Račun beskonačno malih i velikih

Infinitezimalni račun- proračuni izvedeni s beskonačno malim vrijednostima, u kojima se izvedeni rezultat smatra beskonačnim zbrojem infinitezimalnih. Račun infinitezimala je opći koncept za diferencijalni i integralni račun, koji čine osnovu moderne više matematike. Pojam beskonačno male količine usko je povezan s pojmom granice.

Beskonačno mali

Slijed a n pozvao beskonačno mali, ako . Na primjer, niz brojeva je beskonačno mali.

Funkcija se poziva beskonačno mali u susjedstvu točke x 0 ako .

Funkcija se poziva beskonačno mali u beskonačnosti, ako ili .

Također beskonačno mala je funkcija koja je razlika između funkcije i njezine granice, odnosno ako , onda f(x) − a = α( x) , .

beskrajno velika

Slijed a n pozvao beskrajno velika, ako .

Funkcija se poziva beskonačno velika u susjedstvu točke x 0 ako .

Funkcija se poziva beskonačno veliko u beskonačnosti, ako ili .

U svim slučajevima pretpostavlja se da beskonačnost s desne strane jednakosti ima određeni predznak (bilo "plus" ili "minus"). To je, na primjer, funkcija x grijeh x nije beskonačno velika za .

Svojstva infinitezimala i infinitezimala

Usporedba infinitezimala

Kako usporediti beskonačno male količine?
Omjer beskonačno malih veličina tvori takozvanu nesigurnost.

Definicije

Pretpostavimo da imamo beskonačno mali za istu vrijednost α( x) i β( x) (ili, što nije važno za definiciju, infinitezimalni nizovi).

Za izračunavanje takvih granica prikladno je koristiti L'Hospitalovo pravilo.

Primjeri za usporedbu

Korištenje O-simboli dobivenih rezultata mogu se zapisati u sljedećem obliku x 5 = o(x 3). U ovom slučaju, unosi 2x 2 + 6x = O(x) i x = O(2x 2 + 6x).

Ekvivalentne količine

Definicija

Ako je , tada se nazivaju beskonačno male veličine α i β ekvivalent ().
Očito, ekvivalentne veličine su poseban slučaj beskonačno malih količina istog reda male veličine.

Za , vrijede sljedeće relacije ekvivalencije: , , .

Teorema

Granica kvocijenta (omjera) dviju beskonačno malih veličina neće se promijeniti ako se jedna od njih (ili obje) zamijeni ekvivalentnom vrijednošću.

Ovaj teorem je od praktične važnosti za pronalaženje granica (vidi primjer).

Primjer upotrebe

Zamjena sin 2x ekvivalentna vrijednost 2 x, dobivamo

Povijesni nacrt

Koncept "beskonačno malog" raspravljao se u antičko doba u vezi s konceptom nedjeljivih atoma, ali nije ušao u klasičnu matematiku. Opet je oživljen pojavom u 16. stoljeću "metode nedjeljivih" - podjele proučavane figure na beskonačno male dijelove.

Algebraizacija infinitezimalnog računa dogodila se u 17. stoljeću. Počele su se definirati kao numeričke vrijednosti koje su manje od bilo koje konačne (ne-nulte) vrijednosti, a opet nisu jednake nuli. Umijeće analize sastojalo se u izradi relacije koja sadrži infinitezimale (diferencijale), a zatim u njenoj integraciji.

Matematičari stare škole podvrgnuli su koncept beskonačno mali oštre kritike. Michel Rolle je napisao da je novi račun " skup briljantnih pogrešaka»; Voltaire je otrovno istaknuo da je ovaj račun umijeće izračunavanja i preciznog mjerenja stvari čije postojanje nije moguće dokazati. Čak je i Huygens priznao da ne razumije značenje diferencijala višeg reda.

Sporovi u Pariškoj akademiji znanosti oko pitanja opravdanosti analize postali su toliko skandalozni da je Akademija svojedobno zabranila svojim članovima da uopće govore o ovoj temi (to se uglavnom ticalo Rollea i Varignona). Godine 1706. Rolle je javno povukao svoje prigovore, ali su se rasprave nastavile.

Godine 1734., poznati engleski filozof, biskup George Berkeley, objavio je senzacionalni pamflet poznat pod skraćenim naslovom " Analitičar". Njegovo puno ime je: Analitičar ili govor upućen matematičaru nevjerniku, istražujući jesu li predmet, načela i zaključci moderne analize jasnije percipirani ili jasnije izvedeni od vjerskih sakramenata i članaka vjere».

Analitičar je sadržavao duhovitu i u mnogo čemu poštenu kritiku infinitezimalnog računa. Berkeley je smatrao da metoda analize nije u skladu s logikom i napisao je da, " koliko god korisno bilo, može se smatrati samo nekom vrstom nagađanja; spretnost, umjetnost ili bolje rečeno podmetanje, ali ne kao metoda znanstvenog dokaza". Citirajući Newtonovu frazu o porastu trenutnih količina "na samom početku njihovog rođenja ili nestanka", Berkeley ironično: " nisu ni konačni, ni beskonačno mali, pa čak ni ništa. Zar ih ne bismo mogli nazvati fantomima umrlih veličina?... A kako se uopće može govoriti o odnosu stvari koje nemaju veličinu?.. Onaj tko može probaviti drugi ili treći tok [derivaciju], drugi ili treći ga čini mi se da nešto zamjera u teologiji».

Nemoguće je, piše Berkeley, zamisliti trenutnu brzinu, odnosno brzinu u danom trenutku i u danoj točki, jer pojam gibanja uključuje pojmove (konačnog različitog od nule) prostora i vremena.

Kako analiza daje prave rezultate? Berkeley je došao do zaključka da je to zbog prisutnosti nekoliko pogrešaka u analitičkim zaključcima međusobne kompenzacije, te je to ilustrirao primjerom parabole. Zanimljivo je da su se neki veliki matematičari (na primjer, Lagrange) složili s njim.

Došlo je do paradoksalne situacije kada su se strogost i plodnost u matematici miješali jedno u drugo. Unatoč korištenju nezakonitih radnji s loše definiranim konceptima, broj izravnih pogrešaka bio je iznenađujuće mali - intuicija je pomogla. Pa ipak, tijekom 18. stoljeća matematička se analiza brzo razvijala, nemajući u suštini nikakvo opravdanje. Njegova je učinkovitost bila nevjerojatna i govorila je sama za sebe, ali značenje razlike još uvijek je bilo nejasno. Osobito su se često brkali beskonačno mali prirast funkcije i njezin linearni dio.

Kroz 18. stoljeće ulagani su ogromni napori da se situacija ispravi, a u njima su sudjelovali najbolji matematičari stoljeća, ali je samo Cauchy početkom 19. stoljeća uspio uvjerljivo izgraditi temelje analize. Strogo je definirao osnovne pojmove - granica, konvergencija, kontinuitet, diferencijal itd., nakon čega su stvarne infinitezime nestale iz znanosti. Neke od preostalih suptilnosti objašnjene su kasnije

Beskonačno male funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskonačno mali(b.m.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako je granica funkcije jednaka nuli kada argument teži ovome.

Koncept b.m. funkcija je neraskidivo povezana s naznakom promjene u svom argumentu. Možemo govoriti o b.m. funkcije za %%a \to a + 0%% i za %%a \to a - 0%%. Obično b.m. funkcije su označene prvim slovima grčke abecede %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = x%% je b.m. na %%x \do 0%%, jer je njegova granica na %%a = 0%% nula. Prema teoremu o povezanosti dvostrane granice i jednostrane granice ova funkcija je b.m. i sa %%x \do +0%% i sa %%x \do -0%%.
2. Funkcija %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. sa %%x \to \infty%% (kao i sa %%x \to +\infty%% i sa %%x \to -\infty%%).

Konstantni broj različit od nule, ma koliko malen u apsolutnoj vrijednosti, nije b.m. funkcija. Za konstantne brojeve, jedina iznimka je nula, budući da funkcija %%f(x) \equiv 0%% ima nultu granicu.

Teorema

Funkcija %%f(x)%% ima krajnje ograničenje u točki %%a \in \overline(\mathbb(R))%% proširenog numeričkog retka jednako broju %%b%% ako i samo ako je ova funkcija jednaka zbroju ovog broja %%b%% i b.m. funkcije %%\alpha(x)%% sa %%x \to a%%, ili $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Prema pravilima za prijelaz do granice, za %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, slijede sljedeće izjave:

1. Zbroj konačnog broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \do a%%.
2. Umnožak bilo kojeg broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \do a%%.

Proizvod b.m. funkcije na %%x \to a%% i funkcija omeđena u nekom probušenom susjedstvu %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% točke a, je b.m. sa %%x \to a%% funkcijom.

Jasno je da umnožak konstantne funkcije i b.m. na %%x \to a%% nalazi se b.m. funkcija na %%x \do a%%.

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije

Beskonačno male funkcije %%\alpha(x), \beta(x)%% za %%x \to a%% nazivaju se ekvivalent i zapisuju se %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% if

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorem o zamjeni b.m. funkcije ekvivalentne

Neka su %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funkcije na %%x \to a%%, i %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, zatim $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ granice_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Neka je %%\alpha(x)%% b.m. funkcija na %%x \do a%%, tada

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Primjer

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(niz) $$

Beskonačno velike funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskrajno velika(b.b.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako funkcija ima beskonačno ograničenje jer argument teži tome.

Kao b.m. funkcionira koncept b.b. funkcija je neraskidivo povezana s naznakom promjene u svom argumentu. Možemo govoriti o b.b. funkcionira na %%x \to a + 0%% i %%x \to a - 0%%. Pojam "beskonačno velika" ne znači apsolutnu vrijednost funkcije, već prirodu njezine promjene u blizini razmatrane točke. Nijedan konstantni broj, koliko god velik u apsolutnoj vrijednosti, nije beskonačno velik.

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = 1/x%% - b.b. na %%x \do 0%%.
2. Funkcija %%f(x) = x%% - b.b. na %%x \do \infty%%.

Ako su uvjeti definicija $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(niz) $$

onda razgovaraju o pozitivan ili negativan b.b. na %%a%% funkciji.

Primjer

Funkcija %%1/(x^2)%% je pozitivna b.b. na %%x \do 0%%.

Veza između b.b. i b.m. funkcije

Ako je %%f(x)%% b.b. ako je %%x \to a%% funkcija, tada je %%1/f(x)%% b.m.

sa %%x \do a%%. Ako je %%\alpha(x)%% b.m. jer je %%x \to a%% funkcija različita od nule u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%%, tada je %%1/\alpha(x)%% b.b. sa %%x \do a%%.

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Predstavimo nekoliko svojstava b.b. funkcije. Ova svojstva izravno slijede iz definicije b.b. funkcije i svojstva funkcija koje imaju konačne granice, kao i iz teorema o povezanosti između b.b. i b.m. funkcije.

1. Umnožak konačnog broja b.b. funkcije za %%x \to a%% su b.b. funkcija na %%x \do a%%. Doista, ako je %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% b.b. funkcionira na %%x \to a%%, zatim u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, i po teoremu veze b.b. i b.m. funkcije %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcija na %%x \do a%%. Ispostavilo se da je %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% b.m funkcija za %%x \to a%%, i %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funkcija na %%x \do a%%.
2. Proizvod b.b. funkcije na %%x \to a%% i funkcija čija je apsolutna vrijednost veća od pozitivne konstante u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%% je b.b. funkcija na %%x \do a%%. Konkretno, proizvod b.b. funkcije u %%x \to a%% i funkcija koja ima konačnu granicu koja nije nula u točki %%a%% bit će b.b. funkcija na %%x \do a%%.

Zbroj funkcije ograničene u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%% i b.b. funkcije na %%x \do a%% su b.b. funkcija na %%x \do a%%.

Na primjer, funkcije %%x - \sin x%% i %%x + \cos x%% su b.b. na %%x \do \infty%%.

3. Zbroj dva b.b. funkcije na %%x \do a%% postoji nesigurnost. Ovisno o predznaku pojmova, priroda promjene takvog zbroja može biti vrlo različita.

   Primjer

   Neka su funkcije %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funkcionira na %%x \do \infty%%. Zatim:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nema ograničenja na %%x \to \infty%%.

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Beskonačno mali- numerička funkcija ili niz koji teži nuli.

beskrajno velika- numerička funkcija ili niz koji teži beskonačnost određeni znak.

Račun beskonačno malih i velikih

Infinitezimalni račun- proračuni izvedeni s beskonačno malim vrijednostima, u kojima se izvedeni rezultat smatra beskonačnim iznos beskrajno mali. Infinitezimalni račun je opći koncept za diferencijal i integralni račun, koji čine osnovu modernog viša matematika. Pojam beskonačno male količine usko je povezan s pojmom ograničiti.

Beskonačno mali

Slijed $a\_n$ pozvao beskonačno mali, ako $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=0$. Na primjer, niz brojeva $a\_n=\backslash dfrac(1)(n)$- beskrajno mali.

Funkcija se poziva beskonačno mali u susjedstvu točke $x\_0$, ako $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash do\; x\_0)f(x)=0$.

Funkcija se poziva beskonačno mali u beskonačnosti, ako $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=0$ ili $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=0$.

Također beskonačno mala je funkcija koja je razlika između funkcije i njezine granice, odnosno ako $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=a$, onda $f(x)-a=\backslash alfa(x)$, $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)(f(x)-a)=0$.

Naglašavamo da beskonačno malu količinu treba shvatiti kao varijabla(funkcija), što je samo u procesu promjene[kada se nastoji $x$ do $a$(iz $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)f(x)=0$)] je napravljen manjim od proizvoljnog broja ( $\backslash varepsilon$). Stoga, na primjer, izjava poput "jedan milijunti dio je beskonačno mala količina" nije točna: o uključujući[apsolutna vrijednost] nema smisla reći da je beskonačno mala.

beskrajno velika

U svim formulama u nastavku, beskonačnost desno od jednakosti podrazumijeva određeni znak (bilo "plus" ili "minus"). To je, na primjer, funkcija $x\backslash sin\; x$, neograničeno s obje strane, nije beskonačno veliko za $x\backslash do+\backslash infty$.

Slijed $a\_n$ pozvao beskrajno velika, ako $\backslash lim\backslash limits\_(n\backslash to\backslash infty)a\_n=\backslash infty$.

Funkcija se poziva beskonačno velika u susjedstvu točke $x\_0$, ako $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash do\; x\_0)f(x)=\backslash infty$.

Funkcija se poziva beskonačno veliko u beskonačnosti, ako $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to+\backslash infty)f(x)=\backslash infty$ ili $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to-\backslash infty)f(x)=\backslash infty$.

Kao i u slučaju beskonačno malih, treba napomenuti da se nijedna pojedinačna vrijednost beskonačno velike količine ne može nazvati "beskonačno velikom" - beskonačno velika količina je funkcija, što je samo u procesu promjene može biti veći od proizvoljnog broja.

Svojstva infinitezimala

• Algebarski zbroj konačnog broja beskonačno malih funkcija je beskonačno mala funkcija.
• Umnožak infinitezimala je beskonačno mali.
• Umnožak beskonačno malog niza s ograničenim je beskonačno mali. Kao posljedica toga, umnožak infinitezimalnog na konstantu je beskonačno mali.
• Ako je a $a\_n$ je onda beskonačno mali niz koji čuva znak $b\_n=\backslash dfrac(1)(a\_n)$ je beskonačno velik niz.

Usporedba infinitezimala

Definicije

Pretpostavimo da imamo beskonačno male za isto $x\backslash do\; a$ količine $\backslash alfa(x)$ i $\backslash beta(x)$(ili, što nije važno za definiciju, infinitezimalni nizovi).

• Ako je a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=0$, onda $\backslash beta$- beskrajno mali viši red malenosti, kako $\backslash alfa$. odrediti $\backslash beta=o(\backslash alpha)$ ili $\backslash beta\backslash prec\backslash alpha$.
• Ako je a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=\backslash infty$, onda $\backslash beta$- beskrajno mali najniži red malenosti, kako $\backslash alfa$. Odnosno $\backslash alpha=o(\backslash beta)$ ili $\backslash alpha\backslash prec\backslash beta$.
• Ako je a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=c$(granica je konačna i nije jednaka 0), tada $\backslash alfa$ i $\backslash beta$ su beskonačno male količine jednog reda veličine. Ovo se označava kao $\backslash alfa\backslash asymp\backslash beta$ ili kao istovremeno izvršavanje odnosa $\backslash beta=O(\backslash alfa)$ i $\backslash alpha=O(\backslash beta)$. Valja napomenuti da se u nekim izvorima može naići na oznaku kada je istovjetnost naredbi zapisana u obliku samo jednog omjera “veliki o”, što je slobodna uporaba ovog simbola.
• Ako je a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha^m)=c$(granica je konačna i nije jednaka 0), zatim beskonačno mala količina $\backslash beta$ Ima $m$-ti red malenosti relativno beskonačno mali $\backslash alfa$.

Za izračunavanje takvih granica prikladno je koristiti L'Hopitalovo pravilo.

Primjeri za usporedbu

• Na $(x\backslash do\; 0)$ veličina $x^5$ ima najviši red malenosti s obzirom na $x^3$, kao $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash do\; 0)\backslash dfrac(x^5)(x^3)=0$. Na drugoj strani, $x^3$ ima najniži red malenosti u odnosu na $x^5$, kao $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash do\; 0)\backslash dfrac(x^3)(x^5)=\backslash infty$.

Korištenje O- simboli dobiveni rezultati mogu se zapisati u sljedećem obliku $x^5=o(x^3)$.

• $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x^2+6x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x+6)(1)=\backslash lim\backslash limits\_(x\; \backslash do\; 0)(2x+6)=6,$ odnosno kada $x\backslash do\; 0$ funkcije $f(x)=2x^2+6x$ i $g(x)=x$ su beskonačno male količine istog reda.

U ovom slučaju, unosi $2x^2+6x\; =\; O(x)$ i $x\; =\; O(2x^2+6x).$

• Na $(x\backslash do\; 0)$ beskonačno mali $2x^3$ ima treći red malenosti u odnosu na $x$, Ukoliko $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash do\; 0)\backslash dfrac(2x^3)(x^3)=2$, beskonačno mali $0(,)7x^2$- drugi red, beskonačno mali $\backslash sqrt(x)$- red 0,5.

Ekvivalentne količine

Definicija

Ako je a $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; a)\backslash dfrac(\backslash beta)(\backslash alpha)=1$, zatim beskonačno male ili beskonačno velike količine $\backslash alfa$ i $\backslash beta$ pozvao ekvivalent(označeno kao $\backslash alpha\backslash thicksim\backslash beta$).

Očito, ekvivalentne količine su poseban slučaj beskonačno malih (beskonačno velikih) količina istog reda male veličine.

Na $$ vrijede sljedeći odnosi ekvivalencije (kao posljedice tzv divne granice):

• $\backslash sin\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash arcsin(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash mathrm(arctg)\backslash ,\backslash alpha(x)\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $\backslash log\_a(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash frac(1)(\backslash ln(a))$, gdje $a>0$;
• $\backslash ln(1+\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $a^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x)\backslash cdot\backslash ln(a)$, gdje $a>0$;
• $e^(\backslash alpha(x))-1\backslash thicksim\backslash alpha(x);$
• $1-\backslash cos(\backslash alpha(x))\backslash thicksim\backslash frac(\backslash alpha^2(x))(2);$
• $(1+\backslash alpha(x))^\backslash mu-1\backslash thicksim\backslash mu\backslash cdot\backslash alpha(x),\backslash quad\backslash mu\backslash in\backslash R$, pa upotrijebi izraz:

$\backslash sqrt[n](1+\backslash alpha(x))\backslash približno\backslash frac(\backslash alpha(x))(n)+1$, gdje $\backslash alpha(x)\backslash xrightarrow()0$.

Teorema

Granica kvocijenta (omjera) dviju beskonačno male ili beskonačno velike količine neće se promijeniti ako se jedna od njih (ili obje) zamijeni ekvivalentnom vrijednošću.

Ovaj teorem je od praktične važnosti za pronalaženje granica (vidi primjer).

Primjeri korištenja

• Pronaći $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x).$

Zamjena $\backslash grijeh\; 2x$ ekvivalentna vrijednost $2x$, dobivamo $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(\backslash sin\; 2x)(x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; 0)\backslash dfrac(2x)(x)=2.$

• Pronaći $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x).$

Kao $\backslash sin(4\backslash cos\; x)\backslash thicksim(4\backslash cos\; x)$ na $x\backslash to\backslash dfrac(\backslash pi)(2)$ dobivamo $\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\; \backslash frac(\backslash pi)(2))\backslash dfrac(\backslash sin(4\backslash cos\; x))(\backslash cos\; x)=\backslash lim\backslash limits\_(x\backslash to\backslash frac(\backslash pi)\; (2))\backslash dfrac(4\backslash cos\; x)(\backslash cos\; x)=4.$

• Izračunati $\backslash sqrt(1(,)2)$.

Koristeći formulu : $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash približno\; 1+\backslash frac(0(,)2)(2)=1(,)1$, tijekom korištenja kalkulator(točniji izračuni), dobili smo: $\backslash sqrt(1(,)2)\backslash približno\; 1(,)095$, dakle greška je bila 0,005 (manje od 1%), odnosno metoda je korisna, zbog svoje jednostavnosti, uz grubu procjenu aritmetički korijeni blizu jedinstva.

Priča

Matematičari stare škole podvrgnuli su koncept beskonačno mali oštra kritika. Michelle Roll napisao da je novi račun " skup briljantnih pogrešaka»; Voltaire otrovno istaknuo da je ovaj račun umjetnost izračunavanja i preciznog mjerenja stvari čije postojanje nije moguće dokazati. Čak Huygens priznao da nije razumio značenje diferencijali višeg reda.

Kao ironiju sudbine može se smatrati izgled u sredini XX. stoljeće nestandardna analiza, koji je dokazao da je izvorno gledište - stvarne infinitezime - također konzistentno i da bi moglo biti temelj analize. Pojavom nestandardne analize postalo je jasno zašto su matematičari 18. stoljeća, izvodeći radnje koje su bile nezakonite sa stajališta klasične teorije, ipak dobili točne rezultate.

vidi također

Napišite recenziju na članak "Beskonačno malo i beskonačno veliko"

Bilješke

Književnost

• // Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 tona (82 tone i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Ulomak koji karakterizira beskonačno malo i beskonačno veliko

"Pa, prijatelju, bojim se da ti i redovnik trošite svoj barut", rekao je princ Andrej podrugljivo, ali s ljubavlju.
- Ah! mon ami. [ALI! Prijatelju moj.] Samo se molim Bogu i nadam se da me On čuje. Andre,” rekla je bojažljivo nakon trenutka šutnje, “imam veliku molbu za tebe.
- Što, prijatelju?
Ne, obećaj mi da nećeš odbiti. Neće vas stajati nikakvog posla, a u njemu neće biti ničega nedostojnog vas. Samo me ti možeš utješiti. Obećaj, Andryusha, - rekla je, stavljajući ruku u torbicu i držeći nešto u njoj, ali još ne pokazujući, kao da je ono što je držala predmet zahtjeva i kao da je prije nego što je primila obećanje da ispuni zahtjev ona nije mogao izvaditi iz torbice To je nešto.
Pogledala je plaho, molećivo brata.
"Ako bi me to koštalo puno posla..." odgovorio je princ Andrej, kao da nagađa u čemu je stvar.
- Što god hoćeš, misli! Znam da si isti kao mon pere. Misli što god želiš, ali učini to za mene. Učinite to molim vas! Otac moga oca, naš djed, nosio ju je u svim ratovima... - Još uvijek nije dobila ono što je držala iz torbice. "Dakle, obećavaš mi?"
– Naravno, što je bilo?
- Andre, blagoslovit ću te slikom, a ti mi obećaj da je nikad nećeš skinuti. Obećanje?
„Ako ne spusti vrat na dva kilograma... Da bi ti ugodio...“ rekao je princ Andrej, ali se istog trenutka, primijetivši uznemireni izraz koji je lice njegove sestre poprimilo na ovoj šali, pokajao. "Vrlo drago, stvarno jako drago, prijatelju", dodao je.
"Protiv vaše volje, On će vas spasiti i smilovati i okrenuti vas sebi, jer samo u Njemu je istina i mir", rekla je glasom drhtavim od uzbuđenja, uz svečanu kretnju držeći obje ruke ispred sebe brate ovalna antička ikona Spasitelja s crnim licem u srebrnoj misnici na srebrnom lančiću fine izrade.
Prekrižila se, poljubila ikonu i pružila je Andreju.
– Molim te, Andre, za mene…
Iz njezinih velikih očiju sjale su snopovi ljubazne i plahe svjetlosti. Ove oči obasjale su cijelo bolesno mršavo lice i učinile ga lijepim. Brat je htio uzeti škapular, ali ga je zaustavila. Andrej je shvatio, prekrižio se i poljubio ikonu. Lice mu je bilo u isto vrijeme nježno (bio je dirnut) i podrugljivo.
- Merci, mon ami. [Hvala ti prijatelju.]
Poljubila ga je u čelo i ponovno sjela na sofu. Šutjeli su.
- Pa rekoh ti, Andre, budi ljubazan i velikodušan, kao što si oduvijek bio. Ne sudite Lise strogo, počela je. - Ona je tako draga, tako ljubazna, a sada joj je jako težak položaj.
- Čini se da ti nisam ništa rekao, Maša, pa da svoju ženu zamjeram za bilo što ili da budem nezadovoljan njome. Zašto mi sve ovo govoriš?
Princeza Mary je na mrlje pocrvenjela i zašutjela, kao da se osjeća krivom.
“Nisam ti ništa rekao, ali ti je već rečeno. I rastužuje me.
Crvene mrlje još su se jače pojavile na čelu, vratu i obrazima princeze Marije. Htjela je nešto reći, a nije mogla to izgovoriti. Brat je dobro pogodio: mala princeza je plakala nakon večere, govorila da je slutila nesretni porod, da ih se boji i žalila se na svoju sudbinu, na svekra i muža. Nakon što je zaplakala, zaspala je. Princu Andreju je bilo žao svoje sestre.
- Znaj jednu stvar, Maša, ne mogu predbaciti, nisam predbacio i nikada neću predbaciti svojoj ženi, a ni sam sebi ne mogu ništa predbaciti u odnosu na nju; i uvijek će biti tako, u kakvim god okolnostima bio. Ali ako želiš znati istinu... želiš li znati jesam li sretan? Ne. Je li sretna? Ne. Zašto je ovo? ne znam…
Rekavši to, ustane, priđe sestri i, sagnuvši se, poljubi je u čelo. Njegove lijepe oči sjale su inteligentnim i ljubaznim, nenaviknutim sjajem, ali on nije gledao svoju sestru, već u mrak otvorenih vrata, kroz njezinu glavu.
- Idemo k njoj, moramo se pozdraviti. Ili idi sama, probudi je, a ja ću odmah doći. Peršin! viknuo je sobaru, "dođi ovamo, počisti to." Na sjedalu je, s desne strane.
Princeza Marija je ustala i otišla do vrata. Zastala je.
Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu "il vous donne l" amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Kad bi imao vjere, obratio bi se Bogu s molitvom, da ti On da ljubav koju ne osjećaš, i da se tvoja molitva usliši.]
- Da, je li! - rekao je princ Andrija. - Idi, Maša, ja ću odmah doći.
Na putu do sestrine sobe, u galeriji koja je spajala jednu kuću s drugom, princ Andrej je sreo slatko nasmijanu m lle Bourienne, po treći put toga dana s oduševljenim i naivnim osmijehom na koji je naišao u osamljenim prolazima.
- Ah! je vous croyais chez vous, [Ah, mislila sam da si u svojoj sobi,] rekla je, pocrvenjevši iz nekog razloga i spustivši oči.
Princ Andrej ju je strogo pogledao. Na licu princa Andreja iznenada se pojavio bijes. Ništa joj nije rekao, već joj je pogledao čelo i kosu, ne gledajući je u oči, tako prezirno da je Francuskinja pocrvenjela i otišla ne rekavši ništa.
Kad je prišao sestrinoj sobi, princeza je već bila budna, a s otvorenih vrata čuo se njezin veseli glas, koji je žurio riječ za drugom. Govorila je kao da nakon dugog razdoblja apstinencije želi nadoknaditi izgubljeno vrijeme.
- Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees ... [Ne, zamisli, stara grofica Zubova, s lažnim uvojcima, s lažnim zubima, kao da se rugam godinama...] Xa, xa, xa, Marieie!
Točno istu frazu o grofici Zubovoj i isti smijeh već je pet puta pred strancima čuo princ Andrej od svoje žene.
Tiho je ušao u sobu. Princeza, punašna, rumenkasta, s poslom u rukama, sjedila je na naslonjaču i neprestano razgovarala, prebirajući peterburška sjećanja, pa čak i fraze. Prišao je princ Andrej, pomilovao je po glavi i upitao je li se odmorila od putovanja. Odgovorila je i nastavila isti razgovor.
Kolica su stajala u šest na ulazu. Vani je bila mračna jesenska noć. Kočijaš nije vidio vuču kočije. Ljudi s lampionima vrpoljili su se na trijemu. Ogromna kuća gorjela je od svjetla kroz velike prozore. U dvorani su se nabijali dvori, koji su se htjeli oprostiti od mladog kneza; u hodniku su stajali svi ukućani: Mihail Ivanovič, m lle Bourienne, princeza Marija i princeza.
Princ Andrej pozvan je u ured svog oca, koji se želio oprostiti s njim licem u lice. Svi su čekali da izađu.
Kad je princ Andrej ušao u ured, stari princ, sa starčevim naočalama i u svom bijelom kaputu, u kojem nije primio nikoga osim sina, sjedio je za stolom i pisao. Osvrnuo se.
- Ideš li? I opet je počeo pisati.
- Došao sam se oprostiti.
- Poljubi ovdje, - pokazao je obraz, - hvala, hvala!
- Na čemu mi zahvaljujem?
- Zato što ne prestaješ, ne držiš se za žensku suknju. Prvo servis. Hvala! I nastavio je pisati, tako da je sprej izletio iz pucketave olovke. - Ako trebaš nešto reći, reci. Ove dvije stvari mogu zajedno”, dodao je.
"U vezi moje žene... tako me je sram što je ostavljam u tvom naručju..."
- Što lažeš? Reci što ti treba.
- Kad vaša žena ima vremena za porod, pošaljite u Moskvu po opstetričara... Tako da je ovdje.
Stari knez zastane i, kao da ne razumije, zagleda se strogim očima u sina.
"Znam da nitko ne može pomoći ako priroda ne pomogne", rekao je princ Andrej, očito posramljen. “Slažem se da je od milijun slučajeva jedan nesretan, ali ovo je njezina i moja fantazija. Rekli su joj, vidjela je to u snu, i boji se.
"Hm ... hm ...", reče stari princ u sebi, nastavljajući dovršavati pisanje. - Hoću.
Precrtao je potpis, odjednom se brzo okrenuo sinu i nasmijao se.
- Loše je, zar ne?
- Što nije u redu, oče?
- Žena! reče stari knez kratko i značajno.
"Ne razumijem", rekao je princ Andrej.
"Da, nema se što raditi, prijatelju", rekao je princ, "svi su takvi, nećeš se oženiti." Ne boj se; neću nikome reći; i sami znate.
Zgrabio mu je ruku svojom koščatom rukom, protresao je, pogledao ravno u sinovo lice svojim brzim očima, koje kao da su prozirale čovjeka, i opet se nasmijao svojim hladnim smijehom.
Sin je uzdahnuo, priznavši ovim uzdahom da ga otac razumije. Starac, nastavljajući savijati i ispisivati ​​slova, svojom uobičajenom brzinom, zgrabio je i bacio pečat, pečat i papir.
- Što uraditi? Lijep! sve ću učiniti. Smiri se”, rekao je kratko dok je tipkao.
Andrej je šutio: bilo mu je i ugodno i neugodno što ga je otac razumio. Starac je ustao i predao pismo svome sinu.
“Slušaj”, rekao je, “ne brini za svoju ženu: što se može učiniti, bit će učinjeno.” Sada slušajte: dajte pismo Mihailu Ilarionoviču. Pišem da će te iskoristiti na dobrim mjestima i neće te dugo zadržati kao ađutanta: loša objava! Reci mu da ga se sjećam i da ga volim. Da, napiši kako će te prihvatiti. Ako je dobro, poslužite. Sin Nikolaja Andreja Bolkonskog, iz milosrđa, neće služiti nikome. Pa, sad dođi ovamo.
Govorio je tako brzo da pola riječi nije završio, ali sin ga je navikao razumjeti. Odveo je sina do ureda, odbacio poklopac, izvukao ladicu i izvadio bilježnicu prekrivenu njegovim krupnim, dugačkim, sažetim rukopisom.
“Moram umrijeti prije tebe.” Znaj da su ovdje moje bilješke, da ih prenesem na vladara nakon moje smrti. Sada evo - ovdje je zalagaonica i pismo: ovo je nagrada onome tko piše povijest Suvorovljevih ratova. Predajte se akademiji. Evo mojih primjedbi, nakon što pročitate sami, naći ćete nešto korisno.
Andrej nije rekao ocu da će vjerojatno živjeti još dugo. Znao je da ne treba to reći.
"Učinit ću sve, oče", rekao je.
- E, sad zbogom! Pustio je sina da mu poljubi ruku i zagrlio ga. "Zapamti jednu stvar, prince Andreje: ako te ubiju, starac će me povrijediti ..." Iznenada je zašutio i iznenada nastavio glasnim glasom: "a ako saznam da se nisi ponašao kao sin Nikolaj Bolkonski, bit ću... sram! vrisnuo je.
"Ne bi mi to mogao reći, oče", reče sin smiješeći se.
Starac je šutio.
"Također sam te htio pitati", nastavi princ Andrej, "ako me ubiju i ako imam sina, ne daj mu da ode od tebe, kao što sam ti rekao jučer, da odraste s tobom ... Molim.
- Nemoj ga dati svojoj ženi? rekao je starac i nasmijao se.
Stajali su šutke jedan prema drugome. Starčeve brze oči bile su uprte izravno u oči njegova sina. Nešto je zadrhtalo u donjem dijelu lica staroga princa.
- Zbogom... idi! iznenada je rekao. - Digni se! viknuo je ljutitim i jakim glasom otvarajući vrata radne sobe.
– Što je, što? - upitale su princeza i princeza, vidjevši princa Andreja i na trenutak lik starca u bijelom kaputu, bez perike i u starčevim naočalama, kako se naginje van vrišteći ljutitim glasom.
Princ Andrej je uzdahnuo i nije odgovorio.
“Pa”, rekao je, okrećući se ženi.
A ovo "dobro" zvučalo je kao hladno ruganje, kao da je govorio: "Sada radiš svoje trikove."
Andre, deja! [Andrej, već!] - rekla je mala princeza, problijedivši i sa strahom pogledavši muža.
Zagrlio ju je. Vrisnula je i onesviještena pala na njegovo rame.
Nježno je povukao rame na kojem je ležala, pogledao joj u lice i pažljivo je posjeo u stolicu.
- Adieu, Marieie, [Zbogom, Maša,] - rekao je tiho svojoj sestri, poljubio joj ruku u ruku i brzo izašao iz sobe.
Princeza je ležala u naslonjaču, m lle Bourienne je trljala sljepoočnice. Princeza Marija, podržavajući svoju snahu, suznih lijepih očiju, i dalje je gledala u vrata kroz koja je princ Andrej izašao i krstio ga. Iz radne sobe čuli su se, poput pucnjeva, često ponavljani ljutiti zvuci starca koji puše nos. Čim je princ Andrej otišao, vrata ureda brzo su se otvorila i iz njih je pogledala stroga figura starca u bijelom kaputu.
- Lijevo? Pa dobro! rekao je, ljutito gledajući neosjetljivu malu princezu, prijekorno odmahnuo glavom i zalupio vratima.

U listopadu 1805. ruske trupe zauzele su sela i gradove nadvojvodstva Austrije, a iz Rusije je stiglo još novih pukovnija i, opterećujući stanovnike stacioniranjem, nalazilo se u blizini tvrđave Braunau. U Braunauu je bio glavni stan glavnog zapovjednika Kutuzova.
11. listopada 1805. jedna od pješačkih pukovnija koja je upravo stigla u Braunau, čekajući smotru glavnog zapovjednika, stajala je pola milje od grada. Unatoč neruskom terenu i situaciji (voćnjaci, kamene ograde, popločani krovovi, planine vidljive u daljini), neruski narod, koji je sa znatiželjom promatrao vojnike, puk je imao potpuno isti izgled kao i svaki ruski puk koji se priprema za predstavu negdje usred Rusije.

Definicije i svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija u točki. Dokaz svojstava i teorema. Odnos između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija.

Sadržaj

Vidi također: Beskonačno mali nizovi - definicija i svojstva
Svojstva beskonačno velikih nizova

Definicija beskonačno male i beskonačno velike funkcije

Neka x 0 je konačna ili u beskonačnoj točki: ∞ , -∞ ili +∞ .

Definicija infinitezimalne funkcije
Funkcija α (x) pozvao beskonačno mali kako x teži x 0 0 , a jednako je nuli:
.

Definicija beskonačne funkcije
funkcija f (x) pozvao beskrajno velika kako x teži x 0 , ako funkcija ima granicu kao x → x 0 , a jednako je beskonačnosti:
.

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Svojstvo zbroja, razlike i proizvoda infinitezimalnih funkcija

Zbroj, razlika i proizvod konačan broj beskonačno malih funkcija kao x → x 0 je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Ovo svojstvo izravna je posljedica aritmetičkih svojstava granica funkcije.

Teorem o umnošku ograničene funkcije na infinitezimal

Umnožak funkcije ograničene na nekom probušenom susjedstvu točke x 0 , na beskonačno malo, kao x → x 0 , je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstvo predstavljanja funkcije kao zbroja konstante i infinitezimalne funkcije

Da bi funkcija f (x) ima konačnu granicu , potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Teorem o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velike

Zbroj ili razlika ograničene funkcije u nekom probušenom susjedstvu točke x 0 , i beskonačno veliku funkciju, kao x → x 0 , je beskonačna funkcija kao x → x 0 .

Kvocijentni teorem za ograničenu funkciju beskonačno velikom

Ako je funkcija f (x) je beskonačan kao x → x 0 , a funkcija g (x)- omeđen na neko probušeno susjedstvo točke x 0 , onda
.

Teorem o kvocijentu dijeljenja funkcije dolje ograničene infinitezimalnim

Ako je funkcija , na nekom probušenom susjedstvu točke , ograničena odozdo pozitivnim brojem u apsolutnoj vrijednosti:
,
a funkcija je beskonačno mala kao x → x 0 :
,
i tu je probušen susjedstvu točke na kojoj , Onda
.

Svojstvo nejednakosti beskonačno velikih funkcija

Ako je funkcija beskonačno velika za:
,
i funkcije i , na nekom probušenom susjedstvu točke zadovoljavaju nejednakost:
,
tada je funkcija također beskonačno velika za :
.

Ova nekretnina ima dva posebna slučaja.

Neka, na nekom probušenom susjedstvu točke , funkcije i zadovoljavaju nejednakost:
.
Onda ako , onda i .
Ako , onda i .

Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija

Veza između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija slijedi iz dva prethodna svojstva.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Ako je funkcija beskonačno mala za , I , Tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima definitivan predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekom probušenom susjedstvu točke, tada se može napisati na sljedeći način:
.
Slično, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada pišu:
, ili .

Tada se simbolička veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija može dopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti možete pronaći na stranici
"Točke u beskonačnosti i njihova svojstva".

Dokaz svojstava i teorema

Dokaz teorema o umnošku ograničene funkcije na infinitezimal

Da bismo dokazali ovaj teorem, koristit ćemo . Također koristimo svojstvo infinitezimalnih nizova, prema kojem

Neka je funkcija beskonačno mala na , a funkcija je ograničena u nekom probušenom susjedstvu točke :
na .

Budući da postoji granica, postoji probušeno susjedstvo točke na kojoj je funkcija definirana. Neka postoji sjecište susjedstava i . Zatim su na njemu definirane funkcije i.

.
,
niz je beskonačno mali:
.

Koristimo se činjenicom da je proizvod ograničenog niza s infinitezimalnim nizom beskonačno mali niz:
.
.

Teorem je dokazan.

Dokaz svojstva o prikazu funkcije kao zbroja konstantne i infinitezimalne funkcije

Potreba. Neka funkcija ima konačan limit u točki
.
Razmotrimo funkciju:
.
Koristeći svojstvo granice razlike funkcija, imamo:
.
To jest, postoji infinitezimalna funkcija za .

Adekvatnost. Neka i . Primijenimo svojstvo limita zbroja funkcija:
.

Imovina je dokazana.

Dokaz teorema o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velike

Za dokaz teorema koristit ćemo se Heineovom definicijom granice funkcije

na .

Budući da postoji granica , tada postoji probušeno susjedstvo točke na kojoj je definirana funkcija. Neka postoji sjecište susjedstava i . Zatim su na njemu definirane funkcije i.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. A slijed je ograničen:
,
niz je beskonačan:
.

Budući da je zbroj ili razlika ograničenog niza i beskonačno velikog
.
Zatim, prema Heineovoj definiciji granice niza,
.

Teorem je dokazan.

Dokaz teorema kvocijenta za ograničenu funkciju beskonačno velikom

Za dokaz ćemo koristiti Heineovu definiciju granice funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je beskonačno mali niz.

Neka je funkcija beskonačno velika na , a funkcija je ograničena u nekom probušenom susjedstvu točke :
na .

Budući da je funkcija beskonačno velika, postoji probijeno susjedstvo točke na kojoj je definirana i ne nestaje:
na .
Neka postoji sjecište susjedstava i . Zatim su na njemu definirane funkcije i.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. A slijed je ograničen:
,
niz je beskonačan s članovima koji nisu nula:
, .

Budući da je kvocijent dijeljenja ograničenog niza beskonačno velikim nizom beskonačno mali, tada
.
Zatim, prema Heineovoj definiciji granice niza,
.

Teorem je dokazan.

Dokaz teorema o kvocijentu dijeljenja funkcije dolje ograničene beskonačno malim

Da bismo dokazali ovo svojstvo, koristit ćemo se Heineovom definicijom granice funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je beskonačno velik niz.

Neka je funkcija beskonačno mala na , a funkcija je ograničena u apsolutnoj vrijednosti odozdo pozitivnim brojem, na nekom probušenom susjedstvu točke:
na .

Prema pretpostavci, postoji probušeno susjedstvo točke na kojoj je funkcija definirana i ne nestaje:
na .
Neka postoji sjecište susjedstava i . Zatim su na njemu definirane funkcije i. I i.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. Štoviše, slijed je ograničen odozdo:
,
a niz je beskonačno mali s članovima koji nisu nula:
, .

Budući da je kvocijent dijeljenja niza dolje omeđenog beskonačno malim nizom beskonačno velik niz, tada
.
I neka bude probušeno susjedstvo točke na kojoj
na .

Uzmi proizvoljan niz koji konvergira na . Tada će, počevši od nekog broja N , elementi niza pripadati ovom susjedstvu:
na .
Zatim
na .

Prema Heineovoj definiciji granice funkcije,
.
Zatim, prema svojstvu nejednakosti beskonačno velikih nizova,
.
Budući da je niz proizvoljan, konvergirajući na , Tada, prema definiciji granice funkcije prema Heineu,
.

Imovina je dokazana.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.

Vidi također: