Ікс дорівнює. Квадратні нерівності. Коріння квадратного рівняння

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке "квадратна нерівність"?Не питання!) Якщо взяти будь-якеквадратне рівняння та замінити в ньому знак "=" (Рівно) на будь-який значок нерівності ( > ≥ < ≤ ≠ ), вийде квадратна нерівність. Наприклад:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну ви зрозуміли...)

Я не дарма тут зв'язав рівняння та нерівності. Справа в тому, що перший крок у вирішенні будь-якогоквадратної нерівності - вирішити рівняння, з якого ця нерівність зроблена.З цієї причини - нездатність вирішувати квадратні рівняння автоматично призводить до повного провалу та в нерівностях. Натяки зрозумілі?) Якщо що, подивіться, як вирішувати будь-які квадратні рівняння. Там все докладно розписано. А у цьому уроці ми займемося саме нерівностями.

Готова для вирішення нерівність має вигляд: ліворуч - квадратний тричлен ax 2 +bx+c, праворуч - нуль.Знак нерівності може бути абсолютно будь-яким. Перші два приклади тут вже готові до вирішення.Третій приклад треба ще підготувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.

Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.

Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, в яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися і в молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) вірне числова нерівність, 0,23> 0,235 - неправильна числова нерівність.

Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічні проблемизводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.

Деякі нерівності служать єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести чи спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.

Числові нерівності

Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.

Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.

Визначення.Число а більше числа b, якщо різницю а-bпозитивна. Число а менше числа b якщо різниця а-b негативна.

Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.

Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від'ємне число, то знак нерівності зміниться протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.

Ви знаєте, що числові рівності можна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.

При вирішенні різних завдань часто доводиться складати або множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.

При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:

Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.

Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.

Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто . а не менше b.

Нерівності, що містять знак \(\geq\) або знак \(\leq\), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.

Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і Ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завдань доводиться складати математичну модель у вигляді рівняння або системи рівнянь. Далі ви дізнаєтесь, що математичними моделямина вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є це числовирішенням конкретної нерівності.

Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностямиз одним невідомим.

Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.

Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей привести до вигляду найпростіших нерівностей.

Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною

Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.

Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень .Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору чи вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.

Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена(ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)

З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.

Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:

Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 x 2 ... x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.

Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа

Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.

Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.

Вирішити нерівність:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;

Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:

Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.

Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні або показові рівняння – це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У цьому прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть внизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частинадорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

Розглянемо функцію y=k/y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний виглядгіперболи, представлений малюнку нижче. (На графіці представлена функція y дорівнює k розділити на x, у якої k дорівнює одиниці.)

Видно, що графік складається із двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків дедалі ближче до осей координат. Осі координат у разі називають асимптотами.

Взагалі будь-які прямі лінії, яких нескінченно наближається графік функції, але з досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої малюнку вище, це пряма y=x.

Тепер розберемося з двома спільними випадкамигіпербол. Графіком функції y = k/x, при k ≠0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k>0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.

Основні властивості функції y = k/x при k>0

Графік функції y = k/x при k>0

5. y>0 при x>0; y6. Функція зменшується як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

10. Область значень функції двох відкритих проміжків (-∞;0) та (0;+∞).

Основні властивості функції y = k/x при k<0

Графік функції y = k/x при k<0

1. Крапка (0; 0) центр симетрії гіперболи.

2. Осі координат – асимптоти гіперболи.

4. Область визначення функції всіх х, крім х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функція зростає як у проміжку (-∞;0), і на проміжку (0;+∞).

7. Функція не обмежена ні знизу, ні згори.

8. Функція не має ні найбільшого, ні найменшого значень.

9. Функція безперервна на проміжку (-∞;0) та на проміжку (0;+∞). Має розрив у точці х = 0.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

Не мають коріння;
Мають рівно один корінь;
Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

Якщо D< 0, корней нет;
Якщо D = 0, є рівно один корінь;
Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x2+3x+7=0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Зрештою, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний коріньіснує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не знадобився — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь: