Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- infinitezimális mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt a végtelen kicsinyek végtelen összegének tekintjük. Az infinitezimális számítás az általános koncepció differenciál- és integrálszámításhoz, amelyek a modern felsőbb matematika alapját képezik. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Elenyésző

Utóbbi a n hívott elenyésző, Ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, Ha vagy .

Szintén infinitezimális az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, azaz ha , Azt f(x) − a = α( x) , .

Végtelenül nagy mennyiség

Utóbbi a n hívott végtelenül nagy, Ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, Ha vagy .

Az egyenlőség jogának végtelensége minden esetben azt jelenti, hogy van egy bizonyos jel (vagy „plusz” vagy „mínusz”). Ez például a függvény x bűn x nem végtelenül nagy at .

A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy tulajdonságai

Infinitezimálisok összehasonlítása

Hogyan hasonlítsuk össze a végtelenül kicsi mennyiségeket?
Az infinitezimális mennyiségek aránya alkotja az úgynevezett bizonytalanságot.

Definíciók

Tegyük fel, hogy infinitezimális α( x) és β( x) (vagy ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hopital-szabályt használni.

Összehasonlítási példák

Használata RÓL RŐL-szimbolika, a kapott eredményeket a következő formában írhatjuk fel x 5 = o(x 3). Ebben az esetben a következő bejegyzések igazak: 2x 2 + 6x = O(x) És x = O(2x 2 + 6x).

Egyenértékű értékek

Meghatározás

Ha , akkor az α és β végtelenül kicsiny mennyiségeket nevezzük egyenértékű ().
Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi mennyiségek speciális esetét jelentik.

Ha a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek: , , .

Tétel

Két végtelenül kicsi mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egy ekvivalens mennyiségre cseréljük.

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásakor (lásd a példát).

Használati példa

Csere sénn 2x egyenértékű érték 2 x, kapunk

Történelmi vázlat

Az „infinitezimális” fogalmát már az ókorban tárgyalták az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban, de a klasszikus matematikában nem szerepelt. A 16. században az „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével újjáéledt – a vizsgált figurát végtelenül kis részekre osztva.

A 17. században megtörtént az infinitezimális számítás algebraizálása. Úgy kezdték meghatározni őket számértékek, amelyek kisebbek bármely véges (nem nulla) értéknél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete abból állt, hogy felállítottunk egy infinitezimálisokat (differenciálokat) tartalmazó relációt, majd integráltuk azt.

A régi iskola matematikusai próbára teszik a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: zseniális hibák halmaza"; Voltaire maróan megjegyezte, hogy a kalkulus olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését.

A Párizsi Tudományos Akadémián az elemzés indokoltságáról folyó viták olyan botrányossá váltak, hogy az Akadémia egyszer teljesen megtiltotta tagjainak, hogy ebben a témában felszólaljanak (ez főleg Rolle és Varignon volt). 1706-ban Rolle nyilvánosan visszavonta kifogásait, de a megbeszélések tovább folytatódtak.

1734-ben a híres angol filozófus, George Berkeley püspök kiadott egy szenzációs röpiratot, amely rövidített címmel ismert. Elemző" A teljes neve: " A hitetlen matematikushoz címzett elemző vagy diskurzus, amely azt kérdezi, hogy a modern elemzés tárgya, alapelvei és következtetései tisztábban érzékelhetők-e vagy világosabban levezethetők-e, mint a vallási misztériumok és hittételek».

Az elemző szellemes és nagyrészt igazságos kritikát fogalmazott meg az infinitezimális számítással kapcsolatban. Berkeley úgy vélte, hogy az elemzési módszer nem egyeztethető össze a logikával, és ezt írta: bármennyire is hasznos, csak egyfajta találgatásnak tekinthető; ügyes ügyesség, művészet vagy inkább trükk, de nem tudományos bizonyítási módszerként" Idézve Newton mondatát a jelenlegi mennyiségek növekedéséről „keletkezésük vagy eltűnésük legelején”, Berkeley ironikusan: „ nem véges mennyiségek, nem is végtelenül kicsik, de még csak nem is semmik. Nem nevezhetnénk őket elhalt nagyságrendű kísérteteknek?... És hogyan beszélhetünk általánosságban olyan dolgok kapcsolatáról, amelyeknek nincs nagysága?.. Bárki, aki meg tudja emészteni a második vagy harmadik fluxust [származékot], a másodikat vagy a harmadikat különbséget, nem szabad, mivel úgy tűnik, hogy valami hibát találok a teológiában».

Lehetetlen elképzelni, írja Berkeley pillanatnyi sebesség, azaz sebesség egy adott pillanatban és egy adott pontban, mert a mozgás fogalmába beletartozik a (véges nem nulla) tér és idő fogalma.

Hogyan ad helyes eredményt az elemzés? Berkeley arra a gondolatra jutott, hogy ezt az elemzési következtetések számos hibájával magyarázzák, és ezt egy parabola példájával illusztrálta. Érdekes, hogy néhány jelentős matematikus (például Lagrange) egyetértett vele.

Paradox helyzet állt elő, amikor a matematika szigora és gyümölcsözősége megzavarta egymást. A használat ellenére jogellenes cselekmények rosszal bizonyos fogalmak, a közvetlen hibák száma meglepően csekély volt – a megérzés jött a segítségre. Pedig a 18. század során a matematikai elemzés gyorsan fejlődött, lényegében minden indoklás nélkül. Hatékonysága elképesztő volt, és önmagáért beszélt, de a differenciálmű jelentése még mindig homályos volt. Különösen gyakran keverték össze egy függvény infinitezimális növekményét és annak lineáris részét.

A 18. század folyamán óriási erőfeszítések történtek a helyzet korrigálása érdekében, amelyekben a század legjobb matematikusai is részt vettek, de csak Cauchy-nak sikerült meggyőzően megépítenie az elemzés alapjait. eleje XIX század. Szigorúan meghatározta az alapfogalmakat - határ, konvergencia, folytonosság, differenciál stb., ami után a tényleges infinitezimálisok eltűntek a tudományból. Néhány fennmaradó finomságot később ismertettünk

Infinitezimális függvények

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül elenyésző(b.m.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvény határértéke nulla.

A b.m. fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.m. függvények: %%a \to a + 0%% és %%a \to a - 0%%. Általában b.m. a funkciókat az első betűk jelölik görög ábécé%%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Példák

1. A %%f(x) = x%% függvény a b.m. %%x \to 0%%, mivel a határa a %%a = 0%% pontban nulla. A kétoldali határ és az egyoldali határ kapcsolatáról szóló tétel szerint ez a függvény b.m. mind a %%x \to +0%% és a %%x \to -0%% értékkel.
2. Függvény %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \to \infty%% között (valamint %%x \to +\infty%% és %%x \to -\infty%%) között.

Nem nulla állandó szám, akármilyen kicsi is abszolút értékben, nem b.m. funkció.

Állandó számok esetén az egyetlen kivétel a nulla, mivel a %%f(x) \equiv 0%% függvény nulla határértékkel rendelkezik.

A %%f(x)%% függvénynek a %%a \in \overline(\mathbb(R))%% pontjában van a kiterjesztett számsor végső határ, akkor és csak akkor egyenlő a %%b%% számmal, ha ez a függvény egyenlő ennek a számnak a %%b%% és a b.m összegével. %%\alpha(x)%% függvények %%x \to a%%, vagy $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Baljobbra nyíl \bal(f(x) = b + \alpha(x)\jobbra) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\jobbra). $$

Infinitezimális függvények tulajdonságai

A %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, határértékre való áthaladás szabályai szerint a következő állítások következnek:

1. Összeg véges szám b.m. függvények %%x-hez \to a%% a b.m. itt: %%x \to a%%.
2. Bármely szám szorzata b.m. függvények %%x-hez \to a%% a b.m. itt: %%x \to a%%.

Termék b.m. függvények %%x \to a%% pontban, és egy függvény, amely az a pont %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% pontjában van átszúrva, ott van b.m. a %%x \to a%% függvényben.

Nyilvánvaló, hogy egy állandó függvény és a b.m szorzata. %%x \to a%% között van b.m. függvény: %%x \to a%%.

Egyenértékű infinitezimális függvények

A %%\alpha(x), \beta(x)%% végtelen kicsi függvények a %%x \to a%% esetén egyenértékűés írja be a %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ha

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Tétel a b.m pótlásáról. funkciók egyenértékűek

Legyen %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. függvények: %%x \to a%%, és %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, majd $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Egyenértékű b.m. funkciókat.

Legyen %%\alpha(x)%% b.m. függvény %%x \to a%%, akkor

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Példa

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(tömb) $$

Végtelenül nagy funkciók

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül végtelenül nagy(b.b.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvénynek végtelen határa van.

Hasonló a b.m. függvények fogalma b.b. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.b. függvények %%x \to a + 0%% és %%x \to a - 0%%. A „végtelenül nagy” kifejezés nem a függvény abszolút értékéről, hanem a kérdéses pont környezetében bekövetkezett változásának természetéről beszél. Egyetlen állandó szám sem, akármekkora is legyen abszolút értékben, végtelenül nagy.

Példák

1. %%f(x) = 1/x%% függvény - b.b. %%x \-0%% között.
2. Függvény %%f(x) = x%% - b.b. %%x \to \infty%%.

Ha a definíciós feltételek $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(tömb) $$

aztán arról beszélnek pozitív vagy negatív b.b. %%a%% függvénynél.

Példa

%%1/(x^2)%% függvény - pozitív b.b. %%x \-0%% között.

A kapcsolat a b.b. és b.m. funkciókat

Ha %%f(x)%% b.b. %%x \to a%% függvénnyel, majd %%1/f(x)%% - b.m.

itt: %%x \to a%%. Ha %%\alpha(x)%% - b.m. mert %%x \to a%% egy nem nulla függvény a %%a%% pont valamely átszúrt környezetében, akkor a %%1/\alpha(x)%% b.b. itt: %%x \to a%%.

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Mutassuk be a b.b. számos tulajdonságát. funkciókat. Ezek a tulajdonságok közvetlenül a b.b definíciójából következnek. véges határértékekkel rendelkező függvények függvényei és tulajdonságai, valamint a b.b. közötti kapcsolatra vonatkozó tételből. és b.m. funkciókat.

1. Egy véges számú b.b szorzata. függvények %%x \to a%% számára b.b. függvény: %%x \to a%%. Valóban, ha %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. függvény a %%x \to a%%, majd a pont valamilyen kilyukadt szomszédságában %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, és kapcsolódási tétel által b.b. és b.m. függvények %%1/f_k(x)%% - b.m. függvény: %%x \to a%%. Kiderült, hogy %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m függvény %%x \to a%% és %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. függvény: %%x \to a%%.
2. Termék b.b. függvény %%x \to a%%-hoz, és egy olyan függvény, amely a %%a%% pont valamely kiszúrt környezetében abszolút értékben nagyobb, mint egy pozitív állandó, b.b. függvény: %%x \to a%%. Különösen a termék b.b. egy %%x \to a%% függvény és egy véges, nem nulla határértékkel rendelkező függvény a %%a%% pontban b.b. függvény: %%x \to a%%.

A %%a%% pont és a b.b pont valamely átszúrt környezetében határolt függvény összege. függvények %%x-el \to a%% a b.b. függvény: %%x \to a%%.

Például a %%x - \sin x%% és a %%x + \cos x%% függvények b.b. %%x \to \infty%%.

3. Két b.b. függvények %%x \to a%% között bizonytalanság van. A feltételek előjelétől függően egy ilyen összeg változásának jellege nagyon eltérő lehet.

   Példa

   Legyenek adottak a %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% függvények. függvények: %%x \to \infty%%. Akkor:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. függvény %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nincs korlátja %%x \to \infty%%.

Anyag a Wikipédiából - a szabad enciklopédiából

Elenyésző - numerikus függvény vagy nullára hajló sorozat.

Végtelenül nagy- egy numerikus függvény vagy sorozat, amely arra hajlik végtelenség egy bizonyos jel.

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- végtelenül kicsi mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt végtelennek tekintjük összeg végtelenül kicsi. Az infinitezimális számítás egy általános fogalom differenciálisÉs integrálszámítás, amely a modern felsőbb matematika. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a fogalommal határ.

Elenyésző

Utóbbi $a\_n$ hívott elenyésző, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=0$. Például egy számsorozat $a\_n=\backslash dfrac(1)(n)$- végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont közelében $x\_0$, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=0$.

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=0$ vagy $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=0$.

Szintén infinitezimális az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, azaz ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=a$, Azt $f(x)-a=\backslash alpha(x)$, $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)(f(x)-a)=0$.

Hangsúlyozzuk, hogy egy végtelenül kicsi mennyiséget úgy kell érteni változó érték(funkció) amely csak a változás folyamatában[miközben törekszik $x$ Nak nek $a$(tól től $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)f(x)=0$)] kisebb, mint egy tetszőleges szám ( $\backslash varepsilon$). Ezért például egy olyan állítás, mint „egy milliomod végtelenül kicsi mennyiség”, hibás: o szám[abszolút érték] nincs értelme azt mondani, hogy végtelenül kicsi.

Végtelenül nagy

Az összes alábbi képletben az egyenlőségtől jobbra lévő végtelenségnek van egy bizonyos jele (vagy „plusz” vagy „mínusz”). Ez például a függvény $x\backslash sin\; x$, mindkét oldalon korlátlan, nem végtelenül nagy at $x\backslash to+\backslash infty$.

Utóbbi $a\_n$ hívott végtelenül nagy, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=\backslash infty$.

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont közelében $x\_0$, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; x\_0)f(x)=\backslash infty$.

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=\backslash infty$ vagy $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=\backslash infty$.

A végtelen kicsinyekhez hasonlóan meg kell jegyezni, hogy a végtelenül nagy mennyiség egyetlen értéke sem nevezhető "végtelenül nagynak" – a végtelenül nagy mennyiség funkció, ami csak a változás folyamatában nagyobb lehet egy tetszőleges számnál.

Az infinitezimálisok tulajdonságai

• Véges számú infinitezimális függvény algebrai összege egy infinitezimális függvény.
• Az infinitezimálisok szorzata végtelenül kicsi.
• Egy infinitezimális sorozat és egy korlátos sorozat szorzata végtelenül kicsi. Ennek következtében egy infinitezimális és egy állandó szorzata végtelenül kicsi.
• Ha $a\_n$ akkor egy végtelenül kicsi sorozat, amely megőrzi a jelet $b\_n=\backslash dfrac(1)(a\_n)$- végtelenül nagy sorozat.

Infinitezimálisok összehasonlítása

Definíciók

Tegyük fel, hogy ugyanerre infinitezimálisunk van $x\backslash to\; a$ mennyiségeket $\backslash alpha(x)$És $\backslash beta(x)$(vagy ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

• Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=0$, Azt $\backslash beta$- végtelenül kicsi magasabb rendű kicsinység, hogyan $\backslash alpha$. Kijelöl $\backslash beta=o(\backslash alpha)$ vagy $\backslash beta\backslash prec\backslash alpha$.
• Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=\backslash infty$, Azt $\backslash beta$- végtelenül kicsi legalacsonyabb kicsinységi fokozat, hogyan $\backslash alpha$. Illetőleg $\backslash alpha=o(\backslash béta)$ vagy $\backslash alpha\backslash prec\backslash beta$.
• Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=c$(a határ véges és nem egyenlő 0-val), akkor $\backslash alpha$És $\backslash beta$ végtelenül kicsi mennyiségek egy rend kicsinység. Ezt így jelöljük $\backslash alpha\backslash asymp\backslash beta$ vagy viszonyok egyidejű kiteljesedéseként $\backslash beta=O(\backslash alpha)$És $\backslash alpha=O(\backslash béta)$. Meg kell jegyezni, hogy egyes forrásokban találhatunk olyan megjelölést, ahol a megbízások azonossága csak egy „about big” reláció formájában van írva, ami ennek a szimbólumnak a szabad használata.
• Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha^m)=c$(a határ véges és nem egyenlő 0-val), akkor az infinitezimális érték $\backslash beta$ Megvan $m$ kicsinységi sorrend viszonylag végtelenül kicsi $\backslash alpha$.

Az ilyen határértékek kiszámításához kényelmesen használható L'Hopital szabálya.

Összehasonlítási példák

• Nál nél $(x\backslash -től\; 0-ig)$ nagyságrendű $x^5$ Megvan magasabb rendű egy kicsit viszonylag $x^3$, mert $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^5)(x^3)=0$. A másik oldalon, $x^3$-hoz képest a legkisebb kicsinységi sorrendje van $x^5$, mert $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(x^3)(x^5)=\backslash infty$.

Használata RÓL RŐL- szimbolizmus a kapott eredményeket a következő formában írhatjuk fel $x^5=o(x^3)$.

• $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^2+6x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x+6)(1)=\backslash lim\backslash limits\_(x)\; \backslash to\; 0)(2x+6)=6,$ vagyis mikor $x\backslash -től\; 0-ig$ funkciókat $f(x)=2x^2+6x$És $g(x)=x$ azonos rendű végtelenül kicsi mennyiségek.

Ebben az esetben a következő bejegyzések igazak: $2x^2+6x\; =\; O(x)$És $x\; =\; O(2x^2+6x).$

• Nál nél $(x\backslash -től\; 0-ig)$ elenyésző $2x^3$ viszonyítva a harmadik kicsinységi renddel rendelkezik $x$, mert a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^3)(x^3)=2$, végtelenül kicsi $0(,)7x^2$- másodrendű, végtelenül kicsi $\backslash sqrt(x)$- rendelés 0,5.

Egyenértékű értékek

Meghatározás

Ha $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=1$, akkor végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiségben $\backslash alpha$És $\backslash beta$ hívják egyenértékű(jelölése: $\backslash alpha\backslash thicksim\backslash beta$).

Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi (végtelenül nagy) mennyiségek speciális esetét jelentik.

Nál nél $$ az alábbi ekvivalencia viszonyok érvényesek (az ún csodálatos határok):

• $\backslash sin\backslash alpha(x)\backslash thiksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash arcsin(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(arctg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash log\_a(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash frac(1)(\backslash ln(a))$, Ahol $a>0$;
• $\backslash ln(1+\backslash alpha\; (x))\backslash thiksim\backslash alpha(x);$
• $a^(\backslash alpha(x))-1\backslash vastagság\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash ln(a)$, Ahol $a>0$;
• $e^(\backslash alpha(x))-1\backslash thixim\backslash alpha(x);$
• $1-\backslash cos(\backslash alpha(x))\backslash thiksim\backslash frac(\backslash alpha^2(x))(2);$
• $(1+\backslash alpha(x))^\backslash mu-1\backslash thiksim\backslash mu\backslash cdot\backslash alpha(x),\backslash quad\backslash mu\backslash in\backslash R$, ezért használja a következő kifejezést:

$\backslash sqrt[n](1+\backslash alpha(x))\backslash approx\backslash frac(\backslash alpha(x))(n)+1$, Ahol $\backslash alpha(x)\backslash xjobbra\; nyíl()0$.

Tétel

Két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egyenértékű mennyiségre cseréljük.

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásakor (lásd a példát).

Példák a felhasználásra

• megtalálja $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x).$

Csere $\backslash sin\; 2x$ egyenértékű érték $2x$, kapunk $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x)(x)=2.$

• megtalálja $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x).$

Mert $\backslash sin(4\backslash cos\; x)\backslash thicksim(4\backslash cos\; x)$ nál nél $x\backslash to\backslash dfrac(\backslash pi)(2)$ kapunk $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; \backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)\; (2))\backslash dfrac(4\backslash cos\; x)(\backslash cos\; x)=4.$

• Kiszámítja $\backslash sqrt(1(,)2)$.

A képlet segítségével : $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash approx\; 1+\backslash frac(0(,)2)(2)=1(,)1$, míg használja számológép(pontosabb számítások), ezt kaptuk: $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash kb.\; 1(,)095$, tehát a hiba 0,005 (kevesebb, mint 1%) volt, vagyis a módszer egyszerűsége miatt hasznos durva becsléshez számtani gyökök közel az egységhez.

Sztori

A régi iskola matematikusai próbára teszik a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: zseniális hibák halmaza»; Voltaire maróan megjegyezte, hogy ez a kalkulus olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens bevallotta, hogy nem értette a jelentését magasabb rendű különbségek.

Ironikus látni a megjelenést a közepén XX század nem szabványos elemzés, aki bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tényleges infinitezimálisok - is konzisztens és elemzési alapként használható. A nem szabványos elemzés megjelenésével világossá vált, hogy a 18. századi matematikusok, akik a klasszikus elmélet szempontjából illegális cselekvéseket hajtottak végre, miért jutottak mégis helyes eredményekre.

Lásd még

Írjon véleményt a "Végtelenül kicsi és végtelenül nagy" cikkről

Megjegyzések

Irodalom

• // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára: 86 tonnában (82 tonna és 4 további). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Részlet az Infinitezimal és Infinitely Large leírásáról

- Nos, barátom, attól tartok, hogy te és a szerzetes elpazarolod a puskaporodat - mondta Andrej herceg gúnyosan, de szeretettel.
- Ah! mon ami. [A! Barátom.] Csak imádkozom Istenhez, és remélem, hogy meghallgat. Andre – mondta félénken egy percnyi csend után –, nagy kéréssel fordulnék hozzád.
- Mi, barátom?
- Nem, ígérd meg, hogy nem utasítod vissza. Nem fog semmilyen munkádba kerülni, és nem lesz benne semmi méltatlan. Csak te vigasztalhatsz. Ígérd meg, Andryusha – mondta, kezét a retikülbe dugva, valamit tartva benne, de még nem mutatta meg, mintha a kérés tárgya lenne, amit a kezében tart, és mintha még azelőtt kapta volna meg az ígéretet, hogy teljesíti a kérést. nem tudta kivenni a hálóból. Ez valami.
Félénken és könyörgőn nézett bátyjára.
„Még ha sok munkámba került is…” – válaszolta Andrej herceg, mintha sejteni akarná, mi a baj.
- Gondolj, amit akarsz! Tudom, hogy ugyanolyan vagy, mint mon pere. Gondolj, amit akarsz, de tedd meg helyettem. Csináld kérlek! Apám apja, a nagyapánk minden háborúban viselte...” Még mindig nem vette ki a retikülből, amit tartott. - Szóval megígéred?
- Persze, mi a baj?
- Andre, megáldalak a képpel, és megígéred, hogy soha nem veszed le. Megígéred?
„Ha nem nyújtja ki két kilóval a nyakát... Hogy a kedvében járjon...” – mondta Andrej herceg, de abban a pillanatban, amikor észrevette, hogy a húga bánatos arckifejezése erre a tréfára öltött, megbánta. „Nagyon örülök, nagyon örülök, barátom” – tette hozzá.
„Akaratod ellenére megment, megkönyörül rajtad, és magához fordít, mert egyedül Őbenne van igazság és békesség” – mondta a meghatottságtól remegő hangon, két kézzel tartott ünnepélyes mozdulattal. bátyja a Megváltó ovális, ősi ikonja, fekete arccal, ezüst ládában, finom megmunkálású ezüst láncon.
Keresztet vetett, megcsókolta az ikont, és átnyújtotta Andreynek.
- Kérlek, Andre, nekem...
Nagy szeméből kedves és félénk fény sugarai ragyogtak. Ezek a szemek megvilágították az egész beteges, vékony arcot, és gyönyörűvé tették. A testvér el akarta venni az ikont, de a lány megállította. Andrej megértette, keresztet vetett, és megcsókolta az ikont. Az arca egyszerre volt gyengéd (meghatódott) és gúnyos.
- Merci, mon ami. [Köszönöm barátom.]
Megcsókolta a homlokát, és újra leült a kanapéra. Elhallgattak.
– Szóval azt mondtam neked, Andre, légy kedves és nagylelkű, mint mindig. Ne ítéld meg Lise-t keményen – kezdte. "Annyira édes, olyan kedves, és a helyzete most nagyon nehéz."
– Úgy tűnik, nem mondtam neked semmit, Mása, hogy bármiért is hibáztassam a feleségemet, vagy elégedetlen legyek vele. Miért mondod el mindezt?
Marya hercegnő foltokban elpirult, és elhallgatott, mintha bűnösnek érezné magát.
– Nem mondtam neked semmit, de már mondtak. És szomorúvá tesz.
A vörös foltok még erősebben jelentek meg Marya hercegnő homlokán, nyakán és arcán. Mondani akart valamit, de nem tudta elmondani. A testvér jól sejtette: a kis hercegnő vacsora után sírt, azt mondta, hogy előre látott egy boldogtalan szülést, fél tőle, és panaszkodott a sorsára, az apósára és a férjére. Sírás után elaludt. Andrej herceg sajnálta a húgát.
„Tudj meg egyet, Mása, nem tehetek szemrehányást magamnak semmiért, nem tettem szemrehányást és soha nem is fogok szemrehányást tenni a feleségemnek, és magam sem tehetek szemrehányást semmiért vele kapcsolatban; és ez mindig így lesz, bármilyen körülmények között is. De ha tudni akarod az igazságot... akarod tudni, hogy boldog vagyok-e? Nem. Ő boldog? Nem. Miért ez? nem tudom…
Ezt mondva felállt, odament a nővéréhez, és lehajolva homlokon csókolta. Gyönyörű szemei ​​intelligens és kedves, szokatlan csillogással ragyogtak, de nem a nővérére nézett, hanem a nyitott ajtó sötétjébe, a feje fölött.
- Menjünk hozzá, el kell búcsúznunk. Vagy menj egyedül, ébreszd fel, és mindjárt ott leszek. Petrezselyem! - kiáltott az inasnak, - gyere ide, takaríts fel. Az ülésben van, a jobb oldalon van.
Marya hercegnő felállt, és az ajtó felé indult. Megállt.
– Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu"il vous donne l"amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Ha lenne hited, egy imával fordulnál Istenhez, hogy megadja neked azt a szeretetet, amelyet nem érzel, és meghallgatásra talál imád.]
- Igen, így van! - mondta Andrej herceg. - Menj, Mása, mindjárt jövök.
Útban a nővére szobája felé, az egyik házat a másikkal összekötő galériában Andrei herceg találkozott a kedvesen mosolygó Mlle Bourienne-nel, aki aznap harmadszor bukkant rá lelkes és naiv mosollyal félreeső járatokban.
- Ah! – je vous croyais chez vous, [Ó, azt hittem, otthon vagy – mondta valamiért elpirulva, és lesütötte a szemét.
Andrej herceg szigorúan nézett rá. Andrej herceg arca hirtelen haragot tükrözött. Nem szólt hozzá semmit, csak a homlokát és a haját nézte, anélkül, hogy a szemébe nézett volna, olyan megvetően, hogy a francia nő elpirult, és szó nélkül távozott.
Amikor nővére szobája felé ért, a hercegnő már felébredt, és a nyitott ajtóból kihallatszott egy-egy szót siető vidám hangja. Úgy beszélt, mintha hosszú önmegtartóztatás után pótolni akarná az elvesztegetett időt.
– Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees... [Nem, képzeld el az öreg Zubova grófnőt, hamis fürtökkel, hamis fogakkal, pl. mintha kigúnyolná az éveket...] Xa, xa, xa, Marieie!
Andrej herceg már ötször hallotta pontosan ugyanezt a mondatot Zubova grófnőről, és ugyanazt a nevetést idegenek előtt a feleségétől.
Csendesen belépett a szobába. A gömbölyded, rózsás arcú hercegnő munkával a kezében egy karosszékben ült, és szüntelenül beszélt, végigjárta a szentpétervári emlékeket, sőt kifejezéseket is. Andrej herceg odajött, megsimogatta a fejét, és megkérdezte, hogy kipihent-e az útról. A lány válaszolt, és folytatta a beszélgetést.
A babakocsik közül hatan a bejáratnál álltak. Sötét őszi éjszaka volt odakint. A kocsis nem látta a hintó oszlopát. Lámpás emberek nyüzsögtek a verandán. A hatalmas ház nagy ablakain keresztül fények ragyogtak. A terem zsúfolásig megtelt udvaroncokkal, akik el akartak búcsúzni az ifjú hercegtől; Az egész ház ott állt az előszobában: Mihail Ivanovics, Bourienne úr, Marya hercegnő és a hercegnő.
Andrej herceget behívták apja irodájába, aki négyszemközt szeretett volna elbúcsúzni tőle. Mindenki arra várt, hogy kijöjjenek.
Amikor Andrej herceg belépett az irodába, öreg hercegöregszemüvegben és fehér köntösében, melyben a fián kívül senkit sem fogadott, az asztalnál ült és írt. Hátranézett.
-Mész? - És újra írni kezdett.
- Elköszönni jöttem.
- Csókolj ide - mutatta az arcát -, köszönöm, köszönöm!
- Mit köszönsz meg?
– Nem ragaszkodsz a női szoknyához, amiért nem késtél le. A szolgáltatás az első. Köszönöm, köszönöm! - És folytatta az írást, úgyhogy a recsegő tollból fröccsenések repültek. - Ha mondanod kell valamit, mondd. Meg tudom csinálni ezt a két dolgot együtt” – tette hozzá.
- A feleségemről... Már szégyellem, hogy a karjaidban hagyom...
- Miért hazudsz? Mondja, amire szüksége van.
- Ha eljön az ideje, hogy a felesége szüljön, küldjön Moszkvába szülészért... Hogy itt legyen.
Az öreg herceg megállt, és mintha nem értené, szigorú szemekkel meredt fiára.
„Tudom, hogy senki sem tud segíteni, ha a természet nem segít” – mondta Andrej herceg láthatóan zavartan. – Egyetértek azzal, hogy millió esetből egy szerencsétlen, de ez ő és az én képzeletem. Azt mondták neki, álmában látta, és fél.
„Hm... hm...” – mondta magában az öreg herceg, és folytatta az írást. - Megcsinálom.
Kihúzta az aláírást, hirtelen gyorsan a fiához fordult és felnevetett.
- Rossz, mi?
- Mi a baj, apám?
- Feleség! – mondta röviden és jelentőségteljesen az öreg herceg.
– Nem értem – mondta Andrej herceg.
- Nincs mit tenni, barátom - mondta a herceg -, mind ilyenek, nem fogsz férjhez menni. Ne félj; Nem mondom el senkinek; és te magad is tudod.
Csontos kis kezével megragadta a kezét, megrázta, gyors szemeivel egyenesen fia arcába nézett, amely mintha átlátott volna a férfin, és újra nevetett a hideg nevetésével.
A fiú felsóhajtott, és ezzel a sóhajjal elismerte, hogy apja megértette őt. Az öreg folytatta a betűk hajtogatását és nyomtatását, szokásos gyorsaságával pecsétviaszt, pecsétet és papírt fogott és dobott.
- Mit kell tenni? Gyönyörű! mindent megteszek. – Nyugodj meg – mondta hirtelen gépelés közben.
Andrej hallgatott: örült és kellemetlen volt, hogy apja megértette őt. Az öreg felállt, és átadta a levelet a fiának.
– Figyelj – mondta –, ne aggódj a feleséged miatt: amit meg lehet tenni, az meg lesz. Most figyelj: add át a levelet Mihail Ilarionovicsnak. Azért írok, hogy elmondjam jó helyek használta és nem tartotta sokáig segédnek: csúnya pozíció! Mondd meg neki, hogy emlékszem rá és szeretem. Igen, írd meg, hogyan fogad majd. Ha jó vagy, tálalj. Nikolai Andreich Bolkonsky fia nem fog senkit szolgálni kegyelemből. Na, most gyere ide.
Olyan gyorstüzelésű hangon beszélt, hogy a szavak felét sem fejezte be, de a fia megszokta, hogy megértse. A fiát az irodához vezette, ledobta a fedelet, kihúzta a fiókot, és elővett egy nagy, hosszú és sűrített kézírásával borított füzetet.
– Előtted kell meghalnom. Tudd, hogy a jegyzeteim itt vannak, hogy halálom után átadjam a császárnak. Most itt van egy zálogjegy és egy levél: ez jutalom annak, aki megírja Szuvorov háborúinak történetét. Küldd el az akadémiára. Íme a megjegyzéseim, miután elolvastam magad, hasznodra válik.
Andrej nem mondta el apjának, hogy valószínűleg sokáig fog élni. Megértette, hogy ezt nem kell elmondani.
– Mindent megteszek, apám – mondta.
- No de most viszlát! „Hagyta, hogy fia kezet csókoljon, és megölelte. – Emlékezz egy dologra, Andrej herceg: ha megölnek, fájni fog az öregemnek... – Hirtelen elhallgatott, és hirtelen hangosan folytatta: – És ha megtudom, hogy nem úgy viselkedtél, mint a fia. Nyikolaj Bolkonszkij,... szégyellni fogom!” – üvöltötte.
– Nem kell ezt elmondanod, apám – mondta a fiú mosolyogva.
Az öreg elhallgatott.
- Azt is meg akartam kérdezni - folytatta Andrej herceg -, hogy megölnek-e, és ha fiam lesz, ne engedd el tőled, ahogy tegnap mondtam, hogy veled nőjön fel... kérem."
- Ne adjam a feleségemnek? - mondta az öreg és nevetett.
Némán álltak egymással szemben. Az öregember gyors tekintete egyenesen a fia szemére szegeződött. Valami megremegett az öreg herceg arcának alsó részén.
- Viszlát... menj! - mondta hirtelen. - Menj! - kiáltotta dühösen és hangosan, és kinyitotta az iroda ajtaját.
- Mi az, mi? - kérdezte a hercegnő és a hercegnő, látva Andrej herceget és egy pillanatra egy fehér köpenyes, paróka nélküli, öregszemüveges öregember alakját, aki egy pillanatra kihajolt, dühös hangon kiabálva.
Andrej herceg felsóhajtott, és nem válaszolt.
– Nos – mondta a feleségéhez fordulva.
És ez a „kút” hideg gúnynak tűnt, mintha azt mondaná: „Most csináld a trükkjeidet!”
– Andre, deja! [Andrey, már!] - mondta a kis hercegnő elsápadva, és félve nézett férjére.
Megölelte. Felsikoltott, és eszméletlenül a férfi vállára esett.
Óvatosan elmozdította a vállát, amelyen a nő feküdt, az arcába nézett, és óvatosan leültette egy székre.
„Viszlát, Marieie, [viszlát, Mása”] mondta halkan a húgának, kézen fogva megcsókolta, és gyorsan kiment a szobából.
A hercegnő egy széken feküdt, M lle Burien a halántékát dörzsölte. Marya hercegnő menyét támogatva, könnyes, gyönyörű szemekkel még mindig az ajtót nézte, amelyen Andrej herceg kijött, és megkeresztelte. Az irodából puskalövésként lehetett hallani egy orrfújó öregember gyakran ismétlődő dühös hangját. Amint Andrej herceg elment, az iroda ajtaja gyorsan kinyílt, és egy fehér köpenyes öregember szigorú alakja nézett kifelé.
- Bal? Hát jó! - mondta dühösen az érzelemmentes kis hercegnőre nézve, szemrehányóan megrázta a fejét és becsapta az ajtót.

1805 októberében az orosz csapatok elfoglalták az Osztrák Főhercegség falvait és városait, és újabb új ezredek érkeztek Oroszországból, és megterhelve a lakosokat a braunaui erődben. Kutuzov főparancsnok fő lakása Braunauban volt.
1805. október 11-én fél mérföldre állt a várostól az egyik gyalogezred, amely éppen Braunauba érkezett, és a főparancsnok ellenőrzésére várt. A nem orosz terep és helyzet ellenére (gyümölcsöskertek, kőkerítések, cseréptetők, távolban látható hegyek), annak ellenére, hogy a nem orosz emberek kíváncsian nézték a katonákat, az ezred pontosan ugyanolyan kinézetű volt, mint bármelyik orosz ezrednek, amikor felülvizsgálatra készül valahol Oroszország közepén.

Infinitezimális és végtelenül nagy függvények definíciói és tulajdonságai egy pontban. Tulajdonságok és tételek bizonyítása. Az infinitezimals és infinitezimals kapcsolata nagyszerű tulajdonságok.

Tartalom

Lásd még: Infinitezimális sorozatok - definíció és tulajdonságok
Végtelenül nagy sorozatok tulajdonságai

Infinitezimális és infinitezimális függvények meghatározása

Legyen x 0 véges vagy végtelen pont: ∞, -∞ vagy +∞.

Infinitezimális függvény definíciója
α függvény (x) hívott elenyésző ahogy x hajlamos x-re 0 0 , és egyenlő nullával:
.

Egy végtelenül nagy függvény definíciója
Funkció f (x) hívott végtelenül nagy ahogy x hajlamos x-re 0 , ha a függvény határértéke x → x 0 , és egyenlő a végtelennel:
.

Infinitezimális függvények tulajdonságai

Infinitezimális függvények összegének, különbségének és szorzatának tulajdonsága

Összeg, különbség és szorzat véges számú infinitezimális függvény, mint x → x 0 egy infinitezimális függvény, mint x → x 0 .

Ez a tulajdonság egy függvény határértékeinek aritmetikai tulajdonságainak egyenes következménye.

Tétel egy korlátos függvény és egy infinitezimális szorzatáról

Egy függvény korlátos szorzata az x pont valamelyik kilyukadt szomszédságán 0 , infinitezimálisra, mint x → x 0 , egy infinitezimális függvény, mint x → x 0 .

Az a tulajdonsága, hogy egy függvényt egy állandó és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolunk

Annak érdekében, hogy a függvény f (x) véges határa volt, ez szükséges és elégséges
,
ahol egy infinitezimális függvény x → x 0 .

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Tétel egy korlátos függvény és egy végtelenül nagy függvény összegéről

Egy korlátos függvény összege vagy különbsége az x pont valamely szúrt környezetében 0 , és egy végtelenül nagy függvény, mint x → x 0 , végtelen nagyszerű funkció mint x → x 0 .

Tétel egy korlátos függvény végtelen nagy osztásáról

Ha f függvény (x) végtelenül nagy, mint x → x 0 , és a g függvény (x)- az x pont valamely kilyukadt környékére van határolva 0 , Azt
.

Tétel egy infinitezimális függvény osztásáról

Ha egy függvény , a pont valamely kilyukadt szomszédságán , által abszolút érték alulról pozitív szám korlátozza:
,
és a függvény infinitezimális mint x → x 0 :
,
és van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen , akkor
.

Végtelen nagy függvények egyenlőtlenségeinek tulajdonsága

Ha a függvény végtelenül nagy itt:
,
és a és függvényei a pont valamely kilyukadt szomszédságán kielégítik az egyenlőtlenséget:
,
akkor a függvény is végtelenül nagy itt:
.

Ennek az ingatlannak két speciális esete van.

Legyen a pont valamelyik kilyukasztott környezetében a függvények és teljesüljenek az egyenlőtlenség:
.
Akkor ha , akkor és .
Ha , akkor és .

Összefüggés a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények között

Az előző két tulajdonságból a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények kapcsolata következik.

Ha egy függvény végtelenül nagy -ben, akkor a függvény végtelenül kicsi -ben.

Ha egy függvény végtelenül kicsi a , és függvényre, akkor a függvény végtelenül nagy -ra.

Egy infinitezimális és egy végtelenül nagy függvény kapcsolata kifejezhető szimbolikusan:
, .

Ha egy infinitezimális függvénynek van egy bizonyos előjele a pontban, azaz pozitív (vagy negatív) a pont valamelyik kilyukadt környezetében, akkor a következőképpen írhatjuk fel:
.
Ugyanígy, ha egy végtelenül nagy függvénynek van egy bizonyos előjele -nél, akkor ezt írják:
, vagy .

Ekkor a végtelenül kicsi és végtelenül nagy függvények közötti szimbolikus kapcsolat a következő összefüggésekkel egészíthető ki:
, ,
, .

További képletek, összekapcsoló végtelen szimbólumok találhatók az oldalon
"A végtelenben lévő pontok és tulajdonságaik."

Tulajdonságok és tételek bizonyítása

Egy korlátos függvény és egy infinitezimális függvény szorzatára vonatkozó tétel bizonyítása

Ennek a tételnek a bizonyítására a -t használjuk. Használjuk az infinitezimális sorozatok tulajdonságát is, amely szerint

Legyen a függvény infinitezimális -ben, és legyen a függvény a pont valamely kiszúrt környezetében korlátos:
nál nél .

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.

.
,
egy sorozat végtelenül kicsi:
.

Használjuk ki azt a tényt, hogy egy korlátos sorozat és egy infinitezimális sorozat szorzata egy infinitezimális sorozat:
.
.

A tétel bizonyítást nyert.

Annak a tulajdonságának bizonyítása, hogy egy függvényt egy állandó és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolunk

Szükségesség. Legyen a függvénynek véges határértéke egy pontban
.
Fontolja meg a funkciót:
.
A függvénykülönbség határának tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagyis van egy infinitezimális függvény.

Megfelelőség. Hadd legyen.
.

Alkalmazzuk a függvényösszeg határának tulajdonságát:

Az ingatlan bizonyított.

Egy korlátos függvény és egy végtelenül nagy függvény összegére vonatkozó tétel bizonyítása

nál nél .

A tétel bizonyításához a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.
.
Legyen egy tetszőleges sorozat, amely konvergál -hoz, amelynek elemei a szomszédsághoz tartoznak:
,
Ezután a és sorozatok definiálva vannak. Ezenkívül a sorrend korlátozott:
.

egy sorozat végtelenül nagy:
.
Mivel egy korlátozott sorozat és egy végtelenül nagy sorozat összege vagy különbsége
.

A tétel bizonyítást nyert.

Ekkor egy sorozat határértékének Heine szerinti meghatározása szerint,

Egy korlátos függvény végtelen nagydal való osztásának hányadosára vonatkozó tétel bizonyítása

Ennek bizonyítására a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni. Használjuk a végtelenül nagy sorozatok tulajdonságát is, amely szerint egy infinitezimális sorozat.
nál nél .

Legyen a függvény végtelenül nagy -ben, és legyen a függvény korlátos a pont valamely szúrt környezetében:
nál nél .
Mivel a függvény végtelenül nagy, van egy szúrt környéke annak a pontnak, ahol meghatározásra került, és nem tűnik el:

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.
.
Legyen egy tetszőleges sorozat, amely konvergál -hoz, amelynek elemei a szomszédsághoz tartoznak:
,
Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.
, .

egy sorozat végtelenül nagy nullától eltérő tagokkal:
.
Mivel egy korlátozott sorozat és egy végtelenül nagy sorozat összege vagy különbsége
.

A tétel bizonyítást nyert.

A hányadostétel bizonyítása alatta határolt függvény végtelen kicsivel való osztására

Ennek a tulajdonságnak a bizonyítására a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni. Használjuk a végtelenül nagy sorozatok tulajdonságát is, amely szerint egy végtelenül nagy sorozat.

Legyen a függvény infinitezimális -re, és a függvényt abszolút értékben határolja alulról egy pozitív szám, a pont valamely kiszúrt környezetében:
nál nél .

Feltétel szerint van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, ahol a függvény definiálva van, és nem tűnik el:
nál nél .
Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta. Ráadásul.

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.
.
Ezután a és sorozatok definiálva vannak. Ezen túlmenően, a sorrend az alábbiakban korlátozott:
,
és a sorozat végtelenül kicsi, nem nulla tagokkal:
, .

Mivel az alatta határolt sorozat végtelen kicsivel való osztásának hányadosa egy végtelenül nagy sorozat, akkor
.
És legyen egy defektes környéke annak a pontnak, amelyen
nál nél .

Vegyünk egy tetszőleges sorozatot, amely -hez konvergál. Ekkor valamilyen N számból kiindulva a sorozat elemei ehhez a szomszédsághoz fognak tartozni:
nál nél .
Akkor
nál nél .

A függvény határértékének Heine szerinti meghatározása szerint
.
Ekkor a végtelenül nagy sorozatok egyenlőtlenségeinek tulajdonsága alapján
.
Mivel a sorozat tetszőleges, konvergál -hoz, akkor a függvény határértékének Heine szerinti meghatározása alapján,
.

Alkalmazzuk a függvényösszeg határának tulajdonságát:

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Jól matematikai elemzés. 1. kötet Moszkva, 2003.

Lásd még: