Iz školskog tečaja algebre i geometrije znamo za koncept trodimenzionalnog prostora. Ako pogledate, sam pojam "trodimenzionalni prostor" definiran je kao koordinatni sustav s tri dimenzije (ovo svi znaju). Zapravo, bilo koji trodimenzionalni objekt može se opisati pomoću duljine, širine i visine u klasičnom smislu. Ipak, zaronimo malo dublje, kako se kaže.

Što je trodimenzionalni prostor

Kao što je već postalo jasno, razumijevanje trodimenzionalnog prostora i objekata koji u njemu mogu postojati određuju tri osnovna pojma. Istina, u slučaju točke to su točno tri vrijednosti, au slučaju ravnih, zakrivljenih, izlomljenih linija ili volumetrijskih objekata može biti više odgovarajućih koordinata.

U ovom slučaju sve ovisi o vrsti objekta i korištenom koordinatnom sustavu. Danas je najčešći (klasični) kartezijanski sustav, koji se ponekad naziva i pravokutnim. O njemu i nekim drugim sortama bit će riječi malo kasnije.

Između ostalog, ovdje je potrebno razlikovati apstraktni pojmovi(da tako kažemo, bez oblika) poput točaka, ravnih linija ili ravnina i likova koji imaju konačne dimenzije ili čak volumen. Za svaku od ovih definicija također postoje jednadžbe koje opisuju njihov mogući položaj u trodimenzionalnom prostoru. Ali to sada nije o tome.

Pojam točke u trodimenzionalnom prostoru

Prvo, definirajmo što točka u trodimenzionalnom prostoru predstavlja. Općenito se može nazvati određenom osnovnom jedinicom koja definira svaki stan ili trodimenzionalni lik, linija, segment, vektor, ravnina itd.

Samu točku karakteriziraju tri glavne koordinate. Za njih se u pravokutnom sustavu koriste posebne vodilice koje se nazivaju osi X, Y i Z, pri čemu prve dvije osi služe za izražavanje horizontalnog položaja objekta, a treća se odnosi na okomito postavljanje koordinata. Naravno, radi praktičnosti izražavanja položaja objekta u odnosu na nulte koordinate, pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, danas možete pronaći i druge sustave.

Vrste koordinatnih sustava

Kao što je već spomenuto, pravokutni koordinatni sustav koji je stvorio Descartes danas je glavni. Međutim, neke tehnike za određivanje položaja objekta u trodimenzionalnom prostoru također koriste neke druge varijacije.

Najpoznatiji su cilindrični i sferni sustavi. Razlika od klasičnog je u tome što kada se zadaju iste tri veličine koje određuju položaj točke u trodimenzionalnom prostoru, jedna od vrijednosti je kutna. Drugim riječima, takvi sustavi koriste krug koji odgovara kutu od 360 stupnjeva. Otuda specifično dodjeljivanje koordinata, uključujući elemente kao što su radijus, kut i generatrisa. Koordinate u trodimenzionalnom prostoru (sustavu) ove vrste podliježu malo drugačijim zakonitostima. Njihovo dodjeljivanje u ovom slučaju kontrolira pravilo desna ruka: Ako palac i kažiprst poravnate s osi X odnosno Y, preostali prsti u zakrivljenom položaju pokazat će u smjeru osi Z.

Pojam pravca u trodimenzionalnom prostoru

Sada nekoliko riječi o tome što je ravna linija u trodimenzionalnom prostoru. Na temelju osnovnog koncepta ravne linije, ovo je neka vrsta beskonačne linije povučene kroz točku ili dvije, ne računajući mnoge točke smještene u nizu koji ne mijenja izravan prolaz linije kroz njih.

Ako gledate liniju povučenu kroz dvije točke u trodimenzionalnom prostoru, morat ćete uzeti u obzir tri koordinate obje točke. Isto vrijedi za segmente i vektore. Potonji određuju osnovu trodimenzionalnog prostora i njegove dimenzije.

Definicija vektora i baza trodimenzionalnog prostora

Imajte na umu da to mogu biti samo tri vektora, ali možete definirati onoliko trojki vektora koliko želite. Dimenzija prostora određena je brojem linearno neovisnih vektora (u našem slučaju tri). I prostor u kojem postoji konačni broj takvih vektora naziva se konačnodimenzionalnim.

Zavisni i nezavisni vektori

Što se tiče definicije zavisnih i nezavisnih vektora, linearno neovisni vektori se smatraju projekcijama (na primjer, vektori X-osi projicirani na Y-os).

Kao što je već jasno, svaki četvrti vektor je ovisan (teorija linearni prostori). Ali tri neovisna vektora u trodimenzionalnom prostoru ne smiju ležati u istoj ravnini. Osim toga, ako su neovisni vektori definirani u trodimenzionalnom prostoru, oni ne mogu biti, da tako kažemo, jedan nastavak drugoga. Kao što je već jasno, u slučaju s tri dimenzije koje razmatramo, prema općoj teoriji, moguće je konstruirati isključivo samo trojke linearno neovisnih vektora u određenom koordinatnom sustavu (bez obzira kojeg tipa).

Ravnina u trodimenzionalnom prostoru

Ako uzmemo u obzir koncept ravnine, ne ulazeći u to matematičke definicije, za jednostavnije razumijevanje ovog pojma, takav se objekt može smatrati isključivo dvodimenzionalnim. Drugim riječima, radi se o beskonačnom skupu točaka kojima je jedna od koordinata konstantna.

Na primjer, ravninom se može nazvati bilo koji broj točaka s različitim koordinatama duž osi X i Y, ali istim koordinatama duž osi Z. U svakom slučaju, jedna od trodimenzionalnih koordinata ostaje nepromijenjena. Međutim, ovo je, da tako kažem, opći slučaj. U nekim situacijama, trodimenzionalni prostor može biti presječen ravninom duž svih osi.

Postoji li više od tri dimenzije?

Pitanje koliko dimenzija može biti vrlo je zanimljivo. Smatra se da ne živimo u tri dimenzije. klasična točka pogled na prostor, ali u četiri dimenzije. Osim svima poznate dužine, širine i visine, takav prostor uključuje i vrijeme postojanja objekta, a vrijeme i prostor međusobno su dosta čvrsto povezani. To je dokazao Einstein u svojoj teoriji relativnosti, iako se to više odnosi na fiziku nego na algebru i geometriju.

Još jedna zanimljiva činjenica je da su danas znanstvenici već dokazali postojanje najmanje dvanaest dimenzija. Naravno, neće svatko moći razumjeti što su oni, jer se to prije odnosi na određeno apstraktno područje koje je izvan ljudske percepcije svijeta. Ipak, činjenica ostaje. I nije uzalud mnogi antropolozi i povjesničari koji tvrde da su naši preci mogli imati neke specifične razvijene osjetilne organe, poput trećeg oka, koji su pomogli u percepciji višedimenzionalne stvarnosti, a ne isključivo trodimenzionalnog prostora.

Usput, danas postoji dosta mišljenja o tome da je ekstrasenzorna percepcija također jedna od manifestacija percepcije višedimenzionalnog svijeta, a za to se može naći dosta dokaza.

Imajte na umu da također nije uvijek moguće opisati višedimenzionalne prostore koji se razlikuju od našeg četverodimenzionalnog svijeta modernim osnovnim jednadžbama i teoremima. A znanost na ovom području više pripada carstvu teorija i pretpostavki, nego onome što se može jasno opipati ili, da tako kažem, opipati ili vidjeti vlastitim očima. Ipak, danas nitko ne sumnja u neizravne dokaze o postojanju višedimenzionalnih svjetova, u kojima mogu postojati četiri ili više dimenzija.

Zaključak

Općenito, vrlo smo kratko pregledali osnovne pojmove vezane uz trodimenzionalni prostor i osnovne definicije. Naravno, postoji mnogo posebnih slučajeva povezanih s različitim koordinatnim sustavima. Osim toga, trudili smo se ne ulaziti u matematičku džunglu i objašnjavati osnovne pojmove samo kako bi svakom učeniku bilo jasno pitanje vezano uz njih (tako reći, objašnjenje “na prste”).

Ipak, čini se da se i iz tako jednostavnih tumačenja može zaključiti o matematičkom aspektu svih komponenti uključenih u temeljnu školski tečaj algebre i geometrije.

Koliko dimenzija ima prostor svijeta u kojem živimo?

Kakvo pitanje! Naravno, reći će tri obična osoba i bit će u pravu. Ali postoji i posebna vrsta ljudi koji imaju stečenu sposobnost sumnje u očite stvari. Ovi ljudi se nazivaju "učenjaci" jer su posebno poučeni ovome. Za njih naše pitanje nije tako jednostavno: mjerenje prostora je neuhvatljiva stvar, ne mogu se jednostavno prebrojati upiranjem prstom: jedan, dva, tri. Nemoguće je izmjeriti njihov broj bilo kojim uređajem poput ravnala ili ampermetra: prostor ima 2,97 plus ili minus 0,04 dimenzija. Moramo dublje razmisliti o ovom pitanju i tražiti neizravne metode. Takva su se traženja pokazala plodonosnim: moderna fizika smatra da broj dimenzija stvarnom svijetu usko je povezan s najdubljim svojstvima materije. Ali put do ovih ideja započeo je revizijom našeg svakodnevnog iskustva.

Obično se kaže da svijet, kao i svako tijelo, ima tri dimenzije, koje odgovaraju trima različitim pravcima, recimo, “visini”, “širini” i “dubini”. Čini se jasnim da je "dubina" prikazana na ravnini crteža svedena na "visinu" i "širinu", te je na neki način njihova kombinacija. Također je jasno da se u stvarnom trodimenzionalnom prostoru svi zamislivi pravci svode na neka tri unaprijed odabrana. Ali što znači "smanjiti", "jesu kombinacija"? Gdje će biti ta “širina” i “dubina” ako se ne nađemo u pravokutnoj sobi, nego u bestežinskom stanju negdje između Venere i Marsa? Konačno, tko može jamčiti da je “visina”, recimo, u Moskvi i New Yorku, ista “dimenzija”?

Problem je u tome što već znamo odgovor na problem koji pokušavamo riješiti, a to nije uvijek korisno. E sad, kad bi se barem netko mogao naći u svijetu čiji broj dimenzija nije unaprijed poznat i tražiti ih jednu po jednu Ili se, barem, tako odreći postojećeg znanja o stvarnosti kako bi pogledao njezina izvorna svojstva na potpuno nov način.

Alat za matematiku Cobblestone

Godine 1915. francuski matematičar Henri Lebesgue smislio je kako odrediti broj dimenzija prostora bez korištenja pojmova visine, širine i dubine. Da biste razumjeli njegovu ideju, dovoljno je pažljivo pogledati pločnik od kaldrme. Lako možete pronaći mjesta gdje se kamenje spaja po tri i četiri. Možete popločiti ulicu kvadratnim pločicama, koje će biti jedna uz drugu u dvije ili četiri; ako uzmete identične trokutaste pločice, one će biti susjedne u skupinama od dvije ili šest. Ali ni jedan majstor ne može popločati ulicu tako da kaldrma posvuda naliježe jedna na drugu samo po dvoje. To je toliko očito da je smiješno sugerirati drugačije.

Matematičari se razlikuju od normalnih ljudi upravo po tome što uočavaju mogućnost takvih apsurdnih pretpostavki i iz njih mogu izvući zaključke. U našem slučaju Lebesgue je razmišljao na sljedeći način: površina kolnika je, naravno, dvodimenzionalna. Pritom na njoj neizbježno postoje točke u kojima se spajaju najmanje tri kaldrme. Pokušajmo generalizirati ovo zapažanje: recimo da je dimenzija neke regije jednaka N ako pri njenom popločavanju nije moguće izbjeći kontakte N + 1 ili više"kaldrme". Sada će trodimenzionalnost prostora potvrditi svaki zidar: uostalom, pri polaganju debelog zida s nekoliko slojeva sigurno će postojati točke na kojima će se dodirivati ​​najmanje četiri cigle!

No, na prvi se pogled čini da se može pronaći, kako to matematičari nazivaju, "protuprimjer" Lebesgueovoj definiciji dimenzije. Ovo je pod od dasaka u kojem se podne daske dodiruju točno po dvije. Zašto ne asfaltirati? Stoga je Lebesgue također zahtijevao da "kaldrma" koja se koristi za određivanje dimenzija bude mala. To je važna ideja i vratit ćemo joj se na kraju opet - iz neočekivane perspektive. I sada je jasno da uvjet male veličine "kaldrme" spašava Lebesgueovu definiciju: recimo, kratki parketi, za razliku od dugih podova, u nekim će se točkama nužno dodirivati ​​u tri. To znači da tri dimenzije prostora nisu samo mogućnost proizvoljnog odabira neka tri “različita” smjera u njemu. Tri dimenzije pravo su ograničenje naših mogućnosti, što se lako osjeti ako se malo poigramo kockicama ili kockicama.

Dimenzija prostora Stirlitzovim očima

Još jedno ograničenje povezano s trodimenzionalnošću prostora dobro osjeća zatvorenik zatvoren u zatvorskoj ćeliji (primjerice, Stirlitz u Müllerovu podrumu). Kako ova kamera izgleda iz njegove perspektive? Grubi betonski zidovi, čvrsto zaključana čelična vrata - jednom riječju, jedna dvodimenzionalna površina bez pukotina i rupa, koja sa svih strana zatvara zatvoreni prostor u kojem se nalazi. Od takve ljušture doista se nema kamo pobjeći. Je li moguće zaključati osobu unutar jednodimenzionalnog kruga? Zamislite kako Müller kredom na podu nacrta krug oko Stirlitza i ode kući: to uopće nije šala.

Iz ovih razmatranja proizlazi još jedan način za određivanje broja dimenzija našeg prostora. Formulirajmo to ovako: područje N-dimenzionalnog prostora moguće je sa svih strana zatvoriti samo (N-1)-dimenzionalnom “površinom”. U dvodimenzionalnom prostoru "površina" će biti jednodimenzionalna kontura, u jednodimenzionalnom prostoru bit će dvije nulto-dimenzionalne točke. Tu je definiciju 1913. izmislio nizozemski matematičar Brouwer, ali je postala poznata tek osam godina kasnije, kada su je neovisno ponovno otkrili naš Pavel Uryson i Austrijanac Carl Menger.

Ovdje se naši putevi odvajaju od Lebesguea, Brouwera i njihovih kolega. Trebali su novu definiciju dimenzije kako bi izgradili sažetak matematička teorija prostori bilo koje dimenzije do beskonačnosti. Ovo je čisto matematička konstrukcija, igra ljudskog uma, koji je dovoljno jak čak i da shvati takve čudne objekte kao što je beskonačnodimenzionalni prostor. Matematičari ne pokušavaju otkriti postoje li stvari s takvom strukturom doista: to nije njihova struka. Naprotiv, naš interes za broj dimenzija svijeta u kojem živimo je fizički: želimo saznati koliko ih zapravo ima i kako osjetiti njihov broj “na vlastitoj koži”. Trebaju nam fenomeni, a ne čiste ideje.

Karakteristično je da su svi navedeni primjeri više ili manje posuđeni iz arhitekture. To je područje ljudske djelatnosti koje je najuže povezano s prostorom, kako nam se čini u uobicajen život. Da bismo napredovali u potrazi za dimenzijama fizičkog svijeta, bit će potreban pristup drugim razinama stvarnosti. Dostupni su ljudima zahvaljujući Moderna tehnologija, a samim tim i fizika.

Kakve veze ima brzina svjetlosti s tim?

Vratimo se nakratko Stirlitzu koji je ostavljen u ćeliji. Da bi izašao iz ljušture koja ga je pouzdano dijelila od ostatka trodimenzionalnog svijeta, poslužio se četvrtom dimenzijom koja se ne boji dvodimenzionalnih barijera. Naime, malo je razmislio i pronašao sebi odgovarajući alibi. Drugim riječima, nova tajanstvena dimenzija koju je Stirlitz iskoristio bilo je vrijeme.

Teško je reći tko je prvi uočio analogiju između vremena i dimenzija prostora. Za to su već znali prije dva stoljeća. Joseph Lagrange, jedan od tvoraca klasične mehanike, znanosti o kretanju tijela, usporedio ju je s geometrijom četverodimenzionalnog svijeta: njegova usporedba zvuči poput citata iz moderna knjiga Po Opća teorija relativnost.

Lagrangeov tok misli je, međutim, lako razumjeti. U njegovo vrijeme već su bili poznati grafovi ovisnosti varijabli o vremenu, poput današnjih kardiograma ili grafova mjesečnih varijacija temperature. Takvi se grafikoni crtaju na dvodimenzionalnoj ravnini: duž ordinatne osi iscrtava se put koji je priješla varijabla, a na apscisnoj osi proteklo vrijeme. U ovom slučaju, vrijeme doista postaje samo "još jedna stvar". geometrijska dimenzija. Na isti način, možete ga dodati u trodimenzionalni prostor našeg svijeta.

Ali je li vrijeme doista poput prostornih dimenzija? Na ravnini s nacrtanim grafom dva su istaknuta “smislena” pravca. A pravci koji se ne poklapaju ni s jednom od osi nemaju nikakvog značenja, ne predstavljaju ništa. Na običnoj geometrijskoj dvodimenzionalnoj ravnini svi pravci su jednaki, nema označenih osi.

Vrijeme se uistinu može smatrati četvrtom koordinatom samo ako se ne razlikuje od ostalih pravaca u četverodimenzionalnom “prostor-vremenu”. Moramo pronaći način da "rotiramo" prostor-vrijeme tako da se vremenska i prostorna dimenzija "pomiješaju" i mogu, u određenom smislu, transformirati jedna u drugu.

Ovu su metodu otkrili Albert Einstein, koji je stvorio teoriju relativnosti, i Herman Minkowski, koji ju je dao strogu matematički oblik. Iskoristili su činjenicu da u prirodi postoji univerzalna brzina brzina svjetlosti.

Uzmimo dvije točke u prostoru, svaku u svom trenutku u vremenu, ili dva “događaja” u žargonu teorije relativnosti. Ako vremenski interval između njih, mjeren u sekundama, pomnožite s brzinom svjetlosti, dobit ćete određenu udaljenost u metrima. Pretpostavit ćemo da je ovaj zamišljeni segment "okomit" na prostornu udaljenost između događaja, te zajedno tvore "noge" neke vrste pravokutni trokut, čija je “hipotenuza” segment u prostor-vremenu koji povezuje odabrane događaje. Minkowski je predložio: da bismo pronašli kvadrat duljine "hipotenuze" ovog trokuta, nećemo dodati kvadrat duljine "prostorne" noge kvadratu duljine "vremenske" noge, već oduzmi ga. Naravno, to može rezultirati negativnim rezultatom: tada se smatra da "hipotenuza" ima imaginarnu duljinu! Ali koja je svrha?

