Fazoda qandaydir p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n s boshlash bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)
p(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
beri |n| = 1.
Agar p tekislik berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va birlik normal vektor sifatida biz tanlashimiz mumkin.
(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi bajariladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 -x 1 ; y 0 -y 1; z 0 -z 1). yozish skalyar mahsulot nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz
chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqtaning koordinatalarini tekislikning umumiy tenglamasiga almashtirib, so'ngra mutlaq qiymatini bo'lish kerak. mos keladigan normal vektor uzunligiga teng bo'lgan normallashtiruvchi omil bilan natija.
, "Dars uchun taqdimot" tanlovi
Sinf: 11
Dars uchun taqdimot
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Maqsadlar:
- talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
- tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.
Uskunalar:
- multimedia proyektori;
- kompyuter;
- vazifa varaqlari
O'QUV JARAYONI
I. Tashkiliy moment
II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz
III. Leksiya(3-15 slaydlar)
Darsda nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash
M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
a to'g'rida yotgan, M nuqtadan o'tuvchi va a tekislikka parallel bo'lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.
Biz quyidagi vazifalarni hal qilamiz:
№1. A ... D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.
№2. Muntazam olti burchakli A ... F 1 prizmasida barcha qirralari 1 ga teng, A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keyingi usul: hajm usuli.
Agar ABCM piramidasining hajmi V bo'lsa, u holda M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Masalalarni yechishda biz ikki xil usulda ifodalangan bir raqam hajmlarining tengligidan foydalanamiz.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.
Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formula bilan hisoblash mumkin. 
, bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglama bilan berilgan.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№4. A…D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini A nuqtada keltiramiz, y o`qi AB chekkasi bo`ylab, x o`qi AD cheti bo`ylab, z o`qi AA 1 cheti bo`ylab o`tadi. Keyin B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz.
U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r = 
Ushbu turdagi muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin bo'lgan quyidagi usul - Malumot topshiriqlari usuli.
Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan taniqli mos yozuvlar muammolarini qo'llashdan iborat.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№5. A ... D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
Ilovani ko'rib chiqing vektor usuli.
№6. A ... D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekisligiga masofani toping.
Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilishda foydalanish mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.
IV. Guruh ishi
Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.
№1. A…D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
№2. Qirrali ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping
№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№4. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar SABCD piramidasida A dan SCD tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
V. Dars xulosasi, uyga vazifa, mulohaza
Samolyot bo'lsin 
. Keling, normal chizamiz 
kelib chiqishi orqali O. Let 
normal tomonidan hosil qilingan burchaklardir 
koordinata o'qlari bilan. 
. Bo'lsin 
normal segmentning uzunligi 
samolyotni kesib o'tishdan oldin. Normalning yo'nalish kosinuslari ma'lum deb faraz 
, tekislikning tenglamasini chiqaramiz 
.
Bo'lsin 
) tekislikning ixtiyoriy nuqtasidir. Birlik normal vektor koordinatalariga ega. Vektorning proyeksiyasini topamiz 
normal holatga.
Gap shundaki M demak, samolyotga tegishli
.
Bu berilgan tekislik uchun tenglama deyiladi normal .
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa
Samolyot berilsin 
,M*
- kosmosdagi nuqta d
uning samolyotdan masofasi.
Ta'rif.
og'ish
ball M* samolyotdan raqam deyiladi ( +
d),
agar M*
tekislikning boshqa tomonida yotadi, bu erda normal nuqtalarning ijobiy yo'nalishi 
, va raqam (- d) agar nuqta tekislikning boshqa tomonida joylashgan bo'lsa:
.
Teorema.
Samolyotga ruxsat bering 
normal birlik bilan 
normal tenglama bilan berilgan:
Bo'lsin M*
– fazo nuqtasi og'ish t. M* tekislikdan ifoda bilan beriladi
Isbot. proyeksiya t. 
* normalni bildiradi Q.
Nuqtadan chetlanish M* samolyotdan
.
Qoida. Topmoq og'ish
t. M* tekislikdan, siz tekislikning normal tenglamasida t koordinatalarini almashtirishingiz kerak. M*
. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa 
.
