Analiza ponašanja sustava pokazuje da osim energije i količine gibanja postoji još jedna mehanička veličina, koja je također povezana sa zakonom održanja - to je tzv. kutni moment. Koriste se i nazivi kutni moment, moment, kutni moment ili jednostavno moment.
Koja je to količina i koja su njena svojstva?
Prvo, uzmimo jednu česticu. Neka je radijus vektor koji karakterizira njegov položaj u odnosu na neku točku O odabranog referentnog sustava, te je njegov moment u tom sustavu. Kutni moment čestice A u odnosu na točku O(Sl. 6.1) naziva se vektor jednak vektorskom umnošku vektora i:
Iz ove definicije slijedi da je aksijalni vektor. Njegov smjer je odabran tako da rotacija oko točke O u smjeru vektora čine desni sustav. Vektorski modul je jednak
 ,
| (6.2) |
gdje je kut između vektora i 
krak vektora u odnosu na točku OKO(Slika 6.1).
Izvedimo jednadžbu koja opisuje promjenu vremena vektora. On je pozvan jednadžba momenta. Da bismo izveli zaključak, potrebno je otkriti koja je mehanička veličina odgovorna za promjenu vektora u danom
referentni sustav. Diferencirajmo jednadžbu (6.1) s obzirom na vrijeme:
Od točke O nepomičan, zatim vektor jednako brziničestice, tj. poklapa se u smjeru s vektorom, dakle
Koristeći drugi Newtonov zakon, dobivamo gdje je rezultanta svih sila primijenjenih na česticu. Stoga,
Veličina s desne strane ove jednadžbe naziva se moment sile u odnosu na točku OKO(Slika 6.2). Označavajući ga slovom , pišemo
Vektor je, poput , aksijalan. Modul ovog vektora, slično (6.2), jednak je
Ova se jednadžba zove jednadžba momenta. Imajte na umu da ako je referentni okvir neinercijalan, tada moment sile uključuje i moment međudjelovanja sila i moment sila tromosti u odnosu na istu točku O.
Iz momentne jednadžbe (6.5), posebice, slijedi da ako je onda . Drugim riječima, ako je u odnosu na neku točku O odabranog referentnog sustava moment svih sila koje djeluju na česticu jednak nuli tijekom razdoblja koje nas zanima, tada u odnosu na tu točku kutna količina gibanja čestice ostaje konstantan tijekom ovog vremena.
Primjer 1. Neki planet A se giba, a gravitacijsko polje Sunca je C (sl. 6.3). U odnosu na koju će točku heliocentričnog referentnog sustava kutni moment danog planeta biti očuvan u vremenu?
Za odgovor na ovo pitanje, prije svega, potrebno je utvrditi koje sile djeluju na planet A. U ovom slučaju, to je samo sila gravitacije
sa strane Sunca. Od kada se planet kreće, smjer ove sile
cijelo vrijeme prolazi kroz središte Sunca, tada je potonje točka u odnosu na koju je moment sile uvijek jednak nuli i kutni moment planeta će ostati konstantan. Zamah planeta će se promijeniti.
Primjer 2. Podloška A, koja se kreće duž glatke vodoravne ravnine, elastično se odbija od glatke okomite stijenke (slika 6.4, pogled odozgo). Pronađite točku u odnosu na koju će kutna količina gibanja paka ostati konstantna tijekom ovog procesa.
Na pak djeluje sila teže, sila reakcije iz vodoravne ravnine i sila reakcije zida u trenutku udarca u njega. Prve dvije sile uravnotežuju jedna drugu, napuštajući silu . Njegov je moment jednak nuli u odnosu na bilo koju točku koja leži na liniji djelovanja vektora, što znači da će u odnosu na bilo koju od tih točaka kutni moment paka ostati konstantan u ovom procesu.
Primjer 3. Na vodoravnoj glatkoj ravnini nalazi se nepomični okomiti cilindar i podloška A spojena na cilindar navojem AB (slika 6.5, pogled odozgo). Paku je dana početna brzina kao što je prikazano na ovoj slici. Postoji li ovdje točka oko koje će kutna količina gibanja paka ostati konstantna dok se kreće?
U ovom slučaju, jedina nekompenzirana sila koja djeluje na podlošku A je sila zatezanja niti. Lako je vidjeti da ne postoji točka u odnosu na koju bi moment sile u procesu gibanja cijelo vrijeme bio jednak nuli. I stoga, ne postoji točka u odnosu na koju bi kutni moment paka ostao konstantan. Ovaj primjer pokazuje da ne postoji uvijek točka u odnosu na koju bi kutna količina gibanja čestice ostala konstantna.
Jednadžba momenta (6.5) omogućuje nam odgovoriti na dva pitanja:
1) pronaći moment sile u odnosu na točku O koja nas zanima bilo koji trenutak vremena t, ako je poznata vremenska ovisnost kutne količine gibanja čestice u odnosu na istu točku;
2) odredite prirast kutne količine gibanja čestice u odnosu na točku O za bilo koje vremensko razdoblje, ako je poznata vremenska ovisnost momenta sile koja djeluje na tu česticu u odnosu na istu točku O.
Rješenje prvog pitanja svodi se na pronalaženje derivacije po vremenu momenta impulsa, tj. koja je prema (6.5) jednaka željenom momentu sile.
Rješenje drugog pitanja svodi se na integriranje jednadžbe (6.5). Množenjem obje strane ove jednadžbe s dt, dobivamo - izraz koji određuje elementarni priraštaj vektora. Integracijom ovog izraza tijekom vremena, nalazimo prirast vektora tijekom konačnog vremenskog razdoblja t:
 | (6.6) |
Količina na desnoj strani ove jednadžbe je nazvan impuls moment sile. Kao rezultat, dobivena je sljedeća tvrdnja: prirast kutne količine gibanja čestice tijekom bilo kojeg vremenskog razdoblja jednak je kutnoj količini gibanja sile tijekom istog vremena. Pogledajmo dva primjera.
Primjer 1. Kutna količina gibanja čestice u odnosu na određenu točku mijenja se s vremenom t prema zakonu 
gdje su i neki konstantni međusobno okomiti vektori. Odredite moment sile koja djeluje na česticu kada je kut između vektora i jednak 45°.
Prema (6.5), 
oni. vektor, uvijek se poklapa u smjeru s vektorom. Oslikajmo vektore i određeni trenutak t (sl. 6.6). Iz ove slike jasno je da je kut = 45° u trenutku kada je Dakle i .
Primjer 2. Kamen A mase m bačen je pod kutom prema horizontali početnom brzinom . Zanemarujući otpor zraka, pronađite vremensku ovisnost kutne količine gibanja kamena u odnosu na točku bacanja O (slika 6.7).
Tijekom vremenskog razdoblja dt, kutni moment kamena u odnosu na točku
O će dobiti prirast 
. Jer 
Da 
Integrirajući ovaj izraz uzimajući u obzir činjenicu da u ovom trenutku 
dobivamo 
. To pokazuje da smjer vektora ostaje nepromijenjen tijekom kretanja (vektor je usmjeren izvan ravnine, sl. 6.7.
Razmotrimo sada pojmove kutne količine gibanja i momenta sile u odnosu na os. Birajmo u nekima inercijski sustav referenca na proizvoljnu fiksnu os. Neka je u odnosu na neku točku O na osi kutna količina gibanja čestice A jednaka , a moment sile koja djeluje na česticu je .
Kutni moment u odnosu na os z je projekcija na tu os vektora definiranog u odnosu na proizvoljnu točku O zadane osi (slika 6.8). Na sličan način uvodi se pojam momenta sile u odnosu na os. Njihovo
Otkrijmo svojstva tih veličina. Projiciranjem (6.5) na os z dobivamo
| (6.7) |
odnosno vremenska derivacija kutne količine gibanja čestice u odnosu na os z jednaka je momentu sile u odnosu na ovu os. Konkretno, ako tada . Drugim riječima, ako je moment sile u odnosu na neku fiksnu os z jednak nuli, tada kutna količina gibanja čestice u odnosu na tu os ostaje konstantna. U tom slučaju, sam vektor se može promijeniti.
Primjer: Malo tijelo mase m, obješeno na nit, giba se jednoliko po horizontalnoj kružnici (sl. 6.9) pod utjecajem sile teže.U odnosu na točku O, kutna količina gibanja tijela - vektor - nalazi se u istoj ravnina s osi z i navojem. Kada se tijelo kreće, vektor pod utjecajem momenta gravitacije stalno rotira, tj. mijenja se. Projekcija ostaje konstantna jer je vektor okomit
Nađimo sada analitičke izraze za i . Lako je vidjeti da se ovaj problem svodi na pronalaženje projekcija na z os vektorskih produkata i .
Upotrijebimo cilindrični koordinatni sustav i pridružimo čestici A (slika 6.10) jedinične vektore usmjerene u smjeru povećanja odgovarajućih koordinata. U ovom koordinatnom sustavu radijus vektor i količina gibanja čestice zapisani su na sljedeći način:
gdje su projekcije vektora na pripadajuće vektore. Iz vektorske algebre poznato je da vektorski proizvod može se zamisliti
determinanta
Odavde je odmah jasno da je kutni moment čestice u odnosu na os z
gdje je projekcija kutne brzine kojom radijus vektor čestice rotira.
Slično (6.8), moment sile u odnosu na os z je zapisan:
| (6.10) |
gdje je projekcija vektora sile na jedinični vektor
Napomenimo da projekcije i stvarno ne ovise o izboru točke O na z osi, u odnosu na koju su definirani vektori i . Osim toga, jasno je da su i algebarske veličine, njihovi predznaci odgovaraju predznacima projekcija i .
Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja materijalna točka - kutno ubrzanje točka kada se okreće oko fiksne osi proporcionalna je zakretnom momentu i obrnuto proporcionalna momentu tromosti.
M = E*J ili E = M/J
Uspoređujući dobiveni izraz s drugim Newtonovim zakonom s progresivno pravo, vidimo da je moment tromosti J mjera tromosti tijela tijekom rotacijsko kretanje. Kao i masa, količina je aditivna.
Moment inercije tanki prsten:
Moment inercije
Da bismo izračunali moment tromosti, moramo mentalno podijeliti tijelo na dovoljno male elemente, za čije se točke može smatrati da leže na istoj udaljenosti od osi rotacije, zatim pronaći umnožak mase svakog elementa s kvadratom njegove udaljenosti od osi i na kraju zbrojiti sve rezultirajuće produkte. Očito, ovo je dugotrajan zadatak. Brojati
momenti tromosti tijela ispravni geometrijski oblik U nekim slučajevima možete koristiti metode integralnog računa.
Pronalaženje konačnog zbroja momenata tromosti elemenata tijela zamijenit će se zbrajanjem beskonačno veliki broj momenti tromosti izračunati za infinitezimalne elemente:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (na Δm → 0).
Izračunajmo moment tromosti homogenog diska ili čvrstog cilindra s visinom h u odnosu na svoju os simetrije
Podijelimo disk na elemente u obliku tankih koncentričnih prstenova sa središtima na njegovoj osi simetrije. Dobiveni prstenovi imaju unutarnji promjer r i vanjski r+dr, i visinu h. Jer dr<< r
, tada možemo pretpostaviti da je udaljenost svih točaka prstena od osi jednaka r.
Za svaki pojedinačni prsten, moment tromosti
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Gdje ΣΔm− masa cijelog prstena.
Glasnoća zvona 2πrhdr. Ako gustoća materijala diska ρ
, zatim masa prstena
ρ2πrhdr.
Moment inercije prstena
i = 2πρhr 3 dr.
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
I = (1/2)πρhR 4.
Ali masa diska m = ρπhR 2, stoga,
I = (1/2)mR 2.
Navedimo (bez proračuna) momente tromosti za neka tijela pravilnog geometrijskog oblika, izrađena od homogenih materijala.
1. Moment tromosti tankog prstena u odnosu na os koja prolazi kroz njegovo središte okomito na njegovu ravninu (ili tankostjenog šupljeg cilindra u odnosu na njegovu os simetrije):
I = mR 2.
2. Moment inercije cilindra debelih stijenki u odnosu na os simetrije:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Gdje R 1− unutarnji i R 2− vanjski radijusi.
3.
Moment inercije diska u odnosu na os koja se podudara s jednim od njegovih promjera:
I = (1/4)mR 2.
4. Moment tromosti čvrstog cilindra u odnosu na os koja je okomita na generatriksu i prolazi kroz njegovu sredinu:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Gdje R− radijus baze cilindra, h− visina cilindra.
5.
Moment inercije tankog štapa u odnosu na os koja prolazi kroz njegovu sredinu:
I = (1/12) ml 2,
Gdje l− duljina štapa.
6.
Moment inercije tankog štapa u odnosu na os koja prolazi kroz jedan od njegovih krajeva:
I = (1/3) ml 2
7. Moment tromosti lopte u odnosu na os koja se podudara s jednim od njegovih promjera:
I = (2/5)mR 2.
Ako je poznat moment tromosti tijela oko osi koja prolazi kroz njegovo središte mase, tada se moment tromosti oko bilo koje druge osi paralelne s prvom može pronaći na temelju takozvanog Huygens-Steinerova teorema.
Moment inercije tijela ja u odnosu na bilo koju os jednak je momentu tromosti tijela ja s u odnosu na os koja je paralelna sa zadanom i prolazi kroz središte mase tijela, plus masa tijela m, pomnoženo s kvadratom udaljenosti l između osi:
I = I c + ml 2.
Kao primjer, izračunajmo moment tromosti lopte polumjera R i masa m, obješen na niti duljine l, u odnosu na os koja prolazi kroz točku ovjesa OKO. Masa niti je mala u usporedbi s masom kuglice. Budući da je moment tromosti lopte u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase Ic = (2/5)mR 2, i udaljenost
između osi ( l + R), tada je moment tromosti oko osi koja prolazi kroz točku ovjesa:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimenzija momenta tromosti:
[I] = [m] × = ML 2.
Prijavite se ili se registrirajte za objavljivanje komentara
U svakom sustavu čestica postoji jedna značajna točka S- centar inercije, ili centar mase, - koji ima niz zanimljivih i važnih svojstava. Središte mase je točka primjene vektora momenta sustava, budući da je vektor svakog impulsa polarni vektor. Položaj točke S u odnosu na početak OKO danog referentnog sustava karakterizira radijus vektor određen sljedećom formulom:
Treba napomenuti da se središte mase sustava podudara s njegovim težištem. Istina, ova izjava je istinita samo u slučaju kada se polje gravitacije unutar danog sustava može smatrati homogenim.
Nađimo brzinu centra mase u ovom referentnom sistemu. Diferencirajući (4.8) s obzirom na vrijeme, dobivamo
oni. moment količine gibanja sustava jednak je umnošku mase sustava i brzine njegova središta mase.
Dobivamo jednadžbu gibanja centra mase. Koncept središta mase omogućuje nam da jednadžbi (4.4) damo drugačiji oblik, koji se često pokazuje prikladnijim. Da bismo to učinili, dovoljno je zamijeniti (4.10) u (4.4) i uzeti u obzir da je masa sustava kao takva konstantna veličina. Onda dobivamo
| , | (4.11) |
gdje je rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na sustav. To je ono što je jednadžba gibanja centra mase sustava jedna je od najvažnijih jednadžbi mehanike. Prema ovoj jednadžbi, Kada se bilo koji sustav čestica kreće, njegovo središte tromosti se kreće kao da je cijela masa sustava koncentrirana u ovoj točki i da su sve vanjske sile primijenjene na njega, djelujući na sustav. U tom je slučaju ubrzanje središta tromosti potpuno neovisno o točkama primjene vanjskih sila.
Tako, ako se središte mase sustava giba jednoliko i pravocrtno, to znači da je njegova količina gibanja očuvana u procesu kretanja. Naravno, vrijedi i suprotno.
Jednadžba (4.11). njegov oblik podudara se s osnovnom jednadžbom dinamike materijalne točke i njezina je prirodna generalizacija na sustav čestica: ubrzanje sustava kao cjeline proporcionalno je rezultanti svih vanjskih sila i obrnuto proporcionalno ukupnoj masi sustav. Podsjetimo se da u neinercijalnim referentnim sustavima rezultanta svih vanjskih sila uključuje i sile međudjelovanja s okolnim tijelima i sile tromosti.
Razmotrimo nekoliko primjera gibanja središta mase sustava.
Primjer 1. Pokažimo kako se problem s čovjekom na splavi (str. 90) može riješiti na drugi način, koristeći koncept centra mase.
Budući da je otpor vode zanemariv, rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na sustav čovjek-splav jednaka je nuli. To znači da se položaj centra tromosti ovog sustava neće mijenjati tijekom kretanja osobe (i splavi), tj.
.
gdje su i radijus vektori koji karakteriziraju položaje centara mase osobe i splavi u odnosu na određenu točku na obali. Iz ove jednakosti nalazimo vezu između priraštaja vektora i
Imajući na umu da inkrementi predstavljaju kretanje osobe i splavi u odnosu na obalu, nalazimo kretanje splavi:
Primjer 2. Čovjek skače s tornja u vodu. Kretanje skakača u općem slučaju vrlo je složeno. Međutim, ako je otpor zraka zanemariv, tada možemo odmah ustvrditi da se centar tromosti skakača kreće po paraboli, poput materijalne točke, na koju djeluje konstantna sila na mjestu gdje se nalazi masa čovjeka.
Primjer 3. Zatvoreni lanac vezan navojem za kraj osi centrifugalnog stroja jednoliko se okreće oko okomite osi kutnom brzinom (sl. 4.4). U ovom slučaju, nit čini kut s
vertikalna. Kako se ponaša centar tromosti lanca?
