Ono što se zove način niza brojeva. Prosjek. Geometrijska sredina. Opseg. Moda. Medijan. Određivanje moda i medijana grafičkom metodom

TEST

Na temu: "Mod. Medijan. Metode za njihov izračun"

Uvod

Prosječne vrijednosti i pridruženi pokazatelji varijacije igraju vrlo važnu ulogu u statistici, što je zbog predmeta njezina proučavanja. Zato ova tema jedan je od središnjih u tečaju.

Prosjek je vrlo česta sumarna mjera u statistici. To se objašnjava činjenicom da se samo uz pomoć prosjeka populacija može okarakterizirati kvantitativno varirajućim obilježjem. U statistici, prosječna vrijednost je generalizirajuća karakteristika skupa sličnih pojava na temelju neke kvantitativno različite karakteristike. Prosjek pokazuje razinu ove karakteristike po jedinici populacije.

Proučavajući društvene pojave i pokušavajući identificirati njihova karakteristična, tipična obilježja u određenim uvjetima mjesta i vremena, statističari se široko koriste prosječnim vrijednostima. Koristeći prosjeke, možete međusobno usporediti različite populacije prema različitim karakteristikama.

Prosjeci koji se koriste u statistici pripadaju klasi prosjeka snage. Od potencijskih prosjeka najčešće se koristi aritmetička sredina, rjeđe harmonijska sredina; Harmonijska sredina koristi se samo pri izračunu prosječnih stopa dinamike, a srednji kvadrat samo pri izračunu indeksa varijacije.

Aritmetička sredina je kvocijent dijeljenja zbroja varijanti njihovim brojem. Koristi se u slučajevima kada se volumen varirajućeg obilježja za cijelu populaciju formira kao zbroj karakterističnih vrijednosti njegovih pojedinačnih jedinica. Aritmetička sredina je najčešća vrsta prosjeka, jer odgovara prirodi društvenih pojava, gdje se volumen varirajućih obilježja u agregatu najčešće formira upravo kao zbroj karakterističnih vrijednosti pojedinih jedinica populacije. .

Prema svojstvu definiranja, harmonijska sredina treba se koristiti kada se ukupni volumen atributa formira kao zbroj inverznih vrijednosti varijante. Koristi se kada se, ovisno o materijalu, težine ne moraju množiti, već podijeliti na opcije ili, što je isto, množiti njihovom recipročnom vrijednošću. Harmonijska sredina u ovim slučajevima je recipročna vrijednost aritmetičke sredine recipročnih vrijednosti karakteristike.

Harmonijskoj sredini treba pribjeći u slučajevima kada se kao ponderi ne koriste jedinice populacije - nositelji obilježja, već proizvodi tih jedinica prema vrijednosti obilježja.

1. Definicija mode i medijana u statistici

Aritmetičke i harmonijske sredine su generalizirajuće karakteristike populacije prema jednoj ili drugoj promjenjivoj karakteristici. Pomoćne deskriptivne karakteristike distribucije varirajućeg obilježja su mod i medijan.

U statistici mod je vrijednost karakteristike (varijante) koja se najčešće nalazi u određenoj populaciji. U nizu varijacija, to će biti opcija s najvećom učestalošću.

U statistici, medijan je opcija koja je u sredini niza varijacija. Medijan dijeli niz na pola; s obje njegove strane (gore i dolje) nalazi se isti broj populacijskih jedinica.

Modus i medijan, za razliku od srednje vrijednosti snage, specifične su karakteristike; njihovo značenje pripisuje se bilo kojoj specifičnoj opciji u nizu varijacija.

Način se koristi u slučajevima kada je potrebno karakterizirati vrijednost karakteristike koja se najčešće pojavljuje. Ako trebate, na primjer, saznati najčešću stopu plaće u poduzeću, cijenu na tržištu po kojoj je prodano najveći broj roba, veličina cipela koja je najtraženija među potrošačima i sl., u tim se slučajevima poseže za modom.

