Trigonometrijski krug sa svim značenjima. Trigonometrijski krug. Jedinični krug. Brojevni krug. Što je? možete se upoznati s funkcijama i derivacijama

Ako ste već upoznati trigonometrijski krug , a želite samo osvježiti sjećanje na pojedine elemente, ili ste potpuno nestrpljivi, onda evo:

Ovdje ćemo sve detaljno analizirati korak po korak.

Trigonometrijski krug nije luksuz, već potreba

Trigonometrija Mnogi ljudi ga povezuju s neprobojnom šikarom. Odjednom postoji toliko mnogo značenja trigonometrijske funkcije, toliko formula... Ali isprva nije išlo, i... pa opet... potpuni nesporazum...

Vrlo je važno ne odustati vrijednosti trigonometrijskih funkcija, - kažu, uvijek možete pogledati mamuzu s tablicom vrijednosti.

Ako stalno gledate u tablicu s vrijednostima trigonometrijske formule, riješimo se ove navike!

On će nam pomoći! Radit ćete s njim nekoliko puta, a onda će vam se pojaviti u glavi. Kako je bolji od stola? Da, u tablici ćete pronaći ograničen broj vrijednosti, ali na krugu - SVE!

Na primjer, reci dok gledaš standardna tablica vrijednosti trigonometrijskih formula , koji je sinus jednak, recimo, 300 stupnjeva, ili -45.

Nema šanse?.. možete se, naravno, spojiti redukcijske formule... A gledajući trigonometrijsku kružnicu, lako možete odgovoriti na takva pitanja. A uskoro ćete znati i kako!

I pri odlučivanju trigonometrijske jednadžbe a nejednadžbe bez trigonometrijske kružnice - nigdje.

Uvod u trigonometrijsku kružnicu

Idemo redom.

Prvo, napišimo ovaj niz brojeva:

A sada ovo:

I na kraju ovaj:

Naravno, jasno je da je, zapravo, na prvom mjestu , na drugom mjestu je , a na zadnjem mjestu je . Odnosno, više će nas zanimati lanac.

Ali kako je lijepo ispalo! Ako se nešto dogodi, obnovit ćemo ove "čudesne ljestve".

A zašto nam to treba?

Ovaj lanac je glavne vrijednosti sinusa i kosinusa u prvoj četvrtini.

Nacrtajmo krug jediničnog polumjera u pravokutnom koordinatnom sustavu (to jest, uzimamo bilo koji polumjer dužine i njegovu duljinu proglasimo jediničnom).

Od grede "0-Start" postavljamo kutove u smjeru strelice (vidi sliku).

Dobivamo odgovarajuće točke na kružnici. Dakle, ako projiciramo točke na svaku od osi, tada ćemo dobiti točno one vrijednosti iz gornjeg lanca.

Pitate se zašto je to tako?

Nemojmo sve analizirati. Razmotrimo načelo, koji će vam omogućiti da se nosite s drugim, sličnim situacijama.

Trokut AOB je pravokutan i sadrži . A znamo da nasuprot kuta b leži krak veličine polovice hipotenuze (imamo hipotenuzu = polumjer kružnice, odnosno 1).

To znači AB= (a time i OM=). A prema Pitagorinom teoremu

Nadam se da već nešto postaje jasno?

Dakle, točka B će odgovarati vrijednosti, a točka M će odgovarati vrijednosti

Isto je i s ostalim vrijednostima prvog kvartala.

Kao što razumijete, bit će poznata os (vo). kosinusna os, a os (oy) – os sinusa . Kasnije.

Lijevo od nule duž kosinusne osi (ispod nule duž sinusne osi) bit će, naravno, negativne vrijednosti.

Dakle, evo ga SVEMOGUĆI bez kojeg u trigonometriji nema nigdje.

Ali razgovarat ćemo o tome kako koristiti trigonometrijski krug.

Jednostavno, to je povrće kuhano u vodi po posebnom receptu. Razmotrit ću dva početna sastojka (salata od povrća i voda) i gotov rezultat- boršč. Geometrijski, može se zamisliti kao pravokutnik s jednom stranom koja predstavlja salatu, a drugom vodom. Zbroj ove dvije strane značit će boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisti matematički pojmovi i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč s matematičke točke gledišta? Kako zbroj dviju dužina može postati trigonometrija? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam linearne kutne funkcije.

U udžbenicima matematike nećete naći ništa o linearnim kutnim funkcijama. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, djeluju neovisno o tome znamo li za njihovo postojanje ili ne.

Linearne kutne funkcije su adicijski zakoni. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Može li se bez linearnih kutnih funkcija? Moguće je, jer se matematičari i bez njih snalaze. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami znaju riješiti, a nikad ne govore o problemima koje ne mogu riješiti. Izgled. Ako znamo rezultat zbrajanja i jednog člana, oduzimanjem ćemo pronaći drugi član. Svi. Druge probleme ne poznajemo i ne znamo kako ih riješiti. Što trebamo učiniti ako znamo samo rezultat zbrajanja, a ne znamo oba člana? U ovom slučaju, rezultat zbrajanja mora se rastaviti na dva člana pomoću linearnih kutnih funkcija. Dalje, sami biramo što može biti jedan član, a linearne kutne funkcije pokazuju što bi trebao biti drugi član kako bi rezultat zbrajanja bio upravo ono što nam treba. Takvih parova pojmova može biti beskonačan skup. U Svakidašnjica Možemo i bez rastavljanja zbroja; dovoljno nam je oduzimanje. Ali kada znanstveno istraživanje Zakoni prirode, rastavljanje zbroja na njegove komponente može biti vrlo korisno.

Još jedan zakon zbrajanja o kojem matematičari ne vole govoriti (još jedan njihov trik) zahtijeva da pojmovi imaju iste mjerne jedinice. Za salatu, vodu i boršč to mogu biti jedinice težine, volumena, vrijednosti ili mjerne jedinice.

Slika prikazuje dvije razine razlike za matematičke . Prva razina su razlike u polju brojeva, koje su naznačene a, b, c. To je ono što matematičari rade. Druga razina su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglatim zagradama i označene slovom U. To je ono što fizičari rade. Možemo razumjeti treću razinu - razlike u području opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih mjernih jedinica. Koliko je to važno, vidimo na primjeru borške trigonometrije. Dodamo li indekse istoj oznaci jedinice za različite objekte, možemo točno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se ona mijenja tijekom vremena ili zbog naših radnji. Pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Ovako će izgledati linearne kutne funkcije za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili spajati zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja biti. Što su nas tada učili raditi? Učili su nas odvajati mjerne jedinice od brojeva i zbrajati brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. To je izravan put u autizam moderne matematike - radimo neshvatljivo što, neshvatljivo zašto, a jako slabo razumijemo kakav je to odnos sa stvarnošću, jer od tri razine razlike matematičari operiraju samo s jednom. Bilo bi ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

Zečići, patke i male životinje mogu se brojati u komadima. Jedan zajednička jedinica mjerenja za različite objekte omogućuje nam da ih zbrojimo. Ovaj dječja verzija zadaci. Pogledajmo sličan zadatak za odrasle. Što dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i pribrajamo je raspoloživom iznosu novca. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novčanom smislu.

Druga opcija. Možete dodati broj zečića broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo količinu pokretnina u komadima.

Kao što vidite, isti zakon zbrajanja omogućuje vam da dobijete različite rezultate. Sve ovisi o tome što točno želimo znati.

No, vratimo se našem boršču. Sada možemo vidjeti što će biti kada različita značenja kut linearnih kutnih funkcija.

Kut je nula. Imamo salatu, ali nemamo vode. Ne možemo kuhati boršč. Količina boršča također je nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednako nula vode. Može biti nula boršča s nula salate (pravi kut).

Za mene osobno ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To se događa jer je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete misliti o tome kako god želite, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, stoga odbacite svoju logiku i glupo natrpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje s nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen s nula je jednaka nuli” , “iznad nulte točke uboda” i ostale gluposti. Dovoljno je da se jednom sjetite da nula nije broj i nikada više nećete imati pitanje je li nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj ? To je kao da pitate u koju boju treba klasificirati nevidljivu boju. Dodati nulu broju je isto što i slikati bojom koje nema. Mahali smo suhim kistom i svima govorili da smo "slikali". Ali malo sam skrenuo s teme.

Kut je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stupnjeva. Imamo puno zelene salate, ali premalo vode. Kao rezultat toga, dobit ćemo gusti boršč.

Kut je četrdeset pet stupnjeva. Imamo jednake količine vode i salate. Ovo je savršen boršč (oprostite mi kuhari, to je samo matematika).

Kut je veći od četrdeset pet stupnjeva, ali manji od devedeset stupnjeva. Imamo puno vode i malo salate. Dobit ćete tekući boršč.

Pravi kut. Imamo vodu. Od salate su ostala samo sjećanja, jer nastavljamo mjeriti kut od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo kuhati boršč. Količina boršča je nula. U ovom slučaju, izdrži i pij vodu dok je imaš)))

Ovdje. Nešto kao ovo. Ovdje mogu ispričati i druge priče koje bi ovdje bile više nego prikladne.

Dva prijatelja imala su svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon što je ubio jednog od njih, sve je otišlo drugome.

Pojava matematike na našem planetu.

Sve te priče ispričane su jezikom matematike pomoću linearnih kutnih funkcija. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se trigonometriji boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26. listopada 2019

Srijeda, 7. kolovoza 2019

Zaključujući razgovor o tome, moramo razmotriti beskonačan skup. Stvar je u tome da koncept "beskonačnosti" utječe na matematičare kao što udav utječe na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdrav razum. Evo primjera:

Izvorni izvor je lociran. Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako kao primjer uzmemo beskonačni skup prirodni brojevi, tada se razmatrani primjeri mogu prikazati na sljedeći način:

Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Osobno na sve te metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburice. Uglavnom, svi se svode na to da je ili neka soba prazna i useljavaju se novi gosti ili da se dio posjetitelja izbaci u hodnik kako bi napravili mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se temelji moje zaključivanje? Preseljenje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno dugo. Nakon što smo oslobodili prvu sobu za gosta, uvijek će jedan od posjetitelja šetati hodnikom od svoje sobe do sljedeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali to će biti u kategoriji "nijedan zakon nije pisan za budale". Sve ovisi o tome što radimo: prilagođavamo stvarnost matematičke teorije ili obrnuto.

Što je "beskrajni hotel"? Beskonačni hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posjetitelje" zauzete, postoji još jedan beskrajni hodnik sa sobama za "gošće". Takvih će hodnika biti beskonačno mnogo. Štoviše, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj katova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju svemira koje je stvorio beskonačan broj Bogova. Matematičari se ne znaju distancirati od banalnih svakodnevnih problema: uvijek je samo jedan Bog-Allah-Buddha, samo je jedan hotel, samo je jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju žonglirati serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće "ugurati nemoguće".

Pokazat ću vam logiku svog zaključivanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko ima skupova prirodnih brojeva - jedan ili više? Na ovo pitanje nema točnog odgovora, jer smo brojeve sami izmislili, brojevi ne postoje u prirodi. Da, priroda je sjajna u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Drugi put ću vam reći što priroda misli. Budući da smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko ima skupova prirodnih brojeva. Razmotrimo obje opcije, kako i dolikuje pravim znanstvenicima.

Prva opcija. “Neka nam je dan” jedan jedini skup prirodnih brojeva, koji spokojno leži na polici. Uzimamo ovaj set s police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu jer ga već imamo. Što ako to stvarno želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti ga na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:

Zabilježio sam akcije u algebarski sustav zapis i u sustavu zapisa usvojenom u teoriji skupova, s detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako mu se oduzme jedan i doda ista jedinica.

Druga opcija. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam – RAZLIČITI, unatoč tome što se praktički ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih skupova. Zatim uzmemo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodamo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak zbrojiti dva skupa prirodnih brojeva. Evo što dobivamo:

Indeksi "jedan" i "dva" označavaju da su ti elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao izvorni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačni skup, rezultat je novi beskonačni skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva služi za brojanje na isti način kao što se ravnalo koristi za mjerenje. Sada zamislite da ste ravnalu dodali jedan centimetar. Ovo će biti druga linija, koja neće biti jednaka izvornoj.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje razmišljanje - to je vaša stvar. Ali ako se ikad susrećete s matematičkim problemima, razmislite idete li putem lažnog razmišljanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, satovi matematike, prije svega, formiraju stabilan stereotip razmišljanja u nama, a tek onda dodaju našem mentalne sposobnosti(ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 4. kolovoza 2019

Završavao sam postskriptum na članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: „... bogat teorijska osnova Babilonska matematika nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."

Wow! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam teško promatrati modernu matematiku u istom kontekstu? Lagano parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih dijelova, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim posvetiti cijeli niz publikacija najočitijim pogreškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota, 3. kolovoza 2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekim od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na bazi “ljudi”. Označimo elemente ovog skupa slovom A, označava indeks s brojem serijski broj svaka osoba u ovom mnoštvu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "rod" i označimo je slovom b. Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na temelju spola b. Primijetite da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi s rodnim karakteristikama". Nakon ovoga spolne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženskih bw spolne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: izaberemo jednu od ovih spolnih karakteristika, bez obzira koju - mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo s jedinicom, ako nema tog znaka, množimo ga s nulom. I onda koristimo redovnu školsku matematiku. Pogledaj što se dogodilo.

Nakon množenja, redukcije i preslagivanja, dobili smo dva podskupa: podskup muškaraca Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore pojedinosti, već nam daju gotov rezultat - "mnogi ljudi se sastoje od podskupa muškaraca i podskupa žena." Naravno, možete imati pitanje: koliko je ispravno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se uvjeriti da je sve u biti učinjeno ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Booleove algebre i drugih grana matematike. Što je? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče supersetova, možete kombinirati dva skupa u jedan superset odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ta dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da s teorijom skupova nije sve u redu je to što su za teoriju skupova matematičari izmislili vlastiti jezik i vlastite notacije. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

Zaključno, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju.

Ponedjeljak, 7. siječnja 2019

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahil nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave traju do danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu se prijevara sastoji.

S matematičkog gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s količine na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava sve dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači.

Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije cjelovito rješenje Problemi. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne smije tražiti u nedogled veliki brojevi, ali u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Za određivanje udaljenosti do automobila potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na što posebno želim skrenuti pozornost je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer daju različite mogućnosti istraživanja.
Pokazat ću vam proces na primjeru. Odaberemo "crvenu krutinu u prištiću" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su te stvari s lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga izdvajamo dio “cjeline” i formiramo set “s mašnom”. Ovako šamani dobivaju hranu povezujući svoju teoriju skupa sa stvarnošću.

Hajdemo sada napraviti mali trik. Uzmimo "čvrstu s prištićem s lukom" i kombiniramo ove "cjeline" prema boji, odabirom crvenih elemenata. Dobili smo dosta "crvenog". Sada posljednje pitanje: jesu li dobiveni skupovi "s mašnom" i "crveno" isti skup ili dva različita skupa? Samo šamani znaju odgovor. Točnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada se radi o stvarnosti. u cemu je tajna Formirali smo set "crvene čvrste s prištićem i lukom". Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crveno), čvrstoća (čvrsto), hrapavost (priščasto), ukras (s lukom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje nam adekvatno opisivanje pravi objekti jezikom matematike. Ovako to izgleda.

Slovo "a" s različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. Mjerne jedinice po kojima se razlikuje “cjelina” u preliminarnoj fazi istaknute su u zagradama. Iz zagrada je izdvojena mjerna jedinica kojom je skup formiran. Zadnji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, tada rezultat ne ovisi o redoslijedu naših radnji. I to je matematika, a ne ples šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je "očit", jer mjerne jedinice nisu dio njihovog "znanstvenog" arsenala.

Pomoću mjernih jedinica vrlo je lako podijeliti jedan skup ili kombinirati nekoliko skupova u jedan nadskup. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prvi trigonometrijski omjeri razvili su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i navigirali prema zvijezdama. Ovi proračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok su u školski tečaj proučavati omjere stranica i kutova ravnog trokuta.

Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i kutova trokuta.

Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere, znanje se proširilo od starog istoka do Grčke. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenistanski znanstvenik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangens i kotangens i sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojmove sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Trigonometriji je posvećena velika pažnja u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.

Osnovne veličine trigonometrije

Osnovne trigonometrijske funkcije numerički argument– to su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog. pravokutni trokut.

Sinus, kosinus i druge ovisnosti uspostavljaju odnos između oštri kutovi i stranice bilo kojeg pravokutnog trokuta. Predstavimo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:

Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako zamislimo krak a kao produkt sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobivamo sljedeće formule za tangens i kotangens:

Trigonometrijski krug

Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:

Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.

Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.

Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; kada se računa u radijanima, stvarna duljina polumjera u cm nije važna.

Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:

Dakle, nije teško pogoditi da je 2π potpuni krug ili 360°.

Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.

Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinus i kosinus:

Sinusni val	Kosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, pri x = 2πk, gdje je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
	funkcija je periodična, najkraće razdoblje- 2π
sin x › 0, pri čemu x pripada 1. i 2. četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
raste u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
opada na intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u protivnom je neparna.

Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućuje nam da predstavimo sljedeći obrazac:

Vrlo je lako provjeriti je li formula točna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.

Svojstva tangentoida i kotangensoida

Grafikoni funkcija tangens i kotangens bitno se razlikuju od funkcija sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg su recipročne vrijednosti jedna drugoj.

Y = ten x.
Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
Tg x = 0, za x = πk.
Funkcija se povećava.
Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Razmotrimo grafička slika kotangentoidi ispod u tekstu.

Glavna svojstva kotangentoida:

Y = krevetić x.
Za razliku od sinusne i kosinusne funkcije, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
Funkcija se smanjuje.
Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivacija (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Točno

Jednostavno, to je povrće kuhano u vodi po posebnom receptu. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i vodu) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, može se zamisliti kao pravokutnik s jednom stranom koja predstavlja salatu, a drugom vodom. Zbroj ove dvije strane značit će boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršča" čisto su matematički pojmovi i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Linearne kutne funkcije su adicijski zakoni. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Može li se bez linearnih kutnih funkcija? Moguće je, jer se matematičari i bez njih snalaze. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami znaju riješiti, a nikad ne govore o problemima koje ne mogu riješiti. Izgled. Ako znamo rezultat zbrajanja i jednog člana, oduzimanjem ćemo pronaći drugi član. Svi. Druge probleme ne poznajemo i ne znamo kako ih riješiti. Što trebamo učiniti ako znamo samo rezultat zbrajanja, a ne znamo oba člana? U ovom slučaju, rezultat zbrajanja mora se rastaviti na dva člana pomoću linearnih kutnih funkcija. Dalje, sami biramo što može biti jedan član, a linearne kutne funkcije pokazuju što bi trebao biti drugi član kako bi rezultat zbrajanja bio upravo ono što nam treba. Takvih parova članova može biti beskonačno mnogo. U svakodnevnom životu se sasvim dobro snalazimo bez rastavljanja zbroja, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u znanstvenom istraživanju zakona prirode, rastavljanje zbroja na njegove komponente može biti vrlo korisno.

Zečići, patke i male životinje mogu se brojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte omogućuje nam da ih zbrojimo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan zadatak za odrasle. Što dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i pribrajamo je raspoloživom iznosu novca. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novčanom smislu.

Druga opcija. Možete dodati broj zečića broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo količinu pokretnina u komadima.

Kao što vidite, isti zakon zbrajanja omogućuje vam da dobijete različite rezultate. Sve ovisi o tome što točno želimo znati.

No, vratimo se našem boršču. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti kuta linearnih kutnih funkcija.

Kut je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stupnjeva. Imamo puno zelene salate, ali premalo vode. Kao rezultat toga, dobit ćemo gusti boršč.

Kut je četrdeset pet stupnjeva. Imamo jednake količine vode i salate. Ovo je savršen boršč (oprostite mi kuhari, to je samo matematika).

Kut je veći od četrdeset pet stupnjeva, ali manji od devedeset stupnjeva. Imamo puno vode i malo salate. Dobit ćete tekući boršč.

Ovdje. Nešto kao ovo. Ovdje mogu ispričati i druge priče koje bi ovdje bile više nego prikladne.

Dva prijatelja imala su svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon što je ubio jednog od njih, sve je otišlo drugome.

Pojava matematike na našem planetu.

Subota, 26. listopada 2019

Srijeda, 7. kolovoza 2019

Izvorni izvor je lociran. Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako kao primjer uzmemo beskonačni skup prirodnih brojeva, tada se razmatrani primjeri mogu prikazati u ovom obliku:

Radnje sam zapisao u algebarskom zapisu i u zapisu teorije skupova, uz detaljan popis elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako mu se oduzme jedan i doda ista jedinica.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje razmišljanje - to je vaša stvar. Ali ako se ikad susrećete s matematičkim problemima, razmislite idete li putem lažnog razmišljanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, studiranje matematike, prije svega, formira stabilan stereotip razmišljanja u nama, a tek onda pridodaje našim mentalnim sposobnostima (ili, obrnuto, lišava nas slobodnog razmišljanja).

pozg.ru

Nedjelja, 4. kolovoza 2019

Završavao sam postskriptum na članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: "... bogata teorijska osnova babilonske matematike nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."

Wow! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam teško promatrati modernu matematiku u istom kontekstu? Lagano parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih dijelova, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.

Subota, 3. kolovoza 2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekim od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.

Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na bazi “ljudi”. Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks s brojem označit će redni broj svake osobe u ovom skupu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "rod" i označimo je slovom b. Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na temelju spola b. Primijetite da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi s rodnim karakteristikama". Nakon ovoga spolne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženskih bw spolne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: izaberemo jednu od ovih spolnih karakteristika, bez obzira koju - mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo s jedinicom, ako nema tog znaka, množimo ga s nulom. I onda koristimo redovnu školsku matematiku. Pogledaj što se dogodilo.

Što se tiče supersetova, možete kombinirati dva skupa u jedan superset odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ta dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da s teorijom skupova nije sve u redu je to što su matematičari smislili vlastiti jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".

Zaključno, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju.

Ponedjeljak, 7. siječnja 2019

U petom stoljeću prije Krista starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči:

Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Ovaj problem još moramo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada se radi o stvarnosti. u cemu je tajna Formirali smo set "crvene čvrste s prištićem i lukom". Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crveno), čvrstoća (čvrsto), hrapavost (priščasto), ukras (s lukom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje nam da jezikom matematike adekvatno opišemo stvarne objekte. Ovako to izgleda.

Pomoću mjernih jedinica vrlo je lako podijeliti jedan skup ili kombinirati nekoliko skupova u jedan nadskup. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.