Prije svega, jasno je da se kod jednolike rotacije centar tromosti lanca ne pomiče u okomitom smjeru. To znači da vertikalna komponenta sile T napetosti niti kompenzira silu gravitacije (slika 4.4, desno). Horizontalna komponenta sile zatezanja konstantne je veličine i uvijek je usmjerena prema osi rotacije.
Slijedi da se središte mase lanca - točka C - kreće duž vodoravne kružnice, čiji se polumjer lako može pronaći pomoću formule (4.11), zapisane u obliku
gdje je masa lanca. U ovom slučaju, točka C uvijek se nalazi između osi rotacije i navoja, kao što je prikazano na sl. 4.4.
U onim čestim slučajevima kada nas zanima samo relativno gibanje čestica unutar sustava, a ne gibanje tog sustava kao cjeline, najpoželjnije je koristiti referentni sustav u kojem središte mase miruje . To omogućuje značajno pojednostavljenje analize fenomena i izračuna.
Referentni okvir kruto povezan sa središtem mase zadanog sustava čestica koji se translatorno giba u odnosu na inercijalne sustave naziva se sustav centra mase ili, ukratko, C-sustav(oznaka sustava povezana je s prvim slovom latinske riječi centar). Posebnost ovog sustava je da je ukupni zamah sustava čestica u njemu jednak nuli - to izravno proizlazi iz formule (4.10). Drugim riječima, svaki sustav čestica kao cjelina počiva na svom - C-sustav.
Za zatvoreni sustav čestica svoj S- sustav je inercijalan, a za otvoreni sustav u općem slučaju je neinercijalan.
Pronađimo vezu između vrijednosti mehaničke energije sustava u K I S referentni sustavi. Počnimo s kinetičkom energijom sustava. Brzina čestica u K-sustav se može prikazati kao zbroj brzina, gdje je i brzina te čestice u S-sustava i brzine sustava središta mase u odnosu na K-referentni sustavi, odn. Onda to možete zapisati.
Osim očuvanja količine gibanja i energije u zatvorenim sustavima, očuvana je još jedna fizikalna veličina - kutna količina gibanja. Promotrimo najprije vektorski produkt vektora i (slika 32).
Vektorski proizvod vektora je vektor čiji je modul jednak:
gdje je kut između vektora i .
Smjer vektora određen je gimlet pravilom ako se rotira od do duž najkraće staze.
Postoji izraz za određivanje unakrsnog umnoška:
1. Moment sile u odnosu na točku i u odnosu na os.
Uvedimo najprije pojam momenta sile. Neka na česticu, čiji je položaj određen pomoću radijus vektora u odnosu na ishodište točke 0, djeluje neka sila (slika 33).
Nazovimo moment sile u odnosu na točku 0 vektorskom veličinom:
U ovom slučaju vektor momenta sile usmjeren je okomito na ravninu crteža prema nama. Iz slike proizlazi da je vrijednost . Nazovimo to krakom trenutka. Krak momenta sile je udaljenost od referentne točke 0 do linije djelovanja sile.
Moment sile u odnosu na neku os koja prolazi točkom 0 je projekcija vektora momenta sile u odnosu na točku 0 na tu os.
2. Moment para sila. Svojstva momenta para sila.
Promotrimo dvije paralelne sile, jednake veličine, suprotnog smjera, koje ne djeluju duž iste ravne linije (slika 34). Takve sile nazivamo par sila. Udaljenost između ravnih linija duž kojih te sile djeluju naziva se krak para.
Ovdje se uvode sljedeće oznake:
Radijus vektor točke primjene sile,
Radijus vektor točke primjene sile u odnosu na točku primjene sile.
Ukupni moment ovog para sila definiramo kao:
Budući da sile čine par, slijedi:
Vidi se da moment para sila ne ovisi o izboru ishodišta točaka primjene sila.
3. Kutni moment čestice u odnosu na os i u odnosu na točku.
Okrenimo se sada konceptu kutne količine gibanja. Neka se čestica mase m, čiji je položaj određen pomoću radijus vektora u odnosu na ishodište točke 0, giba brzinom (slika 35).
Uvedimo vektor koji ćemo nazvati kutnom količinom gibanja čestice u odnosu na točku 0. Veličinu ćemo nazvati krakom kutne količine gibanja u odnosu na točku 0.
Kutni moment u odnosu na os koja prolazi kroz točku 0 je projekcija kutnog momenta u odnosu na točku na ovu os.
1. Razmotrite kretanje po ravnoj liniji. Na visini h avion mase m leti horizontalno brzinom V (slika 36).
Nađimo kutnu količinu gibanja zrakoplova u odnosu na neku točku 0. Modul kutne količine gibanja jednak je umnošku impulsa i njegovog kraka. U ovom slučaju, krak količine gibanja je jednak h. Stoga:
2. Razmotrite kretanje u krugu. Čestica mase m giba se po kružnici polumjera R konstantnom apsolutnom brzinom V (slika 37). Nađite kutnu količinu gibanja čestice u odnosu na središte kruga 0.
Impuls čestice M== rR=konst.
4. Jednadžba momenata čestica
Prema definiciji, kutni moment čestice u odnosu na neku točku 0 jednak je:
Nađimo vremensku derivaciju desne i lijeve strane ovog izraza:
Prvi član ide na nulu prema pravilu vektorskog produkta. Konačno imamo:
Taj se izraz naziva jednadžba momenta čestice.
Brzina promjene kutne količine gibanja jednaka je momentu sile.
5. Moment sustava čestica.
Zakon promjene i očuvanja kutne količine gibanja sustava čestica.
Razmotrimo sustav čestica koje međusobno djeluju, a na koje djeluju vanjske sile. Postavimo položaj u prostoru čestica ovog sustava pomoću radijus vektora u odnosu na neku referentnu točku 0. Zapišimo ukupni kutni moment ovog sustava u odnosu na točku:
Nađimo promjenu ukupnog momenta:
Napišimo ovaj sustav jednadžbi:
…………………………………..
Zbrojimo lijevu i desnu stranu ovog sustava i razmotrimo uparene zbrojeve u prvom članu s desne strane.
Prema Newtonovom trećem zakonu, svi ostali upareni zbrojevi također će nestati. Posljedično, ukupni moment svih unutarnjih sila međudjelovanja između čestica jednak je nuli. Onda ostaje:
Kutna količina gibanja sustava čestica mijenja kutnu količinu gibanja vanjskih sila. Za zatvoreni sustav čestica zakon očuvanja kutne količine gibanja je zadovoljen.
6. Orbitalni i intrinzični kutni moment sustava čestica.
Razmotrimo sustav od N čestica čiji je položaj određen pomoću radijus vektora u odnosu na neku referentnu točku 0 (slika 38).
Neka je položaj središta mase C ovog sustava određen pomoću radijus vektora. Tada će se položaj i-te čestice u odnosu na ishodište 0 odrediti kao:
Zapišimo ukupni kutni moment sustava čestica u odnosu na ishodište 0:
Prvi ćemo član nazvati orbitalnim kutnim momentom sustava:
Drugi ćemo član nazvati vlastitim kutnim momentom sustava:
Tada ukupni kutni moment sustava u odnosu na referentnu točku 0 ima oblik:
7.Gibanje u središnjem polju sila.
Razmotrimo česticu koja se giba u središnjem polju sila. Podsjetimo se da u takvom polju sila koja djeluje na česticu ovisi samo o udaljenosti između čestice i ishodišta. Osim toga, sila je uvijek usmjerena duž radijus vektora čestice.
Lako je razumjeti da je u ovom slučaju moment središnje sile jednak nuli i, prema tome, zakon održanja kutne količine gibanja u odnosu na ishodište je zadovoljen.
Budući da se putanja čestice uvijek nalazi u ravnini u kojoj leže vektori sila i radijus vektor. U središnjem polju čestice se kreću ravnim putanjama.
Tijekom vremena dt radijus vektor čestice opisat će površinu dS (slika 39).
Ovo područje je jednako polovici površine paralelograma konstruiranog na radijus vektoru i elementarnom vektoru pomaka. Kao što je poznato, površina takvog paralelograma jednaka je modulu vektorskog proizvoda. Dakle, sada možemo napisati:
Nazovimo veličinu sektorskom brzinom i za nju dobijemo izraz:
Jer u središnjem polju M =const, tada, prema tome, sektorska brzina ostaje konstantna.
Zaključak: kada se čestica giba u centralnom polju sila, njen radijus vektor opisuje jednake površine u jednakim vremenskim razdobljima.
Ova izjava je drugi Keplerov zakon.
8. Problem dvaju tijela.
Problem gibanja čestica u središnjem polju sila ima mnogo primjena. Razmotrimo problem gibanja dvaju tijela. Razmotrimo dvije čestice koje međusobno djeluju samo jedna na drugu. Otkrijmo kako se ponaša centar mase takvog sustava. Iz teorema o gibanju središta mase zatvorenog sustava možemo zaključiti da ono ili miruje ili se giba pravocrtno i jednoliko.
Riješit ćemo problem dvaju tijela u sustavu njihova središta mase. Kao što je poznato, radijus vektor centra mase sustava određuje se pomoću izraza:
Iz zakona održanja količine gibanja takvog zatvorenog sustava slijedi da je:
Uvedimo radijus vektor koji određuje položaj druge čestice u odnosu na prvu (slika 40):
Tada možemo dobiti izraze za povezivanje radijus vektora koji određuju položaj čestica u odnosu na njihov zajednički centar mase s radijus vektorom njihovog relativnog položaja:
Razmotrimo sada ovaj problem s energetskog gledišta. Označimo s i brzine čestica u odnosu na njihov centar mase, a s - brzinu druge čestice u odnosu na prvu. Tada iz zakona održanja količine gibanja sustava čestica možemo dobiti sljedeće izraze:
Zapišimo ukupnu mehaničku energiju ovog sustava čestica:
Ovdje je U(r 21) vlastita potencijalna energija sustava.
Ovaj izraz se može transformirati na sljedeći način:
gdje se uvodi sljedeća oznaka – smanjena masa.
S energetske točke gledišta vidimo da se ovaj sustav čestica ponaša kao jedna čestica smanjene mase koja se kreće relativnom brzinom. Problem dvaju tijela svodi se na problem gibanja jednog tijela.
Ako je ovisnost poznata, tada se glavni problem može riješiti, tj. pronaći ovisnosti i .
Napišimo jednadžbu gibanja (drugi Newtonov zakon) za svaku od čestica u središnjem polju:
Na desnoj strani druge jednadžbe nalazi se znak minus, jer .
Podijelimo li prvu jednadžbu s m 1 i drugu s m 2, dobivamo:
Oduzmite prvu jednadžbu od druge:
Onda konačno:
Odavde možete pronaći ovisnost.
9.Kretanje umjetnih satelita. Kozmičke brzine.
Razmotrimo kretanje umjetnog satelita Zemlje u blizini njezine površine. Kako na satelit djeluje samo jedna sila - sila gravitacijske privlačnosti prema Zemlji, možemo napisati jednadžbu za njegovo kružno gibanje:
gdje je m masa satelita, M je masa Zemlje, Rz je polumjer Zemlje.
Odavde možete saznati brzinu satelita:
Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobivamo brzinu V 1 = 8 km/s.
Ova brzina se zove prvi prostor(brzina koja se mora prenijeti na tijelo kako bi ono postalo satelit Zemlje blizu njezine površine).
Razmotrili smo najjednostavniji slučaj satelita koji se kreće po kružnoj orbiti. Međutim, kao što teorija pokazuje, u problemu dva tijela moguće su i druge putanje gibanja jedne čestice u odnosu na drugu - elipse, hiperbole i parabole. Eliptične orbite odgovaraju negativnoj vrijednosti ukupne mehaničke energije sustava, hiperbolične orbite odgovaraju pozitivnoj vrijednosti ukupne mehaničke energije, a parabolične orbite odgovaraju vrijednosti ukupne mehaničke energije jednake nuli.
Pronađimo tzv brzina bijega. To je brzina koju treba prenijeti tijelu da bi ono postalo satelit Sunca, dok se tijelo mora kretati paraboličnom putanjom.
Zapišimo ukupnu mehaničku energiju sustava satelit-Zemlja, smatrajući Zemlju nepomičnom:
Izjednačavajući ukupnu mehaničku energiju s nulom, dobivamo drugu izlaznu brzinu:
Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobivamo V 2 = 11,2 km/s.
MEHANIKA ČVRSTOG MJERA
VIII. Kinematika krutog tijela
1.Apsolutno čvrsto tijelo. Ravninsko gibanje krutog tijela i njegovo razlaganje na translatorno i rotacijsko.
Do sada smo koristili materijalnu točku kao fizički model, ali ne mogu se svi problemi riješiti u ovoj aproksimaciji. Prijeđimo sada na razmatranje tzv apsolutno čvrsta tijela. Apsolutno čvrsto tijelo je tijelo kod kojeg se razmak između čestica od kojih se sastoji ne mijenja. Drugim riječima, ovo je apsolutno nedeformabilno tijelo.
Razmotrit ćemo ravno kretanje kruto tijelo kod kojeg tijekom gibanja neka njegova točka ostaje u jednoj od paralelnih ravnina. Kod ravninskog gibanja putanje svake točke krutog tijela leže u istoj ravnini, a ravnine svih putanja se poklapaju ili su paralelne.