Tekislikning umumiy tenglamasini normal shaklga keltirish
Xuddi shu tekislik ikkita tenglama bilan berilgan bo'lsin:
Umumiy tenglama,
normal tenglama.
Ikkala tenglama bir xil tekislikni aniqlaganligi sababli, ularning koeffitsientlari proportsionaldir:
Birinchi uchta tenglikni kvadratga aylantiramiz va qo'shamiz:
Bu erdan topamiz 
normallashtiruvchi omil:
. (10)
Tekislikning umumiy tenglamasini normallashtiruvchi omilga ko'paytirib, tekislikning normal tenglamasini olamiz:
"Samolyot" mavzusidagi topshiriqlarga misollar.
1-misol Tekislik tenglamasini tuzing 
berilgan nuqtadan o'tish 
(2,1,-1) va tekislikka parallel.
Qaror. Oddiy samolyot 
:
. Samolyotlar parallel bo'lgani uchun normal 
ham kerakli tekislik uchun normal hisoblanadi 
. Berilgan nuqtadan (3) o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanib, biz tekislik uchun olamiz 
tenglama:
Javob:
2-misol Perpendikulyarning asosi boshlang'ichdan tekislikka tushdi 
, nuqta hisoblanadi 
. Tekislik tenglamasini toping 
.
Qaror. Vektor 
samolyot uchun normal hisoblanadi 
. Nuqta M 0
samolyotga tegishli. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanishingiz mumkin (3):
Javob:
3-misol Samolyot qurish 
nuqtalardan o'tish 
va tekislikka perpendikulyar 
:.
Shuning uchun, qaysidir ma'noda M
(x,
y,
z) samolyotga tegishli edi 
, uchta vektor bo'lishi kerak 
o'xshash edi:
=0.
Determinantni ochish va olingan ifodani umumiy tenglama (1) ko'rinishiga keltirish qoladi.
4-misol Samolyot 
umumiy tenglama bilan berilgan:
Nuqtadan chetlanishni toping 
berilgan tekislikdan.
Qaror. Samolyot tenglamasini normal shaklga keltiramiz.
,
.
Olingan normal tenglamaga nuqta koordinatalarini qo'ying M*.
.
Javob: 
.
5-misol Segment tekislikni kesishadimi yoki yo'qmi.
Qaror. Kesmoq AB samolyotni kesib o'tdi, og'ishlar 
va 
samolyotdan 
turli belgilar bo'lishi kerak:
.
6-misol Uchta tekislikning bir nuqtada kesishishi.
.
Tizim noyob yechimga ega, shuning uchun uchta samolyot bitta umumiy nuqtaga ega.
7-misol Berilgan ikkita tekislik hosil qilgan ikki burchakli burchakning bissektrisalarini topish.
Bo'lsin 
va 
- ma'lum bir nuqtaga og'ish 
birinchi va ikkinchi tekisliklardan.
Bisektor tekisliklarining birida (koordinatalarning kelib chiqishi yotadigan burchakka mos keladi) bu og'ishlar kattalik va ishora jihatidan teng, ikkinchisida esa ular kattalik jihatidan teng va ishoraga qarama-qarshidir.
Bu birinchi bissektrial tekislikning tenglamasi.
Bu ikkinchi bissektrial tekislikning tenglamasi.
8-misol Ikki ma'lumot nuqtasining joylashuvini topish 
va 
bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarga nisbatan.
Bo'lsin 
. Aniqlang: birida, qo'shni yoki vertikal burchaklarida nuqtalar mavjud 
va 
.
a). Agar a 
va 
bir tomonida yotish 
va dan 
, keyin ular bir xil dihedral burchakda yotadi.
b). Agar a 
va 
bir tomonida yotish 
va dan farq qiladi 
, keyin ular qo'shni burchaklarda yotadi.
ichida). Agar a 
va 
qarama-qarshi tomonlarida yotish 
va 
, keyin ular vertikal burchaklarda yotadi.
