Definicija. Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne.

Vlasništvo. U paralelogramu su suprotne stranice jednake i suprotni kutovi su jednaki.

Vlasništvo. Dijagonale paralelograma dijele se popola točkom presjeka.

1 znak paralelograma. Ako su dvije stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je četverokut paralelogram.

2 znak paralelograma. Ako su u četverokutu nasuprotne stranice u parovima jednake, tada je taj četverokut paralelogram.

3 znak paralelograma. Ako se dijagonale četverokuta sijeku i prepolovljuju točkom presjeka, tada je četverokut paralelogram.

Definicija. Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne. Paralelne stranice nazivaju se razloga.

Trapez se zove jednakokračan (jednakostraničan), ako su mu stranice jednake. U jednakokračnom trapezu kutovi na osnovicama su jednaki.

Trapez, čiji je jedan kut pravi, naziva se pravokutan.

Segment koji povezuje središta strana naziva se središnja linija trapeza. Srednji pravac je paralelan s bazama i jednak je njihovom poluzbroju.

Definicija. Pravokutnik je paralelogram čiji su svi kutovi pravi.

Vlasništvo. Dijagonale pravokutnika su jednake.

Znak pravokutnika. Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je taj paralelogram pravokutnik.

Definicija. Romb je paralelogram u kojem su sve stranice jednake.

Vlasništvo. Dijagonale romba su međusobno okomite i raspolavljaju njegove kutove.

Definicija. Kvadrat je pravokutnik čije su sve stranice jednake.

Kvadrat je posebna vrsta pravokutnika, kao i posebna vrsta romba. Stoga ima sva njihova svojstva.

Svojstva:
1. Svi su kutovi kvadrata pravi

2. Dijagonale kvadrata su jednake, međusobno okomite, sjecište raspolavlja i raspolovljuje kutove kvadrata.

Sa četiri ugla i četiri strane. Četverokut tvori zatvorena izlomljena crta koja se sastoji od četiriju karika i onog dijela ravnine koji se nalazi unutar izlomljene crte.

Oznaka četverokuta sastoji se od slova koja se nalaze na njegovim vrhovima, imenujući ih redom. Na primjer, kažu ili pišu: četverokut ABCD :

U četverokutu ABCD bodova A, B, C I D- Ovo vrhovi četverokuta, segmenti AB, prije Krista, CD I D.A. - strane.

Vrhovi koji pripadaju jednoj stranici nazivaju se susjedni, nazivaju se vrhovi koji nisu susjedni suprotan:

U četverokutu ABCD vrhovi A I B, B I C, C I D, D I A- susjedni, i vrhovi A I C, B I D- suprotno. Kutovi koji leže na susjednim vrhovima također se nazivaju susjednim, a na suprotnim vrhovima - suprotnim.

Stranice četverokuta mogu se podijeliti i po parovima na susjedne i nasuprotne: stranice koje imaju zajednički vrh nazivaju se susjedni(ili susjedni), stranice koje nemaju zajedničke vrhove - suprotan:

Stranke AB I prije Krista, prije Krista I CD, CD I D.A., D.A. I AB- susjedne, i strane AB I DC, OGLAS I prije Krista- suprotno.

Ako su suprotni vrhovi povezani segmentom, tada će se takav segment zvati dijagonala četverokuta. S obzirom da četverokut ima samo dva para nasuprotnih vrhova, tada mogu postojati samo dvije dijagonale:

Segmenti A.C. I BD- dijagonale.

Razmotrimo glavne vrste konveksnih četverokuta:

• Trapez- četverokut u kojem je jedan par nasuprotnih stranica međusobno paralelan, a drugi par nije paralelan.
  • Jednakokračni trapez- trapez čije su stranice jednake.
  • Pravokutni trapez - trapez u kojem je jedan od kutova prav.
• Paralelogram- četverokut u kojem su oba para nasuprotnih stranica međusobno paralelna.
  • Pravokutnik- paralelogram u kojem su svi kutovi jednaki.
  • Romb- paralelogram u kojem su sve stranice jednake.
  • Kvadrat- paralelogram čije su stranice i kutovi jednaki. I pravokutnik i romb mogu biti kvadrat.

Svojstva kutova konveksnih četverokuta

Svi konveksni četverokuti imaju sljedeća dva svojstva u svojim kutovima:

1. Svaki unutarnji kut manji od 180°.
2. Zbroj unutarnjih kutova je 360°.

U školski plan i program u nastavi geometrije morate se baviti raznim vrstama četverokuta: rombovima, paralelogramima, pravokutnicima, trapezima, kvadratima. Prvi oblici za proučavanje su pravokutnik i kvadrat.

Dakle, što je pravokutnik? Definicija za 2. razred Srednja škola izgledat će ovako: ovo je četverokut sa sva četiri desna kuta. Lako je zamisliti kako izgleda pravokutnik: to je lik s 4 prava kuta i stranicama koje su međusobno paralelne u parovima.

U kontaktu s

Kako razumjeti prilikom rješavanja sljedećeg geometrijski problem, o kakvom četverokutu imamo posla? Postoje tri glavna znaka, po čemu se nepogrešivo može utvrditi da je riječ o pravokutniku. Nazovimo ih:

• lik je četverokut čija su tri kuta jednaka 90°;
• prikazani četverokut je paralelogram s jednakim dijagonalama;
• paralelogram koji ima barem jedan pravi kut.

Zanimljivo je znati: što je konveksno, njegove značajke i simptomi.

Budući da je pravokutnik paralelogram (tj. četverokut s parovima paralelnih suprotnih stranica), tada će za njega biti ispunjena sva njegova svojstva i karakteristike.

Formule za izračunavanje duljina stranica

U pravokutniku suprotne stranice su jednake i međusobno paralelne. Dulja stranica se obično naziva duljina (označena s a), kraća stranica se naziva širina (označena s b). U pravokutniku na slici duljine su stranice AB i CD, a širine AC i B. D. One su također okomite na osnovice (tj. to su visine).

Da biste pronašli strane, možete koristiti formule u nastavku. Prihvatili su simboli: a - duljina pravokutnika, b - njegova širina, d - dijagonala (segment koji povezuje vrhove dvaju kutova koji leže jedan nasuprot drugom), S - površina figure, P - perimetar, α - kut između dijagonale i dužine, β - oštri kut koji tvore obje dijagonale. Metode za pronalaženje duljina stranica:

• Korištenje dijagonale i poznate strane: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Na temelju površine figure i jedne od njegovih strana: a = S / b, b = S / a.
• Korištenje perimetra i poznate strane: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Kroz dijagonalu i kut između nje i dužine: a = d sinα, b = d cosα.
• Kroz dijagonalu i kut β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Opseg i površina

Opseg četverokuta naziva se zbroj duljina svih njegovih stranica. Za izračun opsega, može se koristiti sljedeće formule:

• Kroz obje strane: P = 2 (a + b).
• Kroz područje i jednu od stranica: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Područje je prostor omeđen perimetrom. Tri glavna načina za izračunavanje površine:

• Kroz duljine obiju stranica: S = a*b.
• Korištenje perimetra i bilo koje poznate strane: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Dijagonalno i kut β: S = 0,5 d² sinβ.

U zadacima školski tečaj matematika je često potrebna za vještinu svojstva dijagonala pravokutnika. Navodimo glavne:

1. Dijagonale su međusobno jednake i u točki njihovog sjecišta podijeljene su na dva jednaka segmenta.
2. Dijagonala je definirana kao korijen zbroja kvadrata obje strane (slijedi iz Pitagorinog poučka).
3. Dijagonala dijeli pravokutnik na dva pravokutna trokuta.
4. Sjecište se podudara sa središtem opisane kružnice, a same dijagonale podudaraju se s njezinim promjerom.

Za izračunavanje duljine dijagonale koriste se sljedeće formule:

• Korištenje duljine i širine figure: d = √(a² + b²).
• Korištenje polumjera kruga opisanog oko četverokuta: d = 2 R.

Definicija i svojstva kvadrata

Trg je poseban slučaj romb, paralelogram ili pravokutnik. Razlikuje se od ovih figura u tome što su mu svi kutovi pravi i sve četiri stranice jednake. Kvadrat je pravilan četverokut.

Četverokut se naziva kvadratom u sljedećim slučajevima:

1. Ako je pravokutnik kojemu su duljina a i širina b jednake.
2. Ako se radi o rombu sa jednake duljine dijagonale i s četiri prava kuta.

Svojstva kvadrata uključuju sva prethodno razmatrana svojstva koja se odnose na pravokutnik, kao i sljedeće:

1. Dijagonale su međusobno okomite (svojstvo romba).
2. Sjecište se poklapa sa središtem upisane kružnice.
3. Obje dijagonale dijele četverokut na četiri jednaka pravokutna i jednakokračna trokuta.

Ovdje su često korištene formule za proračuni opsega, površine i kvadratnih elemenata:

• Dijagonala d = a √2.
• Opseg P = 4 a.
• Površina S = a².
• Polumjer opisane kružnice je polovica dijagonale: R = 0,5 a √2.
• Polumjer upisane kružnice definiran je kao polovica duljine stranice: r = a / 2.

