Завдання 10 (ОДЕ - 2015)

На колі з центром O відмічені точки A і B так, що AOB = 18°. Довжина меншої дуги AB дорівнює 5. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

Рішення

∠ AOB = 18 °. Все коло становить 360 °. Тому ∠ AOB становить 18/360 = 1/20 кола.

Отже, і менша дуга AB становить 1/20 всього кола, тому велика дуга - це частина, тобто. 19/20 кола.

1/20 кола відповідає довжині дуги, що дорівнює 5. Тоді довжина більшої дуги дорівнює 5 * 19 = 95.

Завдання 10 (ОДЕ - 2015)

На колі з центром O відмічені точки A і B так, що AOB = 40°. Довжина меншої дуги AB дорівнює 50. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

Рішення

∠ AOB = 40 °. Все коло становить 360 °. Тому ∠ AOB становить 40/360 = 1/9 кола.

Отже, і менша дуга AB становить 1/9 всього кола, тому велика дуга - це частина, тобто. 8/9 кола.

1/9 кола відповідає довжині дуги, що дорівнює 50. Тоді довжина більшої дуги дорівнює 50 * 8 = 400.

Відповідь: 400.

Завдання 10 (ДІА - 2014)

Довжина хорди кола дорівнює 72, а відстань від центру кола до цієї хорди дорівнює 27. Знайдіть діаметр кола.

Рішення

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника AOB отримаємо:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729 +1296 = 2025,

Тоді діаметр дорівнює 2R = 2 * 45 = 90.

Завдання 10 (ДІА - 2014)

Точка O - центр кола, на якому лежать точки A, B і C. Відомо, що ∠ABC = 134° та ∠OAB = 75°. Знайдіть кут BCO.Відповідь дайте у градусах.

Коло, його частини, їх розміри та співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії?

Давайте спочатку розглянемо, які кола бувають частини і як вони називаються.

• Коло - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина кола.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина кола, обмежена хордою та дугою.
• Сектор - частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Величина, що цікавить нас, та їх позначення:

Тепер побачимо, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслету). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр та центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися про його розмір у проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги та діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатись висоту деталі, отриманої згинанням плоскої заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги та діаметр, довжина дуги та хорда; Визначити висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я навів лише у тому, щоб показати необхідність завдання якихось двох параметрів знаходження всіх інших. Ось цим ми й займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них усі можливі пари, вважатимемо їх вихідними даними та шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішенья наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обговорю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в тих самих абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба задавати в сантиметрах, а результуючі значення вимірюватимуться в тих же міліметрах (а площі в квадратних міліметрах). Те саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут завжди вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують щось кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить у глухий кут, тоді як «кут сорок п'ять градусів» — зрозуміла всім, оскільки це всього на п'ять градусів вище за норму. Однак, у всіх формулах буде присутнім як проміжна величина ще один кут - α. За змістом, це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дані діаметр D та довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дані діаметр D та довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, це завдання не одне, а два рішення. Щоб отримати друге, потрібно у наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дані діаметр D та висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжину хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дані довжина хорди X та висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжину дуги L і довжину хорди X

7. Дані довжина дуги L та висота сегмента H

Це якраз ті два неприємні випадки, коли завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання не таке вже рідкісне. Наприклад, у вас є плоска заготівля довжини L і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметра взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до розв'язання рівнянь:
; - у варіанті 5
; - У варіанті 7
і хоч вони й не вирішуються аналітично, проте легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям . Все те, що я довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину кола та три значення площ – кола, сектора та сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одними й тими самими формулами:

довжина кола;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегменту ;

І насамкінець ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовної програмияка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

Частина фігури, яка утворює коло, точки якого рівновіддалені, називається дугою. Якщо з точки центру кола провести промені в точки, що збігаються з кінцями дуги, буде утворено її центральний кут.

Визначення довжини дуги

Виготовляється за такою формулою:

де L - довжина дуги, π = 3,14, r - радіус кола, α - центральний кут.

L

3,14 × 10 × 85

14,82

Відповідь:

Довжина дуги кола дорівнює 14,82 сантиметра.

В елементарній геометрії під дугою розуміється підмножина кола, розташованого між двома розташованими на ньому точками. На практиці вирішувати завдання з визначеннюїї довжиниінженерам та архітекторам доводиться досить часто, оскільки цей геометричний елемент широко поширений у найрізноманітніших конструкціях.

Мабуть, першим, перед ким постало це завдання, були стародавні архітектори, яким так чи інакше доводилося визначати цей параметр для спорудження склепінь, що широко використовуються для перекриття проміжків між опорами в круглих, багатокутних або еліптичних будинках. Якщо уважно придивитися до шедеврів давньогрецького, давньоримського і особливо арабського зодчества, що дійшли до наших днів, то можна помітити, що в їх конструкціях дуги і склепіння зустрічаються надзвичайно часто. Творіння сучасних архітекторів ними не такі багаті, але ці геометричні елементи є, звичайно ж, і в них.

Довжинурізних дугнеобхідно розраховувати при спорудженні автомобільних та залізниць, а також автодромів, причому у багатьох випадках від правильності та точності обчислень багато в чому залежить безпека руху. Справа в тому, що багато поворотів магістралей з точки зору геометрії є саме дугами, і за рухом по них на транспорт впливають різні фізичні сили. Параметри їх результуючої багато в чому визначаються довжиною дуги, а також її центральним кутом та радіусом.

Конструкторам машин та механізмів доводиться обчислити довжини різних дуг для правильного та точного компонування. складових частинрізних агрегатів. В даному випадку помилки в розрахунках загрожують тим, що важливі та відповідальні деталі будуть неправильно взаємодіяти один з одним і механізм просто не зможе функціонувати так, як планують його творці. Як приклади конструкцій, що рясніють такими геометричними елементами, як дуги, можна навести двигуни внутрішнього згоряння, коробки перемикання передач, дерево- і металообробне обладнання, кузовні елементи легкових та вантажних автомобілів тощо.

Дугидосить широко зустрічаються у медицині, зокрема, у стоматології. Наприклад, вони використовуються для виправлення неправильного прикусу. Коригувальні елементи, які називаються брекетами (або брекет-системами) і мають відповідну форму, виготовляються зі спеціальних сплавів, і встановлюються таким чином, щоб змінити положення зубів. Зрозуміло, що для того, щоб лікування проходило успішно, ці дуги повинні бути дуже точно розраховані. Крім того, дуги дуже широко використовуються в травматології, і, мабуть, яскравим прикладомтому є знаменитий апарат Ілізарова, винайдений російським лікарем у 1951 році та надзвичайно успішно використовується до цього дня. Невід'ємними його частинами є металеві дуги, обладнані отворами, через які протягуються спеціальні спиці, і є основними опорами всієї конструкції.

Формула для знаходження довжини дуги кола досить проста, і дуже часто на важливих іспитах типу ЄДІ зустрічаються такі завдання, які неможливо вирішити без застосування. Також необхідно її знати для складання міжнародних стандартизованих тестів, наприклад, SAT та інших.

Чому дорівнює довжина дуги кола?

Формула виглядає так:

l = πrα / 180 °

Що являє собою кожен з елементів формули:

• π - число Пі ( постійна величина, рівна ≈ 3,14);
• r - радіус цього кола;
• α - величина кута, який спирається дуга (центральний, а чи не вписаний).

Як видно, щоб вирішити задачу, в умові повинні бути r та α. Без цих двох величин довжину дуги знайти неможливо.

Яким чином виводиться ця формула і чому так виглядає?

