Aritmetikai progresszió: mi ez? Aritmetikai progresszió. Tankönyv az egységes államvizsga- és államvizsga-képletről az a1 számtani progresszió megtalálásához

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt sugallják, hogy még nem tudjátok, mi az a számtani progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.

Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, mindegyik következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négy utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Aritmetikai progresszió hívott:

növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;

csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.

Progressziós tagok és ismétlődési képlet

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb$\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Figyelem: fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha hetedik tagja -40, tizenhetedik tagja pedig -50.

Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]

Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! A probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha vesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egyszerű, de nagyon hasznos ingatlan, amit feltétlenül tudnod kell - segítségével számtalan progressziós probléma megoldását jelentősen felgyorsíthatod. Íme egy világos példa erre:

3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.

Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot úgy, hogy egymás után végigjárjuk az elemeket. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.

4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban −38,5; −35,8; ...?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni: meddig (vagyis meddig természetes szám$n$) a kifejezések negativitása megmarad:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .

5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlettel:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.

Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amellyel sok időt és egyenlőtlen cellákat takaríthatunk meg a jövőben. :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:

A számegyenes számtani sorozatának feltételei

Kifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk le az összes megjelölt kifejezésre:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, akkor mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő: $d$. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép

A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézd meg:

6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Klasszikusnak bizonyult másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: −3; 2.

7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általában az utolsó problémák megoldása közben találkoztunk egy másikkal Érdekes tény, amit szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.

Elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

A számegyenesen 6 elem található

Próbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányban (egymás felé vagy fordítva távolodni) kezdünk lépni, akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:

Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak

Megértés ezt a tényt lehetővé teszi számunkra, hogy a problémákat alapvetően jobban megoldjuk magas szint nehézségeket, mint amilyeneket fentebb gondoltunk. Például ezek:

8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es teljes szorzót. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

menetrend másodfokú függvény- parabola
Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő az átlaggal számtani számok–66 és –6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mit ad nekünk a felfedezett szám? Ezzel elviszi a kívánt terméket legkisebb érték(egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ez nem kötelező tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ. :)

Válasz: −36

9. feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1)(6)$. És ha a $x$ és $z$ számokból benne vagyunk Ebben a pillanatban nem kaphatunk $y$-t, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. Ezért

Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.

Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szóproblémák progressziókkal

Végezetül szeretnék egy párat viszonylagosan megvizsgálni egyszerű feladatokat. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Ennek ellenére az OGE-ben és a matematika egységes államvizsgájában ilyen típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előző hónapban. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrész készül.

12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

A $A^(-1)$ mátrixot a $A$ négyzetmátrix inverzének nevezzük, ha a $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ feltétel teljesül, ahol $E $ az azonosságmátrix, melynek sorrendje megegyezik az $A$ mátrix rendjével.

A nem szinguláris mátrix olyan mátrix, amelynek determinánsa nem egyenlő nullával. Ennek megfelelően szinguláris mátrix az, amelynek determinánsa nulla.

A $A^(-1)$ inverz mátrix akkor és csak akkor létezik, ha a $A$ mátrix nem szinguláris. Ha létezik $A^(-1)$ inverz mátrix, akkor az egyedi.

A mátrix inverzének meghatározására többféle módszer létezik, ezek közül kettőt fogunk megvizsgálni. Ez az oldal az adjungált mátrix módszert tárgyalja, amely a legtöbb felsőbb matematikai kurzusban standardnak számít. Az inverz mátrix megtalálásának második módszere (az elemi transzformációk módszere), amely a Gauss-módszert vagy a Gauss-Jordan módszert foglalja magában, a második részben kerül bemutatásra.

Adjungált mátrix módszer

Legyen adott a $A_(n\x n)$ mátrix. A $A^(-1)$ inverz mátrix megtalálásához három lépésre van szükség:

Keresse meg a $A$ mátrix determinánsát és győződjön meg arról, hogy $\Delta A\neq 0$, azaz. hogy az A mátrix nem szinguláris.
Állítsa össze a $A_(ij)$ algebrai kiegészítéseit a $A$ mátrix minden eleméhez, és írja ki a $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ mátrixot a talált algebraiból kiegészíti.
Írjuk fel az inverz mátrixot a $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet figyelembevételével.