Medijan je zanimljiv po tome što pokazuje kvantitativnu granicu vrijednosti varirajućeg obilježja koju je dosegla polovica pripadnika populacije. Neka prosječna plaća zaposlenika banke bude 650.000 rubalja. na mjesec. Ovu karakteristiku možemo nadopuniti ako kažemo da je polovica radnika primala plaću od 700.000 rubalja. i više, tj. Dajmo medijan. Mod i medijan tipične su karakteristike u slučajevima kada su populacije homogene i velike.

2. Određivanje modusa i medijana u diskretnom varijacijskom nizu

Pronalaženje moda i medijana u nizu varijacija, gdje su vrijednosti karakteristike dane određenim brojevima, nije jako teško. Pogledajmo tablicu 1 s distribucijom obitelji prema broju djece.

Tablica 1. Distribucija obitelji prema broju djece

Očito, u ovom primjeru, moda će biti obitelj s dvoje djece, budući da ova vrijednost opcije odgovara najvećem broju obitelji. Mogu postojati distribucije u kojima se sve opcije pojavljuju jednako često, u kojem slučaju nema načina, ili, drugim riječima, možemo reći da su sve opcije jednako modalne. U drugim slučajevima, ne jedna, već dvije opcije mogu biti najveće učestalosti. Tada će postojati dva moda, distribucija će biti bimodalna. Bimodalne distribucije mogu ukazivati na kvalitativnu heterogenost populacije prema svojstvu koje se proučava.

Da biste pronašli medijan u nizu diskretnih varijacija, trebate podijeliti zbroj frekvencija na pola i rezultatu dodati ½. Dakle, u raspodjeli 185 obitelji po broju djece medijan će biti: 185/2 + ½ = 93, tj. 93. opcija, koja dijeli naručeni red na pola. Koje je značenje 93. opcije? Da biste to saznali, trebate akumulirati frekvencije počevši od najmanje mogućnosti. Zbroj frekvencija 1. i 2. opcije je 40. Jasno je da ovdje nema 93 opcije. Ako učestalost 3. opcije dodamo 40, dobivamo zbroj jednak 40 + 75 = 115. Dakle, 93. opcija odgovara trećoj vrijednosti varirajućeg obilježja, a medijan će biti obitelj s dvoje djece.

Modus i medijan u ovom su se primjeru poklopili. Ako bismo imali paran zbroj frekvencija (na primjer, 184), tada bismo, koristeći gornju formulu, dobili broj opcije medijana, 184/2 + ½ =92,5. Budući da nema frakcijskih opcija, rezultat pokazuje da je medijan na sredini između 92 i 93 opcije.

3. Izračun moda i medijana u serijama intervalnih varijacija

Opisna priroda moda i medijana je zbog činjenice da oni ne kompenziraju pojedinačna odstupanja. Uvijek odgovaraju određenoj opciji. Stoga mod i medijan ne zahtijevaju izračune kako bi se utvrdilo jesu li poznate sve vrijednosti atributa. Međutim, u seriji intervalnih varijacija, izračuni se koriste za pronalaženje približne vrijednosti moda i medijana unutar određenog intervala.

Da biste izračunali određenu vrijednost modalne vrijednosti karakteristike sadržane u intervalu, koristite formulu:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Gdje je XMo minimalna granica modalnog intervala;

i Mo – vrijednost modalnog intervala;

f Mo – frekvencija modalnog intervala;

f Mo-1 – frekvencija intervala koji prethodi modalnom;

f Mo+1 – frekvencija intervala koji slijedi nakon modalnog.

Pokažimo izračun modusa pomoću primjera iz tablice 2.

Tablica 2. Raspodjela radnika poduzeća prema ispunjenju standarda proizvodnje

Da bismo pronašli mod, prvo odredimo modalni interval ove serije. Primjer pokazuje da najveća frekvencija odgovara intervalu u kojem se varijante nalaze u rasponu od 100 do 105. To je modalni interval. Vrijednost modalnog intervala je 5.

Zamjena numeričke vrijednosti iz tablice 2. u gornju formulu, dobivamo:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Značenje ove formule je sljedeće: vrijednost onog dijela modalnog intervala koji treba dodati njegovoj minimalnoj granici određuje se ovisno o veličini frekvencija prethodnog i sljedećih intervala. U ovom slučaju dodajemo 8,8 na 100, tj. više od pola intervala jer je učestalost prethodnog intervala manja od učestalosti sljedećeg intervala.

Izračunajmo sada medijan. Da bismo pronašli medijan u nizu varijacija intervala, prvo odredimo interval u kojem se nalazi (interval medijana). Takav će interval biti onaj čija je kumulativna frekvencija jednaka ili veća od polovine zbroja frekvencija. Kumulativne frekvencije formiraju se postupnim zbrajanjem frekvencija, počevši od intervala s najnižom vrijednošću atributa. Polovica zbroja frekvencija je 250 (500:2). Stoga će, prema tablici 3, srednji interval biti interval s vrijednošću plaće od 350 000 rubalja. do 400.000 rub.

Tablica 3. Izračun medijana u seriji intervalnih varijacija

Prije ovog intervala zbroj akumuliranih frekvencija bio je 160. Stoga je za dobivanje srednje vrijednosti potrebno dodati još 90 jedinica (250 – 160).

Prilikom proučavanja opterećenja učenika identificirana je skupina od 12 učenika sedmih razreda. Zamoljeni su da zabilježe vrijeme (u minutama) utrošeno na zadaću iz algebre određenog dana. Dobili smo sljedeće podatke: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Pri proučavanju opterećenja učenika identificirana je skupina od 12 učenika sedmih razreda. Zamoljeni su da zabilježe vrijeme (u minutama) utrošeno na zadaću iz algebre određenog dana. Dobili smo sljedeće podatke: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Aritmetička sredina serije. Aritmetička sredina niza brojeva je kvocijent dijeljenja zbroja tih brojeva s brojem članova. Aritmetička sredina niza brojeva je kvocijent dijeljenja zbroja tih brojeva s brojem članova.():12=27

Raspon redaka. Raspon niza je razlika između najvećeg i najmanjeg od tih brojeva. Raspon niza je razlika između najvećeg i najmanjeg od tih brojeva. Najveći vremenski utrošak je 37 minuta, a najmanji 18 minuta. Nađimo opseg serije: 37 – 18 = 19 (min)

Modna serija. Način niza brojeva je broj koji se u određenom nizu pojavljuje češće od ostalih. Način niza brojeva je broj koji se u određenom nizu pojavljuje češće od ostalih. Modus našeg niza je broj - 25. Modus našeg niza je broj - 25. Niz brojeva može, ali ne mora imati više od jednog modusa. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – dva načina 47 i 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 – nema mode.

Aritmetička sredina, raspon i modus koriste se u statistici - znanosti koja se bavi dobivanjem, obradom i analizom kvantitativnih podataka o nizu masovnih pojava koje se događaju u prirodi i društvu. Aritmetička sredina, raspon i modus koriste se u statistici - znanosti koja se bavi dobivanjem, obradom i analizom kvantitativnih podataka o nizu masovnih pojava koje se događaju u prirodi i društvu. Statistika proučava veličinu pojedinih skupina stanovništva zemlje i njezinih regija, proizvodnju i potrošnju raznih vrsta proizvoda, prijevoz robe i putnika različitim oblicima prometa, Prirodni resursi itd. Statistika proučava veličinu pojedinih skupina stanovništva zemlje i njezinih krajeva, proizvodnju i potrošnju raznih vrsta proizvoda, prijevoz robe i putnika raznim oblicima prometa, prirodna bogatstva i dr.

1. Odredi aritmetičku sredinu i raspon niza brojeva: a) 24,22,27,20,16,37; b)30,5,23,5,28, Odredi aritmetičku sredinu, raspon i modus broja brojeva: a)32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, U nizu brojeva 3, 8, 15, 30, __, 24 nedostaje jedan broj.Nađite ga ako je: a) aritmetička sredina serija je 18; a) aritmetička sredina niza je 18; b) raspon serije je 40; b) raspon serije je 40; c) mod serije je 24. c) mod serije je 24.

4. U svjedodžbi o srednjem obrazovanju, četiri prijatelja - maturanta - imali su sljedeće ocjene: Iljin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4; Iljin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. S kojim je prosjekom ocjena svaki od ovih maturanata diplomirao? U svjedodžbi navedite najtipičniju ocjenu za svakog od njih. Koju ste statistiku koristili za odgovor? S kojim je prosjekom ocjena svaki od ovih maturanata diplomirao? U svjedodžbi navedite najtipičniju ocjenu za svakog od njih. Koju ste statistiku koristili za odgovor?

Samostalni rad Opcija 1. Opcija Zadan je niz brojeva: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Odredite aritmetičku sredinu, raspon i način. 2. U nizu brojeva 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 nedostaje jedan broj. jedan broj nedostaje. Nađi ako: Nađi ako je: a) aritmetička sredina a) aritmetička sredina 19; neki su jednaki 19; b) raspon niza – 41. b) raspon niza – 41. Opcija Zadan je niz brojeva: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Odredi aritmetičku sredinu, raspon i način niza . 2. U nizu brojeva 5, 10, 17, 32, _, 26 nedostaje jedan broj. Nađite ga ako je: a) aritmetička sredina 19; b) raspon niza je 41.

Medijan uređenog niza brojeva s br Parni broj brojevi je broj napisan u sredini, a medijan uređenog niza brojeva s parnim brojem brojeva je aritmetička sredina dvaju brojeva napisanih u sredini. Medijan uređenog niza brojeva s neparnim brojem brojeva je broj napisan u sredini, a medijan uređenog niza brojeva s parnim brojem brojeva je aritmetička sredina dvaju brojeva napisanih u sredini. U tablici je prikazana potrošnja električne energije u siječnju stanara devet stanova: Tablica prikazuje potrošnju električne energije u siječnju stanara devet stanova: Broj stana Potrošnja električne energije

Napravimo poredane serije: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91.93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 je medijan ovog niza. 78 je medijan ovog niza. Zadan uređeni niz: Zadan uređeni niz: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – medijan. ():2 = 80 – medijan.

1. Odredi medijan niza brojeva: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Odredi aritmetičku sredinu i medijan niza brojeva: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; d) 21.6, 37.3, 16.4, 12, 6. d) 21.6, 37.3, 16.4, 12, 6.

3. Tablica prikazuje broj posjetitelja izložbe u različite dane u tjednu: Pronađite medijan navedenog niza podataka. Kojim je danima u tjednu broj posjetitelja izložbe bio veći od medijana? Dani u tjednu Pon Pon Uto Uto Sri Čet Čet Pet Pet Sub Ned Ned Broj posjetitelja

4. Ispod je prosječna dnevna prerada šećera (u tisućama kvintala) po tvornicama industrije šećera u određenoj regiji: (u tisućama kvintala) po tvornicama industrije šećera u određenoj regiji: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6 , 12,2, 18,5 , 12.4, 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6, 12.2, 18.5, 12.4, 14, 2, 17 ,8. 14, 2, 17.8. Za predstavljenu seriju pronađite aritmetičku sredinu, modu, raspon i medijan. Za predstavljenu seriju pronađite aritmetičku sredinu, modu, raspon i medijan. 5. Organizacija je vodila dnevnu evidenciju zaprimljenih pisama tijekom mjeseca. Kao rezultat toga, dobili smo sljedeće serije podataka: 39, 43, 40, 0. 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0. 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0. 52, 40 , 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Za prikazanu seriju pronađite aritmetičku sredinu, modu, raspon i medijan. Za predstavljenu seriju pronađite aritmetičku sredinu, modu, raspon i medijan.

Domaća zadaća. Na natjecanjima u umjetničkom klizanju nastup sportaša ocjenjivan je sljedećim bodovima: Na natjecanjima u umjetničkom klizanju nastup sportaša ocjenjivan je sljedećim bodovima: 5,2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. 5.2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. Za dobiveni niz brojeva pronađite aritmetičku sredinu, raspon i način. Za dobiveni niz brojeva pronađite aritmetičku sredinu, raspon i način.

Aritmetička sredina niza brojeva – Ovo je zbroj ovih brojeva podijeljen s brojem pojmova.

Aritmetička sredina naziva se prosječna vrijednost niza brojeva.

Primjer: Pronađite prosjek aritmetički brojevi 2, 6, 9, 15.

Riješenje. Imamo četiri broja. To znači da se njihov zbroj mora podijeliti s 4. To će biti aritmetička sredina ovih brojeva:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Geometrijska sredina niza brojeva- ovo je korijen n-ti stupanj iz umnoška ovih brojeva.

Primjer: Nađite geometrijsku sredinu brojeva 2, 4, 8.

Riješenje. Imamo tri broja. To znači da moramo pronaći treći korijen njihovog proizvoda. Ovo će biti geometrijska sredina ovih brojeva:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Opseg niz brojeva je razlika između najvećeg i najmanjeg od tih brojeva.

Primjer: Pronađite raspon brojeva 2, 5, 8, 12, 33.

Rješenje: Najveći broj ovdje je 33, najmanji je 2. Dakle, raspon je 31:

Moda niz brojeva je broj koji se u određenom nizu pojavljuje češće od ostalih.

Primjer: Odredi način niza brojeva 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Rješenje: U ovom nizu brojeva najčešće se pojavljuje broj 7 (3 puta). To je način zadanog niza brojeva.

Medijan.

U uređenom nizu brojeva:

Medijan neparnog broja brojeva je broj napisan u sredini.

Primjer: U nizu brojeva 2, 5, 9, 15, 21 medijan je broj 9 koji se nalazi u sredini.

Medijan parnog broja brojeva je aritmetička sredina dva broja u sredini.

Primjer: Nađite medijan brojeva 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Rješenje: Postoji paran broj brojeva (6). Dakle, ne tražimo jedan, već dva broja zapisana u sredini. Ovo su brojevi 7 i 11. Nađi aritmetičku sredinu ovih brojeva:

(7 + 11) : 2 = 9.

Broj 9 je medijan ovog niza brojeva.

U neuređenom nizu brojeva:

Medijan proizvoljnog niza brojeva naziva se medijan odgovarajućeg uređenog niza.

Primjer 1: Nađite medijan proizvoljnog niza brojeva 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Rješenje: Poredajte brojeve u rastućem redoslijedu:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

U sredini je broj 17. To je medijan ovog niza brojeva.

Primjer 2: Dodajmo još jedan broj našem proizvoljnom nizu brojeva tako da niz postane paran i pronađimo medijan:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Rješenje: Ponovno gradimo uređeni niz:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

U sredini su bili brojevi 17 i 19. Odredi njihovu prosječnu vrijednost:

(17 + 19) : 2 = 18.

Broj 18 je medijan ovog niza brojeva.

Uz prosječne vrijednosti izračunavaju se i strukturni prosjeci kao statističke karakteristike varijacijskih serija distribucija - moda I medijan.
Moda(Mo) predstavlja vrijednost karakteristike koja se proučava, koja se ponavlja s najvećom učestalošću, tj. način – vrijednost karakteristike koja se najčešće pojavljuje.
Medijan(Me) je vrijednost atributa koja se nalazi u sredini rangirane (poređane) populacije, tj. medijan je središnja vrijednost niza varijacija.
Glavno svojstvo medijana je da je zbroj apsolutnih odstupanja vrijednosti atributa od medijana manji nego od bilo koje druge vrijednosti ∑|x i - Me|=min.

Određivanje modusa i medijana iz negrupiranih podataka

Razmotrimo određivanje moda i medijana iz negrupiranih podataka. Pretpostavimo da radni tim od 9 ljudi ima sljedeće tarifne kategorije: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. Budući da ova brigada ima najviše radnika 3. kategorije, ovaj će tarifni razred biti modalni. Mo = 3.
Za određivanje medijana potrebno je izvršiti rangiranje: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . Središnji radnik u ovoj seriji je radnik 4. kategorije, stoga će ova kategorija biti medijan. Ako rangirani niz uključuje paran broj jedinica, tada se medijan definira kao prosjek dviju središnjih vrijednosti.
Ako način odražava najčešću varijantu vrijednosti atributa, tada medijan praktički obavlja funkcije prosjeka za heterogenu populaciju koja se ne pokorava normalnom zakonu distribucije. Ilustrirajmo njegov kognitivni značaj sljedećim primjerom.
Recimo da trebamo okarakterizirati prosječni prihod grupe ljudi koja se sastoji od 100 ljudi, od kojih 99 ima prihode u rasponu od 100 do 200 dolara mjesečno, a mjesečni prihod potonjih je 50 000 dolara (tablica 1).
Tablica 1 - Mjesečni prihodi proučavane skupine ljudi. Ako koristimo aritmetički prosjek, dobivamo prosječni prihod od otprilike 600 - 700 dolara, što nema mnogo zajedničkog s primanjima glavnog dijela grupe. Medijan, koji je u ovom slučaju jednak Me = 163 dolara, omogućit će nam da damo objektivan opis razine prihoda 99% ove skupine ljudi.
Razmotrimo određivanje modusa i medijana korištenjem grupiranih podataka (serija distribucije).
Pretpostavimo da raspodjela radnika cjelokupnog poduzeća prema tarifnom razredu ima sljedeći oblik (tablica 2).
Tablica 2 - Raspodjela radnika poduzeća po tarifnim kategorijama

Izračun mode i medijana za diskretnu seriju

Izračun moda i medijana za intervalne serije

Izračun modusa i medijana za niz varijacija

Određivanje moda iz niza diskretnih varijacija

Koristi se prethodno konstruirana serija vrijednosti atributa, poredana po vrijednosti. Ako je veličina uzorka neparna, uzimamo središnju vrijednost; ako je veličina uzorka parna, uzimamo aritmetičku sredinu dviju središnjih vrijednosti.
Određivanje moda iz niza diskretnih varijacija: 5. tarifni razred ima najveću frekvenciju (60 osoba), dakle, on je modalan. Mo = 5.
Da bi se odredila vrijednost medijana obilježja, broj jedinice medijana niza (N Me) nalazi se pomoću sljedeće formule: , gdje je n volumen populacije.
U našem slučaju:

.
Dobivena frakcijska vrijednost, koja se uvijek pojavljuje kada je broj jedinica u populaciji paran, pokazuje da se točna središnja točka nalazi između 95 i 96 radnika. Potrebno je utvrditi koja skupina radnika s tim serijski brojevi. To se može učiniti izračunavanjem akumuliranih frekvencija. Radnika s tim brojem nema u prvoj skupini, gdje je samo 12 osoba, au drugoj skupini (12+48=60) nema niti jednog radnika. 95. i 96. radnik su u trećoj skupini (12+48+56=116), dakle, medijan je 4. tarifni razred.

Izračunavanje moda i medijana u intervalnim serijama

Za razliku od diskretnih varijacijskih serija, određivanje modusa i medijana iz intervalnih serija zahtijeva određene izračune temeljene na sljedeće formule:

, (5.6)
Gdje x 0– donja granica modalnog intervala (interval s najvećom frekvencijom naziva se modalni);
ja– vrijednost modalnog intervala;
f Mo– učestalost modalnog intervala;
f Mo -1– učestalost intervala koji prethodi modalnom;
f Mo +1– učestalost intervala koji slijedi nakon modalnog.

(5.7)
Gdje x 0– donja granica intervala medijana (medijan je prvi interval čija akumulirana frekvencija prelazi polovicu ukupnog zbroja frekvencija);
ja– vrijednost srednjeg intervala;
Ja sam -1– akumulirani interval koji prethodi medijanu;
f ja– učestalost srednjeg intervala.
Ilustrirajmo primjenu ovih formula pomoću podataka u tablici. 3.
Interval s granicama 60 – 80 u ovoj distribuciji bit će modalan, jer ima najveću frekvenciju. Pomoću formule (5.6) definiramo modus:

Za određivanje srednjeg intervala potrebno je odrediti akumuliranu frekvenciju svakog sljedećeg intervala dok ne prijeđe polovicu zbroja akumuliranih frekvencija (u našem slučaju 50%) (tablica 5.11).
Utvrđeno je da je medijan interval s granicama od 100 - 120 tisuća rubalja. Odredimo sada medijan:

Tablica 3 - Distribucija stanovništva Ruske Federacije prema razini prosječnog nominalnog novčanog dohotka po glavi stanovnika u ožujku 1994.

Grupe prema razini prosječnog mjesečnog dohotka po glavi stanovnika, tisuća rubalja.	Udio stanovništva, %
do 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
Preko 300	7,7
Ukupno	100,0

Tablica 4 - Određivanje srednjeg intervala
Dakle, aritmetička sredina, mod i medijan mogu se koristiti kao generalizirana karakteristika vrijednosti određenog atributa za jedinice rangirane populacije.
Glavna karakteristika distribucijskog centra je aritmetička sredina, koju karakterizira činjenica da sva odstupanja od nje (pozitivna i negativna) zbrojeno daju nuli. Medijan karakterizira činjenica da je zbroj odstupanja od njega u modulu minimalan, a mod je vrijednost atributa koja se najčešće pojavljuje.
Omjer moda, medijana i aritmetičke sredine ukazuje na prirodu distribucije karakteristike u agregatu i omogućuje procjenu njegove asimetrije. U simetričnim raspodjelama sve tri karakteristike se podudaraju. Što je razlika između modusa i aritmetičke sredine veća, serija je asimetričnija. Za umjereno asimetrične serije, razlika između moda i aritmetičke sredine je približno tri puta veća od razlike između medijana i sredine, tj.
|Mo –`x| = 3 |Me –`x|.

Određivanje moda i medijana grafičkom metodom

Mod i medijan u nizu intervala mogu se odrediti grafički. Mod je određen histogramom distribucije. Da biste to učinili, odaberite najviši pravokutnik, koji je u ovom slučaju modalan. Zatim povezujemo desni vrh modalnog pravokutnika s gornjim desnim kutom prethodnog pravokutnika. I lijevi vrh modalnog pravokutnika - s gornjim lijevim kutom sljedećeg pravokutnika. S točke njihova sjecišta spuštamo okomicu na os apscise. Apscisa sjecišta ovih linija bit će način distribucije (sl. 5.3).

Riža. 5.3. Grafičko određivanje moda pomoću histograma.

Riža. 5.4. Grafičko određivanje medijana kumulatom
Za određivanje medijana od točke na ljestvici akumuliranih frekvencija (učestalosti) koja odgovara 50%, povlači se ravna linija paralelna s osi apscisa dok se ne siječe s kumulatom. Zatim se iz sjecišta spušta okomica na x-os. Apscisa sjecišta je medijan.

Kvartili, decili, percentili

Slično, pronalaženjem medijana u nizu varijacija distribucije, možete pronaći vrijednost atributa za bilo koju jedinicu rangiranog niza. Tako, na primjer, možete pronaći vrijednost atributa za jedinice koje dijele niz na četiri jednaka dijela, na 10 ili 100 dijelova. Te se vrijednosti nazivaju "kvartili", "decili", "percentili".
Kvartili predstavljaju vrijednost značajke koja dijeli rangiranu populaciju na 4 jednaka dijela.
Postoji donji kvartil (Q 1) koji odvaja ¼ stanovništva najniže vrijednosti karakteristika, i gornji kvartil (Q 3), odsijecajući ¼ dijela najviše vrijednosti znak. To znači da će 25% jedinica u populaciji biti manje vrijednosti Q 1 ; 25% jedinica bit će sadržano između Q 1 i Q 2 ; 25% je između Q 2 i Q 3, a preostalih 25% prelazi Q 3. Srednji kvartil Q2 je medijan.
Za izračun kvartila pomoću niza intervalnih varijacija koriste se sljedeće formule:

,
Gdje x Q 1– donja granica intervala koji sadrži donji kvartil (interval je određen akumuliranom frekvencijom, pri čemu prva prelazi 25%);
x Q 3– donja granica intervala koji sadrži gornji kvartil (interval je određen akumuliranom frekvencijom, prva prelazi 75%);
ja– veličina intervala;
S P 1-1– akumulirana frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži donji kvartil;
S P 3-1– akumulirana frekvencija intervala koji prethodi intervalu koji sadrži gornji kvartil;
f Q 1– učestalost intervala koji sadrži donji kvartil;
f Q 3– frekvencija intervala koji sadrži gornji kvartil.
Razmotrimo izračun donjeg i gornjeg kvartila prema podacima u tablici. 5.10. Donji kvartil je u rasponu 60 – 80, čija je kumulativna učestalost 33,5%. Gornji kvartil nalazi se u rasponu 160 – 180 s akumuliranom učestalošću od 75,8%. Uzimajući ovo u obzir dobivamo:
,
.
Osim kvartila, decili se mogu odrediti u rasponima varijacija distribucije - opcijama koje dijele rangirane varijacijske serije po deset jednake dijelove. Prvi decil (d 1) dijeli stanovništvo u omjeru od 1/10 do 9/10, drugi decil (d 1) - u omjeru od 2/10 do 8/10, itd.
Izračunavaju se pomoću formula:

.
Karakteristične vrijednosti koje dijele niz na sto dijelova nazivaju se percentili. Omjeri medijana, kvartila, decila i percentila prikazani su na slici. 5.5.

Rješavanje zadataka na temu: “Statističke karakteristike. Aritmetička sredina, raspon, mod i medijan

Algebra-

7. razred

Povijesni podaci

Aritmetička sredina, raspon i modus koriste se u statistici - znanosti koja se bavi dobivanjem, obradom i analizom kvantitativnih podataka o nizu masovnih pojava koje se događaju u prirodi i društvu.
Riječ "statistika" dolazi od latinske riječi status, što znači "stanje stvari". Statistika proučava veličinu pojedinih skupina stanovništva zemlje i njezinih regija, proizvodnju i potrošnju
razne vrste proizvoda, prijevoz robe i putnika raznim vidovima prometa, prirodni resursi i dr.
Rezultati statističkih studija naširoko se koriste za praktične i znanstvene zaključke.

Prosjek– kvocijent dijeljenja zbroja svih brojeva s brojem članova

Opseg– razlika između najvećeg i najmanjeg broja ovog niza
Moda je broj koji se najčešće pojavljuje u skupu brojeva
Medijan– uređenog niza brojeva s neparnim brojem članova je broj zapisan u sredini, a medijan uređenog niza brojeva s parnim brojem članova je aritmetička sredina dvaju brojeva zapisanih u sredini. Medijan proizvoljnog niza brojeva je medijan odgovarajućeg uređenog niza.