Все дуже легко. Чи стане набагато зрозуміліше, якщо в знаменнику поставити 360 °, а в чисельнику спереду додати двійку. Також можна α не залишити в дробі, вивести її та написати зі знаком множення. Це цілком можна собі дозволити, тому що даний елемент стоїть у чисельнику. Тоді загальний виглядстане таким:

l = (2πr / 360 °) × α

Просто для зручності скоротили 2 та 360°. А тепер, якщо придивитися, то можна помітити дуже знайому формулу довжини всього кола, а саме - 2πr.Все коло складається з 360 °, тому ми ділимо отриманий захід на 360 частин. Потім ми множимо на число α, тобто на ту кількість "шматків пирога", яка нам потрібна. Але всім відомо, що число (тобто довжина всього кола) не може ділитися на градус. Що ж робити у такому разі? Зазвичай, як правило, градус скорочується із градусом центрального кута, тобто з α. Після ж залишаються лише числа, а результаті виходить кінцевий відповідь.

Цим можна пояснити те, чому довжина дуги кола знаходиться таким чином і має такий вигляд.

Приклад задачі середньої складності із застосуванням даної формули

Умова: Є коло з радіусом 10 сантиметрів. Градусний захід центрального кута становить 90°. Знайти довжину дуги кола, утворену цим кутом.

Рішення: l = 10? × 90 ° / 180 ° = 10? × 1 / 2 = 5?

Відповідь: l = 5π

Також можливо, щоб замість градусного заходу давалася б радіальна міра кута. У жодному разі не варто лякатися, адже цього разу завдання стало набагато легшим. Щоб перевести радіальний захід у градусний, потрібно це числопомножити на 180 ° / π. Отже, тепер можна підставити замість α наступну комбінацію: m × 180 ° / π. Де m – це радіанне значення. А далі 180 і число π скорочуються і виходить спрощена формула, яка виглядає наступним чином:

• m - радіанна міра кута;
• r - радіус цього кола.

Чи добре ти пам'ятаєш усі назви, пов'язані з колом? Про всяк випадок нагадаємо - дивись на картинки - освіжай знання.

Ну, по-перше - центр кола - така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге - радіус - відрізок, що з'єднує центр та точку на колі.

Радіусів дуже багато (стільки ж, скільки і точок на колі), але довжина у всіх радіусів – однакова.

Іноді для стислості радіусомназивають саме довжину відрізка«Центр - точка на колі», а не сам відрізок.

А ось що вийде, якщо з'єднати дві точки на колі? Теж відрізок?

Так от, цей відрізок називається «Хорда».

Так само, як і у випадку з радіусом, діаметром часто називають довжину відрізка, що з'єднує дві точки на колі і проходить через центр. До речі, а як пов'язані діаметр та радіус? Подивися уважно. Звичайно ж, радіус дорівнює половині діаметра.

Крім хорд бувають ще й січучі.

Згадали найпростіше?

Центральний кут – кут між двома радіусами.

А тепер – вписаний кут

Вписаний кут - кут між двома хордами, які перетинаються в точці на колі.

У цьому кажуть, що вписаний кут спирається на дугу (чи хорду) .

Дивись на картинку:

Вимірювання дуг та кутів.

Довжина кола. Дуги та кути вимірюються в градусах та радіанах. Спершу про градуси. Для кутів проблем немає – потрібно навчитися виміряти дугу у градусах.

Градусна міра (величина дуги) – це величина (у градусах) відповідного центрального кута

Що означає слово «відповідного»? Дивимося уважно:

Бачиш дві дуги і два центральні кути? Ну от більшій дузі відповідає більший кут (і нічого страшного, що він більше), а меншій дузі відповідає менший кут.

Отже, домовилися: у дузі міститься стільки ж градусів, скільки у відповідному центральному куті.

А тепер про страшне – про радіани!

Що це за звір такий «радіан»?

Уяви собі: радіани – це спосіб вимірювання кута… в радіусах!

Кут величиною радіан - такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Тоді виникає питання – а скільки ж радіан у розгорнутому вугіллі?

Іншими словами: скільки радіусів «міститься» о пів на коло? Або ще по-іншому: у скільки разів довжина половини кола більша за радіус?

Цим питанням задавалися вчені ще Стародавню Грецію.

І ось, після довгих пошуків вони виявили, що відношення довжини кола до радіусу ніяк не хоче висловлюватись «людськими» числами на зразок і т.п.

І навіть не виходить висловити це ставлення через коріння. Тобто, виявляється, не можна сказати, що половина кола в рази чи в раз більше радіусу! Уявляєш, як дивно це було виявити людям уперше?! Для відношення довжини половини кола до радіусу вистачило «нормальних» чисел. Довелося вводити букву.

Отже, - це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Тепер ми можемо відповісти на запитання: скільки радіан у вугіллі? У ньому радіан. Саме тому, що половина кола в раз більше радіусу.

Стародавні (і не дуже) люди протягом століть (!) спробували точніше підрахувати це загадкове число, Краще висловити його (хоч приблизно) через «звичайні» числа. А ми зараз до неможливості ліниві – нам достатньо двох знаків після зайнятої, ми звикли, що

Задумайся, це означає, наприклад, що y кола з радіусом одиниця довжина приблизно дорівнює, а точно цю довжину просто неможливо записати «людським» числом – потрібна буква. І тоді ця довжина кола виявиться рівною. І звичайно, довжина кола радіуса дорівнює.

Повернемося до радіанів.

Ми вже з'ясували, що в розгорнутому вугіллі міститься радіан.

Що маємо:

Значить, радий, тобто радий. Так само виходить табличка з найбільш популярними кутами.

Співвідношення між величинами вписаного та центрального кутів.

Має місце дивовижний факт:

Розмір вписаного кута вдвічі менше, ніж величина відповідного центрального кута.

Подивися, як це твердження виглядає на картинці. "Відповідний" центральний кут такий, у якого кінці збігаються з кінцями вписаного кута, а вершина в центрі. І при цьому "відповідний" центральний кут повинен "дивитися" на ту ж хорду (), що і вписаний кут.

Чому так? Давай розберемося спочатку простому випадку. Нехай одна з хорд проходить через центр. Адже буває так іноді, вірно?

Що ж тут виходить? Розглянемо. Він рівнобедрений – адже й – радіуси. Значить (позначили їх).

Тепер подивимося. Це ж зовнішній кут! Згадуємо, що зовнішній кут дорівнює сумдвох внутрішніх, не суміжних із ним, і записуємо:

Тобто! Несподіваний ефект. Але є центральний кут для вписаного.

Значить, для цього випадку довели, що центральний кут вдвічі більший за вписаний. Але аж надто окремий випадок: Правда ж, далеко не завжди хорда проходить прямо через центр? Але нічого, зараз цей окремий випадок нам дуже допоможе. Дивись: другий випадок: нехай центр лежить усередині.

Давай зробимо ось що: проведемо діаметр. І тоді… бачимо дві картинки, які вже розбирали у першому випадку. Тому вже маємо, що

Значить, (на кресленні, а)

Ну ось, і залишився останній випадок: центр поза кутом.

Робимо те саме: проводимо діаметр через точку. Все те саме, але замість суми - різниця.

Ось і все!

Давай тепер сформуємо два головні і дуже важливі наслідки із твердження про те, що вписаний кут вдвічі менший від центрального.

Наслідок 1

Усі вписані кути, які спираються однією дугу, рівні між собою.

Ілюструємо:

Вписаних кутів, що спираються на ту саму дугу (у нас ця дуга) - безліч, вони можуть виглядати зовсім по-різному, але у них у всіх один і той же центральний кут (), а значить, всі ці вписані кути рівні між собою.

Наслідок 2

Кут, що спирається на діаметр – прямий.

Дивись: який кут є центральним для?

Звісно, ​​. Але він рівний! Ну ось, тому (а також ще безліч вписаних кутів, що спираються на) і дорівнює.

Кут між двома хордами та січними

А що, якщо кут, що нас цікавить, НЕ вписаний і НЕ центральний, а, наприклад, такий:

чи такий?

Чи можна його якось висловити через якісь центральні кути? Виявляється, можна. Дивись: нас цікавить.

a) (як зовнішній кут). Але – вписаний, спирається на дугу – . - Вписаний, спирається на дугу - .

Для краси кажуть:

Кут між хордами дорівнює напівсумі кутових величин дуг, укладених у цей кут.