A $(A^(*))^T$ mátrixot gyakran adjunktnak (reciprok, szövetséges) nevezik az $A$ mátrixhoz.

Ha a megoldást manuálisan végezzük, akkor az első módszer csak viszonylag kis sorrendű mátrixokra jó: második (), harmadik (), negyedik (). Megtalálni egy mátrix inverzét magasabb rendű, más módszereket is alkalmaznak. Például a Gauss-módszer, amelyről a második részben esik szó.

1. számú példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cccc) mátrix inverzét 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Mivel a negyedik oszlop minden eleme nulla, akkor $\Delta A=0$ (azaz a $A$ mátrix szinguláris). Mivel $\Delta A=0$, nincs inverz mátrix a $A$ mátrixhoz.

Válasz: $A^(-1)$ mátrix nem létezik.

2. példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ mátrix inverzét. Végezzen ellenőrzést.

Az adjungált mátrix módszert használjuk. Először keressük meg az adott $A$ mátrix determinánsát:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Mivel $\Delta A \neq 0$, akkor létezik az inverz mátrix, ezért folytatjuk a megoldást. Algebrai komplementerek keresése

\begin(igazított) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(igazított)

Összeállítunk egy algebrai összeadások mátrixát: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transzponáljuk a kapott mátrixot: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (a az eredményül kapott mátrixot gyakran adjungált vagy szövetséges mátrixnak nevezik a $A$ mátrixhoz). A $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet használatával a következőt kapjuk:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Tehát az inverz mátrix található: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\jobbra) $. Az eredmény igazságosságának ellenőrzéséhez elegendő ellenőrizni az egyik egyenlőség igazságát: $A^(-1)\cdot A=E$ vagy $A\cdot A^(-1)=E$. Ellenőrizzük a $A^(-1)\cdot A=E$ egyenlőséget. Annak érdekében, hogy kevesebbet dolgozzunk a törtekkel, a $A^(-1)$ mátrixot behelyettesítjük, nem a következő formában: $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, és a következő formában: $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(tömb )\jobbra)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( tömb)\jobbra)\cdot\left(\begin(tömb) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(tömb)\jobbra) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(tömb) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(tömb )\right) =E $$

Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

3. példa

Keresse meg a mátrix inverz mátrixát: $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Végezzen ellenőrzést.

Kezdjük a $A$ mátrix determinánsának kiszámításával. Tehát az $A$ mátrix determinánsa:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Mivel $\Delta A\neq 0$, akkor létezik az inverz mátrix, ezért folytatjuk a megoldást. Megtaláljuk egy adott mátrix egyes elemeinek algebrai komplementereit:

Összeállítunk egy mátrixot algebrai összeadásokból, és transzponáljuk:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

A $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ képlet használatával kapjuk:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Tehát $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Az eredmény igazságosságának ellenőrzéséhez elegendő ellenőrizni az egyik egyenlőség igazságát: $A^(-1)\cdot A=E$ vagy $A\cdot A^(-1)=E$. Ellenőrizzük a $A\cdot A^(-1)=E$ egyenlőséget. Annak érdekében, hogy kevesebbet dolgozzunk a törtekkel, a $A^(-1)$ mátrixot behelyettesítjük nem a következő formában: $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, és a következő formában: $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(tömb) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (cccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (tömb) \jobbra) =\left(\begin(tömb) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Az ellenőrzés sikeres volt, a $A^(-1)$ inverz mátrix helyesen található.

Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

4. számú példa

Keresse meg a $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 mátrix inverzét & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Negyedrendű mátrix esetén az inverz mátrix megtalálása algebrai összeadásokkal kissé nehézkes. Ilyen példák azonban a tesztek találkozik.

Egy mátrix inverzének meghatározásához először ki kell számítani a $A$ mátrix determinánsát. Ennek legjobb módja ebben a helyzetben, ha a determinánst egy sor (oszlop) mentén felbontjuk. Kijelölünk egy tetszőleges sort vagy oszlopot, és megkeressük a kiválasztott sor vagy oszlop egyes elemeinek algebrai kiegészítését.

