هناك في الرياضيات. عمل ليوناردو دافنشي في بلاط مورو في هذا الوقت. أصبح كتاب لوكا باسيولي "النسبة الإلهية"، الذي نُشر في البندقية عام 1509، ترنيمة حماسية. النسبة الذهبيةومع الرسوم التوضيحية المنفذة بشكل جميل، هناك كل الأسباب للاعتقاد بأن الرسوم التوضيحية قد رسمها ليوناردو دافنشي نفسه. الراهب لوكا باسيولي كأحد الفضائل النسبة الذهبيةوسلط الضوء على "جوهره الإلهي". لفهم القيمة العلمية والفنية للنسبة الذهبية، كرس ليوناردو دافنشي الكثير من الوقت لدراستها. من خلال تنفيذ مقطع من جسم مجسم يتكون من خماسيات، حصل على مستطيلات بنسب أبعاد متوافقة مع النسبة الذهبية. "و أطلق عليه إسم" النسبة الذهبية" والتي لا تزال صامدة حتى يومنا هذا. ألبريشت دورر، يدرس أيضًا النسبة الذهبيةفي أوروبا يلتقي بالراهب لوكا باسيولي. وكان يوهانس كيبلر، أعظم علماء الفلك في عصره، أول من لفت الانتباه إلى المعنى النسبة الذهبيةلأن علماء النبات يطلقون عليه كنز الهندسة. لقد أطلق على النسبة الذهبية الاستمرارية الذاتية، وقال: "إنها منظمة بهذه الطريقة، مجموع الحدين الأصغر لنسبة لا نهائية يعطي الحد الثالث، وأي حدين أخيرين، إذا أضيفا، يعطيان الحد التالي" ، ويتم الحفاظ على نفس النسبة إلى ما لا نهاية.

المثلث الذهبي:: النسبة الذهبية والنسبة الذهبية:: المستطيل الذهبي:: اللولب الذهبي

المثلث الذهبي

للعثور على أجزاء النسبة الذهبية للصفوف الهابطة والصاعدة، سنستخدم النجم الخماسي.

أرز. 5. بناء الشكل الخماسي والخماسي المنتظم

من أجل بناء النجم الخماسي، تحتاج إلى رسم شكل خماسي منتظم وفقًا لطريقة البناء التي طورها الرسام وفنان الجرافيك الألماني ألبريشت دورر. إذا كان O هو مركز الدائرة، فإن A هي نقطة على الدائرة وE هي نقطة منتصف القطعة OA. يتقاطع العمودي على نصف القطر OA، المستعاد عند النقطة O، مع الدائرة عند النقطة D. باستخدام البوصلة، حدد قطعة على القطر CE = ED. إذن طول ضلع المضلع الخماسي المنتظم المدرج في دائرة يساوي DC. نرسم القطع DC على الدائرة ونحصل على خمس نقاط لرسم شكل خماسي منتظم. ثم، من خلال زاوية واحدة، نربط زوايا البنتاغون بالأقطار ونحصل على النجم الخماسي. تقسم جميع أقطار البنتاغون بعضها البعض إلى أجزاء متصلة بواسطة النسبة الذهبية.

يمثل كل طرف من النجم الخماسي مثلثًا ذهبيًا. تشكل جوانبه زاوية قدرها 36 درجة عند قمته، والقاعدة الموضوعة على الجانب تقسمه بنسبة النسبة الذهبية. نرسم المستقيم AB. من النقطة A نضع عليها ثلاث مرات قطعة O ذات حجم تعسفي، من خلال النقطة الناتجة P نرسم عموديًا على الخط AB، على العمودي على يمين ويسار النقطة P نضع القطع O. نحن نربط النقطتان الناتجتان d وd1 بخطوط مستقيمة إلى النقطة A. نضع القطعة dd1 على السطر Ad1، ونحصل على النقطة C. وقسمت الخط Ad1 بما يتناسب مع النسبة الذهبية. يتم استخدام الخطين Ad1 و dd1 لإنشاء مستطيل "ذهبي".

أرز. 6. بناء الذهب

مثلث

النسبة الذهبية والنسبة الذهبية

في الرياضيات والفن، تكون الكميتين في النسبة الذهبية إذا كانت النسبة بين مجموع هذه الكميات والأكبر هي نفس النسبة بين الأكبر والأصغر. أعرب جبريا: غالبًا ما يُشار إلى النسبة الذهبية بالحرف اليوناني phi (؟ أو؟).يوضح شكل النسبة الذهبية العلاقات الهندسية التي تحدد هذا الثابت. النسبة الذهبية هي ثابت رياضي غير منطقي، يبلغ حوالي 1.6180339887.

المستطيل الذهبي

المستطيل الذهبي هو مستطيل أطوال أضلاعه هي النسبة الذهبية 1:? (واحد إلى فاي)، أي 1: أو تقريبًا 1:1.618. لا يمكن بناء المستطيل الذهبي إلا باستخدام المسطرة والبوصلة: 1. قم ببناء مربع بسيط 2. ارسم خطًا من منتصف أحد جانبي المنطقة إلى الزاوية المقابلة 3. استخدم هذا الخط كنصف قطر لرسم قوس يحدد ارتفاع المستطيل 4. أكمل المستطيل الذهبي

دوامة ذهبية

في الهندسة، اللولب الذهبي هو لولبي لوغاريتمي يرتبط به عامل النمو b? ، النسبة الذهبية. على وجه الخصوص، يصبح الحلزون الذهبي أوسع (أبعد عن أصله) بعامل ما ? لكل ربع دورة يقوم بها.

