Хвиля називається процес поширення коливання (або якогось іншого сигналу) у просторі.

Уявимо, наприклад, що у всіх точках площини YOZдеякий фізичний параметрзмінюється у часі за гармонійним законом

Нехай коливання цього абстрактного параметра поширюються вздовж осі OXзі швидкістю v(Рис. 13.1.). Тоді у площині з координатою xвихідні коливання повторяться знову, але із запізненням на секунди:

Мал. 13.1.

Функція (13.1) називається рівнянням плоскої хвилі. Цю важливу функціючастіше записують у такому вигляді

Тут: Е 0 і w - амплітуда та частота коливань у хвилі,

(w t – kx+ - фаза хвилі,

a - початкова фаза,

Хвильове число,

v- Швидкість поширення хвилі.

Сукупність всіх точок простору, в яких коливання відбуваються в однаковій фазі, визначає фазову поверхню. У прикладі це площину.

(w t – kx+ = F = const - рівняння руху фазової поверхні у процесі поширення хвилі. Візьмемо похідну цього рівняння за часом:

w – k= 0.

Тут = vф - швидкість руху фазової поверхні - фазова швидкість.

= vф = .

Таким чином, фазова швидкість дорівнює швидкості поширення хвилі.

Фазова поверхня, що відокремлює простір, охоплений хвильовим процесом, від частини, куди хвиля ще дійшла, називається фронтом хвилі. Фронт хвилі, як одна з фазових поверхонь, також рухається з фазовою швидкістю. Ця швидкість, наприклад, акустичної хвилі повітря становить 330 м/с, а світлової (електромагнітної) хвилі у вакуумі - 3×10 8 м/с.

Рівняння хвилі Е = Е 0 × cos (w t – kx+ j) є рішення диференціального хвильового рівняння. Для пошуку цього диференціального рівняння, продиференціюємо рівняння хвилі (13.2) двічі за часом, а потім - двічі за координатою:

,

Порівнявши ці два вирази, виявляємо, що

.

Але хвильове число k= , тому

. (13.3)

Це і є диференціальне рівняння хвильового процесу. хвильове рівняння.

Ще раз зазначимо, що рівняння хвилі(13.2) є рішення хвильового рівняння (13.3).

Хвильове рівняння можна записати, звісно, ​​і так

Тепер очевидно, що у хвильовому рівнянні коефіцієнт при другій похідній координаті дорівнює квадрату фазової швидкості хвилі.

Якщо, вирішуючи задачу про рух, ми отримуємо диференціальне рівняння типу

то це означає, що досліджуваний рух - власні загасаючі коливання…

Якщо при вирішенні чергового завдання виникло диференціальне рівняння

то це означає, що досліджується хвильовий процесі швидкість поширення цієї хвилі.

Для більшості завдань, пов'язаних із хвилями, важливо знати стан коливань різних точок середовища в той чи інший момент часу. Стани точок середовища будуть визначені, якщо відомі амплітуди та фази їх коливань. Для поперечних хвиль потрібно знати характер поляризації. Для плоскої лінійно-поляризованої хвилі достатньо мати вираз, що дозволяє визначити зміщення с(х, t)із положення рівноваги будь-якої точки середовища з координатою х,у будь-який момент часу t.Такий вираз називається рівнянням хвилі.

Мал. 2.21.

Розглянемо так звану біжучу хвилю,тобто. хвилю з плоским хвильовим фронтом, що поширюється в якомусь одному певному напрямку (наприклад, вздовж осі х). Нехай частинки середовища, що безпосередньо примикають до джерела плоских хвиль, чинять коливання за гармонійним законом; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На малюнку 2.21, ачерез ^(0, t)позначено зміщення частинок середовища, що лежать у перпендикулярному малюнку площини та мають у вибраній системі координат координату х= 0 у момент часу t.Початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань, визначених через косінусоїдальну функцію, дорівнювала нулю. Ось хсумісний із променем, тобто. із напрямом поширення коливань. У цьому випадку фронт хвилі перпендикулярний до осі. х,так що частинки, що лежать у цій площині, будуть коливати в одній фазі. Сам фронт хвилі у цьому середовищі переміщається вздовж осі хзі швидкістю іпоширення хвилі у цьому середовищі.

Знайдемо вираз? t)усунення частинок середовища, віддалених від джерела на відстань х. Ця відстань фронт хвилі проходить

за час Отже, коливання частинок, що лежать у площині, віддаленій від джерела на відстань х,будуть відставати за часом на величину т від коливань частинок, що безпосередньо примикають до джерела. Ці частинки (з координатою х) також здійснюватимуть гармонійні коливання. За відсутності згасання амплітуда Аколивань (у разі плоскої хвилі) нічого очікувати залежати від координати x, тобто.

Це і є шукане рівняння тугою хвилі, що біжить(Не плутати з хвильовим рівнянням, що розглядається нижче!). Рівняння, як зазначалося, дозволяє визначити зміщення % частки середовища з координатою х у момент часу t.Фаза коливань залежить

від двох змінних: від координати х частки та часу t.У цей фіксований момент часу фази коливань різних частинок будуть, взагалі кажучи, різні, але можна виділити такі частинки, коливання яких відбуватимуться в однаковій фазі (синфазно). Можна також вважати, що різниця фаз коливань цих частинок дорівнює 2пт(де т = 1, 2, 3,...). Найкоротша відстаньміж двома частинками хвилі, що біжить, коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі X.

Знайдемо зв'язок довжини хвилі Xз іншими величинами, що характеризують поширення коливань серед. Відповідно до введеного визначення довжини хвилі можна написати

або після скорочень Так як , то

Цей вираз дозволяє дати інше визначення довжини хвилі: Довжина хвилі є відстань, на яку встигають поширитися коливання частинок середовища за час, що дорівнює періоду коливань.