Primjeri pitanja i zadataka

Pogledajmo neka pitanja s kojima se možete susresti dok proučavate tečaj matematike u školi i riješimo nekoliko jednostavnih problema.

Problem 1. Kako će se promijeniti površina pravokutnika ako se duljina njegovih stranica utrostruči?

Riješenje : Označimo površinu izvornog lika sa S0, a površinu četverokuta čija je duljina stranica trostruka kao S1. Koristeći formulu o kojoj smo ranije govorili, dobivamo: S0 = ab. Povećajmo sada duljinu i širinu 3 puta i zapišimo: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Uspoređujući S0 i S1, postaje očito da je drugo područje 9 puta veće od prvog.

Pitanje 1. Je li četverokut s pravim kutom kvadrat?

Riješenje : Iz definicije proizlazi da je lik s pravim kutom kvadrat samo ako su mu duljine svih stranica jednake. U drugim slučajevima, lik je pravokutnik.

Problem 2. Dijagonale pravokutnika tvore kut od 60 stupnjeva. Širina pravokutnika je 8. Izračunaj kolika je dijagonala.

Riješenje: Podsjetimo se da su dijagonale podijeljene na pola točkom sjecišta. Tako se bavimo jednakokračan trokut s vršnim kutom od 60°. Budući da je trokut jednakokračan, kutovi na bazi također će biti isti. Jednostavnim izračunom nalazimo da je svaki od njih jednak 60°. Slijedi da je trokut jednakostraničan. Širina koju poznajemo je osnovica trokuta, stoga je i polovica dijagonale jednaka 8, a duljina cijele dijagonale dvostruko je veća i jednaka je 16.

Pitanje 2. Imaju li pravokutnik sve stranice jednake ili ne?

Riješenje : Dovoljno je zapamtiti da u kvadratu, koji je poseban slučaj pravokutnika, sve stranice moraju biti jednake. U svim drugim slučajevima dovoljan uvjet- ovo je prisutnost najmanje 3 prava kuta. Ravnopravnost stranaka nije obavezna značajka.

Problem 3. Površina kvadrata je poznata i jednaka je 289. Nađite polumjere upisane i opisane kružnice.

Riješenje : Koristeći formule za kvadrat, izvršit ćemo sljedeće izračune:

• Odredimo čemu su jednaki osnovni elementi kvadrata: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Izračunajmo polumjer kružnice opisane oko četverokuta: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Nađimo polumjer upisane kružnice: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Konveksni četverokut je lik koji se sastoji od četiri stranice međusobno spojene vrhovima, koje zajedno sa stranicama tvore četiri kuta, dok je sam četverokut uvijek u istoj ravnini u odnosu na ravnu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela figura nalazi se na istoj strani bilo koje od svojih strana.

U kontaktu s

Kao što vidite, definiciju je vrlo lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i vrste

Gotovo sve poznate figure koje se sastoje od četiri ugla i strane mogu se klasificirati kao konveksni četverokuti. Mogu se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravokutnik;
4. trapez;
5. romb.

Sve ove figure ujedinjuje ne samo činjenica da su četverokutni, već i činjenica da su i konveksni. Pogledajte samo dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravnini ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapezoid konveksan.

Je li paralelogram konveksan četverokut?

Gore je slika paralelograma. Kao što se može vidjeti sa slike, paralelogram je također konveksan. Ako pogledate sliku u odnosu na linije na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je uvijek u istoj ravnini od ovih linija. Glavna karakteristika paralelograma je da su njegove stranice po parovima paralelne i jednake, kao što su i suprotni kutovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravokutnik. Po svojim osnovnim svojstvima oni su također paralelogrami, odnosno sve im se stranice nalaze u paralelnim parovima. Samo kod pravokutnika duljine stranica mogu biti različite, a kutovi pravi (jednaki 90 stupnjeva), kvadrat je pravokutnik u kojem su sve stranice jednake i kutovi također pravi, a kod paralelograma, duljine stranica i kutova mogu biti različite.

Kao rezultat, zbroj sva četiri kuta četverokuta treba biti jednak 360 stupnjeva. To ćete najlakše utvrditi gledajući pravokutnik: sva četiri kuta pravokutnika su prava, odnosno jednaka 90 stupnjeva. Zbroj ovih kutova od 90 stupnjeva daje 360 ​​stupnjeva, drugim riječima, ako dodate 90 stupnjeva 4 puta, dobit ćete željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četverokuta

Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku. Doista, ovaj se fenomen može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:

Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverokut ili četverokut. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Desno je konveksni četverokut. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto se svojstvo može smatrati znakom konveksnosti četverokuta.

Ostala svojstva i znakovi konveksnosti četverokuta

Vrlo je teško ovim pojmom imenovati neka specifična svojstva i karakteristike. Lakše je razlikovati različite vrste četverokuta ove vrste. Možete početi s paralelogramom. Već znamo da se radi o četverokutnoj figuri čije su stranice u paru paralelne i jednake. Ujedno, to uključuje i svojstvo dijagonala paralelograma da se međusobno sijeku, kao i sam znak konveksnosti lika: paralelogram je uvijek u istoj ravnini i na istoj strani u odnosu na bilo koju od njegove strane.

Tako, poznata su glavna svojstva i svojstva:

1. zbroj kutova četverokuta je 360 ​​stupnjeva;
2. Dijagonale figura sijeku se u jednoj točki.

Pravokutnik. Ova figura ima sva ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali u isto vrijeme svi njegovi kutovi su jednaki 90 stupnjeva. Otuda i naziv - pravokutnik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali njegovi kutovi su pravi kao pravokutnik. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnik. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored već navedenih, je da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapezoid je vrlo zanimljiva figura. Ovo je također četverokut i također konveksan. U ovom članku već smo raspravljali o trapezu na primjeru crteža. Jasno je da je i konveksan. Glavna razlika, a samim tim i znak trapeza, je da njegove strane mogu biti apsolutno različite po duljini, kao i kutovi po vrijednosti. U ovom slučaju, lik uvijek ostaje na istoj ravnini u odnosu na bilo koju liniju koja povezuje bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji tvore lik.

Romb je jednako zanimljiv lik. Dijelom se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da se njegove dijagonale ne samo sijeku, već i dijele kutove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su duljine stranica romba jednake, tada se i dijagonale dijele popola kada se sijeku.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombovi) mogu imati različite duljine stranica. Ali u isto vrijeme, i dalje su sačuvana osnovna svojstva i karakteristike samog romba, kao i karakteristike i svojstva konveksnosti. To jest, možemo uočiti da dijagonale dijele kutove na pola i sijeku se pod pravim kutom.

Današnji zadatak bio je razmotriti i razumjeti što su konveksni četverokuti, kakvi su te njihova glavna obilježja i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbroj kutova konveksnog četverokuta 360 stupnjeva. Opseg figura, npr. jednak zbroju duljine svih segmenata koji čine lik. Formule za izračunavanje opsega i površine četverokuta bit će raspravljene u sljedećim člancima.

Vrste konveksnih četverokuta

Tema lekcije

• Definicija četverokuta.

Ciljevi lekcije

• Obrazovni – ponavljanje, generalizacija i provjera znanja o temi: „Četverokut“; razvoj osnovnih vještina.
• Razvojni - razvijati pažnju učenika, upornost, postojanost, logičko razmišljanje, matematički govor.
• Obrazovni - kroz lekciju, njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, uzajamne pomoći i neovisnosti.

Ciljevi lekcije

• Razviti vještine konstruiranja četverokuta pomoću ravnala i trokuta za crtanje.
• Provjerite vještine rješavanja problema učenika.

Plan učenja

1. Povijesna referenca. Neeuklidska geometrija.
2. Četverokut.
3. Vrste četverokuta.

Neeuklidska geometrija

Neeuklidska geometrija, geometrija slična geometriji Euklid po tome što definira kretanje likova, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njezinih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Negacija jednog od euklidskih postulata (1825.) bila je značajan događaj u povijesti misli, jer je poslužila kao prvi korak prema teorija relativnosti.

Drugi Euklidov postulat kaže da bilo koji segment ravne linije može se neograničeno produljivati. Euklid je očito vjerovao da ovaj postulat također sadrži izjavu da ravna linija ima beskonačnu duljinu. Međutim u "eliptičnoj" geometriji, svaka ravna linija je konačna i, poput kruga, zatvorena.

Peti postulat kaže da ako pravac siječe dva zadana pravca na takav način da dva unutarnja kuta na jednoj njegovoj strani zbroje manje od dva prava kuta, tada će se ta dva pravca, ako se beskonačno produljuju, sijeći na strani gdje zbroj tih kutova manji je od zbroja dviju ravnih linija. Ali u "hiperboličkoj" geometriji može postojati linija CB (vidi sliku), okomita u točki C na danu liniju r i koja siječe drugu liniju s ispod oštar kut u točki B, ali se, unatoč tome, beskonačne linije r i s nikada neće presijecati.

Iz ovih revidiranih postulata slijedi da je zbroj kutova trokuta, jednak 180° u euklidskoj geometriji, veći od 180° u eliptičnoj geometriji i manji od 180° u hiperboličkoj geometriji.

Četverokut

Predmeti > Matematika > Matematika 8.r