Kako se zove trokut s različitim stranicama? Vrste trokuta. Kutovi trokuta. Koje vrste trokuta postoje?

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati s različitim vrstama trokuta.

Razmotrite geometrijske oblike i među njima pronađite onaj “suvišni” (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija za primjer

Vidimo da su figure br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Riža. 2. Četverokuti

To znači da je "dodatna" figura trokut (slika 3).

Riža. 3. Ilustracija za primjer

Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj liniji i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima.

Bodovi se zovu vrhovi trokuta, segmenti - njegovi stranke. Formiraju se stranice trokuta Na vrhovima trokuta nalaze se tri kuta.

Glavna obilježja trokuta su tri strane i tri kuta. Prema veličini kuta trokuti su šiljasti, pravokutni i tupi.

Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta šiljasta, odnosno manja od 90° (slika 4).

Riža. 4. Oštrokutni trokut

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5).

Riža. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).

Riža. 6. Tupokutni trokut

Prema broju jednakih stranica trokuti su jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.

Jednakokračni trokut je onaj kojemu su dvije stranice jednake (slika 7).

Riža. 7. Jednakokračni trokut

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnova. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.

Postoje jednakokračni trokuti akutne i tupe(Sl. 8) .

Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokut

Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake (slika 9).

Riža. 9. Jednakostranični trokut

U jednakostraničnom trokutu svi kutovi su jednaki. Jednakostranični trokuti Stalno oštrokutni.

Skala je trokut u kojem sve tri stranice imaju različite duljine (slika 10).

Riža. 10. Scalenski trokut

Dovršite zadatak. Podijelite te trokute u tri skupine (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.

Akutni trokuti: br. 1, br. 3.

Pravokutni trokuti: br. 2, br. 6.

Tupokutni trokuti: br. 4, br. 5.

Iste trokute rasporedit ćemo u skupine prema broju jednakih stranica.

Razmjerni trokuti: br. 4, br. 6.

Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br. 5.

Jednakostranični trokut: br.

Pogledaj slike.

Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za zadatak

Možeš razmišljati i ovako.

Prvi komad žice podijeli se na tri jednaka dijela, pa se od njega može napraviti jednakostraničan trokut. On je prikazan treći na slici.

Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalenskog trokuta. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice podijelimo na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, što znači da se od njega može napraviti jednakokračni trokut. Na slici je prikazan drugi.

Danas smo u razredu učili o različitim vrstama trokuta.

Bibliografija

MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
MI. Moro. Lekcije iz matematike: Smjernice za učitelja. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje ishoda učenja. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
"Škola Rusije": Programi za osnovna škola. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
SI. Volkova. Matematika: Probni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Dovršite fraze.

a) Trokut je lik koji se sastoji od ... koje ne leže na istoj liniji i ... koje te točke spajaju u parove.

b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta tvore se na vrhovima trokuta ….

c) Prema veličini kuta trokuti su ... , ... , ... .

d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ... , ... , ... .

2. Crtanje

a) pravokutni trokut;

b) oštrokutni trokut;

c) tupokutni trokut;

d) jednakostranični trokut;

e) razmjerni trokut;

e) jednakokračni trokut.

3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.

Danas idemo u zemlju geometrije, gdje ćemo se upoznati s različitim vrstama trokuta.

Razmotrite geometrijske oblike i među njima pronađite onaj “suvišni” (slika 1).

Riža. 1. Ilustracija za primjer

Vidimo da su figure br. 1, 2, 3, 5 četverokuti. Svaki od njih ima svoje ime (slika 2).

Riža. 2. Četverokuti

To znači da je "dodatna" figura trokut (slika 3).

Riža. 3. Ilustracija za primjer

Trokut je lik koji se sastoji od tri točke koje ne leže na istoj liniji i tri segmenta koji te točke spajaju u parovima.

Bodovi se zovu vrhovi trokuta, segmenti - njegovi stranke. Formiraju se stranice trokuta Na vrhovima trokuta nalaze se tri kuta.

Glavna obilježja trokuta su tri strane i tri kuta. Prema veličini kuta trokuti su šiljasti, pravokutni i tupi.

Trokut se naziva oštrokutnim ako su mu sva tri kuta šiljasta, odnosno manja od 90° (slika 4).

Riža. 4. Oštrokutni trokut

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90° (slika 5).

Riža. 5. Pravokutni trokut

Trokut se naziva tupokutnim ako mu je jedan od kutova tup, odnosno veći od 90° (slika 6).

Riža. 6. Tupokutni trokut

Prema broju jednakih stranica trokuti su jednakostranični, jednakokračni, razmjerni.

Jednakokračni trokut je onaj kojemu su dvije stranice jednake (slika 7).

Riža. 7. Jednakokračni trokut

Ove strane se zovu bočno, Treća strana - osnova. U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.

Postoje jednakokračni trokuti akutne i tupe(Sl. 8) .

Riža. 8. Oštri i tupi jednakokračni trokut

Jednakostranični trokut je onaj u kojem su sve tri stranice jednake (slika 9).

Riža. 9. Jednakostranični trokut

U jednakostraničnom trokutu svi kutovi su jednaki. Jednakostranični trokuti Stalno oštrokutni.

Skala je trokut u kojem sve tri stranice imaju različite duljine (slika 10).

Riža. 10. Scalenski trokut

Dovršite zadatak. Podijelite te trokute u tri skupine (slika 11).

Riža. 11. Ilustracija za zadatak

Prvo, rasporedimo prema veličini kutova.

Akutni trokuti: br. 1, br. 3.

Pravokutni trokuti: br. 2, br. 6.

Tupokutni trokuti: br. 4, br. 5.

Iste trokute rasporedit ćemo u skupine prema broju jednakih stranica.

Razmjerni trokuti: br. 4, br. 6.

Jednakokračni trokuti: br. 2, br. 3, br. 5.

Jednakostranični trokut: br.

Pogledaj slike.

Razmislite od kojeg je komada žice napravljen svaki trokut (slika 12).

Riža. 12. Ilustracija za zadatak

Možeš razmišljati i ovako.

Prvi komad žice podijelite na tri jednaka dijela, tako da od njega možete napraviti jednakostranični trokut. On je prikazan treći na slici.

Drugi komad žice je podijeljen na tri različita dijela, tako da se može koristiti za izradu skalenskog trokuta. Prvo je prikazano na slici.

Treći komad žice podijelimo na tri dijela, pri čemu su dva dijela iste duljine, što znači da se od njega može napraviti jednakokračni trokut. Na slici je prikazan drugi.

Danas smo u razredu učili o različitim vrstama trokuta.

Bibliografija

MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio. - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio - M.: “Prosvjetljenje”, 2012.
MI. Moro. Nastava matematike: Metodičke preporuke za nastavnike. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje ishoda učenja. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
“Škola Rusije”: Programi za osnovnu školu. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
SI. Volkova. Matematika: Kontrolni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testovi. - M.: "Ispit", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Domaća zadaća

1. Dovršite fraze.

a) Trokut je lik koji se sastoji od ... koje ne leže na istoj liniji i ... koje te točke spajaju u parove.

b) Točke se nazivaju … , segmenti - njegovi … . Stranice trokuta tvore se na vrhovima trokuta ….

c) Prema veličini kuta trokuti su ... , ... , ... .

d) Prema broju jednakih stranica trokuti su ... , ... , ... .

2. Crtanje

a) pravokutni trokut;

b) oštrokutni trokut;

c) tupokutni trokut;

d) jednakostranični trokut;

e) razmjerni trokut;

e) jednakokračni trokut.

3. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.

Trokut (sa stajališta euklidskog prostora) je geometrijski lik kojeg tvore tri segmenta koji povezuju tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Tri točke koje tvore trokut nazivaju se njegovim vrhovima, a segmenti koji spajaju vrhove nazivaju se stranicama trokuta. Koje vrste trokuta postoje?

Jednaki trokuti

Postoje tri znaka da su trokuti jednaki. Koji se trokuti nazivaju jednakima? Ovo su oni koji:

dvije stranice i kut između tih stranica su jednaki;
jedna stranica i dva susjedna kuta su jednaki;
sve tri strane su jednake.

U pravokutni trokuti Postoje sljedeći znakovi jednakosti:

duž oštrog kuta i hipotenuze;
duž oštrog kuta i noge;
na dvije noge;
duž hipotenuze i katete.

Koje vrste trokuta postoje?

Prema broju jednakih stranica, trokut može biti:

Jednakostraničan. Ovo je trokut s tri jednake strane. Svi kutovi u jednakostraničnom trokutu jednaki su 60 stupnjeva. Osim toga, središta opisane i upisane kružnice se poklapaju.
Nejednakostrana. Trokut koji nema jednakih stranica.
Jednakokračan. Ovo je trokut s dvije jednake strane. Dvije identične stranice su stranice, a treća stranica je baza. U takvom se trokutu simetrala, središnja i visina podudaraju ako se spuste na osnovicu.