Рівняння хвилі виявляє подвійну періодичність: за координатою та за часом: ^ (х, t) = Z, (x + nk, t) = l, (x, t + mT) = ​​Цх + пХ, ml),де піт -будь-які цілі числа. Можна, наприклад, фіксувати координати частинок (покласти х = const) і розглядати усунення їх як функцію часу. Або, навпаки, фіксувати момент часу (прийняти t = const) і розглядати усунення частинок як функцію координат (миттєвий стан зсувів - миттєва фотографія хвилі). Так, перебуваючи на пристані, можна за допомогою фотоапарата в момент часу tсфотографувати морську поверхню, але можна, кинувши тріску в море (тобто зафіксувавши координату х),стежити за її коливаннями у часі. Обидва ці випадки наведені як графіків на рис. 2.21, а-в.

Рівняння хвилі (2.125) можна переписати інакше

Відношення позначається доі називається хвильовим числом

Бо , то

Хвильове число, таким чином, показує, скільки довжин хвиль укладається у відрізку 2л одиниць довжини. Ввівши хвильове число в рівняння хвилі, отримаємо рівняння, що біжить у позитивному напрямку Оххвилі в найбільш часто вживаному вигляді

Знайдемо вираз, що зв'язує різницю фаз Дер коливань двох частинок, що належать різним хвильовим поверхням Хі х 2 . Скориставшись рівнянням хвилі (2.131), запишемо:

Якщо позначити чи згідно (2.130)

Плоска хвиля, що біжить, що поширюється в довільному напрямку, описується в загальному випадкурівнянням

де г-радіус-вектор, проведений із початку координат до частки, що лежить на хвильовій поверхні; до -хвильовий вектор, рівний за модулем хвильового числа (2.130) і збігається у напрямку з нормаллю до хвильової поверхні в напрямку поширення хвилі.

Можлива також комплексна формазапису рівняння хвилі. Так, наприклад, у разі плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі х

а в загальному випадку плоскої хвилі довільного спрямування

Рівняння хвилі в будь-якій з перерахованих форм запису може бути отримано як розв'язання диференціального рівняння, що називається хвильовим рівнянням.Якщо ми знаємо рішення цього рівняння у формі (2.128) або (2.135) - рівняння хвилі, що біжить, то знайти саме хвильове рівняння не складає труднощів. Продиференціюємо 4(х, t) = %з (2.135) двічі по координаті та двічі часу та отримаємо

висловлюючи?, через отримані похідні та порівнюючи результати, отримаємо

Маючи на увазі співвідношення (2.129), запишемо

Це і є хвильове рівняннядля одновимірного випадку.

У загальному виглядідля?, = с(х, у, z,/) хвильове рівняння в декартових координатахвиглядає так

або у більш компактному вигляді:

де Д – диференціальний оператор Лапласа

Фазовою швидкістюназивається швидкість поширення точок хвилі, що коливаються в однаковій фазі. Іншими словами - це швидкість переміщення "гребеня", "впадини", або будь-якої іншої точки хвилі, фаза якої фіксована. Як зазначалося раніше, фронт хвилі (отже, і будь-яка хвильова поверхня) переміщається вздовж осі Охзі швидкістю в.Отже, швидкість поширення коливань у середовищі збігається зі швидкістю переміщення цієї фази коливань. Тому швидкість і,визначувану співвідношенням (2.129), тобто.

прийнято називати фазовою швидкістю.

Той самий результат можна отримати, знайшовши швидкість точок середовища, що задовольняють умові сталості фази з / - fee = const. Звідси виявляється залежність координати від часу(со/ - const) і швидкість переміщення цієї фази

що збігається з (2.142).

Плоска хвиля, що біжить, що поширюється в негативному напрямку осі Ох,описується рівнянням

Справді, у разі фазова швидкість негативна

Фазова швидкість у цьому середовищі може залежати від частоти коливань джерела. Залежність фазової швидкості від частоти називається дисперсією,а середовища, у яких має місце ця залежність, називаються диспергуючі середовища.Не слід думати, однак, що вираз (2.142) і є вказаною залежністю. Справа в тому, що без дисперсії хвильове число допрямо пропорційно

з і тому. Дисперсія має місце лише в тому випадку, коли залежить від донелінійно).

Бегуча плоска хвиля називається монохроматичної (що має одну частоту),якщо коливання у джерелі гармонійні. Монохроматичним хвиль відповідає рівняння виду (2.131).

Для монохроматичної хвилі кутова частота со і амплітуда Ане залежить від часу. Це означає, що монохроматична хвиля безмежна просторі і нескінченна у часі, тобто. є ідеалізованою модель. Будь-яка реальна хвиля, як би ретельно не підтримувалася сталість частоти та амплітуди, монохроматичної не є. Реальна хвиля не триває нескінченно довго, а починається і закінчується у певні моменти часу у певному місці, і, отже, амплітуда такої хвилі є функція часу та координати цього місця. Однак чим довше інтервал часу, протягом якого підтримуються постійними амплітуда та частота коливань, тим ближче до монохроматичної дана хвиля. Часто в практиці монохроматичної хвилею називають досить великий відрізок хвилі, в межах якого частота і амплітуда не змінюються, подібно до того, як зображують на малюнку відрізок синусоїди, і називають його синусоїдою.

На правах рукопису

Фізика

Конспект лекцій

(Частина 5. Хвилі, хвильова оптика)

Для студентів напряму 230400

« Інформаційні системита технології»

Електронний освітній ресурс

Укладач: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко

Протокол №1 від 04. 09. 2013 р.

Хвильові процеси

Основні поняття та визначення

Розглянемо деяке пружне середовище - тверде, рідке або газоподібне. Якщо будь-якому місці цього середовища порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками, коливання будуть, передаючись від однієї частки середовища до іншої поширюватися в середовищі з деякою швидкістю . Процес поширення коливань у просторі називається хвилею .

Якщо частки середовищі коливаються у напрямі поширення хвилі, вона називається поздовжній. Якщо коливання частинок відбуваються в площині, перпендикулярній до напряму поширення хвилі, то хвиля називається поперечної . Поперечні механічні хвиліможуть виникнути тільки в середовищі, що володіє ненульовим зсувним модулем. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можуть поширюватися тільки поздовжні хвилі . Відмінність між поздовжніми і поперечними хвилями найбільш добре видно з прикладу поширення коливань у пружині - див. малюнок.

Для характеристики поперечних коливань необхідно встановити положення у просторі площині, що проходить через напрям коливань та напрямок поширення хвилі - площині поляризації .

Область простору, в якій коливаються всі частки середовища, називається хвильовим полем . Кордон між хвильовим полем та рештою простору середовища називається фронтом хвилі . Інакше кажучи, фронт хвилі - геометричне місце точок, до яких коливання дійшли на даний момент часу. У однорідному та ізотропному середовищі напрямок поширення хвилі перпендикулярнодо фронту хвилі.

Поки у середовищі існує хвиля, частки середовища роблять коливання біля положень рівноваги. Нехай ці коливання гармонійні, і період цих коливань дорівнює Т. Частинки, що віддаляються один від одного на відстань

вздовж напрями поширення хвилі, чинять коливання однаковим чином, тобто. у кожний момент часу їх зміщення однакові. Відстань називається довжиною хвилі . Іншими словами, довжина хвилі є відстань, на яку поширюється хвиля за один період коливань .

Геометричне місце точок, що здійснюють коливання в одній фазі називається хвильовою поверхнею . Фронт хвилі – окремий випадокхвильової поверхні. Довжина хвилі - Мінімальневідстань між двома хвильовими поверхнями, в яких точки коливаються однаковим чином, або можна сказати, що фази їх коливань відрізняються .

Якщо хвильові поверхні є площинами, то хвиля називається плоский , а якщо сферами – то сферичної. Плоска хвиля порушується в суцільному однорідному та ізотропному середовищі при коливаннях нескінченної площині. Порушення сферичної можна у вигляді результату радіальних пульсацій сферичної поверхні, а також як результат дії точкового джерела,розмірами якого порівняно з відстанню до точки спостереження можна знехтувати. Оскільки будь-яке реальне джерело має кінцеві розміри, досить великій відстані від нього хвиля буде близька до сферичної. У той же час ділянка хвильової поверхні сферичної хвилі в міру зменшення його розмірів стає як завгодно близьким до ділянки хвильової поверхні плоскої хвилі.

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується

У довільному напрямку

Отримаємо. Нехай коливання в площині, паралельній хвильовим поверхням і проходить через початок координат, мають вигляд:

У площині, що віддаляється від початку координат на відстань l, коливання відставатимуть за часом на . Тому рівняння коливань у цій площині має вигляд:

З аналітичної геометріївідомо, що відстань від початку координат до деякої площини дорівнює скалярному творурадіус-вектор деякої точки площини на одиничний вектор нормалі до площини: . Малюнок ілюструє це положення для двовимірного випадку. Підставимо значення lрівняння (22.13):

(22.14)

Вектор , рівний за модулем хвильового числа і спрямований по нормалі до хвильової поверхні, називається хвильовим вектором . Рівняння плоскої хвилі можна тепер записати у вигляді:

Функція (22.15) дає відхилення від положення рівноваги точки з радіус-вектором у момент часу t. Для того, щоб уявити залежність від координат та часу у явному вигляді необхідно врахувати, що

. (22.16)

Тепер рівняння плоскої хвилі набуває вигляду:

Часто виявляється корисним подати рівняння хвилі в експоненційній формі . Для цього скористаємося формулою Ейлера:

де , Запишемо рівняння (22.15) у вигляді:

. (22.19)

Хвильове рівняння

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференціального рівняння другого порядку, що називається хвильовим . Для того, щоб встановити вид цього рівняння, знайдемо другі похідні по кожному з аргументів рівняння плоскої хвилі (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Складемо перші три рівняння з похідними за координатами:

. (22.24)

Виразимо з рівняння (22.23): , і врахуємо, що :

(22.25)

Суму других похідних у лівій частині (22.25) представимо як результат дії оператора Лапласа на , і в остаточному вигляді представимо хвильове рівняння у вигляді:

(22.26)

Примітно, що у хвильовому рівнянні квадратний коріньіз величини, зворотної коефіцієнту при похідній за часом дає швидкість поширення хвилі.

Можна показати, що хвильовому рівнянню (22.26) задовольняє будь-яка функція виду:

і кожна з них єрівнянням хвилі та описує деяку хвилю.

Енергія пружної хвилі

Розглянемо в середовищі, в якому поширюється пружна хвиля (22.10), елементарний обсяг досить малий, щоб деформацію і швидкість руху частинок можна було вважати постійними і рівними:

Внаслідок поширення в середовищі хвилі обсяг має енергію пружної деформації.

(22.38)

Відповідно до (22.35) модуль Юнга можна подати у вигляді . Тому:

. (22.39)

Розглянутий обсяг має також кінетичну енергію:

. (22.40)

Повна енергія обсягу:

А густина енергії:

, а (22.43)

Підставимо ці висловлювання в (22.42) і врахуємо, що :

Таким чином, щільність енергії різна у різних точках простору та змінюється у часі за законом квадрата синуса.

Середнє значення квадрата синуса дорівнює 1/2, отже середня за часом значення щільності енергії у кожній точці середовища , в якій поширюється хвиля:

. (22.45)

Вираз (22.45) справедливо всім видів хвиль.

Отже, середовище, в якому поширюється хвиля, має додатковий запас енергії. Отже, хвиля переносить із собою енергію .

Х.6 Випромінювання диполя

Електричний диполь, що вагається., тобто. диполь, електричний момент якого періодично змінюється, наприклад, за гармонійним законом, є найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі. Одним з важливих прикладівколивального диполя є система, що складається з негативного заряду, який коливається поблизу позитивного заряду. Саме така ситуація реалізується при впливі електромагнітної хвилі на атом речовини, коли під дією поля хвилі електрони здійснюють коливання на околиці ядра атома.

Припустимо, що дипольний момент змінюється за гармонійним законом:

де - радіус-вектор негативного заряду, l- амплітуда коливання - одиничний вектор, спрямований уздовж осі диполя.

Обмежимося розглядом елементарного диполя , розміри якого малі в порівнянні з випромінюваною довжиною хвиліі розглянемо хвильову зону диполя, тобто. область простору для якої модуль радіус-вектор точки . У хвильовій зоні однорідного та ізотропного середовища фронт хвилі буде сферичним – малюнок 22.4.

Електродинамічний розрахунок показує, що вектор хвилі лежить у площині, що проходить через вісь диполя і радіус-вектор точки, що розглядається. Амплітуди та залежать від відстані rі кута між і віссю диполя. У вакуумі

Оскільки вектор Пойнтінга, то

, (22.33)

і можна стверджувати, що найсильніше диполь випромінює у напрямках, відповідних , діаграма спрямованості випромінювання диполя має вигляд, показаний малюнку 22.5. Діаграмою спрямованості називається графічне зображеннярозподілу інтенсивності випромінювання з різних напрямків у вигляді кривої побудованої так, щоб довжина відрізка променя, проведеного з диполя в деякому напрямку до точки кривої, була пропорційна інтенсивності випромінювання.

Розрахунки показують також, що потужність Р випромінювання диполя пропорційна квадрату другої похідної за часом від дипольного моменту :

Оскільки

, (22.35)

то середня потужність

виявляється пропорційною квадрату амплітуди дипольного моменту та четвертого ступеня частоти.

З іншого боку, враховуючи, що і , отримуємо, що потужність випромінювання пропорційна квадрату прискорення:

Це твердження справедливе як при коливаннях заряду, але й довільного руху заряду.

Хвильова оптика

У цьому розділі ми розглядатимемо такі світлові явища, в яких проявляється хвильова природа світла. Нагадаємо, що для світла характерний корпускулярно-хвильовий дуалізм і існують явища, які можна пояснити тільки на основі уявлення про світло, як про потік частинок. Але ці явища ми розглянемо у квантовій оптиці.

Загальні відомостіпро світло

Отже, вважаємо світло електромагнітною хвилею. У електромагнітної хвилівагається і . Експериментально встановлено, що фізіологічна, фотохімічна, фотоелектрична та інші дії світла визначаються вектором світлової хвилі, тому його називають світловим. Відповідно, вважатимемо, що світлова хвиля описується рівнянням:

де - амплітуда,

- хвильове число (хвильовий вектор),

Відстань вздовж напряму розповсюдження.

Площина, в якій вагається, називається площиною коливань. Світлова хвиля поширюється зі швидкістю

, (2)

називається показником заломлення та характеризує відмінність швидкості світла в даному середовищі від швидкості світла у вакуумі (порожнечі).

У більшості випадків у прозорих речовин магнітна проникність і майже завжди можна вважати, що показник заломлення визначається діелектричною проникністю середовища:

Значення nвикористовують для характеристики оптичної щільностісередовища: чим більше n, тим більш оптично щільним називається середовище .

Видиме світло має у вакуумі довжини хвиль в інтервалі та частоти

Гц

Реальні приймачі світла не в змозі встежити за такими швидкоплинними процесами і реєструють усереднений у часі потік енергії . За визначенням , інтенсивністю світла називається модуль середнього за часом значення щільності потоку енергії, що переноситься світловою хвилею :

(4)

Оскільки в електромагнітній хвилі

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I ~ A 2(8)

Променяминазиватимемо лінії, вздовж яких поширюється світлова енергія.

Вектор середнього потоку енергії завжди спрямований по дотичній до променя.. В ізотропних середовищах збігається у напрямку з нормаллю до хвильових поверхонь.

У природному світлі є хвилі з різними орієнтаціями площині коливань. Тому, незважаючи на поперечність світлових хвиль, випромінювання звичайних джерел світла не виявляє асиметрії щодо напряму поширення. Ця особливість світла (природного) пояснюється наступним: результуюча світлова хвиля джерела складається з хвиль, випущених різними атомами. Кожен атом випромінює хвилю протягом секунд. За цей час у просторі утворюється цуг хвиль (Послідовність «горбів і западин») довжиною приблизно 3 метри.

Площина коливань кожного цуга цілком певна. Але одночасно свої цуги випромінюють величезну кількість атомів, а площину коливань кожного цуга орієнтована незалежно від інших випадковим чином. Тому у результуючій хвилі від тіла коливання різних напрямків представлені з рівною ймовірністю. Це означає, що, якщо деяким приладом досліджувати інтенсивність світла з різною орієнтацією вектора, то у природному світлі інтенсивність не залежить від орієнтації .

Вимірювання інтенсивності процес тривалий порівняно з періодом хвилі, і розглянуті уявлення про природу природного світла зручні в описах досить тривалих процесів.

Однак у даний моментчасу в конкретній точці простору в результаті складання векторів окремих цуг утворюється деякий конкретний. Внаслідок випадкових «включень» та «вимкнень» окремих атомів світлова хвиля збуджує у цій точці коливання, близьке до гармонійного, але амплітуда, частота і фаза коливань залежить від часу, причому змінюються хаотично. Так само хаотично змінюється і орієнтація площини коливань ий. Таким чином, коливання світлового вектора у цій точці середовища можна описати рівнянням:

(9)

Причому, і є функці, що хаотично змінюються в часі ії. Таке уявлення про природне світло зручне, якщо розглядаються проміжки часу, які можна порівняти з періодом світлової хвилі.

Світло, в якому напрями коливань вектора упорядковані якимось чином називають поляризованим.

Якщо коливання світлового вектора відбуваються тільки в одній площині, що проходить через промінь, то світло називається плоско - або лінійно поляризованим. Тобто в плоско поляризованому світлі площина коливань має суворо фіксоване положення. Можливі інші види впорядкування, тобто види поляризації світла.

Принцип Гюйгенса

У наближенні геометричної оптики світло не повинне проникати в область геометричної тіні. Насправді світло проникає в цю область, і це явище стає тим суттєвішим, чим менші розміри перешкод. Якщо розміри отворів чи щілин можна порівняти з довгою хвилі, то геометрична оптикане застосовується.

Якісно поведінка світла за перепоною пояснюється принципом Гюйгенса, який дозволяє побудувати фронт хвилі в момент за відомим становищем у момент .

Згідно з принципом Гюйгенса, кожна точка, до якої доходить хвильовий рух, стає точковим джерелом вторинних хвиль. Огинає по фронтах вторинних хвиль дає становище фронту хвилі.

Інтерференція світла

Нехай у певній точці середовища дві хвилі (плоско поляризовані) збуджують два коливання однакової частоти та однакового напрямку:

і . (24.14)

Амплітуда результуючого коливання визначається виразом:

У некогерентних хвиль змінюється випадково і значення рівноймовірні. Тому і з (24.15) випливає:

6 Якщо ж хвилі когерентні і , то

Але залежить від , - Довжини шляху від джерел хвиль до даної точки і по-різному для різних точок середовища. Отже, при накладенні когерентних хвиль відбувається перерозподіл світлового потокуу просторі, у результаті одних точках середовища інтенсивність світла збільшується, , а інших – зменшується - . Це явище називається інтерференцією.

Відсутність інтерференції у побуті під час використання кількох джерел світла пояснюється їх некогерентністю. Окремі атоми випромінюють імпульсами протягом c та довжина цуга ≈ 3метри. У нового цуга як орієнтація площині поляризації випадкова, а й фаза також непередбачувана.

Реально когерентні хвилі одержують шляхом поділу випромінювання одного джерела на дві частини. При накладанні елементів можна спостерігати інтерференцію. Але при цьому розносити оптичних довжин не повинно бути порядку довжини цуга. Інакше інтерференції нічого очікувати, т.к. накладаються різні цуги.

Нехай поділ відбувається у точці O, а накладення – у точці Р. P порушуються коливання.

і (24.17)

Швидкість поширення хвиль у відповідних середовищах.

Розносити фаз у точці Р:

де - Довжина хвилі світла у вакуумі.

Величина, тобто. рівна різниці оптичних довжин шляхів між розглянутими точками називається оптичною різницею ходу.

те, в (24.16) дорівнює одиниці, і інтенсивність світла буде максимальною.

(24.20)

то коливання в точці відбуваються в протифазі, а значить інтенсивність світла мінімальна.

КОГЕРЕНТНІСТЬ

Когерентність –узгоджене протікання двох або кількох хвильових процесів. Абсолютної узгодженості ніколи не буває, тому можна говорити про різний ступінь когерентності.

Розрізняють тимчасову та просторову когерентність.

Тимчасова когерентність

Рівняння реальних хвиль

Ми розглянули інтерференцію хвиль, що описуються рівняннями виду:

(1)

Однак такі хвилі є математичною абстракцією, оскільки хвиля, що описується (1), має бути нескінченною у часі та просторі. Тільки цьому випадку величини може бути певними константами.

Реальна хвиля, що утворюється в результаті накладання цугів від різних атомів, містить у собі складові, частоти яких лежать у кінцевому діапазоні частот (відповідно хвильові вектори), а А і a відчувають безперервні хаотичні зміни. Коливання, що збуджуються в деякій точці, що накладаються реальнимихвилями, можна описати виразом:

і (2)

Причому хаотичні зміни функцій від часу (2) є незалежними.

Для простоти аналізу покладемо амплітуди хвиль постійними та однаковими (експериментально ця умова реалізується досить просто):

Зміни частоти та фази можна звести до змін лише частоти або фази. Справді, припустимо, негармонійність функцій (2) обумовлена ​​стрибками фази. Але, за доведеною в математиці теоремі Фур'є, будь-яку негармонічну функцію можна подати у вигляді суми гармонійних складових, частоти яких укладені в деяких . У граничному випадку сума перетворюється на інтеграл: будь-яка кінцева та інтегрована функція може бути представлена ​​інтегралом Фур'є:

, (3)

де є амплітуда гармонійної складової частотианалітично обумовлена ​​співвідношенням:

(4)

Отже, негармонічна внаслідок зміни фази функція представима у вигляді суперпозиції гармонійних складових із частотами в деякому .

З іншого боку, функцію зі змінною частотою та фазою можна звести до функції зі змінною тільки фазою:

Тому для приборкання подальшого аналізу вважатимемо:

тобто реалізуємо фазовий підхіддо поняття «Тимчасова когерентність».

Смуги рівного нахилу

Нехай тонка плоскопаралельна платівка висвітлюється розсіяним монохроматичнимсвітлом. Розташуємо паралельно платівці збираючу лінзу, у її фокальній площині – екран. У розсіяному світлі є промені найрізноманітніших напрямків. Промені, що падають під кутом, дають по 2 відбитих, які зберуться в точці. Це справедливо для всіх променів, що падають на поверхню пластинки під кутом, у всіх точках пластинки. Лінза забезпечує зведення всіх таких променів в одну точку, оскільки паралельні промені, що падають на лінзу під певним кутом, збираються нею в одній точці фокальної площини, тобто. на екрані. У точці О птична вісь лінзи перетинає екран. У цій точці збираються промені, що йдуть паралельно до оптичної осі.

Промені, що падають під кутом , але не в площині малюнка, а в інших площинах, зберуться в точках, розташованих на такій відстані від точки , як і точка . В результаті інтерференції цих променів на деякій відстані від точки утворюється коло з певною інтенсивністю падаючого світла. Промені, що падають під іншим кутом, утворюють на екрані коло з іншою освітленістю, яка залежить від їхньої оптичної різниці ходу. В результаті на екрані утворюються темні і світлі смуги, що чергуються у формі кіл. Кожна з кіл утворена променями, що падають під певним кутом, і вони називаються смугами рівного нахилу. Локалізовані ці смуги нескінченно.

Роль лінзи може виконувати кришталик, а екрану – сітківка ока. При цьому око має бути акомодоване на нескінченність. У білому світлі виходять різнокольорові смуги.

Смуги рівної товщини

Візьмемо платівку у вигляді клина. Нехай на неї падає паралельний пучок світла. Розглянемо промені, що відбилися від верхньої та нижньої граней платівки. Якщо ці промені звести лінзою в точці, то вони будуть інтерферувати. При невеликому куті між гранями пластинки, різницю ходу променів можна обчислювати за формою
ле для плоскопаралельної платівки. Промені променя, що утворилися від падіння, в деяку іншу точку пластинки зберуться лінзою в точці. Різниця їхнього ходу визначиться товщиною пластинки у відповідному місці. Можна довести, що це точки типу Р лежать у одній площині, що проходить через вершину клину.

Якщо розмістити екран так, щоб він був пов'язаний з поверхнею, в якій лежать точки P, Р 1 Р 2, то на ньому виникне система світлих і темних смуг, кожна з яких утворена за рахунок відбитків від пластинки в місцях певної товщини. Тому в даному випадку смуги називаються смугами рівної товщини.

При спостереженні у білому світлі смуги будуть забарвленими. Локалізовані смуги рівної товщини поблизу поверхні платівки. При нормальному падінні світла – на поверхні.

У реальних умовах при спостереженні фарбування мильних та масляних плівок спостерігається смуги змішаного типу.

Дифракція світла.

27.1. Дифракція світла

Дифракцієюназиваютьсукупність явищ, що спостерігаються у середовищі з різкими оптичними неоднорідностями та пов'язані з відхиленнями у поширенні світла від законів геометричної оптики .

Для спостереження дифракції шляху світлової хвилі від деякого джерела поміщають непрозору перешкоду, що закриває частину хвильової поверхні хвилі, випущеної джерелом. Виникаючу дифракційну картинуспостерігають на екрані, розташованому на продовженні променів.

Розрізняють два види дифракції. Якщо промені, що йдуть від джерела і від перешкоди в точку спостереження, можна вважати майже паралельними, то кажуть, що спостерігаєтьсядифракція Фраунгофера, або дифракція у паралельних пучках. Якщо умови дифракції Фраунгофера не виконуються,говорять про дифракцію Френеля.

Необхідно чітко уявляти, що між інтерференцією та дифракцією немає принципової фізичної відмінності. Обидва явища обумовлені перерозподілом енергії когерентних світлових хвиль, що накладаються. Зазвичай під час розгляду кінцевого числадискретних джерел світла, то говорять проінтерференції . Якщо розглядається накладання хвиль відбезперервно розподілених у просторі когерентних джерел , то говорять продифракції .

27.2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Принцип Гюйгенса дозволяє в принципі пояснити проникнення світла в область геометричної тіні, проте нічого не говорить про інтенсивність хвиль, що розповсюджуються в різних напрямках. Френель доповнив принцип Гюйгенса вказівкою те що слід розраховувати інтенсивність випромінювання від елемента хвильової поверхні у різних напрямах, і навіть вказівкою те що, що вторинні хвилі є когерентними, і з розрахунку інтенсивності світла у певній точці необхідно враховувати інтерференцію вторинних хвиль. .

Хвильові процеси

Основні поняття та визначення

Розглянемо деяке пружне середовище - тверде, рідке або газоподібне. Якщо будь-якому місці цього середовища порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками, коливання будуть, передаючись від однієї частки середовища до іншої поширюватися в середовищі з деякою швидкістю . Процес поширення коливань у просторі називається хвилею .

Якщо частки середовищі коливаються у напрямі поширення хвилі, вона називається поздовжній. Якщо коливання частинок відбуваються в площині, перпендикулярній до напряму поширення хвилі, то хвиля називається поперечної . Поперечні механічні хвилі можуть виникнути тільки в середовищі, що має ненульовий модуль зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можуть поширюватися тільки поздовжні хвилі . Відмінність між поздовжніми і поперечними хвилями найбільш добре видно з прикладу поширення коливань у пружині - див. малюнок.

Для характеристики поперечних коливань необхідно встановити положення у просторі площині, що проходить через напрям коливань та напрямок поширення хвилі - площині поляризації .

Область простору, в якій коливаються всі частки середовища, називається хвильовим полем . Кордон між хвильовим полем та рештою простору середовища називається фронтом хвилі . Інакше кажучи, фронт хвилі - геометричне місце точок, до яких коливання дійшли на даний момент часу. У однорідному та ізотропному середовищі напрямок поширення хвилі перпендикулярнодо фронту хвилі.

Поки у середовищі існує хвиля, частки середовища роблять коливання біля положень рівноваги. Нехай ці коливання гармонійні, і період цих коливань дорівнює Т. Частинки, що віддаляються один від одного на відстань

вздовж напрями поширення хвилі, чинять коливання однаковим чином, тобто. у кожний момент часу їх зміщення однакові. Відстань називається довжиною хвилі . Іншими словами, довжина хвилі є відстань, на яку поширюється хвиля за один період коливань .

Геометричне місце точок, що здійснюють коливання в одній фазі називається хвильовою поверхнею . Фронт хвилі – окремий випадок хвильової поверхні. Довжина хвилі - Мінімальневідстань між двома хвильовими поверхнями, в яких точки коливаються однаковим чином, або можна сказати, що фази їх коливань відрізняються .

Якщо хвильові поверхні є площинами, то хвиля називається плоский , а якщо сферами – то сферичної. Плоска хвиля збуджується в суцільному однорідному та ізотропному середовищі при коливаннях нескінченної площини. Порушення сферичної можна подати у вигляді результату радіальних пульсацій сферичної поверхні, а також як результат дії точкового джерела,розмірами якого порівняно з відстанню до точки спостереження можна знехтувати. Оскільки будь-яке реальне джерело має кінцеві розміри, досить великій відстані від нього хвиля буде близька до сферичної. У той же час ділянка хвильової поверхні сферичної хвилі в міру зменшення його розмірів стає як завгодно близьким до ділянки хвильової поверхні плоскої хвилі.

Рівняння плоскої та сферичної хвиль

Рівнянням хвиліназивається вираз, який визначає зміщення точки, що коливається, як функцію координат рівноважного положення точки і часу:

Якщо джерело здійснює періодичніколивання, то функція(22.2) має бути періодичною функцієюта координат та часу. Періодичність за часом випливає з того, що функція описує періодичні коливання крапки з координатами; періодичність за координатами - з того, що точки, що знаходяться на відстані вздовж напрямку поширення хвилі, коливаються однаковим чином

Обмежимося розглядом гармонійних хвиль, коли точки середовища здійснюють гармонійні коливання. Слід зазначити, що будь-яку негармонічну функцію можна як результату накладання гармонійних хвиль. Тому розгляд лише гармонійних хвиль не призводить до принципового погіршення спільності одержуваних результатів.

Розглянемо пласку хвилю. Виберемо систему координат так, щоб вісь Охзбігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярні до осі. Охі, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, усунення точок середовища з положень рівноваги буде залежати тільки від х і t:

Нехай коливання точок, що лежать у площині, мають вигляд:

(22.4)

Коливання у площині, що знаходиться на відстані хвід початку координат, відстають за часом від коливань на проміжок часу , необхідний хвилі для подолання відстані х,та описуються рівнянням

яке і є рівнянням плоскої хвилі, що розповсюджується у напрямку осі Ох.

При виведенні рівняння (22.5) ми припускали амплітуду коливань однаковою у всіх точках. У разі плоскої хвилі це виконується, якщо енергія хвилі не поглинається середовищем.

Розглянемо деяке значення фази, що стоїть у рівнянні (22.5):

(22.6)

Рівняння (22.6) дає зв'язок між часом tта місцем - х, в якому вказане значенняфази здійснюється на даний момент. Визначивши з рівняння (22.6) ми знайдемо швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Диференціюючи(22.6), отримуємо:

Звідки слідує (22.7)

Рівняння хвилі– це рівняння, що виражає залежність усунення коливальної частки, що бере участь у хвильовому процесі, від координати її рівноважного становища та часу:

Ця функція має бути періодичною як щодо часу, так і щодо координат. Крім того, точки, віддалені на відстані l один від одного, коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції x у разі плоскої хвилі.

Розглянемо плоску гармонійну хвилю, що розповсюджується вздовж позитивного напрямку осі в середовищі, що не поглинає енергію. У цьому випадку хвильові поверхні будуть перпендикулярні до осі. Усі величини, що характеризують коливальний рухчастинок середовища, залежать тільки від часу та координати . Зміщення залежатиме тільки від і : . Нехай коливання точки з координатою (джерело коливань) задається функцією . Завдання: знайти вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню. Для того, щоб пройти шлях від площини до цієї площини хвилі потрібен час . Отже, коливання частинок, що лежать у площині, відставатимуть по фазі на якийсь час від коливань частинок у площині. Тоді рівняння коливань частинок у площині матиме вигляд:

У результаті отримали рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку зростання:

. (3)

У цьому рівнянні – амплітуда хвилі; – циклічна частота; - Початкова фаза, яка визначається вибором початку відліку та ; - Фаза плоскої хвилі.

Нехай фаза хвилі буде величиною постійної (зафіксуємо значення фази рівняння хвилі):

Скоротимо цей вислів і продиференціюємо. У результаті отримаємо:

або .

Таким чином, швидкість поширення хвилі в рівнянні плоскої хвилі є не що інше, як швидкість поширення фіксованої фази хвилі. Таку швидкість називають фазовою швидкістю .

Для синусоїдальної хвилі швидкість перенесення енергії дорівнює фазовій швидкості. Але синусоїдальна хвиля не несе жодної інформації, а будь-який сигнал це модульована хвиля, тобто. не синусоїдальна (не гармонійна). При вирішенні деяких завдань виходить, що фазова швидкість більша за швидкість світла. Тут немає феномена, т.к. швидкість переміщення фази не є швидкість передачі (розповсюдження) енергії. Енергія, маса не можуть рухатися зі швидкістю більше, ніж швидкість світла c .

Зазвичай рівняння плоскої хвилі надають симетричний щодо і вигляд. Для цього вводиться величина яка називається хвильовим числом . Перетворимо вираз хвильового числа. Запишемо його у вигляді (). Підставимо цей вислів у рівняння плоскої хвилі:

Остаточно отримаємо

Це рівняння плоскої хвилі, що поширюється у бік зростання. Протилежний напрямок поширення хвилі характеризуватиметься рівнянням, у якому зміниться знак перед членом.

Зручний запис рівняння плоскої хвилі у такому вигляді.

Зазвичай знак Re опускають, маючи на увазі, що береться лише речова частина відповідного виразу. Крім цього, вводиться комплексне число.

Це число називається комплексною амплітудою. Модуль цієї цифри дає амплітуду, а аргумент – початкову фазухвилі.

Таким чином, рівняння плоскої незатухаючої хвиліможна уявити в наступному вигляді.

Все розглянуте вище стосувалося середовища, де було згасання хвилі. У разі згасання хвилі, відповідно до закону Бугера (П'єр Бугер, французький вчений (1698 – 1758)), амплітуда хвилі зменшуватиметься при її поширенні. Тоді рівняння плоскої хвилі матиме такий вигляд.

a- Коефіцієнт загасання хвиля. A 0 - Амплітуда коливань у точці з координатами . Це величина зворотна відстані, при якому амплітуда хвилі зменшується в e разів.

Знайдемо рівняння сферичної хвилі. Вважатимемо джерело коливань точковим. Це можливо, якщо обмежитися розглядом хвилі на відстані, набагато більшій за розміри джерела. Хвиля від такого джерела в ізотропному та однорідному середовищі буде сферичної . Точки , що лежать на хвильовій поверхні радіусу , вагатимуться з фазою

Амплітуда коливань у цьому випадку, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, не залишатиметься постійною. Вона зменшується з відстанню від джерела за законом . Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд:

або

З огляду на зроблених припущень рівняння справедливе лише за , значно перевищують розміри джерела хвиль. Рівняння (6) не застосовується для малих значень, т.к. амплітуда кинулася б до нескінченності, а це абсурд.

За наявності згасання середу рівняння сферичної хвилі запишеться так.

Групова швидкість

Строго монохроматична хвиля є нескінченною у часі та просторі послідовністю "горбів" і "впадин".

Фазова швидкість цієї хвилі або (2)

З допомогою такої хвилі не можна передати сигнал, т.к. у будь-якій точці хвилі всі "горби" однакові. Сигнал повинен відрізнятись. Бути знайомим (позначкою) на хвилі. Але тоді хвиля вже не буде гармонійною, і не описуватиметься рівнянням (1). Сигнал (імпульс) можна представити згідно з теоремою Фур'є у вигляді суперпозиції гармонійних хвиль з частотами, укладеними в деякому інтервалі Dw . Суперпозиція хвиль, що мало відрізняються один від одного за частотою,

називається хвильовим пакетом або групою хвиль .

Вираз групи хвиль може бути записано наступним чином.

(3)

Значок w підкреслює, що це величини залежить від частоти.

Цей хвильовий пакет може бути сумою хвиль з частотами, що мало відрізняються. Там, де фази хвиль збігаються, спостерігається посилення амплітуди, а там, де фази протилежні, спостерігається гасіння амплітуди (результат інтерференції). Така картина представлена ​​малюнку. Щоб суперпозицію хвиль можна було вважати групою хвиль, необхідно виконання наступної умови Dw<< w 0 .

У недиспергуючому середовищі всі плоскі хвилі, що утворюють хвильовий пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю v . Дисперсія це залежність фазової швидкості синусоїдальної хвилі серед від частоти. Явище дисперсії ми розглянемо пізніше у розділі "Хвильова оптика". У відсутності дисперсії швидкість переміщення хвильового пакета збігається з фазовою швидкістю v . У диспергуючому середовищі кожна хвиля диспергує зі своєю швидкістю. Тому хвильовий пакет з часом розпливається, його ширина збільшується.

Якщо дисперсія невелика, розпливання хвильового пакета відбувається не дуже швидко. Тому руху всього пакета можна приписати деяку швидкість U .

Швидкість, з якою переміщається центр хвильового пакета (точка з максимальним значенням амплітуди), називається груповою швидкістю .

У диспергуючому середовищі v¹ U . Разом із рухом самого хвильового пакета відбувається рух "горбів" усередині самого пакета. "Горби" переміщаються у просторі зі швидкістю v , а пакет загалом зі швидкістю U .

Розглянемо детальніше рух хвильового пакета на прикладі суперпозиції двох хвиль з однаковою амплітудою та різними частотами w (різними довжинами хвиль l ).

Запишемо рівняння двох хвиль. Приймемо для простоти початкові фази j 0 = 0.

Тут

Нехай Dw<< w відповідно Dk<< k .

Складемо коливання та проведемо перетворення за допомогою тригонометричної формули для суми косінусів:

У першому косинусі знехтуємо Dwt і Dkx , які набагато менше інших величин. Врахуємо, що cos(–a) = cosa . Остаточно запишемо.

(4)

Множник у квадратних дужках змінюється від часу та координати значно повільніше, ніж другий множник. Отже, вираз (4) можна розглядати як рівняння плоскої хвилі з амплітудою, що описується першим співмножником. Графічно хвиля, що описується виразом (4) представлена ​​малюнку, зображеному вище.

Результуюча амплітуда виходить у результаті складання хвиль, отже, спостерігатимуться максимуми та мінімуми амплітуди.

Максимум амплітуди визначатиметься такою умовою.

(5)

m = 0, 1, 2…

x max- Координата максимальної амплітуди.

Косинус набуває максимального значення по модулю через p .

Кожен із цих максимумів можна як центр відповідної групи хвиль.

Дозволивши (5) щодо x max отримаємо.

Оскільки фазова швидкість , то називається груповий швидкістю. З такою швидкістю рухається максимум амплітуди хвильового пакета. У межі вираз для групової швидкості матиме наступний вигляд.

(6)

Це вираз справедливо для центру групи довільного числа хвиль.

Слід зазначити, що з точному обліку всіх членів розкладання (для довільного числа хвиль), вираз для амплітуди виходить таким, що з нього випливає, що хвильовий пакет з часом розпливається.
Виразу для групової швидкості можна надати інший вигляд.

У відсутності дисперсії

Максимум інтенсивності посідає центр групи хвиль. Тому швидкість перенесення енергії дорівнює груповій швидкості.

Поняття груповий швидкості застосовується лише за умови, що поглинання хвилі серед невелике. При значному згасанні хвиль поняття груповий швидкості втрачає сенс. Цей випадок спостерігається у сфері аномальної дисперсії. Це ми розглядатимемо у розділі "Хвильова оптика".