Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношеннябули виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як шкільному курсівивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія - це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функційі залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу– це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутамита сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg і ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо наступні формулидля тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

Спробуємо збудувати тригонометричні таблицідля конкретних кутів і дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:

Синусоїда	Косинусоїда
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, де k ϵ Z	cos x = 0 при x = π/2 + πk, де k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = 1 при x = 2πk, де k ϵ Z
sin x = - 1 при x = 3π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = - 1 при x = π + 2πk, де k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, тобто функція непарна	cos (-x) = cos x, тобто функція парна
	функція періодична, найменший період- 2π
sin x › 0, при x належить I і II чвертям або від 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x належить I і IV чвертям або від 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x належить III і IV чвертям або від 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x належить II і III чвертям або від 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
зростає на проміжку [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk]
зменшується на проміжках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	зменшується на проміжках
похідна (sin x)’ = cos x	похідна (cos x)' = - sin x

Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0 при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Розглянемо графічне зображеннякотангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити

Назад Вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Ціль:навчити використовувати одиничне коло під час вирішення різних тригонометричних завдань.

У шкільному курсі математики можливі різні варіанти запровадження тригонометричних функцій. Найбільш зручною і часто використовуваною є «числове одиничне коло». Її застосування у темі «Тригонометрія» дуже широко.

Одиничне коло використовується для:

– визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута;
– знаходження значень тригонометричних функцій для деяких значень числового та кутового аргументу;
- Виведення основних формул тригонометрії;
- Виведення формул приведення;
- Знаходження області визначення та області значень тригонометричних функцій;
- Визначення періодичності тригонометричних функцій;
– визначення парності та непарності тригонометричних функцій;
– визначення проміжків зростання та зменшення тригонометричних функцій;
- Визначення проміжків знакостійності тригонометричних функцій;
- Радіанного вимірювання кутів;
- Знаходження значень зворотних тригонометричних функцій;
- Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь;
- Вирішення найпростіших нерівностей та ін.

Отже, активне усвідомлене володіння учнями даним видом наочності дає незаперечні переваги оволодіння розділом математики «Тригонометрия».

Використання ІКТ на уроках викладання математики дозволяє полегшити оволодіння числовим одиничним колом. Звісно, інтерактивна дошкамає найширший спектр застосування, але не у всіх класах вона є. Якщо ж говорити про застосування презентацій, то на просторах Інтернету та їхній вибір великий, і кожен педагог може знайти найбільш прийнятний варіант для своїх уроків.

У чому особливість презентації, яку я представляю?

Дана презентація передбачає різні варіанти використання та не є наочністю до конкретного уроку у темі «Тригонометрія». Кожен слайд даної презентації можна використовувати окремо як на етапі пояснення матеріалу, формування навичок, так і для рефлексії. При створенні даної презентації особлива увага приділялася читання її з далекої відстані, оскільки кількість учнів зі зниженим зором постійно зростає. Продумано колірне рішення, логічно пов'язані об'єкти поєднані єдиним кольором. Презентація анімована таким чином, щоб учитель мав можливість коментувати фрагмент слайду, а учень поставити запитання. Таким чином, дана презентація – це свого роду рухливі таблиці. Останні слайди не анімовані і використовуються для перевірки засвоєння матеріалу під час вирішення тригонометричних завдань. Окружність на слайдах максимально спрощена зовні і максимально наближена до учнями, що зображується на зошитовому листі. Цю умову вважаю принциповим. У учнів важливо сформувати думку про одиничному колі, як про доступний і мобільний (хоч і не єдиний) вид наочності при вирішенні тригонометричних завдань.

Дана презентація допоможе педагогам познайомити учнів з одиничним колом у 9 класі під час уроків геометрії щодо теми «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника». І, звичайно, вона допоможе розширити та поглибити навичку роботи з одиничним колом при вирішенні тригонометричних завдань у учнів старшої ланки навчання на уроках алгебри.

Слайди 3, 4пояснюють побудову одиничного кола; принцип визначення місцезнаходження точки на одиничному колі в І та ІІ координатних чвертях; перехід від геометричних визначеньфункцій синус і косинус (у прямокутному трикутнику) до алгебраїчним на одиничному колі.

Слайди 5-8пояснюють, як знайти значення тригонометричних функцій для основних кутів І координатної чверті.

Слайди 9-11пояснює знаки функцій у координатних чвертях; визначення проміжків знакостійності тригонометричних функцій.

Слайд 12використовується для формування уявлень про позитивні та негативні значення кутів; знайомство з поняттям періодичності тригонометричних функцій.

Слайди 13, 14використовуються при переході на радіальну міру кута.

Слайди 15-18не анімовані та використовуються при вирішенні різних тригонометричних завдань, закріплення та перевірки результатів засвоєння матеріалу.

1. Титульний лист.
2. Цілепокладання.
3. Побудова одиничного кола. Основні значення кутів у градусній мірі.
4. Визначення синуса та косинуса кута на одиничному колі.
5. Табличні значення для синуса у порядку зростання.
6. Табличні значення для косинуса у порядку зростання.
7. Табличні значення для тангенсу у порядку зростання.
8. Табличні значення для котангенсу у порядку зростання.
9. Знаки функції sin α.
10. Знаки функції cos α.
11. Знаки функцій tg αі ctg α.
12. Позитивні та негативні значеннякутів на одиничному колі.
13. Радіанний захід кута.
14. Позитивні та негативні значення кутів у радіанах на одиничному колі.
15. Різні варіантиодиничного кола для закріплення та перевірки результатів засвоєння матеріалу.

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософЗенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середа, 4 липня 2018 р.

Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняттяЄ одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. математичну теоріюмножин до самих математиків.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура та розташування атомів у кожної монети унікально.

А тепер у мене найцікавіше питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони із однаковою площею поля. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

неділя, 18 березня 2018 р.

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, з яких записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так от, у різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницямивимірювання. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.

Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурницею, яка не знає фізики. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

Якщо ви вже знайомі з тригонометричним колом , і хочете лише освіжити в пам'яті окремі елементи, або ви зовсім нетерплячі, - то він, :

Ми ж тут все докладно розбиратимемо крок за кроком.

Тригонометричне коло – не розкіш, а необхідність

Тригонометрія у багатьох асоціюється з непрохідною часткою. Раптом навалюється стільки значень тригонометричних функцій, стільки формул… А адже воно, як, – незалагодилося спочатку, і… пішло-поїхало… суцільне нерозуміння…

Дуже важливо не махати рукою на значення тригонометричних функцій, - Мовляв, завжди можна подивитися в шпору з таблицею значень.

Якщо ви постійно дивитеся в таблицю зі значеннями тригонометричних формул, давайте позбавлятися цієї звички!

Нас виручить! Ви кілька разів попрацюєте з ним, і далі він у вас сам спливатиме в голові. Чим він краще за таблицю? Та в таблиці ви знайдете обмежену кількість значень, а на колі - ВСЕ!

Наприклад, скажіть, дивлячись у стандартну таблицю значень тригонометричних формул , Чому дорівнює синус, скажімо, 300 градусів, або -45.

Ніяк?.. можна, звичайно, підключити формули приведення… А дивлячись на тригонометричне коло, легко можна відповісти на такі запитання. І ви скоро знатимете як!

А при розв'язанні тригонометричних рівнянь і нерівностей без тригонометричного кола взагалі нікуди.

Знайомство з тригонометричним колом

Давайте по порядку.

Спочатку випишемо ось такий ряд чисел:

А тепер такий:

І, нарешті, такий:

Звісно, ​​зрозуміло, що, насправді, першому місці стоїть , другою місці стоїть , але в останньому – . Тобто нас буде більше цікавити ланцюжок.

Але як гарно вона вийшла! У разі чого – відновимо цю «драбинку-чуденечку».

І навіщо воно нам?

Цей ланцюжок – і є основні значення синуса та косинуса у першій чверті.

Накреслимо в прямокутній системі координат коло одиничного радіусу (тобто радіус-то за довжиною беремо будь-який, яке довжину оголошуємо одиничної).

Від променя «0-Старт» відкладаємо у напрямку стрілки (див. мал.) кути.

Отримуємо відповідні точки на колі. Так от якщо спроектувати крапки на кожну з осей, то ми вийдемо якраз на значення із зазначеного вище ланцюжка.

Чому ж, запитаєте ви?

Не розбиратимемо все. Розглянемо принципщо дозволить впоратися і з іншими аналогічними ситуаціями.

Трикутник АОВ – прямокутний, у ньому. А ми знаємо, що проти кута лежить катет вдвічі менший гіпотенузи (гіпотенуза у нас = радіусу кола, тобто 1).

Значить, АВ = (а отже, і ЗМ =). А з теореми Піфагора

Сподіваюся, що вже щось стає зрозуміло?

Так ось точка В і відповідатиме значенню , а точка М – значенню

Аналогічно з іншими значеннями першої чверті.

Як ви розумієте, звична нам вісь (ox) буде віссю косинусів, а вісь (oy) - віссю синусів . пізніше.

Зліва від нуля по осі косінусів (нижче від нуля по осі синусів) будуть, звичайно, негативні значення.

Отже, ось він, ВСІМНИЙ, без якого нікуди в тригонометрії.

А ось як користуватися тригонометричним колом, ми поговоримо у .