Площа поверхні правильної піраміди. Площа повної поверхні піраміди

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа такої поверхні геометричного тіласкладеться із суми площ основи та всієї його бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

З шкільного курсувідомо:

площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний коріньіз трьох.

Але існує і загальна формуладля розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r.

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площу поверхні піраміди, що шукається: Sп= Sо+ Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.

Повна площа бічної поверхні піраміди складається із суми площ його бічних граней.

У чотирикутній піраміді розрізняється два види граней – чотирикутник в основі та трикутники із загальною вершиною, якою утворюють бічну поверхню.
Для початку потрібно розрахувати площу бічних граней. Для цього можна використовувати формули площі трикутника, а також можна скористатися формулою площі поверхні чотирикутної піраміди (тільки у випадку, якщо багатогранник правильний). Якщо піраміда правильна і в ній відома довжина ребра a основи та проведеної до нього апофеми h , то:

Якщо за умовами дано довжина ребра c правильної піраміди і довжина сторони основи a можна знайти значення за наступною формулою:

Якщо ж дана довжина ребра на підставі та протилежний їй гострий куту вершини, то можна розрахувати площу бічної поверхні за співвідношенням квадрата сторони a до подвоєного косинус половини кута α :

Розглянемо приклад розрахунку площі поверхні чотирикутної піраміди через бічне ребро та бік основи.

Завдання: нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Довжина ребра b = 7 см, довжина сторони основи a = 4 см. задані значенняу формулу:

Ми показали розрахунки площі однієї бічної грані для правильної піраміди. Відповідно. Щоб знайти площу всієї поверхні, необхідно помножити результат на кількість граней, тобто на 4. Якщо піраміда довільна і її грані не рівні між собою, то розрахувати площу необхідно для кожної окремої сторони. Якщо в основі лежить прямокутник або паралелограм, варто згадати їх властивості. Сторони цих фігур попарно паралельні, відповідно грані піраміди будуть також попарно однакові.
Формула площі основи чотирикутної піраміди безпосередньо залежить від того, який чотирикутник лежить у основі. Якщо піраміда правильна, то площа основи розраховується за формулою , якщо в основі лежить ромб, потрібно згадати, як знаходиться . Якщо ж в основі лежить прямокутник, то знайти його площу буде досить просто. Достатньо знати довжини сторін основи. Розглянемо приклад розрахунку площі основи чотирикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана піраміда, в основі якої лежить прямокутник зі сторонами a = 3 см, b = 5 см. До кожної із сторін з вершини піраміди опущена апофема. h-a = 4 см, h-b = 6 см. Вершина піраміди лежить на одній лінії з точкою перетину діагоналей. Знайдіть повну площу піраміди.
Формула площі чотирикутної піраміди складається із суми площ усіх граней та площі основи. Для початку знайдемо площу основи:

Тепер розглянемо грані піраміди. Вони попарно однакові, оскільки висота піраміди перетинає точку перетину діагоналей. Тобто в нашій піраміді є два трикутники з основою a і висотою h-a, а також два трикутники з основою b і висотою h-b. Тепер знайдемо площу трикутника за відомою формулою:

Тепер виконаємо приклад розрахунку площі чотирикутної піраміди. У нашій піраміді з прямокутником в основі, формула буде виглядати так:

Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:

де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжину всіх необхідних елементів, знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:

Підставимо дані та знайдемо значення:

Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні:

Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула:

Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.

Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується на підставі піраміди. Підставимо дані у формулу:

Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи.

Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:

Підставляємо дані у формулу:
Тепер знайдемо площу основи:
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди:

При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.

Інструкція

Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:

S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;

S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;

S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;

S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;

S = (a * b) / 2 = r + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);

S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).

Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.

Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:

Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.

Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.

Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:

S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²

Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²

Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб=1/2P*h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).

Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S = 1/2b * h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.

Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .

Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав з . Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні. Допустимо, дана правильна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.

Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видіві форм, отже, і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.

Піраміда – геометрична фігура, Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:

правильна;
усічена.

У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усе бічні поверхнірівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.

У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.

Терміни та позначення

Основні терміни:

Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
Перетин – плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де є друга точка висоти. Дане визначеннясправедливо лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемою.

Формули площі

Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то цьому випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність всіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.

Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули у різних випадкахтеж матимуть відмінності.

У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.

Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме такий вигляд:

S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)

Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.

Площа бічної поверхні правильної трикутної пірамідиобчислити найлегше. Формула має такий вигляд:

S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см в квадраті.

Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.

Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.

Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площеювсього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.