Системі нерівностей.
Приклад 1. Знайти область визначення виразу
Рішення.Під знаком квадратного коренямає бути невід'ємне числоотже, повинні одночасно виконуватися дві нерівності: У таких випадках кажуть, що завдання зводиться до розв'язання системи нерівностей

Але з такою математичною моделлю(системою нерівностей) ми ще зустрічалися. Отже, рішення прикладу ми поки що не в змозі довести до кінця.

Нерівності, що утворюють систему, поєднуються фігурною дужкою (так само і в системах рівнянь). Наприклад, запис

означає, що нерівності 2х - 1 > 3 і Зх - 2< 11 образуют систему неравенств.

Іноді використовується запис системи нерівностей як подвійного нерівності. Наприклад, систему нерівностей

можна записати у вигляді подвійної нерівності 3<2х-1<11.

В курсі алгебри 9-го класу ми розглядатимемо лише системи з двох нерівностей.

Розглянемо систему нерівностей

Можна підібрати кілька її окремих рішень, наприклад х = 3, х = 4, х = 3,5. Справді, при х = 3 перша нерівність набуває вигляду 5 > 3, а друга - виду 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

У той самий час значення х = 5 є рішенням системи нерівностей. При х = 5 перша нерівність набуває вигляду 9 > 3 - вірна числова нерівність, а друге - вид 13< 11- неверное числовое неравенство .
Вирішити систему нерівностей - значить знайти всі її особисті рішення. Зрозуміло, що таке вгадування, яке продемонстровано вище, – не метод розв'язання системи нерівностей. У наступному прикладі ми покажемо, як зазвичай міркують під час вирішення системи нерівностей.

приклад 3.Вирішити систему нерівностей:

Рішення.

а)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо 2х > 4, х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо Зх< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
б)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо Зазначимо ці проміжки на одній координатній прямій, використавши для першого проміжку верхнє штрихування, а для другого - нижнє штрихування (рис. 23). Рішенням системи нерівностей буде перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. У прикладі, що розглядається, отримуємо промінь

в)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Узагальнемо міркування, проведені у розглянутому прикладі. Припустимо, що нам потрібно вирішити систему нерівностей

Нехай, наприклад, інтервал (а, b) є розв'язком нерівності fх 2 > g(х), а інтервал (с, d) - розв'язанням нерівності f 2 (х) > s 2 (х). Зазначимо ці проміжки на одній координатній прямій, використавши для першого проміжку верхнє штрихування, а для другого - нижнє штрихування (рис. 25). Рішенням системи нерівностей є перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. На рис. 25 це інтервал (b).

Тепер ми без особливих зусиль зможемо вирішити систему нерівностей, яку отримали вище, у прикладі 1:

Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо х< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Зрозуміло, система нерівностей не обов'язково повинна складатися з лінійних нерівностей, як було досі; можуть зустрітися будь-які раціональні (і не лише раціональні) нерівності. Технічно робота із системою раціональних нелінійних нерівностей, звичайно, складніша, але принципово нового (порівняно з системами лінійних нерівностей) тут нічого немає.

приклад 4.Розв'язати систему нерівностей

Рішення.

1) Вирішимо нерівність Маємо
Зазначимо точки -3 і 3 на числовій прямій (рис. 27). Вони розбивають пряму втричі проміжку, причому кожному проміжку вираз р(х) = (х- 3)(х + 3) зберігає постійний знак - ці знаки вказані на рис. 27. Нас цікавлять проміжки, у яких виконується нерівність р(х) > 0 (вони заштриховані на рис. 27), і точки, у яких виконується рівність р(х) = 0, тобто. точки х = -3, х = 3 (вони позначені на рис. 27 темними кружечками). Отже, на рис. 27 представлена ​​геометрична модель розв'язання першої нерівності.

2) Вирішимо нерівність Маємо
Зазначимо точки 0 і 5 на числовій прямій (рис. 28). Вони розбивають пряму на три проміжки, причому на кожному проміжку вираз<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >(заштриховано на рис. 28), і точки, в яких виконується рівність g (х) - О, тобто. точки х = 0, х = 5 (вони позначені на рис. 28 темними кружальцями). Отже, на рис. 28 представлена ​​геометрична модель розв'язання другої нерівності системи.

3) Зазначимо знайдені розв'язки першої та другої нерівностей системи на одній координатній прямій, використавши для розв'язання першої нерівності верхню штрихування, а для розв'язання другої - нижню штрихування (рис. 29). Рішенням системи нерівностей буде перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. Таким проміжком є ​​відрізок.

Приклад 5.Вирішити систему нерівностей:

Рішення:

а)З першої нерівності знаходимо x >2. Розглянемо другу нерівність. Квадратний тричленх 2 + х + 2 не має дійсних коренів, А його старший коефіцієнт (коефіцієнт при х 2) позитивний. Отже, за всіх х виконується нерівність х 2 + х + 2>0, тому друга нерівність системи немає рішень. Що це означає для системи нерівностей? Це означає, що система немає рішень.

б)З першої нерівності знаходимо x > 2, а друга нерівність виконується за будь-яких значень х. Що це означає для системи нерівностей? Це означає, що його рішення має вигляд х>2, тобто. збігається з розв'язанням першої нерівності.

Відповідь:

а) немає рішень; б) x >2.

Цей приклад є ілюстрацією для таких корисних

1. Якщо в системі з кількох нерівностей з однією змінною одна нерівність не має розв'язків, то й система не має розв'язків.

2. Якщо в системі з двох нерівностей з однією змінною одна нерівність виконується за будь-яких значень змінної , то рішенням системи є рішення другої нерівності системи.

Завершуючи цей параграф, повернемося до наведеної на його початку завдання про задумане число і вирішимо її, як кажуть, за всіма правилами.

Приклад 2(Див. с. 29). Задумано натуральне число. Відомо, що якщо до квадрата задуманого числа додати 13, то сума буде більша за добуток задуманого числа і числа 14. Якщо ж до квадрата задуманого числа додати 45, то сума буде менше творузадуманого числа та числа 18. Яке число задумано?

Рішення.

Перший етап. Складання математичної моделі.
Задумане число х, як ми бачили вище, повинне задовольняти системі нерівностей

Другий етап. Робота зі складеною математичною моделлю. Перетворимо першу нерівність системи до виду
х2-14x+ 13 > 0.

Знайдемо коріння тричлена х 2 - 14x + 13: х 2 = 1, х 2 = 13. За допомогою параболи у = х 2 - 14x + 13 (рис. 30) робимо висновок, що нерівність, що цікавить нас, виконується при x< 1 или x > 13.

Перетворимо другу нерівність системи до виду х2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Наприклад:

\(\begin(cases)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end(cases)\)

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

\(\begin(cases)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Вирішення системи нерівностей

Щоб розв'язати систему нерівностейНеобхідно визначити значення іксів, які підійдуть всім нерівностям у системі – це отже, що вони виконуються одночасно.

приклад. Вирішимо систему \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
Рішення: Перша нерівність стає вірною, якщо ікс більше (4). Тобто, розв'язання першої нерівності – всі значення іксів з ((4; infty)), або на числовій осі:

Другій нерівності підійдуть значення іксів менші ніж 7, тобто будь-який ікс з інтервалу \((-\infty;7]\) або на числовій осі:

А які значення підійдуть обом нерівностям? Ті, що належать обом проміжкам, тобто де проміжки перетинаються.

Відповідь: \((4;7]\)

Як ви могли помітити для перетину розв'язків нерівностей у системі зручно використовувати числові осі.

Загальний принцип розв'язання систем нерівностей:Необхідно визначити рішення кожної нерівності, та був перетнути ці рішення з допомогою числової прямий.

Приклад:(Завдання з ОДЕ)Вирішити систему \(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Рішення:

\(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Давайте кожну нерівність вирішимо окремо від іншої.
	Перевернем нерівність, що вийшла.
	Поділимо всю нерівність на (2).
	Запишемо відповідь для першої нерівності.
\(x∈(-∞;4)\)	Тепер вирішимо другу нерівність.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Нерівність вже в ідеальному вигляді для застосування.
	Запишемо відповідь для другої нерівності.
	Об'єднаємо обидва рішення за допомогою числових осей.
	Випишемо у відповідь проміжок, на якому є рішення обох нерівностей - і першої, і другої.

Відповідь: \((-8;4)\)

Приклад:(Завдання з ОДЕ)Вирішити систему \(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)

Рішення:

\(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)	Знову вирішуватимемо нерівності окремо.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\) \(≥0\)	Якщо вас налякав знаменник – не бійтеся, зараз ми його приберемо. Справа в тому, що (3 + (5-2x) ^ 2) - завжди позитивний вираз. Посудіть самі: \((5-2x)^2 \)через квадрат або позитивно, або дорівнює нулю. \((5-2x)^2+3\) - точно позитивно. Отже нерівність можна сміливо множити на \(3+(5-2x)^2\)
	Перед нами звичайне - виразимо (x). Для цього перенесемо (10) у праву частину.
	Поділимо нерівність на (-2). Оскільки число негативне змінюємо знак нерівності.
	Зазначимо рішення на числовій прямій.
	Запишемо відповідь до першої нерівності.
\(x∈(-∞;5]\)	На цьому етапі головне не забути, що є друга нерівність.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Знову лінійна нерівність – знову виражаємо (x).
\(-7x+3x≤14-2\)	Наводимо подібні доданки.
	Ділимо всю нерівність на (-4), перевернувши при цьому знак.
	Зобразимо рішення на числовій осі та випишемо відповідь для цієї нерівності.
\(x∈[-3;∞)\)	А тепер об'єднаємо рішення.
	Запишемо відповідь.

Відповідь: \([-3;5]\)

Приклад: Вирішити систему \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Рішення:

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Вирішення нерівності з двома змінними, а тим більше системи нерівностей із двома змінними, Видається досить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко і без особливих зусиль вирішувати, на перший погляд, дуже складні завдання такого роду. Спробуємо розібратися в ньому.

Нехай ми маємо нерівність із двома змінними одного з наступних видів:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Для зображення безлічі розв'язків такої нерівності на координатної площининадходять у такий спосіб:

1. Будуємо графік функції y = f(x), який розбиває площину дві області.

2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей та розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідної нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильна числова нерівність, то укладаємо, що вихідна нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Отже, безліччю розв'язків нерівності – область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить неправильна числова нерівність, то безліч рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), не включають безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність несувора, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), включають безліч рішень даної нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Яка безліч точок задається нерівністю x · y ≤ 4?

Рішення.

1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x у даному випадку не звертається до 0, тому що інакше ми б мали 0 · y = 4, що неправильно. Отже, можемо поділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4/x. Графіком цієї функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи та ту, що зовні їх.

2) Виберемо з першої області довільну точку, хай це буде точка (4; 2).
Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 – неправильно.

Отже, точки даної області не задовольняють вихідну нерівність. Тоді можемо дійти невтішного висновку у тому, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3) Оскільки нерівність несувора, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4/x, малюємо суцільною лінією.

Зафарбуємо безліч точок, що задає вихідну нерівність, жовтим кольором (Рис. 1).

Завдання 2.

Зобразити область, задану на координатній площині системою
(Y> x 2 + 2;
(y + x> 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій (Рис. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – пряма

x 2 + y 2 = 9 – коло.

1) y> x 2 + 2.

Беремо точку (0; 5), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 5 > 0 2 + 2 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першу нерівність системи. Зафарбувати їх жовтим кольором.

2) y + x > 1.

Беремо точку (0; 3), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 3 + 0 > 1 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму y + x = 1, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх зеленою штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Беремо точку (0; -4), що лежить поза колом x 2 + y 2 = 9.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 9, не задовольняють третю нерівність системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбуємо їх фіолетовим штрихуванням.

Не забуваємо у тому, що й нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (Рис. 3).

(Рис. 4).

Завдання 3.

Зобразити область, задану на координатній площині системою:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій:

x 2 + y 2 = 16 – коло,

x = -y - Пряма

x 2 + y 2 = 4 – коло (рис. 5).

Тепер розбираємося з кожною нерівністю окремо.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Беремо точку (0; 0), що лежить усередині кола x 2 + y 2 = 16.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 16, задовольняють першу нерівність системи.
Зафарбуємо їх червоним штрихуванням.

Беремо точку (1; 1), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 1 ≥ -1 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму x = -y, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх синім штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Беремо точку (0; 5), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 4.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 4, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбувати їх блакитним кольором.

У цій задачі всі нерівності несуворі, отже, всі межі малюємо суцільною лінією. Отримуємо наступну картинку (Рис. 6).

Шукана область - це область, де всі три розфарбовані області перетинаються один з одним (рис 7).

Залишились питання? Не знаєте, як вирішити систему нерівностей із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

На цьому уроці ми розпочнемо вивчення систем нерівностей. Спочатку розглядатимемо системи лінійних нерівностей. На початку уроку розглянемо, звідки і для чого виникають системи нерівностей. Далі вивчимо, що означає вирішити систему, і згадаємо об'єднання та перетин множин. Насамкінець вирішуватимемо конкретні приклади на системи лінійних нерівностей.

Тема: Раціональні нерівності та їх системи

Урок:ОсновніПоняття, розв'язання систем лінійних нерівностей

Досі ми вирішували окремі нерівності та застосовували до них метод інтервалів, це могли бути і лінійні нерівності, і квадратні та раціональні. Тепер перейдемо до вирішення систем нерівностей – спочатку лінійних систем. Подивимося з прикладу, звідки береться необхідність розглядати системи нерівностей.

Знайти область визначення функції

Знайти область визначення функції

Функція існує, коли існують обидва квадратні корені, тобто.

Як вирішувати таку систему? Необхідно знайти всі x, що задовольняють і першу і другу нерівність.

Зобразимо на осі ox безліч розв'язків першої та другої нерівності.

Проміжок перетину двох променів і є наше рішення.

Такий метод зображення розв'язання системи нерівностей іноді називають методом дахів.

Рішенням системи є перетин двох множин.

Зобразимо це графічно. Маємо безліч А довільної природи і безліч Довільної природи, які перетинаються.

Визначення: Перетином двох множин А і В називається така третя множина, яка складається з усіх елементів, що входять і в А і В.

Розглянемо на конкретних прикладах розв'язання лінійних систем нерівностей, як знаходити перетину множин рішень окремих нерівностей, що входять до системи.

Вирішити систему нерівностей:

Відповідь: (7; 10].

4. Вирішити систему

Звідки може взятися друга нерівність системи? Наприклад, з нерівності

Графічно позначимо розв'язання кожної нерівності та знайдемо проміжок їхнього перетину.

Таким чином, якщо ми маємо систему, в якій одна з нерівностей задовольняє будь-яке значення x, то її можна виключити.

Відповідь: система суперечлива.

Ми розглянули типові опорні завданнядо яких зводиться рішення будь-якої лінійної системи нерівностей.

Розглянемо таку систему.

7.

Іноді лінійна система задається подвійною нерівністю, розглянемо такий випадок.

8.

Ми розглянули системи лінійних нерівностей, зрозуміли, звідки з'являються, розглянули типові системи, яких зводяться все лінійні системиі вирішили деякі з них.

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.

2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.

1. Портал Природних наук ().

2. Електронний навчально-методичний комплексдля підготовки 10-11 класів до вступним іспитамз інформатики, математики, російської мови ().

4. Центр освіти "Технологія навчання" ().

5. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. № 53; 54; 56; 57.

Урок та презентація на тему: "Системи нерівностей. Приклади рішень"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Інтерактивний навчальний посібник для 9 класу "Правила та вправи з геометрії"
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів

Система нерівностей

Хлопці, ви вивчили лінійні та квадратні нерівності, навчилися вирішувати завдання на ці теми Тепер перейдемо до нового поняття в математиці – система нерівностей. Система нерівностей схожа систему рівнянь. Ви пам'ятаєте системи рівнянь? Системи рівнянь ви вивчали у сьомому класі, спробуйте згадати, як ви їх вирішували.

Введемо визначення системи нерівностей.
Декілька нерівностей з деякою зміною х утворюють систему нерівностей, якщо потрібно знайти всі значення х, при яких кожна з нерівностей утворює вірне числове вираз.

Будь-яке значення x, у яких кожна нерівність приймає правильне числове вираз, є рішенням нерівності. Також може називатися приватним рішенням.
А що є особисте рішення? Наприклад, у відповіді ми отримали вираз х>7. Тоді х = 8, або х = 123, або якесь інше число більше семи - приватне рішення, а вираз х> 7 - загальне рішення. Загальне рішення утворюється безліччю приватних рішень.

Як ми поєднували систему рівнянь? Правильно, фігурною дужкою, отож з нерівностями надходять також. Давайте розглянемо приклад системи нерівностей: $\begin(cases)x+7>5\x-3
Якщо система нерівностей складається з однакових виразів, наприклад, $\begin(cases)x+7>5\x+7
То що означає: знайти рішення системи нерівностей?
Розв'язання нерівності – це безліч приватних розв'язків нерівності, які задовольняють відразу обох нерівностей системи.

Загальний вид системи нерівностей запишемо у вигляді $\begin(cases)f(x)>0\g(x)>0\end(cases)$

Позначимо $Х_1$ – загальне розв'язання нерівності f(x)>0.
$Х_2$ – загальне розв'язання нерівності g(x)>0.
$Х_1$ і $Х_2$ - це безліч приватних рішень.
Розв'язанням системи нерівностей будуть числа, що належать як $Х_1$, так і $Х_2$.
Давайте згадаємо операції над безліччю. Як нам знайти елементи множини, що належать відразу обом множинам? Правильно для цього є операція перетину. Отже, розв'язанням нашої нерівності буде безліч $А= Х_1∩ Х_2$.

Приклади розв'язування систем нерівностей

Давайте подивимося приклади розв'язання систем нерівностей.

Розв'яжіть систему нерівностей.
а) $\begin(cases)3x-1>2\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\-x-4
Рішення.
а) Вирішимо кожну нерівність окремо.
$3х-1>2; \; 3x>3; \; x> 1 $.
$5x-10
Зазначимо наші проміжки на одній координатній прямій.

Рішенням системи буде відрізок перетину наших проміжків. Нерівність сувора, тоді відрізок буде відкритим.
Відповідь: (1; 3).

Б) Також вирішимо кожну нерівність окремо.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4 -5$.


Рішенням системи буде відрізок перетину наших проміжків. Друга нерівність сувора, тоді відрізок буде відкритим ліворуч.
Відповідь: (-5; 5].

Давайте узагальним отримані знання.
Допустимо, необхідно вирішити систему нерівностей: $\begin(cases)f_1(x)>f_2(x)\g_1(x)>g_2(x)\end(cases)$.
Тоді, інтервал ($x_1; x_2$) – рішення першої нерівності.
Інтервал ($y_1; y_2$) – вирішення другої нерівності.
Вирішення системи нерівностей – є перетин рішень кожної нерівності.

Системи нерівностей можуть складатися з нерівностей як першого порядку, а й будь-яких інших видів нерівностей.

Важливі правила під час вирішення систем нерівностей.
Якщо одне з нерівностей системи немає рішень, те й система немає рішень.
Якщо одне з нерівностей виконується будь-яких значень зміною, то розв'язанням системи буде розв'язання іншої нерівності.

приклади.
Розв'язати систему нерівностей:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Рішення.
Вирішимо кожну нерівність окремо.
$ x ^ 2-16> 0 $.
$(x-4)(x+4)>0$.

Розв'яжемо другу нерівність.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Розв'язанням нерівності буде проміжок.
Намалюємо обидва проміжки на одній прямій і знайдемо перетин.
Перетин проміжків - відрізок (4; 6].
Відповідь: (4; 6].

Вирішити систему нерівностей.
а) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases ) $.

Рішення.
а) Перша нерівність має розв'язання х>1.
Знайдемо дискримінант для другої нерівності.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Згадаймо правило, коли одна з нерівностей не має розв'язків, то вся система не має розв'язків.
Відповідь: Немає рішень.

Б) Перша нерівність має розв'язання х>1.
Друга нерівність більша за нуль при всіх х. Тоді рішення системи збігається з рішенням першої нерівності.
Відповідь: х>1.

Завдання на системи нерівностей для самостійного розв'язання

Розв'яжіть системи нерівностей:
а) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 б) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin(cases)x^2-25 г) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\xx2-17x+60≥0 \end(cases)$
д) $\begin(cases)x^2+36