Prema veličini kutova trokut može biti:

Tupi - kada je jedan od kutova veći od 90 stupnjeva, odnosno kada je tup.
Oštri - ako su sva tri kuta u trokutu šiljasta, odnosno imaju manje od 90 stupnjeva.
Koji se trokut naziva pravokutnim? Ovo je onaj koji ima jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva. Dvije stranice koje tvore ovaj kut nazvat ćemo katete, a hipotenuza će biti stranica nasuprot pravog kuta.

Osnovna svojstva trokuta

Manji kut uvijek leži nasuprot manje stranice, a veći kut uvijek leži nasuprot veće stranice.
Jednaki kutovi uvijek leže nasuprot jednakih stranica, a različiti kutovi uvijek leže nasuprot različitih stranica. Konkretno, u jednakostraničnom trokutu svi kutovi imaju istu vrijednost.
U bilo kojem trokutu zbroj kutova je 180 stupnjeva.
Vanjski kut možemo dobiti produljenjem jedne od stranica trokuta. Veličina vanjskog kuta bit će jednaka zbroju unutarnjih kutova koji mu nisu susjedni.
Stranica trokuta veća je od razlike dviju drugih stranica, ali manja od njihova zbroja.

U prostornoj geometriji Lobačevskog, zbroj kutova trokuta uvijek će biti manji od 180 stupnjeva. Na sferi je ta vrijednost veća od 180 stupnjeva. Razlika između 180 stupnjeva i zbroja kutova trokuta naziva se defekt.

Prilikom odlučivanja geometrijski problemi Korisno je slijediti takav algoritam. Prilikom čitanja uvjeta problema potrebno je

Napravite crtež. Crtež bi trebao odgovarati što je više moguće uvjetima problema, tako da je njegova glavna zadaća pomoći u pronalaženju rješenja
Sve podatke iz tvrdnje zadatka stavite na crtež
Napiši sve geometrijski pojmovi, koji se pojavljuju u problemu
Zapamtite sve teoreme koji se odnose na ove pojmove
Nacrtajte na crtežu sve odnose među elementima geometrijski lik, koji slijede iz ovih teorema

Na primjer, ako zadatak sadrži riječi simetrala kuta trokuta, potrebno je zapamtiti definiciju i svojstva simetrale te na crtežu označiti jednake ili proporcionalne odsječke i kutove.

U ovom ćete članku pronaći osnovna svojstva trokuta koja morate znati uspješno rješenje zadaci.

TROKUT.

Površina trokuta.

1. ,

ovdje - proizvoljna stranica trokuta, - visina spuštena na ovu stranu.

2. ,

ovdje i su proizvoljne stranice trokuta, a je kut između tih stranica:

3. Heronova formula:

Ovo su duljine stranica trokuta, je poluopseg trokuta,

4. ,

ovdje je polumjer trokuta, a polumjer upisane kružnice.

Neka su duljine tangentnih segmenata.

Tada se Heronova formula može napisati na sljedeći način:

6. ,

ovdje - duljine stranica trokuta, - polumjer opisane kružnice.

Ako se na stranici trokuta uzme točka koja tu stranicu dijeli u omjeru m:n, tada segment koji tu točku spaja s vrhom suprotnog kuta dijeli trokut na dva trokuta čije su površine u omjeru m: n:

Omjer površina sličnih trokuta jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.

Medijan trokuta

Ovo je segment koji povezuje vrh trokuta sa sredinom suprotne strane.

Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki i dijele ih sjecište u omjeru 2:1, računajući od vrha.

Sjecište središnjica pravilnog trokuta dijeli središnju na dva segmenta od kojih je manji jednak polumjeru upisane kružnice, a veći polumjeru opisane kružnice.

Polumjer opisane kružnice dva puta je veći od polumjera upisane kružnice: R=2r

Srednja duljina proizvoljni trokut

ovdje - medijan povučen na stranicu - duljine stranica trokuta.

Simetrala trokuta

Ovo je simetrala bilo kojeg kuta trokuta koji povezuje vrh tog kuta sa suprotnom stranom.

Simetrala trokuta dijeli stranicu na segmente proporcionalne susjednim stranicama:

Simetrale trokuta sijeku u jednoj točki, koja je središte upisane kružnice.

Sve su točke simetrale kuta jednako udaljene od stranica kuta.

Visina trokuta

Ovo je okomiti segment ispušten s vrha trokuta na suprotnu stranu ili njegov nastavak. U tupokutnom trokutu visina povučena iz vrha oštrog kuta nalazi se izvan trokuta.

Visine trokuta sijeku se u jednoj točki koja se naziva ortocentar trokuta.

Da bismo pronašli visinu trokuta nacrtana na stranu, trebate pronaći njezino područje na bilo koji dostupan način, a zatim upotrijebite formulu:

Središte opisane kružnice trokuta, nalazi se u sjecištu simetrala okomitih povučenih na stranice trokuta.

Polumjer opsega trokuta može se pronaći korištenjem sljedećih formula:

Ovdje su duljine stranica trokuta i površina trokuta.

gdje je duljina stranice trokuta, a suprotni kut. (Ova formula slijedi iz sinusnog teoreme.)

Nejednakost trokuta

Svaka stranica trokuta manja je od zbroja i veća od razlike druge dvije.

Zbroj duljina bilo koje dvije stranice uvijek je veći od duljine treće stranice:

Nasuprot većoj stranici leži veći kut; Nasuprot većem kutu leži veća stranica:

Ako, onda obrnuto.

Teorem sinusa:

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:

Kosinusni teorem:

kvadratna stranica trokuta jednak zbroju kvadrati druge dvije stranice bez dvostrukog umnoška tih stranica s kosinusom kuta između njih:

Pravokutni trokut

- Ovo je trokut, čiji je jedan od kutova 90°.

Iznos oštri kutovi pravokutnog trokuta je 90°.

Hipotenuza je stranica koja leži nasuprot kutu od 90°. Hipotenuza je najduža stranica.

Pitagorin poučak:

kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

Polumjer kružnice upisane u pravokutni trokut jednak je

ovdje je polumjer upisane kružnice, - katete, - hipotenuza:

Središte opisane kružnice pravokutnog trokuta leži u sredini hipotenuze:

Medijan pravokutnog trokuta povučen na hipotenuzu, jednako je polovici hipotenuze.

Definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa pravokutnog trokuta izgled

Omjer elemenata u pravokutnom trokutu:

Kvadrat visine pravokutnog trokuta izvučen iz vrha pravi kut, jednak je umnošku projekcija kateta na hipotenuzu:

Kvadrat katete jednak je umnošku hipotenuze i projekcije katete na hipotenuzu:

Noga leži nasuprot kutu jednako polovici hipotenuze:

Jednakokračan trokut.

Simetrala jednakokračan trokut povučena na bazu je medijan i visina.

U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki.

Apeksni kut.

I - strane,

I - kutovi na bazi.

Visina, simetrala i medijana.

Pažnja! Visina, simetrala i središnja povučena stranica ne podudaraju se.

Pravilni trokut

(ili jednakostraničan trokut ) je trokut čije su sve stranice i kutovi međusobno jednaki.

Površina pravilnog trokuta jednak

gdje je duljina stranice trokuta.

Središte kružnice upisane u pravilan trokut, poklapa se sa središtem kruga opisanog oko pravilnog trokuta i nalazi se u točki presjeka medijana.

Sjecište središnjica pravilnog trokuta dijeli medijan na dva segmenta, od kojih je manji jednak polumjeru upisane kružnice, a veći polumjeru opisane kružnice.

Ako je jedan od kutova jednakokračnog trokuta 60°, tada je trokut pravilan.

Srednja linija trokuta

Ovo je segment koji povezuje sredine dviju strana.

Na slici DE je središnja linija trokuta ABC.

Sredina trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici: DE||AC, AC=2DE

Vanjski kut trokuta

Ovo je kut susjedan bilo kojem kutu trokuta.

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju kutova koji mu nisu susjedni.

Trigonometrijske funkcije vanjskog kuta:

Znakovi jednakosti trokuta:

1 . Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

2 . Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

3 Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Važno: budući da su u pravokutnom trokutu dva kuta očito jednaka, tada za jednakost dva pravokutna trokuta potrebna je jednakost samo dva elementa: dvije strane, ili stranice i oštrog kuta.

Znakovi sličnosti trokuta:

1 . Ako su dvije stranice jednog trokuta proporcionalne dvjema stranicama drugog trokuta, a kutovi između tih stranica su jednaki, tada su ti trokuti slični.

2 . Ako su tri stranice jednog trokuta proporcionalne trima stranicama drugog trokuta, tada su trokuti slični.

3 . Ako su dva kuta jednog trokuta jednaka dvama kutovima drugog trokuta, tada su trokuti slični.

Važno: U sličnim trokutima slične stranice leže nasuprot jednakih kutova.

Menelajev teorem

Dopustiti linija presjeći trokut, i je točka njegova presjeka sa strane , Je točka njegovog presjeka sa strane , I je točka njegovog presjeka s nastavkom strane . Zatim