8. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела.
Закон всемирного тяготения – две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
, где G – гравитационная постоянная = 6,67*Н
На полюсе – mg== ,
На экваторе – mg= –m
Если тело над землей – mg== ,
Сила тяжести – это сила с которой планета действует на тело. Сила тяжести равна произведению массы тела и ускорения свободного падения.
Вес – это сила воздействия тела на опору, препятствующую падению, возникающую в поле сил тяжести.
9. Силы сухого и вязкого трения. Движение по наклонной плоскости.
Силы трения возникают, когда есть контакт м/у телами.
Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.
Сила трения покоя равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону.
Fтр покоя = -F
Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную направления движения, зависит от относительной скорости тел.
Сила вязкого трения – при движении твердого тела в жидкости или газе.
При вязком трении нет трения покоя.
Зависит от скорости тела.
При малых скоростях
При больших скоростях
Движение по наклонной плоскости:
oy: 0=N-mgcosα, µ=tgα
10.Упругое тело. Силы и деформации при растяжении. Относительное удлинение. Напряжение. Закон Гука.
При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить свои прежние размеры и форму тела – сила упругости.
1.Растяжение x>0,Fy<0
2.Сжатие x<0,Fy>0
При малых
деформациях (|x|< ε=– относительная деформация. σ =
=S– площадь поперечного
сечения деформированного тела –
напряжение. ε=E– модуль Юнга зависит
от свойств материала. Импульсом
,
или количеством движения материальной
точки называется векторная величина,
равная произведению массы материальной
точки m на скорость ее движения v. – для
материальной точки; – для системы
материальных точек (через импульсы этих
точек); – для системы
материальных точек (через движение
центра масс). Центром
масс системы
называется точка С,
радиус-вектор r C которой равен Уравнение
движения центра масс:
Смысл уравнения
таков: произведение массы системы на
ускорение центра масс равно геометрической
сумме внешних сил, действующих на тела
системы. Как видим, закон движения центра
масс напоминает второй закон Ньютона.
Если внешние силы на систему не действуют
или сумма внешних сил равна нулю, то
ускорение центра масс равно нулю, а
скорость его неизменна во времени по
модулю и наплавлению, т.е. в этом случае
центр масс движется равномерно и
прямолинейно. В частности,
это означает, что если система замкнута
и центр масс ее неподвижен, то внутренние
силы системы не в состоянии привести
центр масс в движение. На этом принципе
основано движение ракет: чтобы ракету
привести в движение, необходимо выбросить
выхлопные газы и пыль, образующиеся при
сгорании топлива, в обратном направлении. Закон
Сохранения Импульса
Для вывода
закона сохранения импульса рассмотрим
некоторые понятия. Совокупность
материальных точек (тел), рассматриваемых
как единое целое, называется механической
системой.
Силы взаимодействия между
материальными точками механической
системы называютсявнутренними.
Силы,
с которыми на материальные точки системы
действуют внешние тела, называютсявнешними.
Механическая система тел,
на которую не действуют внешние силы,
называется замкнутой
(илиизолированной).
Если мы имеем
механическую систему, состоящую из
многих тел, то, согласно третьему закону
Ньютона, силы, действующие между этими
телами, будут равны и противоположно
направлены, т. е. геометрическая сумма
внутренних сил равна нулю. Рассмотрим
механическую систему, состоящую из n
тел, масса и скорость которых
соответственно равныт
1 , m
2 ,
. ..,т
n
иv
1 ,v
2 , .. .,v
n
. ПустьF
" 1 ,F
" 2 , ...,F
" n - равнодействующие внутренних сил,
действующих на каждое из этих тел, af
1 ,f
2 , ...,F
n - равнодействующие
внешних сил. Запишем второй закон Ньютона
для каждого изn
тел механической
системы: d/dt(m 1 v 1)=F
" 1 +F
1 , d/dt(m 2 v 2)=F"
2 +F
2 , d/dt(m n v
n)=
F
" n +F
n . Складывая
почленно эти уравнения, получим d/dt (m 1 v
1 +m 2 v
2 +...
+m n v
n)
=F
" 1 +F
" 2 +...+F
" n
+F
1 +F
2 +...+F
n . Но так как
геометрическая сумма внутренних сил
механической системы по третьему закону
Ньютона равна нулю, то d/dt(m 1 v 1 +m 2 v 2
+ ... + m n v n)=
F
1
+ F
2 +...+
F
n ,
или dp/dt=F
1 +
F
2 +...+
F
n ,
(9.1) где
импульс
системы. Таким образом, производная по
времени от им пульса механической
системы равна гео метрической сумме
внешних сил, действующих на систему. В случае
отсутствия внешних сил (рассматриваем
замкнутую систему) Это выражение
и является законом сохранения
импульса:
импульс замкнутой
системы сохраняется, т. е. не изменяется
с течением времени. Закон
сохранения импульса справедлив не
только в классической физике, хотя он
и получен как следствие законов Ньютона.
Эксперименты доказывают, что он
выполняется и для замкнутых систем
микрочастиц (они подчиняются законам
квантовой механики). Этот закон носит
универсальный характер, т. е. закон со
хранения импульса - фундаментальный
закон природы.
Темы кодификатора ЕГЭ: силы в механике, закон всемирного тяготения, сила тяжести, ускорение свободного падения, вес тела, невесомость, искусственные спутники Земли. Любые два тела притягиваются друг к другу - по той лишь одной причине, что они имеют массу. Эта сила притяжения называется силой тяготения
или гравитационной силой
. Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется достаточно простому закону. Закон всемирного тяготения.
Две материальные точки массами и притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: (1)
Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной
. Это фундаментальная константа, и её численное значение было определено на основе эксперимента Генри Кавендиша: Порядок величины гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем взаимного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь притяжение предметов к Земле, масса которой примерно кг. Формула (1)
, будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для практики исключения. 1. Формула (1)
справедлива, если тела являются однородными шарами. Тогда - расстояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров. 2. Формула (1)
справедлива, если одно из тел - однородный шар, а другое - материальная точка, находящаяся вне шара. Тогда сстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара. Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу (1)
для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете. Предположим, что тело находится вблизи некоторой планеты. Сила тяжести - это сила гравитационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты. В подавляющем большинстве случаев сила тяжести - это сила притяжения к Земле. Пусть тело массы лежит на поверхности Земли. На тело действует сила тяжести , где - ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. С другой стороны, считая Землю однородным шаром, можно выразить силу тяжести по закону всемирного тяготения: где - масса Земли, км - радиус Земли. Отсюда получаем формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли: . (2)
Эта же формула, разумеется, позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массы и радиуса . Если тело находится на высоте над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем: Здесь - ускорение свободного падения на высоте : В последнем равенстве мы воспользовались соотношением которое следует из формулы (2)
. Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть опора или подвес, препятствующие свободному падению тела. Вес тела
- это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к телу, а к опоре (подвесу). На рис. 1
изображено тело на опоре. Со стороны Земли на тело действует сила тяжести (в случае однородного тела простой формы сила тяжести приложена в центре симметрии тела). Со стороны опоры на тело действует сила упругости (так называемая реакция опоры). На опору со стороны тела действует сила - вес тела. По третьему закону Ньютона силы и равны по модулю и противоположны по направлению. Предположим, что тело покоится. Тогда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю. Имеем: С учётом равенства получаем . Стало быть, если тело покоится, то его вес равен по модулю силе тяжести. Задача.
Тело массы вместе с опорой движется с ускорением , направленным вертикально вверх. Найти вес тела. Решение.
Направим ось вертикально вверх (рис. 2
). Запишем второй закон Ньютона: Перейдём к проекциям на ось : Отсюда . Следовательно, вес тела Как видим, вес тела больше силы тяжести. Такое состояние называется перегрузкой.
Задача.
Тело массы вместе с опорой движется с ускорением , направленным вертикально вниз. Найти вес тела. Решение.
Направим ось вертикально вниз (рис. 3
). Схема решения та же. Начинаем со второго закона Ньютона: Переходим к проекциям на ось : Отсюда c. Следовательно, вес тела В данном случае вес тела меньше силы тяжести. При (свободное падение тела с опорой) вес тела обращается в нуль. Это - состояние Для того, чтобы искусственный спутник мог совершать орбитальное движение вокруг планеты, ему нужно сообщить определённую скорость. Найдём скорость кругового движения спутника на высоте над поверхностью планеты. Масса планеты , её радиус (рис. 4
) Спутник будет двигаться под действием единственной силы - силы всемирного тяготения, направленной к центру планеты. Туда же направлено и ускорение спутника - центростремительное ускорение Обозначив через массу спутника, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной к центру планеты: , или Отсюда получаем выражение для скорости: Первая космическая скорость
- это максимальная скорость кругового движения спутника, отвечающая высоте . Для первой космической скорости имеем или, с учётом формулы ( 2
), Для Земли приближённо имеем. Почему выпущенный из рук камень падает на Землю? Потому что его притягивает Земля, скажет каждый из вас. В самом деле, камень падает на Землю с ускорением свободного падения. Следовательно, на камень со сто-роны Земли действует сила, направленная к Земле. Согласно третьему закону Ньютона и камень действует на Землю с такой же по модулю силой, направленной к камню. Иными словами, между Землей и камнем действуют силы взаимного притяжения. Ньютон был первым, кто сначала догадался, а потом и строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила тяготения, действующая между любыми телами Вселенной. Вот ход его рассуждений, приведенных в главном труде Ньютона «Математические начала натуральной философии»: «Брошенный горизонтально камень отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадет дальше» (рис. 1). Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы с определенной скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался вокруг нее «подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты». Сейчас нам стало настолько привычным движение спутников вокруг Земли, что разъяснять мысль Ньютона подробнее нет необходимости. Итак, по мнению Ньютона, движение Луны вокруг Земли или планет вокруг Солнца – это тоже свободное падение, но только падение, которое длится, не прекращаясь, миллиарды лет. Причиной такого «падения» (идет ли речь действительно о падении обычного камня на Землю или о движении планет по их орбитам) является сила всемирного тяготения. От чего же эта сила зависит? Галилей доказал, что при свободном падении Земля сообщает всем телам в данном месте одно и то же ускорение независимо от их массы. Но ускорение по второму закону Ньютона обратно пропорционально массе\. Как же объяснить, что ускорение, сообщаемое телу силой притяжения Земли, одинаково для всех тел? Это возможно лишь в том случае, если сила притяжения к Земле прямо пропорциональна массе тела. В этом случае увеличение массы т, например, вдвое приведет к увеличению модуля силы F
тоже вдвое, а ускорение, которое равно \(a = \frac {F}{m}\), останется неизменным. Обобщая этот вывод для сил тяготения между любыми телами, заключаем, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массе тела, на которое эта сила действует. Но во взаимном притяжении участвуют по меньшей мере два тела. На каждое из них, согласно третьему закону Ньютона, действуют одинаковые по модулю силы тяготения. Поэтому каждая из этих сил должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе другого тела. Поэтому сила всемирного тяготения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс:
\(F \sim m_1 \cdot m_2\)
Из опыта хорошо известно, что ускорение свободного падения равно 9,8 м/с 2 и оно одинаково для тел, падающих с высоты 1, 10 и 100 м, т. е. не зависит от расстояния между телом и Землей. Это как будто бы означает, что и сила от расстояния не зависит. Но Ньютон считал, что отсчитывать расстояния надо не от поверхности, а от центра Земли. Но радиус Земли 6400 км. Понятно, что несколько десятков, сотен или даже тысяч метров над поверхностью Земли не могут заметно изменить значение ускорения свободного падения. Чтобы выяснить, как влияет расстояние между телами на силу их вза-имного притяжения, нужно было бы узнать, каково ускорение тел, удаленных от Земли на достаточно большие расстояния. Однако наблюдать и изучать свободное падение тела с высоты в тысячи километров над Землей трудно. Но сама природа пришла здесь на помощь и дала возможность определить ускорение тела, движущегося по окружности вокруг Земли и обладающего поэтому центростремительным ускорением, вызванным, разумеется, той же силой притяжения к Земле. Таким телом является естественный спутник Земли – Луна. Если бы сила притяжения между Землей и Луной не зависела от расстояния между ними, то центростремительное ускорение Луны было бы таким же, как ускорение тела, свободно падающего близ поверхности Земли. В действительности же центростремительное ускорение Луны равно 0,0027 м/с 2 . Докажем это
. Обращение Луны вокруг Земли происходит под действием силы тяготения между ними. Приближенно орбиту Луны можно считать окружностью. Следовательно, Земля сообщает Луне центростремительное ускорение. Оно вычисляется по формуле \(a = \frac {4 \pi^2 \cdot R}{T^2}\), где R
– радиус лунной орбиты, равный примерно 60 радиусам Земли, Т
≈ 27 сут 7 ч 43 мин ≈ 2,4∙10 6 с – период обращения Луны вокруг Земли. Учитывая, что радиус Земли R
з ≈ 6,4∙10 6 м, получим, что центростремительное ускорение Луны равно:
\(a = \frac {4 \pi^2 \cdot 60 \cdot 6,4 \cdot 10^6}{(2,4 \cdot 10^6)^2} \approx 0,0027\) м/с 2 .
Найденное значение ускорения меньше ускорения свободного падения тел у поверхности Земли (9,8 м/с 2) приблизительно в 3600 = 60 2 раз. Таким образом, увеличение расстояния между телом и Землей в 60 раз привело к уменьшению ускорения, сообщаемого земным притяжением, а следовательно, и самой силы притяжения в 60 2 раз. Отсюда вытекает важный вывод: ускорение, которое сообщает телам сила притяжения к Земле, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли
\(F \sim \frac {1}{R^2}\).
