Andrey Lipov

Oddiy so'zlar bilan aytganda, standart og'ish asbobning narxi vaqt o'tishi bilan qanchalik o'zgarishini ko'rsatadi. Ya'ni, bu ko'rsatkich qanchalik katta bo'lsa, bir qator qiymatlarning o'zgaruvchanligi yoki o'zgaruvchanligi shunchalik kuchli bo'ladi.

Standart og'ish qiymatlar to'plamini tahlil qilish uchun ishlatilishi mumkin va kerak, chunki bir xil o'rtacha ko'rinadigan ikkita to'plam qiymatlarning tarqalishi nuqtai nazaridan butunlay boshqacha bo'lishi mumkin.

Misol

Keling, ikkita qator raqamlarni olaylik.

a) 1,2,3,4,5,6,7,8,9. O'rtacha - 5. Art. og'ish = 2,7386

b) 20.1.7.1.15, -1, -20.4,18.5. O'rtacha - 5. Art. og'ish = 12,2066

Agar siz raqamlarning butun seriyasini ko'zingiz oldida saqlamasangiz, unda standart og'ish "b" holatida qiymatlar o'rtacha qiymat atrofida ko'proq tarqalganligini ko'rsatadi.

Taxminan aytganda, "b" qatorida qiymat 5 plyus yoki minus 12 (o'rtacha) - aniq emas, balki ma'noni ochib beradi.

Standart chetlanishni qanday hisoblash mumkin

Standart og'ishni hisoblash uchun siz investitsiya fondi daromadlarining standart og'ishini hisoblashdan olingan formuladan foydalanishingiz mumkin:

Bu erda N - qiymatlar soni,
DOHaverage - barcha qiymatlarning o'rtachasi,
DOH davri - N qiymati.

Excelda mos keladigan funksiya STDEV (yoki dasturning inglizcha versiyasida STDEV) deb ataladi.

Bosqichma-bosqich ko'rsatmalar quyidagilar:

1. Bir qator raqamlar uchun o'rtacha qiymatni hisoblang.
2. Har bir qiymat uchun o'rtacha va bu qiymat o'rtasidagi farqni aniqlang.
3. Ushbu farqlarning kvadratlari yig'indisini hisoblang.
4. Olingan yig'indini qatordagi raqamlar soniga bo'ling.
5. Oxirgi xatboshida olingan raqamning kvadrat ildizini oling.

Do'stlaringiz ushbu ma'lumotdan foyda olishadi. Ular bilan baham ko'ring!

UMUMIY KOLLEKTNING TA’RIFI VA

NAMUNA STATISTIKA ASOSLANGAN PARAMETRELAR;

O'RTA VA STANDART O'TISH

Aholining o'rtacha miqdorini aniqlash

(umumiy aholi)

1-bobga ilovada tasvirlangan reaksiya vaqti tajribasida haqiqiy tajriba natijalari olindi. Ular to'liq ichki haqiqiylikka ega bo'lgan tajribada olinishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni ifodalaydi deb taxmin qilingan. Shunday qilib, 17 ta namunadagi yorug'lik signaliga o'rtacha javob vaqti cheksiz miqdordagi namunalar bilan tajribada olinishi mumkin bo'lgan o'rtacha vaqt edi.

Biz etarlicha katta (cheksizgacha) namunaviy populyatsiyani chiqarish uchun cheklangan tanlanma o'rtachadan foydalanamiz. Bunday populyatsiya umumiy populyatsiya deb ataladi. Bunday, masalan, BP kabi ma'lumotlarning umumiy populyatsiyasi bo'yicha o'rtacha qiymati M x bilan belgilanadi. Umumiy aholining bunday xarakteristikasi parametr deyiladi. Biz tomonidan ma'lum bir namuna uchun hisoblangan o'rtacha statistik deyiladi va M x bilan belgilanadi. M x statistikasi bizning namunamizdan olishimiz mumkin bo'lgan M x ning eng yaxshi bahosimi? Javob - isbotsiz - ha. Ammo bu har doim shunday bo'ladi deb qaror qilishdan oldin, keling, standart og'ishga o'taylik, bu erda bunday emas.

Standart chetlanishni hisoblash

Odatda, o'rtacha ballga qo'shimcha ravishda, biz yana bir narsani bilishni xohlaymiz, ya'ni tanlovdan namunaga ballarning tizimli bo'lmagan o'zgarishi nima. Tizimli bo'lmagan o'zgarishlarni o'lchashning eng keng tarqalgan usuli standart og'ishni hisoblashdir.

Buni amalga oshirish uchun siz har bir ballning qanchaligini aniqlaysiz (ya'ni. X) o'rtachadan ko'proq yoki kamroq ( M X). Keyin har bir farqni kvadratga aylantirasiz ( X-M X) va ularni qo'shing. Keyin bu summani bo'ling N namunalar soni. Nihoyat, siz bu o'rtacha kvadrat ildizni olasiz.

Ushbu hisob standart og'ishni ko'rsatish uchun s x belgisi yordamida formula bilan ifodalanadi:

90 Ushbu formulani ifodalash uchun kichik x ni kiritish orqali qisqartirilishi mumkin ( X-M X). Keyin formula quyidagicha ko'rinadi:

(2,1A)

I bobning ilovasidan A sharti bo'yicha ma'lumotlarni yozamiz va shu bilan birga ular bo'yicha s x formulasi bilan ko'rsatilgan hisob-kitoblarni qilamiz.

Sinab ko'ring		M X	X - M X	x 2
			yokiX
			Σ x 2

Shu darajada

Xonim.

91Standart chetlanishni baholash

aholi

Cheksiz eksperimentda olinishi mumkin bo'lgan aholi o'rtacha qiymatini aniqlash uchun eng yaxshi baho aslida o'rtacha tanlanma edi. Standart og'ish bilan vaziyat boshqacha. Haqiqiy namunalarning har qanday to'plamida umumiy populyatsiyaga qaraganda juda yuqori yoki juda past natijalar kamroq. Va standart og'ish hisob-kitoblarning tarqalishining o'lchovi bo'lganligi sababli, uning tanlama asosida aniqlangan qiymati har doim sigma s x populyatsiya parametridan past bo'ladi.

Aniqroq aytganda, populyatsiya uchun standart og'ishning taxmini formula bo'yicha topiladi

(2.2)

(2,2A)

Raqamli ma'lumotlarimiz uchun:

Xonim.

Ba'zi tajribalar bir holatda xatti-harakatlar boshqasiga qaraganda o'zgaruvchanroq bo'lishini taxmin qiladi. Keyin o'rtacha qiymatlarni emas, balki standart og'ishlarni solishtirish maqsadga muvofiqdir. Agar ikkala shart uchun N Xuddi shu narsa, siz sigmani bir-biringiz bilan solishtirishingiz mumkin. Biroq, qachon N farq qiladi, kamroq bo'lgan holat uchun sigma N standart og'ish kabi populyatsiya parametrining past bahosini beradi. Shuning uchun ikkitasini solishtirish kerak S.

Quyidagi jadval ushbu nuqta va formulalarni eslab qolishingizga yordam beradi.92

	O'rtacha	Standart og'ish
Umumiy aholining parametrik xususiyatlari (g. s.)
Namunaning statistik xarakteristikalari
Hisoblangan populyatsiya parametri

Vazifa: s x va ni hisoblang S B sharti uchun x.

Javob: s B = 15,9;s B = 16,4.

Excelda o'rtacha qiymatni topish uchun (u raqamli, matnli, foizli yoki boshqa qiymat bo'ladimi) juda ko'p funktsiyalar mavjud. Va ularning har biri o'ziga xos xususiyatlarga va afzalliklarga ega. Axir, bu vazifada muayyan shartlar belgilanishi mumkin.

Masalan, Excelda bir qator raqamlarning o'rtacha qiymatlari statistik funktsiyalar yordamida hisoblanadi. Siz o'zingizning formulangizni qo'lda kiritishingiz mumkin. Keling, turli xil variantlarni ko'rib chiqaylik.

Raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatini qanday topish mumkin?

O'rtacha arifmetikni topish uchun siz to'plamdagi barcha raqamlarni qo'shishingiz va yig'indini raqamga bo'lishingiz kerak. Masalan, talabaning informatika fanidan olgan baholari: 3, 4, 3, 5, 5. Chorak uchun nima: 4. Biz formuladan foydalanib o'rtacha arifmetikni topdik: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Excel funksiyalaridan foydalanib buni qanday tez bajarish mumkin? Masalan, qatordagi tasodifiy sonlar qatorini olaylik:

Yoki: katakchani faol holga keltiring va oddiygina formulani qo'lda kiriting: =O'RTA(A1:A8).

Endi AVERAGE funksiyasi yana nima qila olishini ko'rib chiqamiz.

Birinchi ikki va oxirgi uchta sonning o‘rtacha arifmetik qiymatini toping. Formula: =O'RTA(A1:B1; F1:H1). Natija:



Shart bo'yicha o'rtacha

Arifmetik o'rtachani topish sharti sonli yoki matnli mezon bo'lishi mumkin. Biz funktsiyadan foydalanamiz: =AVERAGEIF().

10 dan katta yoki teng bo‘lgan sonlarning o‘rta arifmetik qiymatini toping.

Funktsiya: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

">=10" shartida AVERAGEIF funksiyasidan foydalanish natijasi:

Uchinchi argument - "O'rtacha diapazon" - olib tashlangan. Birinchidan, bu shart emas. Ikkinchidan, dastur tomonidan tahlil qilingan diapazon FAQAT raqamli qiymatlarni o'z ichiga oladi. Birinchi argumentda ko'rsatilgan kataklarda qidiruv ikkinchi argumentda ko'rsatilgan shartga muvofiq amalga oshiriladi.

Diqqat! Qidiruv mezoni hujayrada belgilanishi mumkin. Va formulada unga havola qilish uchun.

Matn mezoni bo'yicha raqamlarning o'rtacha qiymatini topamiz. Masalan, mahsulotning o'rtacha savdosi "jadvallar".

Funktsiya quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Diapazon - mahsulot nomlari bo'lgan ustun. Qidiruv mezoni "jadvallar" so'zi bo'lgan katakka havoladir (A7 havolasi o'rniga "jadvallar" so'zini qo'yishingiz mumkin). O'rtacha diapazon - o'rtacha qiymatni hisoblash uchun ma'lumotlar olinadigan hujayralar.

Funktsiyani hisoblash natijasida biz quyidagi qiymatni olamiz:

Diqqat! Matn mezoni (sharti) uchun o'rtacha diapazon ko'rsatilishi kerak.

Excelda o'rtacha tortilgan narxni qanday hisoblash mumkin?

O'rtacha o'rtacha narxni qanday bilamiz?

Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

SUMPRODUCT formulasidan foydalanib, biz butun mahsulot miqdorini sotgandan keyin umumiy daromadni aniqlaymiz. Va SUM funktsiyasi - tovarlar miqdorini jamlaydi. Tovarlarni sotishdan tushgan umumiy tushumni tovar birliklarining umumiy soniga bo'lish orqali biz o'rtacha tortilgan narxni topdik. Ushbu ko'rsatkich har bir narxning "og'irligi" ni hisobga oladi. Uning umumiy qiymatlar massasidagi ulushi.

Standart og'ish: Excelda formula

Umumiy populyatsiya va namuna uchun standart og'ish o'rtasida farqlang. Birinchi holda, bu umumiy dispersiyaning ildizidir. Ikkinchisida, namunaviy dispersiyadan.

Ushbu statistik ko'rsatkichni hisoblash uchun dispersiya formulasi tuziladi. Ildiz undan olinadi. Ammo Excelda standart og'ishni topish uchun tayyor funktsiya mavjud.

Standart og'ish manba ma'lumotlarining shkalasi bilan bog'liq. Tahlil qilinayotgan diapazonning o'zgarishini majoziy ko'rsatish uchun bu etarli emas. Ma'lumotlardagi tarqalishning nisbiy darajasini olish uchun o'zgaruvchanlik koeffitsienti hisoblanadi:

standart og'ish / o'rtacha arifmetik

Excelda formula quyidagicha ko'rinadi:

STDEV (qiymatlar diapazoni) / AVERAGE (qiymatlar diapazoni).

O'zgaruvchanlik koeffitsienti foiz sifatida hisoblanadi. Shuning uchun biz hujayradagi foiz formatini o'rnatamiz.

STDEV.B funktsiyasi belgilangan raqamli qiymatlar oralig'i uchun hisoblangan standart og'ish qiymatini qaytaradi.

STDEVG funktsiyasi raqamli qiymatlar populyatsiyasining standart og'ishini aniqlash uchun ishlatiladi va kiritilgan qiymatlar namuna emas, balki butun populyatsiya ekanligini hisobga olib, standart og'ishni qaytaradi.

STDEV funktsiyasi butun populyatsiyani emas, balki namuna bo'lgan ba'zi raqamlar diapazoni uchun standart og'ishni qaytaradi.

STDLONGPA o'z argumentlari sifatida qabul qilingan barcha populyatsiya uchun standart og'ishni qaytaradi.

STDEV.V, STDEV.G, STDEV va STDEVPA dan foydalanishga misollar

Misol 1. Kompaniyada mijozlarni jalb qilish bo'yicha ikkita menejer mavjud. Har bir menejer tomonidan kuniga xizmat ko'rsatadigan mijozlar soni to'g'risidagi ma'lumotlar Excel elektron jadvalida qayd etiladi. Ikki xodimdan qaysi biri samaraliroq ishlashini aniqlang.

Dastlabki ma'lumotlar jadvali:

Birinchidan, menejerlar har kuni ishlagan mijozlarning o'rtacha sonini hisoblaymiz:

OʻRTA(B2:B11)

Bu funktsiya birinchi menejer tomonidan har kuni qabul qilingan mijozlar sonini o'z ichiga olgan B2:B11 diapazoni uchun o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblab chiqadi. Xuddi shunday, biz ikkinchi menejer uchun kuniga o'rtacha mijozlar sonini hisoblaymiz. Biz olamiz:

Olingan qiymatlarga asoslanib, ikkala menejer ham bir xil darajada samarali ishlaydi. Biroq, birinchi menejer uchun mijozlar sonining kuchli tarqalishi vizual tarzda ko'rinadi. Standart og'ishni formuladan foydalanib hisoblaymiz:

STDV B(B2:B11)

B2:B11 - o'rganilayotgan qiymatlar diapazoni. Xuddi shunday, biz ikkinchi menejer uchun standart og'ishni aniqlaymiz va quyidagi natijalarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, birinchi menejerning ishlash ko'rsatkichlari qiymatlarning yuqori o'zgaruvchanligi (tarqalishi) bilan tavsiflanadi va shuning uchun o'rtacha arifmetik ish samaradorligining haqiqiy rasmini umuman aks ettirmaydi. 1,2 og'ish ikkinchi menejerning yanada barqaror va shuning uchun samarali ishini ko'rsatadi.



Excelda STDEV funksiyasidan foydalanishga misol

2-misol. Kollej talabalarining ikki xil guruhida bitta fan bo'yicha imtihon o'tkazildi. Talabalar faoliyatini baholash.

Dastlabki ma'lumotlar jadvali:

Birinchi guruh uchun qiymatlarning standart og'ishini formuladan foydalanib aniqlaymiz:

STDEV(A2:A11)

Keling, ikkinchi guruh uchun ham xuddi shunday hisob-kitob qilaylik. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlar ikkinchi guruh talabalari imtihonga ancha yaxshi tayyorlanganligini ko'rsatadi, chunki baholash qiymatlarining tarqalishi nisbatan kichik. E'tibor bering, STDEV funktsiyasi "o'tish" matn qiymatini 0 (nol) raqamli qiymatiga o'zgartiradi va uni hisoblashda hisobga oladi.

Excelda STDEV.G funksiyasiga misol

Misol 3. Universitetning barcha guruhlari uchun talabalarni imtihonga tayyorlash samaradorligini aniqlang.

Eslatma: oldingi misoldan farqli o'laroq, namuna (bir nechta guruhlar) emas, balki talabalarning butun soni - umumiy aholi soni tahlil qilinadi. Imtihondan o'ta olmagan talabalar hisobga olinmaydi.

Ma'lumotlar jadvalini to'ldiring:

Samaradorlikni baholash uchun biz ikkita ko'rsatkich bilan ishlaymiz: o'rtacha ball va qiymatlarning tarqalishi. O'rtacha arifmetikni aniqlash uchun biz funktsiyadan foydalanamiz:

OʻRTA(B2:B21)

Burilishni aniqlash uchun formulani kiritamiz:

STDV H(B2:B21)

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Olingan ma'lumotlar o'rtacha bir oz pastroq ishlashni ko'rsatadi (<4), величина разброса характеризует довольно большое количество студентов, получивших 5 и 3 соответственно (учитывая, что анализировались только данные из диапазона от 3 до 5).

Excelda STDEVPA funksiyasiga misol

4-misol. Ushbu imtihondan o'ta olmagan talabalarni hisobga olgan holda imtihondan o'tish natijalari bo'yicha talabalar faoliyatini tahlil qiling.

Tafsilotli ro'yxat:

Ushbu misolda biz populyatsiyani ham tahlil qilmoqdamiz, lekin ba'zi ma'lumotlar maydonlarida matn qiymatlari mavjud. Standart og'ishni aniqlash uchun biz funktsiyadan foydalanamiz:

STDEVPA(B2:B21)

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Ketma-ketlikda qiymatlarning yuqori tarqalishi imtihondan o'ta olmagan talabalarning ko'pligini ko'rsatadi.

STDEV.V, STDEV.G, STDEV va STDEVPA dan foydalanish xususiyatlari

STDEV va STDEVPA funksiyalari bir xil sintaksis belgisiga ega:

FUNCTION(qiymat1; [qiymat2];…)

Tavsif:

• FUNCTION - yuqorida muhokama qilingan ikkita funktsiyadan biri;
• qiymat1 - namuna (yoki umumiy populyatsiya) qiymatlaridan birini tavsiflovchi majburiy argument;
• [qiymat2] - o'rganilayotgan diapazonning ikkinchi qiymatini tavsiflovchi ixtiyoriy argument.

Eslatmalar:

1. Nomlar, raqamli qiymatlar, massivlar, raqamli ma'lumotlar diapazonlariga havolalar, mantiqiy qiymatlar va ularga havolalar funktsiyalarga argument sifatida uzatilishi mumkin.
2. Ikkala funktsiya ham o'tkazilgan ma'lumotlar oralig'idagi null qiymatlarni va matn ma'lumotlarini e'tiborsiz qoldiradi.
3. Agar xato qiymatlari yoki matn maʼlumotlari raqamli qiymatlarga aylantirib boʻlmaydigan argumentlar sifatida uzatilgan boʻlsa, funksiyalar #VALUE! xato kodini qaytaradi.

STDEV.V va STDEV.G funksiyalari quyidagi sintaktik belgilarga ega:

FUNCTION(1-raqam,[2-raqam],…)

Tavsif:

• FUNCTION – STDEV.V yoki STDEV.G funksiyalarining har qandayi;
• raqam1 - namunadan yoki butun umumiy populyatsiyadan olingan raqamli qiymatni tavsiflovchi majburiy argument;
• raqam2 - o'rganilayotgan diapazonning ikkinchi raqamli qiymatini tavsiflovchi ixtiyoriy argument.

Eslatma: Ikkala funktsiya ham matn ma'lumotlari sifatida ko'rsatilgan raqamlarni va hisoblash jarayonida TRUE va FALSE mantiqiy qiymatlarini o'z ichiga olmaydi.

Eslatmalar:

1. Standart og'ish statistik hisob-kitoblarda keng qo'llaniladi, agar qiymatlar diapazonining o'rtacha qiymatini topish ma'lumotlarning taqsimlanishi haqida to'g'ri tasavvurga ega bo'lmasa. Bu ma'lum bir namunadagi yoki butun ketma-ketlikda o'rtacha qiymatga nisbatan qiymatlarni taqsimlash tamoyilini namoyish etadi. 1-misolda ushbu statistik parametrning amaliy qo'llanilishi vizual tarzda ko'rib chiqiladi.
2. STDEV va STDEV.V funktsiyalari umumiy aholining faqat bir qismini tahlil qilish va birinchi formula bo'yicha hisoblash uchun ishlatilishi kerak, STDEV.G va STDEV.V esa butun aholi to'g'risidagi ma'lumotlarni kirish sifatida qabul qilishlari va ikkinchi formuladan foydalanib hisoblashlari kerak. .
3. Excel o'rnatilgan STDEV va STDEV funktsiyalarini o'z ichiga oladi, ular Microsoft Office-ning eski versiyalari bilan muvofiqligi uchun saqlanadi. Ular dasturning keyingi versiyalariga kiritilmasligi mumkin, shuning uchun ulardan foydalanish tavsiya etilmaydi.
4. Standart og'ishni topish uchun ikkita umumiy formuladan foydalaniladi: S=√((∑_(i=1)^n▒(x_i-x_average)^2)/(n-1)) va S=√((∑_() i= 1)^n▒(x_i-x_av)^2)/n), bu erda:

