Kanonska jednadžba elipse ima oblik

gdje je a velika poluos; b – mala poluos. Točke F1(c,0) i F2(-c,0) − c nazivaju se

a, b - poluosi elipse.

Određivanje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa elipse, ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Definicija hiperbole. Trikovi s hiperbolom.

Definicija. Hiperbola je skup točaka na ravnini za koje je modul razlike udaljenosti od dviju danih točaka, zvanih žarišta, konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.

Po definiciji |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – žarišta hiperbole. F1F2 = 2c.

Kanonska jednadžba hiperbole. Poluosi hiperbole. Konstruiranje hiperbole ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Kanonička jednadžba:

Velika poluos hiperbole je polovica najmanje udaljenosti između dviju grana hiperbole, na pozitivnoj i negativnoj strani osi (lijevo i desno u odnosu na ishodište). Za granu koja se nalazi na s pozitivne strane, poluos će biti jednaka:

Ako ga izrazimo kroz konusni presjek i ekscentricitet, tada će izraz dobiti oblik:

Određivanje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa hiperbole, ako je poznata njezina kanonska jednadžba.

Ekscentricitet hiperbole

Definicija. Omjer se naziva ekscentricitet hiperbole, gdje c –

polovica udaljenosti između žarišta, a prava je poluos.

Uzimajući u obzir činjenicu da je c2 – a2 = b2:

Ako je a = b, e = , tada se hiperbola naziva jednakostranična (ekvilateralna).

Direktrise hiperbole

Definicija. Dvije ravne crte okomite na stvarnu os hiperbole i smještene simetrično u odnosu na središte na udaljenosti a/e od njega nazivaju se direktrisama hiperbole. Njihove jednadžbe su: .

Teorema. Ako je r udaljenost od proizvoljne točke M hiperbole do bilo kojeg žarišta, d je udaljenost od iste točke do direktrise koja odgovara ovom žarištu, tada je omjer r/d konstantna vrijednost jednaka ekscentričnosti.

Definicija parabole. Fokus i direktrisa parabole.

Parabola. Parabola je geometrijsko mjesto točaka od kojih je svaka jednako udaljena od dane fiksne točke i od dane fiksne linije. Točka o kojoj govorimo o u definiciji se naziva žarištem parabole, a pravac njezinom direktrisom.

Kanonska jednadžba parabole. Parabola parabole. Konstrukcija parabole.

Kanonska jednadžba parabole u pravokutnom koordinatnom sustavu: (ili, ako su osi zamijenjene).

Konstrukcija parabole za zadanu vrijednost parametra p izvodi se u sljedećem nizu:

Nacrtati os simetrije parabole i na njoj iscrtati isječak KF=p;

Direktrisa DD1 povučena je kroz točku K okomito na os simetrije;

Segment KF je podijeljen na pola kako bi se dobio vrh 0 parabole;

Niz proizvoljnih točaka 1, 2, 3, 5, 6 mjeri se od vrha s postupnim povećanjem udaljenosti između njih;

Kroz te točke povucite pomoćne ravne linije okomite na os parabole;

Na pomoćnim ravnim linijama napravite serife s radijusom jednaka udaljenosti od izravnog do direktora;

Rezultirajuće točke povezane su glatkom krivuljom.

Linije drugog reda.
Elipsa i njezina kanonska jednadžba. Krug

Nakon temeljitog proučavanja ravne linije u ravnini Nastavljamo proučavati geometriju dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su dvostruki i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, tipičnih predstavnika linije drugog reda. Ekskurzija je već počela, i to prva kratka informacija o cijelom postavu na katovima muzeja:

Pojam algebarskog pravca i njegov poredak

Pravac na ravnini naziva se algebarski, ako je u afini koordinatni sustav njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( – realni broj, – nenegativni cijeli brojevi).

Kao što možete vidjeti, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i drugi funkcionalni beau monde. Samo X i Y su unutra nenegativni cijeli brojevi stupnjeva.

Redoslijed redova jednaka maksimalnoj vrijednosti pojmova uključenih u njega.

Prema odgovarajućem teoremu, pojam algebarskog pravca, kao i njegov poredak, ne ovise o izboru afini koordinatni sustav, stoga, radi lakšeg postojanja, pretpostavljamo da se svi sljedeći izračuni odvijaju u Kartezijeve koordinate.

Opća jednadžba linija drugog reda ima oblik , gdje je – proizvoljni realni brojevi (Uobičajeno je pisati ga faktorom dva), a koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli, onda je to točno opća jednadžba “ravne” linije, koji predstavlja linija prvog reda.

Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% savladali gradivo, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed redaka, morate ponoviti svi uvjeti njegove jednadžbe i pronaći za svaku od njih zbroj stupnjeva ulazne varijable.

Na primjer:

izraz sadrži “x” na 1. potenciju;
izraz sadrži "Y" na 1. potenciju;
U članu nema varijabli, pa je zbroj njihovih potencija jednak nuli.

