Закон Гука формулюється так: сила пружності, що виникає при деформації тіла, внаслідок застосування сторонніх сил, пропорційно до його подовження. Деформація у свою чергу це зміна міжатомних або міжмолекулярних відстаней речовини під дією зовнішніх сил. Сила пружності це сила, яка прагне повернути ці атоми чи молекули у стан рівноваги.

Формула 1 – Закон Гука.

F – Сила пружності.

k - жорсткість тіла (Коефіцієнт пропорційності, який залежить від матеріалу тіла та його форми).

x - Деформація тіла (подовження або стиснення тіла).

Цей закон було відкрито Робертом Гуком 1660г. Він провів досвід, який полягав у тому, що. Тонка сталева струна була закріплена одним кінцем, а до другого кінця прикладалося різне зусилля. Простіше кажучи, струна була підвішена до стелі, і до неї прикладався вантаж різної маси.

Рисунок 1 – Розтягування струни під дією сили тяжіння.

В результаті досвіду Гук з'ясував, що в невеликих межах залежність розтягування тіла лінійна щодо сили пружність. Тобто при додатку одиниці сили тіло подовжується на одиницю довжини.

Малюнок 2 – Графік залежності сили пружності від подовження тіла.

Нуль на графіку це вихідна довжина тіла. Все, що праворуч це збільшення довжини тіла. Сила пружності при цьому має негативне значення. Тобто вона прагне повернути тіло у вихідний стан. Відповідно спрямована зустрічно деформуючою силою. Все, що зліва стиснення тіла. Сила пружності позитивна.

Розтягнення струни заздрості не лише від зовнішньої сили, а й від перерізу струни. Тонка струна ще якось розтягнеться від невеликої ваги. А от якщо взяти струну, тієї ж довжини, але діаметром скажемо в 1 м. То складно собі уявити, яка вага буде потрібно для її розтягування.

Для оцінки того, як сила діє на тіло певного перерізу, вводиться поняття нормальної механічної напруги.

Формула 2 - нормальна механічна напруга.

S-площа поперечного перерізу.

Ця напруга, зрештою, пропорційна відносному подовженню тіла. Відносне подовження це відношення збільшення довжини тіла до його загальної довжини. А коефіцієнт пропорційності називається модулем Юнга. Модуль тому що значення подовження тіла береться за модулем, без урахування знака. Не береться до уваги, коротшає тіло або подовжується. Важлива зміна його довжини.

Формула 3 – Модуль Юнга.

|e|- Відносне подовження тіла.

s- нормальна напруга тіла.

Законом Гуказазвичай називають лінійні співвідношення між компонентами деформацій та компонентами напруг.

Візьмемо елементарний прямокутний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним осям, навантажений нормальною напругою σ х, рівномірно розподіленим по двох протилежних гранях (рис. 1). При цьому σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.

До досягнення межі пропорційності відносне подовження дається формулою

де Емодуль пружності при розтягуванні. Для сталі Е = 2*10 5 МПатому деформації дуже малі і вимірюються у відсотках або в 1*10 5 (у тензометричних приладах, що вимірюють деформації).

Подовження елемента у напрямку осі хсупроводжується його звуженням у поперечному напрямку, що визначається компонентами деформацій

де μ - Константа, яка називається коефіцієнтом поперечного стиснення або коефіцієнтом Пуассона. Для сталі μ зазвичай приймається рівним 0,25-0,3.

Якщо аналізований елемент навантажений одночасно нормальними напругами σ x, σ y, σ z, рівномірно розподіленими за його межами, додаються деформації

Виробляючи накладення компонентів деформації, викликаних кожною з трьох напруг, отримаємо співвідношення

Ці співвідношення підтверджуються численними експериментами. Застосований метод накладанняабо суперпозиціїдля відшукання повних деформацій і напруг, викликаних декількома силами, є законним, поки деформації та напруги малі та лінійно залежать від прикладених сил. У таких випадках ми нехтуємо малими змінами розмірів тіла, що деформується, і малими переміщеннями точок застосування зовнішніх сил і засновуємо наші обчислення на початкових розмірах і початковій формітіла.

Слід зазначити, що з дещо переміщень ще не випливає лінійність співвідношень між силами та деформаціями. Так, наприклад, у стисненим силами Qстрижні, навантаженому додатково поперечною силою Рнавіть при малому прогині δ виникає додатковий момент М = Qδ, що робить завдання нелінійним. У таких випадках повні прогини не є лінійними функціямизусиль і неможливо знайти отримані з допомогою простого накладання (суперпозиції).

Експериментально встановлено, що якщо дотичні напруги діють по всіх гранях елемента, спотворення відповідного кута залежить тільки від відповідних компонентів дотичної напруги.

Константа Gназивається модулем пружності при зсуві або модулем зсуву.

Загальний випадок деформації елемента від дії на нього трьох нормальних та трьох дотичних компонентів напруг можна отримати за допомогою накладання: на три лінійні деформації, що визначаються виразами (5.2а), накладаються три деформації зсуву, що визначаються співвідношеннями (5.2б). Рівняння (5.2а) та (5.2б) визначають зв'язок між компонентами деформацій та напруг і називаються узагальненим законом Гука. Покажемо тепер, що модуль зсуву Gвиражається через модуль пружності при розтягуванні Ета коефіцієнт Пуассона μ . Для цього розглянемо окремий випадок, коли σ х = σ , σ y = -σ і σ z = 0.

Виріжемо елемент abcdплощинами, паралельними осі zта нахиленими під кутом 45° до осей хі у(Рис. 3). Як випливає з умов рівноваги елемента 0 bс, нормальні напруження σ vна всіх гранях елемента abcdрівні нулю, а дотичні напруги рівні

Такий напружений стан називається чистим зрушенням. З рівнянь (5.2а) випливає, що

тобто подовження горизонтального елемента 0 cі скорочення вертикального елемента 0 b: ε y = -ε x.

Кут між гранями аbі bcзмінюється, та відповідну величину деформації зсуву γ можна знайти з трикутника 0 bс:

Звідси випливає, що

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1) Що називається деформацією? Які види деформацій ви знаєте?

Деформація- Зміна відносного положення частинок тіла, пов'язане з їх переміщенням. Деформація є результатом зміни міжатомних відстаней і перегрупування блоків атомів. Зазвичай деформація супроводжується зміною величин міжатомних сил, мірою якого є пружна напруга.

Види деформацій:

Розтягування-стиск- в опорі матеріалів - вид поздовжньої деформації стрижня або бруса, що виникає в тому випадку, якщо навантаження до нього прикладається по його поздовжній осі (рівнодіюча сил, що впливають на нього, нормальна поперечного перерізу стрижня і проходить через центр мас).

Розтягнення викликає подовження стрижня (також можливий розрив та залишкова деформація), стиск викликає укорочення стрижня (можлива втрата стійкості та виникнення поздовжнього вигину).

Вигин- вид деформації, у якому відбувається викривлення осей прямих брусів чи зміна кривизни осей кривих брусів. Вигин пов'язаний з виникненням у поперечних перерізах бруса згинальних моментів. Прямий згин виникає у разі, коли згинальний момент у цьому поперечному перерізі бруса діє у площині, що проходить через одну з головних центральних осей інерції цього перерізу. У разі коли площина дії згинального моменту в даному поперечному перерізі бруса не проходить ні через одну з головних осей інерції цього перерізу, називається косим.

Якщо при прямому або косому згині в поперечному перерізі бруса діє тільки згинальний момент, то є чистий прямий або чистий косий вигин. Якщо в поперечному перерізі діє також і поперечна сила, є поперечний прямий або поперечний косий вигин.

Кручення- один із видів деформації тіла. Виникає у разі, якщо навантаження прикладається до тілу як пари сил (моменту) у його поперечної площині. При цьому в поперечних перерізах тіла виникає лише один внутрішній силовий фактор - момент, що крутить. На крутіння працюють пружини розтягування-стискання та вали.

Види деформації твердого тіла. Деформація пружна та пластична.

Деформаціятвердого тіла може бути наслідком фазових перетворень, пов'язаних зі зміною об'єму, теплового розширення, намагнічування (магнітострикційний ефект), появи електричного заряду(п'єзоелектричний ефект) або результатом дії зовнішніх сил.

Деформація називається пружною, якщо вона зникає після видалення навантаження, що викликало її, і пластичної, якщо після зняття навантаження вона не зникає (принаймні повністю). Всі реальні тверді тіла при деформації більшою чи меншою мірою мають пластичні властивості. За деяких умов пластичними властивостями тіл можна знехтувати, як і робиться в теорії пружності. Тверде тіло з достатньою точністю можна вважати пружним, тобто таким, що не виявляє помітних пластичних деформацій, поки навантаження не перевищить деякої межі.

Природа пластичної деформації може бути різною залежно від температури, тривалості навантаження або швидкості деформації. При постійному прикладеному до тіла навантаженні деформація змінюється з часом; це явище називається повзучістю. Зі зростанням температури швидкість повзучості збільшується. Приватними випадками повзучості є релаксація та пружна післядія. Однією з теорій, що пояснюють механізм пластичної деформації, є теорія дислокацій у кристалах.

Висновок закону Гука для різноманітних видів деформації.

Чисте зрушення: Чисте кручення:

4) Що називається модулем зсуву та модулем кручення, в чому їх фізичний сенс?

Модуль зсувуабо модуль жорсткості (G або μ) характеризує здатність матеріалу чинити опір зміні форми при збереженні його обсягу; він визначається як відношення напруги зсуву до деформації зсуву, яка визначається як зміна прямого кутаміж площинами, якими діють дотичні напруги). Модуль зсуву є одним із складових явища в'язкості.

Модуль зсуву: Модуль кручення:

5) Яким є математичний вираз закону Гука? У яких одиницях вимірюються модуль пружності та напруга?

Вимірюється в Па, - закон Гука

Міністерство освіти АР Крим

Таврійський Національний Університет ім. Вернадського

Дослідження фізичного закону

ЗАКОН ГУКУ

Виконав: студент 1 курсу

фізичного факультету гр. Ф-111

Потапов Євген

Сімферополь-2010

План:

Зв'язок між якими явищами чи величинами виражає закон.

Формулювання закону

Математичний вираз закону.

Як було відкрито закон: з урахуванням досвідчених даних чи теоретично.

Досвідчені факти на основі якого було сформульовано закон.

Досліди, що підтверджують справедливість закону, сформульованого з урахуванням теорії.

Приклади використання закону та обліку дії закону на практиці.

Література

Зв'язок між якими явищами чи величинами виражає закон:

Закон Гука пов'язує такі явища, як напруга та деформацію твердого тіла, модуль сили пружності та подовження. Модуль сили пружності, що виникає при деформації тіла, пропорційний до його подовження. Подовженням називається характеристика деформативності матеріалу, що оцінюється збільшення довжини зразка з цього матеріалу при розтягуванні. Сила пружності - сила, що виникає при деформації тіла і протидіє цій деформації. Напруга - це міра внутрішніх сил, що виникають у тілі, що деформується, під впливом зовнішніх впливів. Деформація - зміна взаємного становища частинок тіла, що з їх переміщенням друг щодо друга. Ці поняття пов'язані з так званим коефіцієнтом жорсткості. Він залежить від пружних властивостей матеріалу та розмірів тіла.

Формулювання закону:

Закон Гу́ка - рівняння теорії пружності, що зв'язує напругу та деформацію пружного середовища.

Формулювання закону - сила пружності прямо пропорційна деформації.

Математичний вираз закону:

Для тонкого розтягненого стрижня закон Гука має вигляд:

Тут Fсила натягу стрижня, Δ l- його подовження (стиснення), а kназивається коефіцієнтом пружності(або твердістю). Мінус у рівнянні вказує на те, що сила натягу завжди спрямована у бік, протилежний до деформації.

Якщо ввести відносне подовження

та нормальна напруга в поперечному перерізі

то закон Гука запишеться так

У такій формі він справедливий для будь-яких малих обсягів речовини.

У випадку напруги і деформації є тензорами другого рангу в тривимірному просторі (мають по 9 компонент). Тензор пружних постійних, що їх пов'язує, є тензором четвертого рангу. C ijklта містить 81 коефіцієнт. Внаслідок симетрії тензора C ijkl, а також тензорів напруг та деформацій, незалежними є лише 21 постійна. Закон Гука виглядає так:

де σ ij- тензор напруг, - тензор деформацій. Для ізотропного матеріалу тензор C ijklмістить лише два незалежні коефіцієнти.

Як було відкрито закон: з урахуванням досвідчених даних чи теоретично:

Закон було відкрито 1660 року англійським ученим Робертом Гуком (Хуком) з урахуванням спостережень та експериментів. Відкриття, як стверджував Гук у своєму творі De potentia restitutiva, опублікованому в 1678, зроблено ним за 18 років до цього часу, а в 1676 було поміщено в іншій його книзі під виглядом анаграми ceiiinosssttuv, що означає Ut tensio sic vis . За поясненням автора, вищесказаний закон пропорційності застосовується не тільки до металів, а й до дерева, каменів, рогу, кісток, скла, шовку, волосся та ін.

Досвідчені факти на основі яких було сформульовано закон:

Історія про це замовчує.

Досліди, що підтверджують справедливість закону, сформульованого на основі теорії:

Закон сформульовано з урахуванням досвідчених даних. Дійсно, при розтягуванні тіла (дроту) з певним коефіцієнтом жорсткості kна відстань Δ l,то їх добуток дорівнює по модулю силі, що розтягує тіло (дроту). Таке співвідношення виконуватиметься, однак, не для всіх деформацій, а для невеликих. За великих деформацій закон Гука перестає діяти, тіло руйнується.

Приклади використання закону та обліку дії закону на практиці:

Як випливає із закону Гука, за подовженням пружини можна судити про силу, що діє на неї. Цей факт використовується для вимірювання сил за допомогою динамометра – пружини з лінійною шкалою, проградуйованою на різні значення сил.

Література

1. Інтернет-ресурси: - сайт Вікіпедія (http://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 %D0%BA%D0%B0).

2. підручник з фізики Перишкін А.В. 9 клас

3. підручник із фізики В.А. Касьянов 10 клас

4. лекції з механіки Рябушкін Д.С.

Види деформацій

Деформацієюназивають зміну форми, розмірів чи об'єму тіла. Деформація може бути викликана дією на тіло доданих щодо нього зовнішніх сил. Деформації, що повністю зникають після припинення дії на тіло зовнішніх сил, називають пружними, а деформації, що зберігаються і після того, як зовнішні сили перестали діяти на тіло, - пластичними. Розрізняють деформації розтягуванняабо стиснення(одностороннього або всебічного), вигину, крученняі зсуву.

Сили пружності

При деформаціях твердого тіла його частинки (атоми, молекули, іони), що у вузлах кристалічних ґрат, Зміщуються зі своїх положень рівноваги. Цьому зміщенню протидіють сили взаємодії між частинками твердого тіла, що утримують ці частинки на певній відстані один від одного. Тому за будь-якого виду пружної деформації в тілі виникають внутрішні сили, що перешкоджають його деформації.

Сили, що виникають у тілі при його пружній деформації та спрямовані проти спрямування зміщення частинок тіла, що викликається деформацією, називають силами пружності. Сили пружності діють у будь-якому перерізі деформованого тіла, а також у місці його контакту з тілом, що викликає деформацію. У разі одностороннього розтягування або стиснення сила пружності спрямована вздовж прямої, за якою діє зовнішня сила, що викликає деформацію тіла, протилежно напрямку цієї сили і перпендикулярно поверхні тіла. Природа пружних сил є електричною.