Kada se ravnina rotira, duljina bilo kojeg segmenta nacrtanog na njoj ostaje sačuvana. Minkowski je shvatio da je potrebno razmotriti takve "rotacije" prostor-vremena koje čuvaju "duljinu" segmenata između događaja koje je on predložio. Tako je moguće osigurati da je brzina svjetlosti univerzalna u izgrađenoj teoriji. Ako su dva događaja povezana svjetlosnim signalom, tada je "Minkowski udaljenost" između njih jednaka nuli: prostorna udaljenost podudara se s vremenskim intervalom pomnoženim s brzinom svjetlosti. "Rotacija" koju je predložio Minkowski održava ovu "udaljenost" nultom, bez obzira koliko su prostor i vrijeme pomiješani tijekom "rotacije".

Ovo nije jedini razlog zašto "distanca" Minkowskog ima stvarnost fizičko značenje, unatoč krajnje čudnoj definiciji za nespremnu osobu. Minkowskijeva "udaljenost" pruža način za konstruiranje "geometrije" prostor-vremena tako da i prostorni i vremenski intervali između događaja mogu biti jednaki. Možda je upravo to glavna ideja teorije relativnosti.

Dakle, vrijeme i prostor našeg svijeta toliko su međusobno povezani da je teško razumjeti gdje jedno završava, a drugo počinje. Zajedno čine nešto poput pozornice na kojoj se izvodi predstava “Povijest svemira”. Likovičestice materije, atomi i molekule od kojih se sastavljaju galaksije, maglice, zvijezde, planeti, a na nekim planetima čak i živi inteligentni organizmi (čitatelj bi trebao poznavati barem jedan takav planet).

Na temelju otkrića svojih prethodnika, Einstein je stvorio novu fizičku sliku svijeta, u kojoj su prostor i vrijeme bili neodvojivi jedno od drugog, a stvarnost je postala doista četverodimenzionalna. I u ovoj četverodimenzionalnoj stvarnosti, jedna od dvije "temeljne interakcije" poznate znanosti u to vrijeme "rastopljena": zakon univerzalna gravitacija sveden na geometrijsku strukturu četverodimenzionalnog svijeta. Ali Einstein nije mogao učiniti ništa s drugom temeljnom interakcijom - elektromagnetskom.

Prostor-vrijeme poprima nove dimenzije

Opća teorija relativnosti toliko je lijepa i uvjerljiva da su odmah nakon što je postala poznata drugi znanstvenici pokušali ići istim putem dalje. Je li Einstein gravitaciju sveo na geometriju? To znači da njegovim sljedbenicima preostaje geometrizirati elektromagnetske sile!

Budući da je Einstein iscrpio mogućnosti metrike četverodimenzionalnog prostora, njegovi su sljedbenici počeli pokušavati nekako proširiti skup geometrijskih objekata iz kojih bi se takva teorija mogla konstruirati. Sasvim je prirodno da su htjeli povećati broj dimenzija.

Ali dok su se teoretičari bavili geometrizacijom elektromagnetskih sila, otkrivene su još dvije temeljne interakcije takozvani jaki i slabi. Sada je bilo potrebno spojiti četiri interakcije. Istodobno se pojavilo mnogo neočekivanih poteškoća, za prevladavanje kojih su izmišljene nove ideje, koje su znanstvenike vodile sve dalje od vizualne fizike prošlog stoljeća. Počeli su razmatrati modele svjetova s ​​desecima, pa i stotinama dimenzija, a dobro im je došao i beskonačnodimenzionalni prostor. Da bi se govorilo o tim traženjima, morala bi se napisati cijela knjiga. Za nas je važno još jedno pitanje: gdje se nalaze sve te nove dimenzije? Je li ih moguće osjetiti na isti način na koji osjećamo vrijeme i trodimenzionalni prostor?

Zamislite dugu i vrlo tanku cijev – na primjer, prazno vatrogasno crijevo, tisuću puta smanjeno. To je dvodimenzionalna površina, ali su joj dvije dimenzije nejednake. Jednu od njih, duljinu, lako je uočiti - to je “makroskopska” dimenzija. Perimetar, "poprečna" dimenzija, može se vidjeti samo pod mikroskopom. Suvremeni višedimenzionalni modeli svijeta slični su ovoj cijevi, iako nemaju jednu, nego četiri makroskopske dimenzije - tri prostorne i jednu vremensku. Preostale dimenzije u ovim modelima ne mogu se vidjeti ni pod elektronskim mikroskopom. Kako bi otkrili njihove manifestacije, fizičari koriste akceleratore - vrlo skupe, ali grube "mikroskope" za subatomski svijet.

Dok su neki znanstvenici usavršavali ovu impresivnu sliku, briljantno svladavajući jednu prepreku za drugom, drugi su imali škakljivo pitanje:

Može li dimenzija biti razlomačka?

Zašto ne? Da biste to učinili, trebate samo “jednostavno” pronaći novo svojstvo dimenzije koje bi ga moglo povezati s necijelim brojevima i geometrijskim objektima koji imaju to svojstvo i imaju razlomačku dimenziju. Ako želimo pronaći npr. geometrijski lik, koji ima jednu i pol dimenziju, tada imamo dva načina. Možete pokušati oduzeti pola dimenzije od dvodimenzionalne površine ili dodati pola dimenzije jednodimenzionalnoj liniji. Da bismo to učinili, prvo vježbajmo dodavanje ili oduzimanje cijele dimenzije.

Postoji tako poznati dječji trik. Mađioničar uzme trokutasti komad papira, napravi rez na njemu škarama, savije list na pola duž linije reza, napravi još jedan rez, ponovo ga savije, reže posljednji put, i gore! U rukama mu je girlanda od osam trokuta, od kojih je svaki potpuno sličan izvornom, ali osam puta manje površine (i kvadratnog korijena osam puta). Možda je taj trik talijanskom matematičaru Giuseppeu Peanu pokazao 1890. (ili ga je možda on sam volio pokazivati), u svakom slučaju, tada je to primijetio. Uzmimo savršeni papir, savršene škare i ponovimo redoslijed rezanja i savijanja beskonačan broj puta. Tada će veličine pojedinačnih trokuta dobivenih u svakom koraku ovog procesa težiti nuli, a sami trokuti će se smanjiti na točke. Stoga ćemo iz dvodimenzionalnog trokuta dobiti jednodimenzionalnu liniju bez gubitka ijednog papira! Ako ovu liniju ne razvučete u vijenac, već je ostavite "zgužvanu" kao što smo to učinili prilikom rezanja, tada će u potpunosti ispuniti trokut. Štoviše, pod kojim god snažnim mikroskopom pregledali ovaj trokut, povećavajući njegove fragmente koliko god puta, rezultirajuća slika izgledat će potpuno isto kao ona neuvećana: znanstveno govoreći, Peanova krivulja ima istu strukturu na svim skalama povećanja, ili je " skalirana" nepromjenjiva."

Dakle, savijajući se nebrojeno puta, jednodimenzionalna krivulja bi takoreći mogla dobiti dimenziju dva. To znači da postoji nada da će manje "zgužvana" krivulja imati "dimenziju" od, recimo, jedan i pol. Ali kako možemo pronaći način za mjerenje frakcijskih dimenzija?

U određivanju dimenzija "kaldrme", kako se čitatelj sjeća, bilo je potrebno koristiti prilično male "kaldrme", inače bi rezultat mogao biti netočan. Ali trebat će vam puno malih "kaldrma": što je manja njihova veličina, to više. Ispostavilo se da za određivanje dimenzije nije potrebno proučavati kako su "kaldrme" jedna uz drugu, već je dovoljno samo saznati kako se njihov broj povećava kako se veličina smanjuje.

Uzmimo isječak ravne linije duljine 1 decimetar i dvije Peanove krivulje, koje zajedno ispunjavaju kvadrat koji mjeri decimetar po decimetar. Obložit ćemo ih malim četvrtastim "kaldrmom" sa stranicama duljine 1 centimetar, 1 milimetar, 0,1 milimetar i tako dalje, sve do mikrona. Ako veličinu "kaldrme" izrazimo u decimetrima, tada će segment zahtijevati broj "kaldrma" jednak njihovoj veličini na potenciju minus jedan, a za Peano krivulje jednaku njihovoj veličini na potenciju minus dva. Štoviše, segment definitivno ima jednu dimenziju, a Peanova krivulja, kao što smo vidjeli, ima dvije. Ovo nije samo slučajnost. Eksponent u odnosu koji povezuje broj “kaldrme” s njihovom veličinom doista je jednak (s predznakom minus) dimenziji figure koja je njima prekrivena. Posebno je važno da eksponent može biti razlomački broj. Na primjer, za krivulju koja je u sredini u svojoj "zgužvanosti" između obične linije i ponekad gusto ispunjavanja kvadrata Peanovih krivulja, vrijednost indikatora bit će veća od 1 i manja od 2. To otvara put koji trebamo odrediti frakcijske dimenzije.

Tako je, primjerice, određena veličina obale Norveške, zemlje koja ima vrlo razvedenu (ili “zgužvanu”, kako vam je draže) obalu. Naravno, popločavanje obale Norveške kaldrmom nije se odvijalo na terenu, već na karti iz geografski atlas. Rezultat (nije apsolutno točan zbog nemogućnosti u praksi doći do infinitezimalnih “kaldrma”) bio je 1,52 plus-minus jedna stotinka. Jasno je da dimenzija ne može biti manja od jedan, jer je ipak riječ o “jednodimenzionalnoj” liniji, a veća od dvije, jer obala Norveška je "iscrtana" na dvodimenzionalnoj površini globusa.

Čovjek kao mjera svih stvari

Frakcijske dimenzije su sjajne, može ovdje reći čitatelj, ali kakve veze imaju s pitanjem broja dimenzija svijeta u kojem živimo? Može li se dogoditi da je dimenzija svijeta razlomačka, a ne točno jednaka tri?

Primjeri Peanove krivulje i norveške obale pokazuju da se frakcijska dimenzija dobiva ako je zakrivljena linija jako "zgužvana", ugrađena u infinitezimalne nabore. Proces određivanja frakcijske dimenzije također uključuje korištenje beskonačno padajućih "kaldrma" kojima pokrivamo proučavanu krivulju. Stoga se frakcijska dimenzija, znanstveno gledano, može očitovati samo “u dovoljno malim mjerilima”, odnosno eksponent u omjeru koji povezuje broj “kaldrme” s njihovom veličinom može doseći svoju frakcijsku vrijednost tek u granici. Naprotiv, jedna ogromna kaldrma može pokriti fraktal objekt frakcijske dimenzije konačnih dimenzija koji se ne može razlikovati od točke.

Za nas je svijet u kojem živimo prije svega razmjer u kojem nam je dostupan u svakodnevnoj stvarnosti. Unatoč nevjerojatnim dostignućima tehnologije, njezine karakteristične dimenzije još uvijek su određene oštrinom našeg vida i udaljenosti naših hodanja, karakteristična vremenska razdoblja brzinom naše reakcije i dubinom našeg pamćenja, karakteristične količine energije jačina interakcija u koje naše tijelo ulazi s okolnim stvarima. Tu nismo puno nadmašili drevne, a vrijedi li tome težiti? Prirodne i tehnološke katastrofe donekle proširuju razmjere “naše” stvarnosti, ali je ne čine kozmičkom. Mikrosvijet je još nedostupniji u našem Svakidašnjica. Svijet koji nam se otvara je trodimenzionalan, “gladak” i “ravan”, savršeno ga opisuje geometrija starih Grka; dostignuća znanosti trebala bi u konačnici služiti ne toliko širenju koliko zaštiti njezinih granica.

Što je onda odgovor ljudima koji čekaju otvorenje? skrivene dimenzije naš svijet? Jao, jedina nam dostupna dimenzija koju svijet ima izvan tri prostorne je vrijeme. Je li malo ili mnogo, staro ili novo, divno ili obično? Vrijeme je jednostavno četvrti stupanj slobode i može se koristiti na mnogo različitih načina. Prisjetimo se još jednom istog Stirlitza, usput, fizičara po obrazovanju: svaki trenutak ima svoj razlog

Andrej Sobolevski

U kojem od naših znanstvenika tražimo odgovore na vrlo jednostavna, na prvi pogled, ali kontroverzna pitanja čitatelja. Za vas smo odabrali najzanimljivije odgovore stručnjaka PostNauke.

Svima je poznata kratica 3D, što znači “trodimenzionalno” (slovo D je od riječi dimenzija). Primjerice, kada u kinu biramo film s oznakom 3D, sigurno znamo: za gledanje ćemo morati nositi posebne naočale, ali slika neće biti ravna, već trodimenzionalna. Što je 4D? Postoji li “četverodimenzionalni prostor” u stvarnosti? A je li moguće ući u “četvrtu dimenziju”?

Da bismo odgovorili na ova pitanja, počnimo s najjednostavnijim geometrijskim objektom - točkom. Točka je nulta dimenzija. Nema dužine, širine, visine.

// 8-ćelijski-jednostavni

Sada pomaknimo točku duž ravne linije na neku udaljenost. Recimo da je naša točka vrh olovke; kad smo ga pomaknuli, povukao je crtu. Segment ima duljinu i nema drugih dimenzija: on je jednodimenzionalan. Segment "živi" na ravnoj liniji; ravna linija je jednodimenzionalni prostor.

Sada uzmimo segment i pokušajmo ga pomaknuti na način na koji smo prije pomaknuli točku. Možete zamisliti da je naš segment baza širokog i vrlo tankog kista. Ako prijeđemo preko crte i pomaknemo se u okomitom smjeru, dobit ćemo pravokutnik. Pravokutnik ima dvije dimenzije - širinu i visinu. Pravokutnik leži u određenoj ravnini. Ravnina je dvodimenzionalni prostor (2D), na njemu možete uvesti dvodimenzionalni koordinatni sustav - svaka točka će odgovarati paru brojeva. (Na primjer, kartezijanski koordinatni sustav na ploči ili zemljopisna širina i dužina na geografskoj karti.)

Ako pomaknete pravokutnik u smjeru okomitom na ravninu u kojoj leži, dobit ćete "ciglu" (pravokutni paralelopiped) - trodimenzionalni objekt koji ima duljinu, širinu i visinu; nalazi se u trodimenzionalnom prostoru, istom u kojem ti i ja živimo. Stoga imamo dobru ideju o tome kako izgledaju trodimenzionalni objekti. Ali da živimo u dvodimenzionalnom prostoru - u avionu - morali bismo prilično napregnuti svoju maštu da zamislimo kako možemo pomaknuti pravokutnik tako da on izađe iz ravnine u kojoj živimo.

Također nam je prilično teško zamisliti četverodimenzionalni prostor, iako ga je vrlo lako matematički opisati. Trodimenzionalni prostor je prostor u kojem je položaj točke zadan s tri broja (npr. položaj zrakoplova zadan je zemljopisnom dužinom, širinom i nadmorskom visinom). U četverodimenzionalnom prostoru točka odgovara četirima koordinatnim brojevima. “Četverodimenzionalna cigla” se dobiva pomicanjem obične cigle u nekom pravcu koji ne leži u našem trodimenzionalnom prostoru; ima četiri dimenzije.

Zapravo, svakodnevno se susrećemo s četverodimenzionalnim prostorom: na primjer, kada dogovaramo datum, označavamo ne samo mjesto sastanka (može se odrediti s tri broja), već i vrijeme (može se odrediti s jednim brojem) , na primjer, broj sekundi koji su prošli od određenog datuma). Ako pogledate pravu ciglu, ona nema samo duljinu, širinu i visinu, već i produžetak u vremenu – od trenutka stvaranja do trenutka uništenja.

Fizičar će reći da ne živimo samo u prostoru, nego u prostor-vremenu; matematičar će dodati da je četverodimenzionalan. Dakle, četvrta dimenzija je bliža nego što se čini.

Trodimenzionalni prostor – ima tri homogene dimenzije: visinu, širinu i dužinu. Ovo je geometrijski model našeg materijalnog svijeta.

Da bismo razumjeli prirodu fizičkog prostora, prvo moramo odgovoriti na pitanje o podrijetlu njegove dimenzije. Stoga je vrijednost dimenzije, kao što se vidi, najznačajnija karakteristika fizičkog prostora.

Dimenzija prostora

Dimenzija je najopćenitije mjerljivo svojstvo prostor-vremena. Trenutno fizikalna teorija, koji tvrdi da je prostorno-vremenski opis stvarnosti, uzima vrijednost dimenzije kao početni postulat. Pojam broja dimenzija, odnosno dimenzija prostora, jedan je od temeljnih pojmova u matematici i fizici.

Moderna fizika približila se odgovoru na metafizičko pitanje postavljeno u djelima austrijskog fizičara i filozofa Ernsta Macha: “Zašto je prostor trodimenzionalan?” Vjeruje se da je činjenica trodimenzionalnosti prostora povezana s temeljna svojstva materijalni svijet.

Razvoj procesa iz točke stvara prostor, tj. mjesto gdje se treba odvijati provedba razvojnog programa. "Generirani prostor "za nas je oblik svemira ili oblik materije u svemiru."

Tako su mislili u davna vremena...

Čak je i Ptolomej pisao o dimenziji prostora, gdje je tvrdio da u prirodi ne može postojati više od tri prostorne dimenzije. Još jedan grčki mislilac, Aristotel, u svojoj knjizi “O nebu” napisao je da samo prisutnost tri dimenzije osigurava savršenstvo i cjelovitost svijeta. Jedna dimenzija, smatra Aristotel, tvori liniju. Ako liniji dodamo još jednu dimenziju, dobit ćemo površinu. Dodavanje druge dimenzije površini oblikuje volumetrijsko tijelo.

Ispostavilo se da „više nije moguće ići izvan granica volumetrijskog tijela na nešto drugo, budući da se svaka promjena događa zbog neke vrste nedostatka, a ovdje ga nema. Gornja linija Aristotelove misli pati od jedne značajne slabosti: ostaje nejasno iz kojeg razloga upravo trodimenzionalno volumetrijsko tijelo ima cjelovitost i savršenstvo. Svojedobno je Galileo s pravom ismijavao mišljenje da je “broj “3” savršen broj i da je obdaren sposobnošću da svemu što ima trojstvo daje savršenstvo.”

Kako se određuje dimenzija prostora?

Svemir ima beskonačan opseg u svim smjerovima. Međutim, može se mjeriti samo u tri neovisna smjera: duljina, širina i visina; Te pravce nazivamo dimenzijama prostora i kažemo da naš prostor ima tri dimenzije, da je trodimenzionalan. Štoviše, “u ovom slučaju neovisnim pravcem nazivamo liniju koja leži pod pravim kutom u odnosu na drugu. Takve linije, tj. leže istovremeno pod pravim kutom jedan prema drugom, a ne paralelni jedan s drugim, naša geometrija poznaje samo tri. Odnosno, dimenzionalnost našeg prostora određena je brojem mogućih linija u njemu koje leže pod pravim kutom jedna prema drugoj. Ne može postojati još jedna crta na liniji – to je jednodimenzionalni prostor. Na površini su moguće 2 okomice - ovo je dvodimenzionalni prostor. U "svemiru" postoje tri okomice - ovo je trodimenzionalni prostor."

Zašto je prostor trodimenzionalan?

Rijetko u zemaljski uvjeti iskustvo materijalizacije ljudi često fizički djeluje na očevice...

Ali još uvijek postoji mnogo toga što je nejasno u idejama o prostoru i vremenu, što dovodi do tekućih rasprava među znanstvenicima. Zašto naš prostor ima tri dimenzije? Mogu li višedimenzionalni svjetovi postojati? Je li moguće da materijalni objekti postoje izvan prostora i vremena?

Izjava da fizički prostor ima tri dimenzije jednako je objektivna kao i izjava, na primjer, da postoje tri fizikalna stanja materije: čvrsto, tekuće i plinovito; opisuje temeljnu činjenicu objektivnog svijeta. I. Kant je naglasio da je razlog trodimenzionalnosti našeg prostora još nepoznat. P. Ehrenfest i J. Withrow pokazali su da kada bi broj dimenzija prostora bio veći od tri, tada bi postojanje planetarnih sustava bilo nemoguće - samo u trodimenzionalnom svijetu mogu postojati stabilne orbite planeta u planetarnim sustavima. Odnosno, trodimenzionalni poredak materije jedini je stabilan poredak.

Ali trodimenzionalnost prostora ne može se tvrditi kao neka vrsta apsolutne nužnosti. To je fizička činjenica kao i svaka druga, i kao posljedica toga podliježe istoj vrsti objašnjenja.

Pitanje zašto je naš prostor trodimenzionalan može se riješiti ili s pozicija teleologije, na temelju neznanstvene tvrdnje da je “trodimenzionalni svijet najsavršeniji od svih mogućih svjetova”, ili sa pozicija znanstvenog materijalizma, tj. na temelju temeljnih fizikalnih zakona.

Mišljenje suvremenika

Moderna fizika kaže da je karakteristika trodimenzionalnosti to što ona, i samo ona, omogućuje formuliranje kontinuiranih kauzalnih zakona za fizičku stvarnost. Ali, " moderni koncepti ne odražavaju pravo stanje fizičke slike svijeta. Danas znanstvenici prostor promatraju kao određenu strukturu koja se sastoji od mnogo razina, koje su također nesigurne. I stoga nije slučajno moderna znanost ne može dati odgovor na pitanje zašto je naš prostor u kojem živimo i koji promatramo trodimenzionalan.”

Teorija povezanog prostora

U paralelni svjetovi događaji se odvijaju na svoj način, mogu...

“Pokušaji traženja odgovora na ovo pitanje, ostajući samo u okvirima matematike, osuđeni su na neuspjeh. Odgovor bi mogao ležati u novom, nedovoljno istraženom području fizike." Pokušajmo pronaći odgovor na ovo pitanje na temelju odredbi fizike povezanih prostora koje razmatramo.

Prema teoriji povezanih prostora, razvoj objekta odvija se u tri faze, pri čemu se svaka faza razvija u zadanom smjeru, tj. po svojoj razvojnoj osi.

U prvoj fazi, razvoj objekta se odvija duž prvobitno odabranog smjera, tj. ima jednu osovinu razvoja. U drugom stupnju, sustav formiran u prvom stupnju rotira se za 90°, tj. mijenja se smjer prostorne osi, a razvoj sustava počinje teći po drugom odabranom smjeru, okomitom na izvorni. U trećoj fazi razvoj sustava ponovno se okreće za 90°, te se počinje razvijati duž trećeg odabranog smjera, okomito na prva dva. Kao rezultat toga nastaju tri sfere prostora ugniježđene jedna u drugu, od kojih svaka odgovara jednoj od osi razvoja. Štoviše, sva su tri prostora fizičkim procesom povezana u jednu stabilnu formaciju.

A budući da se ovaj proces provodi na svim velikim razinama našeg svijeta, svi sustavi, uključujući i same koordinate, izgrađeni su na trijadičkom (trokoordinatnom) principu. Iz toga proizlazi da kao rezultat prolaska tri faze razvoja procesa prirodno nastaje trodimenzionalni prostor, nastao kao posljedica fizičkog procesa razvoja trima koordinatnim osima triju međusobno okomitih smjerova razvoja!

Ova inteligentna bića nastala su u samu zoru postojanja Svemira...

Nije uzalud Pitagora, koji je očito mogao imati ovo znanje, vlasnik izraza: "Sve stvari se sastoje od troje." O tome govori i N.K. Roerich: “Simbol Trojstva je duboke starine i nalazi se po cijelom svijetu, stoga se ne može ograničiti ni na jednu sektu, organizaciju, religiju ili tradiciju, kao ni na osobne ili grupne interese, jer predstavlja evoluciju svijesti. u svim njegovim fazama... Ispostavilo se da je znak Trojstva raširen po cijelom svijetu... Ako saberemo sve otiske istog znaka, onda će se možda pokazati da je on najrašireniji i najstariji među ljudskih simbola. Nitko ne može tvrditi da ovaj znak pripada samo jednom vjerovanju ili da se temelji na jednom folkloru.”

Nije uzalud naš svijet još u davna vremena predstavljan kao trojstveno božanstvo (troje spojeno u jedno): nešto jedno, cjelovito i nedjeljivo, što po svom svetom značenju daleko nadilazi svoje izvorne vrijednosti.

Pratili smo prostornu specijalizaciju (distribuciju duž koordinatnih smjerova prostora) unutar jednog sustava, ali možemo vidjeti potpuno istu distribuciju u bilo kojem društvu od atoma do galaksija. Ove tri vrste prostora nisu ništa više od tri koordinatna stanja geometrijskog prostora.

Tema višedimenzionalnosti prostora u kojem živimo odavno privlači pažnju umjetnika i likovnih kritičara. Višedimenzionalnost, koja nadilazi uobičajene ideje, otvara naizgled nove i obećavajuće mogućnosti. Neki su povjesničari umjetnosti još početkom stoljeća tvrdili da je bez uzimanja u obzir višedimenzionalnosti prostora nemoguće razumjeti Moderna umjetnost Zabranjeno je. S tim u vezi, umjesno je dati dva komentara.

Prvo, višedimenzionalnost se uvijek shvaća kao četverodimenzionalnost, odnosno postojanje, uz uobičajene tri prostorne dimenzije (najjasnije se mogu zamisliti kao pomaci u tri smjera: gore-dolje, naprijed-natrag i lijevo-desno) i još jedan, četvrti. Ova nova dimenzija uzeta je kao vrijeme. To je imalo dobro poznatu osnovu, budući da se početkom stoljeća pojavila teorija relativnosti sa svojim konceptom jedinstvenog prostorno-vremenskog kontinuuma. Međutim, moramo shvatiti da ako polazimo od moderne fizike, onda za naš obični život, obične brzine i udaljenosti, teorija relativnosti poprima banalan izgled poznatih iz školskih klupa koncepata prostora i, neovisno o tome, sadašnjeg vremena. I to čak i ako uzmemo dimenzije za obične brzine i udaljenosti Sunčev sustav i brzinu planetarnog gibanja. Dakle, teorija relativnosti u prenošenju običnog ljudskog života, glavna tema umjetnika, ne bi trebala ništa promijeniti.

Druga stvar koju bih želio napomenuti je da puno složeniji četverodimenzionalni prostor, gdje četvrta koordinata nije vrijeme (što je lako zamislivo), već i prostorna koordinata (što je nezamislivo), dugo je privlačio pažnju umjetnika. Štoviše, čak su razvili i uspješne metode za njegovo prikazivanje. Riječ je o o ikonopiscima uglavnom 15. stoljeća “u to je vrijeme prijenos četverodimenzionalnog prostora dosegao svoje najveće savršenstvo u ruskom ikonopisu.

Prije nego što prijeđemo na razmatranje odgovarajućih ikona, potrebno je dati niz objašnjenja geometrijske prirode, tako da opća razmatranja o četverodimenzionalnom prostoru i moguće načine njegove su slike postale življe. Glavna poteškoća u vizualnom opisivanju geometrije četverodimenzionalnog prostora je činjenica da se ne može zamisliti. To je nemoguće, jer zahtijeva da, uz prirodna tri smjera (o njima je već bilo riječi: smjerovi naprijed-natrag, lijevo-desno i gore-dolje), zamislimo kretanje u “četvrtom” smjeru, ali jednom u kojoj se ne događa kretanje u tri prirodna smjera. Drugim riječima, za nas, trodimenzionalna bića, točka će se činiti nepomičnom, ali zapravo će se kretati u “četvrtom” smjeru. Jedina metoda koja tu može pomoći je metoda analogija. Poći ćemo od činjenice da je naš poznati trodimenzionalni svijet "ugrađen" u četverodimenzionalni prostor, što je lako opisati riječima, ali nemoguće zamisliti. Ali ne košta ništa zamisliti sličan, ali elementaran jednostavna situacija: dvodimenzionalni svijet “ugniježđen” u trodimenzionalni. Barem list papira koji se nalazi u nama poznatom trodimenzionalnom prostoru.

Neka sada taj list papira bude onaj dvodimenzionalni “prostor” na kojem žive neka “ravna” bića koja mogu puzati po listu; ravna stvorenja koja gmižu po ravnoj plahti”, analogija za nas, trodimenzionalne organizme koji se kreću u trodimenzionalnom prostoru. Neka ovaj list bude bezgraničan, a s obje njegove strane gmižu ova plosna stvorenja: jedni s gornje strane lista, drugi s donje. Sasvim je očito da, ma koliko gmizali, gornji se nikada neće susresti s donjim, iako su možda beskrajno blizu jedni drugima, jer će ih i dalje dijeliti beskrajno tanka debljina neprobojne ploče. Tako će se svaka točka lista morati dvaput brojati, kao da pripada gornjoj i kao da pripada donjoj strani. Naravno, neki događaji se mogu dogoditi na gornjoj strani lista, a drugi događaji na donjoj strani, i ti događaji neće interferirati jedni s drugima, jer su pomaknuti jedan u odnosu na drugog, iako beskonačno mala količina, ali u "nerazumljivom" smjeru za ravna stvorenja, okomito na površinu lista. Ova "nerazumljivost" je zbog činjenice da se ravna stvorenja nikada u životu nisu kretala u tom smjeru i ne mogu se kretati.

Te dvije strane jednog lista omogućuju nam, analogno, zamisliti istovremeno postojanje na nekom mjestu, barem u sobi, običnog i mističnog prostora. U prvom žive i djeluju ljudi, a u drugom, na primjer, anđeli. I jedan i drugi postoje u svojim trodimenzionalnim prostorima i djeluju ne ometajući jedan drugoga, jer su ta dva prostora jedan u odnosu na drugi “pomaknuti”, doduše beskrajno malo, ali u “četvrtom” smjeru koji je ljudima neshvatljiv (sjetimo se gornja pretpostavka da je naš obični prostor "ugrađen" u četverodimenzionalni prostor). I u ovom slučaju, svaka točka takve uvjetne sobe morat će se dvaput računati kao pripadnost mističnom i istodobno običnom prostoru. Postoji potpuna analogija s ravnim limom ugrađenim u trodimenzionalni prostor. Uostalom, radi potpunosti analogije, možemo se složiti da je gornja strana lista mistična, a donja obična površina.