Svako složeno gibanje krutog tijela može se prikazati kao zbroj jednostavnijih gibanja: translatornog i rotacijskog . Progresivna je kretanje krutog tijela u kojem linija koja spaja bilo koje dvije točke tijela zadržava svoj smjer u prostoru. Kretanje prema naprijed nije nužno pravocrtno, na primjer, kabina u panoramskom kotaču (slika 41).
Rotacijski je gibanje kod kojeg su putanje svih točaka krutog tijela koncentrične kružnice sa središtem na osi rotacije. Cilindar koji se kotrlja po stolu prolazi i translatorno i rotacijsko gibanje oko svoje osi simetrije.
Pokažimo kako se ravninsko gibanje može rastaviti na translatorno i rotacijsko (slika 42).
Sa slike je vidljivo da se iz položaja 1 u položaj 2 tijelo može pomaknuti prvo u položaj translatorno, a zatim u položaj 2 rotacijski oko osi. Ova podjela na translatorno i rotacijsko gibanje može se izvesti na beskonačno mnogo načina, ali se u tom slučaju rotacija uvijek izvodi pod istim kutom.
Dakle, gibanje u ravnini može se prikazati kao translatorno s istom brzinom za sve točke tijela i rotacijsko s istom kutnom brzinom. Za linearne brzine točaka krutog tijela, to se može napisati kao:
Ovdje je radijus vektor bilo koje točke na krutom tijelu.
Na primjer, kotrljanje valjka po vodoravnoj površini (sl. 43) može se prikazati kao translatorno gibanje svih točaka brzinom V 0 i rotacijom oko osi koja se podudara s njegovom osi simetrije 0, s kutnom brzinom ., ili kao translatorno kretanje brzinom i rotacija tom istom kutnom brzinom, ali oko osi.
Gibanje krutog tijela može se prikazati kao skup samo rotacija oko takozvane trenutne osi. Ova se os može nalaziti unutar samog čvrstog tijela, ali može biti i izvan njega. Položaj trenutne osi mijenja se tijekom vremena. U slučaju kotrljanja cilindra, trenutna se os poklapa s linijom dodirivanja cilindra s ravninom.
Prikažimo to na sl. 44 smjer trenutnih brzina nekih točaka valjka u odnosu na nepomični referentni sustav. Brzina točke A jednaka je nuli u svakom trenutku vremena, jer sastoji se od translacijske brzine i linearne brzine jednake veličine. Brzina točke C jednaka je dvostrukoj brzini itd.
Pogledajmo kako je brzina usmjerena u odnosu na fiksni referentni okvir bilo koje točke na cilindru. Da bismo to učinili, napišemo uvjet apsolutno krutog tijela za dvije proizvoljne točke u sljedećem obliku:
Razlikujmo desnu i lijevu stranu u vremenu:
Pridružimo točku A trenutnoj osi rotacije, tada i . Stoga imamo:
Iz ovog uvjeta slijedi da su odgovarajući vektori okomiti, tj. .
Kutni moment čestice(materijalna točka) u odnosu na točku O naziva se vektorska veličina jednaka:
L- aksijalni vektor. Smjer vektora kutne količine L određen je tako da rotacija oko točke O u smjeru vektora p oko osi koja prolazi kroz točku O poštuje pravilo desnog vijka. Vektori r, p i L čine desni sustav. U SI sustavu kutni moment ima mjernu jedinicu: [L]=1 kg m 2 /s.
Razmotrimo dva primjera izračunavanja kutne količine gibanja čestice u odnosu na točku O.
Primjer 1. Čestica se giba ravnom putanjom, masa čestice je m, količina gibanja je p. Nađimo L i ½ L1. Napravimo crtež.
iz formule (22.4.) proizlazi da se modul kutne količine gibanja može promijeniti samo zbog promjene modula brzine, jer kada se krećete ravnom stazom, rame l ostaje konstantan.
Primjer 2. Čestica mase m giba se po kružnici polumjera R brzinom V. Nađimo L i ½ L½. Napravimo crtež.
Slika 22.3 Smjer vektora količine gibanja čestice koja se giba u kružnici polumjera R brzinom V.
|
(22 .5 ) |
|
(22 .6 ) |
Kutna količina gibanja promatra se u odnosu na točku C. Iz formule (22.6.) proizlazi da se modul kutne količine gibanja može promijeniti samo zbog promjene modula brzine. Unatoč kontinuiranoj promjeni smjera vektora p, smjer vektora L ostaje konstantan.
