Definicije konačnog i beskonačnog limesa funkcije u beskonačnosti prema Cauchyju. Definicije dvostranih i jednostranih granica (lijevih i desnih). Primjeri rješenja zadataka u kojima se, koristeći Cauchyjevu definiciju, traži da se pokaže da je granica u beskonačnosti jednaka postavljena vrijednost, .

Sadržaj

Vidi također: Okolica točke
Univerzalna definicija limita funkcije prema Heineu i Cauchyju

Konačni limit funkcije u beskonačnosti

Granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Određivanje Cauchyjeve granice
Broj a naziva se limitom funkcije f (x) dok x teži beskonačnosti (), ako
1) postoji takav |x| >
2) za bilo koji, koliko god mali, pozitivan broj ε > 0 , postoji broj N ε >K, ovisno o ε, što za sve x, |x| > N ε, vrijednosti funkcije pripadaju ε-okolici točke a:
|f (x) - a|< ε .
Granica funkcije u beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Često se koristi i sljedeća oznaka:
.

Napišimo ovu definiciju koristeći se logičkim simbolima postojanja i univerzalnosti:
.
Ovo pretpostavlja da vrijednosti pripadaju domeni funkcije.

Jednostrana ograničenja

Lijeva granica funkcije u beskonačnosti:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Česti su slučajevi gdje je funkcija definirana samo za pozitivne ili negativne vrijednosti varijable x (točnije u blizini točke ili ). Također, granice u beskonačnosti za pozitivne i negativne vrijednosti x mogu imati različita značenja. Tada se koriste jednostrana ograničenja.

Lijeva granica u beskonačnosti ili granica kada x teži minus beskonačnosti () definira se na sljedeći način:
.
Desna granica u beskonačnosti ili granica dok x teži plus beskonačnosti ():
.
Jednostrane granice u beskonačnosti često se označavaju na sljedeći način:
; .

Beskonačni limit funkcije u beskonačnosti

Beskonačni limit funkcije u beskonačnosti:
|f(x)| > M za |x| > N

Definicija beskonačne granice prema Cauchyju
Granica funkcije f (x) kako x teži beskonačnosti (), jednako je beskonačnosti, Ako
1) postoji takva okolina točke u beskonačnosti |x| > K, na kojem je funkcija definirana (ovdje je K pozitivan broj);
2) za bilo koga, koliko želite veliki broj M > 0 , postoji takav broj N M >K, ovisno o M, što za sve x, |x| > N M , vrijednosti funkcije pripadaju okolini točke u beskonačnosti:
|f (x) | > M.
Beskonačna granica kada x teži beskonačnosti označava se na sljedeći način:
.
Ili u .

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija beskonačne granice funkcije može se napisati na sljedeći način:
.

Slično se uvode definicije beskonačnih granica određenih predznaka jednakih i :
.
.

Definicije jednostranih granica u beskonačnosti.
Lijeve granice.
.
.
.
Prave granice.
.
.
.

Određivanje limita funkcije po Heineu

Broj a (konačan ili u beskonačnosti) naziva se limesom funkcije f (x) u točki x 0 :
,
Ako
1) postoji takva okolina točke x u beskonačnosti 0 , na kojem je definirana funkcija (ovdje ili ili );
2) za bilo koji niz (xn), konvergirajući prema x 0 : ,
čiji elementi pripadaju susjedstvu, nizu (f(xn)) konvergira u:
.

Ako za susjedstvo uzmemo susjedstvo nepredznačene točke u beskonačnosti: , tada dobivamo definiciju limita funkcije dok x teži beskonačnosti, . Ako uzmemo lijevo ili desno susjedstvo točke x u beskonačnosti 0 : ili , tada dobivamo definiciju granice kada x teži minus beskonačno odnosno plus beskonačno.

Heineova i Cauchyjeva definicija granice su ekvivalentne.

Primjeri

Primjer 1

Koristeći Cauchyjevu definiciju da to pokažemo
.

Uvedimo sljedeću oznaku:
.
Nađimo domenu definicije funkcije. Budući da su brojnik i nazivnik razlomka polinomi, funkcija je definirana za sve x osim za točke u kojima nazivnik nestaje. Pronađimo ove točke. Rješavanje kvadratne jednadžbe. ;
.
Korijeni jednadžbe:
; .
Od , zatim i .
Stoga je funkcija definirana na . Ovo ćemo koristiti kasnije.

Zapišimo definiciju konačnog limita funkcije u beskonačnosti prema Cauchyju:
.
Preobrazimo razliku:
.
Podijelite brojnik i nazivnik s i pomnožite s -1 :
.

Neka .
Zatim
;
;
;
.

Dakle, otkrili smo da kada ,
.
.
Iz toga slijedi da
u , i .

Budući da ga uvijek možete povećati, uzmimo . Onda za bilo koga,
u .
To znači da .

Primjer 2

Neka .
Koristeći Cauchyjevu definiciju granice, pokažite da:
1) ;
2) .

1) Rješenje kada x teži minus beskonačno

Budući da je funkcija definirana za sve x.
Zapišimo definiciju limita funkcije na jednakoj minus beskonačnosti:
.

Neka .
;
.

Dakle, otkrili smo da kada ,
.
Zatim
.
Unesite pozitivne brojeve i:
.

Slijedi da za svaki pozitivan broj M postoji broj, tako da za ,

To znači da .

2) Rješenje kada x teži plus beskonačno
.
Transformirajmo izvornu funkciju. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka s i primijenite formulu razlike kvadrata:

.
Imamo:
.

Zapišimo definiciju desne granice funkcije na:
Preobrazimo razliku:
.
Uvedimo oznaku: .
.

Pomnožite brojnik i nazivnik sa:
.
Zatim
;
.

Dakle, otkrili smo da kada ,
.
Zatim
.
Iz toga slijedi da
na i .

Budući da ovo vrijedi za bilo koji pozitivan broj, onda
.

Reference:
CM. Nikolskog. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 1983.

Vidi također:

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice, u ovom članku ćemo govoriti o tome. Nećemo ulaziti u teoriju; nastavnici je obično drže na predavanjima. Dakle, "dosadnu teoriju" trebate zabilježiti u svoje bilježnice. Ako to nije slučaj, onda možete čitati udžbenike posuđene u knjižnici. obrazovna ustanova ili na drugim internetskim izvorima.

Dakle, koncept limita je vrlo važan u proučavanju kolegija više matematike, posebno kada naiđete na integralni račun i shvatite vezu između limita i integrala. U trenutnom materijalu ćemo razmotriti jednostavni primjeri, kao i načine za njihovo rješavanje.

Primjeri rješenja

Primjer 1

Izračunajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Riješenje

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Ljudi nam često šalju ova ograničenja sa zahtjevom da im pomognemo riješiti ih. Odlučili smo ih istaknuti kao zaseban primjer i objasniti da se ta ograničenja u pravilu samo trebaju zapamtiti. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo osigurati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Što učiniti s nesigurnošću oblika: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Primjer 3

Riješite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riješenje

Kao i uvijek, počinjemo zamjenom vrijednosti $ x $ u izraz ispod znaka granice. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Što je sada sljedeće? Što bi se na kraju trebalo dogoditi? Budući da se radi o neizvjesnosti, ovo još nije odgovor i nastavljamo s izračunom. Budući da imamo polinom u brojnicima, faktorizirat ćemo ga pomoću formule poznate svima iz škole $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Sjećaš li se? Sjajno! Sada samo naprijed i iskoristi to uz pjesmu :) Nalazimo da je brojnik $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nastavljamo rješavati uzimajući u obzir gornju transformaciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Odgovor

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Pomaknimo granicu u zadnja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Primjer 5

Izračunajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Riješenje

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Što uraditi? Što da napravim? Ne paničarite, jer nemoguće je moguće. Potrebno je izbaciti x i u brojniku i u nazivniku, a zatim ga smanjiti. Nakon toga pokušajte izračunati granicu. Pokušajmo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Koristeći definiciju iz primjera 2 i zamjenjujući beskonačnost za x, dobivamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Odgovor

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, sažmimo ukratko primjere i izradimo algoritam za rješavanje granica:

1. Zamijenite točku x u izraz iza znaka granice. Ako se dobije određeni broj ili beskonačnost, tada je limit potpuno riješen. U suprotnom imamo nesigurnost: "nula podijeljeno s nulom" ili "beskonačno podijeljeno s beskonačnim" i prijeđite na sljedeće korake uputa.
2. Da biste eliminirali nesigurnost "nule podijeljene s nulom", trebate faktorizirati brojnik i nazivnik. Smanjite slične. Zamijenite točku x u izraz ispod znaka granice.
3. Ako je nesigurnost "beskonačnost podijeljena s beskonačnošću", tada izbacujemo i brojnik i nazivnik x do najvećeg stupnja. Skraćujemo X-ove. Zamjenjujemo vrijednosti x ispod granice u preostali izraz.

U ovom ste članku naučili osnove rješavanja ograničenja koja se često koriste u tečaju. Matematička analiza. Naravno, ovo nisu sve vrste zadataka koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka govorit ćemo u budućim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju kako biste krenuli naprijed. Raspravljajmo o tome što učiniti ako postoje korijeni, stupnjevi, proučavajmo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, izvanredne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami odrediti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!

Prilikom rješavanja problema nalaženja granica, trebali biste zapamtiti neke granice kako ih ne biste svaki put ponovno izračunavali. Kombinirajući ove poznate granice, pronaći ćemo nove granice koristeći svojstva navedena u § 4. Radi praktičnosti, predstavljamo granice koje se najčešće susreću: Granice 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -o X 6 lim f(x) = f(a), ako je f (x) neprekidna x a Ako je poznato da je funkcija neprekidna, tada umjesto nalaženja limita računamo vrijednost funkcije. Primjer 1. Nađi lim (x*-6l:+ 8). Budući da ih je mnogo - X->2

funkcija članica je kontinuirana, tada je lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Primjer 2. Nađi lim -r. . Prvo, nalazimo granicu nazivnika: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nije jednako X-Y1 nuli, što znači da možemo primijeniti svojstvo 4 § 4, tada x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Granica od nazivnik X X je jednak nuli, stoga se ne može primijeniti svojstvo 4 iz § 4. Budući da je brojnik konstantan broj, a nazivnik je [x2x) -> -0 za x - 1, tada cijeli razlomak raste neograničeno. apsolutna vrijednost, tj. lim "1 X-*- - 1 x* + x Primjer 4. Nađi lim \-ll*"!"" "Granica nazivnika je nula: lim (xr-6lg+ 8) = 2*-6 - 2 + 8 = 0, tako da svojstvo X 4 § 4 nije primjenjivo, ali granica brojnika je također nula: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Dakle, granice brojnika i nazivnika su jednake nuli, međutim, broj 2 je korijen i brojnika i nazivnika, tako da se razlomak može smanjiti za razliku x-2 (prema Bezoutovom teoremu, x*-5x. + 6 (x-2) (x-3)). x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4 "dakle, xr--f- 6 g x -3 -1 1 Primjer 5. Nađite lim xn (n je cijeli broj, pozitivan) X -> CO Imamo xn = x x... x. Budući da svaki faktor raste u apsolutnoj vrijednosti, ostaje negativan, onda u slučaju čak stupanj umnožak će rasti bez ograničenja, ostajući pozitivan, tj. lim *n = + oo (za parno n). *-* -o U slučaju neparnog stupnja, apsolutna vrijednost umnoška raste, ali ostaje negativna, tj. lim xn = - oo (za n neparno). p -- 00 Primjer 7. Nađi lim . x x-*- co * Ako je m>pu tada možemo napisati: m = n + kt gdje je k>0. Prema tome xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu Došli smo do primjera 6. Ako ti uTL xm I lim lim lim X - O x-* yu L X ->co Ovdje brojnik ostaje konstantan, a nazivnik raste u apsolutnoj vrijednosti, prema tome lim -ʹ = 0. X-*oo X* Preporuča se zapamtiti rezultat ovog primjera u sljedećem obliku: Funkcija snage raste što je brža pokazatelj više stupnjeva. $hv_Zhg + 7

Primjeri

Primjer 8. Nađi lim g L -g-=. U ovom primjeru x-*® "J* "G bX -ox-o i brojnik i nazivnik se povećavaju bez ograničenja od x, tj. na xb, tada je 3 7_ Primjer 9. Nađimo lira Provodeći transformacije, dobivamo lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Kako je lim -5 = 0, lim -, = 0, onda je granica nazivnika. .rad-*® X X-+-CD X je nula, a granica brojnika je 1. Prema tome, cijeli razlomak raste bez ograničenja, tj. 7x hm X-+ ω. Primjer 10. Nađi lim Izračunajmo granicu S nazivnik, imajući na umu da je cos*-funkcija kontinuirana: lira (2 + cos x) = 2 + cosy =2 Tada je x->- S lim (l-fsin*) Primjer 15. Pronađite lim *.<*-e>2 i lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; budući da (l;-a)2 uvijek raste nenegativno i neograničeno s x, tada za x - ±oo nova varijabla z-*oc. Stoga dobivamo qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim npr. = oo (vidi napomenu uz §5). g -*■ co Slično lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, budući da x ± oo g m - (x- a)z opada bez ograničenja kao x ->±oo (vidi napomenu uz §

Definicija limita niza i funkcije, svojstva limita, prvi i drugi izvanredni limit, primjeri.

Konstantan broj A nazvao ograničiti sekvence(x n ), ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj ε > 0 postoji broj N takav da sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

Zapišite to na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednadžba (6.1) ekvivalentna je dvostrukoj nejednadžbi

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε , a+ε), tj. padaju u bilo koju malu ε-okolicu točke A.

Niz koji ima limes naziva se konvergentan, inače - odvojit.

Koncept limita funkcije generalizacija je koncepta limita niza, budući da se limit niza može smatrati limitom funkcije x n = f(n) argumenta cijelog broja n.

Neka je dana funkcija f(x) i neka a - granična točka domena definicije ove funkcije D(f), tj. takva točka, čija svaka okolina sadrži točke skupa D(f) osim a. Točka a mogu i ne moraju pripadati skupu D(f).

Definicija 1. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→ a, ako za bilo koji niz (x n ) vrijednosti argumenata teže A, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju isti limit A.

Ova definicija se zove određivanje limita funkcije prema Heineu, ili " u jeziku sekvenci”.

Definicija 2. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→a, ako je zadan proizvoljan, proizvoljno mali pozitivan broj ε, može se naći takav δ >0 (ovisno o ε) da za sve x, koji leži u ε-okolici broja A, tj. Za x, zadovoljavajući nejednakost
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ova definicija se zove definiranjem limita funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ"

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako funkcija f(x) pri x → a ima ograničiti, jednako A, ovo je zapisano u obliku

U slučaju da niz (f(x n)) raste (ili opada) bez ograničenja za bilo koju metodu aproksimacije x do svoje granice A, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i zapiši u obliku:

Poziva se varijabla (tj. niz ili funkcija) čija je granica nula beskrajno malen.

Varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti naziva se beskrajno velika.

Za pronalaženje limita u praksi koriste se sljedeći teoremi.

Teorem 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi u obliku 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ su nesigurni, na primjer, omjer dviju infinitezimalnih ili beskonačno velikih veličina, a pronalaženje granice ove vrste naziva se "otkrivanje nesigurnosti".

Teorem 2.

oni. može se ići do granice na temelju potencije s konstantnim eksponentom, posebno,

Teorem 3.

(6.11)

Gdje e» 2,7 - baza prirodni logaritam. Formule (6.10) i (6.11) nazivaju se prvi izvanredni limit i drugi izvanredni limit.

Posljedice formule (6.11) također se koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebno granica,

Ako je x → a, a istodobno x > a, tada pišemo x → a + 0. Ako je, naime, a = 0, tada umjesto simbola 0+0 pišemo +0. Slično, ako je x→a i istodobno x te se prema tome i nazivaju desna granica I lijevo ograničenje funkcije f(x) u točki A. Da bi postojao limit funkcije f(x) kao x→ a potrebno je i dovoljno da . Poziva se funkcija f(x). stalan u točki x 0 ako je granica

(6.15)

Uvjet (6.15) može se prepisati kao:

odnosno granični prijelaz pod znakom funkcije moguć je ako je ona kontinuirana u danoj točki.

Ako je jednakost (6.15) povrijeđena, onda to kažemo na x = x o funkcija f(x) Ima praznina Promotrimo funkciju y = 1/x. Područje definiranja ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Točka x = 0 je granična točka skupa D(f), budući da je u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. u svakom otvorenom intervalu koji sadrži točku 0 postoje točke iz D(f), ali on sam ne pripada tom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) nije definirana, pa u točki x o = 0 funkcija ima diskontinuitet.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano s desne strane u točki x o ako granica

I kontinuirano s lijeve strane u točki x o, ako je granica

Kontinuitet funkcije u točki xo je ekvivalentan svom kontinuitetu u ovoj točki i desno i lijevo.

Da bi funkcija bila kontinuirana u točki xo, npr. desno, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica, i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Dakle, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati diskontinuitet.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u točki x o ima ruptura prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica +∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da in točka xo funkcija ima diskontinuitet druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = ctg x pri x → +0 ima limes jednak +∞, što znači da u točki x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio od x) u točkama s cijelim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Naziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj točki intervala stalan V . Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivuljom.

Mnogi problemi povezani s kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge značajne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast depozita prema zakonu složenih kamata, rast stanovništva zemlje, raspad radioaktivnih tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Razmotrimo primjer Ya. I. Perelmana, dajući tumačenje broja e u problemu složenih kamata. Broj e postoji granica . U štedionicama se kamate godišnje dodaju osnovnom kapitalu. Ako se pristupanje vrši češće, kapital brže raste, jer veći iznos sudjeluje u formiranju kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka 100 deniera bude položeno u banku. jedinice na bazi 100% godišnje. Ako se novac od kamata pridoda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do tog roka 100 den. jedinice pretvorit će se u 200 novčanih jedinica. Sada da vidimo u što će se pretvoriti 100 denija. jedinica, ako se novac od kamata dodaje stalnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon šest mjeseci, 100 den. jedinice će narasti za 100 × 1,5 = 150, a nakon još šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (den. jedinica). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godinu dana 100 den. jedinice pretvorit će se u 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (den. jedinice). Povećat ćemo uvjete za dodavanje kamata na 0,1 godinu, do 0,01 godinu, do 0,001 godinu itd. Zatim od 100 den. jedinice nakon godinu dana bit će:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. jedinice),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. jedinice),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. jedinice).

S neograničenim smanjenjem uvjeta za dodavanje kamata, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici jednakoj približno 271. Kapital položen uz 100% godišnje ne može se povećati za više od 2,71 puta, čak i ako obračunate kamate dodavali su se kapitalu svake sekunde jer je ograničenje

Primjer 3.1. Koristeći definiciju limita brojevnog niza dokažite da niz x n =(n-1)/n ima limit jednak 1.

Riješenje. Moramo dokazati da, bez obzira koji ε > 0 uzmemo, za njega postoji prirodan broj N takav da za sve n > N vrijedi nejednakost |x n -1|< ε

Uzmite bilo koji ε > 0. Budući da je x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednadžbu 1/n<ε. Отсюда n>1/ε i stoga se N može uzeti kao cijeli dio od 1/ε N = E(1/ε). Time smo dokazali da granica .

Primjer 3.2. Pronađite granicu niza zadanog zajedničkim članom .

Riješenje. Primijenimo limit teorema o zbroju i pronađimo limit svakog člana. Kako je n → ∞, brojnik i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo izravno primijeniti teorem o granici kvocijenta. Stoga, prvo transformiramo x n dijeleći brojnik i nazivnik prvog člana s n 2, a drugi na n. Zatim, primjenom granice kvocijenta i granice teorema zbroja, nalazimo:

Primjer 3.3. . Pronaći .

Riješenje.

Ovdje smo upotrijebili teorem granice stupnja: granica stupnja jednaka je stupnju granice baze.

Primjer 3.4. Pronaći ( ).

Riješenje. Nemoguće je primijeniti teorem granice razlike jer imamo nesigurnost oblika ∞-∞. Transformirajmo formulu općeg pojma:

Primjer 3.5. Dana je funkcija f(x)=2 1/x. Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje. Upotrijebimo definiciju 1 limita funkcije kroz niz. Uzmimo niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očito, tada granica Izaberimo sada kao x n niz sa zajedničkim članom x n = -1/n, koji također teži nuli. Stoga nema ograničenja.

Primjer 3.6. Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje. Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n = p n, tada je sin x n = sin (str n) = 0 za sve n a granica Ako
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n pa prema tome i granica. Dakle, ne postoji.

Ograničenja svim studentima matematike zadaju mnogo problema. Da biste riješili ograničenje, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i odabrati iz niza metoda rješenja upravo onu koja je prikladna za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih mogućnosti ili shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo ujedno dati nekoliko detaljnih primjera rješavanja granica s objašnjenjima.

Pojam limita u matematici

Prvo pitanje je: koja je to granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam limesa funkcije jer se s njim učenici najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija ograničenja:

Recimo da postoji neka varijabla. Ako se ta vrijednost u procesu promjene neograničeno približava određenom broju a , To a – granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u određenom intervalu f(x)=y takav se broj naziva limitom A , kojoj funkcija teži kada x , težeći određenoj točki A . Točka A pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- s engleskog ograničiti- granica.

Postoji i geometrijsko objašnjenje za određivanje granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična nego teorijska strana problema. Kad to kažemo x teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već mu se približava beskonačno blizu.

Navedimo konkretan primjer. Zadatak je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamijenit ćemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobivamo:

Usput, ako vas zanimaju osnovne operacije na matricama, pročitajte poseban članak o ovoj temi.

U primjerima x može težiti bilo kojoj vrijednosti. Može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada x teži beskonačnosti:

Intuitivno je jasno što je što veći broj u nazivniku, to će manju vrijednost poprimiti funkcija. Dakle, s neograničenim rastom x značenje 1/x smanjit će se i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili granicu, samo trebate zamijeniti vrijednost kojoj težite u funkciju x . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Pronalaženje granice često nije tako očito. Unutar granica postoje neizvjesnosti tipa 0/0 ili beskonačnosti/beskonačnosti . Što učiniti u takvim slučajevima? Pribjegavajte trikovima!

Neizvjesnosti unutar

Neodređenost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Ako pokušamo zamijeniti beskonačnost u funkciji, dobit ćemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojnik i nazivnik dijelimo s x u višem stupnju. Što će se dogoditi?

Iz primjera o kojem smo već raspravljali, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Za rješavanje nesigurnosti tipa beskonačnosti/beskonačnosti podijeliti brojnik i nazivnik sa x do najvišeg stupnja.

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na bilo koju vrstu posla

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, zamjena vrijednosti u funkciju x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo bolje i to ćete primijetiti u našem brojniku kvadratna jednadžba. Pronađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako ste suočeni s nesigurnošću tipa 0/0 – rastavljaju brojnik i nazivnik.

Kako bismo vam olakšali rješavanje primjera, donosimo tablicu s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalova vladavina unutar

Još jedan moćan način za uklanjanje obje vrste neizvjesnosti. Što je bit metode?

Ako postoji nesigurnost u granici, uzimajte derivaciju brojnika i nazivnika dok nesigurnost ne nestane.

L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna točka : granica u kojoj umjesto brojnika i nazivnika moraju postojati izvedenice brojnika i nazivnika.

A sada - pravi primjer:

Postoji tipična neizvjesnost 0/0 . Uzmimo izvodnice brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost se rješava brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije moći korisno primijeniti u praksi i pronaći odgovor na pitanje “kako riješiti granice u višoj matematici”. Ukoliko trebate izračunati limes niza ili limes funkcije u točki, a nemate baš vremena za taj posao, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.