В 1667 г. Ньютон окончательно сформулировал закон всемирного тяготения:
\(F = G \cdot \frac {m_1 \cdot m_2}{R^2}.\quad (1)\)
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
. Коэффициент пропорциональности G
называется гравитационной постоянной
. Закон всемирного тяготения
справедлив только для таких тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Иначе говоря, он справедлив только для материальных точек
. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 2). Подобного рода силы называются центральными. Для нахождения силы тяготения, действующей на данное тело со сто-роны другого, в случае, когда размерами тел пренебречь нельзя, поступают следующим образом. Оба тела мысленно разделяют на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая силы тяготения, действующие на каждый элемент данного тела со стороны всех элементов другого тела, получают силу, действующую на этот элемент (рис. 3). Проделав такую операцию для каждого элемента данного тела и сложив полученные силы, находят полную силу тяготения, действующую на это тело. Задача эта сложная. Есть, однако, один практически важный случай, когда формула (1) применима к протяженным телам. Можно доказать, что сферические тела, плотность которых зависит только от расстояний до их центров, при расстояниях между ними, больших суммы их радиусов, притягиваются с силами, модули которых определяются формулой (1). В этом случае R
– это расстояние между центрами шаров. И наконец, так как размеры падающих на Землю тел много меньше размеров Земли, то эти тела можно рассматривать как точечные. Тогда под R
в формуле (1) следует понимать расстояние от данного тела до центра Земли. Между всеми телами действуют силы взаимного притяжения, зависящие от самих тел (их масс) и от расстояния между ними. Из формулы (1) находим
\(G = F \cdot \frac {R^2}{m_1 \cdot m_2}\).
Отсюда следует, что если расстояние между телами численно равно единице (R
= 1 м) и массы взаимодействующих тел тоже равны единице (m
1 = m
2 = 1 кг), то гравитационная постоянная численно равна модулю силы F
. Таким образом (физический смысл
), гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, действующей на тело массой 1 кг со стороны другого тела такой же массы при расстоянии между телами, равном 1 м
. В СИ гравитационная постоянная выражается в Значение гравитационной постоянной G
может быть найдено только опытным путем. Для этого надо измерить модуль силы тяготения F
, действующей на тело массой m
1 со стороны тела массой m
2 при известном расстоянии R
между телами. Первые измерения гравитационной постоянной были осуществлены в середине XVIII в. Оценить, правда весьма грубо, значение G
в то время удалось в результате рассмотрения притяжения маятника к горе, масса которой была определена геологическими методами. Точные измерения гравитационной постоянной впервые были проведены в 1798 г. английским физиком Г. Кавендишем с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схематично крутильные весы показаны на рисунке 4. Кавендиш закрепил два маленьких свинцовых шара (диаметром 5 см и массой m
1 = 775 г каждый) на противоположных концах двухметрового стержня. Стержень был подвешен на тонкой проволоке. Для этой проволоки предварительно определялись силы упругости, возникающие в ней при закручивании на различные углы. Два больших свинцовых шара (диаметром 20 см и массой m
2 = 49,5 кг) можно было близко подводить к маленьким шарам. Силы притяжения со стороны больших шаров заставляли маленькие шары перемещаться к ним, при этом натянутая проволока немного закручивалась. Степень закручивания была мерой силы, действующей между шарами. Угол закручивания проволоки (или поворота стержня с малыми шарами) оказался столь малым, что его пришлось измерять с помощью оптической трубы. Результат, полученный Кавендишем, только на 1% отличается от значения гравитационной постоянной, принятого сегодня: G ≈ 6,67∙10 -11 (Н∙м 2)/кг 2
Таким образом, силы притяжения двух тел массой по 1 кг каждое, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга, по модулям равны всего лишь 6,67∙10 -11 Н. Это очень малая сила. Только в том случае, когда взаимодействуют тела огромной массы (или по крайней мере масса одного из тел велика), сила тяготения становится большой. Например, Земля притягивает Луну с силой F
≈ 2∙10 20 Н. Гравитационные силы – самые «слабые» из всех сил природы. Это связано с тем, что гравитационная постоянная мала. Но при больших массах космических тел силы всемирного тяготения становятся очень большими. Эти силы удерживают все планеты возле Солнца. Закон всемирного тяготения лежит в основе небесной механики – науки о движении планет. С помощью этого закона с огромной точностью определяются положения небесных тел на небесном своде на многие десятки лет вперед и вычисляются их траектории. Закон всемирного тяготения применяется также в расчетах движения искусственных спутников Земли и межпланетных автоматических аппаратов. Возмущения в движении планет