Так пишуть для стислості, але, звичайно, при використанні цієї формули потрібно мати на увазі центральні кути.

b) А тепер – «зовні»! Як же бути? Так майже так само! Тільки тепер (знов застосовуємо властивість зовнішнього кута). Тобто тепер.

Отже, . Наведемо красу та стислість у записах та формулюваннях:

Кут між січними дорівнює напіврізності кутових величин дуг, укладених у цей кут.

Ну ось, тепер ти озброєний усіма основними знаннями про кути, пов'язані з колом. Вперед на штурм завдань!

ОКРУЖНІСТЬ І ВПИСАНИЙ КУТ. СЕРЕДНИЙ РІВЕНЬ

Що таке коло, знає і п'ятирічна дитина, чи не так? У математиків, як завжди, на цей рахунок є хитромудре визначення, але ми його наводити не будемо (дивися), а краще згадаємо, як називаються точки, лінії та кути, пов'язані з колом.

Важливі терміни

Ну, по-перше:

центр кола- Така точка, відстані від якої до всіх точок кола однакові.

По-друге:

Тут є ще один прийнятий вислів: «хорд стягує дугу». Ось тут на малюнку, наприклад, хорда стягує дугу. А якщо хорда раптом проходить через центр, то має спеціальну назву: «діаметр».

До речі, а як пов'язані діаметр та радіус? Подивися уважно. Звичайно ж,

А тепер – назви для кутів.

Природно, чи не так? Сторони кута виходять із центру – отже, кут – центральний.

Ось тут іноді виникають складнощі. Зверни увагу - НЕ БУДЬ-ЯКИЙ кут всередині кола - вписаний,а тільки такий, у якого вершина «сидить» на самому колі.

Давай побачимо різницю на картинках:

Інакше ще кажуть:

Тут є один хитрий момент. Що таке «відповідний» чи «свій» центральний кут? Просто кут з вершиною в центрі кола та кінцями у кінцях дуги? Не зовсім так. Подивися на малюнок.

Один з них, щоправда, і на кут не схожий - він більше. Але це у трикутнику не може бути кутів більше, а в колі – цілком може! Так ось: меншій дузі AB відповідає менший кут (помаранчевий), а більшій – більший. Просто як, чи не так?

Співвідношення між величинами вписаного та центрального кута

Запам'ятай дуже важливе твердження:

У підручниках цей факт люблять записувати так:

Щоправда, із центральним кутом формулювання простіше?

Але все ж таки давай знайдемо відповідність між двома формулюваннями, а заразом навчимося знаходити на малюнках «відповідний» центральний кут і дугу, на яку «спирається» вписаний кут.

Дивись: ось коло та вписаний кут:

Де ж його «відповідний» центральний кут?

Знову дивимося:

Яке правило?

Але! При цьому важливо, щоб вписаний і центральний кут дивилися з одного боку на дугу. Ось, наприклад:

Як не дивно, блакитний! Тому що дуга-то довга, довша за половину кола! От і не блукай ніколи!

Яке ж слідство можна вивести із «половинчастості» вписаного кута?

А ось, наприклад:

Кут, що спирається на діаметр

Ти вже встиг помітити, що математики дуже люблять про те саме говорити різними словами? Для чого це їм? Розумієш, мова математики хоч і формальна, але жива, а тому, як і в звичайній мові, щоразу хочеться сказати так, як зручніше. Ну ось що таке «кут спирається на дугу» ми вже бачили. І уяви собі, та сама картина називається «кут спирається на хорду». На яку? Так, звичайно, на ту, яка стягує цю дугу!

Коли спиратися на хорду зручніше, ніж на дугу?

Ну, зокрема, коли ця хорда – діаметр.

Для такої ситуації є напрочуд просте, красиве та корисне твердження!

Ось коло, діаметр і кут, який на нього спирається.

ОКРУЖНІСТЬ І ВПИСАНИЙ КУТ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Основні поняття.

3. Вимірювання дуг та кутів.

Кут величиною радіан - такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.

Це число, що виражає відношення довжини півкола до радіусу.

Довжина кола радіуса дорівнює.

4. Співвідношення між величинами вписаного та центрального кутів.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Навіщо?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостейі життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанти:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!