Példákat tekintünk az explicit függvények magasabb rendű deriváltjainak kiszámítására. Hasznos képletek találhatók az n-edrendű származékok kiszámításához.

Tartalom

A magasabb rendű származékok meghatározása

Itt azt az esetet vizsgáljuk, amikor az y változó kifejezetten függ az x változótól:
.
Differenciálva a függvényt az x változóhoz képest, megkapjuk az elsőrendű deriváltot, vagy csak a deriváltot:
.
Ennek eredményeként egy új függvényt kapunk, amely a függvény deriváltja. Differenciálva ezt az új függvényt az x változóval, megkapjuk a másodrendű deriváltot:
.
A függvényt differenciálva egy harmadik rendű deriváltot kapunk:
.
Stb. Az eredeti függvényt n-szer differenciálva megkapjuk az n-edik vagy az n-edik deriváltot:
.

A származékokat jelölhetjük vonások, római számok, arab számok zárójelben vagy tört különbségek. Például a harmadik és negyedrendű származékokat a következőképpen jelölhetjük:
;
.

Az alábbiakban olyan képletek találhatók, amelyek hasznosak lehetnek a magasabb rendű származékok kiszámításához.

Hasznos képletek n-edrendű származékokhoz

Néhány elemi függvény származékai:
;
;
;
;
.

A függvények összegének deriváltja:
,
hol vannak az állandók.

Leibniz-képlet két függvény szorzatának deriváltja:
,
ahol
binomiális együtthatók.

1. példa

Keresse meg a következő függvény első és második deriváltját:
.

Megtaláljuk az elsőrendű származékot. Kivesszük a konstanst a derivált előjelből, és alkalmazzuk a derivált táblázat képletét:
.
Alkalmazzuk az összetett függvény differenciálási szabályát:
.
Itt .
Alkalmazzuk egy komplex függvény differenciálási szabályát, és használjuk a talált deriváltokat:
.
Itt .

.
A másodrendű derivált megtalálásához meg kell találnunk az elsőrendű derivált, azaz a függvény deriváltját:
.
Annak érdekében, hogy ne keverjük össze a jelöléssel, ezt a funkciót betűvel jelöljük:
(P1.1) .
Akkor másodrendű származék az eredeti függvényből a függvény deriváltja:
.

Megtaláljuk a függvény deriváltját. Ez könnyebben megtehető a logaritmikus deriválttal. Mi logaritmus (A1.1):
.
Most megkülönböztetjük:
(P1.2) .
De ez állandó. A származéka nulla. Már megtaláltuk a származékát. A többi deriváltot egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint találjuk meg.
;
;
.
Csere az (A1.2):

.
Innen
.

;
.

2. példa

Keresse meg a harmadik rendű deriváltot:
.

Megtaláljuk az elsőrendű származékot. Ehhez kivesszük a konstanst a derivált jeléből, használ derivált táblázatés jelentkezz szabály egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához .

.
Itt .
Tehát megtaláltuk az elsőrendű származékot:
.

Megtaláljuk a másodrendű származékot. Ehhez megkeressük a származékát. A tört deriváltjának képletét alkalmazzuk.
.
Másodrendű származék:
.

Most megtaláljuk, amit keresünk harmadrendű származék. Ennek érdekében megkülönböztetjük a .
;
;

.

A harmadik rendű derivált az
.

3. példa

Keresse meg a következő függvény hatodik deriváltját:
.

Ha kinyitja a zárójeleket, egyértelművé válik, hogy az eredeti függvény fokszámú polinom. Polinomként írjuk:
,
hol vannak az állandó együtthatók.

Ezután alkalmazzuk a hatványfüggvény n-edik deriváltjának képletét:
.
A hatodrendű deriválthoz (n = 6 ) nekünk van:
.
Ebből egyértelmű, hogy a . Amikor nálunk van:
.

A függvények összegének deriválására a következő képletet használjuk:

.
Így az eredeti függvény hatodik deriváltjának megtalálásához csak a polinom legmagasabb fokú együtthatóját kell megtalálnunk. Ezt úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk a legmagasabb hatványokat az eredeti függvény összegeinek szorzatában:

.
Innen. Akkor
.

4. példa

Keresse meg egy függvény n-edik deriváltját
.

Megoldás >>>

5. példa

Keresse meg a következő függvény n-edik deriváltját:
,
hol és vannak állandók.

Ebben a példában a számítások kényelmesen elvégezhetők komplex számok használatával. Legyen valami összetett függvényünk
(P5.1) ,
ahol és egy x valós változó függvényei;
- képzeletbeli egység, .
Az (A.1) n-szeres differenciálásával a következőket kapjuk:
(P5.2) .
Néha könnyebb megtalálni egy függvény n-edik deriváltját. Ekkor a és függvények n-edik deriváltja az n-edik derivált valós és képzetes részeként van definiálva:
;
.

Használjuk ezt a technikát a példánk megoldására. Vegye figyelembe a funkciót
.
Itt az Euler-képletet alkalmaztuk
,
és bevezette az elnevezést
.
Ekkor az eredeti függvény n-edik deriváltját a következő képlet határozza meg:
.

Keresse meg a függvény n-edik deriváltját!
.
Ehhez alkalmazza a következő képletet:
.
A mi esetünkben
.
Akkor
.

Tehát megtaláltuk a komplex függvény n-edik deriváltját:
,
ahol .
Keressük meg a függvény valós részét.
Ehhez egy komplex számot exponenciális formában ábrázolunk:
,
ahol ;
; .
Akkor
;

.

Példa megoldás
.

Hagyjuk, .
Akkor ;
.
Nál nél ,
,
,
.
És megkapjuk a koszinusz n-edik származékának képletét:
.

,
ahol
; .

Tekintsünk két változó függvényét:

Mivel a $x$ és $y$ változók függetlenek, bevezethetjük a parciális derivált fogalmát egy ilyen függvényre:

A $f$ függvény parciális deriváltja a $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pontban a $x$ változóhoz képest: a határ

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \jobbra))(\Delta x)\]

Hasonlóképpen definiálhatjuk a részleges deriváltot a $y$ változóval kapcsolatban:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \jobbra))(\Delta y)\]

Más szóval, több változó függvényének parciális deriváltjának megtalálásához rögzíteni kell az összes többi változót, kivéve a kívánt változót, majd meg kell keresni a szokásos deriváltot ehhez a kívánt változóhoz.

Ebből következik az ilyen származékok kiszámításának fő technikája: egyszerűen vegyük figyelembe, hogy az adott változón kívül minden változó állandó, majd különböztesse meg a függvényt úgy, ahogy a „hétköznapi”-t – egy változóval. Például:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \jobbra))^(\ prím ))_(y)+10x\cdot ((\bal(y \jobb))^(\prím ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Nyilvánvaló, hogy a különböző változókra vonatkozó parciális deriváltak eltérő választ adnak – ez normális. Sokkal fontosabb megérteni, hogy mondjuk az első esetben miért húztuk ki nyugodtan a 10y$-t a derivált jele alól, a második esetben pedig teljesen lenulláztuk az első tagot. Mindez annak a ténynek köszönhető, hogy minden betű, kivéve azt a változót, amellyel a differenciálás történik, állandónak számít: kivehető, "elégethető" stb.

Mi az a "részleges származékos"?

Ma több változó függvényeiről és azok parciális deriváltjairól lesz szó. Először is, mi a függvénye több változónak? Mostanáig megszoktuk, hogy egy függvényt $y\left(x \right)$ vagy $t\left(x \right)$-nak, vagy tetszőleges változónak és abból egyetlen függvénynek gondoljunk. Most egy függvényünk és több változónk lesz. Amikor $y$ és $x$ változik, a függvény értéke megváltozik. Például, ha $x$ megduplázódik, akkor a függvény értéke megváltozik, míg ha $x$ változik és $y$ nem változik, akkor a függvény értéke ugyanúgy változik.

Természetesen több változó függvénye, akárcsak egy változó függvénye, megkülönböztethető. Mivel azonban több változó létezik, lehetséges a különböző változók szerinti megkülönböztetés. Ebben az esetben olyan sajátos szabályok merülnek fel, amelyek nem léteztek egy változó megkülönböztetésekor.

Először is, amikor egy változó függvényének deriváltját tekintjük, meg kell jelölnünk, hogy melyik változót tekintjük deriváltjának - ezt nevezzük parciális deriváltnak. Például van egy függvényünk két változóból, és ezt mind $x$-ban, mind $y$-ban kiszámíthatjuk – minden változó két parciális deriváltja.

Másodszor, amint rögzítettük az egyik változót, és elkezdjük kiszámítani a parciális deriváltot, akkor a függvényben szereplő összes többit állandónak tekintjük. Például $z\left(xy \right)$-ban, ha figyelembe vesszük a parciális deriváltot $x$-hoz képest, akkor bárhol találkozunk $y$-val, konstansnak tekintjük és pontosan konstansként kezeljük. Konkrétan egy szorzat deriváltjának számításakor kivehetjük a $y$-t a zárójelből (konstansunk van), az összeg deriváltjának számításakor pedig ha valahol megkapjuk egy $y$-t tartalmazó kifejezés deriváltját. és nem tartalmaz $x$-t, akkor ennek a kifejezésnek a deriváltja "nulla" lesz, mint az állandó deriváltja.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy valami összetettről beszélek, és sok diák először összezavarodik. A részleges származékokban azonban nincs semmi természetfeletti, és most ezt konkrét problémák példáján fogjuk látni.

Problémák gyökökkel és polinomokkal

1. feladat

Hogy ne vesztegessük hiába az időt, a kezdetektől fogva komoly példákkal kezdjük.

Hadd kezdjem a következő képlettel:

Ez a standard táblaérték, amelyet a standard kurzusból ismerünk.

Ebben az esetben a $z$ derivált a következőképpen számítható ki:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Tegyük meg még egyszer, mivel a gyökér nem $x$, hanem valami más kifejezés, jelen esetben $\frac(y)(x)$, akkor először a standard táblaértéket használjuk, majd, mivel a gyökér nem $x $ és egy másik kifejezés, meg kell szoroznunk a deriváltunkat még egy ilyen kifejezéssel ugyanarra a változóra vonatkozóan. Kezdjük a következővel:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Visszatérünk kifejezésünkhöz, és ezt írjuk:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \jobbra)\]

Lényegében ennyi. Viszont helytelen ebben a formában hagyni: egy ilyen konstrukció kényelmetlen a további számításokhoz, ezért alakítsuk át egy kicsit:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

A válasz megtalálható. Most foglalkozzunk $y$-val:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Írjuk külön:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Most ezt írjuk:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Kész.

2. feladat

Ez a példa egyszerűbb és összetettebb is, mint az előző. Nehezebb, mert több a cselekvés, de könnyebb, mert nincs gyökér, ráadásul a függvény szimmetrikus $x$ és $y$ vonatkozásában, azaz. ha $x$-t és $y$-t felcserélünk, a képlet nem változik. Ez a megjegyzés tovább egyszerűsíti a parciális derivált számítását, azaz. elég kiszámolni az egyiket, és a másodikban csak felcserélni $x$ és $y$.

Térjünk a lényegre:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \jobb ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \jobbra)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ) )_(x))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]

Számoljunk:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right)))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Sok diák azonban nem érti az ilyen rekordot, ezért így írjuk:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Így ismét meggyőződtünk a parciális derivált algoritmus univerzalitásáról: akárhogyan is vesszük őket, ha minden szabályt helyesen alkalmazunk, a válasz ugyanaz lesz.

Most foglalkozzunk még egy parciális származékkal a nagy képletből:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \jobbra))^(\prímszám ))_(x)+((\bal(((y)^(2)) \jobbra))^(\prím ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Az eredményül kapott kifejezéseket behelyettesítjük a képletünkbe, és megkapjuk:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ jobb)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobb))^(\prím ))_(x))(((\bal (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra)-xy\cdot 2x)(((\left(((()) x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \jobbra))(((\ balra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \jobbra))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2 )))\]

$x$ számolva. És hogy ugyanabból a kifejezésből számítsuk ki a $y$-t, ne végezzük el ugyanazt a műveletsort, hanem használjuk az eredeti kifejezésünk szimmetriáját – egyszerűen lecseréljük az eredeti kifejezésünkben szereplő $y$-t $x$-ra és fordítva:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \jobbra))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]

A szimmetria miatt ezt a kifejezést sokkal gyorsabban számoltuk ki.

A megoldás árnyalatai

A parciális deriváltoknál az összes szabványos képlet működik, amit a közönségesekre használunk, nevezetesen a privát deriváltja. Ebben az esetben azonban felmerülnek saját sajátosságai: ha figyelembe vesszük $x$ parciális deriváltját, akkor amikor $x$-ból kapjuk, akkor konstansnak tekintjük, és ezért a deriváltja egyenlő lesz " nulla".

A közönséges deriváltokhoz hasonlóan a hányados (ugyanaz) többféleképpen számítható ki. Például ugyanazt a konstrukciót, amelyet az imént számoltunk, a következőképpen írhatjuk át:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Másrészt azonban használhatja a származékos összeg képletét. Mint tudjuk, egyenlő a származékok összegével. Például írjuk a következőket:

\[((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Most mindezek ismeretében próbáljunk meg komolyabb kifejezésekkel dolgozni, mivel a valós parciális deriváltak nem korlátozódnak csak polinomokra és gyökekre: van trigonometria, logaritmus és exponenciális függvény. Most tegyük ezt.

Problémák trigonometrikus függvényekkel és logaritmusokkal

1. feladat

A következő szabványos képleteket írjuk le:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Ezzel a tudással felvértezve próbáljuk meg megoldani:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Írjunk egy változót külön:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vissza a tervezésünkhöz:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Mindent megtaláltunk $x$-ra, most végezzük el a számításokat $y$-ra:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Ismét vegyünk egy kifejezést:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \jobbra)\]

Visszatérünk az eredeti kifejezéshez, és folytatjuk a megoldást:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Kész.

2. feladat

Írjuk fel a szükséges képletet:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Most számoljunk $x$-al:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$ találta. $y$-al számolva:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Probléma megoldódott.

A megoldás árnyalatai

Tehát függetlenül attól, hogy milyen függvényből veszünk parciális deriváltot, a szabályok ugyanazok maradnak, függetlenül attól, hogy trigonometriával, gyökökkel vagy logaritmusokkal dolgozunk.

A standard deriváltokkal való munka klasszikus szabályai változatlanok maradnak, nevezetesen az összeg és a különbség deriváltja, a hányados és a komplex függvény.

Az utolsó képlet leggyakrabban a parciális deriváltokkal kapcsolatos problémák megoldásában található. Szinte mindenhol találkozunk velük. Még nem volt olyan feladat, amivel ott ne találkoztunk volna. De nem számít, milyen képletet használunk, még egy követelményt adunk hozzá, nevezetesen a parciális deriváltokkal való munka jellemzőjét. Amint javítunk egy változót, az összes többi állandó. Konkrétan, ha figyelembe vesszük a $\cos \frac(x)(y)$ kifejezés részleges deriváltját $y$-hoz képest, akkor $y$ a változó, és $x$ mindenhol állandó marad. Ugyanez fordítva is működik. Kivehető a derivált előjeléből, és magának az állandónak a deriváltja "nulla" lesz.

Mindez oda vezet, hogy ugyanannak a kifejezésnek a parciális deriváltjai, de különböző változókhoz képest, teljesen eltérően nézhetnek ki. Vegyük például a következő kifejezéseket:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problémák az exponenciális függvényekkel és logaritmusokkal

1. feladat

Kezdjük a következő képlet felírásával:

\[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=((e)^(x))\]

Ennek a ténynek, valamint egy komplex függvény deriváltjának ismeretében próbáljuk meg kiszámítani. Most két különböző módon fogom megoldani. Az első és legnyilvánvalóbb a termék származéka:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Oldjuk meg külön a következő kifejezést:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Visszatérünk eredeti tervünkhöz, és folytatjuk a megoldást:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\jobbra)\]

Minden, $x$ számítva.

Azonban, ahogy ígértem, most megpróbáljuk ugyanazt a parciális deriváltot más módon kiszámítani. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Írjuk így:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Ennek eredményeként pontosan ugyanazt a választ kaptuk, de a számítások mennyisége kisebbnek bizonyult. Ehhez elég volt észrevenni, hogy a szorzat szorzásakor a kitevők összeadhatók.

Most számoljunk $y$-al:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Oldjunk meg egy kifejezést külön:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Folytassuk az eredeti konstrukciónk megoldását:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Természetesen ugyanazt a deriváltot ki lehet számítani a második módon is, a válasz ugyanaz lenne.

2. feladat

Számoljunk $x$-al:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \jobb )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Számoljunk egy kifejezést külön:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Folytassuk az eredeti konstrukció megoldását: $$

Itt a válasz.

Továbbra is meg kell találni a $y$ analógiájával:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \jobbra)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\]

Számoljunk egy kifejezést külön, mint mindig:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prímszám ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \jobb) )^(\prím ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Folytatjuk a főstruktúra megoldását:

Minden meg van számolva. Amint látható, attól függően, hogy melyik változót veszik a megkülönböztetéshez, a válaszok teljesen eltérőek.

A megoldás árnyalatai

Íme egy szemléletes példa arra, hogy ugyanannak a függvénynek a deriváltja kétféle módon számítható ki. Nézz ide:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ balra(1+\frac(1)(y)\jobbra)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Különböző utak kiválasztásakor a számítások mennyisége eltérő lehet, de a válasz, ha minden helyesen történik, ugyanaz lesz. Ez vonatkozik mind a klasszikus, mind a részleges származékokra. Ugyanakkor még egyszer emlékeztetem: attól függően, hogy melyik változóból veszik a származékot, pl. megkülönböztetés, a válasz teljesen más lehet. Néz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Végezetül, hogy megszilárdítsuk ezt az anyagot, próbáljunk meg még két példát számolni.

Feladatok egy trigonometrikus függvénnyel és egy három változós függvénnyel

1. feladat

Írjuk fel ezeket a képleteket:

\[((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Most oldjuk meg a kifejezésünket:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Külön vegye figyelembe a következő konstrukciót:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Folytatjuk az eredeti kifejezés megoldását:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ez a végső privát változó válasza $x$-ra. Most számoljunk $y$-al:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Oldjunk meg egy kifejezést külön:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

A kivitelezésünket a végére megoldjuk:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

2. feladat

Első pillantásra ez a példa meglehetősen bonyolultnak tűnhet, mivel három változó van. Valójában ez az egyik legegyszerűbb feladat a mai oktatóvideóban.

Keresés $x$ szerint:

\[(((t)")_(x))=((\bal(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \jobbra))^(\prím ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Most foglalkozzunk $y$-val:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \jobbra))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \jobbra))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Megtaláltuk a választ.

Most meg kell keresni $z$ szerint:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prím ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Kiszámoltuk a harmadik deriváltot, amelyen a második feladat megoldása teljesen kész.

A megoldás árnyalatai

Mint látható, ebben a két példában nincs semmi bonyolult. Csak annyit láttunk, hogy egy komplex függvény deriváltját gyakran használjuk, és attól függően, hogy melyik parciális deriváltot vesszük figyelembe, különböző válaszokat kapunk.

Az utolsó feladatban egyszerre három változó egy függvényével kellett foglalkoznunk. Nincs ezzel semmi gond, de a legvégén megbizonyosodtunk arról, hogy mindegyik jelentősen eltér egymástól.

Főbb pontok

A mai oktatóvideó végső következtetései a következők:

1. A parciális deriváltokat ugyanúgy tekintjük, mint a közönségeseket, míg ahhoz, hogy egy változóhoz viszonyítva a parciális deriváltot vegyük figyelembe, a függvényben szereplő összes többi változót konstansnak vesszük.
2. A parciális deriváltokkal végzett munka során ugyanazokat a standard formulákat használjuk, mint a közönséges deriváltoknál: az összeget, a különbséget, a szorzat és a hányados deriváltját, és természetesen egy komplex függvény deriváltját.

Természetesen ennek az oktatóvideónak a megtekintése önmagában nem elegendő a téma teljes megértéséhez, ezért jelenleg a webhelyemen ehhez a videóhoz van egy sor feladatsor, amelyet a mai témának szenteltek - menjen, töltse le, oldja meg ezeket a feladatokat, és ellenőrizze a választ. És ezek után sem a vizsgákon, sem az önálló munkában nem lesz gond a részleges származékokkal. Természetesen ez nem az utolsó lecke a felsőbb matematikában, ezért látogassa meg weboldalunkat, adja hozzá a VKontakte-ot, iratkozzon fel a YouTube-ra, lájkoljon és maradjon velünk!

Legyen adott függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik változatlan marad. Növeljük az x független változót, miközben y értéke változatlan marad. Ekkor z növekményt kap, amit z x-szel való részleges növekményének nevezünk, és jelöljük. Így, .

Hasonlóképpen z részleges növekményét kapjuk y-hoz képest: .

A z függvény teljes növekményét az egyenlőség határozza meg.

Ha van határ, akkor azt a függvény parciális deriváltjának nevezzük az x változóhoz viszonyított pontban, és az egyik szimbólummal jelöljük:

.

A parciális deriváltokat x-hez egy pontban általában szimbólumokkal jelöljük .

Az y változóhoz viszonyított parciális deriváltját hasonló módon határozzuk meg és jelöljük:

Így több (két, három vagy több) változó függvényének parciális deriváltja e változók egyikének függvényének deriváltja, a fennmaradó független változók értékének állandóságától függően. Ezért egy függvény parciális deriváltjait az egyik változó függvényének deriváltjainak kiszámítására szolgáló képletek és szabályok szerint találjuk meg (ebben az esetben x vagy y állandó értéknek tekintendő).

A parciális deriváltokat elsőrendű parciális származékoknak is nevezik. Ezek a funkcióinak tekinthetők. Ezeknek a függvényeknek lehetnek parciális deriváltjai, amelyeket másodrendű parciális deriváltoknak nevezünk. Meghatározásuk és jelölésük a következő:

; ;

; .

Két változó függvényének 1. és 2. rendű különbségei.

Egy függvény teljes differenciálját (2.5 képlet) elsőrendű differenciálnak nevezzük.

A teljes különbség kiszámításának képlete a következő:

(2.5) vagy , ahol ,

a függvény részleges differenciáljai .

Legyen a függvénynek másodrendű folytonos parciális deriváltjai. A másodrendű különbséget a képlet határozza meg. Keressük meg:

Innen: . Szimbolikusan így van írva:

.

HATÁROZATLAN INTEGRÁL.

Egy függvény antiderivatívája, határozatlan integrál, tulajdonságok.

Az F(x) függvényt meghívjuk primitív adott f(x) függvényre, ha F"(x)=f(x), vagy ami ugyanaz, ha dF(x)=f(x)dx.

Tétel. Ha egy véges vagy végtelen hosszúságú (X) intervallumban meghatározott f(x) függvénynek egy antideriváltája van, F(x), akkor annak is végtelen sok antideriváltája van; mindegyiket az F(x)+C kifejezés tartalmazza, ahol C tetszőleges állandó.

Egy adott f(x) függvény összes antideriváltjának halmazát, amelyet valamilyen intervallumban vagy véges vagy végtelen hosszúságú szegmensen definiálunk, az ún. határozatlan integrál az f(x) függvényből [vagy az f(x)dx kifejezésből], és a szimbólummal jelöljük.

Ha F(x) az f(x) egyik antideriváltja, akkor az antiderivált tétel alapján

, ahol C egy tetszőleges állandó.

Az antiderivált definíció szerint F "(x)=f(x) és ezért dF(x)=f(x) dx. A (7.1) képletben az f(x)-et integrandusnak nevezzük, és f( x) dx-et integrandus kifejezésnek nevezzük.

Két változó függvényének parciális deriváltjai.
Koncepció és példák megoldásokra

Ebben a leckében folytatjuk az ismerkedést két változó függvényével, és megvizsgáljuk a talán leggyakoribb tematikus feladatot - a keresést. első és másodrendű parciális deriváltjai, valamint a függvény teljes differenciálja. A részmunkaidős hallgatók általában a 2. félév 1. évfolyamán részleges származékokkal szembesülnek. Sőt, megfigyeléseim szerint a vizsgán szinte mindig megtalálható a parciális deriváltak keresésének feladata.

A következő anyag hatékony tanulmányozása érdekében Ön szükséges többé-kevésbé magabiztosan meg tudja találni egy változó függvényének "szokásos" származékait. A leckéken megtanulhatod, hogyan kell helyesen kezelni a származékokat Hogyan lehet megtalálni a származékot?és Komplex függvény származéka. Szükségünk van az elemi függvények és a differenciálási szabályok derivált táblázatára is, a legkényelmesebb, ha nyomtatott formában kéznél van. Az oldalon referenciaanyagot találhat Matematikai képletek és táblázatok.

Ismételjük meg gyorsan a két változós függvény fogalmát, megpróbálom a minimumra szorítkozni. Egy két változóból álló függvényt általában úgy írnak le, hogy a változókat hívják független változók vagy érvek.

Példa: - két változó függvénye.

Néha a jelölést használják. Vannak olyan feladatok is, ahol a betű helyett a betűt használják.

Geometriai szempontból két változó függvénye leggyakrabban egy háromdimenziós tér felülete (sík, henger, golyó, paraboloid, hiperboloid stb.). De valójában ez már inkább analitikus geometria, és napirenden van a matematikai elemzés, amit az egyetemi tanárom soha nem engedett leírni az én „lovam”.

Rátérünk az első és másodrendű parciális származékok megtalálásának kérdésére. Van egy jó hírem azoknak, akik már ittak néhány csésze kávét, és elképzelhetetlenül nehéz anyagra vágynak: parciális deriváltjai szinte megegyeznek egy változó függvényének "közönséges" deriváltjaival.

A parciális deriváltakra az összes differenciálási szabály és az elemi függvények deriváltjainak táblázata érvényes. Csak néhány apró különbség van, amelyeket most megismerünk:

... igen, egyébként ehhez a témához én hoztam létre kis pdf könyv, amely lehetővé teszi, hogy néhány óra alatt "megtöltse a kezét". De a webhely használatával természetesen az eredményt is megkapja - csak talán egy kicsit lassabban:

1. példa

Keresse meg egy függvény első és másodrendű parciális deriváltját

Először megkeressük az elsőrendű parciális deriváltokat. Ketten vannak.

Jelölés:
vagy - részleges derivált az "x" vonatkozásában
vagy - részleges derivált az "y" vonatkozásában

Kezdjük azzal. Ha megtaláljuk a parciális deriváltot "x"-hez, akkor a változót állandónak (konstans számnak) tekintjük..

Megjegyzések a megtett intézkedésekről:

(1) Az első dolog, amit a parciális derivált megtalálásakor tegyünk, az a következtetés összes függvényt zárójelben a gondolatjel alatt alsó indexszel.

Figyelem fontos! Az alsó indexek NEM VESZTÉSEK a megoldás során. Ebben az esetben, ha valahol anélkül húzol egy „vonást”, akkor a tanár legalább a feladat mellé teheti (a figyelmetlenségért azonnal leharapja a pontszám egy részét).

(2) Alkalmazza a differenciálás szabályait! , . Egy ilyen egyszerű példánál mindkét szabály alkalmazható ugyanabban a lépésben. Figyeljünk az első kifejezésre: mivel konstansnak tekintjük, és bármely állandó kivehető a derivált előjeléből, majd kivesszük a zárójelből. Vagyis ebben a helyzetben semmivel sem jobb, mint egy rendes szám. Most nézzük a harmadik kifejezést: itt éppen ellenkezőleg, nincs mit kivenni. Mivel ez egy állandó, egyben állandó is, és ebben az értelemben semmivel sem jobb, mint az utolsó kifejezés - a „hét”.

(3) Táblázatos származékokat használunk és.

(4) Leegyszerűsítjük, vagy ahogy mondani szoktam, "egyesítjük" a választ.

Most . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot "y"-hez képest, akkor a változóállandónak tekinthető (állandó szám).

(1) Ugyanazokat a megkülönböztetési szabályokat használjuk , . Az első tagból kivesszük a származék előjelén túli konstanst, a második tagból semmit nem lehet kivenni, mert az már állandó.

(2) Az elemi függvények deriváltjainak táblázatát használjuk. Módosítsa gondolatban a táblázatban az összes "X"-et "Y"-re. Vagyis ez a táblázat egyformán érvényes (és szinte minden betűre). Az általunk használt képletek különösen így néznek ki: és .

Mit jelentenek a parciális származékok?

Magukban az elsőrendű parciális származékok hasonlítanak "közönséges" származék:

- ez funkciókat, amelyek jellemzik átváltási érték a tengelyek irányában és ill. Tehát például a függvény jellemzi az "emelkedések" és a "lejtők" meredekségét felületek az abszcissza tengely irányába, és a függvény ugyanannak a felületnek az ordináta tengely irányába eső "domborművéről" szól.

! jegyzet : itt azokra az utasításokra utal, amelyek párhuzamosak koordináta tengelyek.

A jobb megértés érdekében vegyük figyelembe a sík egy adott pontját, és számítsuk ki benne a függvény értékét („magasság”):
- és most képzeld el, hogy itt vagy (NAGYON A felszínen).

Kiszámítjuk a parciális deriváltot "x"-hez egy adott pontban:

Az "X" derivált negatív előjele kb ereszkedő az x tengely irányú pontjában működik. Más szóval, ha kicsi-kicsit készítünk (elenyésző) lépés a tengely csúcsa felé (ezzel a tengellyel párhuzamosan), majd menj le a felszín lejtőjén.

Most megtudjuk a "terep" természetét az y tengely irányában:

Az "y"-hez viszonyított derivált pozitív, ezért a tengely egy pontjában a függvény növeli. Ha nagyon egyszerű, akkor itt egy emelkedőre várunk.

Ezenkívül egy pontban a parciális derivált jellemzi átváltási érték a megfelelő irányban működik. Minél nagyobb a kapott érték modulo- minél meredekebb a felület, és fordítva, minél közelebb van a nullához, annál laposabb a felület. Példánkban tehát az abszcissza irányába eső "lejtő" meredekebb, mint az ordináta irányában lévő "hegy".

De ez két magánút volt. Teljesen világos, hogy attól a ponttól kezdve, ahol vagyunk, (és általában az adott felület bármely pontjáról) más irányba haladhatunk. Így van érdeklődés egy általános "navigációs térkép" összeállítása iránt, amely a felszín "tájáról" szólna. ha lehetséges minden ponton ennek a funkciónak a hatóköre minden elérhető módon. Erről és más érdekességekről a következő leckék egyikén fogok beszélni, de most térjünk vissza a kérdés technikai oldalához.

Rendszerezzük az alkalmazott elemi szabályokat:

1) Ha -val különböztetjük meg, akkor a változót állandónak tekintjük.

2) Amikor a differenciálást aszerint végezzük, akkor állandónak tekinthető.

3) Az elemi függvények szabályai és deriváltjai minden olyan változóra (vagy bármely másra) érvényesek és alkalmazhatók, amelyekre vonatkozóan differenciálás történik.

Második lépés. Másodrendű parciális származékokat találunk. Négy van belőlük.

Jelölés:
vagy - a második derivált az "x" vonatkozásában
vagy - az "y"-re vonatkozó második származék
vagy - vegyes derivált "x y"
vagy - vegyes derivált "Y X-szel"

A második származékkal nincs probléma. Egyszerűen, a második származék az első származék származéka.

A kényelem kedvéért átírom a már talált elsőrendű részleges származékokat:

Először megtaláljuk a vegyes származékokat:

Mint látható, minden egyszerű: vesszük a parciális deriváltot, és újra megkülönböztetjük, de ebben az esetben már „y”-val.

Hasonlóképpen:

A gyakorlati példákban a következő egyenlőségre összpontosíthat:

Így a másodrendű vegyes származékokon keresztül nagyon kényelmes ellenőrizni, hogy az elsőrendű parciális deriváltokat helyesen találtuk-e meg.

Megtaláljuk a második deriváltot "x"-re vonatkozóan.
Nincsenek találmányok, vállaljuk és különböztesse meg ismét "X"-el:

Hasonlóképpen:

Meg kell jegyezni, hogy amikor megtalálja, meg kell mutatnia fokozott figyelem, hiszen nincsenek csodás egyenlőségek, amelyek próbára tennék őket.

A második származékok a gyakorlatban is széles körben alkalmazhatók, különösen a megtalálás problémájában használatosak két változó függvényének szélsősége. De mindennek megvan a maga ideje:

2. példa

Számítsa ki a függvény elsőrendű parciális deriváltjait a pontban! Keresse meg a másodrendű származékokat.

Ez egy példa az önálló megoldásra (válaszok a lecke végén). Ha nehézséget okoz a gyökerek megkülönböztetése, térjen vissza a leckéhez Hogyan lehet megtalálni a származékot?Általánosságban elmondható, hogy hamarosan megtanulja, hogyan találhat hasonló származékokat menet közben.

Bonyolultabb példákkal tömjük meg a kezünket:

3. példa

Ellenőrizze azt. Írja fel az első sorrend teljes differenciáját!

Megoldás: Találunk elsőrendű parciális deriváltokat:

Ügyeljünk az alsó indexre: az "x" mellé nem tilos zárójelbe írni, hogy konstans. Ez a jelölés nagyon hasznos lehet kezdőknek, hogy könnyebben eligazodjanak a megoldásban.

További megjegyzések:

(1) Kivesszük a derivált előjelén kívüli összes állandót. Ebben az esetben és , és ennélfogva szorzatukat állandó számnak tekintjük.

(2) Ne felejtse el, hogyan kell megfelelően megkülönböztetni a gyökereket.

(1) A derivált előjeléből kivesszük az összes állandót, ebben az esetben a konstans .

(2) A prím alatt két függvény szorzata van, ezért a szorzatdifferenciálási szabályt kell használnunk. .

(3) Ne felejtsük el, hogy ez egy összetett függvény (bár a legegyszerűbb az összetettek közül). A megfelelő szabályt használjuk: .

Most másodrendű vegyes származékokat találunk:

Ez azt jelenti, hogy minden számítás helyes.

Írjuk fel a teljes különbséget. A vizsgált feladattal összefüggésben nincs értelme megmondani, hogy mekkora két változó függvényének teljes differenciája. Fontos, hogy ezt a különbséget nagyon gyakran gyakorlati problémákba kell leírni.

Teljes elsőrendű differenciál két változó függvénye a következő formában van:

Ebben az esetben:

Vagyis a képletben csak ostobán csak be kell cserélni a már megtalált elsőrendű parciális származékokat. Differenciál ikonok és ebben és hasonló helyzetekben, ha lehetséges, jobb számlálókkal írni:

És az olvasók ismételt kérésére teljes másodrendű differenciál.

Ez így néz ki:

Óvatosan keresse meg a 2. rendű "egybetűs" származékokat:

és írja le a „szörnyet”, óvatosan „csatolja össze” a négyzeteket, a szorzatot, és ne felejtse el megduplázni a kevert származékot:

Nem baj, ha valami nehéznek tűnt, később bármikor visszatérhet a deriváltokhoz, miután átvette a differenciálási technikát:

4. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait . Ellenőrizze azt. Írja fel az első sorrend teljes differenciáját!

Vegyünk egy sor példát összetett függvényekkel:

5. példa

Keresse meg a függvény elsőrendű parciális deriváltjait.

Megoldás:

6. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .
Írja fel a teljes különbséget.

Ez egy példa az önálló megoldásra (válasz a lecke végén). Nem teszem közzé a teljes megoldást, mert nagyon egyszerű.

Elég gyakran a fenti szabályok mindegyikét kombinálva alkalmazzák.

7. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .

(1) Az összeg differenciálásának szabályát alkalmazzuk

(2) Az első tagot ebben az esetben konstansnak tekintjük, mivel a kifejezésben nincs semmi, ami "x"-től függ, csak "y". Tudod, mindig jó, ha egy törtből nullára lehet változtatni). A második tagra a termékdifferenciálási szabályt alkalmazzuk. Egyébként ebben az értelemben semmi sem változna, ha helyette egy függvényt adnának meg - ez itt fontos két függvény szorzata, amelyek mindegyike attól függ "X", ezért alkalmaznia kell a termék megkülönböztetésének szabályát. A harmadik tagra egy komplex függvény differenciálási szabályát alkalmazzuk.

(1) Az első tagban mind a számláló, mind a nevező „y”-t tartalmaz, ezért a hányados megkülönböztetésére a szabályt kell használni: . A második tag CSAK az "x"-től függ, ami azt jelenti, hogy állandónak tekintendő és nullává változik. A harmadik taghoz egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk.

Azoknak az olvasóknak, akik bátran eljutottak majdnem a lecke végére, elmondok egy régi Mekhmatov-anekdotát a detente kedvéért:

Egyszer egy gonosz származék jelent meg a függvények terében, és hogyan különböztetett meg mindenkit. Minden funkció szétszóródik minden irányba, senki sem akar megfordulni! És csak egy funkció nem szökik meg sehova. A derivált hozzááll, és megkérdezi:

– Miért nem menekülsz előlem?

- Hah. De nem érdekel, mert én "e" vagyok x erejéig, és nem tehetsz velem semmit!

Mire a gonosz származék alattomos mosollyal válaszol:

- Itt tévedsz, "y"-vel foglak megkülönböztetni, szóval neked legyen nulla.

Aki értette a viccet, az elsajátította a származékokat, legalábbis a "trojka" számára).

8. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .

Ez egy „csináld magad” példa. A teljes megoldás és a probléma mintaterve a lecke végén található.

Nos, ez majdnem minden. Végül nem tehetek mást, mint a matematikusok kedvéért még egy példával. Még csak nem is amatőrökről van szó, mindenkinek más a matematikai felkészültsége – vannak (és nem is olyan ritkák), akik szeretik a nehezebb feladatokkal versenyezni. Bár az utolsó példa ebben a leckében nem annyira bonyolult, mint inkább nehézkes a számítások szempontjából.

Legyen adott két változó függvénye. Növeljük az érvelést, és hagyjuk az érvelést változatlanul. Ekkor a függvény növekményt kap, amit a változóhoz képest részleges növekménynek nevezünk, és ezt jelöljük:

Hasonlóképpen, az argumentum rögzítésével és az argumentum növekményének megadásával a függvény részleges növekményét kapjuk a változóhoz képest:

Az értéket a függvény teljes növekményének nevezzük a pontban.

4. definíció. Két változó függvényének parciális deriváltja e változók egyikére vonatkoztatva a függvény megfelelő részleges növekménye és az adott változó növekményének arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik (ha ez a határ létezik). A részleges származékot a következőképpen jelöljük: vagy, vagy.

Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

Egy függvény parciális deriváltjait ugyanazon szabályok és képletek szerint számítjuk ki egy változó függvényében, figyelembe véve, hogy egy változóra való differenciáláskor az állandónak, változóra való differenciálásnál pedig azt tekintjük. állandó.

3. példa: Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:

Megoldás. a) A megtaláláshoz felveszünk egy állandó értéket, és egy változó függvényében differenciálunk:

Hasonlóképpen konstans értéket feltételezve azt kapjuk, hogy:

Definíció 5. Egy függvény teljes differenciája a függvény parciális deriváltjainak és a megfelelő független változók növekményeinek szorzatának összege, azaz.

Tekintettel arra, hogy a független változók differenciálja egybeesik növekményükkel, azaz. , a teljes differenciál képlete a következőképpen írható fel

4. példa Határozza meg egy függvény teljes differenciáját.

Megoldás. Mivel tehát a teljes differenciál képletével azt találjuk

Magasabb rendű részszármazékok

A parciális deriváltokat elsőrendű parciális származékoknak vagy első parciális származékoknak is nevezik.

6. definíció. Egy függvény másodrendű parciális deriváltjai az elsőrendű parciális deriváltjai.

Négy másodrendű parciális derivált létezik. A következőképpen vannak megjelölve:

Hasonlóan definiáljuk a 3., 4. és magasabb rendű parciális származékokat is. Például egy függvényhez a következőket találjuk:

A különböző változókra vonatkozó másod- vagy magasabb rendű parciális deriváltokat vegyes parciális deriváltoknak nevezzük. Egy függvény esetében ezek származékok. Vegye figyelembe, hogy abban az esetben, ha a vegyes deriváltok folytonosak, akkor egyenlőség lép fel.

5. példa Keresse meg egy függvény másodrendű parciális deriváltjait

Megoldás. Ennek a függvénynek az elsőrendű részleges deriváltjai a 3. példában találhatók:

Differenciálva és az x és y változókra nézve azt kapjuk