. Планеты не движутся строго по законам Кеплера. Законы Кеплера точно соблюдались бы для движения данной планеты лишь в том случае, когда вокруг Солнца обращалась бы одна эта планета. Но в Солнечной системе планет много, все они притягиваются как Солнцем, так и друг другом. Поэтому возникают возмущения движения планет. В Солнечной системе возмущения невелики, потому что притяжение планеты Солнцем гораздо сильнее притяжения другими планетами. При вычислении видимого положения планет приходится учитывать возмущения. При запуске искусственных небесных тел и при расчете их траекторий пользуются приближенной теорией движения небесных тел – теорией возмущений. Открытие Нептуна
. Одним из ярких примеров триумфа закона все-мирного тяготения является открытие планеты Нептун. В 1781 г. английский астроном Вильям Гершель открыл планету Уран. Была вычислена ее орбита и составлена таблица положений этой планеты на много лет вперед. Однако проверка этой таблицы, проведенная в 1840 г., показала, что данные ее расходятся с действительностью. Ученые предположили, что отклонение в движении Урана вызвано притяжением неизвестной планеты, находящейся от Солнца еще дальше, чем Уран. Зная отклонения от расчетной траектории (возмущения движения Урана), англичанин Адаме и француз Леверрье, пользуясь законом всемирного тяготения, вычислили положение этой планеты на небе. Адаме раньше закончил вычисления, но наблюдатели, которым он сообщил свои результаты, не торопились с проверкой. Тем временем Леверрье, закончив вычисления, указал немецкому астроному Галле место, где надо искать неизвестную планету. В первый же вечер, 28 сентября 1846 г., Галле, направив телескоп на указанное место, обнаружил новую планету. Ее назвали Нептуном. Таким же образом 14 марта 1930 г. была открыта планета Плутон. Оба открытия, как говорят, были сделаны «на кончике пера». При помощи закона всемирного тяготения можно вычислить массу планет и их спутников; объяснить такие явления, как приливы и отливы воды в океанах, и многое другое. Силы всемирного тяготения – самые универсальные из всех сил природы. Они действуют между любыми телами, обладающими массой, а массу имеют все тела. Для сил тяготения не существует никаких преград. Они действуют сквозь любые тела. Взаимодействие, свойственное всем телам Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу, называют гравитационным
, а само явление всемирного тяготениягравитацией.
Гравитационное взаимодействие
осуществляется посредством особого вида материи, называемого гравитационным полем
. Гравитационные силы (силы тяготения)
обусловлены взаимным притяжением тел и направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие точки. Выражение для силы тяготения в 1666 году получил Ньютон, когда ему было всего 24 года. Закон всемирного тяготения
: два тела притягиваются друг к другу с силами прямопропорциональными произведению масс тел и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:
Закон справедлив при условии, что размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними. Также формула может применяться для расчета сил всемирного тяготения, для тел шаровой формы, для двух тел, одно из которых является шаром, другое материальной точкой. Коэффициент пропорциональности G = 6,68·10 -11 носит название гравитационной постоянной
. Физический смысл
гравитационной постоянной заключается в том, что она численно равна силе, с которой притягиваются два тела массой по 1 кг каждая, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга. Сила тяжести
Сила, с которой Земля притягивает находящиеся вблизи тела, называется силой тяжести
, а гравитационное поле Земли – полем тяжести
.
Направлена сила тяжести вниз, к центру Земли. В теле же она проходит через точку, которая называется центром тяжести
. Центр тяжести однородного тела, имеющего центр симметрии (шар, прямоугольная или круглая пластина, цилиндр и т.д.), находится в этом центре. При этом он может и не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). В общем случае, когда требуется найти центр тяжести какого-либо тела неправильной формы, следует исходить из следующей закономерности: если тело подвешивать на нити, прикрепляемой последовательно к разным точкам тела, то отмеченные нитью направления пересекутся в одной точке, которая как раз и является центром тяжести этого тела. Модуль силы тяжести находиться с помощью закона всемирного тяготения и определяется по формуле: F т = mg, (2.7) где g – ускорение свободного падения тела (g=9,8 м/с 2 ≈10м/с 2). Так как направление ускорения свободного падения g совпадает с направлением силы тяжести F т то можно последнее равенство переписать в виде Из (2.7) следует, что т. е. отношение силы, действующей на тело массой m в какой-либо точке поля, к массе тела определяет ускорение свободного падения в данной точке поля. Для точек находящихся на высоте h от поверхности Земли ускорение свободного падения тела равно: где R З - радиус Земли; М З - масса Земли; h - расстояние от центра тяжести тела до поверхности Земли. Из этой формулы вытекает, что, во-первых