Sada shvatimo zašto jednadžba definira liniju drugi narudžba:

izraz sadrži "x" na 2. potenciju;
zbrojnik ima zbroj potencija varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži "Y" na 2. potenciju;
svi ostali uvjeti - manje stupnjeva.

Najveća vrijednost: 2

Ako dodatno dodamo, recimo, našoj jednadžbi, onda će ona već odrediti linija trećeg reda. Očito je da opći oblik jednadžbe linije 3. reda sadrži "puni skup" članova, a zbroj potencija varijabli u kojem je jednak tri:
, gdje koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

U slučaju da dodate jedan ili više prikladnih pojmova koji sadrže , onda ćemo već razgovarati o linije 4. reda itd.

Morat ćemo se više puta susresti s algebarskim pravcima 3., 4. i viših reda, osobito pri upoznavanju s polarni koordinatni sustav.

Ipak, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njezinih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjeri javljaju se parabola, čija se jednadžba lako može svesti na opći oblik, i hiperbola s ekvivalentnom jednadžbom. Ipak, nije sve tako glatko...

Značajan nedostatak opća jednadžba je da gotovo uvijek nije jasno koju liniju postavlja. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je to hiperbola. Takvi su rasporedi dobri samo na maskenbalu, pa budite svjesni analitička geometrija razmatra se tipičan zadatak dovodeći jednadžbu linije 2. reda u kanonski oblik.

Što je kanonski oblik jednadžbe?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednadžbe, kada u roku od nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo prikladan za rješavanje mnogih praktičnih zadataka. Tako npr. prema kanonskoj jednadžbi "ravna" ravna, prvo, odmah je jasno da je ovo ravna linija, a drugo, točka koja joj pripada i vektor smjera su lako vidljivi.

Očito je da bilo koji linija 1. reda je ravna linija. Na drugom katu nas više ne čeka stražar, već puno raznolikije društvo od devet kipova:

Klasifikacija linija drugog reda

Korištenjem posebnog skupa akcija, svaka jednadžba linije drugog reda reducira se na jedan od sljedećih oblika:

( i su pozitivni realni brojevi)

1) – kanonska jednadžba elipse;

2) – kanonska jednadžba hiperbole;

3) – kanonska jednadžba parabole;

4) – zamišljena elipsa;

5) – par linija koje se sijeku;

6) – par zamišljena linije koje se sijeku (s jednom važećom točkom sjecišta u ishodištu);

7) – par paralelnih pravaca;

8) – par zamišljena paralelne linije;

9) – par podudarnih linija.

Neki čitatelji mogu imati dojam da je popis nepotpun. Na primjer, u točki br. 7, jednadžba specificira par direktno, paralelan s osi, te se postavlja pitanje: gdje je jednadžba koja određuje pravce paralelne s osi ordinata? Odgovori ne smatra se kanonskim. Ravne linije predstavljaju isti standardni slučaj, zakrenut za 90 stupnjeva, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne donosi ništa bitno novo.

Dakle, postoji devet i samo devet različitih tipova vodova 2. reda, ali u praksi su najčešći elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one točke koje imaju veliki značaj za rješavanje problema, a ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokaz teorema, pogledajte npr. udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njezina kanonska jednadžba

Pravopis... molimo vas da ne ponavljate pogreške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako izgraditi elipsu", "razlika između elipse i ovala" i "ekscentričnost elipse".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati samu definiciju elipse, ali sada je vrijeme da se odmorimo od pričanja i riješimo uobičajeni problem:

Kako izgraditi elipsu?

Da, samo uzmi i samo nacrtaj. Zadatak se često javlja, a značajan dio učenika se ne snalazi ispravno s crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom

Riješenje: prvo svedimo jednadžbu na kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućuje trenutno određivanje vrhovi elipse, koji se nalaze na točkama. Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih točaka zadovoljavaju jednadžbu.

U ovom slučaju :


Segment linije nazvao glavna os elipsa;
segment linije – sporedna os;
broj nazvao polu-glavno vratilo elipsa;
broj – mala os.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako određena elipsa izgleda, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, glatko i lijepo, ali postoji jedna zamjerka: crtež sam napravio pomoću programa. I možete napraviti crtež pomoću bilo koje aplikacije. No, u surovoj stvarnosti na stolu stoji kockasti papirić, a miševi nam plešu u krug po rukama. Ljudi s umjetničkim talentom, naravno, mogu raspravljati, ali imate i miševa (iako manjih). Nije uzalud čovječanstvo izumilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerojatno da ćemo moći točno nacrtati elipsu poznavajući samo vrhove. U redu je ako je elipsa mala, na primjer, s poluosima. Alternativno, možete smanjiti mjerilo i, sukladno tome, dimenzije crteža. Ali u opći slučaj Vrlo je poželjno pronaći dodatne bodove.

Postoje dva pristupa konstruiranju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim konstrukciju pomoću šestara i ravnala jer algoritam nije najkraći i crtež je znatno pretrpan. U slučaju nužde, molimo pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednadžbe elipse u nacrtu brzo izražavamo:

Jednadžba se tada rastavlja na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa definirana kanonskom jednadžbom je simetrična u odnosu na koordinatne osi, kao i u odnosu na ishodište. I to je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatnih proizvoda. Očito je dovoljno pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam treba funkcija . Moli se da se nađu dodatne točke s apscisama . Dodirnimo tri SMS poruke na kalkulatoru:

Naravno, također je lijepo da ako se napravi ozbiljna pogreška u izračunima, to će odmah postati jasno tijekom izgradnje.

Označite točke na crtežu (crvenom bojom), simetrične točke na preostalim lukovima ( Plava boja) i pažljivo povežite cijelu tvrtku linijom:


Bolje je početnu skicu nacrtati vrlo tanko, a tek onda pritisnuti olovkom. Rezultat bi trebala biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova krivulja?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovalan Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički pojam koji ima detaljnu formulaciju. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih vrsta, kojima se praktički ne pridaje pozornost u standardnom tečaju analitičke geometrije. I, sukladno aktualnijim potrebama, odmah prelazimo na strogu definiciju elipse:

Elipsa je skup svih točaka ravnine, od kojih je zbroj udaljenosti do svake od dvije zadane točke, tzv. trikovi elipsa - je konstantna veličina, numerički jednaka duljini velika os ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenosti između fokusa su manje od ove vrijednosti: .

Sada će sve biti jasnije:

Zamislite da plava točka "putuje" duž elipse. Dakle, bez obzira koju točku elipse uzmemo, zbroj duljina odsječaka uvijek će biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost zbroja doista jednaka osam. Mentalno stavite točku "um" na desni vrh elipse, zatim: , što je trebalo provjeriti.

Druga metoda crtanja temelji se na definiciji elipse. Viša matematika ponekad je uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite whatman ili veliki list kartona i pričvrstite ga za stol s dva čavla. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave čavlića i povucite ga olovkom do kraja. Olovka će završiti na određenoj točki koja pripada elipsi. Sada počnite pomicati olovku duž papira, držeći zeleni konac napetim. Nastavite s postupkom dok se ne vratite na početnu točku... super... crtež mogu provjeriti liječnik i učitelj =)

Kako pronaći žarište elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" žarišne točke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.

Ako je elipsa dana kanonskom jednadžbom, tada njeni fokusi imaju koordinate , gdje je udaljenost od svakog žarišta do središta simetrije elipse.

Izračuni su jednostavniji od jednostavnog:

! Specifične koordinate žarišta ne mogu se identificirati sa značenjem "tse"! Ponavljam da je ovo DISTANCE od svakog fokusa do centra(koji se u općem slučaju ne mora nalaziti točno u ishodištu).
Stoga se udaljenost između žarišta također ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može premjestiti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Molim uzmite u obzir ovaj trenutak tijekom daljnjeg proučavanja teme.

Ekscentricitet elipse i njegovo geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može poprimiti vrijednosti unutar raspona.

U našem slučaju:

Otkrijmo kako oblik elipse ovisi o njezinoj ekscentričnosti. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh razmatrane elipse, odnosno vrijednost velike poluosi ostat će konstantna. Tada će formula ekscentriciteta imati oblik: .

Počnimo približavati vrijednost ekscentričnosti jedinici. To je moguće samo ako. Što to znači? ...sjetite se trikova . To znači da će se žarišta elipse "razmaknuti" duž osi apscise do bočnih vrhova. A budući da "zeleni segmenti nisu gumeni", elipsa će se neizbježno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

Tako, kako bliža vrijednost ekscentričnost elipse na jedinicu, što je elipsa više izdužena.

Sada modelirajmo suprotan proces: žarišta elipse hodali jedan prema drugom, približavajući se središtu. To znači da vrijednost “ce” postaje sve manja i, sukladno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, "zeleni segmenti" će, naprotiv, "postati gužva" i počet će "gurati" liniju elipse gore-dolje.

Tako, Što je vrijednost ekscentričnosti bliža nuli, to je elipsa sličnija... pogledajte granični slučaj kada su žarišta uspješno ponovno ujedinjena u ishodištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Doista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik , koja refleksno prelazi u jednadžbu kružnice sa središtem u ishodištu radijusa "a", dobro poznatu iz škole.

U praksi se češće koristi zapis s “govorećim” slovom “er”: . Polumjer je duljina segmenta, pri čemu je svaka točka kruga udaljena od središta za udaljenost radijusa.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno točna: žarišta se poklapaju, a zbroj duljina poklapajućih segmenata za svaku točku na kružnici je konstanta. Budući da je udaljenost između žarišta , tada ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Konstruiranje kruga je jednostavno i brzo, samo koristite kompas. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate neke od njegovih točaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednadžbu u veseli Matanov oblik:

– funkcija gornjeg polukruga;
– funkcija donjeg polukruga.

Zatim nalazimo tražene vrijednosti, razlikovati, integrirati i činiti druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako možete živjeti u svijetu bez ljubavi? Kreativni zadatak za samostalnu odluku

Primjer 2

Sastavite kanoničku jednadžbu elipse ako je poznat njezin fokus i mala poluos (središte je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne točke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo radnju:

Rotirajte i paralelno prevedite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju čija je misterija mučila radoznale umove od prvog spomena ove krivulje. Pa smo pogledali elipsu , ali nije li moguće u praksi ispuniti jednadžbu ? Uostalom, ovdje se, međutim, čini da je i elipsa!

Ova vrsta jednadžbe je rijetka, ali se susreće. I zapravo definira elipsu. Demistificirajmo:

Kao rezultat konstrukcije, dobivena je naša izvorna elipsa, zakrenuta za 90 stupnjeva. To je, - Ovo nekanonski unos elipsa . Snimiti!- jednadžba ne definira nijednu drugu elipsu, budući da na osi nema točaka (žarišta) koje bi zadovoljile definiciju elipse.

Teorema. U kanonskom koordinatnom sustavu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:

Dokaz. Dokaz provodimo u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje točke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednadžbu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednadžbe (4) daje koordinate točke koja leži na elipsi. Iz ovoga će slijediti da jednadžbu (4) zadovoljavaju samo te točke koordinatna ravnina, koji leže na elipsi. Iz ovoga i definicije jednadžbe krivulje slijedi da je jednadžba (4) jednadžba elipse.

1) Neka je točka M(x, y) točka elipse, tj. zbroj njegovih žarišnih radijusa je 2a:

Upotrijebimo formulu za udaljenost između dviju točaka na koordinatnoj ravnini i upotrijebimo ovu formulu za pronalaženje žarišnih polumjera dane točke M:

Odakle ga dobivamo:

Premjestimo jedan korijen na desna strana jednakost i kvadrirajte je:

Smanjivanjem dobivamo:

Predstavljamo slične, smanjimo za 4 i uklonimo radikal:

.

Kvadratura

Otvorite zagrade i skratite:

gdje dobivamo:

Koristeći jednakost (2), dobivamo:

.

Podijelimo li zadnju jednakost s , dobivamo jednakost (4) itd.

2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednadžbu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća točka na koordinatnoj ravnini Oxy.

Tada iz (4) slijedi:

Tu jednakost zamijenimo u izraz za žarišne radijuse točke M:

.

Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).

Tako, . Isto tako,.

Sada primijetite da iz jednakosti (4) slijedi da

Ili itd. , onda slijedi nejednakost:

Odavde pak slijedi da

Iz jednakosti (5) slijedi da je, tj. točka M(x, y) je točka elipse itd.

Teorem je dokazan.

Definicija. Jednadžba (4) se naziva kanonička jednadžba elipse.

Definicija. Kanonske koordinatne osi elipse nazivaju se glavne osi elipse.

Definicija. Ishodište kanonskog koordinatnog sustava za elipsu naziva se središte elipse.

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, za svaku od kojih je zbroj udaljenosti do dviju zadanih točaka iste ravnine, koje se nazivaju žarišta elipse, konstantna vrijednost. Za elipsu se može dati još nekoliko ekvivalentnih definicija. Zainteresirani se mogu s njima upoznati u ozbiljnijim udžbenicima analitičke geometrije. Ovdje samo napominjemo da je elipsa krivulja dobivena kao projekcija na ravninu kružnice koja leži u ravnini koja tvori oštar kut s avionom. Za razliku od kružnice, jednadžbu elipse nije moguće napisati u proizvoljnom koordinatnom sustavu u “zgodnom” obliku. Stoga je za fiksnu elipsu potrebno odabrati koordinatni sustav tako da njezina jednadžba bude sasvim jednostavna. Neka i budu žarišta elipse. Postavimo ishodište koordinatnog sustava u sredinu segmenta. Os je usmjerena duž ovog segmenta, os je usmjerena okomito na ovaj segment

24)Hiperbola

Iz školskog tečaja matematike znamo da se krivulja definirana jednadžbom , gdje je broj, naziva hiperbolom. Međutim, ovo je poseban slučaj hiperbole (jednakostranična hiperbola). Definicija 12. 5 Hiperbola je geometrijsko mjesto točaka na ravnini od kojih svaka apsolutna vrijednost razlika u udaljenosti do dviju fiksnih točaka iste ravnine, koje se nazivaju žarišta hiperbole, konstantna je vrijednost. Kao iu slučaju elipse, za dobivanje jednadžbe hiperbole odabiremo odgovarajući koordinatni sustav. Postavimo ishodište koordinata u sredinu segmenta između žarišta, usmjerimo os duž tog segmenta, a ordinatnu os usmjerimo okomito na njega. Teorem 12. 3 Neka je udaljenost između žarišta i hiperbole jednaka, a apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od točke hiperbole do žarišta jednaka. Tada hiperbola u gore odabranom koordinatnom sustavu ima jednadžbu (12.8) gdje je (12.9) Dokaz. Neka je trenutna točka hiperbole (sl. 12.9). Riža. 12 . 9 . Budući da je razlika dviju stranica trokuta manja od treće stranice, dakle , to je , . Na temelju posljednje nejednakosti postoji realni broj definiran formulom (12.9). Prema dogovoru, fokusi su , . Koristeći formulu (10.4) za slučaj ravnine, dobivamo Po definiciji hiperbole Ovu jednadžbu napišemo u obliku Kvadriramo obje strane: Nakon dovođenja sličnih članova i dijeljenja s 4, dolazimo do jednakosti Opet kvadriramo obje strane: Otvaranjem zagrade i dovođenjem sličnih članova dobivamo. Uzimajući u obzir formulu (12.9), jednadžba ima oblik Podijelimo obje strane jednadžbe s i dobijemo jednadžbu (12.8) Jednadžba (12.8) naziva se kanoničkom jednadžbom hiperbole. Prijedlog 12. 3 Hiperbola ima dvije međusobno okomite osi simetrije, od kojih se u jednoj nalaze žarišta hiperbole i središte simetrije. Ako je hiperbola dana kanonskom jednadžbom, tada su njezine osi simetrije

koordinatne osi i , a ishodište je središte simetrije hiperbole. Dokaz. Dokaz je sličan tvrdnji 12.1. Konstruirajmo hiperbolu danu jednadžbom (12.8). Imajte na umu da je zbog simetrije krivulju dovoljno konstruirati samo na prvom koordinatnom kutu. Izrazimo iz kanonske jednadžbe kao funkciju, pod uvjetom da, i izgraditi graf ove funkcije. Područje definiranja je interval , , funkcija monotono raste. Izvedenica postoji u cijeloj domeni definicije, osim u točki. Dakle, graf je glatka krivulja (bez kutova). Druga derivacija je negativan u svim točkama intervala, stoga je graf konveksan prema gore. Provjerimo na grafu postojanje asimptote na . Neka asimptota ima jednadžbu . Zatim, prema pravilima matematičke analize Izraz pod granicom množimo i dijelimo s .

Dobivamo: Dakle, graf funkcije ima asimptotu. Iz simetrije hiperbole proizlazi da je ona ujedno i asimptota. Priroda krivulje u blizini točke ostaje nejasna, naime oblikuje li se graf a dio hiperbole koji joj je simetričan u odnosu na os u ovoj točki je kut ili hiperbola u ovoj točki – glatka krivulja (postoji tangenta). Da bismo riješili ovaj problem, izražavamo iz jednadžbe (12.8) kroz: Očito je da ova funkcija ima derivaciju u točki , , au točki hiperbola ima vertikalnu tangentu. Koristeći dobivene podatke crtamo graf funkcije (Slika 12.10). Riža. 12 . 10. Grafik funkcije Na kraju, koristeći simetriju hiperbole, dobivamo krivulju sa slike 12.11. Riža. 12 . 11. Definicija hiperbole 12. 6 Točke presjeka hiperbole definirane kanonskom jednadžbom (12.8) s osi nazivaju se vrhovima hiperbole, segment između njih naziva se realna os hiperbole. Isječak osi ordinata između točaka naziva se imaginarna os. Brojeve i nazivamo realnom i imaginarnom poluosom hiperbole. Ishodište koordinata naziva se njegovim središtem. Veličina se naziva ekscentricitet hiperbole. Napomena 12. 3 Iz jednakosti (12.9) slijedi , odnosno za hiperbolu . Ekscentricitet karakterizira kut između asimptota; što je bliži 1, to je taj kut manji. Napomena 12. 4 Za razliku od elipse, u kanonskoj jednadžbi hiperbole odnos između veličina i može biti proizvoljan. Konkretno, kada dobijemo jednakostraničnu hiperbolu, poznatu iz školskog tečaja matematike. Njegova jednadžba ima poznati oblik ako uzmemo , i osi i usmjerimo ih duž simetrala četvrtog i prvog koordinatnog kuta (sl. 12.12). Riža. 12 . 12. Jednakostrana hiperbola Za odraz na slici karakteristike kvalitete hiperbole, dovoljno je identificirati njezine vrhove, nacrtati asimptote i nacrtati glatku krivulju koja prolazi kroz vrhove, približavajući se asimptotama i sličnu krivulji na slici 12.10. Primjer 12. 4 Konstruirajte hiperbolu, pronađite njezine žarište i ekscentricitet. Riješenje. Podijelimo obje strane jednadžbe s 4. Dobit ćemo kanoničku jednadžbu , . Crtamo asimptote i konstruiramo hiperbolu (sl. 12.13). Riža. 12 . 13.Hiperbola Iz formule (12.9) dobivamo. Onda su trikovi , , . Primjer 12. 5 Konstruirajte hiperbolu. Pronađite njegove žarište i ekscentričnost. Riješenje. Transformirajmo jednadžbu u oblik Ova jednadžba nije kanonska jednadžba hiperbole, budući da su znakovi ispred i nasuprot predznacima u kanonskoj jednadžbi. Međutim, ako ponovno označimo varijable , , tada u novim varijablama dobivamo kanoničku jednadžbu. Realna os ove hiperbole leži na osi, odnosno na osi izvornog koordinatnog sustava, asimptote imaju jednadžbu, tj. , jednadžba u izvornim koordinatama. Realna poluos je jednaka 5, imaginarna je 2. U skladu s tim podacima, izvodimo konstrukciju (sl. 12.14). Riža. 12 . 14.Hiperbola s jednadžbom Iz formule (12.9) dobivamo, , žarišta leže na realnoj osi - , , gdje su koordinate naznačene u izvornom koordinatnom sustavu.

Parabola

U školski tečaj matematika je dovoljno detaljno proučavala parabolu, koja je po definiciji bila graf kvadratni trinom. Ovdje ćemo dati još jednu (geometrijsku) definiciju parabole. Definicija 12. 7 Parabola je geometrijsko mjesto točaka na ravnini, za svaku od kojih je udaljenost do fiksne točke te ravnine, koja se naziva žarište, jednaka udaljenosti do fiksne ravne crte koja leži u istoj ravnini i naziva se direktrisa od parabole. Da bismo dobili jednadžbu krivulje koja odgovara ovoj definiciji, uvodimo odgovarajući koordinatni sustav. Da biste to učinili, spustite okomicu iz fokusa na directrix. Postavimo ishodište koordinata u sredinu segmenta, a os usmjerimo duž segmenta tako da se njegov smjer poklapa sa smjerom vektora. Nacrtajmo os okomito na os (sl. 12.15). Riža. 12 . 15 . Teorem 12. 4 Neka udaljenost između žarišta i direktrise parabole bude jednaka . Tada u odabranom koordinatnom sustavu parabola ima jednadžbu (12.10) Dokaz. U odabranom koordinatnom sustavu žarište parabole je točka, a direktrisa ima jednadžbu (sl. 12.15). Neka je trenutna točka parabole. Zatim, koristeći formulu (10.4) za ravan slučaj, nalazimo Udaljenost od točke do direktrise je duljina okomice spuštene na direktrisu iz točke. Sa slike 12.15 vidljivo je da je . Tada po definiciji parabole, tj Kvadrirajmo obje strane posljednje jednadžbe: gdje Nakon dovođenja sličnih članova dobivamo jednadžbu (12.10). Jednadžba (12.10) naziva se kanonska jednadžba parabole. Prijedlog 12. 4 Parabola ima os simetrije. Ako je parabola dana kanonskom jednadžbom, tada se os simetrije poklapa s osi. Dokaz. Nastavite na isti način kao i dokaz (propozicije 12.1). Sjecište osi simetrije s parabolom naziva se vrhom parabole. Ako ponovno označimo varijable , tada se jednadžba (12.10) može napisati u obliku koji se podudara s uobičajenom jednadžbom parabole u školskom tečaju matematike. Stoga ćemo nacrtati parabolu bez dodatnog istraživanja (sl. 12.16). Riža. 12 . 16. Primjer parabole 12. 6 Konstruirajte parabolu. Pronađite njezin fokus i redatelja. Riješenje. Jednadžba je kanonska jednadžba parabole, , . Os parabole je os, vrh je u ishodištu, grane parabole usmjerene su duž osi. Za konstrukciju ćemo pronaći nekoliko točaka parabole. Da bismo to učinili, dodijelimo vrijednosti varijabli i pronađemo vrijednosti. Uzmimo bodove , , . Uzimajući u obzir simetriju oko osi, nacrtamo krivulju (Sl. 12.17) Riža. 12 . 17. Parabola, zadan jednadžbomŽarište leži na osi na udaljenosti od tjemena, odnosno ima koordinate . Direktrisa ima jednadžbu, tj. Parabola, poput elipse, ima svojstvo povezano s refleksijom svjetlosti (slika 12.18). Formulirajmo svojstvo opet bez dokaza. Prijedlog 12. 5 Dopustiti biti žarište parabole, proizvoljna točka parabole i zraka sa svojim ishodištem u točki paralelnoj s osi parabole. Tada normala na parabolu u točki dijeli kut koji čine segment i zraka na pola. Riža. 12 . 18. Refleksija svjetlosne zrake od parabole Ovo svojstvo znači da će zraka svjetlosti koja izlazi iz fokusa, odbijena od parabole, tada ići paralelno s osi te parabole. I obrnuto, sve zrake koje dolaze iz beskonačnosti i paralelne s osi parabole će konvergirati u njenom žarištu. Ovo se svojstvo široko koristi u tehnologiji. Reflektori obično imaju zrcalo, čija se površina dobiva rotacijom parabole oko svoje osi simetrije (parabolično zrcalo). Izvor svjetlosti u reflektorima nalazi se u žarištu parabole. Kao rezultat toga, reflektor proizvodi snop gotovo paralelnih zraka svjetlosti. Isto se svojstvo koristi u prijemnim antenama za svemirske komunikacije iu teleskopskim zrcalima, koja skupljaju struju paralelnih zraka radiovalova ili struju paralelnih zraka svjetlosti i koncentriraju je u fokusu zrcala.

26) Definicija matrice. Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određeni broj m redaka i određeni broj n stupaca.

Osnovni koncepti matrice: Brojeve m i n nazivamo redovima matrice. Ako je m=n, poziva se matrica kvadrat, a broj m=n je njegov red.

U nastavku će se za pisanje matrice koristiti sljedeće oznake:

Iako se ponekad u literaturi pojavljuje oznaka:

Međutim, za kratko označavanje matrice često se koristi jedan veliko slovo latinično pismo, (npr. A), ili simbol ||a ij ||, a ponekad uz objašnjenje: A=||a ij ||=(a ij) (i=1,2,..., m; j=1,2,...n)

Brojevi a ij uključeni u ovu matricu nazivaju se njezinim elementima. U unosu a ij prvi indeks i označava broj retka, a drugi indeks j označava broj stupca.

Na primjer, matrica

ovo je matrica reda 2×3, njeni elementi su a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...

Dakle, uveli smo definiciju matrice. Razmotrimo vrste matrica i dajmo odgovarajuće definicije.

Vrste matrica

Uvedimo pojam matrica: kvadrat, dijagonala, jedinica i nula.

Definicija kvadratne matrice: Kvadratna matrica Matrica n-tog reda naziva se n×n matrica.

U slučaju kvadratne matrice

Uvodi se pojam glavne i sporedne dijagonale. Glavna dijagonala matrice je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog kuta matrice do njenog donjeg desnog kuta.

Bočna dijagonala iste matrice naziva se dijagonala koja ide od donjeg lijevog kuta do gornjeg desnog kuta.

Koncept dijagonalne matrice: Dijagonalno je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Koncept matrice identiteta: Singl(označeno s E ponekad I) naziva se dijagonalna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali.

Koncept nulte matrice: Null je matrica čiji su svi elementi nula.

Za dvije matrice A i B se kaže da su jednake (A=B) ako su iste veličine (to jest, imaju isti broj redaka i isti broj stupaca i njihovi odgovarajući elementi su jednaki). Dakle, ako

tada je A=B, ako je a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22

Matrice posebna vrsta

Kvadratna matrica nazvao gornji trokutasti, ako na i>j, I donji trokutasti, ako na ja

Opći obrazac trokutaste matrice:

Imajte na umu da među dijagonalnim elementima mogu postojati elementi jednaki nuli. Matrica naziva se gornji trapezius ako su ispunjena sljedeća tri uvjeta:

1. za i>j;

2. Postoji takva stvar prirodni broj r koji zadovoljava nejednakosti , Što .

3. Ako je bilo koji dijagonalni element , tada su svi elementi i-ti redak a svi sljedeći redovi jednaki su nuli.

Opći pogled na gornje trapezoidne matrice:

na .

u .

pri r=n

pri r=m=n.

Imajte na umu da kada je r=m=n, gornja trapezoidna matrica je trokutasta matrica s dijagonalnim elementima koji nisu nula.

27) Akcije s matricama

Zbrajanje matrice

Mogu se slagati matrice iste veličine.

Zbroj dviju takvih matrica A i B zove se matrica C, čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata matrica A i B. Simbolički ćemo to pisati ovako: A+B=C.

Lako je vidjeti da zbrajanje matrica slijedi komutativni i kombinacijski zakon:

(A+B)+C=A+(B+C).

Kod zbrajanja matrica nulta matrica igra ulogu obične nule kod zbrajanja brojeva: A+0=A.

Oduzimanje matrica.

Razlika između dviju matrica A i B iste veličine je matrica C takva da

Iz ove definicije slijedi da su elementi matrice C jednaki razlici odgovarajućih elemenata matrica A i B.

Razlika između matrica A i B označava se na sljedeći način: C=A – B.

3. Množenje matrice

Razmotrite pravilo za množenje dviju kvadratnih matrica drugog reda.

Umnožak matrice A i matrice B zove se matrica C=AB.

Pravila za množenje pravokutnih matrica:

Množenje matrice A matricom B ima smisla u slučaju kada se broj stupaca matrice A podudara s brojem redaka u matrici B.

Kao rezultat množenja dviju pravokutnih matrica dobiva se matrica koja sadrži onoliko redaka koliko je bilo redaka u prvoj matrici i onoliko stupaca koliko je bilo stupaca u drugoj matrici.

4. Množenje matrice brojem

Kad se matrica A pomnoži s brojem , svi brojevi koji čine matricu A pomnože se s brojem . Na primjer, pomnožimo matricu s brojem 2. Dobijemo, t.j. Kod množenja matrice brojem, faktor se "uvodi" ispod znaka matrice.

Transponiranje matrice

Transponirana matrica je matrica AT dobivena iz izvorne matrice A zamjenom redaka stupcima.

Formalno, transponirana matrica za matricu A dimenzija m*n je matrica AT dimenzija n*m, definirana kao AT = A .

Na primjer,

Svojstva transponiranih matrica

2. (A + B)T = AT + BT

28) Pojam determinante n-tog reda

Neka nam je dana kvadratna tablica koja se sastoji od brojeva poredanih u n vodoravnih i n okomitih redaka. Koristeći te brojeve, prema određenim pravilima, izračunava se određeni broj koji se naziva determinanta n-tog reda i označava se na sljedeći način:

(1)

Vodoravni redovi u determinanti (1) nazivaju se redovi, okomiti redovi nazivaju se stupci, brojevi su elementi determinante (prvi indeks označava broj retka, drugi – broj stupca u čijem presjeku se nalazi element ; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Redoslijed determinante je broj njezinih redaka i stupaca.

Zamišljena ravna crta koja povezuje elemente determinante za koje su oba indeksa ista, tj. elementi

naziva se glavna dijagonala, druga dijagonala se naziva sporedna dijagonala.

Determinanta n-tog reda je broj koji je algebarski zbroj n! pojmova, od kojih je svaki umnožak n svojih elemenata, uzet samo jedan iz svakih n redaka i iz svakih n stupaca kvadratne tablice brojeva, pri čemu je polovica (određenih) pojmova uzeta s predznakom, a ostatak s suprotnih predznaka.

Pokažimo kako se izračunavaju determinante prva tri reda.

Odrednica prvog reda je sam element, tj.

Determinanta drugog reda je broj dobiven na sljedeći način:

(2)

Formula (3) pokazuje da su pojmovi uzeti sa svojim znakovima umnožak elemenata glavne dijagonale, kao i elemenata koji se nalaze na vrhovima dva trokuta, čije su baze paralelne s njim; sa suprotnim - pojmovi koji su proizvodi elemenata bočne dijagonale, kao i elementi koji se nalaze na vrhovima dvaju trokuta koji su s njim paralelni.

Primjer 2. Izračunajte determinantu trećeg reda:

Riješenje. Koristeći pravilo trokuta, dobivamo

Izračun determinanti četvrtog i sljedećih reda može se svesti na izračun determinanti drugog i trećeg reda. To se može učiniti pomoću svojstava determinanti. Sada prelazimo na njihovo razmatranje.

Svojstva determinante n-tog reda

Svojstvo 1. Prilikom zamjene redaka stupcima (transpozicija) vrijednost determinante se neće promijeniti, tj.

Svojstvo 2. Ako se barem jedan red (red ili stupac) sastoji od nula, tada je determinanta jednaka nuli. Dokaz je očit.

Zapravo, tada će u svakom članu determinante jedan od faktora biti nula.

Svojstvo 3. Ako se u determinanti zamijene dva susjedna paralelna retka (reda ili stupca), tada će determinanta promijeniti predznak u suprotan, tj.

Svojstvo 4. Ako determinanta sadrži dva identična paralelna niza, tada je determinanta jednaka nuli:

Svojstvo 5. Ako su dva paralelna niza u determinanti proporcionalna, tada je determinanta jednaka nuli:

Svojstvo 6. Ako se svi elementi determinante koji se nalaze u istom retku pomnože istim brojem, tada će se vrijednost determinante promijeniti za ovaj broj puta:

Posljedica. Zajednički faktor sadržan u svim elementima jednog reda može se izbaciti iz znaka determinante, na primjer:

Svojstvo 7. Ako su u determinanti svi elementi jednog niza prikazani kao zbroj dva člana, tada je jednak zbroju dva kvalifikatora:

Svojstvo 8. Ako se umnožak odgovarajućih elemenata paralelnog niza s konstantnim faktorom doda elementima bilo kojeg niza, tada se vrijednost determinante neće promijeniti:

Svojstvo 9. Dodamo li elementima i-tog reda linearna kombinacija odgovarajući elementi nekoliko paralelnih serija, tada se vrijednost determinante neće promijeniti:

mogu se konstruirati različiti minori prvog, drugog i trećeg reda.