Чи є загальна формула? Ні, в загальному випадкуні. Просто потрібно шукати площі бічних граней та підсумовувати їх.
Формулу можна написати для прямий призми:
Де – периметр основи.
Але все-таки набагато простіше в кожному конкретному випадку скласти всі площі, ніж запам'ятовувати додаткові формули. Для прикладу порахуємо повну поверхнюправильної шестикутної призми.
Усі бічні грані – прямокутники. Значить.
Це вже виводили за підрахунку обсягу.
Отже, отримуємо:
Площа поверхні піраміди
Для піраміди також діє загальне правило:
Тепер давай порахуємо площу поверхні найпопулярніших пірамід.
Площа поверхні правильної трикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро одно. Потрібно знайти в.
Згадаймо тепер, що
Це площа правильного трикутника.
І ще згадаємо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:
У нас "" - це, а "" - це теж, а.
Тепер знайдемо.
Користуючись основною формулою площі та теоремою Піфагора, знаходимо
Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:
Площа поверхні правильної чотирикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро одно.
В основі – квадрат, і тому.
Залишилось знайти площу бічної грані
Площа поверхні правильної шестикутної піраміди.
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.
Як знайти? Шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку площі правильної поверхні трикутної пірамідитут використовуємо знайдену формулу.
Ну, і площу бічної грані ми вже шукали аж двічі
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Навіщо?
Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанти:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видіві форм, отже, і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.
Піраміда – геометрична фігура, Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:
- правильна;
- усічена.
У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усе бічні поверхнірівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.
У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.
Терміни та позначення
Основні терміни:
- Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
- Вершина- Найвища точка, де сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
- Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
- Перетин – плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
- Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де є друга точка висоти. Дане визначеннясправедливо лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. В даному випадку висота цього трикутника і стане апофемою.
Формули площі
Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше обчислити загальну площу поверхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.
Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули у різних випадкахтеж матимуть відмінності.
У разі правильної фігурою знаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.
Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме такий вигляд:
S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)
Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.
Площа бічної поверхні правильної трикутної пірамідиобчислити найлегше. Формула має такий вигляд:
S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см в квадраті.
Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.
Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.
Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.
Відео
Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.
Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.
Під час підготовки до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри та геометрії. Хочеться поєднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому від основи і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, оскільки вони є трикутниками, то основа завжди різна.
Як бути при знаходженні площі основи піраміди?
Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І ця підстава, крім відмінності у кількості кутів, може бути правильною фігурою чи неправильною. У школярів, що цікавлять завданнями з ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в основі. Тому йтиметься лише про них.
Правильний трикутник
Тобто рівнобічний. Той, у якого всі сторони рівні та позначені буквою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:
S = (а 2 * √3) / 4.
Квадрат
Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову бік:
Довільний правильний n-кутник
У сторони багатокутника те саме позначення. Для кількості кутів використовується латинська літера n.
S = (n * а 2) / (4 * tg (180 º / n)).
Як вчинити при обчисленні площі бічної та повної поверхні?
Оскільки основу лежить правильна постать, всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площу піраміди, знадобиться формула, що складається з суми однакових одночленів. Число доданків визначається кількістю сторін основи.
Площа рівнобедреного трикутникаобчислюється за формулою, у якій половина добутку основи множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемою. Її позначення – «А». Загальна формуладля площі бічної поверхні виглядає так:
S = ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.
Бувають ситуації, коли не відомі сторони основи, але дано бічні ребра (в) та плоский кут при її вершині (α). Тоді потрібно використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площу піраміди:
S = n/2 * у 2 sin α .
Завдання №1
Умови.Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення 3 см.
Рішення.Його починати потрібно з розрахунку периметра основи. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3*4 = 12 см. Оскільки апофема відома, можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .
Для трикутника в основі вийде таке значення площі: (4 2 * 3) / 4 = 4 √ 3 см 2 .
Для визначення всієї площі потрібно скласти два значення: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .
Відповідь. 10√3 см 2 .
Завдання №2
Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони основи дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площу її поверхні.
Рішення.Оскільки багатогранник чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі основи та бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі усі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.
Перші розрахунки прості і призводять до такої кількості: 49 мм 2 . Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких трикутників всього чотири, тому за підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.
Виходить: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.
Відповідь. Шукане значення 267,576 мм2.
Завдання №3
Умова. У правильній чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата – 6 см і висота – 4 см.
Рішення.Найпростіше скористатися формулою з добутком периметра та апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.
Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди та апофемою, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає у його середину.
Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √(3 2 + 4 2) = 5 (см).
Тепер можна обчислювати потрібну величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).
Відповідь. 96 см 2 .
Завдання № 4
Умови.Дана правильна Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра — 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?
Рішення.Міркування в ній такі самі, як були описані в задачі №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом у основі, а тепер це шестикутник.
Насамперед обчислюється площа підстави за зазначеною вище формулою: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .
Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22+61*2):2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площу кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла на підставу.
Розрахунки за формулою Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Обчислення, що дадуть площу бічної поверхні: 660*6 = 3960 см 2 . Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47-5217 см 2 .
Відповідь.Основи - 726√3 см 2 , бічної поверхні - 3960 см 2 , вся площа - 5217 см 2 .
– це постать, основу якої лежить довільний багатокутник, а бічні грані представлені трикутниками. Їхні вершини лежать в одній точці і відповідають вершині піраміди.
Піраміда може бути різноманітною – трикутною, чотирикутною, шестикутною тощо. Її назву можна визначити в залежності від кількості кутів, що прилягають до основи.
Правильною пірамідоюназивається піраміда, в якій рівні сторони основи, кути і ребра. Також у такій піраміді дорівнюватиме площа бічних граней.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ усіх її граней: 
Тобто, щоб розрахувати площу бічної поверхні довільної піраміди, необхідно знайти площу кожного окремого трикутника та скласти їх між собою. Якщо піраміда усічена, її межі представлені трапеціями. Для правильної піраміди є інша формула. У ній площа бічної поверхні розраховується через півпериметр основи та довжину апофеми:
Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.
Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Сторона заснування b= 6 см, а апофема a= 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні.
В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Для початку знайдемо його периметр:
Тепер можемо прорахувати площу бічної поверхні нашої піраміди: 
Для того щоб знайти повну площу багатогранника, потрібно знайти площу його основи. Формула площі основи піраміди може відрізнятися, залежно від того, який багатокутник лежить в основі. Для цього використовуються формули площі трикутника, площі паралелограмаі т.д.
Розглянь приклад розрахунку площі основи піраміди, заданої нашими умовами. Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить квадрат.
Площа квадратарозраховується за формулою: ,
де a - Сторона квадрата. У нас вона дорівнює 6 см. Значить площа основи піраміди: 
Тепер залишається лише знайти повну площу багатогранника. Формула площі піраміди складається із суми площі її основи та бічної поверхні.
Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.
2. Усі бічні ребра рівні.
3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.
4. Апофеми всіх бічних граней рівні.
5. Площі всіх бічних граней рівні.
6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).
Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.
Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра все двогранні кути(між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутникамиа основа довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.
Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.