Például az első sorhoz ezt kapjuk:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Az $A$ mátrix determinánsát a következő képlettel számítjuk ki:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(igazított) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(igazított) $$

Algebrai komplementerek mátrixa: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjunkt mátrix: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Inverz mátrix:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Az ellenőrzés, ha szükséges, az előző példákban leírtakhoz hasonlóan végezhető el.

Válasz: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(tömb) \jobbra) $.

A második részben megvizsgáljuk az inverz mátrix megtalálásának egy másik módját, amely magában foglalja a Gauss-módszer vagy a Gauss-Jordan-módszer transzformációit.

Mátrix meghatározó

A mátrix determinánsának megtalálása nagyon gyakori probléma a magasabb matematikában és az algebrában. A megoldás során általában nem nélkülözhetjük a mátrix determináns értékét összetett rendszerek egyenletek. Az egyenletrendszerek megoldására szolgáló Cramer-módszer egy mátrix determinánsának kiszámításán alapul. A determináns definíciójával meghatározzuk egy egyenletrendszer megoldásának meglétét és egyediségét. Ezért nehéz túlbecsülni annak a képességnek a fontosságát, hogy helyesen és pontosan megtaláljuk a mátrix meghatározóját a matematikában. A determinánsok megoldásának módszerei elméletileg meglehetősen egyszerűek, de a mátrix méretének növekedésével a számítások nagyon körülményessé válnak, és nagy körültekintést és sok időt igényelnek. Az ilyen összetett matematikai számításokban nagyon könnyű kisebb hibát vagy elírást elkövetni, ami hibához vezet a végső válaszban. Tehát még ha talál is mátrix meghatározó saját maga, fontos, hogy ellenőrizze az eredményt. Ezt a Mátrix determinánsának online keresése szolgáltatásunkkal teheti meg. Szolgáltatásunk mindig abszolút pontos eredményeket produkál, nem tartalmaz hibát vagy elírást. A független számításokat megtagadhatja, mert alkalmazott szempontból a megállapítás a mátrix meghatározója Ez nem oktatási jellegű, hanem egyszerűen sok időt és számszerű számításokat igényel. Ezért ha a feladatában mátrix determináns definíciója segéd-, oldalszámítások vannak, vegye igénybe szolgáltatásunkat és keresse meg a mátrix determinánsát online!

Minden számítás automatikusan, a legnagyobb pontossággal és teljesen ingyenes. Nagyon kényelmes felülettel rendelkezünk a mátrixelemek bevitelére. De a fő különbség a mi szolgáltatásunk és a hasonlók között az átvétel lehetősége részletes megoldás. Szolgáltatásunk a mátrix determinánsának online kiszámítása mindig a legegyszerűbb és legrövidebb módszert használja, és részletesen leírja az átalakítások és egyszerűsítések minden lépését. Így nem csak a mátrix determinánsának értékét, a végeredményt kapja meg, hanem egy egész részletes megoldást is.

Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az adott sorozathoz adott számhoz hozzáadott előzővel. A rendszer minden alkalommal azt a számot hívja, amelyik hozzáadódik az előző számhoz aritmetikai progresszió különbségeés a levél jelzi d.

Tehát a számsorozat egy 1; a 2; a 3; a 4; a 5; ... és n aritmetikai sorozat lesz, ha a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d;

Azt mondják, hogy adott egy közös tagú aritmetikai progresszió és n. Írd le: adott egy számtani progresszió (a n).

Egy aritmetikai progresszió akkor tekinthető meghatározottnak, ha az első tagja ismert egy 1és a különbség d.

Példák az aritmetikai progresszióra

1. példa 1; 3; 5; 7; 9;...Itt egy 1 = 1; d = 2.

2. példa 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Tessék egy 1 = 8; d =-3.

3. példa-16; -12; -8; -4;... Tessék egy 1 = -16; d = 4.

Figyeljük meg, hogy a progresszió minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával.

1 példában második időszak 3 =(1+5): 2; azok. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; harmadik tagja 5 =(3+7): 2;

azaz a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Tehát a képlet érvényes:

Valójában azonban egy számtani sorozat minden tagja, a másodiktól kezdve, nemcsak a szomszédos tagok számtani átlagával egyenlő, hanem egyenlő távolságra tagjaitól, azaz.

Forduljunk 2. példa. Szám -1 egy aritmetikai sorozat negyedik tagja, és egyenlő távolságra van az első és a hetedik tagtól (a 1 = 8 és 7 = -10).

A (**) képlet szerint a következőket kapjuk:

Vezessük le a képletet n- egy aritmetikai sorozat th tagja.

Tehát akkor kapjuk meg az aritmetikai sorozat második tagját, ha hozzáadjuk a különbséget az elsőhöz d; akkor kapjuk meg a harmadik tagot, ha a különbséget hozzáadjuk a másodikhoz d vagy adjunk hozzá két különbséget az első taghoz d; akkor kapjuk a negyedik tagot, ha a különbséget hozzáadjuk a harmadikhoz d vagy adjunk hozzá három különbséget az elsőhöz d stb.

Kitaláltad: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

A kapott képlet a n = a 1 + (n-1) d (***)

hívott képletnegy aritmetikai sorozat th tagja.

Most beszéljünk arról, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegét. Jelöljük ezt az összeget S n.

A kifejezések helyeinek átrendezése nem változtat az összeg értékén, így kétféleképpen írható fel.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n és

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Adjuk hozzá ezt a két egyenlőséget tagonként:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …

Minden nem szinguláris A mátrixhoz létezik egy egyedi A -1 mátrix, amelyre

A*A -1 =A -1 *A = E,

ahol E az A-val azonos rendű identitásmátrix. Az A -1 mátrixot az A mátrix inverzének nevezzük.

Ha valaki elfelejtette, az identitásmátrixban, az egyesekkel kitöltött átló kivételével, minden más pozíció nullával van kitöltve, egy példa az identitásmátrixra:

Az inverz mátrix megkeresése adjungált mátrix módszerrel

Az inverz mátrixot a következő képlet határozza meg:

ahol A ij - elemek a ij.

Azok. Az inverz mátrix kiszámításához ki kell számítani ennek a mátrixnak a determinánsát. Ezután keresse meg az összes elem algebrai komplementereit, és alkosson belőlük egy új mátrixot. Ezután ezt a mátrixot kell szállítani. És osszuk el az új mátrix minden elemét az eredeti mátrix determinánsával.

Nézzünk néhány példát.

Keresse meg az A -1 mátrixot

Megoldás: Keressük meg A -1-et az adjungált mátrix módszerrel. Det A = 2. Határozzuk meg az A mátrix elemeinek algebrai komplementereit. Ebben az esetben a mátrixelemek algebrai komplementerei magának a mátrixnak a megfelelő elemei lesznek, a képletnek megfelelő előjellel felvéve.

Van A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Megalkotjuk az adjunkt mátrixot

Az A* mátrixot szállítjuk:

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:

Kapunk:

Adjungált mátrix módszerrel keressük meg az A -1 ha

Megoldás: Először is kiszámítjuk ennek a mátrixnak a definícióját, hogy ellenőrizzük az inverz mátrix létezését. Nekünk van

Itt a második sor elemeihez hozzáadtuk a harmadik sor elemeit, amelyeket előzőleg (-1) szoroztunk, majd kibővítettük a második sor determinánsát. Mivel ennek a mátrixnak a definíciója nem nulla, létezik inverz mátrixa. Az adjungált mátrix megalkotásához megkeressük ennek a mátrixnak az elemeinek algebrai komplementereit. Nekünk van

A képlet szerint

A* szállítási mátrix:

Majd a képlet szerint

Az inverz mátrix megtalálása elemi transzformációk módszerével

A képletből következő inverz mátrix megtalálási módszere mellett (adjungált mátrix módszer) létezik az inverz mátrix megtalálásának módszere, az elemi transzformációk módszere.

Elemi mátrix transzformációk

A következő transzformációkat elemi mátrix transzformációknak nevezzük:

1) sorok (oszlopok) átrendezése;

2) egy sor (oszlop) szorzata nullától eltérő számmal;

3) egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, előzőleg megszorozva egy bizonyos számmal.

Az A -1 mátrix megtalálásához egy B = (A|E) téglalap alakú mátrixot készítünk (n; 2n) rendűek, és a jobb oldali A mátrixhoz osztóvonalon keresztül hozzárendeljük az E azonosságmátrixot: