Kao što znate, matematika voli preciznost i kratkoću - nije bez razloga jedna formula u usmenom obliku zauzela odlomak, a ponekad čak i cijelu stranicu teksta. Stoga su grafički elementi koji se koriste diljem svijeta u znanosti dizajnirani da povećaju brzinu pisanja i kompaktnost prikaza podataka. Osim toga, standardizirane grafičke slike može prepoznati izvorni govornik bilo kojeg jezika koji ima osnovno znanje iz odgovarajućeg područja.
Povijest matematičkih znakova i simbola seže stoljećima unatrag - neki od njih su izmišljeni nasumično i namijenjeni su označavanju drugih pojava; drugi su postali proizvod aktivnosti znanstvenika koji namjerno oblikuju umjetni jezik i vode se isključivo praktičnim razmatranjima.
Plus i minus
Povijest podrijetla simbola koji označavaju protozoe aritmetičke operacije, ne zna se pouzdano. Međutim, postoji prilično uvjerljiva hipoteza o podrijetlu znaka plus, koji izgleda kao prekrižene vodoravne i okomite crte. U skladu s njim, simbol dodavanja potječe iz latinske unije et, što se na ruski prevodi kao "i". Postupno, kako bi se ubrzao proces pisanja, riječ je skraćena u okomito orijentirani križ, nalik na slovo t. Najraniji pouzdani primjer takve redukcije potječe iz 14. stoljeća.
Općeprihvaćeni znak minus pojavio se, očito, kasnije. U 14., pa čak i u 15. stoljeću, u znanstvenoj literaturi koristio se niz simbola za označavanje operacije oduzimanja, a samo XVI stoljeće“plus” i “minus” u svom modernom obliku počeli su se pojavljivati zajedno u matematičkim djelima.
Množenje i dijeljenje
Začudo, matematički znakovi i simboli za ove dvije aritmetičke operacije danas nisu potpuno standardizirani. Popularni simbol za množenje je dijagonalni križ koji je predložio matematičar Oughtred u 17. stoljeću, a koji se može vidjeti, na primjer, na kalkulatorima. Na satovima matematike u školi ista se operacija obično prikazuje kao točka - ovu metodu predložio je Leibniz u istom stoljeću. Druga metoda predstavljanja je zvjezdica, koja se najčešće koristi u računalnim prikazima raznih izračuna. U istom 17. stoljeću predložio ga je Johann Rahn.
Za operaciju dijeljenja predviđen je znak kose crte (predložio Oughtred) i vodoravna crta s točkama iznad i ispod (simbol je uveo Johann Rahn). Prva opcija označavanja je popularnija, ali druga je također prilično česta.
Matematički znakovi i simboli te njihova značenja ponekad se mijenjaju tijekom vremena. Međutim, sve tri metode grafičkog prikazivanja množenja, kao i obje metode dijeljenja, danas su u jednoj ili drugoj mjeri valjane i relevantne.
Jednakost, identitet, jednakost
Kao i kod mnogih drugih matematičkih znakova i simbola, označavanje jednakosti izvorno je bilo verbalno. Dugo je općeprihvaćena oznaka bila kratica ae od latinskog aequalis ("jednak"). Međutim, u 16. stoljeću, velški matematičar po imenu Robert Record predložio je dvije vodoravne linije smještene jednu ispod druge kao simbol. Kao što je znanstvenik tvrdio, nemoguće je zamisliti nešto što je jednakije jedno drugom od dva paralelna segmenta.
Unatoč činjenici da je sličan znak korišten za označavanje paralelnih linija, novi simbol jednakosti postupno je postao raširen. Usput, takvi znakovi kao što su "više" i "manje", koji prikazuju prošireno različite strane krpelji su se pojavili tek u 17.-18.st. Danas se svakom školarcu čine intuitivnima.
Nešto više složeni znakovi ekvivalencija (dvije valovite crte) i istovjetnost (tri horizontalne paralelne crte) ušle su u uporabu tek u drugoj polovici 19. stoljeća.
Znak nepoznatog - "X"
Povijest nastanka matematičkih znakova i simbola također sadrži vrlo zanimljive slučajeve promišljanja grafike kako se znanost razvija. Znak za nepoznato, danas nazvan "X", potječe s Bliskog istoka u osvit prošlog tisućljeća.
Još u 10. stoljeću u arapskom svijetu, poznatom u tom povijesnom razdoblju po svojim znanstvenicima, pojam nepoznatog označavao se riječju doslovno prevedenom kao “nešto” i koja počinje glasom “Š”. Radi uštede materijala i vremena, riječ u raspravama počela se skraćivati na prvo slovo.
Mnogo desetljeća kasnije, pisani radovi arapskih znanstvenika završili su u gradovima Pirenejskog poluotoka, na području moderne Španjolske. Znanstvene rasprave počele su se prevoditi na nacionalni jezik, ali pojavila se poteškoća - u španjolskom ne postoji fonem "Š". Posuđene arapske riječi koje počinju njime pisane su prema posebnom pravilu i ispred njih je stajalo slovo X. Znanstveni jezik U to vrijeme postojao je latinski, u kojem se odgovarajući znak naziva "X".
Dakle, znak, koji je na prvi pogled samo nasumično odabran simbol, ima duboku povijest i izvorno je bio skraćenica arapske riječi za "nešto".
Označavanje ostalih nepoznanica
Za razliku od "X", Y i Z, koji su nam poznati iz škole, kao i a, b, c, imaju mnogo prozaičniju priču o nastanku.
U 17. stoljeću Descartes je objavio knjigu pod nazivom Geometrija. U ovoj je knjizi autor predložio standardizaciju simbola u jednadžbama: u skladu s njegovom idejom, posljednja tri slova latinične abecede (počevši od "X") počela su označavati nepoznate vrijednosti, a prva tri - poznate vrijednosti.
Trigonometrijski pojmovi
Povijest takve riječi kao što je "sine" doista je neobična.
Odgovarajuće trigonometrijske funkcije izvorno su nazvane u Indiji. Riječ koja odgovara konceptu sinusa doslovno je značila "niz". Tijekom procvata arapske znanosti, indijske rasprave su prevedene, a koncept, koji nije imao analoga u arapski, prepisano. Igrom slučaja, ono što je izašlo u pismu nalikovalo je stvarnoj riječi "šupalj", čija semantika nije imala nikakve veze s izvornim pojmom. Kao rezultat toga, kada su arapski tekstovi prevedeni na latinski u 12. stoljeću, pojavila se riječ "sine", što znači "šupalj" i uspostavljena kao novi matematički koncept.
Ali matematički znakovi i simboli za tangens i kotangens još nisu standardizirani - u nekim zemljama obično se pišu kao tg, au drugima - kao tan.
Neki drugi znakovi
Kao što se može vidjeti iz gore opisanih primjera, pojava matematičkih znakova i simbola uglavnom se dogodila u 16.-17. stoljeću. U istom razdoblju pojavili su se danas poznati oblici bilježenja pojmova kao što su postotak, kvadratni korijen, stupanj.
Postotak, tj. stoti dio, dugo se označavao kao cto (skraćeno od latinskog cento). Vjeruje se da je danas općeprihvaćeni znak nastao kao rezultat tiskarske pogreške prije otprilike četiri stotine godina. Dobivena slika doživljena je kao uspješan način skraćivanja i prihvaćena.
Znak korijena izvorno je bilo stilizirano slovo R (skraćenica za latinsku riječ radix, "korijen"). Gornja traka, ispod koje je izraz danas napisan, služila je kao zagrada i bila je zaseban simbol, odvojen od korijena. Zagrade su izumljene kasnije - ušle su u široku upotrebu zahvaljujući radu Leibniza (1646.-1716.). Zahvaljujući njegovom radu, u znanost je uveden integralni simbol koji izgleda kao izduženo slovo S - skraćenica za riječ "zbir".
Naposljetku, znak za operaciju potenciranja izumio je Descartes, a modificirao Newton u drugoj polovici 17. stoljeća.
Kasnije oznake
Uzimajući u obzir da su poznate grafičke slike "plus" i "minus" uvedene u opticaj tek prije nekoliko stoljeća, ne čini se iznenađujućim da su se matematički znakovi i simboli koji označavaju složene pojave počeli koristiti tek u pretprošlom stoljeću.
Dakle, faktorijel, koji izgleda kao uskličnik iza broja ili varijable, pojavio se samo u početkom XIX stoljeća. Otprilike u isto vrijeme pojavilo se veliko "P" za označavanje rada i simbol ograničenja.
Pomalo je čudno da su se znakovi za Pi i algebarski zbroj pojavili tek u 18. stoljeću - kasnije od, primjerice, integralnog simbola, iako se intuitivno čini da se češće koriste. Grafički prikaz omjera opsega i promjera dolazi od prvog slova grčkih riječi koje znače "opseg" i "perimetar". A znak "sigma" za algebarski zbroj predložio je Euler u posljednjoj četvrtini 18. stoljeća.
Nazivi simbola na različitim jezicima
Kao što znate, jezik znanosti u Europi stoljećima je bio latinski. Fizički, medicinski i mnogi drugi pojmovi često su posuđivani u obliku transkripcija, mnogo rjeđe - u obliku paus papira. Stoga se mnogi matematički znakovi i simboli na engleskom nazivaju gotovo isto kao na ruskom, francuskom ili njemačkom. Kako stvar je kompliciranija pojave, to je veća vjerojatnost da različiti jezici imat će isto ime.
Računalni zapis matematičkih simbola
Najjednostavniji matematički znakovi i simboli u Wordu označeni su uobičajenom kombinacijom tipki Shift+broj od 0 do 9 u ruskom ili engleskom rasporedu. Odvojeni ključevi rezervirani su za neke često korištene znakove: plus, minus, jednako, kosa crta.
Ako želite koristiti grafičke slike integrala, algebarskog zbroja ili produkta, Pi itd., trebate otvoriti karticu "Umetni" u Wordu i pronaći jedan od dva gumba: "Formula" ili "Simbol". U prvom slučaju otvorit će se konstruktor koji vam omogućuje da izgradite cijelu formulu unutar jednog polja, au drugom će se otvoriti tablica simbola u kojoj možete pronaći sve matematičke simbole.
Kako zapamtiti matematičke simbole
Za razliku od kemije i fizike, gdje broj simbola koje treba zapamtiti može premašiti stotinu jedinica, matematika operira s relativno malim brojem simbola. Najjednostavnije od njih učimo u ranom djetinjstvu, učeći zbrajati i oduzimati, a tek na sveučilištu u određenim specijalnostima upoznajemo se s nekoliko složenih matematičkih znakova i simbola. Slike za djecu pomažu u nekoliko tjedana da postignu trenutno prepoznavanje grafičke slike potrebne operacije; može biti potrebno mnogo više vremena za ovladavanje vještinom izvođenja ovih operacija i razumijevanje njihove suštine.
Dakle, proces pamćenja znakova događa se automatski i ne zahtijeva puno truda.
Konačno
Vrijednost matematičkih znakova i simbola leži u činjenici da ih lako razumiju ljudi koji govore različite jezike i izvorni su govornici različitih kultura. Iz tog je razloga iznimno korisno razumjeti i moći reproducirati grafičke prikaze različitih pojava i operacija.
Visoka razina standardizacije ovih znakova uvjetuje njihovu primjenu u najrazličitijim područjima: u području financija, informacijske tehnologije, inženjeringa itd. Za sve koji se žele baviti poslovima vezanim uz brojeve i izračune, poznavanje matematičkih znakova i simbola a njihova značenja postaju vitalna nužnost .
Beskonačnost.J. Wallis (1655).
Prvi put pronađen u raspravi engleskog matematičara Johna Valisa "O konusnim presjecima".
Baza prirodni logaritmi. L. Eulera (1736).
Matematička konstanta, transcendentni broj. Ovaj broj ponekad nazivaju nepernati u čast škotskog znanstvenik Napier, autor djela "Opis nevjerojatne tablice logaritama" (1614.). Po prvi put, konstanta je prešutno prisutna u dodatku prijevoda na Engleski jezik gore spomenuto Napierovo djelo, objavljeno 1618. Samu konstantu prvi je izračunao švicarski matematičar Jacob Bernoulli rješavajući problem granične vrijednosti prihoda od kamata.
2,71828182845904523...
Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je bila označena slovom b, koji se nalazi u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690.-1691. Pismo e Euler ga je počeo koristiti 1727. godine, a prva publikacija s ovim slovom bilo je njegovo djelo “Mehanika, ili znanost o gibanju, objašnjena analitički” iz 1736. godine. Odnosno, e obično se zove Eulerov broj. Zašto je odabrano pismo? e, točno nepoznato. Možda je to zbog činjenice da riječ počinje s njim eksponencijalni(“indikativno”, “eksponencijalno”). Druga je pretpostavka da su slova a, b, c I d već su se prilično široko koristili u druge svrhe, i e bilo je prvo "slobodno" pismo.
Omjer opsega i promjera. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Matematička konstanta, iracionalni broj. Broj "pi", stari naziv je Ludolphov broj. Kao i svaki iracionalni broj, π se predstavlja kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak:
π =3,141592653589793...
Prvi put je oznaku ovog broja grčkim slovom π upotrijebio britanski matematičar William Jones u knjizi “Novi uvod u matematiku”, a postala je općeprihvaćena nakon rada Leonharda Eulera. Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιφερεια - krug, periferija i περιμετρος - opseg. Johann Heinrich Lambert dokazao je iracionalnost broja π 1761. godine, a Adrienne Marie Legendre 1774. godine dokazala je iracionalnost broja π 2. Legendre i Euler pretpostavili su da π može biti transcendentalan, tj. ne može zadovoljiti niti jednu algebarsku jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima, što je naposljetku 1882. dokazao Ferdinand von Lindemann.
Imaginarna jedinica. L. Euler (1777., u tisku - 1794.).
Poznato je da jednadžba x 2 =1 ima dva korijena: 1 I -1 . Imaginarna jedinica je jedan od dva korijena jednadžbe x 2 = -1, označeno latinično pismo ja, drugi korijen: -i. Ovu oznaku predložio je Leonhard Euler, koji je za tu svrhu uzeo prvo slovo latinske riječi imaginarius(imaginaran). Sve je širio standardne karakteristike na kompleksnu domenu, tj. skup brojeva koji se može predstaviti kao a+ib, Gdje a I b- realni brojevi. Pojam "kompleksni broj" u široku je upotrebu uveo njemački matematičar Carl Gauss 1831. godine, iako je pojam prije toga u istom značenju koristio francuski matematičar Lazare Carnot 1803. godine.
Jedinični vektori. W. Hamilton (1853).
Jedinični vektori često su povezani s koordinatnim osima koordinatnog sustava (osobito, s osi Kartezijevog koordinatnog sustava). Jedinični vektor usmjeren duž osi x, označeno ja, jedinični vektor usmjeren duž osi Y, označeno j, a jedinični vektor usmjeren duž osi Z, označeno k. Vektori ja, j, k nazivaju se jedinični vektori, imaju jedinične module. Pojam "ort" uveo je engleski matematičar i inženjer Oliver Heaviside (1892.), a oznaku ja, j, k- Irski matematičar William Hamilton.
Cijeli dio broja, antie. K.Gaussa (1808).
Cjelobrojni dio broja [x] broja x je najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Dakle, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] se također naziva "antier of x". Simbol funkcije " cijeli dio"uveo Carl Gauss 1808. Neki matematičari radije koriste umjesto toga oznaku E(x), koju je 1798. predložio Legendre.
Kut paralelnosti. N.I. Lobačevski (1835).
Na ravnini Lobačevskog – kut između pravcab, prolazeći kroz točkuOKOparalelno s pravcema, ne sadrži točkuOKO, a okomito odOKO na a. α - duljina ove okomice. Kako se točka udaljavaOKO od ravne linije akut paralelizma se smanjuje od 90° do 0°. Lobačevski je dao formulu za kut paralelnostiP( α )=2arctg e - α /q , Gdje q— neka konstanta povezana sa zakrivljenošću prostora Lobačevskog.
Nepoznate ili promjenjive količine. R. Descartes (1637).
U matematici, varijabla je veličina koju karakterizira skup vrijednosti koje može poprimiti. U ovom slučaju, može se smatrati pravim fizička količina, privremeno promatrana izolirano od svog fizičkog konteksta, i neka apstraktna veličina koja nema analoga u stvarnom svijetu. Pojam varijable nastao je u 17. stoljeću. u početku pod utjecajem zahtjeva prirodne znanosti, koja je u prvi plan stavila proučavanje kretanja, procesa, a ne samo stanja. Ovaj koncept zahtijevao je nove oblike za svoj izraz. Takvi novi oblici bili su algebra slova i analitička geometrija Rene Descartes. Po prvi put je pravokutni koordinatni sustav i oznake x, y uveo Rene Descartes u svom djelu “Rasprava o metodi” 1637. godine. Pierre Fermat također je pridonio razvoju koordinatne metode, ali su njegovi radovi prvi put objavljeni nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo u ravnini. Metoda koordinata Za trodimenzionalni prostor prvi je upotrijebio Leonhard Euler u 18. stoljeću.
Vektor. O. Cauchy (1853).
Od samog početka, vektor se shvaća kao objekt koji ima veličinu, smjer i (neobavezno) točku primjene. Začeci vektorskog računa javljaju se zajedno s geometrijskim modelom kompleksni brojevi u Gaussa (1831). Hamilton je objavio razvijene operacije s vektorima kao dio svog kvaternionskog računa (vektor je formiran od imaginarnih komponenti kvaterniona). Hamilton je predložio termin vektor(od latinske riječi vektor, prijevoznik) i opisao neke operacije vektorske analize. Maxwell je koristio ovaj formalizam u svojim radovima o elektromagnetizmu, skrećući tako pozornost znanstvenika na novi račun. Ubrzo su izašli Gibbsovi Elementi vektorske analize (1880-ih), a zatim je Heaviside (1903.) vektorskoj analizi dao njen moderni izgled. Sam vektorski znak u upotrebu je uveo francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1853. godine.
Zbrajanje, oduzimanje. J. Widman (1489).
Znakovi plus i minus očito su izmišljeni u njemačkoj matematičkoj školi "Kosista" (to jest, algebraista). Koriste se u udžbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Brz i ugodan račun za sve trgovce, objavljenom 1489. godine. Ranije se zbrajanje označavalo slovom str(od latinskog plus"više") ili latinska riječ et(veznik “i”), a oduzimanje - slov m(od latinskog minus"manje, manje") Za Widmanna, simbol plus zamjenjuje ne samo zbrajanje, već i veznik "i". Podrijetlo ovih simbola nije jasno, ali najvjerojatnije su prethodno korišteni u trgovanju kao pokazatelji dobiti i gubitka. Oba simbola ubrzo su postala uobičajena u Europi - s izuzetkom Italije, koja je nastavila koristiti stare oznake otprilike jedno stoljeće.
Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Znak množenja u obliku kosog križa uveo je 1631. godine Englez William Oughtred. Prije njega najčešće se koristilo slovo M, iako su predložene i druge oznake: simbol pravokutnika (francuski matematičar Erigon, 1634.), zvjezdica (švicarski matematičar Johann Rahn, 1659.). Kasnije je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamijenio točkom (krajem 17. stoljeća) kako ga ne bi brkao sa slovom x; prije njega takav se simbolizam nalazi kod njemačkog astronoma i matematičara Regiomontana (15. stoljeće) i engleskog znanstvenika Thomasa Herriota (1560. -1621.).
Podjela. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Oughtred koristio je kosu crtu / kao znak dijeljenja. Gottfried Leibniz počeo je dijeljenje označavati dvotočkom. Prije njih, slovo se također često koristilo D. Počevši od Fibonaccija, koristi se i vodoravna linija razlomka koju su koristili Heron, Diofant iu arapskim djelima. U Engleskoj i SAD-u postao je raširen simbol ÷ (obelus), koji je predložio Johann Rahn (vjerojatno uz sudjelovanje Johna Pella) 1659. godine. Pokušaj Američkog nacionalnog odbora za matematičke standarde ( Nacionalni odbor za matematičke zahtjeve) uklanjanje obelusa iz prakse (1923.) nije uspjelo.
postotak. M. de la Porte (1685).
Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. Sama riječ "postotak" dolazi od latinskog "pro centum", što znači "na sto". Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Mathieua de la Portea “Priručnik komercijalne aritmetike”. Na jednom mjestu se govorilo o postocima, koji su tada nazivani “cto” (skraćeno od cento). Međutim, slagač je ovo "cto" zamijenio za razlomak i ispisao "%". Dakle, zbog tipfelera, ovaj znak je ušao u upotrebu.
Stupnjevi. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Modernu oznaku eksponenta uveo je Rene Descartes u svom " Geometrija„(1637) međutim samo za prirodni stupnjevi s eksponentima većim od 2. Kasnije je Isaac Newton proširio ovaj oblik zapisa na negativne i frakcijske eksponente (1676.), čije su tumačenje do tada već predložili: flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin, engleski matematičar John Wallis i francuski matematičar Albert Girard.
Aritmetički korijen n-tu potenciju realnog broja A ≥0, - nenegativan broj n-ti stupanj koji je jednak A. Aritmetički korijen 2. stupnja naziva se kvadratni korijen i može se napisati bez navođenja stupnja: √. Aritmetički korijen 3. stupnja naziva se kubni korijen. Srednjovjekovni matematičari (na primjer, Cardano) označavali su kvadratni korijen simbolom R x (od lat. Radix, korijen). Modernu notaciju prvi je upotrijebio njemački matematičar Christoph Rudolf, iz Cossističke škole, 1525. godine. Ovaj simbol dolazi od stiliziranog prvog slova iste riječi korijen. Isprva nije bilo crte iznad radikalnog izraza; kasnije ga je uveo Descartes (1637.) za drugu svrhu (umjesto zagrada), a ta se značajka ubrzo stopila s korijenskim znakom. U 16. stoljeću kubni korijen se označavao na sljedeći način: R x .u.cu (od lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) počeo je koristiti poznati zapis za korijen proizvoljnog stupnja. Ovaj format uspostavljen je zahvaljujući Isaacu Newtonu i Gottfriedu Leibnizu.
Logaritam, decimalni logaritam, prirodni logaritam. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Pojam "logaritam" pripada škotskom matematičaru Johnu Napieru ( “Opis nevjerojatne tablice logaritama”, 1614); nastao je kombinacijom grčkih riječi λογος (riječ, odnos) i αριθμος (broj). J. Napierov logaritam je pomoćni broj za mjerenje omjera dvaju brojeva. Modernu definiciju logaritma prvi je dao engleski matematičar William Gardiner (1742.). Po definiciji, logaritam broja b na temelju a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na koju broj treba podići a(naziva se baza logaritma) da biste dobili b. Određeni log a b. Tako, m = log a b, Ako a m = b.
Prve tablice decimalnih logaritama objavio je 1617. profesor matematike s Oxforda Henry Briggs. Stoga u inozemstvo decimalni logaritmičesto zvan brigs. Pojam “prirodni logaritam” uveli su Pietro Mengoli (1659.) i Nicholas Mercator (1668.), iako je londonski učitelj matematike John Spidell sastavio tablicu prirodnih logaritama još 1619. godine.
Sve do kraja 19. stoljeća nije postojao općeprihvaćeni zapis za logaritam, osnov a naznačeno lijevo i iznad simbola log, zatim iznad njega. Na kraju su matematičari došli do zaključka da je najprikladnije mjesto za bazu ispod crte, iza simbola log. Znak za logaritam - rezultat kratice riječi "logaritam" - pojavljuje se u različitim oblicima gotovo istodobno s pojavom prvih tablica logaritama, npr. Dnevnik- I. Keplera (1624.) i G. Briggsa (1631.), log- napisao B. Cavalieri (1632). Oznaka ul jer je prirodni logaritam uveo njemački matematičar Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, kosinus, tangens, kotangens. W. Outred (sredina 17. st.), I. Bernoulli (18. st.), L. Euler (1748., 1753.).
Stenografske oznake za sinus i kosinus uveo je William Oughtred godine sredinom 17. stoljeća stoljeća. Kratice za tangens i kotangens: tg, ctg uveo Johann Bernoulli u 18. stoljeću, postale su raširene u Njemačkoj i Rusiji. U drugim zemljama koriste se nazivi ovih funkcija tan, krevetić predložio Albert Girard još ranije, u početkom XVII stoljeća. U moderni oblik teoriju trigonometrijskih funkcija uveo je Leonhard Euler (1748., 1753.), a njemu dugujemo konsolidaciju pravog simbolizma.Pojam "trigonometrijske funkcije" uveo je njemački matematičar i fizičar Georg Simon Klügel 1770. godine.
Indijski matematičari izvorno su nazvali sinusnu liniju "arha-jiva"(“polužica”, odnosno pola akorda), zatim riječ "archa" je odbačena i sinusna linija se počela nazivati jednostavno "jiva". Arapski prevoditelji nisu preveli riječ "jiva" arapska riječ "vatar", označavajući niz i akord, i prepisan arapskim slovima i počeo se zvati sinusna linija "jiba". Budući da se u arapskom jeziku ne označavaju kratki samoglasnici, već dugo "i" u riječi "jiba" označen na isti način kao poluglasnik "th", Arapi su počeli izgovarati naziv sinusne linije "jibe", što doslovno znači “šupljina”, “sinus”. Kada su prevodili arapska djela na latinski, europski su prevoditelji prevodili tu riječ "jibe" latinska riječ sinus, imajući isto značenje.Pojam "tangenta" (od lat.tangente- dodirivanje) uveo je danski matematičar Thomas Fincke u svojoj knjizi The Geometry of the Round (1583).
Arksinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk" (od lat. luk- luk).Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkotangens (arcctg), arksekant (arcsec) i arkkosekant (arccosec). Posebne simbole za inverzne trigonometrijske funkcije prvi je upotrijebio Daniel Bernoulli (1729., 1736.).Način označavanja inverznih trigonometrijskih funkcija prefiksom luk(od lat. arcus, luk) pojavio se s austrijskim matematičarom Karlom Scherferom, a učvrstio ga je francuski matematičar, astronom i mehaničar Joseph Louis Lagrange. Mislilo se da, na primjer, obični sinus omogućuje pronalaženje tetive koja ga proteže duž kružnog luka, i inverzna funkcija rješava suprotan problem. Sve do kraja 19. stoljeća engleska i njemačka matematička škola predlagale su druge oznake: sin -1 i 1/sin, ali nisu široko korišteni.
Hiperbolički sinus, hiperbolički kosinus. V. Riccati (1757).
Povjesničari su otkrili prvu pojavu hiperboličkih funkcija u djelima engleskog matematičara Abrahama de Moivrea (1707., 1722.). Suvremenu definiciju i njihovu detaljnu studiju proveo je Talijan Vincenzo Riccati 1757. godine u svom djelu “Opusculorum”, a predložio je i njihove nazive: sh,CH. Riccati je pošao od razmatranja jedinične hiperbole. Samostalno otkriće i daljnje proučavanje svojstava hiperboličkih funkcija izvršio je njemački matematičar, fizičar i filozof Johann Lambert (1768.), koji je utvrdio široki paralelizam formula obične i hiperboličke trigonometrije. N.I. Lobačevski je kasnije upotrijebio ovaj paralelizam u pokušaju da dokaže dosljednost neeuklidske geometrije, u kojoj je obična trigonometrija zamijenjena hiperboličkom.
Slično trigonometrijski sinus a kosinus su koordinate točke na koordinatni krug, hiperbolički sinus i kosinus su koordinate točke na hiperboli. Hiperboličke funkcije izražavaju se eksponencijalom i usko su povezane s trigonometrijske funkcije: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometrijskim funkcijama, hiperbolički tangens i kotangens definirani su kao omjeri hiperboličkog sinusa i kosinusa, odnosno kosinusa i sinusa.
Diferencijal. G. Leibniz (1675, objavljen 1684).
Glavni, linearni dio inkrementa funkcije.Ako funkcija y=f(x) jedna varijabla x ima at x=x 0derivat, i prirastΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkcije f(x) može se prikazati u oblikuΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , gdje je član R infinitezimalno u usporedbi sΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxu ovom proširenju i naziva se diferencijalom funkcije f(x) u točkix 0. U djela Gottfrieda Leibniza, Jacoba i Johanna Bernoullija riječ"diferencija"korišten u značenju “prirasta”, I. Bernoulli ga je označio kroz Δ. G. Leibniz (1675., objavljen 1684.) koristio je oznaku za "infinitezimalnu razliku"d- prvo slovo riječi"diferencijal", formiran od njega iz"diferencija".
Neodređeni integral. G. Leibniz (1675, objavljen 1686).
Riječ "integral" prvi je upotrijebio u tisku Jacob Bernoulli (1690.). Možda je izraz izveden iz latinskog cijeli broj- cijeli. Prema drugoj pretpostavci, osnova je bila latinska riječ integro- dovesti u prijašnje stanje, vratiti. Znak ∫ koristi se za predstavljanje integrala u matematici i stilizirani je prikaz prvog slova latinske riječi suma - iznos. Prvi ga je upotrijebio njemački matematičar i utemeljitelj diferencijalnog i integralnog računa, Gottfried Leibniz, krajem 17. stoljeća. Još jedan od utemeljitelja diferencijalnog i integralnog računa, Isaac Newton, nije predložio alternativni simbolizam za integral u svojim radovima, iako je pokušao razne opcije: okomita traka iznad funkcije ili kvadratni simbol koji prethodi ili obrubljuje funkciju. Neodređeni integral za funkciju y=f(x) je skup svih antiderivacija date funkcije.
Određeni integral. J. Fourier (1819-1822).
Određeni integral funkcije f(x) s donjom granicom a i gornja granica b može se definirati kao razlika F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Gdje F(x)- neki antiderivat funkcije f(x) . Određeni integral a ∫ b f(x)dx numerički jednako površini figura omeđena osi x ravnim linijama x=a I x=b i graf funkcije f(x). Dizajn određenog integrala u obliku koji nam je poznat predložio je francuski matematičar i fizičar Jean Baptiste Joseph Fourier početkom 19. stoljeća.
Izvedenica. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Derivacija je osnovni koncept diferencijalnog računa, karakterizira brzinu promjene funkcije f(x) kada se argument promijeni x . Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta njezinog argumenta dok priraštaj argumenta teži nuli, ako takva granica postoji. Funkcija koja ima konačnu derivaciju u nekoj točki naziva se diferencijabilnom u toj točki. Proces izračuna derivacije naziva se diferencijacija. Obrnuti proces je integracija. U klasičnom diferencijalnom računu derivacija se najčešće definira kroz koncepte teorije limita, no povijesno se teorija limita pojavila kasnije od diferencijalnog računa.
Pojam “derivativa” uveo je Joseph Louis Lagrange 1797. godine, on također koristi označavanje izvedenice pomoću crte (1770., 1779.), a dy/dx- Gottfried Leibniz 1675. Način označavanja vremenske izvedenice točkom preko slova potječe od Newtona (1691).Ruski izraz "derivacija funkcije" prvi je upotrijebio ruski matematičarVasilij Ivanovič Viskovatov (1779.-1812.).
Parcijalna derivacija. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Za funkcije mnogih varijabli definirane su parcijalne derivacije - derivacije u odnosu na jedan od argumenata, izračunate pod pretpostavkom da su ostali argumenti konstantni. Oznake ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ g uveo francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1786.; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797., 1801.); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ g- parcijalne derivacije drugog reda - njemački matematičar Carl Gustav Jacob Jacobi (1837.).
Razlika, prirast. I. Bernoulli (kraj 17. st. - prva polovica 18. st.), L. Euler (1755.).
Oznaku inkrementa slovom Δ prvi je upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli. Simbol delta ušao je u opću upotrebu nakon rada Leonharda Eulera 1755. godine.
Iznos. L. Eulera (1755).
Zbroj je rezultat zbrajanja veličina (brojeva, funkcija, vektora, matrica itd.). Za označavanje zbroja n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo “sigma” Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a ja Znak Σ za zbroj uveo je Leonhard Euler 1755. godine.
Raditi. K.Gaussa (1812).
Proizvod je rezultat množenja. Za označavanje umnoška n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primjer, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Oznaku Π za umnožak uveo je njemački matematičar Carl Gauss 1812. godine. U ruskoj matematičkoj literaturi pojam "proizvod" prvi je put susreo Leontije Filipovič Magnicki 1703. godine.
Faktorijel. K. Crump (1808).
Faktorijel broja n (označava se n!, izgovara se "en faktorijel") je proizvod svih prirodni brojevi do uključivo n: n! = 1·2·3·...·n. Na primjer, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Po definiciji se pretpostavlja 0! = 1. Faktorijel je definiran samo za nenegativne cijele brojeve. Faktorijel od n jednak je broju permutacija od n elemenata. Na primjer, 3! = 6, zaista,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Svih šest i samo šest permutacija tri elementa.
Pojam "faktorijel" uveo je francuski matematičar i politička ličnost Louis François Antoine Arbogast (1800.), oznaka n! - francuski matematičar Christian Crump (1808.).
Modul, apsolutna vrijednost. K. Weierstrassa (1841).
Apsolutna vrijednost realnog broja x je nenegativan broj definiran na sljedeći način: |x| = x za x ≥ 0, i |x| = -x za x ≤ 0. Na primjer, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnog broja z = a + ib je realan broj jednak √(a 2 + b 2).
Vjeruje se da je pojam “modul” predložio engleski matematičar i filozof, Newtonov učenik, Roger Cotes. Gottfried Leibniz također je koristio ovu funkciju, koju je nazvao "modulus" i označio: mol x. Uobičajena oznaka apsolutna vrijednost uveo 1841. njemački matematičar Karl Weierstrass. Za kompleksne brojeve ovaj koncept uveli su francuski matematičari Augustin Cauchy i Jean Robert Argan početkom 19. stoljeća. Godine 1903. austrijski znanstvenik Konrad Lorenz upotrijebio je istu simboliku za duljinu vektora.
Norma. E. Schmidta (1908).
Norma je funkcionalna specificirana na vektorski prostor i generaliziranje koncepta duljine vektora ili modula broja. Znak "norma" (od latinske riječi "norma" - "pravilo", "uzorak") uveo je njemački matematičar Erhard Schmidt 1908. godine.
Ograničiti. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), mnogi matematičari (do početka XX. st.)
Limit je jedan od temeljnih pojmova matematičke analize, što znači da se određena varijabla u procesu svoje promjene promatrane neograničeno približava određenoj vrijednosti. konstantna vrijednost. Koncept granice je u drugoj polovici 17. stoljeća intuitivno koristio Isaac Newton, kao i matematičari 18. stoljeća poput Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrangea. Prve rigorozne definicije granice niza dali su Bernard Bolzano 1816. i Augustin Cauchy 1821. Simbol lim (prva 3 slova iz latinske riječi limes - granica) pojavio se 1787. godine od strane švicarskog matematičara Simona Antoinea Jeana Lhuilliera, ali njegova upotreba još nije nalikovala modernoj. Izraz lim u poznatijem obliku prvi je upotrijebio irski matematičar William Hamilton 1853. godine.Weierstrass je uveo oznaku blisku modernoj, ali je umjesto poznate strelice koristio znak jednakosti. Strelica se pojavila početkom 20. stoljeća među nekoliko matematičara odjednom - na primjer, engleski matematičar Godfried Hardy 1908. godine.
Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).
Analitička funkcija kompleksne varijable s = σ + it, za σ > 1, određena apsolutno i uniformno konvergentnim Dirichletovim redom:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Za σ > 1 vrijedi prikaz u obliku Eulerovog produkta:
ζ(s) = Π str (1-p -s) -s,
gdje je proizvod preuzet preko svih prostih p. Zeta funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva.Kao funkciju realne varijable, zeta funkciju uveo je 1737. (objavljena 1744.) L. Euler, koji je naznačio njezino proširenje u umnožak. Ovu funkciju su zatim razmatrali njemački matematičar L. Dirichlet i, posebno uspješno, ruski matematičar i mehaničar P.L. Chebyshev pri proučavanju zakona raspodjele primarni brojevi. Međutim, najdublja svojstva zeta funkcije otkrivena su kasnije, nakon rada njemačkog matematičara Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859.), gdje je zeta funkcija razmatrana kao funkcija kompleksne varijable; Također je uveo naziv "zeta funkcija" i oznaku ζ(s) 1857. godine.
Gama funkcija, Eulerova Γ funkcija. A. Legendre (1814).
Gama funkcija je matematička funkcija koja proširuje koncept faktorijela na polje kompleksnih brojeva. Obično se označava s Γ(z). G-funkciju je prvi uveo Leonhard Euler 1729. godine; određuje se formulom:
Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
Izraženo kroz G-funkciju veliki broj integrali, beskonačni umnošci i zbrojevi nizova. Široko se koristi u analitičkoj teoriji brojeva. Naziv "Gama funkcija" i oznaku Γ(z) predložio je francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1814. godine.
Beta funkcija, B funkcija, Euler B funkcija. J. Bineta (1839).
Funkcija dviju varijabli p i q, definirana za p>0, q>0 jednakošću:
B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Beta funkcija se može izraziti preko Γ-funkcije: B(p, q) = Γ(p)G(q)/G(p+q).Baš kao što je gama funkcija za cijele brojeve generalizacija faktorijela, beta funkcija je, u određenom smislu, generalizacija binomnih koeficijenata.
Beta funkcija opisuje mnoga svojstvaelementarne čestice sudjelovanje u snažna interakcija. Ovu značajku uočio je talijanski teorijski fizičarGabriele Veneziano 1968. godine. Ovo je označilo početak teorija struna.
Naziv "beta funkcija" i oznaku B(p, q) uveo je 1839. godine francuski matematičar, mehaničar i astronom Jacques Philippe Marie Binet.
Laplaceov operator, Laplasov. R. Murphy (1833).
Linearni diferencijalni operator Δ, koji dodjeljuje funkcije φ(x 1, x 2, ..., x n) od n varijabli x 1, x 2, ..., x n:
Δφ = ∂ 2 φ/∂h 1 2 + ∂ 2 φ/∂h 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂h n 2.
Konkretno, za funkciju φ(x) jedne varijable, Laplaceov operator koincidira s operatorom 2. derivacije: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Jednadžba Δφ = 0 obično se naziva Laplaceova jednadžba; Odatle potječu nazivi “Laplaceov operator” ili “Laplacian”. Oznaku Δ uveo je engleski fizičar i matematičar Robert Murphy 1833. godine.
Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonijan. O. Heaviside (1892).
Vektorski diferencijalni operator forme
∇ = ∂/∂x ja+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,
Gdje ja, j, I k- koordinatni jedinični vektori. Osnovne operacije vektorske analize, kao i Laplaceov operator, izražavaju se na prirodan način kroz Nabla operator.
Godine 1853. irski matematičar William Rowan Hamilton uveo je ovaj operator i skovao simbol ∇ za njega kao obrnuto grčko slovo Δ (delta). Kod Hamiltona je vrh simbola bio usmjeren ulijevo, a kasnije, u radovima škotskog matematičara i fizičara Petera Guthriea Tatea, simbol je dobio svoj moderni oblik. Hamilton je ovaj simbol nazvao "atled" (riječ "delta" čitana unatrag). Kasnije su engleski znanstvenici, uključujući Olivera Heavisidea, počeli zvati ovaj simbol "nabla", prema nazivu slova ∇ u feničanskom alfabetu, gdje se pojavljuje. Podrijetlo slova povezuje se s glazbenim instrumentom kao što je harfa, ναβλα (nabla) na starogrčkom što znači "harfa". Operator je nazvan Hamiltonov operator ili nabla operator.
Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Matematički koncept, odražavajući odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon", "pravilo" prema kojem je svaki element jednog skupa (koji se naziva domena definicije) povezan s nekim elementom drugog skupa (koji se naziva domena vrijednosti). Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Često se izraz "funkcija" odnosi na numeričku funkciju; to jest, funkcija koja stavlja neke brojeve u korespondenciju s drugima. Dugo su vremena matematičari specificirali argumente bez zagrada, na primjer, ovako - φh. Ovu je oznaku prvi upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli 1718. godine.Zagrade su korištene samo u slučaju više argumenata ili ako je argument složen izraz. Odjeci tih vremena su snimke koje se i danas koristesin x, log xitd. Ali postupno je postalo korištenje zagrada, f(x). opće pravilo. A glavne zasluge za to pripadaju Leonhardu Euleru.
Jednakost. R. Zapis (1557).
Znak jednakosti predložio je velški liječnik i matematičar Robert Record 1557. godine; obris simbola bio je mnogo duži od sadašnjeg, jer je oponašao sliku dva paralelna segmenta. Autor je objasnio da na svijetu ne postoji ništa jednakije od dva paralelna segmenta iste duljine. Prije toga, u antičkoj i srednjovjekovnoj matematici jednakost se označavala verbalno (npr. est egale). U 17. stoljeću Rene Descartes počeo je koristiti æ (od lat. aequalis), A moderni znak upotrijebio je jednakosti da pokaže da bi koeficijent mogao biti negativan. François Viète koristio je znak jednakosti za označavanje oduzimanja. Simbol Rekord nije odmah postao raširen. Širenje simbola Rekord bilo je otežano činjenicom da se od davnina isti simbol koristio za označavanje paralelizma ravnih linija; Na kraju je odlučeno da simbol paralelizma bude okomit. U kontinentalnoj Europi znak "=" uveo je Gottfried Leibniz tek na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, odnosno više od 100 godina nakon smrti Roberta Recorda, koji ga je prvi upotrijebio u tu svrhu.
Približno jednako, približno jednako. A.Gunther (1882).
znak " ≈ " u upotrebu je kao simbol za odnos "približno jednako" uveo njemački matematičar i fizičar Adam Wilhelm Sigmund Günther 1882.
Više manje. T. Harriota (1631).
Ova dva znaka u upotrebu je uveo engleski astronom, matematičar, etnograf i prevoditelj Thomas Harriot 1631. godine, a prije toga su se koristile riječi “više” i “manje”.
Usporedivost. K.Gaussa (1801).
Usporedba je odnos između dva cijela broja n i m, što znači da razlika n-m ti se brojevi dijele s danim cijelim brojem a, koji se naziva modul usporedbe; piše: n≡m(mod a) i glasi “brojevi n i m su usporedivi po modulu a”. Na primjer, 3≡11(mod 4), budući da je 3-11 djeljivo s 4; brojevi 3 i 11 su usporedivi po modulu 4. Kongruencije imaju mnoga svojstva slična onima jednakosti. Tako se pojam koji se nalazi u jednom dijelu usporedbe može sa suprotnim predznakom prenijeti u drugi dio, a usporedbe s istim modulom se mogu zbrajati, oduzimati, množiti, oba dijela usporedbe mogu se množiti istim brojem itd. . Na primjer,
3≡9+2(mod 4) i 3-2≡9(mod 4)
Ujedno i istinite usporedbe. A iz para točnih usporedbi 3≡11(mod 4) i 1≡5(mod 4) slijedi sljedeće:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
Teorija brojeva bavi se metodama rješavanja raznih usporedbi, t.j. metode za pronalaženje cijelih brojeva koji zadovoljavaju usporedbe jednog ili drugog tipa. Modulo usporedbe prvi je upotrijebio njemački matematičar Carl Gauss u svojoj knjizi Arithmetic Studies iz 1801. godine. Također je predložio simbolizam za usporedbe koji je uspostavljen u matematici.
Identitet. B. Riemanna (1857).
Identitet je jednakost dvaju analitičkih izraza, koja vrijedi za bilo koji prihvatljive vrijednosti slova uključena u njega. Za sve vrijedi jednakost a+b = b+a brojčane vrijednosti a i b, i stoga je identitet. Za bilježenje istovjetnosti u nekim se slučajevima od 1857. godine koristi znak “≡” (čitaj “identično jednak”), čiji je autor u ovoj uporabi njemački matematičar Georg Friedrich Bernhard Riemann. Možete zapisati a+b ≡ b+a.
Okomitost. P. Erigon (1634).
Okomitost - međusobni dogovor dvije ravne crte, ravnine ili pravac i ravnina u kojoj naznačeni likovi čine pravi kut. Znak ⊥ za označavanje okomitosti uveo je 1634. francuski matematičar i astronom Pierre Erigon. Pojam okomitosti ima niz generalizacija, ali sve one, u pravilu, prate znak ⊥.
Paralelizam. W. Outred (posmrtno izdanje 1677).
Paralelizam je odnos između nekih geometrijski oblici; na primjer ravno. Različito definiran ovisno o različitim geometrijama; na primjer, u geometriji Euklida i u geometriji Lobačevskog. Znak paralelizma poznat je od davnina, koristili su ga Heron i Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan sadašnjem znaku jednakosti (samo prošireniji), ali s dolaskom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito ||. U ovom se obliku prvi put pojavio u posthumnom izdanju djela engleskog matematičara Williama Oughtreda 1677. godine.
Raskrižje, sindikat. J. Peano (1888).
Sjecište skupova je skup koji sadrži one i samo one elemente koji istovremeno pripadaju svim zadanim skupovima. Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente izvornih skupova. Sjecište i unija također se nazivaju operacijama na skupovima koje pridružuju nove skupove određenim skupovima prema gore navedenim pravilima. Označava se s ∩ odnosno ∪. Na primjer, ako
A= (♠ ♣ ) I B= (♣ ♦),
Da
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Sadrži, sadrži. E. Schroeder (1890).
Ako su A i B dva skupa i nema elemenata u A koji ne pripadaju B, onda kažu da je A sadržan u B. Pišu A⊂B ili B⊃A (B sadrži A). Na primjer,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Simboli "sadrži" i "sadrži" pojavio se 1890. godine od strane njemačkog matematičara i logičara Ernsta Schroedera.
Pripadnost. J. Peano (1895).
Ako je a element skupa A, tada napišite a∈A i čitajte "a pripada A." Ako a nije element skupa A, napišite a∉A i pročitajte "a ne pripada A." U početku se odnosi "sadržano" i "pripada" ("element je") nisu razlikovali, no s vremenom su ti pojmovi zahtijevali razlikovanje. Simbol ∈ prvi je upotrijebio talijanski matematičar Giuseppe Peano 1895. godine. Simbol ∈ dolazi od prvog slova grčke riječi εστι - biti.
Kvantifikator univerzalnosti, kvantifikator postojanja. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Kvantifikator - uobičajeno ime za logičke operacije koje ukazuju na područje istinitosti predikata (matematičkog iskaza). Filozofi su dugo obraćali pozornost na logičke operacije koje ograničavaju područje istinitosti predikata, ali ih nisu identificirali kao zasebnu klasu operacija. Iako se kvantifikatorsko-logičke konstrukcije široko koriste kako u znanstvenom tako iu svakodnevnom govoru, njihova formalizacija dogodila se tek 1879. godine, u knjizi njemačkog logičara, matematičara i filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregea “Račun pojmova”. Fregeova notacija izgledala je kao glomazna grafička konstrukcija i nije bila prihvaćena. Kasnije je predloženo mnogo uspješnijih simbola, ali oznake koje su postale općeprihvaćene bile su ∃ za egzistencijalni kvantifikator (čitaj "postoji", "postoji"), koji je predložio američki filozof, logičar i matematičar Charles Peirce 1885., i ∀ za univerzalni kvantifikator (čitaj "bilo koji", "svaki", "svatko"), koji je oblikovao njemački matematičar i logičar Gerhard Karl Erich Gentzen 1935. po analogiji sa simbolom egzistencijalnog kvantifikatora (obrnuta prva slova engleske riječi Postojanje (postojanje) i Any (bilo koji)). Na primjer, snimite
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
glasi ovako: “za bilo koje ε>0 postoji δ>0 tako da za sve x nije jednako x 0 i zadovoljava nejednakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Prazan set. N. Bourbaki (1939).
Skup koji ne sadrži niti jedan element. Znak praznog skupa uveden je u knjige Nicolasa Bourbakija 1939. godine. Bourbaki je kolektivni pseudonim grupe francuskih matematičara stvorenih 1935. godine. Jedan od članova grupe Bourbaki bio je Andre Weil, autor simbola Ø.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
U matematici se dokaz shvaća kao slijed razmišljanja izgrađenih na određenim pravilima, koji pokazuju da je određena izjava istinita. Od renesanse matematičari su kraj dokaza označavali kraticom "Q.E.D.", od latinskog izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Ono što je bilo potrebno dokazati". Prilikom stvaranja računalnog sustava rasporeda ΤΕΧ 1978., američki profesor informatike Donald Edwin Knuth koristio je simbol: ispunjeni kvadrat, takozvani "Halmosov simbol", nazvan po američkom matematičaru mađarskog podrijetla Paulu Richardu Halmosu. Danas se završetak dokaza obično označava simbolom Halmos. Kao alternativa koriste se drugi znakovi: prazan kvadrat, pravokutni trokut, // (dvije kose crte), kao i ruska kratica "ch.t.d."
Pretražite DPVA inženjerski priručnik. Unesite svoj zahtjev:
Dodatne informacije iz DPVA inženjerskog priručnika, odnosno drugih pododjeljaka ovog odjeljka:
Kada ljudi dugo komuniciraju unutar određenog područja aktivnosti, počinju tražiti način da optimiziraju komunikacijski proces. Sustav matematičkih znakova i simbola je umjetni jezik koji je razvijen kako bi se smanjila količina grafički prenesenih informacija uz potpuno očuvanje značenja poruke.
Svaki jezik zahtijeva učenje, a jezik matematike u tom pogledu nije iznimka. Da biste razumjeli značenje formula, jednadžbi i grafikona, morate unaprijed imati određene informacije, razumjeti pojmove, sustav označavanja itd. U nedostatku takvog znanja, tekst će se percipirati kao napisan na nepoznatom stranom jeziku.
U skladu s potrebama društva, grafički simboli za jednostavnije matematičke operacije (primjerice, zapisi za zbrajanje i oduzimanje) razvijeni su ranije nego za složenije pojmove poput integrala ili diferencijala. Što je koncept složeniji, to je složeniji znak koji se obično označava.
Modeli za oblikovanje grafičkih simbola
U ranim fazama razvoja civilizacije ljudi su na temelju asocijacija povezivali najjednostavnije matematičke operacije s poznatim pojmovima. Na primjer, u starom Egiptu, zbrajanje i oduzimanje su bili označeni uzorkom hodajućih stopala: linije usmjerene u smjeru čitanja označavale su "plus", au suprotnom smjeru - "minus".
Brojevi su, možda u svim kulturama, u početku bili označeni odgovarajućim brojem redaka. Kasnije su se za snimanje počeli koristiti konvencionalni zapisi - time se štedjelo vrijeme, ali i prostor na fizičkom mediju. Slova su se često koristila kao simboli: ova strategija postala je raširena u grčkom, latinskom i mnogim drugim jezicima svijeta.
Povijest nastanka matematičkih simbola i znakova poznaje dva najproduktivnija načina stvaranja grafičkih elemenata.
Pretvaranje verbalne reprezentacije
U početku je svaki matematički pojam izražen određenom riječju ili frazom i nema svoj grafički prikaz (osim leksičkog). Međutim, izvođenje izračuna i pisanje formula riječima je dugotrajan postupak i zauzima neopravdano puno prostora na fizičkom mediju.
Uobičajen način stvaranja matematičkih simbola je transformacija leksičke reprezentacije pojma u grafički element. Drugim riječima, riječ koja označava neki pojam s vremenom se skraćuje ili na neki drugi način transformira.
Na primjer, glavna hipoteza o podrijetlu znaka plus je njegova kratica od latinskog et, čiji je analog na ruskom veznik "i". Postupno se prvo slovo u kurzivnom pisanju prestalo pisati, i t sveden na križ.
Drugi primjer je znak "x" za nepoznato, što je izvorno bila skraćenica arapske riječi za "nešto". Na sličan način, znakovi za označavanje korijen, postotak, integral, logaritam itd. U tablici matematičkih simbola i znakova možete pronaći više od desetak grafičkih elemenata koji su se pojavili na ovaj način.
Prilagođena dodjela znakova
Druga uobičajena opcija za formiranje matematičkih znakova i simbola je dodjeljivanje simbola na proizvoljan način. U ovom slučaju riječ i grafička oznaka nisu međusobno povezane - znak se obično odobrava kao rezultat preporuke jednog od članova znanstvene zajednice.
Na primjer, znakove za množenje, dijeljenje i jednakost predložili su matematičari William Oughtred, Johann Rahn i Robert Record. U nekim slučajevima, nekoliko matematičkih simbola možda je u znanost uveo jedan znanstvenik. Konkretno, Gottfried Wilhelm Leibniz predložio je brojne simbole, uključujući integral, diferencijal i derivaciju.
Najjednostavnije operacije
Svaki školarac poznaje znakove kao što su "plus" i "minus", kao i simbole za množenje i dijeljenje, unatoč tome što postoji nekoliko mogućih grafičkih znakova za posljednje dvije navedene operacije.
Sa sigurnošću se može reći da su ljudi znali zbrajati i oduzimati mnogo tisućljeća prije naše ere, ali standardizirani matematički znakovi i simboli koji označavaju te radnje i koji su nam danas poznati pojavili su se tek u 14.-15. stoljeću.
No, usprkos određenom dogovoru u znanstvenoj zajednici, množenje se u naše vrijeme može prikazati s tri različita znaka (kosi križ, točka, zvjezdica), a dijeljenje s dva (vodoravna crta s točkama iznad i ispod ili kose crte).
pisma
Stoljećima je znanstvena zajednica koristila isključivo latinski jezik za prenošenje informacija, a mnogi matematički pojmovi i simboli nalaze svoje podrijetlo u ovom jeziku. U nekim su slučajevima grafički elementi bili rezultat skraćivanja riječi, rjeđe - njihove namjerne ili slučajne transformacije (na primjer, zbog pogreške pri upisu).
Oznaka postotka ("%") najvjerojatnije dolazi od pogrešno napisane kratice WHO(cento, tj. "stoti dio"). Na sličan način nastao je znak plus, čija je povijest gore opisana.
Mnogo je više nastalo namjernim skraćivanjem riječi, iako to nije uvijek očito. Ne prepoznaje svaka osoba slovo u znaku kvadratnog korijena R, tj. prvi znak u riječi Radix (“korijen”). Integralni simbol također predstavlja prvo slovo riječi Summa, ali intuitivno izgleda kao veliko slovo f bez horizontalne crte. Inače, u prvoj objavi izdavači su napravili upravo takvu grešku ispisavši f umjesto ovog simbola.
grčka slova
Ne samo da se latinski koriste kao grafički zapisi za različite pojmove, već iu tablici matematičkih simbola možete pronaći niz primjera takvih naziva.
Broj Pi, koji je omjer opsega kruga i njegovog promjera, dolazi od prvog slova grčke riječi za krug. Postoji nekoliko drugih manje poznatih iracionalnih brojeva, označenih slovima grčkog alfabeta.
Izuzetno čest znak u matematici je "delta", koji odražava količinu promjene u vrijednosti varijabli. Drugi često korišteni znak je "sigma", koji funkcionira kao znak zbroja.
Štoviše, gotovo sva grčka slova se na ovaj ili onaj način koriste u matematici. Međutim, te matematičke znakove i simbole i njihovo značenje znaju samo ljudi koji se profesionalno bave znanošću. Ovo znanje čovjeku nije potrebno u svakodnevnom životu.
Znakovi logike
Čudno je da su mnogi intuitivni simboli izumljeni nedavno.
Konkretno, horizontalna strelica koja zamjenjuje riječ "dakle" predložena je tek 1922. Kvantifikatori postojanja i univerzalnosti, tj. znakovi koji se čitaju kao: "postoji ..." i "za bilo koje ...", uvedeni su 1897. i 1935. odnosno.
Simboli iz područja teorije skupova izumljeni su 1888.-1889. A prekriženi krug, koji je danas svakom srednjoškolcu poznat kao znak praznog skupa, pojavio se 1939. godine.
Stoga su simboli za tako složene pojmove kao što su integral ili logaritam izmišljeni stoljećima ranije nego neki intuitivni simboli koji se lako percipiraju i uče čak i bez prethodne pripreme.
Matematički simboli na engleskom
Zbog činjenice da je značajan dio pojmova opisan u znanstvenim djelima na latinskom, brojni nazivi matematičkih znakova i simbola na engleskom i ruskom su isti. Na primjer: Plus, Integral, Delta funkcija, Perpendicular, Parallel, Null.
Neki pojmovi u dva jezika nazivaju se drugačije: na primjer, dijeljenje je dijeljenje, množenje je množenje. U rijetkim slučajevima, engleski naziv za matematički znak postaje donekle raširen u ruskom jeziku: na primjer, kosa crta posljednjih godina često se naziva "kosa crta".
tablica simbola
Najlakši i najprikladniji način da se upoznate s popisom matematičkih znakova je da pogledate posebnu tablicu koja sadrži znakove operacija, simbole matematičke logike, teorije skupova, geometrije, kombinatorike, matematičke analize i linearne algebre. Ova tablica predstavlja osnovne matematičke simbole na engleskom jeziku.
Matematički simboli u uređivaču teksta
Prilikom obavljanja raznih vrsta posla često je potrebno koristiti formule koje koriste znakove koji se ne nalaze na tipkovnici računala.
Kao i grafički elementi iz gotovo svih područja znanja, matematički znakovi i simboli u Wordu mogu se pronaći u kartici "Umetni". U verzijama programa za 2003. ili 2007. postoji opcija "Umetni simbol": kada kliknete gumb na desnoj strani ploče, korisnik će vidjeti tablicu koja predstavlja sve potrebne matematičke simbole, grčka mala slova i velika slova, različite vrste zagrada i još mnogo toga.
U verzijama programa objavljenim nakon 2010. razvijena je prikladnija opcija. Klikom na gumb “Formula” dolazi se do konstruktora formule koji omogućuje korištenje razlomaka, unos podataka pod korijen, promjenu registra (za označavanje potencija ili rednih brojeva varijabli). Svi znakovi iz gornje tablice također se mogu pronaći ovdje.
Isplati li se učiti matematičke simbole?
Sustav matematičke notacije je umjetni jezik koji samo pojednostavljuje proces pisanja, ali ne može donijeti razumijevanje predmeta vanjskom promatraču. Dakle, pamćenje znakova bez proučavanja pojmova, pravila i logičkih veza između pojmova neće dovesti do ovladavanja ovim područjem znanja.
Ljudski mozak lako uči znakove, slova i kratice - matematički simboli se sami pamte prilikom proučavanja predmeta. Razumijevanje značenja svake konkretne radnje stvara toliko snažne znakove da znakovi koji označavaju pojmove, a često i formule povezane s njima, ostaju u sjećanju dugi niz godina, pa čak i desetljeća.
Konačno
Budući da je svaki jezik, pa tako i onaj umjetni, otvoren za promjene i dopune, broj matematičkih znakova i simbola sigurno će s vremenom rasti. Moguće je da će neki elementi biti zamijenjeni ili prilagođeni, dok će se drugi standardizirati u jedinom mogućem obliku, koji je relevantan, na primjer, za znakove množenja ili dijeljenja.
Sposobnost korištenja matematičkih simbola na razini cijelog školskog tečaja praktički je neophodna u suvremenom svijetu. U kontekstu brzog razvoja informacijske tehnologije i znanosti, raširene algoritmizacije i automatizacije, vladanje matematičkim aparatom treba uzeti zdravo za gotovo, a vladanje matematičkim simbolima kao njegov sastavni dio.
Budući da se izračuni koriste u humanističkim, ekonomskim, prirodnim znanostima i, naravno, u području inženjerstva i visoke tehnologije, razumijevanje matematičkih koncepata i poznavanje simbola bit će korisno svakom stručnjaku.
od dva), 3 > 2 (tri je više od dva), itd.Razvoj matematička simbolika bio usko povezan s opći razvoj pojmova i metoda matematike. Prvi Matematički znakovi postojali su znakovi za prikaz brojeva - brojevima, čiji je nastanak, očito, prethodio pisanju. Najstariji sustavi numeriranja - babilonski i egipatski - pojavili su se još u 3 1/2 tisućljeća pr. e.
Prvi Matematički znakovi jer su se proizvoljne količine pojavile mnogo kasnije (počevši od 5.-4. stoljeća pr. Kr.) u Grčkoj. Veličine (površine, volumeni, kutovi) prikazane su u obliku odsječaka, a umnožak dviju proizvoljnih homogenih veličina prikazan je u obliku pravokutnika izgrađenog na odgovarajućim odsječcima. U "Načelima" Euklid (3. st. pr. Kr.) količine se označavaju s dva slova - početnim i završnim slovom odgovarajućeg segmenta, a ponekad samo s jednim. U Arhimed (3. st. pr. Kr.) potonja metoda postaje uobičajena. Takvo označavanje sadržavalo je mogućnosti za razvoj slovnog računa. Međutim, u klasičnoj staroj matematici nije stvoren račun slova.
Počeci abecednog prikaza i računa pojavili su se u kasno helenističko doba kao rezultat oslobađanja algebre od geometrijski oblik. Diofant (vjerojatno 3. st.) snimljeno nepoznato ( x) i njegov stupanj sa sljedećim predznacima:
[ - od grčkog izraza dunamiV (dynamis - sila), koji označava kvadrat nepoznatog, - od grčkog cuboV (k_ybos) - kocka]. Desno od nepoznatog ili njegovih potencija, Diofant je napisao koeficijente, na primjer 3 x 5 je prikazano
(gdje je = 3). Pri zbrajanju Diofant je članove pripisivao jedan drugome, a za oduzimanje je koristio poseban znak; Diofant je jednakost označavao slovom i [od grčkog isoV (isos) - jednak]. Na primjer, jednadžba
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =x
Diofant bi to napisao ovako:
(Ovdje
znači da jedinica nema množitelj u obliku potencije nepoznanice).
Nekoliko stoljeća kasnije, Indijanci su uveli razne Matematički znakovi za više nepoznanica (skraćenice za nazive boja koje označavaju nepoznanice), kvadrat, kvadratni korijen, subtrahend. Dakle, jednadžba
3x 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
U snimanju Brahmagupta (7. stoljeće) izgledalo bi ovako:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - od yawat - tawat - nepoznato, va - od varga - kvadratni broj, ru - od rupa - novčić rupija - slobodni izraz, točka iznad broja označava oduzeti broj).
Stvaranje moderne algebarske simbolike seže u 14.-17. stoljeće; određivali su ga uspjesi praktične aritmetike i proučavanja jednadžbi. U raznim zemljama pojavljuju se spontano Matematički znakovi za neka djelovanja i za moći nepoznate veličine. Prolaze mnoga desetljeća, pa čak i stoljeća prije nego što se razvije jedan ili drugi prikladan simbol. Dakle, krajem 15. i. N. Šuke i L. Pacioli koristio znakove za zbrajanje i oduzimanje
(od latinskog plus i minus), njemački matematičari uveli su moderni + (vjerojatno skraćenica od latinskog et) i -. Još u 17.st. možete ih nabrojati desetak Matematički znakovi za radnju množenja.
Bilo je i različitih Matematički znakovi nepoznato i njegovi stupnjevi. U 16. - ranom 17.st. samo za kvadrat nepoznatog natjecalo se više od deset zapisa, npr. se(od cenzus - latinski izraz koji je poslužio kao prijevod grčkog dunamiV, Q(od kvadrata), , A (2), , Aii, aa, a 2 itd. Dakle, jednadžba
x 3 + 5 x = 12
talijanski matematičar G. Cardano (1545.) imao bi oblik:
od njemačkog matematičara M. Stiefela (1544.):
od talijanskog matematičara R. Bombellija (1572.):
Francuski matematičar F. Vieta (1591.):
od engleskog matematičara T. Harriota (1631.):
U 16. i početkom 17.st. koriste se znakovi jednakosti i zagrade: kvadrat (R. Bombelli , 1550), okruglo (N. Tartaglia, 1556), figurirano (F. Viet, 1593). U 16. stoljeću moderni oblik preuzima zapis razlomaka.
Značajan korak naprijed u razvoju matematičke simbolike bilo je Vietovo uvođenje (1591.) Matematički znakovi za proizvoljno konstantne vrijednosti u obliku velikih suglasničkih slova latinične abecede B, D, što mu je dalo priliku da prvi put zapiše algebarske jednadžbe s proizvoljnim koeficijentima i operirati s njima. Nepoznati Viet prikazan sa samoglasnicima velikim slovima A, E,... Na primjer, Vietov unos
U našim simbolima to izgleda ovako:
x 3 + 3bx = d.
Viet je bio kreator algebarske formule. R. Descartes (1637) dao je znakovima algebre moderan izgled, označavajući nepoznanice zadnjim slovima lat. abeceda x, y, z, i proizvoljne vrijednosti podataka - s početnim slovima a, b, c. Sadašnji rekord diplome pripada njemu. Descartesovi zapisi imali su veliku prednost u odnosu na sve dotadašnje. Stoga su ubrzo dobili univerzalno priznanje.
Daljnji razvoj Matematički znakovi bio je usko povezan sa stvaranjem infinitezimalne analize, za razvoj simbolizma čiji je temelj već uvelike bio pripremljen u algebri.
Datumi nastanka nekih matematičkih simbola
| znak | značenje | Tko je ušao | Kad se unese |
| Znakovi pojedinačnih objekata | |||
| ¥ | beskonačnost | J. Wallis | 1655 |
| e | baza prirodnih logaritama | L. Euler | 1736 |
| str | omjer opsega i promjera | W. Jones L. Euler | 1706 |
| ja | kvadratni korijen iz -1 | L. Euler | 1777. (tiskano 1794.) |
| ja j k | jedinični vektori, jedinični vektori | W. Hamilton | 1853 |
| Godišnje) | kut paralelizma | N.I. Lobačevski | 1835 |
| Znakovi promjenjivih objekata | |||
| x,y,z | nepoznate ili promjenjive veličine | R. Descartes | 1637 |
| r | vektor | O. Cauchy | 1853 |
| Znakovi pojedinačne transakcije | |||
| + | dodatak | njemački matematičari | Kasno 15. stoljeće |
| – | oduzimanje |
||
| ´ | množenje | W. Outred | 1631 |
| × | množenje | G. Leibniz | 1698 |
| : | podjela | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, a n | stupnjeva | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | korijenje | K. Rudolph | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Dnevnik | logaritam | I. Kepler | 1624 |
| log | B. Cavalieri | 1632 |
|
| grijeh | sinus | L. Euler | 1748 |
| cos | kosinus |
||
| tg | tangens | L. Euler | 1753 |
| luk.grijeh | arcsinus | J. Lagrange | 1772 |
Sh | hiperbolički sinus | V. Riccati | 1757 |
CH | hiperbolički kosinus |
||
| dx, ddx, … | diferencijal | G. Leibniz | 1675. (tiskano 1684.) |
d 2 x, d 3 x,… |
|||
| | sastavni | G. Leibniz | 1675. (tiskano 1686.) |
| | izvedenica | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | izvedenica | J. Lagrange | 1770, 1779 |
| da |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | razlika | L. Euler | 1755 |
| | djelomična derivacija | A. Legendre | 1786 |
| | određeni integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | iznos | L. Euler | 1755 |
| P | raditi | K. Gaussa | 1812 |
| ! | faktorijel | K. Crump | 1808 |
| |x| | modul | K. Weierstrassa | 1841 |
| lim | ograničiti | W. Hamilton, mnogi matematičari | 1853, početkom 20. stoljeća |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | zeta funkcija | B. Riemann | 1857 |
| G | gama funkcija | A. Legendre | 1808 |
| U | beta funkcija | J. Bineta | 1839 |
| D | delta (Laplaceov operator) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | nabla (snimatelj Hamiltona) | W. Hamilton | 1853 |
| Predznaci varijabilnih operacija | |||
| jx | funkcija | I. Bernouli | 1718 |
| f(x) | L. Euler | 1734 |
|
| Znakovi individualnih odnosa | |||
| = | jednakost | R. Zapisnik | 1557 |
| > | više | T. Garriott | 1631 |
| < | manje |
||
| º | usporedivost | K. Gaussa | 1801 |
| | paralelizam | W. Outred | 1677 |
| ^ | okomitost | P. Erigon | 1634 |
I. Newton u svojoj metodi fluksija i fluenata (1666. i naredne godine) uveo je znakove za uzastopne fluksije (derivacije) veličine (u obliku
a za infinitezimalni prirast o. Nešto ranije J. Wallis (1655) predložio je znak beskonačnosti ¥.
Tvorac moderne simbolike diferencijalnog i integralnog računa je G. Leibniz. Konkretno, on posjeduje trenutno korištenu Matematički znakovi diferencijali
dx,d 2 x,d 3 x
i integralni
Ogromne zasluge za stvaranje simbolike moderne matematike pripadaju L. Euler. Uveo je (1734.) u opću uporabu prvi znak operacije varijable, naime znak funkcije f(x) (od latinskog functio). Nakon Eulerovog rada, znakovi za mnoge pojedinačne funkcije, poput trigonometrijskih funkcija, postali su standardni. Euler je autor oznake za konstante e(baza prirodnih logaritama, 1736), p [vjerojatno od grčkog perijereia (periphereia) - krug, periferija, 1736], zamišljena jedinica
(od francuskog imaginaire - imaginaran, 1777., objavljen 1794.).
U 19. stoljeću sve je veća uloga simbolike. U to vrijeme pojavljuju se znakovi apsolutne vrijednosti |x|. (DO. Weierstrass, 1841), vektor (O. Cauchy, 1853), odrednica
(A. Cayley, 1841), itd. Mnoge teorije nastale u 19. stoljeću, na primjer tenzorski račun, ne bi se mogle razviti bez odgovarajuće simbolike.
Uz navedeni proces standardizacije Matematički znakovi u modernoj literaturi često se može naći Matematički znakovi, koju su pojedini autori koristili samo u okviru ove studije.
S gledišta matematičke logike, među Matematički znakovi Mogu se izdvojiti sljedeće glavne skupine: A) znakovi objekata, B) znakovi operacija, C) znakovi odnosa. Na primjer, znakovi 1, 2, 3, 4 predstavljaju brojeve, odnosno objekte koji se proučavaju aritmetikom. Znak sabiranja + sam po sebi ne predstavlja nikakav objekt; predmetni sadržaj dobiva kad se naznači koji se brojevi zbrajaju: zapis 1 + 3 predstavlja broj 4. Znak > (veći od) znak je odnosa među brojevima. Znak relacije dobiva potpuno određen sadržaj kada se naznači između kojih se objekata odnos razmatra. Na navedene tri glavne skupine Matematički znakovi susjedni četvrtom: D) pomoćni znakovi koji uspostavljaju redoslijed kombinacije glavnih znakova. Dovoljna ideja o takvim znakovima daje se zagradama koje označavaju redoslijed radnji.
Znakovi svakog tri skupine A), B) i C) su dvije vrste: 1) pojedinačni znakovi dobro definiranih objekata, operacija i odnosa, 2) opći znakovi "nepromjenjivih" ili "nepoznatih" objekata, operacija i odnosa.
Primjeri znakova prve vrste mogu poslužiti (vidi i tablicu):
A 1) Oznake prirodnih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transcendentni brojevi e i p; imaginarna jedinica ja
B 1) Predznaci računskih operacija +, -, ·, ´,:; vađenje korijena, diferencijacija
predznaci zbroja (unije) È i umnoška (presjeka) Ç skupova; ovo također uključuje znakove individualnih funkcije sin, tg, log, itd.
1) Znakovi jednakosti i nejednakosti =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Znakovi druge vrste prikazuju proizvoljne predmete, operacije i odnose određene klase ili objekte, operacije i odnose koji su podložni nekim unaprijed dogovorenim uvjetima. Na primjer, kada pišete identitet ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 slova A I b predstavljaju proizvoljne brojeve; pri proučavanju funkcionalne ovisnosti na = x 2 slova x I y - proizvoljni brojevi povezani zadanim odnosom; prilikom rješavanja jednadžbe
x označava bilo koji broj koji zadovoljava ovu jednadžbu (kao rezultat rješavanja ove jednadžbe saznajemo da samo dvije moguće vrijednosti +1 i -1 odgovaraju ovom uvjetu).
S logičke točke gledišta, legitimno je nazvati takve opće znakove znakovima varijabli, kao što je to uobičajeno u matematičkoj logici, bez straha od činjenice da bi se moglo pokazati da se "domena promjene" varijable sastoji od jedne jedine objekt ili čak “prazan” (na primjer, u slučaju jednadžbi, bez rješenja). Daljnji primjeri ove vrste znakova mogu biti:
A 2) Oznake točaka, pravaca, ravnina i složenijih geometrijskih likova slovima u geometriji.
B 2) Oznake f, , j za zapis funkcija i operatorskog računa, kada je s jednim slovom L predstavljaju, na primjer, proizvoljni operator oblika:
Oznake za "odnose varijabli" manje su uobičajene; koriste se samo u matematičkoj logici (vidi. Algebra logike ) i u relativno apstraktnim, uglavnom aksiomatskim, matematičkim studijama.
Lit.: Cajori., Povijest matematičkih zapisa, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Članak o riječi " Matematički znakovi" u Velikoj sovjetskoj enciklopediji pročitan je 40 088 puta