تقع النقاط المتتالية لتقسيم المستطيل الذهبي إلى مربعات الحلزون اللوغاريتمي، والذي يُعرف أحيانًا باسم الحلزون الذهبي.

النسبة الذهبية في العمارة والفن.

نفذ العديد من المعماريين والفنانين أعمالهم وفق نسب القسم الذهبي، خاصة على شكل مستطيل ذهبي، حيث تكون نسبة الضلع الأكبر إلى الضلع الأصغر هي نسب القسم الذهبي، معتقدين أن هذه النسبة سيكون ممتعًا من الناحية الجمالية. [المصدر: Wikipedia.org ]

وهنا بعض الأمثلة:

البارثينون، الأكروبوليس، أثينا . يتناسب هذا المعبد القديم تمامًا مع المستطيل الذهبي.

الرجل الفيتروفي ليوناردو دافنشي يمكنك عمل العديد من خطوط المستطيلات في هذا الشكل. ثم، هناك ثلاث مجموعات مختلفة من المستطيلات الذهبية: كل مجموعة مخصصة لمنطقة الرأس والجذع والساقين. يتم أحيانًا الخلط بين رسم الرجل الفيتروفي ليوناردو دافنشي ومبادئ المستطيل الذهبي، ولكن هذا ليس هو الحال. يعتمد بناء الرجل الفيتروفي على رسم دائرة قطرها يساوي قطر المربع وتحريكها للأعلى بحيث تلامس قاعدة المربع ورسم دائرة أخيرة بين قاعدة المربع ونقطة المنتصف بينهما مساحة مركز المربع ومركز الدائرة: شرح تفصيلي عن البناء الهندسي >>

النسبة الذهبية في الطبيعة

وقد وجد أدولف زايسينج، الذي كانت اهتماماته الرئيسية هي الرياضيات والفلسفة، النسبة الذهبية في ترتيب الفروع على طول ساق النبات والعروق في الأوراق. ووسع أبحاثه وانتقل من النباتات إلى الحيوانات، فدرس الهياكل العظمية للحيوانات وفروع عروقها وأعصابها، وكذلك نسب المركبات الكيميائية وهندسة البلورات، وصولا إلى استخدام النسبة الذهبية في الصورة البصرية. الفنون. في هذه الظواهر، رأى أن النسبة الذهبية تستخدم في كل مكان كقانون عالمي، كتب زايسينج في عام 1854: النسبة الذهبية هي قانون عالمي، يحتوي على المبدأ الأساسي الذي يشكل الرغبة في الجمال والكمال في مجالات مثل الطبيعة والفن، والذي يتخلل، كمثال روحي أساسي، جميع الهياكل والأشكال والنسب، سواء كانت كونية أو فيزيائية أو عضوية. أو غير عضوي، صوتي أو بصري، لكن مبدأ النسبة الذهبية يجد تحقيقه الكامل في الشكل البشري.

أمثلة:

يكشف قطع غلاف نوتيلوس عن المبدأ الذهبي للبناء الحلزوني.

قسم موزارت سوناتاته إلى قسمين يعكس طولهما النسبة الذهبيةعلى الرغم من وجود جدل كبير حول ما إذا كان قد فعل ذلك عمدا. وفي العصر الحديث، قام الملحن المجري بيلا بارتوك والمهندس المعماري الفرنسي لو كوربوزييه بدمج مبدأ النسبة الذهبية في أعمالهما عمدًا. حتى اليوم النسبة الذهبيةيحيط بنا في كل مكان بأشياء اصطناعية. انظر إلى أي صليب مسيحي تقريبًا، فنسبة الجزء الرأسي إلى الجزء الأفقي هي النسبة الذهبية. للعثور على المستطيل الذهبي، ابحث في محفظتك وستجد بطاقات الائتمان هناك.على الرغم من هذه الأدلة الوفيرة من الأعمال الفنية التي تم إنشاؤها على مر القرون، هناك حاليا جدل بين علماء النفس حول ما إذا كان الناس ينظرون بالفعل إلى النسب الذهبية، وخاصة المستطيل الذهبي، على أنها أكثر جمالا من الأشكال الأخرى. في مقال صحفي نشر عام 1995، ناقش البروفيسور كريستوفر جرين، من جامعة يورك في تورونتو، عددًا من التجارب على مر السنين التي لم تظهر أي تفضيل لشكل المستطيل الذهبي، لكنه لاحظ أن العديد من التجارب الأخرى قدمت أدلة على أن مثل هذا التفضيل لا يؤثر على الشكل المستطيل الذهبي. يخرج. . ولكن بغض النظر عن العلم، فإن النسبة الذهبية تحتفظ بغموضها، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن لها تطبيقات ممتازة في العديد من الأماكن غير المتوقعة في الطبيعة. حلزوني قذائف نوتيلوس قريبة بشكل مدهش النسبة الذهبية، وتكون النسبة بين طول الصدر والبطن عند معظم النحل تقريبية النسبة الذهبية. حتى المقطع العرضي من الأشكال الأكثر شيوعًا للحمض النووي البشري يتناسب تمامًا مع العقد الذهبي. النسبة الذهبيةوتظهر أقاربها أيضًا في العديد من السياقات غير المتوقعة في الرياضيات، وتستمر في جذب اهتمام المجتمعات الرياضية. استخدم الدكتور ستيفن ماركوارت، جراح التجميل السابق، هذه النسبة الغامضة النسبة الذهبية، في عمله الذي كان منذ فترة طويلة مسؤولاً عن الجمال والانسجام، ليصنع قناعًا اعتبره أجمل شكل يمكن أن يكون للوجه البشري.