, ускорение свободного падения не зависит от массы и размеров тела и, во-вторых
, с увеличением высоты над Землёй ускорение свободного падения уменьшается. Например, на высоте 297 км оно оказывается равным не 9,8 м/с 2 , а 9 м/с 2 . Уменьшение ускорения свободного падения означает, что и сила тяжести по мере увеличения высоты над Землёй также уменьшается. Чем дальше тело находится от Земли, тем слабее она его притягивает. Из формулы (1.73) видно, что g зависит от радиуса Земли R з. Но из-за сплюснутости Земли в разных местах имеет разное значение: оно убывает по мере продвижения от экватора к полюсу. На экваторе, например, оно равно 9,780м/с 2 , а на полюсе - 9,832м/с 2 . Кроме того, местные значения g могут отличаться от их средних значений g ср из-за неоднородного строения земной коры и недр, горных массивов и впадин, а также залежей полезных ископаемых. Разность значений g и g ср называют гравитационными аномалиями:
Положительные аномалии Δg >0 часто свидетельствуют о залежах металлических руд, а отрицательные Δg <0– о залежах лёгких полезных ископаемых, например нефти и газа. Метод определения залежей полезных ископаемых по точному измерению ускорения свободного падения широко применяется на практике и носит название гравиметрической разведки
. Интересной особенностью гравитационного поля, которой не обладают электромагнитные поля, является его всепроникающая способность. Если от электрических и магнитных полей можно защититься с помощью специальных металлических экранов, то от гравитационного поля защититься ничем нельзя: оно проникает сквозь любые материалы. 11 февраля 2016 г. было объявлено об экспериментальном открытии гравитационных волн, существование которых предугадал в прошлом веке Альберт Эйнштейн. Гравитационная волна — это распространение переменного гравитационного поля в пространстве. Данная волна излучается подвижной массой и может оторваться от своего источника (как отрывается электромагнитная волна от заряженной частицы, движущейся с ускорением). Считают, что изучение гравитационных волн поможет пролить свет на историю Вселенной и не только... Говорят, что И. Ньютон сам рассказывал, как он открыл закон всемирного тяготения. Как-то ученый гулял по саду и увидел на дневном небе Луну. В этот момент на его глазах с ветки упало яблоко. Именно тогда Ньютон подумал о том, что, возможно, это одна и та же сила заставляет яблоко падать на землю, а Луну — оставаться на околоземной орбите. Изучаем гравитационное взаимодействие Все без исключения физические тела во Вселенной притягиваются друг к другу — это явление называют всемирным тяготением или гравитацией (от лат. gravitas — вес). гравитационное взаимодействие — взаимодействие, присущее всем телам во Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу. Например, сейчас вы и учебник взаимодействуете силами гравитационного притяжения. Но в данном случае силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные приборы. Силы гравитационного притяжения становятся заметными только тогда, когда хотя бы одно из тел имеет массу, сравнимую с массой небесных тел (звезд, планет, их спутников и т. п.). Гравитационное взаимодействие осуществляется благодаря особому виду материи — гравитационному полю, которое существует вокруг любого тела — звезды, планеты, человека, книги, молекулы, атома и т. д. Открываем закон всемирного тяготения Первые высказывания о тяготении встречаются у античных авторов. Так, древнегреческий мыслитель Плутарх (ок. 46 — ок. 127 гг.) писал: «Луна упала бы на Землю как камень, чуть только исчезла бы сила ее полета». В XVI-XVII вв. ученые Европы снова обратились к теории существования взаимного притяжения тел. Толчком послужили прежде всего открытия в астрономии: Николай Коперник (рис. 33.1) доказал, что в центре Солнечной системы находится Солнце, а все планеты вращаются вокруг него; Иоганн Кеплер(1571-1630) открыл законы движения планет вокруг Солнца; Галилео Галилей создал телескоп и с его помощью увидел спутники Юпитера. Но почему планеты вращаются вокруг Солнца, а спутники вокруг планет, какая сила удерживает космические тела на орбитах? Одним из первых это понял английский ученый Роберт Гук(1635-1703). Он писал: «Все небесные тела имеют притяжение к своему центру, вследствие чего они не только притягивают собственные части и не дают им разлетаться, но и притягивают также все другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия». Именно Р. Гук предположил, что сила притяжения двух тел прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Однако доказал это И. Ньютон, который и сформулировал закон всемирного тяготения: Рис. 33.2. Согласно третьему закону Ньютона силы гравитационного притяжения тел равны по модулю и противоположны по направлению Рис. 33.3. Генри Кавендиш (1731-1810) — английский физик и химик. Определил гравитационную постоянную, массу и среднюю плотность Земли; за несколько лет до Ш. Кулона открыл закон взаимодействия электрических зарядов Между любыми двумя телами действуют силы гравитационного притяжения (рис. 33.2), которые прямо пропорциональны произведению масс этих тел и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними: Математическую запись какого закона вам напоминает запись закона всемирного тяготения? Запишите формулу. Гравитационную постоянную впервые измерил английский ученый Генри Кавендиш (рис. 33.3) в 1798 г. с помощью крутильных весов: Гравитационная постоянная численно равна силе, с которой две материальные точки массой1 кг каждая взаимодействуют на расстоянии1 м друг от друга(если m 1 = m 2 = 1 кг, а r = 1м, то F = 6,67 10 -11 Н). Закон всемирного тяготения позволяет описать большое количество явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движение двойных звезд, звездных скоплений и др. В астрономии, опираясь на этот закон, вычисляют массы небесных тел, выясняют характер их движения, строение, эволюцию. дает точный результат в следующих случаях: Выясняем границы применимости закона всемирного тяготения Рис. 33.5. Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к точке, которую называют центром тяжести тела. Центр тяжести однородного симметричного тела расположен в центре симметрии; может быть и вне тела (в) Рис. 33.6. Расстояние r от центра Земли до тела равно сумме радиуса Земли R З и высоты h, на которой находится тело 1) если размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними (тела можно считать материальными точками); 2) если оба тела имеют шарообразную форму и сферическое распределение вещества; 3) если одно из тел — шар, размеры и масса которого значительно больше, чем размеры и масса другого тела, находящегося на поверхности этого шара или на расстоянии от него. Обратите внимание! Закон всемирного тяготения, как и большинство законов классической механики, применяют только в случаях, когда относительная скорость движения тел намного меньше скорости распространения света. В общем случае тяготение описывается общей теорией относительности, созданной А. Эйнштейном. Почему можно воспользоваться законом всемирного тяготения, вычисляя силу притяжения Земли к Солнцу? Луны к Земле? человека к Земле (см. рис. 33.4)? определяем силу тяжести Сила тяжести Р тяж — сила, с которой Земля (или другое астрономическое тело) притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее (рис. 33.5)*. Согласно закону всемирного тяготения модуль силы тяжести ^ тяж, действующей на тело вблизи Земли, можно вычислить по формуле: где G — гравитационная постоянная; m — масса тела; М З — масса Земли; r = R З + h — расстояние от центра Земли до тела (рис. 33.6). Что такое ускорение свободного падения Падение тел впервые исследовал Галилео Галилей, который экспериментально доказал: причина того, что легкие тела падают с меньшим ускорением, — сопротивление воздуха; при отсутствии воздуха все тела — независимо от их массы, объема, формы — падают на Землю с одинаковым ускорением. Более точные эксперименты провел Исаак Ньютон, изготовив для этого специальное устройство — трубку Ньютона. Эксперименты показали: в вакууме свинцовая дробинка, пробка и птичье перо падали одинаково (а), в воздухе перо безнадежно отставало (б). Движение тела только под действием силы тяжести называют свободным падением. При свободном падении сила тяжести, действующая на тело, никакой силой не скомпенсирована, поэтому согласно второму закону Ньютона тело движется с ускорением. Это ускорение называют ускорением свободного падения и обозначают символом g: Как и сила тяжести, ускорение свободного падения всегда направлено вертикально вниз независимо от того, в каком направлении движется тело. Из формулы g=-^тяж/^·: Итак, имеем две формулы для определения модуля силы тяжести: Отсюда получим формулу для вычисления ускорения свободного падения: Анализ последней формулы показывает: 1. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела (доказал Г Галилей). 2. Ускорение свободного падения уменьшается при увеличении высоты h, на которой находится тело над поверхностью Земли, причем заметное изменение происходит, если h составляет десятки и сотни километров (на высоте h = 100 км ускорение свободного падения уменьшится всего лишь на 0,3 м/с 2). 3. Если тело находится на поверхности Земли (h = 0) или на высоте нескольких километров Рис. 33.7. Модуль ускорения свободного падения на экваторе немного меньше, чем на полюсе g < g^ Отметим, что из-за вращения Земли, а также из-за того, что форма Земли — геоид (экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 км), ускорение свободного падения зависит от географической широты местности (рис. 33.7). Из курса физики 7 класса вы знаете, что g ~ 10 Н/кг. Докажите, что 1 Н/кг = 1 м/с 2 . Подводим итоги Взаимодействие, присущее всем телам во Вселенной и проявляющееся в их взаимном притяжении друг к другу, называют гравитационным. Гравитационное взаимодействие осуществляется с помощью особого вида материи — гравитационного поля. Закон всемирного тяготения: между любыми двумя телами действует сила гравитационного притяжения, которая прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния гравитационная постоянная. Силу, с которой Земля притягивает к себе тела, находящиеся на ее поверхности или вблизи нее, называют силой тяжести. Сила тяжести направлена вертикально вниз, приложена к центру тяжести тела, а ее модуль вычисляют по формулам: между ними: Движение тел только под действием силы тяжести называют свободным падением, а ускорение, с которым при этом движутся тела, — ускорением свободного падения g. Это ускорение всегда направлено вертикально вниз и не зависит от массы тела. На поверхности Земли g ~ 9,8 м/с 2 . Контрольные вопросы 1. Какое взаимодействие называют гравитационным? Приведите примеры. 2. Сформулируйте и запишите закон всемирного тяготения. 3. Каков физический смысл гравитационной постоянной? Чему она равна? 4. Каковы границы применимости закона всемирного тяготения? 5. Дайте определение силы тяжести. По каким формулам ее вычисляют и как она направлена? 6. От каких факторов зависит ускорение свободного падения? Упражнение № 33 1. Определите массу тела, если на поверхности Луны на него действует сила тяжести 7,52 Н. Какая сила тяжести будет действовать на это тело на поверхности Земли? Ускорение свободного падения на Луне — 1,6 м/с 2 . 2. Можно ли, воспользовавшись законом всемирного тяготения, рассчитать силу притяжения двух океанских лайнеров (см. рисунок)? 3. Как изменится сила гравитационного притяжения между двумя шариками, если один из них заменить другим, вдвое большей массы? 4. Измерив гравитационную постоянную, Г. Кавендиш смог определить массу Земли, после чего гордо заявил: «Я взвесил Землю». Определите массу Земли, зная ее радиус (R З « 6400 км), ускорение свободного падения на ее поверхности и гравитационную постоянную. 5. Определите ускорение свободного падения на высоте, которая равна трем радиусам Земли. 6. Определите гравитационное ускорение на поверхности планеты, масса и радиус которой в два раза больше, чем масса и радиус Земли. 7. Воспользуйтесь дополнительными источниками информации и узнайте об ускорении свободного падения на поверхности планет Солнечной системы. На какой планете вы будете меньше весить? Будет ли при этом меньше ваша масса? 8. Уравнение движения тела: χ = -5ί + 5ί 2 . Каковы начальная скорость и ускорение движения тела? Через какой интервал времени тело изменит направление своего движения? Экспериментальное задание Центр тяжести тела неправильной геометрической формы можно определить, подвешивая его поочередно за любые две крайние точки (см. рисунок). Вырежьте из плотной бумаги или картона фигурку произвольной формы и определите ее центр тяжести. Поместите фигурку центром тяжести на острие иглы или стержня авторучки. Убедитесь, что фигурка находится в равновесии. Запишите план проведения эксперимента. Физика и техника в Украине одесский национальный политехнический университет, основанный в 1918 г., сегодня — одно из ведущих технических учебных заведений Украины. С Одесской политехникой связаны имена таких ученых, как лауреат Нобелевской премии И. Е. Тамм, академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, А. Г. Амелин, М. А. Аганин, профессоры К. С. Завриев, Ч. Д. Кларк, И. Ю. Тимченко и др. В Одесском политехническом университете учились и работали выдающиеся инженеры, конструкторы, ученые, изобретатели: В. И. Атрощенко, Г. К. Боресков, А. А. Эннан, А. Э. Нудельман, А. Ф. Дащенко, Л. И. Гутенмахер, Г. К. Суслов, В. В. Ажогин, Л. И. Панов, Б. С. Пристер, А. В. Усов, А. В. Якимов и др. Основные направления научных исследований и подготовки кадров Одесской политехники — машиностроение, энергетика, химические технологии, компьютерно-интегрированные системы управления, радиоэлектроника, электромеханика, информационные технологии, телекоммуникации. С 2010 г. ректор университета — Геннадий Александрович Оборский, доктор технических наук, профессор, известный специалист в области динамики и надежности технологических систем. Это материал учебника
гдеk– жесткость тела
(Н/м) зависит от формы и размера тела, а
также от материала.11. Импульс системы материальных точек. Уравнение движения центра масс. Импульс и его связь с силой. Столкновения и импульс силы. Закон сохранения импульса.
"
Закон всемирного тяготения.
Сила тяжести.
Вес тела. Невесомость.
невесомости
, при котором тело вообще не давит на опору.Искусственные спутники.
Рис. 4. Спутник на круговой орбите.
Зависимость силы тяготения от массы тел
Зависимость силы тяготения от расстояния между телами
Закон всемирного тяготения
Физический смысл гравитационной постоянной
.
Опыт Кавендиша
Значение закона всемирного тяготения
Литература
(2.8)
