Ma'lumki, matematika aniqlik va qisqalikni yaxshi ko'radi - bitta formula og'zaki shaklda xatboshini, ba'zan esa butun matn sahifasini egallashi bejiz emas. Shunday qilib, butun dunyoda fanda qo'llaniladigan grafik elementlar yozish tezligini va ma'lumotlarni taqdim etishning ixchamligini oshirish uchun mo'ljallangan. Bundan tashqari, standartlashtirilgan grafik tasvirlar tegishli sohada boshlang'ich bilimga ega bo'lgan har qanday tilda so'zlashuvchi tomonidan tan olinishi mumkin.
Matematik belgilar va belgilarning tarixi ko'p asrlarga borib taqaladi - ularning ba'zilari tasodifiy ixtiro qilingan va boshqa hodisalarni ko'rsatish uchun mo'ljallangan; boshqalari esa maqsadli ravishda sun'iy tilni shakllantirgan va faqat amaliy mulohazalar asosida boshqariladigan olimlar faoliyati mahsulidir.
Plyus va minus
Protozoalarni bildiruvchi belgilarning kelib chiqish tarixi arifmetik amallar, aniq ma'lum emas. Biroq, kesishgan gorizontal va vertikal chiziqlarga o'xshab ko'rinadigan ortiqcha belgisining kelib chiqishi uchun juda ishonchli gipoteza mavjud. Unga ko'ra, qo'shimcha belgisi rus tiliga "va" deb tarjima qilingan lotin ittifoqidan kelib chiqadi. Asta-sekin, yozish jarayonini tezlashtirish uchun so'z t harfiga o'xshash vertikal yo'naltirilgan xochga qisqartirildi. Bunday qisqarishning eng dastlabki ishonchli namunasi 14-asrga to'g'ri keladi.
Umumiy qabul qilingan minus belgisi, ehtimol, keyinroq paydo bo'ldi. 14 va hatto 15-asrlarda ilmiy adabiyotlarda ayirish amalini bildirish uchun bir qancha belgilar ishlatilgan va faqat XVI asr Zamonaviy shakldagi "ortiqcha" va "minus" matematika ishlarida birgalikda paydo bo'la boshladi.
Ko'paytirish va bo'lish
Ajabo, bu ikki arifmetik amal uchun matematik belgilar va belgilar bugungi kunda to‘liq standartlashtirilmagan. Ko'paytirishning mashhur belgisi 17-asrda matematik Oughtred tomonidan taklif qilingan diagonal xoch bo'lib, uni, masalan, kalkulyatorlarda ko'rish mumkin. Maktabdagi matematika darslarida xuddi shu operatsiya odatda nuqta sifatida ifodalanadi - bu usul o'sha asrda Leybnits tomonidan taklif qilingan. Boshqa tasvirlash usuli - bu yulduzcha bo'lib, u ko'pincha turli xil hisoblarni kompyuterda tasvirlashda qo'llaniladi. Xuddi shu 17-asrda Iogan Rahn tomonidan foydalanish taklif qilingan.
Bo'linish operatsiyasi uchun slash belgisi (Oughtred tomonidan taklif qilingan) va yuqorida va pastda nuqtalari bo'lgan gorizontal chiziq taqdim etiladi (belgi Ioxan Rahn tomonidan kiritilgan). Birinchi belgilash varianti ko'proq mashhur, ammo ikkinchisi ham juda keng tarqalgan.
Matematik belgilar va belgilar va ularning ma'nolari ba'zan vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Biroq, ko'paytirishni grafik tarzda ifodalashning uchta usuli, shuningdek, bo'linishning ikkala usuli ham u yoki bu darajada amal qiladi va bugungi kunda dolzarbdir.
Tenglik, o'ziga xoslik, ekvivalentlik
Ko'pgina boshqa matematik belgilar va belgilarda bo'lgani kabi, tenglikni belgilash dastlab og'zaki edi. Uzoq vaqt davomida umumiy qabul qilingan belgi lotincha aequalis ("teng") dan ae qisqartmasi edi. Biroq, 16-asrda Robert Rekord ismli uelslik matematik belgi sifatida bir-birining ostida joylashgan ikkita gorizontal chiziqni taklif qildi. Olim ta'kidlaganidek, ikkita parallel segmentdan ko'ra bir-biriga tengroq narsani o'ylash mumkin emas.
Shunga o'xshash belgi parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun ishlatilganiga qaramay, yangi tenglik belgisi asta-sekin keng tarqaldi. Aytgancha, "ko'proq" va "kamroq" kabi belgilar kengaygan turli tomonlar Shomil faqat 17—18-asrlarda paydo boʻlgan. Bugungi kunda ular har qanday maktab o'quvchisiga intuitiv ko'rinadi.
Biroz ko'proq murakkab belgilar ekvivalentlik (ikkita to'lqinli chiziq) va o'ziga xoslik (uchta gorizontal parallel chiziq) faqat 19-asrning ikkinchi yarmida qo'llanila boshlandi.
Noma'lum belgi - "X"
Matematik belgilar va belgilarning paydo bo'lish tarixi fanning rivojlanishi bilan grafikani qayta ko'rib chiqishning juda qiziqarli holatlarini ham o'z ichiga oladi. Bugungi kunda "X" deb nomlangan noma'lumlik belgisi so'nggi ming yillikning boshida Yaqin Sharqda paydo bo'lgan.
10-asrda oʻsha tarixiy davrda oʻz olimlari bilan mashhur boʻlgan arab dunyosida nomaʼlum tushunchasi soʻzma-soʻz “narsa” deb tarjima qilingan va “Sh” tovushi bilan boshlangan soʻz bilan ifodalangan. Materiallar va vaqtni tejash maqsadida risolalardagi so'z birinchi harfgacha qisqartirila boshlandi.
Ko'p o'n yillar o'tgach, arab olimlarining yozma asarlari Pireney yarim orolidagi shaharlarda, zamonaviy Ispaniya hududida tugadi. Ilmiy risolalar milliy tilga tarjima qilina boshladi, ammo qiyinchilik tug'ildi - ispan tilida "Sh" fonemasi yo'q. U bilan boshlanadigan o‘zlashtirilgan arabcha so‘zlar maxsus qoida bo‘yicha yozilib, oldiga X harfi qo‘yilgan. Ilmiy til O'sha paytda lotincha bor edi, unda tegishli belgi "X" deb ataladi.
Shunday qilib, bir qarashda tasodifiy tanlangan belgi bo'lgan belgi chuqur tarixga ega va dastlab arabcha "bir narsa" so'zining qisqartmasi edi.
Boshqa noma'lumlarni belgilash
"X" dan farqli o'laroq, bizga maktabdan tanish bo'lgan Y va Z, shuningdek, a, b, c ning kelib chiqishi ancha prozaik hikoyaga ega.
17-asrda Dekart “Geometriya” nomli kitobini nashr ettirdi. Ushbu kitobda muallif tenglamalardagi belgilarni standartlashtirishni taklif qildi: uning g'oyasiga ko'ra, lotin alifbosining oxirgi uchta harfi ("X" dan boshlanadi) noma'lum qiymatlarni va dastlabki uchta ma'lum qiymatlarni bildira boshladi.
Trigonometrik atamalar
"Sinus" kabi so'zning tarixi haqiqatan ham g'ayrioddiy.
Tegishli trigonometrik funktsiyalar dastlab Hindistonda nomlangan. Sinus tushunchasiga mos keladigan so'z tom ma'noda "tor" degan ma'noni anglatadi. Arab fanining gullab-yashnagan davrida hind risolalari tarjima qilingan va bu tushunchaning oʻxshashi boʻlmagan. arabcha, transkripsiya qilingan. Tasodifan, maktubda paydo bo'lgan narsa haqiqiy hayotdagi "bo'shliq" so'ziga o'xshardi, uning semantikasi asl atama bilan hech qanday aloqasi yo'q edi. Natijada 12-asrda arabcha matnlar lotin tiliga tarjima qilinganda “kovak” degan maʼnoni anglatuvchi “sinus” soʻzi paydo boʻldi va yangi matematik tushuncha sifatida mustahkamlandi.
Ammo tangens va kotangens uchun matematik belgilar va belgilar hali standartlashtirilmagan - ba'zi mamlakatlarda ular odatda tg, boshqalarida esa - tan deb yoziladi.
Ba'zi boshqa belgilar
Yuqorida keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, matematik belgilar va belgilarning paydo bo'lishi asosan 16-17-asrlarda sodir bo'lgan. Xuddi shu davrda foiz, kvadrat ildiz, daraja kabi tushunchalarni qayd etishning bugungi kunga tanish shakllari paydo bo‘ldi.
Foiz, ya'ni yuzdan bir qismi uzoq vaqtdan beri cto (lotincha cento uchun qisqa) sifatida belgilangan. Bugungi kunda umumiy qabul qilingan belgi taxminan to'rt yuz yil oldin matn terish xatosi natijasida paydo bo'lgan deb ishoniladi. Olingan tasvir uni qisqartirishning muvaffaqiyatli usuli sifatida qabul qilindi va ushlandi.
Ildiz belgisi dastlab stilize qilingan R harfi edi (lotincha radix, "ildiz" so'zining qisqartmasi). Bugungi kunda ibora yozilgan yuqori satr qavs sifatida xizmat qilgan va ildizdan ajratilgan alohida belgi bo'lgan. Qavslar keyinroq ixtiro qilindi - ular Leybnits (1646-1716) ishi tufayli keng qo'llanila boshlandi. Uning ishi tufayli integral belgi fanga kiritildi, u cho'zilgan S harfiga o'xshaydi - "sum" so'zining qisqartmasi.
Nihoyat, eksponentsiya operatsiyasining belgisi Dekart tomonidan ixtiro qilingan va 17-asrning ikkinchi yarmida Nyuton tomonidan o'zgartirilgan.
Keyinchalik belgilar
"Plyus" va "minus" ning tanish grafik tasvirlari bir necha asrlar oldin muomalaga kiritilganligini hisobga olsak, murakkab hodisalarni bildiruvchi matematik belgilar va belgilar faqat o'tgan asrda qo'llanila boshlaganligi ajablanarli emas.
Shunday qilib, raqam yoki o'zgaruvchidan keyin undov belgisiga o'xshash faktorial faqat ichida paydo bo'ldi XIX boshi asr. Taxminan bir vaqtning o'zida ishni bildirish uchun "P" bosh harfi va chegara belgisi paydo bo'ldi.
Ajablanarlisi shundaki, Pi va algebraik yig'indining belgilari faqat 18-asrda paydo bo'lgan - masalan, integral belgidan keyinroq, garchi intuitiv ravishda ular ko'proq qo'llaniladi. Aylana diametrga nisbatining grafik tasviri "aylana" va "perimetr" degan ma'noni anglatuvchi yunoncha so'zlarning birinchi harfidan kelib chiqqan. Va algebraik yig'indi uchun "sigma" belgisi 18-asrning so'nggi choragida Eyler tomonidan taklif qilingan.
Turli tillardagi belgilar nomlari
Maʼlumki, Yevropada koʻp asrlar davomida fan tili lotin tili boʻlgan. Jismoniy, tibbiy va boshqa ko'plab atamalar ko'pincha transkripsiya shaklida, kamroq - kuzatuv qog'ozi shaklida olingan. Shunday qilib, ingliz tilidagi ko'plab matematik belgilar va belgilar rus, frantsuz yoki nemis tillarida deyarli bir xil deb ataladi. Qanaqasiga masala ancha murakkab hodisalar, buning ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi turli tillar u bir xil nomga ega bo'ladi.
Matematik belgilarning kompyuter belgilari
Word-dagi eng oddiy matematik belgilar va belgilar odatiy tugmalar birikmasi bilan ko'rsatilgan Shift+raqam 0 dan 9 gacha rus yoki ingliz tilida. Alohida kalitlar ba'zi tez-tez ishlatiladigan belgilar uchun ajratilgan: ortiqcha, minus, teng, slash.
Agar siz integral, algebraik yig'indi yoki mahsulot, Pi va boshqalarning grafik tasvirlaridan foydalanmoqchi bo'lsangiz, Word dasturida "Qo'shish" yorlig'ini ochishingiz va ikkita tugmadan birini topishingiz kerak: "Formula" yoki "Simbol". Birinchi holda, bitta maydon ichida butun formulani qurish imkonini beruvchi konstruktor ochiladi, ikkinchisida esa har qanday matematik belgilarni topishingiz mumkin bo'lgan belgilar jadvali ochiladi.
Matematik belgilarni qanday eslab qolish kerak
Kimyo va fizikadan farqli o'laroq, esda tutilishi kerak bo'lgan belgilar soni yuz birlikdan oshib ketishi mumkin, matematika nisbatan kam sonli belgilar bilan ishlaydi. Biz ularning eng oddiylarini erta bolalik davrida o'rganamiz, qo'shish va ayirishni o'rganamiz va faqat universitetda ma'lum mutaxassisliklar bo'yicha biz bir nechta murakkab matematik belgilar va belgilar bilan tanishamiz. Bolalar uchun rasmlar bir necha hafta ichida kerakli operatsiyaning grafik tasvirini tezda tanib olishga yordam beradi, bu operatsiyalarni bajarish va ularning mohiyatini tushunish uchun ko'proq vaqt kerak bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, belgilarni yodlash jarayoni avtomatik ravishda sodir bo'ladi va ko'p harakat talab qilmaydi.
Nihoyat
Matematik belgilar va belgilarning ahamiyati shundaki, ular turli tillarda so'zlashadigan va turli madaniyatlarning ona tili bo'lgan odamlar tomonidan oson tushuniladi. Shu sababli, turli hodisalar va operatsiyalarning grafik tasvirlarini tushunish va takrorlay olish juda foydali.
Bu belgilarni standartlashtirishning yuqori darajasi ularning turli sohalarda qo‘llanilishini belgilaydi: moliya, axborot texnologiyalari, muhandislik va boshqalar sohasida. Raqamlar va hisob-kitoblar bilan bog‘liq biznes bilan shug‘ullanmoqchi bo‘lgan har bir kishi uchun matematik belgilar va belgilarni bilish. va ularning ma'nolari hayotiy zaruratga aylanadi.
Cheksizlik.J. Uollis (1655).
Birinchi marta ingliz matematigi Jon Valisning "Konusli kesmalar haqida" risolasida topilgan.
Baza tabiiy logarifmlar. L. Eyler (1736).
Matematik doimiy, transsendental son. Bu raqam ba'zan chaqiriladi patsiz Shotlandiya sharafiga olim Napier, "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi" asarining muallifi (1614). Konstanta birinchi marta tarjimaga qo'shimchada jimgina mavjud ingliz tili Napierning 1618 yilda nashr etilgan yuqorida aytib o'tilgan asari. Konstantaning o'zi birinchi marta shveytsariyalik matematik Yakob Bernulli tomonidan foizli daromadning chegaraviy qiymati masalasini hal qilishda hisoblab chiqilgan.
2,71828182845904523...
Bu doimiyning birinchi ma'lum qo'llanilishi, bu erda u harf bilan belgilangan b, Leybnitsning 1690-1691 yillardagi Gyuygensga maktublarida topilgan. Xat e Eyler uni 1727 yilda qo'llay boshladi va bu maktub bilan birinchi nashr 1736 yilda uning "Mexanika yoki harakat fani, analitik tarzda tushuntirilgan" asari bo'ldi. Mos ravishda, e odatda chaqiriladi Eyler raqami. Nima uchun xat tanlangan? e, aniq noma'lum. Ehtimol, bu so'zning u bilan boshlanishi bilan bog'liqdir eksponentsial("indikativ", "eksponensial"). Yana bir taxmin, harflar a, b, c Va d allaqachon boshqa maqsadlar uchun juda keng qo'llanilgan va e birinchi "bepul" xat edi.
Aylananing diametrga nisbati. V. Jons (1706), L. Eyler (1736).
Matematik konstanta, irratsional son. "Pi" raqami, eski nomi - Ludolf raqami. Har qanday irratsional son singari, p cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr sifatida ifodalanadi:
p =3,141592653589793...
Birinchi marta bu raqamni yunoncha p harfi bilan belgilash ingliz matematigi Uilyam Jons tomonidan "Matematikaga yangi kirish" kitobida ishlatilgan va Leonhard Eyler ishidan keyin umumiy qabul qilingan. Bu belgi yunoncha pērīya - aylana, periferiya va pīrīmos - perimetr so'zlarining bosh harfidan kelib chiqqan. Iogann Geynrix Lambert 1761 yilda p ning mantiqsizligini isbotladi, Adrien Mari Legendre 1774 yilda p 2 ning mantiqsizligini isbotladi. Legendre va Eyler p ning transsendental bo'lishi mumkinligini taxmin qilishdi, ya'ni. butun sonli koeffitsientli hech qanday algebraik tenglamani qanoatlantira olmaydi, oxir-oqibat 1882 yilda Ferdinand fon Lindemann tomonidan isbotlangan.
Xayoliy birlik. L. Eyler (1777, bosmada - 1794).
Ma'lumki, tenglama x 2 =1 ikkita ildizga ega: 1 Va -1 . Xayoliy birlik tenglamaning ikkita ildizidan biridir x 2 = -1, belgilangan Lotin harfi i, boshqa ildiz: -i. Bu belgi Leonhard Eyler tomonidan taklif qilingan bo'lib, u shu maqsadda lotincha so'zning birinchi harfini olgan. xayolparast(xayoliy). U hamma narsani tarqatdi standart xususiyatlar murakkab domenga, ya'ni. sifatida ifodalanadigan raqamlar to'plami a+ib, Qayerda a Va b- haqiqiy raqamlar. "Kompleks son" atamasi 1831 yilda nemis matematigi Karl Gauss tomonidan keng qo'llanilishiga kiritilgan, garchi bu atama ilgari 1803 yilda frantsuz matematigi Lazar Karno tomonidan xuddi shu ma'noda ishlatilgan bo'lsa-da.
Birlik vektorlari. V. Gamilton (1853).
Birlik vektorlari ko'pincha koordinata tizimining koordinata o'qlari bilan bog'lanadi (xususan, Dekart koordinata tizimining o'qlari). O'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori X, belgilangan i, eksa bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektor Y, belgilangan j, va o'q bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektori Z, belgilangan k. Vektorlar i, j, k birlik vektorlari deyiladi, ular birlik modullariga ega. "Ort" atamasi ingliz matematiki va muhandisi Oliver Xevisayd (1892) tomonidan kiritilgan va yozuv i, j, k- Irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton.
Sonning butun qismi, antie. K.Gauss (1808).
X sonining [x] sonining butun qismi x dan oshmaydigan eng katta butun sondir. Demak, =5, [-3,6]=-4. [x] funksiyasi “x ga qarshi” deb ham ataladi. Funktsiya belgisi " butun qismi"1808 yilda Karl Gauss tomonidan kiritilgan. Ba'zi matematiklar uning o'rniga 1798 yilda Legendre tomonidan taklif qilingan E (x) belgisidan foydalanishni afzal ko'rishadi.
Parallellik burchagi. N.I. Lobachevskiy (1835).
Lobachevskiy tekisligida - to'g'ri chiziq orasidagi burchakb, nuqtadan o'tishHAQIDAchiziqqa parallela, nuqtani o'z ichiga olmaydiHAQIDA, va dan perpendikulyarHAQIDA yoqilgan a. α - bu perpendikulyarning uzunligi. Nuqta uzoqlashgandaHAQIDA to'g'ri chiziqdan aparallellik burchagi 90° dan 0° gacha kamayadi. Lobachevskiy parallellik burchagi formulasini berdiP( α )=2arctg e - α /q , Qayerda q- Lobachevskiy fazosining egriligi bilan bog'liq ba'zi doimiy.
Noma'lum yoki o'zgaruvchan miqdorlar. R. Dekart (1637).
Matematikada o'zgaruvchi - bu qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bilan tavsiflangan miqdor. Bunday holda, u haqiqiy bo'lishi mumkin jismoniy miqdor, vaqtincha uning fizik kontekstidan ajratilgan holda ko'rib chiqiladi va o'xshashi bo'lmagan ba'zi mavhum miqdor. haqiqiy dunyo. O'zgaruvchi tushunchasi 17-asrda paydo bo'lgan. dastlab tabiatshunoslik talablari ta'sirida bo'lib, u nafaqat holatlarni, balki harakatni, jarayonlarni o'rganishni birinchi o'ringa qo'ydi. Bu kontseptsiya o'zining ifodalanishi uchun yangi shakllarni talab qildi. Bunday yangi shakllar harflar algebrasi va edi analitik geometriya Rene Dekart. Birinchi marta to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va x, y yozuvi Rene Dekart tomonidan 1637 yilda "Usul to'g'risida nutq" asarida kiritilgan. Per Ferma ham koordinata usulining rivojlanishiga hissa qo'shgan, ammo uning asarlari birinchi marta vafotidan keyin nashr etilgan. Dekart va Ferma koordinata usulidan faqat tekislikda foydalandilar. Koordinata usuli Uchun uch o'lchamli bo'shliq Birinchi marta 18-asrda Leonhard Eyler tomonidan ishlatilgan.
Vektor. O. Koshi (1853).
Eng boshidan vektor deganda kattalik, yo'nalish va (ixtiyoriy) qo'llash nuqtasi bo'lgan ob'ekt tushuniladi. Vektor hisobining boshlanishi geometrik model bilan birga paydo bo'ldi murakkab sonlar Gaussda (1831). Gamilton vektorlar bilan ishlab chiqilgan operatsiyalarni o'zining kvaternion hisobining bir qismi sifatida nashr etdi (vektor kvaternionning xayoliy komponentlari tomonidan yaratilgan). Bu atamani Hamilton taklif qildi vektor(Lotin so'zidan vektor, tashuvchi) va vektor tahlilining ba'zi operatsiyalarini tasvirlab berdi. Maksvell elektromagnetizmga oid asarlarida ushbu formalizmdan foydalangan va shu bilan olimlar e'tiborini yangi hisob-kitoblarga qaratgan. Ko'p o'tmay Gibbsning Vektor tahlilining elementlari chiqdi (1880-yillar), keyin esa Heaviside (1903) vektor tahliliga zamonaviy ko'rinish berdi. Vektor belgisining o'zi 1853 yilda frantsuz matematigi Avgustin Lui Koshi tomonidan foydalanishga kiritilgan.
Qo'shish, ayirish. J. Vidman (1489).
Ko'rinishidan, ortiqcha va minus belgilari nemis matematika "Kossistlar" maktabida (ya'ni algebrachilar) ixtiro qilingan. Ular Yan (Iohannes) Vidmanning 1489 yilda nashr etilgan "Barcha savdogarlar uchun tezkor va yoqimli hisob" darsligida qo'llaniladi. Ilgari qo'shimcha harf bilan belgilangan p(lotin tilidan ortiqcha"ko'proq") yoki lotincha so'z va boshqalar("va" birikmasi) va ayirish - harf m(lotin tilidan minus"kamroq, kamroq") Widmann uchun plyus belgisi nafaqat qo'shimchani, balki "va" birikmasini ham almashtiradi. Ushbu belgilarning kelib chiqishi noma'lum, ammo ular ilgari savdoda foyda va zarar ko'rsatkichlari sifatida ishlatilgan. Tez orada ikkala ramz ham Evropada keng tarqalgan bo'lib qoldi - Italiya bundan mustasno, u eski belgilarni taxminan bir asr davomida ishlatishda davom etdi.
Ko'paytirish. V.Outred (1631), G.Leybnits (1698).
Eğimli xoch ko'rinishidagi ko'paytirish belgisi 1631 yilda ingliz Uilyam Oughtred tomonidan kiritilgan. Undan oldin xat ko'pincha ishlatilgan M, garchi boshqa belgilar ham taklif qilingan bo'lsa-da: to'rtburchaklar belgisi (frantsuz matematigi Erigon, 1634), yulduzcha (shveytsariyalik matematik Iogan Rahn, 1659). Keyinchalik Gotfrid Vilgelm Leybnits uni harf bilan adashtirmaslik uchun xochni nuqta bilan almashtirdi (17-asr oxiri). x; undan oldin bunday ramziylik nemis astronomi va matematigi Regiomontanus (15-asr) va ingliz olimi Tomas Gerriot (1560 -1621) orasida topilgan.
Bo'lim. I.Ran (1659), G.Leybnits (1684).
Uilyam Oughtred bo'linish belgisi sifatida slash / dan foydalangan. Gotfrid Leybnits bo'linishni yo'g'on nuqta bilan belgilay boshladi. Ulardan oldin xat ham tez-tez ishlatilgan D. Fibonachchidan boshlab, fraksiyaning gorizontal chizig'i ham qo'llaniladi, uni Heron, Diophantus va arab asarlarida qo'llagan. Angliya va AQShda 1659 yilda Iogann Rahn (ehtimol Jon Pell ishtirokida) taklif qilgan ÷ (obelus) belgisi keng tarqaldi. Matematik standartlar bo'yicha Amerika milliy qo'mitasining urinishi ( Matematik talablar milliy qo'mitasi) obelusni amaliyotdan olib tashlash (1923) muvaffaqiyatsiz tugadi.
Foiz. M. de la Port (1685).
Birlik sifatida olingan butunning yuzdan bir qismi. "Foiz" so'zining o'zi lotincha "pro centum" dan kelib chiqqan bo'lib, "yuzta" degan ma'noni anglatadi. 1685 yilda Parijda Matye de la Portning "Tijorat arifmetikasi qo'llanmasi" kitobi nashr etildi. Bir joyda ular foizlar haqida gapirishdi, keyin esa ular "cto" (cento uchun qisqartirilgan) deb belgilandi. Biroq, yozuvchi bu "cto" ni kasr deb noto'g'ri tushundi va "%" ni chop etdi. Shunday qilib, matn terish xatosi tufayli bu belgi foydalanishga kirdi.
Darajalar. R. Dekart (1637), I. Nyuton (1676).
Ko'rsatkichning zamonaviy yozuvini Rene Dekart o'zining "" asarida kiritgan. Geometriya"(1637), ammo faqat uchun tabiiy darajalar ko'rsatkichlari 2 dan katta. Keyinchalik, Isaak Nyuton yozuvning bu shaklini manfiy va kasr ko'rsatkichlariga (1676) kengaytirdi, ularning talqini shu vaqtga qadar taklif qilingan: flamand matematigi va muhandisi Saymon Stevin, ingliz matematigi Jon Uollis va fransuz matematigi Albert Jirard.
Arifmetik ildiz n-haqiqiy sonning darajasi A ≥0, - manfiy bo'lmagan raqam n--chi darajaga teng A. 2-darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz deyiladi va darajani ko'rsatmasdan yozilishi mumkin: √. 3-darajali arifmetik ildiz kub ildiz deyiladi. O'rta asr matematiklari (masalan, Kardano) kvadrat ildizni R x belgisi bilan belgilagan (lotin tilidan olingan). Radiks, ildiz). Zamonaviy yozuvni birinchi marta nemis matematigi Kristof Rudolf 1525 yilda Kosist maktabidan foydalangan. Bu belgi xuddi shu so'zning stilize qilingan birinchi harfidan kelib chiqqan radikal. Avvaliga radikal ifodadan yuqori chiziq yo'q edi; uni keyinchalik Dekart (1637) boshqa maqsadda (qavslar o‘rniga) kiritgan va bu xususiyat tez orada ildiz belgisi bilan birlashgan. 16-asrda kub ildizi quyidagicha belgilangan: R x .u.cu (lot. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) ixtiyoriy darajaning ildizi uchun tanish belgidan foydalanishni boshladi. Ushbu format Isaak Nyuton va Gotfrid Leybnits tufayli yaratilgan.
Logarifm, o'nlik logarifm, natural logarifm. I. Kepler (1624), B. Kavalyeri (1632), A. Prinsheym (1893).
"Logarifm" atamasi shotland matematigi Jon Nepierga tegishli. "Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi", 1614); u yunoncha ligos (so'z, munosabat) va arifthmos (son) so'zlarining birikmasidan kelib chiqqan. J. Napier logarifmi ikki sonning nisbatini o'lchash uchun yordamchi sondir. Logarifmning zamonaviy ta'rifini birinchi marta ingliz matematigi Uilyam Gardiner (1742) bergan. Ta'rifga ko'ra, sonning logarifmi b asoslangan a (a ≠ 1, a > 0) - ko'rsatkich m, bu raqamni oshirish kerak a(logarifm asosi deb ataladi) olish uchun b. Belgilangan log a b. Shunday qilib, m = log a b, Agar a m = b.
O'nlik logarifmlarning birinchi jadvallari 1617 yilda Oksford matematika professori Genri Briggs tomonidan nashr etilgan. Shuning uchun chet elda o'nlik logarifmlar ko'pincha brigadalar deb ataladi. "Tabiiy logarifm" atamasi Pietro Mengoli (1659) va Nikolas Merkator (1668) tomonidan kiritilgan, garchi londonlik matematika o'qituvchisi Jon Spidell 1619 yilda tabiiy logarifmlar jadvalini tuzgan.
19-asrning oxirigacha logarifmning umumiy qabul qilingan yozuvi, asosi boʻlmagan. a belgisining chap tomonida va tepasida ko'rsatilgan jurnal, keyin uning ustiga. Oxir-oqibat, matematiklar taglik uchun eng qulay joy belgidan keyin chiziq ostida joylashgan degan xulosaga kelishdi. jurnal. Logarifm belgisi - "logarifm" so'zining qisqartmasi natijasi - logarifmlarning birinchi jadvallari paydo bo'lishi bilan deyarli bir vaqtning o'zida turli shakllarda paydo bo'ladi, masalan. Jurnal- I. Kepler (1624) va G. Briggs (1631), jurnal- B. Kavalyeri tomonidan (1632). Belgilanish ln chunki natural logarifmni nemis matematigi Alfred Pringsheym (1893) kiritgan.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens. V. Outred (17-asr oʻrtalari), I. Bernulli (18-asr), L. Eyler (1748, 1753).
Sinus va kosinus uchun stenografiya yozuvlari Uilyam Oughtred tomonidan kiritilgan 17-asr oʻrtalari asr. Tangens va kotangens uchun qisqartmalar: tg, ctg 18-asrda Iogan Bernoulli tomonidan kiritilgan, ular Germaniya va Rossiyada keng tarqalgan. Boshqa mamlakatlarda bu funktsiyalarning nomlari qo'llaniladi tan, karavot Albert Jirard tomonidan ilgari taklif qilingan XVII boshi asr. IN zamonaviy shakl trigonometrik funktsiyalar nazariyasini Leonhard Eyler (1748, 1753) kiritgan va biz unga haqiqiy simvolizmning mustahkamlanishi uchun qarzdormiz."Trigonometrik funksiyalar" atamasi 1770 yilda nemis matematigi va fizigi Georg Simon Klyugel tomonidan kiritilgan.
Hind matematiklari dastlab sinus chiziq deb atashgan "arha-jiva"("yarim simli", ya'ni yarim akkord), keyin so'z "archa" tashlandi va sinus chizig'i oddiygina chaqirila boshlandi "jiva". Arab tarjimonlari bu so‘zni tarjima qilmaganlar "jiva" Arabcha so'z "vatar", tor va akkordni bildiradi va arab harflari bilan transkripsiya qilinadi va sinus chizig'ini chaqira boshladi. "jiba". Chunki arab tilida qisqa unlilar belgilanmaydi, lekin so'zda uzun "i" "jiba"“th” yarim unlisi bilan bir xil tarzda ifodalangan arablar sinus qator nomini talaffuz qila boshladilar. "jibe", bu so'zma-so'z "bo'shliq", "sinus" degan ma'noni anglatadi. Arab tilidagi asarlarni lotin tiliga tarjima qilganda, yevropalik tarjimonlar bu so‘zni tarjima qilganlar "jibe" Lotin so'zi sinus, bir xil ma'noga ega."Tangent" atamasi (lot.tangenslar- teginish) daniyalik matematik Tomas Finke tomonidan o'zining "Dumaloq geometriyasi" (1583) kitobida kiritilgan.
Arksin. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Teskari trigonometrik funksiyalar - trigonometrik funktsiyalarga teskari bo'lgan matematik funktsiyalar. Teskari trigonometrik funktsiyaning nomi tegishli trigonometrik funktsiya nomidan "arc" prefiksini qo'shish orqali hosil bo'ladi (lot. yoy- yoy).Teskari trigonometrik funksiyalar odatda oltita funktsiyani o'z ichiga oladi: arksinus (arksin), arkkosin (arccos), arktangent (arctg), arkkotangent (arcctg), arksekant (arksekant) va arkkosin (arccosec). Teskari trigonometrik funksiyalar uchun maxsus belgilar birinchi marta Daniel Bernulli (1729, 1736) tomonidan ishlatilgan.Teskari trigonometrik funksiyalarni prefiks yordamida belgilash usuli yoy(latdan. yoy, arc) avstriyalik matematik Karl Sherfer bilan paydo bo'lgan va frantsuz matematigi, astronomi va mexaniki Jozef Lui Lagranj tufayli mustahkamlangan. Masalan, oddiy sinus aylana yoyi bo'ylab cho'zilgan akkordni topishga imkon beradi va teskari funktsiya qarama-qarshi muammoni hal qiladi. 19-asrning oxirigacha ingliz va nemis matematika maktablari boshqa belgilarni taklif qilishdi: sin -1 va 1/sin, lekin ular keng qo'llanilmaydi.
Giperbolik sinus, giperbolik kosinus. V. Rikkati (1757).
Tarixchilar giperbolik funksiyalarning birinchi koʻrinishini ingliz matematigi Avraam de Moivr (1707, 1722) asarlarida aniqlaganlar. Ularning zamonaviy ta'rifi va batafsil o'rganilishi 1757 yilda italiyalik Vinchenzo Rikkati tomonidan o'zining "Opusculorum" asarida amalga oshirilgan, shuningdek, ularning belgilarini taklif qilgan: sh,ch. Rikkati giperbola birligini ko'rib chiqishdan boshladi. Giperbolik funktsiyalarning xususiyatlarini mustaqil kashfiyot va keyingi o'rganishni nemis matematigi, fizigi va faylasufi Iogann Lambert (1768) amalga oshirdi, u oddiy va giperbolik trigonometriya formulalarining keng parallelligini o'rnatdi. N.I. Lobachevskiy keyinchalik oddiy trigonometriya giperbolik bilan almashtirilgan Evklid bo'lmagan geometriyaning izchilligini isbotlash uchun bu parallellikdan foydalangan.
O'xshash trigonometrik sinus va kosinuslar ustidagi nuqtaning koordinatalari koordinatali doira, giperbolik sinus va kosinus giperboladagi nuqtaning koordinatalari. Giperbolik funktsiyalar eksponensial orqali ifodalanadi va ular bilan chambarchas bog'liq trigonometrik funktsiyalar: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Trigonometrik funktsiyalarga o'xshab, giperbolik tangens va kotangens mos ravishda giperbolik sinus va kosinus, kosinus va sinus nisbatlari sifatida aniqlanadi.
Differensial. G. Leybnits (1675, 1684 yilda nashr etilgan).
Funktsiya o'sishining asosiy, chiziqli qismi.Agar funktsiya y=f(x) bitta o'zgaruvchi x da mavjud x=x 0hosila va o'sishDy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funktsiyalari f(x) shaklida ifodalanishi mumkinDy=f"(x 0 )Dx+R(Dx) , a'zosi qayerda R bilan solishtirganda cheksiz kichikDx. Birinchi a'zody=f"(x 0 )Dxbu kengayishda va funktsiyaning differentsiali deb ataladi f(x) nuqtadax 0. IN Gotfrid Leybnits, Yoqub va Iogan Bernulli asarlari so'z"differentsiya"oshirish maʼnosida qoʻllangan, uni I. Bernulli D orqali belgilagan. G. Leybnits (1675, 1684 yilda nashr etilgan) “cheksiz kichik farq” belgisidan foydalangan.d- so'zning birinchi harfi"differensial"dan tashkil topgan"differentsiya".
Noaniq integral. G. Leybnits (1675, 1686 yilda nashr etilgan).
"Integral" so'zini birinchi marta bosma nashrlarda Yakob Bernulli (1690) ishlatgan. Ehtimol, bu atama lotin tilidan olingan butun son- butun. Boshqa bir taxminga ko'ra, asos lotincha so'z edi integro- oldingi holatiga keltirish, tiklash. ∫ belgisi matematikada integralni ifodalash uchun ishlatiladi va lotincha so'zning birinchi harfining stilize qilingan ko'rinishidir. xulosa - so'm. U birinchi marta 17-asr oxirida nemis matematigi, differentsial va integral hisoblarning asoschisi Gotfrid Leybnits tomonidan qo'llanilgan. Differensial va integral hisobining asoschilaridan yana biri Isaak Nyuton o'z asarlarida integral uchun muqobil simvolizmni taklif qilmagan, garchi u harakat qilgan bo'lsa ham. turli xil variantlar: funksiya ustidagi vertikal chiziq yoki funksiyadan oldin yoki chegaralangan kvadrat belgisi. Funktsiya uchun noaniq integral y=f(x) berilgan funktsiyaning barcha antiderivativlari to'plamidir.
Aniq integral. J. Furye (1819-1822).
Funktsiyaning aniq integrali f(x) pastki chegara bilan a va yuqori chegara b farq sifatida belgilanishi mumkin F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Qayerda F(x)- biroz funktsiyaga qarshi hosila f(x) . Aniq integral a ∫ b f(x)dx raqamli maydoniga teng to'g'ri chiziqlar bilan x o'qi bilan chegaralangan shakl x=a Va x=b va funksiya grafigi f(x). Bizga tanish shakldagi aniq integralni loyihalash XIX asr boshlarida fransuz matematigi va fizigi Jan Baptist Jozef Furye tomonidan taklif qilingan.
Hosil. G. Leybnits (1675), J. Lagranj (1770, 1779).
Hosila - bu funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflovchi differentsial hisobning asosiy tushunchasi f(x) argument o'zgarganda x . Bu funktsiya o'sishining uning argumentining o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi, chunki agar bunday chegara mavjud bo'lsa, argumentning o'sishi nolga moyil bo'ladi. Bir nuqtada chekli hosilasi bo'lgan funksiya shu nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi. Hosilni hisoblash jarayoni differentsiatsiya deb ataladi. Teskari jarayon integratsiyadir. Klassik differentsial hisobda hosila ko'pincha chegaralar nazariyasi tushunchalari orqali aniqlanadi, ammo tarixan chegaralar nazariyasi differensial hisobdan kechroq paydo bo'lgan.
"Hosila" atamasi 1797 yilda Jozef Lui Lagranj tomonidan kiritilgan bo'lib, lotinning kontur yordamida denotati ham u tomonidan qo'llaniladi (1770, 1779) va dy/dx- Gotfrid Leybnits 1675 yilda. Vaqt hosilasini harf ustidagi nuqta bilan belgilash usuli Nyutondan (1691) kelgan.Ruscha "funktsiyaning hosilasi" atamasi birinchi marta rus matematiki tomonidan ishlatilganVasiliy Ivanovich Viskovatov (1779-1812).
Qisman hosila. A. Legendre (1786), J. Lagranj (1797, 1801).
Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun qisman hosilalar aniqlanadi - qolgan argumentlar doimiy deb hisoblangan argumentlardan biriga nisbatan hosilalar. Belgilar ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y 1786 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan kiritilgan; fx",z x "- Jozef Lui Lagranj (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ y- ikkinchi tartibli qisman hosilalar - nemis matematigi Karl Gustav Yakob Yakobi (1837).
Farq, o'sish. I. Bernulli (17-asr oxiri - 18-asrning birinchi yarmi), L. Eyler (1755).
O'sishning D harfi bilan belgilanishi birinchi marta shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan. Delta belgisi 1755 yilda Leonhard Eyler ishidan keyin umumiy foydalanishga kirdi.
so'm. L. Eyler (1755).
Yig'indi - miqdorlarni (sonlar, funktsiyalar, vektorlar, matritsalar va boshqalar) qo'shish natijasi. a 1, a 2, ..., a n sonining yig‘indisini belgilash uchun yunoncha “sigma” S harfi ishlatiladi: a 1 + a 2 + ... + a n = S n i=1 a i = S n 1 a i. Yig'indi uchun S belgisi 1755 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan.
Ish. K.Gauss (1812).
Mahsulot ko'paytirish natijasidir. n ta a 1, a 2, ..., a n sonlarning koʻpaytmasini belgilash uchun yunoncha pi n harfi ishlatiladi: a 1 · a 2 · ... · a n = n n i=1 a i = n n 1 a i. . Masalan, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 =? 50 1 (2i-1). Mahsulot uchun P belgisini 1812 yilda nemis matematigi Karl Gauss kiritgan. Rus matematik adabiyotida "mahsulot" atamasi birinchi marta 1703 yilda Leonti Filippovich Magnitskiy tomonidan uchragan.
Faktorial. K. Crump (1808).
n sonining faktorial (belgilangan n!, “en faktorial” deb talaffuz qilinadi) hammaning ko‘paytmasidir. natural sonlar n gacha, jumladan: n! = 1·2·3·...·n. Masalan, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Ta'rifga ko'ra, 0 qabul qilinadi! = 1. Faktorial faqat manfiy bo'lmagan butun sonlar uchun aniqlanadi. n ning faktoriali n ta elementning almashtirishlar soniga teng. Masalan, 3! = 6, albatta,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Uch elementning barcha oltita va faqat oltita almashtirishlari.
«Omilliy» atamasi frantsuz matematigi va tomonidan kiritilgan siyosiy arbob Lui Fransua Antuan Arbogast (1800), n belgisi! - fransuz matematigi Kristian Krump (1808).
Modul, mutlaq qiymat. K. Weierstrass (1841).
Haqiqiy x sonning mutlaq qiymati quyidagicha aniqlangan manfiy bo'lmagan sondir: |x| = x ≥ 0 uchun va |x| = -x uchun x ≤ 0. Masalan, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. z = a + ib kompleks sonning moduli √(a 2 + b 2) ga teng haqiqiy sondir.
"Modul" atamasi ingliz matematiki va faylasufi, Nyutonning shogirdi Rojer Kotes tomonidan taklif qilingan deb ishoniladi. Gotfrid Leybnits ham ushbu funktsiyadan foydalangan, u "modul" deb atagan va quyidagilarni belgilagan: mol x. Umumiy belgi mutlaq qiymat 1841 yilda nemis matematigi Karl Veyershtras tomonidan kiritilgan. Kompleks sonlar uchun bu tushunchani 19-asr boshlarida frantsuz matematiklari Avgustin Koshi va Jan Robert Argan kiritgan. 1903 yilda avstriyalik olim Konrad Lorenz vektor uzunligi uchun xuddi shu simvolizmdan foydalangan.
Norm. E. Shmidt (1908).
Norm - bu ustida belgilangan funksional vektor maydoni va vektor uzunligi yoki sonning moduli tushunchasini umumlashtirish. "Me'yor" belgisi (lotincha "norma" - "qoida", "naqsh" so'zidan) 1908 yilda nemis matematigi Erxard Shmidt tomonidan kiritilgan.
Cheklash. S. Lhuillier (1786), V. Gamilton (1853), ko'plab matematiklar (XX asr boshlarigacha)
Limit matematik tahlilning asosiy tushunchalaridan biri boʻlib, koʻrib chiqilayotgan oʻzgarish jarayonida maʼlum bir oʻzgaruvchining maʼlum qiymatga cheksiz yaqinlashishini bildiradi. doimiy qiymat. Cheklash tushunchasi 17-asrning ikkinchi yarmida Isaak Nyuton tomonidan, shuningdek, 18-asrning Leonhard Eyler va Jozef Lui Lagranj kabi matematiklari tomonidan intuitiv ravishda qo'llanilgan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qat'iy ta'riflari 1816 yilda Bernard Bolzano va 1821 yilda Avgustin Koshi tomonidan berilgan. Lim belgisi (lotincha limes - chegara so'zidan dastlabki 3 ta harf) 1787 yilda shveytsariyalik matematik Simon Antuan Jan Lhuillier tomonidan paydo bo'lgan, ammo uning qo'llanilishi hali zamonaviylarga o'xshamasdi. Ko'proq tanish ko'rinishdagi lim ifodasi birinchi marta 1853 yilda irlandiyalik matematik Uilyam Hamilton tomonidan ishlatilgan.Weierstrass zamonaviyga yaqin belgini kiritdi, ammo tanish o'q o'rniga u teng belgidan foydalangan. O'q 20-asrning boshlarida bir vaqtning o'zida bir nechta matematiklar orasida paydo bo'ldi - masalan, 1908 yilda ingliz matematigi Godfrid Xardi.
Zeta funktsiyasi, d Riemann zeta funktsiyasi. B. Rimann (1857).
Kompleks o'zgaruvchining analitik funktsiyasi s = s + it, s > 1 uchun, konvergent Dirixle qatori bilan mutlaq va bir xil aniqlanadi:
z(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
s > 1 uchun Eyler mahsuloti ko'rinishidagi tasvir amal qiladi:
z(lar) = n p (1-p -s) -s,
bu erda mahsulot barcha asosiy p ustidan olinadi. Zeta funktsiyasi sonlar nazariyasida katta rol o'ynaydi.Haqiqiy o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida zeta funktsiyasi 1737 yilda (1744 yilda nashr etilgan) L. Eyler tomonidan kiritilgan bo'lib, uning mahsulotga kengayishini ko'rsatdi. Keyinchalik bu funktsiyani nemis matematigi L. Dirichlet va ayniqsa, rus matematigi va mexaniki P.L. Chebyshev taqsimot qonunini o'rganayotganda tub sonlar. Biroq zeta funksiyasining eng chuqur xossalari keyinroq, nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Riman (1859) ishidan so‘ng ochildi, bu yerda zeta funksiyasi kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida ko‘rib chiqildi; Shuningdek, u 1857 yilda "zeta funktsiyasi" nomini va z (s) belgisini kiritdi.
Gamma funksiyasi, Eyler D funksiyasi. A. Legendre (1814).
Gamma funktsiyasi faktorial tushunchani kompleks sonlar maydoniga kengaytiruvchi matematik funktsiyadir. Odatda D(z) bilan belgilanadi. G-funksiya birinchi marta 1729 yilda Leonhard Eyler tomonidan kiritilgan; formula bilan aniqlanadi:
D(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
G-funksiyasi orqali ifodalanadi katta raqam integrallar, cheksiz ko'paytmalar va qatorlar yig'indilari. Analitik sonlar nazariyasida keng qo'llaniladi. "Gamma funktsiyasi" nomi va D(z) belgisi 1814 yilda frantsuz matematigi Adrien Mari Legendre tomonidan taklif qilingan.
Beta funktsiyasi, B funktsiyasi, Eyler B funktsiyasi. J. Binet (1839).
Ikki o‘zgaruvchining p va q funksiyasi, p>0, q>0 uchun tenglik bilan aniqlangan:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beta funksiyani D-funksiya orqali ifodalash mumkin: B(p, q) = D(p)G(q)/G(p+q).Butun sonlar uchun gamma funksiya faktorialni umumlashtirish bo‘lgani kabi, beta funksiya ham qaysidir ma’noda binom koeffitsientlarini umumlashtirishdir.
Beta funktsiyasi ko'plab xususiyatlarni tavsiflaydielementar zarralar ishtirok etish kuchli o'zaro ta'sir. Bu xususiyatni italyan nazariy fizigi payqaganGabriele Veneziano 1968 yilda. Bu boshlanishini belgiladi torlar nazariyasi.
"Beta-funksiya" nomi va B(p, q) belgisi 1839 yilda frantsuz matematigi, mexaniki va astronomi Jak Filipp Mari Binet tomonidan kiritilgan.
Laplas operatori, Laplas. R. Merfi (1833).
n ta o‘zgaruvchining x 1, x 2, ..., x n ph(x 1, x 2, ..., x n) funksiyalarini tayinlaydigan chiziqli differentsial operator D:
Dph = ∂ 2 ph/∂x 1 2 + ∂ 2 ph/∂x 2 2 + ... + ∂ 2 ph/∂x n 2.
Xususan, bitta o‘zgaruvchining ph(x) funksiyasi uchun Laplas operatori 2-hosilning operatori bilan mos tushadi: Dph = d 2 ph/dx 2 . Dph = 0 tenglama odatda Laplas tenglamasi deb ataladi; "Laplas operatori" yoki "Laplasian" nomlari shu erdan keladi. D belgisi ingliz fizigi va matematigi Robert Merfi tomonidan 1833 yilda kiritilgan.
Hamilton operatori, nabla operatori, Gamiltonian. O. Xevisayd (1892).
Shaklning vektor differentsial operatori
∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,
Qayerda i, j, Va k- koordinata birliklari vektorlari. Vektor tahlilining asosiy operatsiyalari, shuningdek, Laplas operatori Nabla operatori orqali tabiiy tarzda ifodalanadi.
1853 yilda irlandiyalik matematik Uilyam Rouen Gamilton ushbu operatorni taqdim etdi va uning uchun ∇ belgisini teskari yunoncha D (delta) harfi sifatida kiritdi. Gamiltonda ramzning uchi chap tomonga ishora qilgan, keyinroq Shotlandiya matematigi va fizigi Piter Gutri Teytning asarlarida ramz o'zining zamonaviy shakliga ega bo'lgan. Gamilton bu belgini "atled" deb atadi ("delta" so'zi teskari o'qiladi). Keyinchalik ingliz olimlari, jumladan, Oliver Xevisayd bu belgini Finikiya alifbosidagi ∇ harfi kelgan joyda nomidan keyin "nabla" deb atashni boshladilar. Harfning kelib chiqishi arfa kabi musiqa asbobi bilan bog'liq bo'lib, qadimgi yunoncha "arfa" degan ma'noni anglatadi. Operator Gamilton operatori yoki nabla operatori deb nomlangan.
Funktsiya. I. Bernulli (1718), L. Eyler (1734).
Matematik tushuncha, to'plamlar elementlari orasidagi munosabatni aks ettiruvchi. Aytishimiz mumkinki, funktsiya bu "qonun", "qoida" bo'lib, unga ko'ra bir to'plamning har bir elementi (ta'rif sohasi deb ataladi) boshqa to'plamning biron bir elementi (qiymatlar sohasi deb ataladi) bilan bog'lanadi. Funktsiyaning matematik kontseptsiyasi bir miqdor boshqa miqdorning qiymatini qanday to'liq aniqlashi haqidagi intuitiv fikrni ifodalaydi. Ko'pincha "funktsiya" atamasi raqamli funktsiyani anglatadi; ya'ni ba'zi raqamlarni boshqalar bilan yozishmalarga qo'yadigan funksiya. Uzoq vaqt davomida matematiklar argumentlarni qavssiz ko'rsatdilar, masalan, bu kabi - phx. Ushbu belgi birinchi marta 1718 yilda shveytsariyalik matematik Iogan Bernulli tomonidan qo'llanilgan.Qavslar faqat bir nechta argumentlar yoki argument murakkab ifoda bo'lsa ishlatilgan. O'sha davrlarning aks-sadolari bugungi kunda ham qo'llanilayotgan yozuvlardirsin x, log xva hokazo. Ammo asta-sekin qavslardan foydalanish f(x) ga aylandi umumiy qoida. Va buning uchun asosiy kredit Leonhard Eulerga tegishli.
Tenglik. R. Rekord (1557).
Tenglik belgisi 1557 yilda uelslik shifokor va matematik Robert Rekord tomonidan taklif qilingan; ramzning konturi hozirgisidan ancha uzunroq edi, chunki u ikkita parallel segmentning tasvirini taqlid qilgan. Muallif dunyoda bir xil uzunlikdagi ikkita parallel segmentdan ko'ra tengroq narsa yo'qligini tushuntirdi. Bundan oldin, qadimgi va o'rta asrlar matematikasida tenglik og'zaki ifodalangan (masalan est egale). 17-asrda Rene Dekart æ dan (lat. aequalis), A zamonaviy belgi u koeffitsient manfiy bo'lishi mumkinligini ko'rsatish uchun tenglikdan foydalangan. Fransua Viet ayirishni bildirish uchun teng belgisidan foydalangan. Rekord belgisi darhol keng tarqalmagan. Rekord belgisining tarqalishiga qadim zamonlardan buyon to'g'ri chiziqlar parallelligini ko'rsatish uchun bir xil belgidan foydalanilganligi to'sqinlik qilgan; Oxir-oqibat, parallelizm belgisini vertikal qilishga qaror qilindi. Qit'a Evropada "=" belgisini Gotfrid Leybnits faqat 17-18 asrlar oxirida, ya'ni Robert Rekord vafotidan keyin 100 yildan ko'proq vaqt o'tgach, uni birinchi marta ishlatgan.
Taxminan teng, taxminan teng. A.Gyunter (1882).
Imzo" ≈" 1882 yilda nemis matematigi va fizigi Adam Vilgelm Zigmund Gyunter tomonidan "taxminan teng" munosabat belgisi sifatida foydalanishga kiritilgan.
Ko'proq kamroq. T. Xarriot (1631).
Bu ikki belgi 1631 yilda ingliz astronomi, matematigi, etnografi va tarjimoni Tomas Xarriot tomonidan qo'llanilgan, undan oldin "ko'proq" va "kamroq" so'zlari ishlatilgan.
Taqqoslash qobiliyati. K.Gauss (1801).
Taqqoslash - bu n va m ikkita butun sonlar orasidagi munosabat, ya'ni farq n-m bu raqamlar taqqoslash moduli deb ataladigan berilgan butun a ga bo'linadi; u quyidagicha yoziladi: n≡m(mod a) va “n va m sonlari a moduli bilan solishtirish mumkin” deb o‘qiladi. Masalan, 3≡11(mod 4), chunki 3-11 4 ga bo'linadi; 3 va 11 raqamlari taqqoslanadigan modul 4. Muvofiqliklar tengliklarga o'xshash ko'plab xususiyatlarga ega. Shunday qilib, taqqoslashning bir qismida joylashgan atama qarama-qarshi belgi bilan boshqa qismga o'tkazilishi va bir xil modulli taqqoslashlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, taqqoslashning ikkala qismini bir xil raqamga ko'paytirish va h.k. . Masalan,
3≡9+2 (mod 4) va 3-2≡9 (mod 4)
Shu bilan birga haqiqiy taqqoslashlar. Va 3≡11 (mod 4) va 1≡5 (mod 4) juftlik to'g'ri taqqoslashlaridan quyidagilar:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
Raqamlar nazariyasi turli xil taqqoslashlarni echish usullari bilan shug'ullanadi, ya'ni. u yoki bu turdagi taqqoslashni qanoatlantiradigan butun sonlarni topish usullari. Modullarni taqqoslash birinchi marta nemis matematigi Karl Gauss tomonidan 1801 yilda chop etilgan "Arifmetik tadqiqotlar" kitobida ishlatilgan. U, shuningdek, matematikada o'rnatilgan taqqoslash uchun ramziylikni taklif qildi.
Identifikatsiya. B. Rimann (1857).
Identity - har qanday uchun amal qiladigan ikkita analitik ifodaning tengligi qabul qilinadigan qiymatlar unga kiritilgan harflar. a+b = b+a tengligi hamma uchun amal qiladi raqamli qiymatlar a va b, shuning uchun o'ziga xoslikdir. Shaxslarni qayd qilish uchun ba'zi hollarda, 1857 yildan beri "≡" ("bir xil teng" deb o'qing) belgisi qo'llanilgan, uning muallifi nemis matematigi Georg Fridrix Bernxard Rimanndir. Siz yozib olishingiz mumkin a+b ≡ b+a.
Perpendikulyarlik. P. Erigon (1634).
Perpendikulyarlik - o'zaro tartibga solish ikkita to'g'ri chiziq, tekislik yoki to'g'ri chiziq va ko'rsatilgan raqamlar to'g'ri burchak hosil qiladigan tekislik. Perpendikulyarlikni bildirish uchun ⊥ belgisi 1634 yilda frantsuz matematiki va astronomi Per Erigon tomonidan kiritilgan. Perpendikulyarlik tushunchasi bir qator umumlashmalarga ega, ammo ularning barchasi, qoida tariqasida, ⊥ belgisi bilan birga keladi.
Parallellik. V.Outred (vafotidan keyingi nashri 1677).
Parallellik - bu ba'zilar o'rtasidagi munosabatlar geometrik shakllar; masalan, tekis. Turli geometriyalarga qarab turlicha aniqlanadi; masalan, Evklid geometriyasida va Lobachevskiy geometriyasida. Parallelizm belgisi qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lib, uni Heron va Iskandariya Pappus ishlatgan. Dastlab, ramz joriy tenglik belgisiga o'xshardi (faqat kengaytirilgan), ammo ikkinchisining paydo bo'lishi bilan chalkashmaslik uchun belgi vertikal || aylantirildi. Ushbu shaklda birinchi marta 1677 yilda ingliz matematigi Uilyam Oughtred asarlarining vafotidan keyingi nashrida paydo bo'ldi.
Chorraha, birlashma. J. Peano (1888).
To'plamlarning kesishishi - bu barcha berilgan to'plamlarga bir vaqtning o'zida tegishli bo'lgan va faqat elementlarni o'z ichiga olgan to'plam. To'plamlar birlashmasi - bu asl to'plamlarning barcha elementlarini o'z ichiga olgan to'plam. Kesishish va birlashma, shuningdek, yuqorida ko'rsatilgan qoidalarga muvofiq, ma'lum bir to'plamga yangi to'plamlarni tayinlaydigan to'plamlar ustidagi operatsiyalar deb ham ataladi. ∩ va ∪ bilan belgilanadi. Masalan, agar
A= (♠ ♣ ) Va B= (♣ ♦),
Bu
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
O'z ichiga oladi, o'z ichiga oladi. E. Shreder (1890).
Agar A va B ikkita to'plam bo'lsa va A da B ga tegishli bo'lmagan elementlar bo'lmasa, ular A ni B tarkibida mavjud deb aytishadi. Ular A⊂B yoki B⊃A yozadilar (Bda A mavjud). Masalan,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
"O'z ichiga oladi" va "o'z ichiga oladi" belgilari 1890 yilda nemis matematigi va mantiqi Ernst Shreder tomonidan paydo bo'lgan.
Mansublik. J. Peano (1895).
Agar a A to'plamining elementi bo'lsa, u holda a∈A yozing va "a A ga tegishli" deb o'qing. Agar a A to'plamining elementi bo'lmasa, a∉A deb yozing va "a A to'plamiga tegishli emas" deb o'qing. Avvaliga "o'z ichiga olgan" va "mansub" ("element") munosabatlari ajratilmagan, ammo vaqt o'tishi bilan bu tushunchalar farqlashni talab qilgan. ∈ belgisi birinchi marta italiyalik matematik Juzeppe Peano tomonidan 1895 yilda ishlatilgan. ∈ belgisi yunoncha esti - bo'lish so'zining birinchi harfidan kelib chiqqan.
Umumjahonlik kvantifikatori, mavjudlik miqdori. G. Gentzen (1935), C. Pirs (1885).
Miqdor ko'rsatkichi - umumiy ism predikatning haqiqat sohasini ko'rsatadigan mantiqiy operatsiyalar uchun (matematik bayonot). Faylasuflar uzoq vaqtdan beri predikatning haqiqat sohasini cheklaydigan mantiqiy operatsiyalarga e'tibor berishgan, lekin ularni alohida operatsiyalar sinfi sifatida aniqlamagan. Kvantor-mantiqiy konstruktsiyalar ilmiy va kundalik nutqda keng qo'llanilsa-da, ularning rasmiylashtirilishi faqat 1879 yilda nemis mantiqi, matematigi va faylasufi Fridrix Lyudvig Gottlob Fregening "Tushunchalar hisobi" kitobida sodir bo'lgan. Fregening yozuvi og'ir grafik konstruktsiyalarga o'xshardi va qabul qilinmadi. Keyinchalik, yana ko'plab muvaffaqiyatli belgilar taklif qilindi, ammo umumiy qabul qilingan belgilar 1885 yilda amerikalik faylasuf, mantiq va matematik Charlz Pirs tomonidan taklif qilingan ekzistensial kvantifikator ("mavjud", "bor" deb o'qing) uchun ∃ va ∀ edi. 1935 yilda nemis matematigi va mantiqi Gerxard Karl Erich Gentzen tomonidan ekzistensial kvantifikator belgisiga o'xshatish yo'li bilan yaratilgan ("har qanday", "har bir", "hamma" deb o'qing) universal kvantifikator uchun (teskari birinchi harflar) Inglizcha so'zlar Mavjudlik (mavjudlik) va Har qanday (har qanday)). Masalan, yozib oling
(∀e>0) (∃d>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
quyidagicha o'qiydi: “har qanday e>0 uchun d>0 shunday bo'ladiki, barcha x uchun x 0 ga teng bo'lmagan va |x-x 0 |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Bo'sh to'plam. N. Burbaki (1939).
Bitta elementni o'z ichiga olmaydigan to'plam. Bo'sh to'plam belgisi 1939 yilda Nikolas Burbakining kitoblarida kiritilgan. Bourbaki 1935 yilda yaratilgan bir guruh frantsuz matematiklarining umumiy taxallusidir. Bourbaki guruhi a'zolaridan biri Ø belgisining muallifi Andre Vayl edi.
Q.E.D. D. Knut (1978).
Matematikada isbot deganda ma'lum bir fikrning to'g'ri ekanligini ko'rsatuvchi, ma'lum qoidalarga asoslangan mulohazalar ketma-ketligi tushuniladi. Uyg'onish davridan beri isbotning oxiri matematiklar tomonidan "Q.E.D." qisqartmasi, lotincha "Quod Erat Demonstrandum" - "Nima isbotlanishi kerak edi" iborasi bilan belgilandi. 1978 yilda amerikalik kompyuter fanlari professori Donald Edvin Knut kompyuterni joylashtirish tizimini yaratishda ramzdan foydalangan: to'ldirilgan kvadrat, asli vengriyalik amerikalik matematik Pol Richard Halmos nomi bilan atalgan "Halmos belgisi". Bugungi kunda isbotning tugallanishi odatda Halmos belgisi bilan ko'rsatiladi. Shu bilan bir qatorda, boshqa belgilar qo'llaniladi: bo'sh kvadrat, to'g'ri burchakli uchburchak, // (ikkita oldinga chiziq), shuningdek, ruscha "ch.t.d." qisqartmasi.
DPVA muhandislik qo'llanmasini qidiring. So'rovingizni kiriting:
DPVA muhandislik qo'llanmasidan qo'shimcha ma'lumot, ya'ni ushbu bo'limning boshqa kichik bo'limlari:
Odamlar faoliyatning ma'lum bir sohasi doirasida uzoq vaqt davomida o'zaro aloqada bo'lganda, ular muloqot jarayonini optimallashtirish yo'lini izlay boshlaydilar. Matematik belgilar va belgilar tizimi sun'iy til bo'lib, u xabarning ma'nosini to'liq saqlagan holda grafik uzatiladigan ma'lumotlar miqdorini kamaytirish uchun ishlab chiqilgan.
Har qanday til o'rganishni talab qiladi va bu borada matematika tili ham bundan mustasno emas. Formulalar, tenglamalar va grafiklarning ma'nosini tushunish uchun siz oldindan ma'lum ma'lumotlarga ega bo'lishingiz, atamalarni tushunishingiz, yozuvlar tizimini va boshqalarni bilishingiz kerak. Bunday bilimlar bo'lmasa, matn notanish xorijiy tilda yozilganidek qabul qilinadi.
Jamiyat ehtiyojlaridan kelib chiqqan holda, oddiy matematik amallar uchun grafik belgilar (masalan, qo'shish va ayirish belgilari) integral yoki differentsial kabi murakkab tushunchalarga qaraganda ancha oldin ishlab chiqilgan. Tushuncha qanchalik murakkab bo'lsa, u odatda shunchalik murakkab belgi bilan belgilanadi.
Grafik belgilarni shakllantirish modellari
Sivilizatsiya rivojlanishining dastlabki bosqichlarida odamlar eng oddiy matematik operatsiyalarni assotsiatsiyalarga asoslangan tanish tushunchalar bilan bog'ladilar. Masalan, Qadimgi Misrda qo'shish va ayirish oyoqlarning yurish namunasi bilan ko'rsatilgan: o'qish yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan chiziqlar "ortiqcha" va teskari yo'nalishda - "minus" ni ko'rsatdi.
Raqamlar, ehtimol, barcha madaniyatlarda, dastlab tegishli qatorlar soni bilan belgilangan. Keyinchalik, an'anaviy yozuvlar yozish uchun ishlatila boshlandi - bu vaqtni, shuningdek, jismoniy muhitda bo'sh joyni tejaydi. Harflar ko'pincha ramz sifatida ishlatilgan: bu strategiya yunon, lotin va dunyoning boshqa ko'plab tillarida keng tarqaldi.
Matematik belgilar va belgilarning paydo bo'lish tarixi grafik elementlarni yaratishning eng samarali ikkita usulini biladi.
Og'zaki vakillikni aylantirish
Dastlab, har qanday matematik tushuncha ma'lum bir so'z yoki ibora bilan ifodalanadi va o'zining grafik tasviriga ega emas (leksikdan tashqari). Biroq, hisob-kitoblarni amalga oshirish va formulalarni so'zlar bilan yozish uzoq protsedura bo'lib, jismoniy vositada asossiz katta hajmdagi joyni egallaydi.
Matematik belgilar yaratishning keng tarqalgan usuli tushunchaning leksik tasvirini grafik elementga aylantirishdir. Boshqacha qilib aytganda, kontseptsiyani bildiruvchi so'z vaqt o'tishi bilan qisqartiriladi yoki boshqa yo'l bilan o'zgaradi.
Masalan, ortiqcha belgisining kelib chiqishi haqidagi asosiy faraz uning lotin tilidan qisqartmasi hisoblanadi va boshqalar, uning analogi rus tilida "va" birikmasidir. Asta-sekin kursiv yozuvdagi birinchi harf yozilmaydi va t xochga qisqartirildi.
Yana bir misol, noma’lum uchun “x” belgisi, dastlab arabcha “narsa” so‘zining qisqartmasi edi. Shunga o'xshash tarzda, ko'rsatish uchun belgilar kvadrat ildiz, foiz, integral, logarifm va hokazo.Matematik belgilar va belgilar jadvalida shu tarzda paydo bo'lgan o'ndan ortiq grafik elementlarni topishingiz mumkin.
Shaxsiy belgilar tayinlash
Matematik belgilar va belgilarni shakllantirishning ikkinchi keng tarqalgan varianti - bu belgini o'zboshimchalik bilan belgilash. Bunday holda, so'z va grafik belgi bir-biriga bog'liq emas - belgi odatda ilmiy hamjamiyat a'zolaridan birining tavsiyasi natijasida tasdiqlanadi.
Masalan, ko'paytirish, bo'lish va tenglik belgilarini matematiklar Uilyam Oughtred, Iogann Rahn va Robert Rekord taklif qilgan. Ayrim hollarda fanga bir olim tomonidan bir nechta matematik belgilar kiritilgan bo‘lishi mumkin. Xususan, Gotfrid Vilgelm Leybnits integral, differensial va lotin kabi bir qancha belgilarni taklif qildi.
Eng oddiy operatsiyalar
Har bir maktab o'quvchisi "ortiqcha" va "minus" kabi belgilarni, shuningdek, ko'paytirish va bo'lish uchun belgilarni biladi, garchi oxirgi ikkita operatsiya uchun bir nechta mumkin bo'lgan grafik belgilar mavjud.
Ishonch bilan aytish mumkinki, odamlar bizning eramizdan ko'p ming yillar oldin qo'shish va ayirish usullarini bilishgan, ammo bu harakatlarni bildiruvchi va bizga ma'lum bo'lgan standartlashtirilgan matematik belgilar va belgilar faqat 14-15-asrlarda paydo bo'lgan.
Biroq, ilmiy hamjamiyatda ma'lum bir kelishuv o'rnatilganiga qaramay, bizning davrimizda ko'paytirish uch xil belgi (diagonal xoch, nuqta, yulduzcha) va ikkiga bo'linish (yuqorida va pastda nuqtalari bo'lgan gorizontal chiziq) bilan ifodalanishi mumkin. yoki qiyshiq chiziq).
Xatlar
Ko'p asrlar davomida ilmiy hamjamiyat ma'lumotlarni uzatish uchun faqat lotin tilidan foydalangan va ko'plab matematik atamalar va belgilar o'zlarining kelib chiqishini shu tilda topadi. Ba'zi hollarda grafik elementlar so'zlarni qisqartirish natijasidir, kamroq - ularning qasddan yoki tasodifiy o'zgarishi (masalan, matn terish xatosi tufayli).
Foiz belgisi ("%), ehtimol, qisqartmaning noto'g'ri yozilishidan kelib chiqadi JSSV(cento, ya'ni "yuzinchi qism"). Xuddi shunday, tarixi yuqorida tavsiflangan ortiqcha belgisi paydo bo'ldi.
Ko'p narsa so'zni ataylab qisqartirish orqali shakllangan, garchi bu har doim ham aniq emas. Kvadrat ildiz belgisidagi harfni hamma ham tanimaydi R, ya'ni Radix ("ildiz") so'zining birinchi belgisi. Integral belgi, shuningdek, Summa so'zining birinchi harfini ifodalaydi, lekin intuitiv ravishda u bosh harfga o'xshaydi. f gorizontal chiziqsiz. Aytgancha, birinchi nashrda noshirlar ushbu belgi o'rniga f ni bosib, shunday xatoga yo'l qo'yishgan.
Yunon harflari
Turli xil tushunchalar uchun grafik belgilar sifatida nafaqat lotin tilidan foydalaniladi, balki matematik belgilar jadvalida ham bunday nomlarning bir qator misollarini topishingiz mumkin.
Aylana aylanasining diametriga nisbati boʻlgan Pi soni yunoncha aylana soʻzining birinchi harfidan kelib chiqqan. Yunon alifbosi harflari bilan ko'rsatilgan yana bir qancha kamroq ma'lum irratsional raqamlar mavjud.
Matematikada o'ta keng tarqalgan belgi "delta" bo'lib, u o'zgaruvchilar qiymatining o'zgarishi miqdorini aks ettiradi. Yana bir keng tarqalgan belgi - yig'indi belgisi vazifasini bajaradigan "sigma".
Bundan tashqari, deyarli barcha yunon harflari matematikada u yoki bu tarzda qo'llaniladi. Biroq, bu matematik belgilar va belgilar va ularning ma'nosi faqat fan bilan professional tarzda shug'ullanadigan odamlarga ma'lum. Inson kundalik hayotda bu bilimga muhtoj emas.
Mantiqiy belgilar
Ajabo, ko'plab intuitiv belgilar yaqinda ixtiro qilingan.
Xususan, "shuning uchun" so'zining o'rnini bosuvchi gorizontal o'q faqat 1922 yilda taklif qilingan. Mavjudlik va universallikning kvantifikatorlari, ya'ni: "bor ..." va "har qanday ... uchun" deb o'qiladigan belgilar 1897 yilda kiritilgan va mos ravishda 1935 yil.
Toʻplamlar nazariyasi sohasidagi ramzlar 1888-1889 yillarda ixtiro qilingan. Bugungi kunda har qanday o'rta maktab o'quvchisiga bo'sh to'plam belgisi sifatida ma'lum bo'lgan chizilgan doira 1939 yilda paydo bo'lgan.
Shunday qilib, integral yoki logarifm kabi murakkab tushunchalar uchun belgilar oldindan tayyorlanmasdan ham oson qabul qilinadigan va o'rganiladigan ba'zi intuitiv belgilarga qaraganda bir necha asr oldin ixtiro qilingan.
Ingliz tilidagi matematik belgilar
Tushunchalarning salmoqli qismi ilmiy ishlarda lotin tilida tasvirlanganligi sababli ingliz va rus tillarida matematik belgilar va belgilarning bir qator nomlari bir xil. Masalan: Plus, Integral, Delta funksiyasi, Perpendikulyar, Parallel, Null.
Ikki tildagi ba'zi tushunchalar boshqacha nomlanadi: masalan, bo'lish - Bo'lish, ko'paytirish - Ko'paytirish. Kamdan kam hollarda, matematik belgining inglizcha nomi rus tilida biroz keng tarqalgan: masalan, so'nggi yillarda slash ko'pincha "slash" deb ataladi.
belgilar jadvali
Matematik belgilar ro'yxati bilan tanishishning eng oson va qulay usuli - bu operatsiya belgilari, matematik mantiq belgilari, to'plamlar nazariyasi, geometriya, kombinatorika, matematik tahlil va chiziqli algebrani o'z ichiga olgan maxsus jadvalga qarashdir. Ushbu jadval ingliz tilidagi asosiy matematik belgilarni taqdim etadi.
Matn muharriridagi matematik belgilar
Har xil turdagi ishlarni bajarishda ko'pincha kompyuter klaviaturasida bo'lmagan belgilarni ishlatadigan formulalardan foydalanish kerak.
Deyarli har qanday bilim sohasidagi grafik elementlar singari, Word-dagi matematik belgilar va belgilarni "Qo'shish" yorlig'ida topish mumkin. Dasturning 2003 yoki 2007 yil versiyalarida "Simvol qo'shish" opsiyasi mavjud: panelning o'ng tomonidagi tugmani bosganingizda, foydalanuvchi barcha kerakli matematik belgilarni, yunoncha kichik harflarni va kichik harflarni taqdim etadigan jadvalni ko'radi. katta harflar, turli xil qavslar va boshqalar.
2010 yildan keyin chiqarilgan dastur versiyalarida qulayroq variant ishlab chiqilgan. "Formula" tugmasini bosganingizda, siz kasrlardan foydalanishni, ildiz ostidagi ma'lumotlarni kiritishni, registrni o'zgartirishni (o'zgaruvchilarning kuchlari yoki seriya raqamlarini ko'rsatish uchun) nazarda tutuvchi formulalar konstruktoriga o'tasiz. Yuqorida keltirilgan jadvaldagi barcha belgilarni bu erda ham topish mumkin.
Matematik belgilarni o'rganishga arziydimi?
Matematik belgilar tizimi sun'iy til bo'lib, u faqat yozish jarayonini soddalashtiradi, lekin tashqi kuzatuvchiga mavzuni tushunishni keltira olmaydi. Shunday qilib, atamalar, qoidalar va tushunchalar orasidagi mantiqiy aloqalarni o'rganmasdan belgilarni yodlash ushbu bilim sohasini egallashga olib kelmaydi.
Inson miyasi belgilar, harflar va qisqartmalarni osongina o'rganadi - mavzuni o'rganishda matematik belgilar o'z-o'zidan eslab qoladi. Har bir aniq harakatning ma’nosini anglash shunday kuchli belgilarni yuzaga keltiradiki, atamalarni bildiruvchi belgilar va ko‘pincha ular bilan bog‘liq formulalar ko‘p yillar va hatto o‘nlab yillar davomida xotirada saqlanib qoladi.
Nihoyat
Har qanday til, jumladan, sun'iy til ham o'zgartirish va qo'shimchalarga ochiq bo'lganligi sababli, matematik belgilar va belgilar soni vaqt o'tishi bilan o'sib boradi. Ba'zi elementlar almashtirilishi yoki sozlanishi mumkin, boshqalari esa, masalan, ko'paytirish yoki bo'linish belgilari uchun tegishli bo'lgan yagona mumkin bo'lgan shaklda standartlashtiriladi.
To'liq maktab kursi darajasida matematik belgilardan foydalanish qobiliyati zamonaviy dunyoda amalda zarurdir. Axborot texnologiyalari va fanining jadal rivojlanishi sharoitida algoritmlashtirish va avtomatlashtirishning keng yo‘lga qo‘yilishi, matematik apparatni o‘zlashtirish, uning tarkibiy qismi sifatida matematik belgilarni o‘zlashtirish tabiiy hol sifatida qabul qilinishi kerak.
Hisob-kitoblar gumanitar, iqtisod, tabiiy fanlar va, albatta, muhandislik va yuqori texnologiyalar sohasida qo'llanilganligi sababli, matematik tushunchalarni tushunish va belgilarni bilish har qanday mutaxassis uchun foydali bo'ladi.
ikkitadan), 3 > 2 (uch ikkitadan ko'p) va boshqalar.Rivojlanish matematik simvolizm bilan chambarchas bog'liq edi umumiy rivojlanish matematika tushunchalari va usullari. Birinchidan Matematik belgilar raqamlarni tasvirlash uchun belgilar bor edi - raqamlar, paydo bo'lishi, aftidan, yozishdan oldin bo'lgan. Eng qadimgi raqamlash tizimlari - Bobil va Misr - miloddan avvalgi 3 1/2 ming yillikda paydo bo'lgan. e.
Birinchidan Matematik belgilar chunki ixtiyoriy miqdorlar ancha keyinroq (miloddan avvalgi 5—4-asrlardan boshlab) Gretsiyada paydo boʻlgan. Miqdorlar (maydonlar, hajmlar, burchaklar) segmentlar shaklida tasvirlangan va ikkita ixtiyoriy bir hil miqdorning ko'paytmasi mos keladigan segmentlar ustiga qurilgan to'rtburchaklar shaklida tasvirlangan. "Prinsiplar" da Evklid (miloddan avvalgi 3-asr) miqdorlar ikkita harf bilan belgilanadi - tegishli segmentning bosh va oxirgi harflari, ba'zan esa faqat bitta. U Arximed (miloddan avvalgi 3-asr) oxirgi usul keng tarqalgan. Bunday belgi harflar hisobini rivojlantirish imkoniyatlarini o'z ichiga olgan. Biroq, klassik antik matematikada harflar hisobi yaratilmagan.
Alfavit va hisob-kitoblarning boshlanishi ellinistik davrning oxirlarida algebraning ixtisoslashuvdan ozod bo'lishi natijasida paydo bo'lgan. geometrik shakl. Diofant (ehtimol 3-asr) qayd etilgan noma'lum ( X) va uning darajasi quyidagi belgilar bilan ifodalanadi:
[ - yunoncha dunamiV (dynamis - kuch) atamasidan, noma'lumning kvadratini bildiradi, - yunoncha cuboV (k_ybos) - kub]. Noma'lum yoki uning vakolatlarining o'ng tomonida Diophantus koeffitsientlarni yozgan, masalan, 3 x 5 tasvirlangan.
(bu erda = 3). Qo'shishda Diofant atamalarni bir-biriga bog'lab, ayirish uchun maxsus belgidan foydalangan; Diofant i harfi bilan tenglikni belgilagan [yunoncha isoV (isos) - teng]. Masalan, tenglama
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diofant buni shunday yozgan bo'lar edi:
(Bu yerga
birlikning noma'lumning kuchi ko'rinishidagi ko'paytuvchisi yo'qligini bildiradi).
Bir necha asrlar o'tgach, hindular turli xil narsalarni kiritdilar Matematik belgilar bir nechta noma'lumlar uchun (noma'lumlarni bildiruvchi ranglarning nomlari uchun qisqartmalar), kvadrat, kvadrat ildiz, subtrahend. Shunday qilib, tenglama
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Yozib olishda Brahmagupta (7-asr) quyidagicha ko'rinadi:
Ya va 3 yo 10 ru 8
Ya va 1 yo 0 ru 1
(ya - yavotdan - tavot - noma'lum, va - vargadan - kvadrat son, ru - rupadan - rupiya tanga - bepul termin, son ustidagi nuqta ayirilgan sonni bildiradi).
Zamonaviy algebraik simvolizmning yaratilishi 14—17-asrlarga toʻgʻri keladi; amaliy arifmetika va tenglamalarni o'rganish muvaffaqiyatlari bilan aniqlandi. Turli mamlakatlarda ular o'z-o'zidan paydo bo'ladi Matematik belgilar ba'zi harakatlar uchun va noma'lum kattalikdagi kuchlar uchun. U yoki bu qulay ramz ishlab chiqilgunga qadar ko'p o'n yillar va hatto asrlar o'tadi. Shunday qilib, 15 va oxirida. N. Shuke va L. Pacioli qo‘shish va ayirish belgilaridan foydalaniladi
(Lotin plyus va minus dan), nemis matematiklari zamonaviy + (ehtimol lotin etining qisqartmasi) va -. 17-asrda. o'nga yaqin hisoblashingiz mumkin Matematik belgilar ko'paytirish harakati uchun.
Turli xillar ham bor edi Matematik belgilar noma'lum va uning darajalari. 16-17-asr boshlarida. o'ndan ortiq notatsiyalar faqat noma'lum kvadrat uchun raqobatlashdi, masalan. se(ro'yxatga olishdan - yunoncha dunamiV ning tarjimasi bo'lib xizmat qilgan lotincha atama, Q(kvadratdan), , A (2), , Aii, aa, a 2 va hokazo. Shunday qilib, tenglama
x 3 + 5 x = 12
italyan matematigi G. Kardano (1545) quyidagi shaklga ega bo'ladi:
nemis matematigi M. Shtifeldan (1544):
italyan matematigi R. Bombelli (1572):
Fransuz matematigi F.Vyeta (1591):
ingliz matematigi T. Xarriotdan (1631):
16-asr va 17-asr boshlarida. teng belgilar va qavslar ishlatiladi: kvadrat (R. Bombelli , 1550), dumaloq (N. Tartalya, 1556), tasvirlangan (F. Vet, 1593). 16-asrda zamonaviy shakl kasrlar yozuvini oladi.
Matematik simvolizm rivojlanishidagi muhim qadam Vyetning (1591) kiritilishi edi. Matematik belgilar o'zboshimchalik uchun doimiy qiymatlar lotin alifbosining bosh undosh harflari shaklida B, D, bu unga birinchi marta yozish imkoniyatini berdi. algebraik tenglamalar ixtiyoriy koeffitsientlar bilan va ular bilan ishlaydi. Unli harflar bilan tasvirlangan noma'lum Vyet bosh harflar bilan A, E,... Masalan, Vyetning kirishi
Bizning belgilarimizda u quyidagicha ko'rinadi:
x 3 + 3bx = d.
Vyet yaratuvchisi edi algebraik formulalar. R. Dekart (1637) algebra belgilariga zamonaviy ko'rinish berdi, noma'lumlarni latning oxirgi harflari bilan ifodalaydi. alifbo x, y, z, va ixtiyoriy ma'lumotlar qiymatlari - bosh harflar bilan a, b, c. Darajaning hozirgi rekordi unga tegishli. Dekartning yozuvlari barcha oldingilaridan katta ustunlikka ega edi. Shuning uchun ular tez orada universal e'tirofga sazovor bo'lishdi.
Keyingi rivojlanish Matematik belgilar cheksiz kichik analizning yaratilishi bilan chambarchas bog'liq edi, simvolizmning rivojlanishi uchun asosi allaqachon algebrada allaqachon tayyorlangan.
Ayrim matematik belgilarning kelib chiqish sanalari
| belgisi | ma'nosi | Kim kirdi | Kiritilganda |
| Shaxsiy ob'ektlarning belgilari | |||
| ¥ | cheksizlik | J. Uollis | 1655 |
| e | natural logarifmlar asosi | L. Eyler | 1736 |
| p | aylananing diametrga nisbati | V. Jons L. Eyler | 1706 |
| i | kvadrat ildiz -1 | L. Eyler | 1777 (1794 yilda chop etilgan) |
| i j k | birlik vektorlar, birlik vektorlar | V. Hamilton | 1853 |
| P(a) | parallellik burchagi | N.I. Lobachevskiy | 1835 |
| O'zgaruvchan ob'ektlarning belgilari | |||
| x,y,z | noma'lum yoki o'zgaruvchan miqdorlar | R. Dekart | 1637 |
| r | vektor | O. Koshi | 1853 |
| Belgilar individual operatsiyalar | |||
| + | qo'shimcha | Nemis matematiklari | 15-asr oxiri |
| – | ayirish |
||
| ´ | ko'paytirish | V. Outred | 1631 |
| × | ko'paytirish | G. Leybnits | 1698 |
| : | bo'linish | G. Leybnits | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | daraja | R. Dekart | 1637 |
| I. Nyuton | 1676 |
||
| | ildizlar | K. Rudolf | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Jurnal | logarifm | I. Kepler | 1624 |
| jurnal | B. Kavalyeri | 1632 |
|
| gunoh | sinus | L. Eyler | 1748 |
| cos | kosinus |
||
| tg | tangens | L. Eyler | 1753 |
| arc.sin | arksin | J. Lagrange | 1772 |
Sh | giperbolik sinus | V. Riccati | 1757 |
Ch | giperbolik kosinus |
||
| dx, ddx, … | differensial | G. Leybnits | 1675 (1684 yilda chop etilgan) |
d 2 x, d 3 x,… |
|||
| | integral | G. Leybnits | 1675 (1686 bosilgan) |
| | hosila | G. Leybnits | 1675 |
| ¦¢x | hosila | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| y' |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | farq | L. Eyler | 1755 |
| | qisman hosila | A. Legendre | 1786 |
| | aniq integral | J. Furye | 1819-22 |
| | so'm | L. Eyler | 1755 |
| P | ish | K. Gauss | 1812 |
| ! | faktorial | K. Crump | 1808 |
| |x| | modul | K. Weierstrass | 1841 |
| lim | chegara | V. Hamilton, ko'plab matematiklar | 1853, 20-asr boshlari |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta funktsiyasi | B. Riemann | 1857 |
| G | gamma funktsiyasi | A. Legendre | 1808 |
| IN | beta funktsiyasi | J. Binet | 1839 |
| D | delta (Laplas operatori) | R. Merfi | 1833 |
| Ñ | nabla (Hamilton operatori) | V. Hamilton | 1853 |
| O'zgaruvchan operatsiyalarning belgilari | |||
| jx | funktsiyasi | I. Bernuli | 1718 |
| f(x) | L. Eyler | 1734 |
|
| Shaxsiy munosabatlarning belgilari | |||
| = | tenglik | R. Rekord | 1557 |
| > | Ko'proq | T. Garriott | 1631 |
| < | Ozroq |
||
| º | solishtirish qobiliyati | K. Gauss | 1801 |
| | parallelizm | V. Outred | 1677 |
| ^ | perpendikulyarlik | P. Erigon | 1634 |
VA. Nyuton o'zining fluxion va fluents usulida (1666 va undan keyingi yillar) bir miqdorning (shakldagi) ketma-ket oqimlari (hosilalari) belgilarini kiritdi.
va cheksiz kichik o'sish uchun o. Biroz oldinroq J. Uollis (1655) ¥ cheksizlik belgisini taklif qildi.
Differensial va integral hisoblarning zamonaviy simvolizmining yaratuvchisi G. Leybnits. Xususan, u hozirda foydalanilgan Matematik belgilar farqlar
dx, d 2 x,d 3 x
va integral
Zamonaviy matematikaning ramziyligini yaratish uchun katta hissa L. Eyler. U (1734) oʻzgaruvchan amalning birinchi belgisini, yaʼni funksiya belgisini umumiy foydalanishga kiritdi. f(x) (Lotin functio dan). Eyler ishidan so'ng, trigonometrik funktsiyalar kabi ko'plab individual funktsiyalar uchun belgilar standart bo'lib qoldi. Eyler konstantalar yozuvining muallifi e(tabiiy logarifmlar asosi, 1736), p [ehtimol, yunoncha perijereia (periferiya) — doira, periferiya, 1736], xayoliy birlik
(frantsuz imaginaire dan - xayoliy, 1777, nashr 1794).
19-asrda ramziylikning roli ortib bormoqda. Bu vaqtda |x| mutlaq qiymat belgilari paydo bo'ladi. (TO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Koshi, 1853), aniqlovchi
(A. Kayli, 1841) va boshqalar. 19-asrda paydo boʻlgan koʻplab nazariyalarni, masalan, tenzor hisobini, tegishli simvolizmsiz ishlab chiqish mumkin emas edi.
Belgilangan standartlashtirish jarayoni bilan bir qatorda Matematik belgilar zamonaviy adabiyotda tez-tez uchratish mumkin Matematik belgilar, faqat ushbu tadqiqot doirasida alohida mualliflar tomonidan qo'llaniladi.
Matematik mantiq nuqtai nazaridan, orasida Matematik belgilar Quyidagi asosiy guruhlarni ajratib ko'rsatish mumkin: A) ob'ektlar belgilari, B) operatsiyalar belgilari, C) munosabatlar belgilari. Masalan, 1, 2, 3, 4 belgilari sonlarni, ya'ni arifmetika bilan o'rganiladigan ob'ektlarni ifodalaydi. Qo'shish belgisi + o'zi hech qanday ob'ektni bildirmaydi; u qaysi sonlar qoʻshilishi koʻrsatilganda mavzu mazmunini oladi: 1 + 3 belgisi 4 sonni bildiradi. > (katta) belgisi raqamlar orasidagi munosabat belgisidir. Munosabat belgisi qaysi ob'ektlar o'rtasida munosabat ko'rib chiqilishi ko'rsatilganda to'liq aniq mazmun oladi. Ro'yxatda keltirilgan uchta asosiy guruhga Matematik belgilar to‘rtinchisiga yondosh: D) asosiy belgilarning birikma tartibini o‘rnatuvchi yordamchi belgilar. Bunday belgilar haqida etarli tushuncha harakatlar tartibini ko'rsatadigan qavslar orqali berilgan.
Har birining belgilari uch guruh A), B) va C) ikki xil: 1) aniq belgilangan ob'ektlar, amallar va munosabatlarning individual belgilari, 2) "o'zgarmas" yoki "noma'lum" ob'ektlar, amallar va munosabatlarning umumiy belgilari.
Birinchi turdagi belgilarga misollar xizmat qilishi mumkin (shuningdek, jadvalga qarang):
A 1) natural sonlarning 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 belgilari; transsendental raqamlar e va p; xayoliy birlik i.
B 1) Arifmetik amallarning belgilari +, -, ·, ´,:; ildiz chiqarish, farqlash
to'plamlarning yig'indisi (birlashmasi) È va ko'paytmasi (kesishmasi) Ç belgilari; bunga individuallik belgilari ham kiradi vazifalari gunoh, tg, log va boshqalar.
1) Teng va tengsizlik belgilari =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Ikkinchi turdagi belgilar ixtiyoriy ob'ektlar, ma'lum bir sinfning operatsiyalari va munosabatlari yoki oldindan kelishilgan ba'zi shartlarga bog'liq bo'lgan ob'ektlar, operatsiyalar va munosabatlarni tasvirlaydi. Masalan, shaxsni yozishda ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 harf A Va b ixtiyoriy raqamlarni ifodalash; funktsional qaramlikni o'rganayotganda da = X 2 harf X Va y - berilgan munosabat bilan bog'langan ixtiyoriy sonlar; tenglamani yechishda
X bu tenglamani qanoatlantiradigan har qanday raqamni bildiradi (ushbu tenglamani echish natijasida biz ushbu shartga faqat ikkita mumkin bo'lgan +1 va -1 qiymatlari mos kelishini bilib olamiz).
Mantiqiy nuqtai nazardan, o'zgaruvchining "o'zgarish maydoni" bittadan iborat bo'lishi mumkinligidan qo'rqmasdan, matematik mantiqda odatiy bo'lganidek, bunday umumiy belgilarni o'zgaruvchilarning belgilari deb atash qonuniydir. ob'ekt yoki hatto "bo'sh" (masalan, tenglamalar bo'lsa, yechimsiz). Ushbu turdagi belgilarga qo'shimcha misollar bo'lishi mumkin:
A 2) Nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar va geometriyadagi harflar bilan murakkabroq geometrik figuralarning belgilanishi.
B 2) Belgilar f, , j funksiyalar va operator hisob yozuvlari uchun, bir harf bilan L masalan, shaklning ixtiyoriy operatorini ifodalaydi:
"O'zgaruvchan munosabatlar" belgilari kamroq tarqalgan, ular faqat matematik mantiqda qo'llaniladi (qarang. Mantiq algebrasi ) va nisbatan mavhum, asosan aksiomatik, matematik tadqiqotlarda.
Lit.: Cajori., Matematik yozuvlar tarixi, v. 1-2, Chi., 1928-29.
"So'zi haqida maqola Matematik belgilar Buyuk Sovet Entsiklopediyasida 40 088 marta o'qilgan