Ми розглянемо випадок виникнення сил пружності при односторонньому розтягуванні та стисканні твердого тіла.

Закон Гука

Зв'язок між силою пружності та пружною деформацією тіла (при малих деформаціях) був експериментально встановлений сучасником Ньютона англійським фізиком Гуком. Математичний вираззакону Гука для деформації одностороннього розтягування (стиснення) має вигляд:

де f – сила пружності; х – подовження (деформація) тіла; k - коефіцієнт пропорційності, що залежить від розмірів та матеріалу тіла, званий жорсткістю. Одиниця жорсткості в СІ – ньютон на метр (Н/м).

Закон Гукадля одностороннього розтягування (стиснення) формулюють так: сила пружності, що виникає під час деформації тіла, пропорційна подовженню цього тіла.

Розглянемо досвід, що ілюструє закон Гука. Нехай вісь симетрії циліндричної пружини збігається із прямою Ах (рис. 20, а). Один кінець пружини закріплений в опорі в точці А, а другий вільний і до нього прикріплено тіло М. Коли пружина не деформована, її вільний кінець знаходиться в точці С. Цю точку прийме початок відліку координати х, що визначає положення вільного кінця пружини.

Розтягнемо пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці D, координата якої х > 0: У цій точці пружина діє на тіло М пружною силою

Стиснем тепер пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці В, координата якої х

З малюнка видно, що проекція сили пружності пружини на вісь Ах має знак, протилежний знаку координати х, оскільки сила пружності спрямовано завжди до положення рівноваги З. На рис. 20 б зображений графік закону Гука. На осі абсцис відкладають значення подовження пружини, але в осі ординат - значення сили пружності. Залежність fх від х лінійна, тому графік є пряму, що проходить через початок координат.

Розглянемо ще один досвід.

Нехай один кінець тонкого сталевого дроту закріплений на кронштейні, а до іншого кінця підвішений вантаж, вага якого є зовнішньою силою F, що розтягує, що діє на дріт перпендикулярно її поперечному перерізу (рис. 21).

Дія цієї сили на дріт залежить як від модуля сили F, а й від площі поперечного перерізу дроту S.

Під дією доданої до неї зовнішньої сили дріт деформується, розтягується. При невеликому розтягуванні ця деформація є пружною. У пружно деформованому дроті виникає сила пружності f уп. Згідно з третім законом Ньютона, сила пружності дорівнює за модулем і протилежна за напрямом зовнішньої сили, що діє тіло, тобто.

f уп = -F (2.10)

Стан пружно деформованого тіла характеризують величиною s, званої нормальною механічною напругою(або, для стислості, просто нормальною напругою). Нормальна напруга s дорівнює відношенню модуля сили пружності до площі поперечного перерізу тіла:

s = f уп /S (2.11)

Нехай початкова довжина нерозтягнутого дроту становила L0. Після застосування сили F дріт розтягнувся і його довжина стала рівною L. Величину DL = L - L 0 називають абсолютним подовженням дроту. Величину e = DL/L 0 (2.12) називають відносним подовженням тіла. Для деформації розтягування e>0, для деформації стиснення e< 0.

Спостереження показують, що при невеликих деформаціях нормальна напруга s пропорційно до відносного подовження e:

s = E | e |. (2.13)

Формула (2.13) є одним із видів запису закону Гука для одностороннього розтягування (стиснення). У цій формулі відносне подовження взято по модулю, оскільки воно може бути позитивним і негативним. Коефіцієнт пропорційності Е у законі Гука називається модулем поздовжньої пружності (модулем Юнга).

Встановимо фізичний зміст модуля Юнга. Як видно з формули (2.12), e = 1 та L = 2L 0 при DL = L 0 . З формули (2.13) випливає, що в цьому випадку s = Е. Отже, модуль Юнга чисельно дорівнює такій нормальній напрузі, яка мала б виникнути в тілі зі збільшенням його довжини в 2 рази. (Якби для такої великої деформації виконувався закон Гука). З формули (2.13) видно також, що СІ модуль Юнга виражають у паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).