Koordinata tizimlari 3
8-samolyotdagi chiziqlar
Birinchi tartibdagi qatorlar. Samolyotda to'g'ri chiziqlar. o'n
Chiziqlar orasidagi burchak 12
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi 13
Birinchi darajali to'liq bo'lmagan tenglama 14
“Segmentlarda” to‘g‘ri chiziq tenglamasi 14
Ikki chiziqli tenglamalarni birgalikda o'rganish 15
15-qator uchun normal
Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak 16
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi 16
To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari 17
To'g'ri chiziqning normal (normalangan) tenglamasi 18
Nuqtadan 19-chiziqgacha bo'lgan masofa
20-chiziq to'plami tenglamasi
“Teklikdagi to‘g‘ri chiziq” mavzusiga oid masalalarga misollar 22
Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi 24
O'zaro mahsulot xususiyatlari 24
Geometrik xossalar 24
Algebraik xossalar 25
Ko‘paytmani omillar koordinatalari bo‘yicha ifodalash 26
Uch vektorning aralash mahsuloti 28
Aralash ko'paytmaning geometrik ma'nosi 28
Aralash hosilani vektor koordinatalari bilan ifodalash 29
Muammoni hal qilishga misollar
Ushbu maqola nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani aniqlash haqida gapiradi. keling, uch o'lchamli fazoda berilgan nuqtadan masofani topish imkonini beradigan koordinata usulini tahlil qilaylik. Birlashtirish uchun bir nechta topshiriqlarning misollarini ko'rib chiqing.
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa nuqtadan nuqtagacha bo'lgan ma'lum masofa orqali topiladi, bu erda ulardan biri berilgan, ikkinchisi esa berilgan tekislikka proyeksiyadir.
Fazoda ch tekislikli M 1 nuqta berilganda, nuqta orqali tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. H 1 - ularning kesishishining umumiy nuqtasi. Bu yerdan M 1 H 1 segmenti perpendikulyar ekanligini tushunamiz, u M 1 nuqtadan ch tekislikka o'tkazilgan, bu erda H 1 nuqta perpendikulyar asosdir.
Ta'rif 1
Ular berilgan nuqtadan berilgan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar asosgacha bo'lgan masofani chaqiradilar.
Ta'rif turli formulalarda yozilishi mumkin.
Ta'rif 2
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan berilgan tekislikka chizilgan perpendikulyar uzunligi deyiladi.
M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi: M 1 nuqtadan ch tekislikgacha bo'lgan masofa berilgan nuqtadan tekislikning istalgan nuqtasigacha bo'lgan eng kichik bo'ladi. Agar H 2 nuqta ch tekisligida joylashgan bo'lsa va H 2 nuqtaga teng bo'lmasa, biz M 2 H 1 H 2 ko'rinishdagi to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz. , bu to'rtburchaklar, bu erda M 2 H 1, M 2 H 2 oyog'i mavjud - gipotenuza. Demak, bu M 1 H 1 ekanligini bildiradi< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 qiya deb hisoblanadi, u M 1 nuqtadan ch tekislikka tortiladi. Bizda ma'lum bir nuqtadan tekislikka o'tkazilgan perpendikulyar nuqtadan berilgan tekislikka o'tkazilgan qiyalikdan kichikroq ekanligi bor. Quyidagi rasmda ushbu holatni ko'rib chiqing.
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa - nazariya, misollar, echimlar
Bir qator geometrik masalalar mavjud, ularning yechimlari nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani o'z ichiga olishi kerak. Buni aniqlash usullari boshqacha bo'lishi mumkin. Yechish uchun Pifagor teoremasi yoki uchburchaklarning o'xshashligidan foydalaning. Shartga ko'ra, uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash kerak bo'lganda, ular koordinata usuli yordamida hal qilishadi. Ushbu paragraf ushbu usul bilan bog'liq.
Masalaning shartiga ko‘ra, uch o‘lchamli fazoda ch tekislik bilan koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) bo‘lgan nuqta berilgan bo‘lsa, M 1 dan masofani aniqlash kerak. samolyot ch. Yechish uchun bir nechta echimlar qo'llaniladi.
Birinchi yo'l
Bu usul M 1 nuqtadan ch tekislikka perpendikulyar asos bo'lgan H 1 nuqtaning koordinatalari yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishga asoslangan. Keyinchalik, M 1 va H 1 orasidagi masofani hisoblashingiz kerak.
Masalani ikkinchi usulda yechish uchun berilgan tekislikning normal tenglamasidan foydalaniladi.
Ikkinchi yo'l
Shartga ko'ra, H 1 perpendikulyar asos bo'lib, u M 1 nuqtadan ch tekisligiga tushirildi. Keyin H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) aniqlaymiz. M 1 dan ch tekisligiga kerakli masofa M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formulasi bo'yicha topiladi, bu erda M 1 (x 1, y 1, z 1) va H 1 (x 2, y 2, z 2) . Yechish uchun siz H 1 nuqtasining koordinatalarini bilishingiz kerak.
Bizda H 1 - ch tekislikning a chiziq bilan kesishish nuqtasi ch tekislikka perpendikulyar joylashgan M 1 nuqtadan o'tuvchi nuqta. Bundan kelib chiqadiki, berilgan tekislikka perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini shakllantirish kerak. Aynan o'sha paytda biz H 1 nuqtasining koordinatalarini aniqlashimiz mumkin. Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasining koordinatalarini hisoblash kerak.
Koordinatalari M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofani topish algoritmi:
Ta'rif 3
- M 1 nuqtadan va bir vaqtda o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzing
- ch tekisligiga perpendikulyar;
- nuqta bo‘lgan H 1 nuqtaning koordinatalarini (x 2, y 2, z 2) toping va hisoblang.
- a chiziqning tekislik bilan kesishishi ch ;
- M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formulasi yordamida M 1 dan ch gacha bo'lgan masofani hisoblang.
Uchinchi yo'l
Berilgan O x y z to rtburchak koordinatalar sistemasida ch tekislik mavjud bo lsa, u holda cos a · x + cos b · y + cos g · z - p = 0 ko rinishdagi tekislikning normal tenglamasini olamiz. Bu yerdan M 1 H 1 = cos a x + cos b y + cos formulasi bilan hisoblangan ch tekislikka tushirilgan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nuqta bilan M 1 H 1 masofani olamiz. g z-p. Bu formula to'g'ri, chunki u teorema tufayli o'rnatiladi.
Teorema
Agar M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta uch o‘lchamli fazoda berilgan bo‘lsa, cos a x + cos b y + cos g z - p = 0 ko‘rinishdagi ch tekisligining normal tenglamasiga ega bo‘lsa, keyin nuqtadan M 1 H 1 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash M 1 H 1 = cos a · x + cos b · y + cos g · z - p formulasidan kelib chiqadi, chunki x = x 1 , y = y 1 , z = z 1.
Isbot
Teoremaning isboti nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani topishga qisqartiriladi. Bu erdan biz M 1 dan ch tekislikgacha bo'lgan masofa M 1 radius vektorining son proyeksiyasining koordinata boshidan ch tekislikgacha bo'lgan masofasi orasidagi farqning moduli ekanligini tushunamiz. Keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifodasini olamiz. ch tekislikning normal vektori n → = cos a, cos b, cos g ko‘rinishga ega bo‘lib, uzunligi birga teng, n p n → O M → O M → = (x 1, y 1) vektorning sonli proyeksiyasi. , z 1) n → vektori bilan aniqlangan yo‘nalishda.
Skayar vektorlarni hisoblash formulasini qo'llaymiz. Keyin n →, O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → ko‘rinishdagi vektorni topish ifodasini olamiz, chunki n → = cos a, cos b, cos g z va O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Belgilanishning koordinata shakli n →, O M → = cos a x 1 + cos b y 1 + cos g z 1, keyin M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos a x 1 + cos ko‘rinishini oladi. b · y 1 + cos g · z 1 - p. Teorema isbotlangan.
Bu yerdan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqtadan ch tekislikgacha bo‘lgan masofa cos a x + cos b y + cos tekislikning normal tenglamasining chap tomoniga qo‘yish yo‘li bilan hisoblanadi. g z - p = 0 o‘rniga x, y, z koordinatalari x 1 , y 1 va z1 olingan qiymatning mutlaq qiymatini olib, M 1 nuqtasiga taalluqli.
Koordinatali nuqtadan berilgan tekislikgacha bo'lgan masofani topish misollarini ko'rib chiqing.
1-misol
M 1 (5 , - 3 , 10) koordinatali nuqtadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.
Qaror
Keling, muammoni ikki yo'l bilan hal qilaylik.
Birinchi usul a chiziqning yo'nalish vektorini hisoblashdan boshlanadi. Shartga ko'ra, berilgan 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 tenglama umumiy tekislik tenglamasi, n → \u003d (2, - 1, 5) esa berilgan tekislikning normal vektori. Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan a to'g'ri chiziq uchun yo'naltiruvchi vektor sifatida ishlatiladi. M 1 (5, - 3, 10) dan o'tuvchi fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini koordinatalari 2, - 1, 5 bo'lgan yo'nalish vektori bilan yozish kerak.
Tenglama x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ko'rinishida bo'ladi.
Kesishish nuqtalari aniqlanishi kerak. Buning uchun tenglamalarni kanonikdan ikkita kesishuvchi chiziq tenglamalariga o'tish uchun tizimga yumshoq tarzda birlashtiring. Bu nuqtani H 1 deb olaylik. Biz buni tushunamiz
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Keyin tizimni yoqishingiz kerak
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Keling, Gauss bo'yicha tizimni yechish qoidasiga murojaat qilaylik:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1
Biz H 1 (1, - 1, 0) ni olamiz.
Berilgan nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. M 1 (5, - 3, 10) va H 1 (1, - 1, 0) nuqtalarini olamiz va olamiz.
M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30
Ikkinchi yechim avval berilgan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 tenglamani normal ko'rinishga keltirishdir. Biz normallashtiruvchi omilni aniqlaymiz va 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 ni olamiz. Bu yerdan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 tekislikning tenglamasini olamiz. Tenglamaning chap tomoni x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 ni almashtirish orqali hisoblanadi va siz M 1 (5, - 3, 10) dan 2 x - y + gacha bo'lgan masofani olishingiz kerak. 5 z - 3 = 0 modul. Biz ifodani olamiz:
M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30
Javob: 2 30 .
ch tekisligi tekislikni aniqlash usullari bo'limining usullaridan biri bilan berilganda, siz birinchi navbatda ch tekisligining tenglamasini olishingiz va istalgan usul yordamida kerakli masofani hisoblashingiz kerak.
2-misol
Koordinatalari M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) boʻlgan nuqtalar uch oʻlchamli fazoda oʻrnatiladi. M 1 dan A B C tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblang.
Qaror
Avval M 1 (5, - 3, 10) , A (0, 2, 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( koordinatalari bilan berilgan uch nuqtadan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozishingiz kerak. 4 , 0 , - bir).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0
Bundan kelib chiqadiki, muammo avvalgisiga o'xshash echimga ega. Demak, M 1 nuqtadan A B C tekislikgacha bo'lgan masofa 2 30 ga teng.
Javob: 2 30 .
Tekislikning berilgan nuqtasidan yoki ular parallel boʻlgan tekislikgacha boʻlgan masofani topish M 1 H 1 = cos a · x 1 + cos b · y 1 + cos g · z 1 - p formulasini qoʻllash orqali qulayroqdir. . Bu yerdan biz tekisliklarning normal tenglamalari bir necha bosqichda olinadi.
3-misol
M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatali berilgan nuqtadan O x y z koordinata tekisligiga va 2 y - 5 = 0 tenglama bilan berilgan tekislikka masofani toping.
Qaror
O y z koordinata tekisligi x = 0 ko‘rinishdagi tenglamaga mos keladi. O y z tekisligi uchun bu normal holat. Shuning uchun ifodaning chap tomoniga x \u003d - 3 qiymatlarini qo'yish va M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatali nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofaning mutlaq qiymatini olish kerak. . Biz - 3 = 3 ga teng qiymatni olamiz.
Transformatsiyadan keyin 2 y - 5 = 0 tekislikning normal tenglamasi y - 5 2 = 0 ko'rinishini oladi. Keyin koordinatalari M 1 (- 3 , 2 , - 7) nuqtadan 2 y - 5 = 0 tekislikkacha kerakli masofani topishingiz mumkin. O'rniga qo'yish va hisoblash, biz 2 - 5 2 = 5 2 - 2 ni olamiz.
Javob: M 1 (- 3, 2, - 7) dan O y z gacha bo'lgan istalgan masofa 3 qiymatiga ega va 2 y - 5 = 0 ga 5 2 - 2 qiymatiga ega.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Nuqtadan tekislikgacha bo‘lgan masofani topish analitik geometriyaning turli masalalarini yechishda yuzaga keladigan keng tarqalgan masala bo‘lib, masalan, kesishuvchi ikkita to‘g‘ri chiziq orasidagi yoki chiziq bilan unga parallel bo‘lgan tekislik orasidagi masofani topishni shu masalaga qisqartirish mumkin.
$b$ tekisligiga va $b$ tekisligiga tegishli bo'lmagan $(x_0;y_0; z_0)$ koordinatali $M_0$ nuqtasini ko'rib chiqaylik.
Ta'rif 1
Nuqta va tekislik orasidagi eng qisqa masofa $M_0$ nuqtadan $b$ tekislikka tushirilgan perpendikulyardir.
Shakl 1. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Author24 - talabalar qog'ozlarini onlayn almashish
Quyida koordinata usuli yordamida nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani qanday topish mumkin.
Fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning koordinata usuli formulasini chiqarish
$b$ tekislikni $M_1$ nuqtada $(x_1;y_1; z_1)$ koordinatalari bilan kesib o'tuvchi $M_0$ nuqtadan perpendikulyar yo'nalish vektori $ tekislikning normal vektori bo'lgan to'g'ri chiziqda yotadi. b$. Bunda $n$ birlik vektorining uzunligi bittaga teng. Shunga ko'ra, $b$ dan $M_0$ nuqtasigacha bo'lgan masofa quyidagicha bo'ladi:
$r= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, bu yerda $\vec(M_1M_0)$ $b$ va $\vec(n)$ ning normal vektoridir. - ko'rib chiqilayotgan tekislikning birlik normal vektori.
Tekislik tenglamasi umumiy ko'rinishda $Ax+ By + Cz + D=0$ berilgan holatda tekislikning normal vektorining koordinatalari $\(A;B;C\) tenglamaning koeffitsientlari hisoblanadi. )$, va bu holda normal vektor birligi quyidagi tenglama bo'yicha hisoblangan koordinatalarga ega:
$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\o'ng)$.
Endi biz $\vec(M_1M_0)$ normal vektorining koordinatalarini topishimiz mumkin:
$\vec(M_0M_1)= \(x_0 - x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\chap (3\o'ng)$.
$D$ koeffitsientini $b$ tekisligida yotgan nuqta koordinatalari yordamida ham ifodalaymiz:
$D= Ax_1+By_1+Cz_1$
$(2)$ tengligidan birlik normal vektorining koordinatalari $b$ tekisligi tenglamasiga almashtirilishi mumkin, keyin bizda:
$r= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\chap(4\o‘ng)$
$(4)$ tengligi fazodagi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topish formulasidir.
$M_0$ nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning umumiy algoritmi
- Agar tekislikning tenglamasi umumiy shaklda berilmagan bo'lsa, avval uni umumiy holatga keltirish kerak.
- Shundan so'ng, berilgan tekislikning normal vektorini tekislikning umumiy tenglamasidan $M_0$ nuqta va berilgan tekislikka tegishli nuqta bilan ifodalash kerak, buning uchun $(3) tenglikdan foydalanish kerak. )$.
- Keyingi bosqich - $(2)$ formulasi yordamida tekislikning normal vektor birligining koordinatalarini izlash.
- Nihoyat, siz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani qidirishni boshlashingiz mumkin, bu $\vec(n)$ va $\vec(M_1M_0)$ vektorlarining skalyar mahsulotini hisoblash orqali amalga oshiriladi.