• S - standart og'ishning istalgan qiymati;
• n - ko'rib chiqilgan qiymatlar oralig'i (namuna);
• x_i - namunadagi yagona qiymat;
• x_av - ko'rib chiqilayotgan diapazon uchun o'rtacha arifmetik.

Keling, hisoblab chiqaylikXONIMEXCELnamunadagi dispersiya va standart og'ish. Tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishi ma'lum bo'lsa, dispersiyani ham hisoblaymiz.

Avval o'ylab ko'ring dispersiya, keyin standart og'ish.

Namuna farqi

Namuna farqi (namuna farqi,namunafarq) ga nisbatan massivdagi qiymatlarning tarqalishini tavsiflaydi.

Barcha 3 formulalar matematik jihatdan ekvivalentdir.

Buni birinchi formuladan ko'rish mumkin namunaviy farq massivdagi har bir qiymatning kvadratik og‘ishlarining yig‘indisidir o'rtachadan namuna hajmi minus 1 ga bo'linadi.

dispersiya namunalar DISP() funksiyasi ishlatiladi, eng. VARning nomi, ya'ni. VARIance. MS EXCEL 2010 dan boshlab, uning analogi DISP.V() dan foydalanish tavsiya etiladi, eng. VARS nomi, ya'ni. Namuna farqi. Bundan tashqari, MS EXCEL 2010 versiyasidan boshlab, DISP.G () funksiyasi mavjud, eng. VARP nomi, ya'ni. Hisoblaydigan aholi VARIance dispersiya uchun aholi. Barcha farq maxrajga tushadi: DISP.V() kabi n-1 o‘rniga DISP.G() maxrajda faqat n ga ega. MS EXCEL 2010 dan oldin populyatsiya dispersiyasini hisoblash uchun VARP() funksiyasidan foydalanilgan.

Namuna farqi
=Kvadrat(namuna)/(COUNT(namuna)-1)
=(SUMSQ(namuna)-COUNT(namuna)*O'RTA(Namuna)^2)/ (COUNT(namuna)-1)- odatiy formula
=SUM((namuna -O'RTA(Namuna))^2)/ (COUNT(namuna)-1) –

Namuna farqi 0 ga teng, agar barcha qiymatlar bir-biriga teng bo'lsa va shunga mos ravishda teng bo'lsa o'rtacha qiymat. Odatda, qiymat qanchalik katta bo'lsa dispersiya, massivdagi qiymatlarning tarqalishi qanchalik katta bo'lsa.

Namuna farqi ball bahosidir dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi namuna. Qurilish haqida ishonch oraliqlari baholashda dispersiya maqolada o'qilishi mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi

Hisoblash uchun dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi, siz uni bilishingiz kerak.

Uchun dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchisi ko'pincha Var(X) belgisidan foydalanadi. Dispersiya o‘rtacha E(X) dan chetlanish kvadratiga teng: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

dispersiya formula bo'yicha hisoblanadi:

bu yerda x i tasodifiy miqdor olishi mumkin bo‘lgan qiymat, m esa o‘rtacha qiymat (), p(x) tasodifiy miqdorning x qiymatini olish ehtimoli.

Agar tasodifiy o'zgaruvchida bo'lsa, u holda dispersiya formula bo'yicha hisoblanadi:

Hajmi dispersiya asl qiymatlarning o'lchov birligining kvadratiga to'g'ri keladi. Misol uchun, agar namunadagi qiymatlar qismning og'irligi (kg) o'lchovlari bo'lsa, u holda dispersiyaning o'lchami kg 2 bo'ladi. Buni izohlash qiyin bo'lishi mumkin, shuning uchun qiymatlarning tarqalishini tavsiflash, kvadrat ildizga teng qiymat dispersiya – standart og'ish.

Ba'zi xususiyatlar dispersiya:

Var(X+a)=Var(X), bu yerda X tasodifiy oʻzgaruvchi va a doimiy.

Var(aX)=a 2 Var(X)

Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2=E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

Bu dispersiya xususiyatidan foydalaniladi chiziqli regressiya haqida maqola.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), bu yerda X va Y tasodifiy oʻzgaruvchilar, Cov(X;Y) bu tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi.

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil bo'lsa, ularning kovariatsiya 0 ga teng, shuning uchun Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Dispersiyaning bu xossasi chiqishda ishlatiladi.

Mustaqil kattaliklar uchun Var(X-Y)=Var(X+Y) ekanligini ko'rsatamiz. Darhaqiqat, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var( X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). Dispersiyaning bu xususiyati chizma yaratish uchun ishlatiladi.

Standart og'ish namunasi

Standart og'ish namunasi namunadagi qiymatlarning ularga nisbatan qanchalik keng tarqalganligini ko'rsatadigan o'lchovdir.

A-prior, standart og'ish ning kvadrat ildiziga teng dispersiya:

Standart og'ish dagi qiymatlarning kattaligini hisobga olmaydi namuna olish, lekin faqat ularning atrofidagi qadriyatlarning tarqalish darajasi o'rtada. Buni tushuntirish uchun bir misol keltiramiz.

2 ta namuna uchun standart chetlanishni hisoblaymiz: (1; 5; 9) va (1001; 1005; 1009). Ikkala holatda ham s=4. Ko'rinib turibdiki, standart og'ishning massiv qiymatlariga nisbati namunalar uchun sezilarli darajada farq qiladi. Bunday holatlar uchun foydalaning O'zgaruvchanlik koeffitsienti(Variatsiya koeffitsienti, CV) - nisbat standart og'ish o'rtachaga arifmetik, foiz sifatida ifodalangan.

Hisoblash uchun MS EXCEL 2007 va oldingi versiyalarida Standart og'ish namunasi=STDEV() funksiyasi ishlatiladi, eng. STDEV nomi, ya'ni. standart og'ish. MS EXCEL 2010 dan boshlab, uning analogidan foydalanish tavsiya etiladi = STDEV.B () , eng. nomi STDEV.S, ya'ni. Standart og'ish namunasi.

Bundan tashqari, MS EXCEL 2010 versiyasidan boshlab, STDEV.G () funktsiyasi mavjud , eng. nomi STDEV.P, ya'ni. Hisoblaydigan aholi STANDARD DEViatsiyasi standart og'ish uchun aholi. Butun farq maxrajga tushadi: STDEV.V() kabi n-1 o‘rniga STDEV.G() maxrajda faqat n ga ega.

Standart og'ish to'g'ridan-to'g'ri quyidagi formulalar bo'yicha ham hisoblanishi mumkin (misol faylga qarang)
=SQRT(SQUADROTIV(namuna)/(COUNT(namuna)-1))
=SQRT((SUMSQ(namuna)-COUNT(namuna)*O'RTA(Namuna)^2)/(COUNT(namuna)-1))

Boshqa dispersiya choralari

SQUADRIVE() funksiyasi bilan hisoblaydi umm qiymatlarning ularning kvadratik og'ishlari o'rtada. Bu funksiya =VAR.G( formulasi bilan bir xil natijani qaytaradi. Namuna)* TEKSHIRING( Namuna), qayerda Namuna- namunaviy qiymatlar qatorini o'z ichiga olgan diapazonga havola (). QUADROTIV() funksiyasidagi hisoblar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

SROOT() funktsiyasi ma'lumotlar to'plamining tarqalishining o'lchovidir. SIROTL() funktsiyasi qiymatlarning chetlanishlarining mutlaq qiymatlarining o'rtacha qiymatini hisoblab chiqadi o'rtada. Bu funksiya formula bilan bir xil natijani qaytaradi =SUMPRODUCT(ABS(Namuna-O'RTA(Namuna)/COUNT(namuna)), qayerda Namuna- namunaviy qiymatlar massivini o'z ichiga olgan diapazonga havola.

SROOTKL () funktsiyasida hisob-kitoblar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: